Как найти соответственный угол параллельных прямых

Как найти соответственный угол параллельных прямых

Определение, свойства и признаки соответственных углов

Базисные понятия

Свойства и признаки соответственных углов

Угол — простая фигура в геометрии, образуемая двумя лучами, следующими из некоторой точки. Эту точку определяют как его вершину. Название «угол» может относиться к части плоскости, объединяющей все лучи, исходящие из вершины фигуры. Такое обозначение может также иметь угловая мера, чаще всего определяемая в градусах.

В геометрии существует несколько критериев, позволяющих выделить разные типы угловых фигур. Они бывают тупыми и острыми, смежными или вертикальными. Для углов, образуемых в результате пересечения секущей линией двух прямых, в качестве такого критерия берется свойство взаимных соотношений формируемых при этом фигур. При рассмотрении произвольного геометрического рисунка, образованного двумя прямыми линиями и секущей, можно увидеть 4 пары соответственных, по 2 пары внутренних и внешних накрест лежащих или односторонних угловых фигур. Все эти элементы могут быть как тупоугольными, так и остроугольными.

Углы, образующиеся при пересечении прямых

Чтобы понять, как выглядят соответственные углы, а также уметь находить их на любых геометрических рисунках, нужно хорошо усвоить разницу между типами фигур, образованных секущей линией. Кроме того, следует обратить внимание на наличие внутренней и внешней областей. Первая зона ограничивается площадью между двумя прямыми, второй внешней областью считается неограниченное пространство снаружи от этих двух линий.

Итак, образованным тремя прямыми линиями угловым фигурам можно дать следующие определения:

Свойства соответственных углов

  • Накрест лежащие внутренние углы — это разносторонние по отношению к секущей объекты внутри области, сформированной прямыми. Если обе фигуры лежат за пределами двух прямых по противоположные стороны от секущей, то такие угловые элементы называются внешними накрест лежащими.
  • В отличие от предыдущих противолежащих фигур, односторонние углы расположены на одной стороне: внутри области, образованной двумя прямыми (внутренние), или во внешних областях (наружные).
  • Соответственные по определению являются парными фигурами, образующимися по одну сторону от линии, пересекающей две других, с аналогичных сторон обеих прямых. Один из углов пары расположен между прямыми и является внутренним, а другой лежит вне этой зоны, поэтому считается внешним.

Более наглядное представление об этом типе углов можно получить, если секущую изобразить в виде направленного вектора. Парные угловые элементы расположены в одном направлении относительно прямых, пересеченных третьей линией.

Чтобы окончательно разобраться в вопросе, нужно усвоить понятие соответствия с математической точки зрения. В геометрии это свойство двух фигур, у которых углы, стороны или точки одного объекта аналогичны соответствующим элементам другого объекта. Аналогия проявляется не в их равенстве, а во взаимном соотношении элементов. О соответствии углов говорит аналогичное пространственное положение лучей в местах пересечения прямых с третьей секущей линией. Таким образом, речь идет об элементах, имеющих одинаковое относительное положение.

Соответственные углы при параллельных прямых

Свойства фигур, формирующихся при пересечении секущей параллельных прямых, давно описаны в планиметрии. Известно, что соответственные накрест лежащие угловые элементы при параллельных прямых равны. Сложение угловых величин односторонних фигур дает значение 180 градусов. В геометрии применяется формула для расчета суммы соответственных парных угловых фигур при условии параллельности двух линий. Для определения этого параметра из числа 360 надо вычесть удвоенную угловую величину одностороннего угла, прилежащего к любому из пары рассчитываемых соответственных угловых элементов.

Соответственные углы при параллельных прямых

Равные соответственные углы указывают на параллельность прямых. Справедливость этого признака вытекает из следующих утверждений:

Урок

  1. Отметим отрезок на секущей, начало и конец которого, точки C и D, находятся в местах пересечения секущей с прямыми a и b.
  2. Через среднюю точку K отрезка опустим перпендикуляр к прямой a. Точки его пересечения с прямыми обозначим как A и B. Сформированные отрезками треугольники CKA и DKB являются прямоугольными, а отрезки AK и BK — сторонами, прилежащими к прямоугольным вершинам. Каждый из этих катетов одновременно является высотой треугольника, проведенной из остроугольной вершины.
  3. Для доказательства следует учитывать равенство вертикальных ∠CKA и ∠DKB, ∠BDK и ∠АСК равны по условию равенства соответственных углов с учетом того, что вертикальные углы с вершинами в точках C и D равны, CK и KD — два равных отрезка по условию.
  4. Таким образом, в треугольниках CKA и DKB сторона и прилежащие к ней углы имеют равные величины, что соответствует одному из признаков равенства треугольников.
  5. Поскольку AB перпендикулярен прямой a и отрезку AC, то CKA — прямоугольный треугольник, и это дает основание считать, что равный ему треугольник DKB также прямоугольный, из чего следует перпендикулярность отрезка AB по отношению к прямой b.
  6. Было доказано, что две прямые перпендикулярны к третьей прямой, и это подтверждает их параллельность.

