Как найти соотношение сторон в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.) 

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$. 

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$ 

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$ 

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника. 

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$ 

Для острого угла $В$: $АС$ – противолежащий катет; $ВС$ – прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ – противолежащий катет; $АС$ – прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$  для острого угла $В$:

$sin⁡B={AC}/{AB};$

$cos⁡B={BC}/{AB};$

$tgB={AC}/{BC};$

$ctgB={BC}/{AC}.$

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$sin BOA=sin BOC;$

$cos BOA=-cos BOC;$

$tg BOA=-tg BOC;$

$ctg BOA=-ctg BOC.$

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$ $30$ $45$ $60$
$sinα$ ${1}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${√3}/{2}$
$cosα$ ${√3}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${1}/{2}$
$tgα$ ${√3}/{3}$ $1$ $√3$
$ctgα$ $√3$ $1$ ${√3}/{3}$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

$S={AC∙BC}/{2}$

Пример:

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√{91}$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

Решение:

Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

$cosABD=-cosABC$

Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:

$cosABC={ВС}/{АВ}$

Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

$ВС=√{10^2-√{91}^2}=√{100-91}=√9=3$

Подставим найденное значение в формулу косинуса

$cos ABC = {3}/{10}=0,3$

$cos ABD = – 0,3$

Ответ: $-0,3$

Пример:

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A={4}/{5}, AC=9$. Найдите $АВ$.

Решение:

Распишем синус угла $А$ по определению:

$sin⁡A={ВС}/{АВ}={4}/{5}$

Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

$9^2+(4х)^2=(5х)^2$

$81+16х^2=25х^2$

$81=25х^2-16х^2$

$81=9х^2$

$9=х^2$

$х=3$

Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

Ответ: $15$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

$CD^2=DB∙AD$

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

$CB^2=AB∙DB$

$AC^2=AB∙AD$

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

$AC∙CB=AB∙CD$

Содержание:

В этой лекции вы ознакомитесь со знаменитой теоремой Пифагора. Вы научитесь по известным сторонам и углам прямоугольного треугольника находить его неизвестные стороны и углы.

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника ABC Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Отрезки AD и DB называют проекциями катетов АС и СВ соответственно на гипотенузу.

Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Докажите лемму самостоятельно.

Теорема 15.1. Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство. На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника ABC Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Докажем, что Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Если длины отрезков на рисунке 173 обозначить так:

АС = Ь, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления то доказанные соотношения принимают вид:
Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
Эти равенства называют метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Пример:

Даны два отрезка, длины которых равны а и b (рис. 174). Постройте третий отрезок, длина которого равна Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение:

Рассмотрим треугольник ADC Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления в котором отрезок DB является высотой (рис. 175). Имеем: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Если обозначить Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Проведенный анализ показывает, как провести построение.

На произвольной прямой отметим точку А и отложим последовательно отрезки АВ и ВС так, чтобы АВ = а, ВС = b. Построим окружность с диаметром АС. Через точку В проведем прямую, перпендикулярную прямой АС (рис. 175). 

Докажем, что отрезок DB искомый. Действительно, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления как вписанный угол, опирающийся на диаметр АС. Тогда по теореме 15.1 Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления 

Теорема Пифагора

Теорема 16.1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство. На рисунке 176 изображен прямоугольный треугольник ABC Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Докажем, что Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления  
Проведем высоту CD. Применив теорему 15.1 для катетов АС и ВС, получаем:
Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Сложив почленно эти равенства, получим:
Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Далее имеем: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Если в прямоугольном треугольнике длины катетов равны а и b, а длина гипотенузы равна с, то теорему Пифагора можно выразить следующим равенством: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Теорема Пифагора позволяет по двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону: 

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Из равенства Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления также следует, что Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления отсюда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычислениято есть гипотенуза больше любого из катетов1.

1Другим способом этот факт был установлен в курсе геометрии 7 класса.

Пифагор:

Вы изучили знаменитую теорему, которая носит имя выдающегося древнегреческого ученого Пифагора.

Исследования древних текстов свидетельствуют о том, что утверждение этой теоремы было известно задолго до Пифагора. Почему же ее приписывают Пифагору? Скорее всего потому, что именно Пифагор нашел доказательство этого утверждения.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

О жизни Пифагора мало что известно достоверно. Он родился на греческом острове Самос. По преданиям, он много путешествовал, приобретая знания и мудрость.

Поселившись в греческой колонии Кротон (на юге Италии), он окружил себя преданными учениками и единомышленниками. Так возник пифагорейский союз (или кротонское братство). Влияние этого союза было столь велико, что даже спустя столетия после смерти Пифагора многие выдающиеся математики Древнего мира Пифагор называли себя пифагорейцами. 

Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника

На рисунке 180 изображен прямоугольный треугольник АВС Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Напомним, что катет ВС называют противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.

Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла А обозначают так: sin А (читают: «синус А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС имеем:
Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 181, можно записать: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник АВС Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления в котором АС = ВС = а (рис. 182).

Имеем: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
По определению Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления отсюда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Видим, что синус острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника не зависит от размеров треугольника, так как полученное значение синуса одинаково для всех значений а. Поскольку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Эту запись не связывают с конкретным прямоугольным равнобедренным треугольником.

Вообще, если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны.

Действительно, эти прямоугольные треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников. Поэтому отношение катета к гипотенузе одного треугольника равно отношению соответственного катета к гипотенузе другого треугольника.

Например, запись sin 17° можно отнести ко всем углам, градусные меры которых равны 17°. Значение этого синуса можно вычислить один раз, выбрав произвольный прямоугольный треугольник с острым углом 17°.
Следовательно, синус острого угла зависит только от величины этого угла.

Определение. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла А обозначают так: cos А (читают: «косинус А»).
Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Отметим, что катет прямоугольного треугольника меньше его гипотенузы, а поэтому синус и косинус острого угла меньше 1.

Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла А обозначают так: tg А (читают: «тангенс А»).
Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать:
Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Определение. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Котангенс угла А обозначают так: ctg А (читают: «котангенс А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать:
Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 181, записывают: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияРешение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Как было установлено, синус угла зависит только от величины угла. Рассуждая аналогично, можно прийти к следующему выводу: косинус, тангенс и котангенс острого угла зависят только от величины этого угла.

Вообще, каждому острому углу а соответствует единственное число — значение синуса (косинуса, тангенса, котангенса) этого угла. Поэтому зависимость значения синуса (косинуса, тангенса, котангенса) острого угла от величины этого угла является функциональной. Функцию, соответствующую этой зависимости, называют тригонометрической. Так, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияРешение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления — тригонометрические функции, аргументами которых являются острые углы.

С древних времен люди составляли таблицы приближенных значений тригонометрических функции с некоторым шагом, один раз вычисляя значения тригонометрических функций для конкретного аргумента. Затем эти таблицы широко использовались во многих областях науки и техники.

В наше время значения тригонометрических функций острых углов удобно находить с помощью микрокалькулятора.

Тангенс и котангенс острого угла можно выразить через синус и косинус этого же угла. Рассмотрим прямоугольный треугольник (рис. 181).

Запишем: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Следовательно, получаем такие формулы: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Заметим, что тангенс и котангенс одного и того же острого угла являются взаимно обратными числами, то есть имеет место равенство:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

По теореме Пифагора Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Обе части этого равенства делим на Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Имеем: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Учитывая, что Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияРешение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления получим:Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления 

Принято записывать: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Отсюда имеем: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
Эту формулу называют основным тригонометрическим тождеством.

Отметим, что Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияПоскольку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления то получаем такие формулы:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Мы уже знаем, что Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Найдем теперь cos 45°, tg 45° и ctg 45°.

Имеем: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
 

Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс углов 30° и 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 183).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Пусть ВС = а. Тогда по свойству катета, лежащего против угла 30°, получаем, что АВ = 2а. Из теоремы Пифагора следует, что Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Имеем: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
Отсюда находим: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Поскольку 60° = 90° – 30°, то получаем:
Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30°, 45° и 60° полезно запомнить.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников

На рисунке 185 изображен прямоугольный треугольник с острыми углами Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления катеты которого равны а и b, а гипотенуза равна с.
По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Отсюда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.    

По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Отсюда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Отсюда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катету.

По определению котангенса острого угла прямоугольного треугольника Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Отсюда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому катету.
Из равенств Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления получаем: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
Следовательно, гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла;

  • гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.

Решить прямоугольный треугольник означает найти его стороны и углы по известным сторонам и углам.

Приведенные выше правила позволяют решать прямоугольный треугольник по одной стороне и одному острому углу.

В задачах на решение прямоугольных треугольников, если не обусловлено иначе, приняты такие обозначения (см. рис. 185): с — гипотенуза, а и b — катеты, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления — углы, противолежащие катетам а и b соответственно.

Пример №1

Решите прямоугольный треугольник по катету и острому углу: a = 14 см, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления = 38°. (Значения тригонометрических функций найдите с помощью микрокалькулятора и округлите их до сотых. Значения длин сторон округлите до десятых.)

Решение:

Имеем:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
Ответ: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Отметим, что эту задачу можно было решить и другим способом: например, найти гипотенузу, используя теорему Пифагора.

Пример №2

Решите прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе:

a = 26 см, с = 34 см.

