Как найти сопротивление цепи треугольник

4 инструмента крутого Кирхгофщика

Зачёт кое-как сдал, а всё равно толком не понял?

Я тебе расскажу, как учиться, чтобы понимать.
Как учиться эффективно. Практические советы.

Инструмент 1. Вычисление сопротивления цепи из нескольких последовательно соединённых сопротивлений

Просто, как . Сложил все эти сопротивления и получил сопротивление цепи.

Инструмент 2. Вычисление сопротивления участка из нескольких параллельно соединённых сопротивлений

Рассмотрим участок с двумя параллельными одинаковыми сопротивлениями. Сопротивление его в два раза меньше, чем каждого сопротивления. Если сопротивлений три, сопротивление участка будет в три раза меньше.

Какую тут можно провести аналогию?

Несколько одинаковых дырок. Через них протечёт воды в столько раз больше, чем через одну дырку, сколько дырок имеется.

А как быть, если сопротивления не одинаковые? Есть такое понятие – проводимость. Оно означает величину, обратную сопротивлению. (рисунок 2)

Так если сопротивление больше, то проводимость что?

Чтобы вычислить проводимость нашего участка, надо сложить проводимости сопротивлений. Потом можно легко найти сопротивление участка.

А нельзя ли вычислить сопротивление участка, не преобразуя сопротивления в проводимости, а потом обратно? Можно. Пусть у нас участок из двух параллельно соединённых сопротивлений (рис. 2-1). Проводимость его равна сумме проводимостей сопротивлений (1 строчка). Приведём проводимости сопротивлений к общему знаменателю (2 строчка). Сложим их и получим суммарную проводимость (3 строчка). “Переворачиваем” формулу (4 строчка) и получаем формулу для участка из двух параллельно соединённых сопротивлений. А если сопротивлений не два, а больше?

Сформулируйте своими словами формулу сопротивления участка из нескольких параллельных сопротивлений, чтобы лучше её запомнить.

Надо умножить все сопротивления, и разделить на сумму произведений этих сопротивлений, но в каждом этом произведнии одного сопротивления не хватает. Вы, может быть, и получше сформулируете.

Инструмент 3. Преобразование “треугольника” в “звезду”

Пусть у нас в схеме есть вот такой участок цепи – “треугольник” (рис. 3, слева). Нам надо заменить его участком вот такого вида – “звездой” (рис. 3, справа), но чтобы сопротивления между сторонами “звезды” были такими же, как между соответствующими лучами “треугольника”. Зачем это нужно? Позже узнаете.

Смотрим на “звезду” на рис. 3. Допустим, мы знаем сопротивления между точками A и B, то есть (R_a+R_b); A и C, то есть (R_a+R_c); B и C, то есть (R_b+R_c). Чему будут равны сопротивления R_a,   R_b,   R_c ?

Зная все сопротивления между концами лучей “звезды”, мы можем вычислить сопротивление каждого отдельного луча.

Теперь будем вычислять сопротивления между точками A, B, и C (звезды) через сопротивления треугольника, которые нам известны (рис. 3-2). Для начала вычислим сопротивление между точками A и B звезды (рис. 3-2 верхняя строчка). В нашем треугольнике мы имеем два параллельно включённых сопротивления – R_ab и (R_ac+R_bc). Вычислять их общее сопротивление мы умеем (ответы на вопросы 3 и 4). Вычисляем сопротивления между точками A и C, B и C (2 и 3 строчки). Обратите внимание, что во всех формулах знаменатель одинаковый.

Теперь можно вычислить сопротивление отдельного луча (рис. 3-3). Формула получилась очень громоздкая, но мы её хорошенько подсократим.

И получим вот такую стройную и изящную формулу (рис. 3-4, верхняя строчка). Аналогично вычисляем сопротивления других лучей звезды.

Сформулируйте своими словами формулу из рисунка 3-4, чтобы лучше её запомнить.