Доказательство можно развернуть и в обратном направлении. Параллельные линии при пересечении третьей прямой формируют одинаковые по величине соответственные углы. Это утверждение известно как свойство параллельных линий.

Такого рода свойства встречаются в описаниях признаков и теорем. Их равенство — часть доказательств равенства и подобия треугольников. В свою очередь, используя признаки подобных и равных треугольников, можно обосновывать доказательства сложных теорем, находить решения сложных задач, править возможные ошибки.

Доказательство подобия треугольников

Существует три признака, по которым могут быть определены подобные треугольники. Во-первых, подобие подтверждается пропорциональностью всех трех сторон треугольников. Во-вторых, подобными считаются треугольники, имеющие две пропорциональные стороны, угловая величина между которыми равна соответствующему элементу второго треугольника. В-третьих, подобие подтверждается, когда имеет место равенство двух углов обоих треугольников.

Рассмотрим доказательство этого признака, в ходе которого применяется свойство тождественности соответственных угловых объектов:

Доказательство подобия треугольников

  1. Возьмем два треугольника ABC и A1B1C1, в которых равны два угла. Из этого следует, что величина третьего угла также одинакова в обеих фигурах. Требуется доказать подобие треугольников.
  2. Отметим точку A2 на AB таким образом, чтобы величина BA2 совпала с A1B1. Через A2 параллельно основанию AC проведем прямую, проходящую через BC в точке B2.
  3. Треугольники A2BC2 и A1B1C1 равны, что подтверждается одинаковыми величинами сторон A1B1, BA2 и углов B, B1 (по построению или условию), а также равенством углов A, A1 как соответственных при параллельных линиях.
  4. Поскольку, согласно лемме, параллельная стороне треугольника прямая отсекает от него подобный треугольник, то A2BC2 подобен ABC. Из этого следует подобие треугольников ABC и A1B1C1.

Подобного рода рассуждения и доказательства, учитывающие свойства соответственных угловых фигур, учитываются при решении разного рода задач.

В сложных планиметрических фигурах в качестве секущей, формирующей этот тип геометрических объектов, может выступать медиана, биссектриса треугольника или какие-либо другие линии. Для решения таких задач требуется хорошее знание базовых понятий, признаков, свойств, аксиом, позволяющее заметить определенные соотношения и закономерности в том или ином задании.

Источник

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Углы при параллельных прямых и секущей

Пусть прямая c пересекает параллельные прямые a и b. При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы при параллельных прямых и секущей

Углы 1 и 3 — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

angle 1=angle 3;

angle 2=angle 4.

Конечно, углы 5 и 7, 6 и 8 — тоже вертикальные.

Углы 1 и 2 — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна 180^{circ}.

Углы 3 и 5 (а также 1 и 7, 2 и 8, 4 и 6) — накрест лежащие.

Накрест лежащие углы равны.

angle 3=angle 5,

angle 1=angle 7,

angle 2=angle 8,

angle 4=angle 6.

Углы 1 и 6 — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы 4 и 7 — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна 180^{circ}, то есть

angle 1+angle 6=180^{circ},

angle 4+angle 7=180^{circ}.

Углы 2 и 6 (а также 3 и 7, 1 и 5, 4 и 8) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

angle 2=angle 6,

angle 3=angle 7.

Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

angle 3=angle 5,

angle 1=angle 7,

angle 2=angle 8,

angle 4=angle 6.

Чтобы применять все эти факты в решении задач по геометрии, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть две параллельных прямые и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это – один из шагов, из которых и состоит решение.

В этой статье – полезные теоремы и примеры решения задач ЕГЭ и ОГЭ по теме «Углы при параллельных прямых и секущей».

Этот материал можно использовать для проектов по геометрии, в работе на уроке и самостоятельно.

Теорема 1.

Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или тупые.

Доказательство:

Дано два острых угла: angle ACB и angle FNM. Известно, что их стороны параллельны: CAparallel NF и CBparallel NM.

Докажем, что angle ACB=angle FNM.

Пусть NFcap CB=D.

Тогда angle ACB=angle FDB как соответственные углы при параллельных прямых CA и NF и секущей CB.

angle FDB=angle FNM, как соответственные углы при параллельных прямых CB и NM и секущей NF.