Решение:

Имеем: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Вычисляем угол Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления с помощью микрокалькулятора: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Тогда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
Ответ: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Пример №3

Высота AD треугольника АВС (рис. 186) делит его сторону ВС на отрезки BD и CD такие, что Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияНайдите стороны АВ и АС, если Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение:

Из треугольника Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления получаем:
Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Из треугольника Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления получаем:Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
Ответ: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Пример №4

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна b, угол при основании равен Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

В треугольнике АВС (рис. 187) Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Проведем высоту BD.

Из треугольника Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления получаем: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Следовательно, точка О принадлежит высоте ВD и биссектрисе АО угла ВАС. Поскольку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления то вписанная окружность касается стороны АС в точке D. Таким образом, OD — радиус вписанной окружности. Отрезок АО — биссектриса угла BAD, поэтому
Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Из треугольника Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления получаем: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Ответ: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Напомню:

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

  • Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.
  • Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора

  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Синус острого угла прямоугольного треугольника

  • Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника

  • Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

  • Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

  • Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Тригонометрические формулы

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления – основное тригонометрическое тождество

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Соотношения между сторонами и значениями тригонометрических функций углов в прямоугольном треугольнике

  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катет>г.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому’ катету.
  • Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла.
  • Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.

Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника

Рассмотрим одну из важнейших теорем геометрии, которая показывает зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника.

Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На сегодняшний день известны более ста доказательств этой теоремы. Рассмотрим одно из них.

Доказательство:

Пусть Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления -данный прямоугольный треугольник, у которого Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 172). Докажем, что

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

1) Проведем высоту Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
2) По теореме о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике имеем:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

3) Сложим эти два равенства почленно. Учитывая, что Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления получим:

 Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

4) Следовательно, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления 

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Если в треугольнике Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления обозначить Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления(рис. 173), то теорему Пифагора можно записать формулой:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Таким образом, зная две стороны прямоугольного треугольника, с помощью теоремы Пифагора можно найти третью. В этом нам поможет следующая схема:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Пример №5

Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см. Найдите гипотенузу.

Решение:

Пусть Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления тогда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Ответ. 25 см.

Пример №6

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см, а один из катетов – 15 см. Найдите второй катет.

Решение:

Пусть Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления тогда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Ответ. 8 см.

Пример №7

Найдите диагональ квадрата, сторона которого равнаРешение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение:

Рассмотрим квадрат Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияу которого Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 174). Тогда

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Ответ. Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Пример №8

Найдите медиану равностороннего треугольника со стороной Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение:

Рассмотрим равносторонний треугольник Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления со стороной Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления– его медиана (рис. 175).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Так как Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления – медиана равностороннего треугольника, то она является и его высотой.

Из Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Тогда

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Ответ: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Пример №9

Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 22 см, а боковая сторона – 13 см. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Пусть Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления – данная трапеция, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 176).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

1) Проведем высоты Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

2) Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (по катету и гипотенузе), поэтому

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

3) Из Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления по теореме Пифагора имеем:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Ответ. 12 см.

Пример №10

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8 см, а второй на 2 см меньше гипотенузы. Найдите неизвестный катет треугольника.

Решение:

Пусть Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления см и Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления см- катеты треугольника, тогда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления см – его гипотенуза.

Так как по теореме Пифагора Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления получим уравнение: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления откуда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (см).

Следовательно, неизвестный катет равен 15 см.

Ответ. 15 см.

Верно и утверждение, обратное теореме Пифагора.

Теорема 2 (обратная теореме Пифагора). Если для треугольника Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления справедливо равенство Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления то угол Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления этого треугольника — прямой.

Доказательство:

Пусть в треугольнике Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Докажем, что Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 177).

Рассмотрим Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления у которого Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияТогда по теореме Пифагора Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления а следовательно, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Но Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления по условию, поэтому Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления то есть Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Таким образом, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (по трем сторонам), откуда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Так как Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычислениято треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным. Такой треугольник часто называют египетским, потому что о том, что он прямоугольный, было известно еще древним египтянам.

Тройку целых чисел, удовлетворяющую теореме Пифагора, называют пифагоровой тройкой чисел, а треугольник, стороны которого равны этим числам, – пифагоровым треугольником. Например, пифагоровой является не только тройка чисел 3, 4, 5, но и 7, 24, 25 или 9, 40, 41 и т. п.

Заметим, что из теоремы Пифагора и теоремы, ей обратной, следует, что

треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда квадрат наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

Пример №11

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами: 1) 6; 8; 10; 2) 5; 7; 9?

Решение:

1) Так как Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычислениято треугольник является прямоугольным.

2) Так как Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления то треугольник не является прямоугольным.

Ответ. 1) Да; 2) нет.

А еще раньше…

Теорема, названная в честь древнегреческого философа и математика Пифагора, была известна задолго до него. В текстах давних вавилонян о ней вспоминалось еще за 1200 лет до Пифагора. Скорее всего, доказывать эту теорему вавилоняне не умели, а зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника установили опытным путем. Также эта теорема была известна в Древнем Египте и Китае.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Считается, что Пифагор – первый, кто предложил строгое доказательство теоремы. Он сформулировал теорему так: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах». Именно в такой формулировке она и была доказана Пифагором.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Рисунок к этому доказательству еще называют «пифагоровыми штанами».

Зная, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, землемеры Древнего Египта использовали его для построения прямого угла. Бечевку делили узлами на 12 равных частей и соединяли ее концы. Потом веревку растягивали и с помощью колышков фиксировали на земле в виде треугольника со сторонами 3; 4; 5. В результате угол, противолежащий стороне, длина которой 5, был прямым.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Перпендикуляр и наклонная, их свойства

Пусть Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияперпендикуляр, проведенный из точки Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления к прямой Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 185). Точку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления называют основанием перпендикуляра Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияПусть Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления – произвольная точка прямой Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления отличающаяся от Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Отрезок Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления называют наклонной, проведенной из точки Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления к прямой Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления а точку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления основанием наклонной. Отрезок Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления называют проекцией наклонной Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления на прямую Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Рассмотрим свойства перпендикуляра и наклонной.

1. Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из этой точки к этой прямой.

Действительно, в прямоугольном треугольнике Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления -катет, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления – гипотенуза (рис. 185). Поэтому Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

2. Если две наклонные, проведенные к прямой из одной точки, равны, то равны и их проекции.

Пусть из точки Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления к прямой Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления проведены наклонные Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и перпендикуляр Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 186). Тогда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (по катету и гипотенузе), поэтому Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Верно и обратное утверждение.

3. Если проекции двух наклонных, проведенных из точки к прямой, равны, то равны и сами наклонные.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (по двум катетам), поэтому Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 186).

4. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большей является та, у которой больше проекция.

Пусть Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления – наклонные, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 187). Тогда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (из Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления), Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (из Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления). Но Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления поэтому Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления следовательно, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Свойство справедливо и в случае, когда точки Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления лежат на прямой по одну сторону от точки Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Верно и обратное утверждение.

5. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большая наклонная имеет большую проекцию.

Пусть Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления– наклонные, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 187).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Тогда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления(из Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления),

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (из Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления). Но Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления поэтому Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления следовательно, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Пример №12

Из точки к прямой проведены две наклонные. Длина одной из них равна 10 см, а ее проекции – 6 см. Найдите длину второй наклонной, если она образует с прямой угол 30°.

Решение:

Пусть на рисунке 187 Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

1) Из Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (см).

2) Из Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления по свойству катета, противолежащего углу 30°,

будем иметь: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Поэтому Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Ответ. 16 см.

Пример №13

Из точки Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления прямой проведены две наклонные, проекции которых равны 30 см и 9 см. Найдите длины наклонных, если их разность равна 9 см.

Решение:

Пусть на рисунке 187 Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияПо свойству 4: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Обозначим Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления см. Тогда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления см.

Из Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления поэтому Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Из Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления поэтому Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Левые части полученных равенств равны, следовательно, равны и правые их части.

Имеем уравнение: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления откуда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияСледовательно, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления см, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (см).

Ответ. 41 см, 50 см.

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления с прямым углом Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 190). Для острого угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления катет Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления является противолежащим катетом, а катет Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления – прилежащим катетом. Для острого угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления катет Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления является противолежащим, а катет Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления – прилежащим.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления обозначают так: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Следовательно,

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления обозначают так: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Следовательно,

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Так как катеты Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления меньше гипотенузы Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления то синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника меньше единицы.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления обозначают так: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Следовательно,

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления у которых Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 191). Тогда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (по острому углу). Поэтому Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления 

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Из этого следует, что Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и поэтому Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Аналогично Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления поэтому Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

поэтому Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Таким образом, приходим к выводу: синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла.

Из определений синуса, косинуса и тангенса угла получаем следующие соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

1. Катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
2. Гипотенуза равна катету, деленному на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

3. Катет, противолежащий углу Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления равен произведению второго катета на тангенс этого угла: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
4. Катет, прилежащий к углу Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления равен частному от деления другого катета на тангенс этого угла: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Значения Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления можно находить с помощью специальных таблиц, калькулятора или компьютера. Для вычислений используем клавиши калькулятора Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (на некоторых калькуляторах Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияПоследовательность вычислений у разных калькуляторов может быть разной. Поэтому советуем внимательно познакомиться с инструкцией к калькулятору.

Пример №14

В треугольнике Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияРешение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Найдите Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 190). Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления(см).

Ответ. 16 см.

Пример №15

В треугольнике Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияНайдите Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (с точностью до десятых сантиметра).

Решение:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 190). С помощью таблиц или калькулятора находим Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Следовательно, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Ответ. Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления 2,9 см.