Чтобы найти сопротивление луча “звезды”, надо умножить сопротивления сторон “треугольника”, которые “прилегают” (“имеют ту же букву”), и разделить на сумму сопротивлений всех сторон “треугольника”.

Инструмент 4. Преобразование “звезды” в “треугольник”

Иногда полезно делать обратное преобразование – “звезды” в “треугольник”. Нельзя ли вычислить сопротивление стороны “треугольника” через сопротивления эквивалентной “звезды”, используя формулы, которые мы уже вывели? Можно. Смотрим рисунок 3-4. Проделаем с формулами этого рисунка следующий трюк: попарно их перемножим и результаты сложим (смотрим рис. 4-1).

Затем результат разделим на верхнюю формулу рисунка 3-4. Получится у нас вот что: рисунок 4-2, третья сверху формула. Маленько её подсократим и получим нижнюю формулу. Как раз то, что нам надо!

Сопротивления других сторон “треугольника” выводятся аналогично (рисунок 4-3).

Сформулируйте своими словами формулу из рисунка 4-3, чтобы лучше её запомнить.

Чтобы найти сопротивление стороны “треугольника”, надо сложить сопротивления соответствующих сторон “звезды” (у которых “те же буквы”), и ещё прибавить произведение тех же сторон “звезды”, делёное на оставшуюся сторону.

Зубрилка

формула 1 формула 2 формула 3 формула 4 скрыть все формулы

№7 Эквивалентное преобразование треугольника и звезды сопротивлений.

Пусть требуется рассчитать цепь, показанную на рис. 7.1, а.

Рис. 7.1 – Преобразования электрической цепи

Расчет можно осуществить одним из описанных выше методов. Но так как в цепи имеется только один источник питания, наиболее простым было бы использование закона Ома. Однако попытка определения общего сопротивления цепи оказывается безрезультатной, так как здесь мы не находим ни последовательно, ни параллельно соединенных сопротивлений. Решить задачу помогает преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду.

Треугольник и звезда сопротивлений имеют вид, показанный на рис. 7.2.

Рис. 7.2 – Треугольник и звезда сопротивлений

Если при замене одной из этих схем другой не изменяются потенциалы одноименных точек и подтекающие к ним токи, то во внешней цепи также не произойдет никаких изменений. В этом случае говорят, что схемы эквивалентны.

Можно показать, что условием эквивалентности являются следующие уравнения:

а) при преобразовании треугольника в звезду:

б) при преобразовании звузды в треугольник:

Например, сопротивление звезды R1, присоединенное к узлу 1, получается перемножением сопротивлений R12 и R31 треугольника, присоединенных к этому же узлу, и делением полученного произведения на сумму всех сопротивлений треугольника.

При обратном преобразовании сопротивление треугольника R12, лежащее между узлами 1 и 2, равно сумме сопротивлений звезды R1 и R2, присоединенных к этим узлам, плюс их произведение, деленное на сопротивление третьего луча звезды R3.

Пример 1.3. Рассчитать токи в цепи, изображенной на рис. 1.12, а, при следующих числовых значениях ее параметров: Е = 660 В, R1 = 20 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = 5 Ом, R4 = 20 Ом, R5 = 50 Ом.

а) Решение преобразованием треугольника в звезду.

Теперь общее сопротивление цепи легко находится:

Ток, протекающий по источнику (одинаковый в заданной и преобразованной схемах), равен:

Токи в паралельных ветвях:

Возвращаемся к исходной схеме (рис. 7.1, а):

Ток в пятой ветви находим из первого закона Кирхгофа: I5 = I1–I3 = 26–28 = –2 A. Знак минус говорит о том, что действительное направление тока I5 противоположно указанному на схеме.

б) Решение преобразованием звезды в треугольник.

Преобразуем звезду, образуемую в схеме на рис. 7.1, а сопротивлениями R1, R5 и R3, в эквивалентный треугольник (рис. 7.1, в).