Отсюда следует, что angle ACB=angle FNM, что и требовалось доказать.

Аналогично и для тупых углов.

Теорема 2.

Углы с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют 180{}^circ , если один из них острый, а другой тупой.

Доказательство:

Дано: angle ACB – острый, а angle FNM – тупой. Известно, что их стороны параллельны: CAparallel NF и CBparallel NM.

Докажем, что сумма углов angle ACB и angle FNM равна 180{}^circ .

Пусть NFcap CB=D. Продолжим луч NM за точку N и получим прямую MK.

Получили два острых угла, angle ACB и angle FNK с параллельными сторонами. Согласно теореме 1, они равны, т. е. angle ACB=angle FNK.

angle MNF+angle FNK=180{}^circ как смежные. Значит, angle MNF+angle ACB=180{}^circ.

Теорема доказана.

Теорема 3.

Если накрест лежащие углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: angle 1=angle 2.

Докажем, что aparallel b. Если углы 1 и 2 прямые, то прямые a и b перпендикулярны к прямой AB и, следовательно, параллельны.

Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.

Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр OH к прямой a.

На прямой b от точки В отложим отрезок {BH}_1 равный отрезку AH

triangle OHA=triangle OH_1B по двум сторонам и углу между ними, поэтому angle 3=angle 4 и angle 5=angle 6. Из равенства angle 3=angle 4 следует, что точка H_1 лежит на продолжении луча OH, т. е. точки H, O и H_1 лежат на одной прямой, а из равенства angle 5=angle 6 следует, что угол 6 – прямой (так как угол 5 – прямой). Итак, прямые a и b перпендикулярны к прямой HH_1, поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Теорема 4.

Если соответственные углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых a и b секущей c соответственные углы равны, например angle 1=angle 2.

Так как углы 2 и 3 – вертикальные, то angle 2=angle 3. Из этих двух равенств следует, что angle 1=angle 3 . Но углы 1 и 3 – накрест лежащие, поэтому прямые a и b параллельны. Теорема доказана.

Теорема 5.

Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых a и b секущей c сумма односторонних углов равна 180{}^circ , например angle 1+angle 4=180{}^circ.

Так как углы 3 и 4 – смежные, то angle 3+angle 4=180. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые a и b параллельны. Теорема доказана

И самое главное. Подборка примеров заданий ОГЭ и ЕГЭ по темам: углы при параллельных прямых и секущей, внешние накрест лежащие и внутренние накрест лежащие углы, односторонние углы.

Задачи ОГЭ по теме: Свойства параллельных прямых и секущей, углы при пересечении параллельных прямых секущей

Задача 1. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=5, CK=14.

Решение:

Стороны BC и AD параллелограмма параллельны, АК – секущая. Углы angle KAD и angle AKB равны как накрест лежащие.

BC=BK+KC=5+14=19,

triangle ABK – равнобедренный треугольник.

Мы доказали важное утверждение.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

AB=BK=5.

P_{ABCD}=left(AB+BCright)cdot 2;

P_{ABCD}=left(5+19right)cdot 2=48.

Ответ: 48.

Задача 2. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F.

Найдите AB, если AF=24, BF=10.

Решение:

Основания трапеции АD и ВС параллельны, поэтому углы BAD и АВС – односторонние при параллельных прямых АD и ВС и секущей АВ. Сумма односторонних углов равна 180^circ .

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна180{}^circ .

Мы получили, что

angle BAD+angle ABC=180^circ .

AF – биссектриса угла А,

BF – биссектриса угла В, поэтому

angle FAB=frac{1}{2}angle BAD;; angle ABF=frac{1}{2}angle ABC, тогда

angle FAB+angle ABF=90^circ .

Из треугольника AFB получим, что AFB=90{}^circ .

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AFB – прямоугольный.

По теореме Пифагора, {AB}^2={AF}^2+{BF}^2Rightarrow AB=sqrt{{24}^2+{10}^2}=sqrt{676}=26.

Ответ: 26.

Задача 3. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=28, AC=16, MN=12. Найдите AM.

Решение:

Пусть М – середина АВ, N – середина ВС. Тогда MN – средняя линия треугольника АВС, MNparallel AC.

Значит, angle BMN=angle BAC, как односторонние углы при параллельных прямых MN и AC и секущей АВ.

triangle ABCsim triangle MBN по двум углам.

Отсюда displaystyle frac{AB}{BM}=displaystyle frac{AC}{MN}Rightarrow BM=displaystyle frac{ABcdot MN}{AC};

BM=displaystyle frac{28cdot 12}{16}=21.

Ответ: 21.