С помощью таблиц, калькулятора или компьютера можно по данному значению Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления или Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления находить угол Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Для вычислений используем клавиши калькулятора Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Пример №16

В треугольнике Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления 

Найдите острые углы треугольника.

Решение:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 190). С помощью калькулятора находим значение угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления в градусах: 51,34019. Представим его в градусах и минутах (в некоторых калькуляторах это возможно сделать с помощью специальной клавиши): Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Тогда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Ответ. Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Найдем синус, косинус и тангенс углов 30° и 60°. Рассмотрим Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияу которого Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления(рис. 192).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Тогда по свойству катета, противолежащего углу 30°, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

По теореме Пифагора:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Тогда

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления то есть Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления то есть Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления то есть Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления то есть Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления то есть Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления то есть Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Найдем синус, косинус и тангенс угла 45°.

Рассмотрим Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления у которого Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 193). Тогда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления По теореме Пифагора:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Тогда

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления то есть Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления то есть Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления то есть Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Систематизируем полученные данные в таблицу:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Пример №17

Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, если основание равно 12 см, а угол при вершине треугольника равен 120°.

Решение:

Пусть Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления – данный треугольник, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 194).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Проведем к основанию Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления высоту Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления являющуюся также медианой и биссектрисой. Тогда

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Из Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

отсюда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (см). 

Ответ. Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления см. 

Вычисление прямоугольных треугольников

Решить треугольник – значит найти все неизвестные его стороны и углы по известным сторонам и углам.

Для того чтобы можно было решить прямоугольный треугольник, известными должны быть или две стороны треугольника или одна из сторон и один из острых углов треугольника.

Используя в прямоугольном треугольнике Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияобозначение Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 198) и соотношение между его сторонами и углами:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (теорема Пифагора);

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

можно решить любой прямоугольный треугольник.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Рассмотрим четыре вида задач на решение прямоугольных треугольников.

Образцы записи их решения в общем виде и примеры задач представлены в виде таблиц.

Решение прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

Пример:

Дано гипотенузу Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и острый угол Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления прямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника и его катеты.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников по катету и острому углу

Пример:

Дано катет Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и острый угол Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления прямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника, второй катет и гипотенузу.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников по двум катетам

Пример:

Дано катеты Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления прямоугольного треугольника. Найдите гипотенузу и острые углы треугольника.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Пример:

Дано катет Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и гипотенуза Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления прямоугольного треугольника. Найдите второй катет и острые углы треугольника.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Пример:

Найдите высоту дерева Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияоснование Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления которого является недоступным (рис. 199).

Решение:

Обозначим на прямой, проходящей через точку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления – основание дерева, точки Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и измеряем отрезок Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

1) В  Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

2) В  Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

3) Так как Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления имеем:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

откуда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Ответ. Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Определение прямоугольных треугольников

Из этой главы вы узнаете, как решать прямоугольные треугольники, т. е. находить их неизвестные стороны и углы по известным. Необходимые для этого теоретические знания можно почерпнуть из раздела математики, родственного как с геометрией, так и с алгеброй, — из тригонометрии. Собственно, само слово «тригонометрия» в переводе с греческого означает «измерение треугольников». Поэтому отношения сторон прямоугольного треугольника, с которыми вы познакомитесь далее, получили название тригонометрических функций.

Соотношения, которые будут применяться в этой главе, в полной мере можно считать проявлением подобия треугольников. Вообще, подобие треугольников, теорема Пифагора и площадь — это те три кита, на которых держится геометрия многоугольника. Именно исследование взаимосвязей между этими теоретическими фактами и составляет основное содержание курса геометрии в восьмом классе.

Синус, косинус и тангенс

Как уже было доказано, все прямоугольные треугольники, имеющие по равному острому углу, подобны. Свойство подобия обусловливает не только равенство отношений пропорциональных сторон этих треугольников, но и равенство отношений между катетами и гипотенузой каждого из этих треугольников. Именно эти отношения и будут предметом дальнейшего рассмотрения.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления гипотенузой Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и острым углом Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 168).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Определение

Синусом острого угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления прямоугольного треугольника (обозначается Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Косинусом острого угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления прямоугольного треугольника (обозначается Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Тангенсом острого угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления прямоугольного треугольника (обозначается Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияназывается отношение противолежащего катета к прилежащему:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Кроме синуса, косинуса и тангенса, рассматривают также котангенс острого угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления прямоугольного треугольника (обозначается Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления который равен отношению прилегающего катета к противолежащему:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Поскольку катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы, то синус и косинус острого угла меньше единицы.

Покажем, что значения тригонометрических функций зависят только от величины угла. Пусть прямоугольные треугольники Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления имеют равные острые углы Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 169).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Эти треугольники подобны, отсюда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления или по основному свойству пропорции, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Правая и левая части этого равенства по определению равны синусам острых углов Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления соответственно. Имеем: 

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

т.е. синус угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления не зависит от выбора треугольника. Аналогичные рассуждения можно провести и для других тригонометрических функций (сделайте это самостоятельно). Таким образом, тригонометрические функции острого угла зависят только от величины угла.

Имеет место еще один важный факт: если значения некоторой тригонометрической функции для острых углов Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления равны, то Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияИначе говоря, каждому значению тригонометрической функции соответствует единственный острый угол.

Пример №18

Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.

Решение:

Пусть в треугольнике Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияРешение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления(рис. 170).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Поскольку в треугольнике наименьший угол лежит против наименьшей стороны, то угол Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления — наименьший угол треугольника Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления По определению Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияРешение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Ответ: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Тригонометрические тождества

Выведем соотношения (тождества), которые выражают зависимость между тригонометрическими функциями одного угла.

Теорема (основное тригонометрическое тождество)

Для любого острого угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Доказательство:

 По определению синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника (см. рис. 168) имеем:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

По теореме Пифагора числитель этой дроби равен Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Следствие

Для любого острого углаРешение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Докажем еще несколько тригонометрических тождеств.

Непосредственно из определений синуса

sin a а b ас а и косинуса имеем: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления т.е. Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Аналогично доказывается, что Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Отсюда следует, что Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Пример №19

Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен 0,8.

Решение:

Пусть для острого угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Тогда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияРешение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Поскольку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Ответ: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Вычисление значений тригонометрических функций. Формулы дополнения

Тригонометрические тождества, которые мы рассмотрели, устанавливают взаимосвязь между разными тригонометрическими функциями одного угла. Попробуем установить связь между функциями двух острых углов прямоугольного треугольника.

Теорема (формулы дополнения)

Для любого острого угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Доказательство:

 Рассмотрим прямоугольный треугольник Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления с гипотенузой Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 172).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Если Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Выразив синусы и косинусы острых углов треугольника, получим:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Теорема доказана. 

Следствие

Для любого острого угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Заметим, что название «формулы дополнения», как и название «косинус», в котором префикс «ко» означает «дополнительный», объясняется тем, что косинус является синусом угла, который дополняет данный угол до Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияАналогично объясняется и название «котангенс».

Значения тригонометрических функций углов 30 45 60

Вычислим значения тригонометрических функций угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Для этого в равностороннем треугольнике Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления со стороной Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления проведем высоту Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления которая является также биссектрисой и медианой (рис. 173).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

В треугольнике Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и по теореме Пифагора Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Имеем:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
С помощью формул дополнения получаем значения тригонометрических функций угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Для вычисления значений тригонометрических функций угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления с катетами Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 174).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

По теореме Пифагора Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Имеем:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Представим значения тригонометрических функций углов Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления в виде таблицы.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Значения тригонометрических функций других углов можно вычислить с помощью калькулятора или специальных таблиц (см. Приложение 3).

Решение прямоугольных треугольников

Нахождение неизвестных сторон прямоугольного треугольника

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления  гипотенузой Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и острыми углами Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 175).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Зная градусную меру угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и длину любой из сторон треугольника, мы имеем возможность найти две другие его стороны. Правила нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника непосредственно следуют из определений тригонометрических функций и могут быть обобщены в виде справочной таблицы.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Заметим, что для нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника можно использовать и Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (соответствующие правила и формулы получите самостоятельно).

Запоминать содержание справочной таблицы не обязательно. Для нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника можно действовать по такому плану.

1. Выбрать формулу определения той тригонометрической функции данного угла, которая связывает искомую сторону с известной (этот этап можно выполнить устно).

2. Выразить из этой формулы искомую сторону.

3. Провести необходимые вычисления.

Пример №20

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 12 м найдите катет, прилежащий к углу Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение:

Пусть в прямоугольном треугольнике (см. рисунок) Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Найдем катет Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Поскольку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияРешение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Ответ: 6 м.

Примеры решения прямоугольных треугольников

Решить треугольник означает найти его неизвестные стороны и углы по известным сторонам и углам. Прямоугольный треугольник можно решить по стороне и острому углу или по двум сторонам. Рассмотрим примеры конкретных задач на решение прямоугольных треугольников, пользуясь обозначениями рисунка 175. При этом договоримся округлять значения тригонометрических функций до тысячных, длины сторон — до сотых, а градусные меры углов — до единиц.

Пример №21

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и острому углу Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (см. рисунок).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение:

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления 

Поскольку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

т.е. Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Поскольку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

т.е. Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Пример №22

Решите прямоугольный треугольник по катету Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и острому углу Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (см. рисунок).

Решение:

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления 

Поскольку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Поскольку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Пример №23

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и катету Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (см. рисунок).