Задача 4. Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 108{}^circ. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:

ABCD – трапеция, ADparallel BC – основания, AB – секущая.

Значит, angle A и angle B – внутренние односторонне углы.

Отсюда angle B=180{}^circ -108{}^circ =72{}^circ.

Ответ: 72.

Задача 5. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.

Решение:

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне параллелограмма, равна 180{}^circ .

Это значит, что angle BAD +angle ABC = 180{}^circ.

AК – биссектриса угла А,

BК – биссектриса угла В, поэтому

angle KAB=frac{1}{2}angle BAD; ; angle ABK=frac{1}{2}angle ABC, тогда

angle KAB+angle ABK= 90{}^circ .

Из треугольника AKB получим, что angle ABK= 90{}^circ .

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AKB – прямоугольный.

Расстояние от точки K до стороны AB – это длина перпендикуляра, проведенного из точки K на прямую АВ, т.е. KH=4.

triangle AKN=triangle AKH по гипотенузе и острому углу Rightarrow KN=KH.

Аналогично, triangle BKH=triangle BKM по гипотенузе и острому углу Rightarrow KH=KM.

Получили: KN=KH=KM=4Rightarrow MN=8.

Тогда S_{ABCD}=ADcdot MN; S_{ABCD}=8cdot 7=56.

Ответ: 56.

Задача 6. На плоскости даны четыре прямые. Известно, что angle 1=120{}^circ , angle 2=60{}^circ , angle 3=55{}^circ . Найдите angle 4. Ответ дайте в градусах.

Решение:

angle 1 и angle 2 – это внутренние односторонние углы,

angle 1+angle 2=120{}^circ +60{}^circ =180{}^circ.

Отсюда следует, что прямые параллельны, т.е. aparallel b.

Рассмотрим углы при параллельных прямых aparallel b и секущей d.

angle 3 и angle 4 – это односторонние углы, а значит, они равны: angle 3=angle 4=55{}^circ.

Ответ: 55.

Задача 7. Прямые m и n параллельны. Найдите angle 3, если angle 1=22{}^circ , angle 2=72{}^circ . Ответ дайте в градусах.

Решение:

mparallel nRightarrow angle 1=angle 4=22{}^circ как односторонние углы.

Сумма углов треугольника равна 180{}^circ .

Для треугольника на рисунке:

angle 2+angle 3+angle 4=180{}^circ Rightarrow angle 3=180{}^circ -72{}^circ -22{}^circ =86{}^circ .

Ответ: 86.

Задача 8. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30{}^circ и 45{}^circ. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:
angle A=angle BAC+angle CAD=30{}^circ +45{}^circ =75{}^circ ,

angle A и angle B – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

ADparallel BC и секущей АВ, их сумма равна 180{}^circ .

Тогда angle B=180{}^circ -angle A=180{}^circ -75{}^circ =105{}^circ .

Это и есть наибольший угол параллелограмма.

Ответ: 105.

Задача 9. Найдите величину тупого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15{}^circ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AK – биссектриса угла А параллелограмма ABCD, angle A=30{}^circ.

angle A и angle B – внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

ADparallel BC и секущей АВ. Их сумма равна 180{}^circ , значит, angle B=180{}^circ -30{}^circ =150{}^circ.

Ответ: 150.

Задача 10. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и angle ACD=169{}^circ . Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение: AC=2ABRightarrow AO=OC=AB=CD, тогда triangle COD – равнобедренный, в нем OC= CD. Значит, angle COD=angle CDO=displaystyle frac{180{}^circ -169{}^circ }{2}=5,5{}^circ .

Ответ: 5,5.

Задачи ЕГЭ по теме: Углы при параллельных прямых и секущей

Задача 1, ЕГЭ. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

Решение:

Напомним, что биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть BM – биссектриса тупого угла B. По условию, отрезки MD и AB равны 3x и 4x соответственно.

Рассмотрим углы CBM и BMA. Поскольку AD и BC параллельны, BM – секущая, углы CBM и BMA являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник ABM – равнобедренный, следовательно, AB = AM = 4x.

Периметр параллелограмма – это сумма всех его сторон, то есть

7x+7x+4x+4x=88.

Отсюда x=4, 7x=28.

Ответ: 28.

Задача 2, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50{}^circ ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на рисунок. По условию, alpha -beta =50{}^circ , то есть alpha =beta +50{}^circ .

Углы alpha и beta – односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

alpha +beta =180{}^circ , по свойству односторонних углов.

Итак, 2beta +50{}^circ =180{}^circ.

beta =65{}^circ , тогда alpha =115{}^circ .

Ответ: 115.

Задача 3, ЕГЭ. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Решение:

angle B и angle C – внутренние односторонние углы и при параллельных прямых

AB и DC и секущей BC; их сумма равна 180{}^circ .

BE – биссектриса угла В, значит angle ABE=angle CBE=angle BEA как накрест лежащие углы при BCparallel AD и секущей BE. Тогда triangle ABE – равнобедренный, AB=AE=5=DC.

Аналогично, CE – биссектриса угла С, значит angle DCE=angle BCE=angle CED как накрест лежащие углы при BCparallel AD и секущей CE. Тогда triangle DCE – равнобедренный и DC=DE=5.

Значит AD=AE+ED=10.

Ответ : 10.

Задача 4, ЕГЭ. В ромбе ABCD угол ABC равен 122{}^circ. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

angle B и angle C – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

ABparallel DC и секущей BC, их сумма равна 180{}^circ .

Значит, angle C=180{}^circ -angle B=180{}^circ -122{}^circ =58{}^circ .

ABCD – ромб, диагонали ромба делят его углы пополам.

Тогда angle ACD=58div 2=29{}^circ .

Ответ: 29.

Задача 5, ЕГЭ. Угол между стороной и диагональю ромба равен 54{}^circ . Найдите острый угол ромба.

Решение:

Диагональ ромба делит его угол пополам, то есть является биссектрисой угла ромба. Поэтому один из углов ромба равен 54cdot 2=108 градусов, и это тупой угол ромба. Тогда острый угол ромба равен 180{}^circ -108{}^circ =72{}^circ .

Ответ: 72.

Задача 6, ЕГЭ. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150{}^circ. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть angle D=150{}^circ ; AB=18; DC=6; AD=7.

Углы, прилежащие к боковой стороне AD трапеции, являются внутренними односторонними при ABparallel DC и секущей BC. Их сумма равна 180{}^circ .

Тогда angle A=30{}^circ . Построим высоту из вершины D. Получим прямоугольный треугольник с острым углом в 30{}^circ .

Высота трапеции DH – это катет, лежащий напротив угла в 30{}^circ и равный половине гипотенузы, т. е. h=0.5cdot AD=0.5cdot 7=3.5.

Отсюда S_{ABCD}=displaystyle frac{DC+AB}{2}cdot h; S_{ABCD}=displaystyle frac{6+18}{2}cdot 3.5=12cdot 3.5=42.

Ответ: 42.

Задача 7, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50{}^circ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

У равнобедренной трапеции углы при основании равны т.е. angle A=angle B; ; angle D=angle C.

По условию, angle D-angle B=50{}^circ Rightarrow angle C-angle B=50{}^circ ;

angle C и angle B, прилежащие к боковой стороне CB трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых
AB и DC и секущей BC. Их сумма равна 180{}^circ .

angle C+angle B=180{}^circ.

Получили:

left{ begin{array}{c}angle C-angle B=50{}^circ \angle C+angle B=180{}^circ end{array}right. .

Сложив два уравнения, получим: 2angle C=230{}^circ , тогда angle C=115{}^circ.

Ответ: 115.

Задания ЕГЭ Базового уровня, геометрия. Свойства углов при параллельных прямых и секущей.

Задание 1. Основания трапеции равны 10 и 20, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол 150{}^circ . Найдите площадь трапеции.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных основаниях трапеции и секущей. Их сумма равна 180{}^circ . Значит, острый угол трапеции равен 30{}^circ . Построив высоту, мы увидим, что она лежит против прямого угла в прямоугольном треугольнике. Значит, высота равна половине боковой стороны, т.е. h=4.

Отсюда

Ответ: 60.

Задание 2. В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен 135{}^circ . Найдите меньшую боковую сторону.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна 180{}^circ . Значит, острый угол равен 45{}^circ .

Вторая высота отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным разности оснований. Значит, высота равна: 7–4=3.

Отсюда

Ответ: 16,5.

Задание 3. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, angle BDA=40{}^circ и angle BDC=30{}^circ . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

angle D=angle BDA+angle BDC=40{}^circ +30{}^circ =70{}^circ . Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна 180{}^circ . Значит, острый угол равен 110{}^circ .

Нам дана трапеция, в которой AB=CD. Очевидно, что это боковые стороны, и трапеция равнобедренная с основаниями AD и BC .

AD и BC параллельны, BD секущая, тогда angle ADB=angle DBC=40{}^circ .

angle ABD=angle ABC-angle DBC=110{}^circ -40{}^circ =70{}^circ.

Ответ: 70.

Задание 4. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла A, пересекающая сторону BC в точке K. Найдите KC, если AB = 4, а периметр параллелограмма равен 20.