Решение:

По теореме Пифагора Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияРешение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Поскольку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления откуда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Пример №24

Решите прямоугольный треугольник по катетам Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (см. рисунок).

Решение:

По теореме Пифагора Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Поскольку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления откуда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

На отдельных этапах решения задач 1—4 можно использовать другие способы. Но следует заметить, что в том случае, когда одна из двух сторон треугольника найдена приближенно, для более точного нахождения третьей стороны целесообразно использовать определения тригонометрических функций.

Рассмотрим примеры применения решения треугольников в практических задачах.

Пример №25

Найдите высоту данного предмета (рис. 176).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение:

На определенном расстоянии от данного предмета выберем точку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и измерим угол Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Поскольку в прямоугольном треугольнике Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Для определения высоты предмета необходимо прибавить к Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления высоту Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления прибора, с помощью которого измерялся угол. Следовательно, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Пример №26

Насыпь шоссейной дороги имеет ширину 60 м в верхней части и 68 м в нижней. Найдите высоту насыпи, если углы наклона откосов к горизонту равны Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение:

Рассмотрим равнобедренную трапецию Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 177), в которой Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияРешение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Проведем высоты Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Поскольку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (докажите это самостоятельно), то Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления В треугольнике Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Поскольку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

т.е. Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Ответ: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Итоги главы IV

Синусом острого угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: 

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Косинусом острого угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления называется отношение прилежащего катета

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Тангенсом острого угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления называется отношение противолежащего катета к прилежащему: 

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Котангенсом острого угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Тригонометрические тождества

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Историческая справка

Умение решать треугольники необходимо при рассмотрении многих практических задач, возникающих в связи с потребностями географии, астрономии, навигации. Поэтому элементы тригонометрии появились еще в Древнем Вавилоне в период интенсивного развития астрономии. В работе греческого ученого Птолемея «Альмагест» (II в. н. где изложена античная система мира, содержатся элементы сферической тригонометрии.

В Древней Греции вместо синуса угла Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления рассматривали длину хорды, соответствующей центральному углу Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Действительно, если радиус окружности равен единице, то Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления измеряется половиной такой хорды (проверьте это самостоятельно). Первые тригонометрические таблицы были составлены Гиппархом во II в. н.э.

Синус и косинус как вспомогательные величины использовались индийскими математиками в V в., а тангенс и котангенс впервые появились в работах арабского математика X в. Абу-аль-Вефы.

Как отдельный раздел математики тригонометрия выделилась в произведениях персидского ученого Насреддина Туси (1201-1274), а системное изложение тригонометрии первым из европейцев представил немецкий математик и механик Иоганн Мюллер (1436-1476), более известный под псевдонимом Региомонтан.

Современную форму изложения и современную символику тригонометрия приобрела благодаря Леонарду Эйлеру в XVIII в. Кроме известных вам четырех тригонометрических  функций иногда рассматриваются еще две:

секанс Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

и косеканс Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Приложения

Обобщенная теорема Фалеса и площадь прямоугольника

В ходе доказательства некоторых геометрических теорем используется процедура деления отрезка на некоторое количество равных частей. Это позволяет дать числовые оценки в виде неравенств и с их помощью получить противоречие.

В курсе геометрии 8 класса такой подход целесообразно применить для доказательства двух приведенных ниже теорем.

Теорема (обобщенная теорема Фалеса)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки.

Доказательство:

 По данным рисунка 180 докажем три формулы:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияРешение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Докажем сначала формулу 1. Пусть отрезок Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления можно разделить на Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления равных отрезков так, что одна из точек деления совпадет с точкой Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления причем на отрезке Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления будут лежать Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления точек деления. Тогда, проведя через точки деления прямые, параллельные Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления по теореме Фалеса получим деление отрезков Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления соответственно наРешение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления равных отрезков. Следовательно, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления что и требовалось доказать.

Если описанное деление отрезка Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления невозможно, то докажем формулу 1 от противного. Пусть Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Рассмотрим случай, когда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (другой случай рассмотрите самостоятельно).

Отложим на отрезке Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления отрезок Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 181).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Разобьем отрезок Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления на такое количество равных отрезков чтобы одна из точек деления Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления попала на отрезок Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Проведем через точки деления прямые, параллельные Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Пусть прямая,   проходящая через точку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияпересекает луч Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления в точке Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Тогда по доказанному Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Учитывая, что в этой пропорции Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления имеем: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Это неравенство противоречит выбору длины отрезка Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Следовательно, формула 1 доказана полностью.

Докажем формулы 2 и 3. Пользуясь обозначениями рисунка 180,
по формуле 1 имеем Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Разделив в каждом из этих равенств числитель на знаменатель, получим: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Откуда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Таким образом, доказано, что Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления т.е. формулы 2 и 3 выполняются.

Теорема доказана полностью. 

Из курса математики 5 класса известно, что площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон. Так, на рисунке 182 дан прямоугольник Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления который делится на 15 квадратов площадью 1. Следовательно, по аксиомам площади, его площадь равна 15 кв. ед., то есть Рис- 182. Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления кв. ед.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Таким способом легко найти площадь прямоугольника, у которого длины сторон выражены любыми целыми числами. Но справедливость этой формулы при условии, что длины сторон прямоугольника не являются целыми числами,— совсем неочевидная теорема. Докажем ее.

Теорема (формула площади прямоугольника)

Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления — стороны прямоугольника.

Доказательство:

 Докажем сначала, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений.

Пусть прямоугольники Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления имеют общую сторону Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 183,
Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Разобьем сторону Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления равных частей. Пусть на отрезке Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления лежит Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления точек деления, причем точка деления Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления имеет номер Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления а точка Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления —номер Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Тогда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления откуда — Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Теперь проведем через точки деления прямые, параллельные Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Они разделят прямоугольник Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления равных прямоугольников (т. е. таких, которые совмещаются при наложении). Очевидно, что прямоугольник Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычислениясодержится внутри прямоугольника Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления а прямоугольник Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычислениясодержит прямоугольник Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Следовательно, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Имеем: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Сравнивая выражения для Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления убеждаемся, что оба эти отношения расположены между Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления т.е. отличаются не больше чем на Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления натуральное число). Докажем от противного, что эти отношения  равны.

Действительно, если это не так, т.е. Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления такое натуральное число Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления что Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Полученное противоречие доказывает, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений.

Рассмотрим теперь прямоугольники Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления со сторонами Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления со сторонами Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и 1 и квадрат Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления со стороной 1 (рис. 183, б).

Тогда по доказанному Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Поскольку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления кв. ед., то, перемножив полученные отношения, имеем Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Теорема доказана.

Золотое сечение

С давних времен люди старались познать мир путем поиска гармонии и совершенства. Одним из вопросов, которыми задавались еще древние греки, был поиск наилучшего соотношения неравных частей одного целого. Таким соотношением еще со времен Пифагора считали гармоническое деление, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому. Такое деление отрезка на части описано во II книге «Начал» Евклида и названо делением в среднем и крайнем отношении. Рассмотрим деление отрезка Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления точкой Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления при котором Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 184). Пусть длина отрезка Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления равна Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления а длина отрезка Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления равна Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Тогда

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Отсюда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Поскольку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления то геометрический смысл имеет только значение  Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Значит, если длина данного отрезка равна 1, то при делении в крайнем и среднем отношении его большая часть приблизительно равна 0,6. Полученное число обозначают греческой буквой Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Кроме того, часто рассматривают и отношение Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Заметим, что Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления — первая буква имени древнегреческого скульптора Фидия, который часто использовал такое деление в своем творчестве (в частности, в знаменитой статуе Зевса Олимпийского, которую считают одним из семи чудес света).

В эпоху Возрождения (XV—XVII вв.) интерес к гармоническому делению чрезвычайно возрос. Выдающийся ученый и художник Леонардо да Винчи (1452—1519) назвал такое деление золотым сечением, а его современник и соотечественник, итальянский монах-математик Лука Па-чоли (1445—1514) — божественной пропорцией. Золотое сечение и близкие к нему пропорциональные отношения составляли основу композиционного построения многих произведений мирового искусства, в частности архитектуры Античности и Возрождения. Одно из величайших сооружений Древней Эллады — Парфенон в Афинах (V в. до н. э.) — содержит в себе золотые пропорции (в частности, отношение высоты к длине этого сооружения равно Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Итак, дадим определение золотому сечению.

Определение:

Золотым сечением называется такое деление величины на две неравные части, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому.

Иначе говоря, золотое сечение — это деление величины в отношении Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (или Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Построить золотое сечение отрезка заданной длины Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления с помощью циркуля и линейки довольно просто: для этого достаточно построить прямоугольный треугольник с катетами Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и провести две дуги из вершин острых углов так, как показано на рисунке 185.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

По теореме о пропорциональности отрезков секущей и касательной Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Поскольку по построению Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления по определению золотого сечения. Следовательно, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Убедиться в правильности построения можно также с помощью теоремы Пифагора (сделайте это самостоятельно.)

С золотым сечением связывают геометрические фигуры, при построении которых используются отношения Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Рассмотрим некоторые из них.

Равнобедренный треугольник называется золотым, если две его стороны относятся в золотом сечении. Докажем, что треугольник с углами Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления(рис. 186, а) является золотым. Действительно, пусть в треугольнике  Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления биссектриса. Тогда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления по двум углам. Следовательно, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления т. е. треугольник Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления — золотой.