Решение:

ABCD – параллелограмм, тогда AB = DC = 4.

AK – биссектриса угла А, значит, angle BAK=angle KAD;

angle KAD=angle AKC как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AK.

Получили, что triangle ABK – равнобедренный и AB=BK=4.

P_{ABCD}=left(AB+ADright)cdot 2=20, значит AB+AD=10Rightarrow AD=6,

KC=BC-BK=6-4=2.

Ответ: 2.

Задание 5. Прямые m и n параллельны (см. рисунок). Найдите angle 3, если angle 1=117{}^circ , angle 2=24{}^circ . Ответ дайте в градусах.

Решение:

mparallel n, angle 2=angle 4=24{}^circ (как накрест лежащие углы).

angle 1+angle 4+angle 3=180{}^circ (развернутый угол).

Тогда angle 3=180{}^circ -left(angle 1+angle 4right)=180{}^circ -left(117{}^circ +24{}^circ right)=39{}^circ .

Ответ: 39.

Задание 6. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и angle ACD=104{}^circ . Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть диагонали пересекаются в точке О, т.е. ACcap BD=O.

AC=2ABRightarrow AB=displaystyle frac{1}{2}cdot ACRightarrow AB=AO=OC=CD.

AB и CD параллельны, АС – секущая, Rightarrow angle BAC=angle ACD=104{}^circ .

AB=AORightarrow triangle BAO – равнобедренный, отсюда угол между диагоналями равен:

angle BOA=displaystyle frac{180{}^circ -104{}^circ }{2}=38{}^circ .

Ответ: 38.

Если вам понравился наш материал на тему “Углы при параллельных прямых и секущей” – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Соответственные углы — вид углов, образованный при пересечении двух прямых секущей.

Один из пары соответственных углов лежит во внутренней области между прямыми, другой — во внешней, причем оба угла находятся по одну сторону от секущей.

При пересечении двух прямых секущей образуется четыре пары соответственных углов.

sootvetstvennyie uglyi

    ∠1 и∠5

    ∠2 и∠6

    ∠3 и∠7

    ∠4 и∠8

— соответственные углы при прямых a и b и секущей c.

Наибольший интерес в геометрии представляют соответственные углы при параллельных прямых.

Свойство параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то  соответственные углы равны.

sootvetstvennyie uglyi ravnyi

Если a ∥ b, то

∠1 =∠2

(как соответственные углы при при a ∥ b и секущей c).

Всего при параллельных прямых и секущей образуется четыре пары равных соответственных углов:

kakie sootvetstvennyie uglyi    ∠1 =∠5

    ∠2 =∠6

    ∠3 =∠7

    ∠4 =∠8

                               
Признак параллельных прямых

Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

esli sootvetstvennyie uglyi ravnyi      ∠1 =∠2

А так как эти углы — соответственные при прямых при a и b и секущей c,

то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).

Равенство соответственных углов используется, в частности, для доказательства равенства треугольников и подобия треугольников.

Источник
  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Параллельные прямые
  5. Теорема о соответственных углах

Советуем посмотреть:

Параллельные прямые

Признаки параллельности двух прямых

Практические способы построения параллельных прямых

Аксиомы геометрии

Аксиома параллельных прямых

Теорема о накрест лежащих углах

Теорема об односторонних углах

Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами

Параллельные прямые


Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 203,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 15,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 428,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 562,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 589,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 12,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 822,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 853,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 906,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1308,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Источник

Пересечение двух параллельных прямых секущей

Параллельными      называются пара прямых, которые при продолжении не пересекаются.

Когда      две паралелльные прямые      $a$    и   $b$     пересекаются секущей    $c$ , то образуется много разнообразных углов.

Некоторые    пары углов имеют свои имена – названия:

пара     накрест лежащие углы   :   ∠3   и   ∠5,         ∠4   и    ∠6;
пара     односторонние углы   :       ∠4    и   ∠5,         ∠3   и   ∠6;
пара     соответственные углы :      ∠1   и   ∠5,         ∠4   и   ∠8,      ∠2   и   ∠6,      ∠3   и   ∠7.

Свойства:     

  • накрест лежащие углы равны:    3 = 5, 4 = 6.
  • соответственные углы равны:    1 = 5,    4 = 8,     2 = 6,     3 = 7.
  • сумма односторонних углов равна 180 градусов:   3 + 6 = 180 градусов,    4 + 5 = 180 градусов.

        


_____________________________________________________________________________________

Теорема    Если две параллельные линии пересекаются третьей (Секущей), тогда выполняется следующее:
ТеоремаТеорема    *      накрест лежащие углы равны   ;
ТеоремаТеорема    *      соответственные углы равны ;
ТеоремаТеорема    *      сумма односторонних углов 180 град. ;
ТеоремаТеорема    *      вертикальные равны ∠3 = ∠1, ∠8 = ∠6 .

_____________________________________________________________________________________

Теорема    Если две прямые перпендикулярны (обе одновременно) к третьей, то они параллельны друг другу.

_____________________________________________________________________________________

Теорема    Если две прямые не параллельны друг другу, то равенства для сумм углов не выполняются:   3 + 6 < 180 ;     4 + 5 > 180 .

_____________________________________________________________________________________

Теорема    Если одна прямая параллельна   второй, а вторая параллельна   третьей, то первая прямая так же параллельна третьей.

_____________________________________________________________________________________

Задача 1:   На рисунке АС и МК параллельны, отрезки АВ = ВК равные. Дан угол ∠АКМ = 40°. Найти ∠КВС.

  • Решение:        АС ║ МК параллельны, АК – секущая, $Rightarrow$   ∠АКМ и ∠КАВ накрест лежащие, $Rightarrow$   ∠КАВ = 40°.
  • ∆АВК – равнобедренный, АВ = ВК       $Rightarrow$    углы у основания   ∠КАВ = ∠АКВ значит,   $Rightarrow$   ∠АКВ = 40°.
  • Значит, углы   ∠АКВ = ∠АКМ равные. Угол ∠МКВ состоит из частей, аддитивность,      ∠МКВ = ∠АКВ + ∠АКМ = 80°.
  • АС ║ МК параллельны, АК – секущая, $Rightarrow$   ∠ВКМ и ∠КВС накрест лежащие, $Rightarrow$ Ответ: ∠КВС = 80°.

                 

Задача 2:   На рисунке, даны углы ∠ВАМ = 30°,   ∠АВК = 150°,   ∠ВКС = 110°. Найти ∠АМР.

  • Решение:     Углы ∠ВАМ и ∠АВК – односторонные от секущей АВ. Их сумма ∠ВАМ + ∠АВК = 180°.
  • Сумма односторонных 180°? … по теореме “о параллельных”, прямые   АМ и ВК должны быть параллельными. АМ ║ ВК.
  • Теперь:    АМ ║ ВК,      СР – секущая. Односторонные углы равные,   ∠ВКС = ∠АМК.       Значит,   ∠АМК = 110°.
  • Наконец, углы    ∠АМК и ∠АМР – смежные. Значит,   ∠АМК + ∠АМР = 180°.     $Rightarrow$       ∠АМР = 180° – ∠АМК = 70°.
  • Ответ:    ∠АМР = 70°.            Замечание: “надо видеть все секущие к параллельным, и углы к ним”.

Задача 3:   На рисунке, АВ параллельно МК, угол ∠РМК составляет треть угла ∠САВ. Найти эти углы.

  • Решение:     Дано: отношение углов ∠РМК : ∠САВ = 1 : 3. Выразим:   ∠САВ = 3∠РМК
  • Как связаны искомые углы по рисунку?        ∠САВ и ∠МАВ – смежные, значит ∠МАВ = 180° – ∠САВ.
  • Углы ∠МАВ и ∠РМК односторонные углы при параллельных АВ ║ МК и секущей РС. Значит, ∠МАВ = ∠РМК
  • Из двух равенств получаем   ∠РМК = 180° – ∠САВ. Вспомним ∠САВ = 3∠РМК, подставим:   ∠РМК = 180° – 3∠РМК
  • ∠РМК = 45°, значит ∠САВ = 3∠РМК = 135°.               Ответ:         45°,     135°

     

Задача 4:   На рисунке, АD параллельно ВС, угол ∠МВС = 65°, ∠ВСК = 80°. Найти четырехугольника АВСD.

  • Трапеция АВСD:     Четырехугольник с двумя параллельными сторонами называется трапецией. АD ║ ВС.
  • Решение:     Угол трапеции ∠АВС смежен с ∠МВС, значит ∠АВС = 180° – ∠МВС = 115°.
  • Аналогично, угол трапеции ∠ВСD смежный к углу ∠ВСК, значит ∠ВСD = 180° – ∠ВСК = 100°.
  • АМ секущая к АD ║ ВС    $Rightarrow$   ∠ВАD и ∠МВС соответственные, значит равные    ∠ВАD = ∠МВС = 65°.
  • Аналогично, КD секущая к АD ║ ВС    $Rightarrow$   ∠АDС и ∠ВСК соответственные, значит равные    ∠АDС = ∠ВСК = 80°.
  • Ответ:    Углы трапеции   ∠ВАD = 65° ∠АВС = 115°      ∠ВСD = 100°       ∠АDС= 80°

Задача 4, продолжение, “углы в трапеции”:         Пусть углы любые:     ∠МВС = х,    ∠ВСК = у.