И наоборот: если в равнобедренном треугольнике Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления то такой треугольник подобен треугольнику Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления т. е. имеет углы Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Предлагаем самостоятельно убедиться в том, что золотым является также треугольник с углами Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 186, б) и других золотых треугольников не существует.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Золотые треугольники связаны с правильным пятиугольником (т.е. выпуклым пятиугольником, у которого все стороны равны и все углы равны).

В правильном пятиугольнике:

1) диагональ относится к стороне в золотом сечении;

2) точка пересечения диагоналей делит каждую из них в золотом сечении;

3) диагональ делит другую диагональ на два отрезка, один из которых делится в золотом сечении еще одной диагональю.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Согласно обозначениям рисунка 187 это означает, что Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Для доказательства этих свойств достаточно заметить, что в правильном пятиугольнике все углы равны Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияследовательно, треугольники Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления являются золотыми. Подробные доказательства предлагаем провести самостоятельно.

Диагонали правильного пятиугольника образуют звезду, которая в древние времена олицетворяла совершенство и имела мистическое значение. Пифагорейцы называли ее пентаграммой и избрали символом своей научной школы. В наши дни пятиконечная звезда — самая распространенная геометрическая фигура на флагах и гербах многих стран (приведите соответствующие примеры из истории и географии).

Прямоугольник называется золотым, если его стороны относятся в золотом сечении. Для построения золотого прямоугольника произвольный квадрат перегибаем пополам (рис. 188, а), проводим диагональ одного из полученных прямоугольников (рис. 188, б) и радиусом, равным этой диагонали, проводим дугу окружности с центром Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 188, в). Полученный прямоугольник Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления — золотой (убедитесь в этом самостоятельно).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то оставшийся прямоугольник также будет золотым. Действительно, на рисунке 189, а имеем Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления тогда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Неограниченно продолжая этот процесс (рис. 189, б), можно получить так называемые вращающиеся квадраты, и весь данный прямоугольник будет составлен из таких квадратов.Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Через противолежащие вершины квадратов проходит так называемая золотая спираль, которая часто встречается в природе. Например, по принципу золотой спирали располагаются семена в подсолнечнике; по золотой спирали закручены раковины улиток, рога архаров, паутина отдельных видов пауков и даже наша Солнечная система, как и некоторые другие галактики.

Отметим также, что золотое сечение имеет немало алгебраических свойств. Отношение Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления приближенно может быть выражено дробями Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления так называемые числа Фибоначчи. Приведем без доказательства две алгебраические формулы, связанные с числами Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Золотое сечение, золотые многоугольники и золотая спираль являются математическими воплощениями идеальных пропорций в природе. Недаром великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал их математическими символами жизни и духовного развития.
Приложение 3. Таблица значений тригонометрических функций

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Значение тригонометрических функций острых углов можно приближенно определять с помощью специальных таблиц. Одна из таких таблиц представлена выше.

Таблица составлена с учетом формул дополнения. В двух крайних столбцах указаны градусные меры углов (в левом — от Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления в правом — от Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Между этими столбцами содержатся четыре столбца значений тригонометрических функций:

1-й    — синусы углов от Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (или косинусы углов от Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

2-й    — тангенсы углов от Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (или котангенсы углов от Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

3-й    — котангенсы углов от Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (или тангенсы углов от Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

4-й    — косинусы углов от Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (или синусы углов от Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Рассмотрим несколько примеров применения данной таблицы. 1) Определим Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Поскольку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления найдем в крайнем левом столбце значение 25 и рассмотрим соответствующую строку первого столбца значений. Углу Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления в ней соответствует число 0,423. Следовательно, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

2) Определим Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Поскольку 45° < 72° <90°, найдем в крайнем правом столбце значение 72 и рассмотрим соответствующую строку четвертого столбца значений. Углу Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления в нем соответствует число 0,951. Следовательно, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

3) Определим угол, синус которого равен 0,839. Для этого в первом или четвертом столбце значений найдем число 0,839. Оно содержится в четвертом столбце, т. е. искомый угол больше Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и меньше Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления В соответствующей строке правого столбца значений находим число 57. Следовательно, искомый угол приблизительно равен Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

4) Определим Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Поскольку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления найдем в крайнем левом столбце значений 14 и рассмотрим соответствующую строку четвертого столбца значений. Углу Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления в нем соответствует число 0,970. Следовательно, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

5) Определим угол, тангенс которого равен 0,7. Для этого во втором или третьем столбце значений найдем число 0,700. Оно находится во втором столбце, т.е. искомый угол меньше Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления В соответствующей строке левого столбца значений находим число 35. Следовательно, искомый угол приблизительно равен Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

С большей точностью значения тригонометрических функций можно определять по «Четырехзначным математическим таблицам» В. М. Брадиса или с помощью калькулятора.

Теорема Пифагора. Перпендикуляр и наклонная с решением

Докажем теорему, открытие которой связано с именем древнегреческого учёного Пифагора (VI в. до н. э.).

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано:

∆АВС, ےC = 90° (рис. 412).

Доказать: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Доказательство. Проведём из вершины прямого угла С высоту CD. Каждый катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. Поэтому Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления. Сложив равенства почленно и зная, что AD+ DB= АВ, получим: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления. Следовательно, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Если а и b — катеты прямоугольного треугольника, с – его гипотенуза, то из формулы Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления получим следующие формулы:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Используя эти формулы, по двум любым сторонам прямоугольного треугольника находим его третью сторону (табл. 28).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Например:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Справедлива и теорема, обратная теореме Пифагора: если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник – прямоугольный.

Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см – прямоугольный, поскольку Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления. Такой треугольник иногда называют египетским.

Пример №27

Сторона ромба равна 10 см, а одна из его диагоналей — 16 см. Найдите другую диагональ ромба.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение:

Пусть ABCD— ромб (рис. 413), АС= 16см,AD = 10см. Найдём диагональ BD. Как известно, диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Поэтому ∆AOD — прямоугольный (ے0= 90°). АС 16

В нём: катет Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычислениягипотенуза AD= 10 см.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Для того чтобы найти определённый элемент фигуры (сторону, высоту, диагональ), выделите на рисунке прямоугольный треугольник, воспользовавшись свойствами фигуры, и примените теорему Пифагора.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияРешение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Пусть ВС – перпендикуляр, проведённый из точки В на прямую а (рис. 414). Возьмём произвольную точку А на прямой а, отличную от точки С, и соединим точки А и В. Отрезок АВ называется наклонной, проведённой из точки В на прямую а. Точка А называется основанием наклонной, а отрезок АС – проекцией наклонной.

Наклонные имеют следующие свойства. Если из данной точки к прямой провести перпендикуляр и наклонные, то:

  1. любая наклонная больше перпендикуляра;
  2. равные наклонные имеют равные проекции;
  3. из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Покажем, что свойства наклонных следуют из теоремы Пифагора.

  1. По теореме Пифагора, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 415), тогда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления или АВ > ВС.
  2. Из прямоугольных треугольников ABD и CBD (рис. 416) имеем:
  3. Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияПоскольку в этих равенствах АВ = ВС (по условию), то AD = DC.
  4. Из прямоугольных треугольников ABD и CBD (рис. 417) имеем: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления. В этих равенствах AD > DC. Тогда АВ > ВС.

Пример №28

Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых равны 5 см и 9 см. Найдите наклонные, если одна из них на 2 см больше другой.

Решение:

Пусть AD = 5 см, DC = 9 см (рис. 418). Поскольку AD < DC, то, по свойству трёх наклонных, АВ < ВС. Обозначим АВ через х, тогда ВС = х + 2. Из прямоугольных треугольников ABD и CBD находим Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления. Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Приравниваем правые части равенств и получаем: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Отсюда 4х=52, х= 13см. Следовательно, АВ= 13см, ВС=х+2= 15(см).

Если в условии задачи даны две наклонные, проведённые из одной точки к прямой, то рассматриваем два прямоугольных треугольника, общим катетом которых является перпендикуляр, проведённый из общей точки к этой прямой.

Теорема Пифагора — одна из наиболее значимых теорем математики. На протяжении многих столетий она являлась толчком для важнейших математических исследований. Предлагаем вам несколько интересных фактов, связанных с этой теоремой и её автором.

Пифагор (570 — 496 гг. до н. э.) родился на острове Самос (южная часть Эгейского моря). Длительное время изучал математику в Египте и Вавилоне. В г. Кротоне, на юге Италии, основал научную школу — так называемый пифагорейский союз. Пифагор и его ученики занимались математикой, философией, астрономией и теорией музыки. Вследствие противоречий и противодействия со стороны общества здание школы было разгромлено, а сам Пифагор убит. Среди важнейших достижений пифагорейцев — теорема, которую называют теоремой Пифагора, и её доказательство. (Ныне установлено, что эта теорема была известна за 1500 лет до Пифагора в древнем Вавилоне.) Теорема формулируется так: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах (рис. 419).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Доказательством теоремы Пифагора занимались многие математики на протяжении столетий. Известно более 150 доказательств этой теоремы. Так, индийский математик Бхаскара (XII в.) предложил такую фигуру, как на рисунке 420, без каких-либо объяснений. Под рисунком лишь одно слово — «смотри». Попытайтесь объяснить справедливость теоремы по этому рисунку. Теорема Пифагора допускает интересные обобщения. Одно из них: если на сторонах прямоугольного треугольника построить произвольные, подобные между собой фигуры, то справедливо равенство Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления~ площади построенных фигур.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

С теоремой Пифагора связаны школьные шутки: рисунок к теореме для случая равнобедренного прямоугольного треугольника ученики называли «пифагоровы штаны» (рис. 422), а также изображали в виде смешных фигурок (рис. 423 и 424).