  • Такими же рассуждениями о смежных и односторонных, получим:    ∠А = х     ∠В = 180° – х    ∠С = 180° – у      ∠D = у
  • Видно: ∠А + ∠В = 180°    ∠С + ∠D = 180°.          Сумма углов при боковой стороне трапеции 180° .    Односторонные!
  • Видно: ∠А + ∠В + ∠С + ∠D = 180°.            Сумма всех углов трапеции равна 360°. .      Как у четырехугольника?

Факты, Следствия из теорем о углах при параллельных и секущей к ним:

  • В параллелограмме и трапеции диагонали образуют со сторонами равные накрест лежащие углы.         Что секущая?
  • В паралеллограмме сумма углов у одной стороны равен 180 град. – внутренные односторонные.     Что секущая?
  • В трапеции сумма углов у боковых сторон равен 180 град. – внутренные односторонные. Что секущая?
  • Еще о углах:          Диаметры в окружности при пересечении образуют равные вертикальные углы.
  • Сумма углов треугольника 180 градусов .          Достроить параллельную, увидеть секущую!

Интерактивные Упражнения:

Задачи из сайта https://resh.edu.ru :

Задача 1:   Установите соответствие между углами и их градусными мерами, если ∠РМЕ = 50°, а ∠1 = ∠2 и РМ = РЕ.

                           

Задача 2:    На рисунке через параллельные прямые m и n проведена секущая k, угол 1 составляет 50% угла 2. Найдите угол 1.

Задача 3:   По рисунку найдите градусную меру неизвестного угла х. Параллельные прямые а и b пересечены секущими МК и МF.

                      

Задача 4:    Прямые а и m параллельны. АК и КР – секущие, ∆ВКО – равнобедренный. ∠3 = 120°. Чему равен ∠2?

Задача 5: На рисунке прямые AB║CD, при этом AB = AC, ∠BCD = 45°. Найдите угол 2   

                       

Задача 6:   Прямые FP и EK параллельны, чему равна градусная мера угла x?

Задача 7: Через параллельные прямые а и b проведены секущие ВА и ВС, так что АВ = ВС, при этом ∠ВСА = 80°. Найдите градусную меру угла 1.   

                   

Задача 8:    В треугольнике АВС BD – секущая к параллельным прямым BC и DE, при этом ВD = DC, ∠BDE = 40°. Чему равен угол ADВ?

Задача 9:    Прямые KN и ME параллельны. По рисунку найдите угол ЕМР, если сумма углов треугольника равна 180°.

                     

Задача 10:     На рисунке через параллельные прямые m и n проведена секущая k, угол 1 составляет 20 % угла 2. Найдите угол 1.

Задача 11: Прямые a и b параллельны. Основываясь на рисунке, определите, чему равна градусная мера угла y.

                      

Задача 12:    ∆ВКО – равнобедренный. ∠3 = 110°. Чему равен ∠2?

Задача 13:   На рисунке AB║CD, при этом AB=AC, ∠BCD = 45°. Найдите угол BAC.   

                              

Задача 14:   На рисунке прямые а║b, при этом MO и ЕО – биссектрисы углов М и Е соответственно, пересекаются в точке О. Чему равна градусная мера угла МОЕ?

Задача 15:   Дан треугольник АВС. BD – секущая к параллельным прямым BC и DE, при этом ВD = DC, ∠BDE = 50°. Чему равен угол ADE?

                                  

Задача 16:   Прямые а и b параллельны. Чему равна градусная мера суммы углов 1, 2, 3?

Задача 17: Проведена секущая к прямым BC и DE, при этом ВD = DC, BC || DE, ∠BDE = 40°. Чему равен ∠ADE?   

Задача 18:   Один из односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей на 66º меньше другого. Найдите меньший из односторонних углов.

Задача 19: Сумма пары накрест лежащих углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, равна 110°. Найдите, чему равен один накрест лежащий угол.

Задача 20:    “углы в параллелограмме и трапеции”:

  1. один из углов параллелограмма 40. найти остальные

  2. найти углы параллелограмма, если известно, что сумма двух 80.      (100, 160)

  3. найти углы параллелограмма, если известно, что разность двух 70. (110, 130)

  4. Диагональ параллелограмма состовляет с одной из сторон углы 25 и 35. найти все углы параллелограмма

  5. Углы параллелограмма относятся как 2:3 найти все углы

  6. Чему равны углы равнобедренной трапеции, если разность противолежащих 40

Источник

Добавить комментарий