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Пусть ABC – прямоугольный треугольник с катетами ВС = а, АС = by гипотенузой АВ = с и ےA = a (рис. 441). Вы знаете, что катет а – противолежащий углу а, катет b – прилежащий к углу a. Отношение каждого катета к гипотенузе, а также катета к катету имеют специальные обозначения:

  • – отношение Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления обозначают sin а и читают «синус альфа»;
  • – отношение Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления обозначают cos а и читают «косинус альфа»;
  • – отношение Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления обозначают tg а и читают «тангенс альфа».

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Сформулируем определения sin a, cos а и tg а.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Отношение сторон прямоугольного треугольника и их обозначения указаны в Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Зависят ли синус, косинус и тангенс острого угла от размеров треугольника?

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Нет, не зависят. Итак, пусть ABC и Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления -два прямоугольных треугольника, в которых Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 442). Тогда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления по двум углам (Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления). Соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Из этих равенств следует:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Следовательно, в прямоугольных треугольниках с одним и тем же острым углом синусы этого утла равны, косинусы и тангенсы – равны. Если градусную меру угла изменить, то изменится и соотношение сторон прямоугольного треугольника. Это означает, что синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла и не зависят от размеров треугольника.

По исходному значению sin A, cos А или tg А можно построить угол А.

Пример №29

Постройте угол, синус которого равен Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления.

Решение:

Выбираем некоторый единичный отрезок (1 мм, 1 см, 1 дм). Строим прямоугольный треугольник, катет ВС которого равен двум единичным отрезкам, а гипотенуза АВ — трём (рис. 443). Угол А, лежащий против катета ВС, — искомый, поскольку sin А = Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

В прямоугольном треугольнике любой из двух катетов меньше гипотенузы. Поэтому sin а < 1 и cos а < 1 для любого острого угла а. Поскольку один катет может быть и больше, и меньше другого катета, и быть равный ему, то tg а может быть и больше 1, и меньше 1, и быть равным 1.

1. Кроме косинуса, синуса и тангенса угла а есть ещё одно соотношение сторон прямоугольного треугольника, имеющее особое название — котангенс. Это отношение катета b, прилежащего к углу а, к противолежащему катету а (рис. 444). Обозначается: ctg а. СледовательноРешение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

2. Индийский математик Ариабхата (V в.) отношение противолежащего катета к гипотенузе назвал ordhajyo — ардхажиа (полухорда), в переводе — тетива лука. В XII в. европейские учёные перевели это название на латинский язык как sinus — синус. Слово cosinus— косинус состоит из двух слов: complement — дополнение и sinus — синус, то есть дополнительный синус. Почему — узнаете из § 23 этой главы. Арабские астрономы-математики аль-Баттани (858 — 929 гг.) и Абу-ль-Вефа (940 — 998 гг.) определили понятие тангенса, измеряя угловую высоту Солнца по тени от жерди. Поэтому отношение катета, противолежащего углу а, к прилежащему катету они называли словом «тень». Позднее, в XVI в., это отношение получило название «тангенс», что в переводе с латинского означает «касательная». Знаки «sin», «cos», «tg» ввёл Леонард Эйлер в XVIII веке.

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Вы знаете, что Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления(рис. 451). Отсюда: 1) а=с sina, 2) b=c cosa, 3) a=b tga.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Эти равенства формулируются следующим образом.

  1. Катет, противолежащий углу а, равен произведению гипотенузы на sin a.
  2. Катет, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы на cos a.
  3. Катет, противолежащий углу а, равен произведению другого катета на tg a.

Из равенств 1) и 2) можно найти гипотенузу с прямоугольного треугольника по катету а или b и острому углу Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Из равенства 3) можно найти катет b по прилежащему к нему углу а и катету а: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Для того чтобы найти по одной из сторон прямоугольного треугольника и острому углу две другие его стороны, используйте равенства 1) — 6) (табл.33). Таблица 3 3 Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Пример №30

Найдите основание равнобедренного треугольника с боковой стороной о и углом а при основании.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение:

Пусть ABC— равнобедренный треугольник с боковой стороной ВС = а и ےC = а (рис. 452). Проведём высоту BD. В прямоугольном треугольнике DBCкатет DC, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы а на cos a: DC = a cos а. Поскольку высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является медианой, то DC = AD. Тогда основание АС = 2 DC =2 a cos а.

В этой главе вы ознакомились с новыми приёмами вычисления длин сторон и градусных мер углов прямоугольного треугольника. Может возникнуть вопрос: Какова необходимость использования этих приёмов? Вы знаете, что в древности расстояния и углы сначала измеряли непосредственно инструментами. Например, транспортиром пользовались вавилоняне ещё за 2 ООО лет до н. э.

Но на практике непосредственно измерять расстояния и углы не всегда возможно. Как вычислить расстояние между двумя пунктами, которые разделяет препятствие (река, озеро, лес), расстояние до Солнца, Луны, как измерить высоту дерева, горы, как найти угол подъёма дороги либо угол при спуске с горы? Поэтому были открыты приёмы опосредствованного измерения расстояний и углов. При этом использовали равные либо подобные треугольники и геометрические построения. Строили на местности вспомогательный треугольник и измеряли необходимые его элементы.

Итак, вы знаете, как определить расстояние между пунктами А и В, разделёнными препятствием (рис. 453). Для этого строим ∆COD = ∆АОВ и вместо искомого расстояния Ив измеряем равное ему расстояние CD.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Но при использовании этих приёмов получали недостаточно точные результаты, особенно при измерении значительных расстояний на местности. Кроме того, без угломерных инструментов нельзя найти градусные меры углов по длинам тех или других отрезков. Поэтому возникла необходимость в таких приёмах, когда непосредственные измерения сводились к минимуму, а результаты получали преимущественно вычислением элементов прямоугольного треугольника. В основе таких приёмов лежит использование cos а, sin а и tg а. Накопление вычислительных приёмов решения задач обусловило создание нового раздела математики, который в XVI в. назвали тригонометрией. Слово «тригонометрия» происходит от греческих слов trigonon — треугольник и metreo — измеряю. Греческих математиков Гиппарха (II в. до н. э.) и Птолемея (II в.) считают первыми, кто использовал тригонометрические приёмы для решения разных задач. В дальнейшем их усовершенствовали индийский математик Брамагупта (VI в.), узбекские математики аль-Каши и Улугбек (XII в.). В работах академика Леонарда Эйлера (XVIII в.) тригонометрия приобретает тот вид, который в основном имеет и в наше время.

Вычисление значений sin a, cos а и tg а

ЕЭ| Пусть в прямоугольном треугольнике ABC ZA = а, тогда ZB – 90° – а (рис. 467). Из определения синуса и косинуса следует:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Сравнивая эти два столбца, находим: sin а = cos (90° – а), cos а = sin (90° – а).

Как видим, между синусом и косинусом углов а и 90° – а, которые дополняют друг друга до 90°, существует зависимость: синус одного из этих углов равен косинусу другого.

Например: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияРешение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Найдём значения синуса, косинуса и тангенса для углов 45°, 30°, 60°. 1) Для угла 45°. Пусть ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой С и ےA = 45° (рис. 468). Тогда ےB = 45°. Следовательно, ∆ABC – равнобедренный. Пусть АС = ВС = а. Согласно теореме Пифагора,

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

2) Для углов 30° и 60°.

Пусть ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой с и ےA = 30″ (рис. 469). Найдём катеты АС и ВС.

ВС = Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления как катет, лежащий против угла 30°.

Согласно теореме Пифагора, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

ТогдаРешение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Если в прямоугольном треугольнике ABC ےA = 30° (рис. 469),

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Составим таблицу 35 значений синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°

Таблица 35 Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Из таблицы видно, что при увеличении угла синус и тангенс острого угла возрастают, а косинус — уменьшается. При уменьшении угла синус и тангенс острого угла уменьшаются, а косинус – увеличивается. Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Пример №31

Сторона ромба равна 6 см, а один из его углов Найдите высоту ромба.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение:

Пусть ABCD — ромб (рис. 470), в котором АВ = 6 см, ےА = 60°. Проведём высоту ВМ. Из прямоугольного треугольника АВМ: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Как вычислить значения синусов, косинусов и тангенсов углов, отличных от 30°, 45°, 60°?

При помощи инженерных калькуляторов (или программы «калькулятор» компьютера) либо специальных таблиц можно решить две задачи:

1) для заданного угла а найти sin a, cos а, tg а;

2) по заданному значению sin a, cos а, tg а найти угол а.

Если вы используете калькулятор, а угол указан в градусах и минутах, то минуты переведите в десятые доли градуса (разделите их на 60). Например, для угла 55°42° получите 55,7°. Если, например, для cos Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления 0,8796 нашли Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления28,40585° то доли градуса переведите в минуты (умножьте дробную часть на 60). Округлив, получите: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления 28°24°.

Значение sin a, cos а, tg а находим по таблицам.

Таблица синусов и косинусов (см. приложение 1) состоит из четырёх столбцов. В первом столбце слева указаны градусы от 0° до 45°, а в четвёртом – от 90° до 45°. Над вторым и третьим столбцами указаны названия «синусы» и «косинусы», а в нижней части этих столбцов – «косинусы» и «синусы».

Верхние названия «синусы» и «косинусы» отображают значения углов, которые меньше 45°, а нижние – больше 45°. Например, по таблице находим: sin34° Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления 0,559, cos67°Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления 0,391, sin85° Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления 0,996 и т. д. По таблице можно найти угол а по заданному значению sin a, cos а. Например, нужно найти угол а, если sin Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления 0,615. В столбцах синусов находим число, приближённое к 0,615. Таким числом является 0,616. Следовательно, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления 38″.

Таблица тангенсов (см. приложение 2) состоит из двух столбцов: в одном указаны углы от 0° до 89°, в другом – значения тангенсов этих углов.

Например, tg 19° Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления0,344. Если tg Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления0,869, то Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления41°.

1. Вы уже знаете, что каждой градусной мере угла а прямоугольного треугольника соответствует единственное значение sin a, cos а, tg а. Поэтому синус, косинус и тангенс угла а являются функциями данного угла. Эти функции называются тригонометрическими функциями, аргумент которых изменяется от О° до 90°.

2. Уточним происхождение слова «косинус». Именно равенство cos а = sin (90° — а) явилось основой образования латинского слова cosinus — дополнительный синус, то есть синус угла, дополняющий заданный до 90°.

3. Первые таблицы синусов углов от 0° до 90° составил греческий математик Гиппарх (II в. до н. э.). Эти таблицы не сохранились. Нам известны только тригонометрические таблицы, помещённые в работе «Альмагест» александрийского учёного Клавдия Птолемея (II в.). Птолемей Также сохранились таблицы синусов и косинусов индийского учёного Ариаб-хаты (V в.), таблицы тангенсов арабских учёных аль-Баттани и Абу-ль-Вефа (X в.).

Как решать прямоугольные треугольники

Решить прямоугольный треугольник – это означает по заданным двум сторонам либо стороне и острому углу найти другие его стороны и острые углы.

Возможны следующие виды задач, в которых требуется решить прямоугольный треугольник по: 1) катетам; 2) гипотенузе и катету; 3) гипотенузе и острому углу; 4) катету и острому углу. Алгоритмы решения этих четырёх видов задач изложены в таблице 36.

Таблица 36

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Пример №32

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе с= 16 и углу а = 76°21′ (рис. 482).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение. Это задача третьего вида. Алгоритм её решения указан в таблице 38.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение многих прикладных задач основано на решении прямоугольных треугольников. Рассмотрим некоторые виды прикладных задач.

1. Задачи на нахождение высоты предмета, основание которого доступно.

Пример №33

Найдите высоту дерева (рис. 483).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение:

На некотором расстоянии MN= а от дерева устанавливаем угломерный прибор AM (например, теодолит) и находим угол а между горизонтальным направлением АС и направлением на верхнюю точку В дерева. Из прямоугольного треугольника ABC получим: ВС= a • tg а. С учётом высоты угломерного прибора AM= h имеем формулу для вычисления высоты дерева: BN= о • tg а + h.

Пусть результаты измерения следующие: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления.

Тогда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления(м).

2. Задачи на нахождение высоты предмета, основание которого недоступно.

Пример №34

Найдите высоту башни, которая отделена от вас рекой (рис. 484).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение:

На горизонтальной прямой, проходящей через основание башни (рис. 484), обозначим две точки М и N, измерим отрезок MN= а и углы Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления. Из прямоугольных треугольников ADC и BDC получим: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Почленно вычитаем полученные равенства: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Отсюда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Следовательно, Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Прибавив к DC высоту прибора AM= Н, которым измеряли углы, получим

формулу для вычисления высоты башни: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Пусть результаты измерения следующие: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Тогда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

3. Задачи на нахождение расстояния между двумя пунктами, которые разделяет препятствие.

Пример №35

Найдите расстояние между пунктами А и В, разделёнными рекой (рис. 485).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение:

Провешиваем прямую Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления и отмечаем на ней точку С. Измеряем расстояние АС= а и угол а. Из прямоугольного треугольника ABC получим формулу АВ= a- tg а для определения расстояния между пунктами А и В. Пусть результаты измерения следующие: Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Тогда АВ = Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

4. Задачи на нахождение углов (угла подъёма дороги; угла уклона; угла, под которым виден некоторый предмет, и т. д.).

Пример №36

Найдите угол подъёма шоссе, если на расстоянии 200 м высота подъёма составляет 8 м.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Решение:

На рисунке 486 угол a — это угол подъёма дороги, АС— горизонтальная прямая. Проведём Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления, тогда ВС- высота подъёма дороги. По условию, АВ = 200 м, ВС = 8 м. Угол a найдём из прямоугольного треугольника Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления Тогда Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

У вас может возникнуть вопрос: Почему в геометрии особое внимание уделяется прямоугольному треугольнику, хотя не часто встречаются предметы подобной формы?

Итак, поразмышляем. Как в химии изучают вначале элементы, а затем — их соединения, в биологии — одноклеточные, а потом — многоклеточные организмы, так и в геометрии изучают сначала простые геометрические фигуры — точки, отрезки и треугольники, из которых состоят другие геометрические фигуры. Среди этих фигур прямоугольный треугольник играет особую роль. Действительно, любой многоугольник можно разбить на треугольники (рис. 487).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияРешение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Умея находить угловые и линейные элементы этих треугольников, можно найти все элементы многоугольника. В свою очередь, любой треугольник можно разбить одной из его высот на два прямоугольных треугольника, элементы которых связаны более простой зависимостью (рис. 488). Найти элементы треугольника можно, если свести задачу к решению этих двух прямоугольных треугольников. Проиллюстрируем это на примере.

Пример №37

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления (рис. 489). Найдите ےB, ےC и сторону а.

Решение:

Проведём высоту BD. Точка D будет лежать между точками А и С, поскольку ےA — острый и b> с.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Из прямоугольного треугольника ABD:

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Из прямоугольного треугольника Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Из прямоугольного треугольника BDC:Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисленияРешение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

  • Параллелограмм
  • Теорема синусов и  теорема косинусов
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников

Прямоугольный треугольник

Прямоуго́льный треуго́льник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть 90 градусов).

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника лежат в основе тригонометрии.

Связанные определения[править | править код]

  • Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой (сторона c на рисунке выше).
  • Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами. Сторона a может быть идентифицирована как прилежащая к углу В и противолежащая углу A, а сторона b — как прилежащая к углу A и противолежащая углу В.

Типы прямоугольных треугольников[править | править код]

  • Если катеты равны, то треугольник называется равнобедренным прямоугольным треугольником.
  • Если длины всех трёх сторон прямоугольного треугольника являются натуральными числами, то треугольник называется пифагоровым треугольником, а длины его сторон образуют так называемую пифагорову тройку.

Признаки равенства прямоугольных треугольников[править | править код]

  • По двум катетам: если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
    Этот признак немедленно следует из первого признака равенства треугольников, так как у двух треугольников будут равны по два катета и прямой угол.
  • По катету и прилежащему острому углу: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны
    Этот признак немедленно следует из второго признака равенства треугольников, так как у двух треугольников будут равен один катет, прилежащий к нему угол и прямой угол.
  • По гипотенузе и острому углу: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
    Этот признак следует из второго признака равенства треугольников, так как вторые острые углы будут равны по теореме о сумме углов треугольника и у треугольников будут равны гипотенузы и два прилежащих к ней угла.
  • По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
    Этот признак докажем так. Наложим два треугольника друг на друга так, чтобы получить равнобедренный треугольник, то есть совместим их равными катетами так, чтобы углы, лежащие при этих катетах, лежали в разных плоскостях. Так как гипотенузы равны, получившийся треугольник — равнобедренный, тогда углы при основании равны. Тогда два прямоугольных треугольника будут равны по гипотенузе и острому углу.
  • По катету и противолежащему острому углу: если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
    Этот признак доказывается так: если один из острых углов первого треугольника равен острому углу второго треугольника, то второй острый угол будет известен по теореме о сумме углов треугольника. Так как второй острый угол прилегает к катету, то далее равенство треугольников будет доказываться по предыдущей теореме.

Свойства[править | править код]

Далее предполагаем, что a и b длины катетов, а c длина гипотенузы

  • (Теорема Пифагора)
    c^{2}=a^{2}+b^{2}
  • Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух его катетов. То есть,
    S={tfrac {1}{2}}ab.

Высота[править | править код]

Высота прямоугольного треугольника.

Если высота проведена к гипотенузе, то треугольник делится на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу. Из этого следует, что в обозначениях, показанных на диаграмме:[1]

  • Высота есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) двух образованных ею сегментов гипотенузы, то есть
displaystyle f^{2}=de, (иногда это называют теоремой высоты прямоугольного треугольника)
  • Каждый катет треугольника есть среднее геометрическое гипотенузы и проекции катета на гипотенузу, то есть
displaystyle b^{2}=ce,
displaystyle a^{2}=cd
  • В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу в таком отношении, в каком находятся квадраты прилежащих катетов, то есть
displaystyle d:e=a^{2}:b^{2},

Кроме того, высота, опущенная на гипотенузу, связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением:[2][3]

{displaystyle {dfrac {1}{a^{2}}}+{frac {1}{b^{2}}}={dfrac {1}{f^{2}}}.}

и

{displaystyle f={dfrac {ab}{c}}.}

Также если прямоугольный треугольник является равнобедренным, то высота, опущенная на гипотенузу будет равна:

f=rdelta _{S} =r(1+{sqrt {2}}), где r — это радиус вписанной окружности, а delta _{S} — серебряное сечение.

Характеристики[править | править код]

Треугольник ABC со сторонами a, b, c (где c — самая длинная сторона), с описанной окружностью радиуса R является прямоугольным треугольником тогда и только тогда, когда верно любое из следующих соотношений:[4]

Тригонометрические соотношения[править | править код]

Тригонометрические функции для острых углов можно определить как отношения сторон прямоугольного треугольника. Для любого данного угла можно построить прямоугольный треугольник, содержащий такой угол, и со сторонами: противолежащим катетом, прилежащим катетом и гипотенузой, связанными с этим углом определёнными выше соотношениями. Эти отношения сторон не зависят от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, а зависят только от заданного угла, так как все треугольники, построенные таким образом, являются подобными. Если для заданного угла α, противолежащий катет, прилежащий катет и гипотенузу обозначить a, b и c соответственно, то тригонометрические функции имеют вид:

sin alpha ={frac {a}{c}},,cos alpha ={frac {b}{c}},,operatorname {tg} alpha ={frac {a}{b}},,operatorname {ctg} alpha ={frac {b}{a}},sec alpha ={frac {c}{b}},,,csc alpha ={frac {c}{a}}.

И таким образом:

  • Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла
a=ccdot sin alpha ,,b=ccdot sin beta .
  • Катет, прилежащий углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла
a=ccdot cos beta ,,b=ccdot cos alpha .
  • Катет, противолежащий углу, равен произведению второго катета на тангенс угла
a=bcdot operatorname {tg} alpha ,,b=acdot operatorname {tg} beta .
  • Катет, прилежащий углу, равен произведению второго катета на котангенс угла
a=bcdot operatorname {ctg} beta ,,b=acdot operatorname {ctg} alpha .
  • Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, и/или частному отношению катета и косинуса прилежащего угла (угла между ними)
c={frac {a}{sin alpha }}={frac {b}{sin beta }}={frac {a}{cos beta }}={frac {b}{cos alpha }}.

Специальные прямоугольные треугольники[править | править код]

Значения тригонометрических функций можно точно оценить для определённых углов, используя прямоугольные треугольники с особыми значениями углов. К таким треугольникам относятся треугольник 30-60-90, который можно использовать для оценки тригонометрических функций для любых значений, кратных π/6, и треугольник 45-45-90 (равнобедренный прямоугольный), который можно использовать для оценки тригонометрических функций для значений, кратных π/4.
В частности,

  • Катет, лежащий против острого угла в 30° (и соответственно, прилежащий к углу в 60°), равен половине гипотенузы.

Теорема Фалеса[править | править код]

Медиана прямого угла треугольника

Теорема Фалеса утверждает, что если какая-нибудь точка A лежит на окружности диаметра BC (за исключением самих точек B и C), то △ABC представляет собой прямоугольный треугольник с прямым углом A. Обратное утверждение таково: если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то гипотенуза будет её диаметром. Следствием является то, что длина гипотенузы равна удвоенному расстоянию от вершины прямого угла до середины гипотенузы. Верно также, что центр окружности, описывающей прямоугольный треугольник, является серединой гипотенузы, а её радиус равен половине длины гипотенузы.

Другие свойства[править | править код]

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c равен:

r={frac {a+b-c}{2}}={frac {ab}{a+b+c}}.

Если отрезки длиной p и q, исходящие из вершины C, делят гипотенузу на три равных отрезка длины c/3, то:[5]:pp. 216-217

p^{2}+q^{2}=5left({frac {c}{3}}right)^{2}.

Прямоугольный треугольник является единственным треугольником с двумя, а не тремя, отличными друг от друга вписанными квадратами.[6]

Пусть h и s (h>s) являются сторонами двух квадратов, вписанных в прямоугольный треугольник с гипотенузой c. Тогда:

{frac {1}{c^{2}}}+{frac {1}{h^{2}}}={frac {1}{s^{2}}}.

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме двух радиусов вписанной и четырёх описанных окружностей:

{displaystyle P=2r+4R}

Если заданы S и r, то стороны треугольника находятся по формулам:

{displaystyle a={frac {1}{2}}left(r+{frac {S}{r}}-{sqrt {r^{2}-6S+{frac {S^{2}}{r^{2}}}}}right)}
{displaystyle b={frac {1}{2}}left(r+{frac {S}{r}}+{sqrt {r^{2}-6S+{frac {S^{2}}{r^{2}}}}}right)}
{displaystyle c={frac {S}{r}}-r}

Еще важное соотношение:

{displaystyle a={frac {l_{b}}{4c}},left({l_{b}+{sqrt {8,c^{2}+l_{b}^{2}}}}right),,,} , где {displaystyle l_{b},} – длина биссектрисы, исходящей из острого угла B, с – гипотенуза.

Во всех прямоугольных треугольниках медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

Окружность девяти точек касается описанной окружности того же треугольника в единственном случае, если треугольник прямоугольный. При этом касание двух окружностей идёт в вершине прямого угла треугольника.

Вариации и обобщение[править | править код]

  • Четырёхугольники с перпендикулярными парами элементов: с 2 перпендикулярными сторонами и с 2 перпендикулярными диагоналями,- вырождаются в прямоугольный треугольник, если длина одной нужной стороны (из их 4 сторон), лежащей вблизи прямого угла или же опирающейся концами на этот угол, стремится к нулю.
  • Если в прямоугольном треугольнике провести отрезок, параллельный его гипотенузе, то он разрежет этот треугольник на подобный ему же прямоугольный треугольник и трапецию. При этом сумма углов при одном из оснований трапеции будет равна 90°, а продолжения боковых сторон трапеции пересекутся под прямым углом. Тогда отрезок, соединяющий середины оснований указанной трапеции, равен полуразности оснований. Данное утверждение обобщает свойство: медиана прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна половине длины гипотенузы.

Примечания[править | править код]

  1. Wentworth p. 156
  2. Voles, Roger, «Integer solutions of a^{{-2}}+b^{{-2}}=d^{{-2}}Mathematical Gazette 83, July 1999, 269—271.
  3. Richinick, Jennifer, “The upside-down Pythagorean Theorem, ” Mathematical Gazette 92, July 2008, 313—317.
  4. Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, «Complex Numbers from A to…Z», Birkhäuser, 2006, pp. 109—110.
  5. Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.
  6. Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, «Squares inscribed in angles and triangles», Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278—284.

Ссылки[править | править код]

  • Calculator for right triangles
  • Weisstein, Eric W. Right Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Wentworth, G.A. A Text-Book of Geometry (неопр.). — Ginn & Co., 1895.

Все формулы сторон прямоугольного треугольника


Как найти,

гипотенузу или катеты в прямоугольном треугольнике.

Формулы для прямоугольного треугольника

a, b – катеты

c – гипотенуза

α, β – острые углы

Формулы для катета, (a):

Формулы катета прямоугольного треугольника

Формулы для катета, (b):

Формулы катета прямоугольного треугольника

Формулы для гипотенузы, (c):

Формулы гипотенузы прямоугольного треугольника

формула гипотенузы прямоугольного треугольника

Формулы сторон по теореме Пифагора, (a,b):

Формула стороны по теореме Пифагора

Формула стороны по теореме Пифагора

Формула стороны по теореме Пифагора



Подробности

Автор: Administrator

Опубликовано: 12 октября 2011

Обновлено: 13 августа 2021

Как найти стороны прямоугольного треугольника

  1. Главная
  2. /
  3. Математика
  4. /
  5. Геометрия
  6. /
  7. Как найти стороны прямоугольного треугольника

Чтобы посчитать стороны прямоугольного треугольника воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Прямоугольный треугольник

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • для гипотенузы (с):
    • длины катетов a и b
    • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
  • для катета:
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
    • длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
    • длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Катет a =
Катет b =
Гипотенуза c =

0

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c² = a² + b²

следовательно: c = a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Катет (a или b) =
Прилежащий угол (β или α) =
Гипотенуза c =

0

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула

c = a/cos(β) = b/cos(α)

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Катет (a или b) =
Противолежащий угол (α или β) =
Гипотенуза c =

0

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула

c = a/sin(α) = b/sin(β)

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по двум углам

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Гипотенуза c =
Катет (известный) =
Катет (искомый) =

0

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

Формула

a = c² – b²

b = c² – a²

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

a = 5² – 4² = 25 – 16 = 9 = 3 см

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Гипотенуза c =
Угол (прилежащий катету) = °
Катет =

0

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

Формула

a = c ⋅ cos(β)

b = c ⋅ cos(α)

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Гипотенуза c =
Угол (противолежащий катету) = °
Катет =

0

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

Формула

a = c ⋅ sin(α)

b = c ⋅ sin(β)

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Катет (известный) =
Угол (прилежащий известному катету) = °
Катет (искомый) =

0

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

Формула

a = b ⋅ tg(α)

b = a ⋅ tg(β)

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Катет (известный) =
Угол (противолежащий известному катету) = °
Катет (искомый) =

0

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

Формула

a = b / tg(β)

b = a / tg(α)

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

a = 3 / tg(35) ≈ 3 / 0.7 ≈ 4.28 см

См. также

Добавить комментарий