Определяем сопротивления треугольника:

Теперь рассчитываем преобразованную цепь. Сначала находим эквивалентные сопротивления участков ac и cd:

Затем определяем общее сопротивление и токи:

Возвращаемся к исходной схеме:

Рекомендуем подставить в приведенные формулы числовые значения параметров цепи и сравнить результаты вычислений с полученными в примере 1.3а.

Преобразование треугольник/звезда: что за сценой?

Преобразования треугольник/звезда позволяют нам заменить часть схемы другой схемой, которая, хотя и эквивалентна в поведении, но может значительно упростить анализ общей схемы. Здесь мы узнаем, откуда берутся эти преобразования.

Зачем?

Когда мы начали изучать электронику, резисторы были соединены либо последовательно, либо параллельно, и мы научились заменять такие комбинации их эквивалентными сопротивлениями, часто с целью уменьшения всей сети сопротивлений до единственного эквивалентного сопротивления, видимого из источника питания. После этого появились схемы (рисунок 1), которые содержали резисторы, которые не были ни последовательными, ни параллельными, но их всё же можно было убрать, тщательно определяя и сокращая фрагменты схемы в правильном порядке. Обратите внимание, что R₁ не параллелен и не последователен ни с R₂ , ни с R₃ , но путем объединения R₂ последовательно с R₄ , и объединяя R₃ последовательно с R₅ , мы можем затем объединить эти два эквивалентных сопротивления параллельно и, наконец, объединив результат последовательно с R₁ , получить полное сопротивление, видимое источнику питания, которое, используя закон Ома, поможет получить общий ток источника питания.

Рисунок 1

Но теперь мы подошли к схемам (рисунок 2), где нет никаких пар резисторов, которые включены последовательно или параллельно, – похоже, мы зашли в тупик. Одним из способов анализа этой схемы является использование закона напряжений Кирхгофа (второй закон) и закона токов Кирхгофа (первый закон) для получения алгебраических уравнений, которые мы можем решить для напряжений и токов. Хотя этот подход будет работать всегда (для этой и большинства других типов схем), он может быть довольно громоздким. Мы могли бы смириться с этим как с ценой возможности анализа этих более сложных схем, но иногда мы можем избежать оплаты этого счета, изменяя или «преобразовывая» фрагменты схемы, чтобы превратить ее в нечто, что мы можем уменьшить, используя только правила последовательного/параллельного объединения.

Рисунок 2

Для простоты мы будем рассматривать только цепи постоянного тока с резисторами, но эти принципы применимы к любой линейной системе переменного или постоянного тока. Кроме того, чтобы сфокусировать обсуждение на преобразованиях, мы найдем только общий ток, поставляемый источником напряжения, что означает, что мы стремимся свести всю сеть резисторов в единое эквивалентное сопротивление.

Давайте рассмотрим эти две схемы немного подробнее (рисунок 3). Мы видим, что единственная разница между ними заключается в том, что находится внутри пунктирных окружностей. В каждом случае цепь в окружности имеет три контакта, которые пересекают окружность для взаимодействия с остальной частью схемы. В левой цепи (рисунок 3(a)) резисторы подключены к контактам в конфигурации «треугольник» (в англоязычной литературе, конфигурация «delta», «дельта», названная в честь заглавной греческой буквы Δ). А в правой цепи резисторы подключены в конфигурации «звезда» (в англоязычной литературе, конфигурация «wye», «уай», названная в честь заглавной английской буквы Y, хотя в схеме она перевернута).

Рисунок 3

Теперь представьте, что резисторы внутри пунктирной окружности в левой цепи помещены в черный ящик, этот ящик удален из схемы и заменен другим черным ящиком, который заставляет схему вести себя точно так же. Далее представьте, что, когда вы открываете, этот новый ящик он содержит три резистора, расположенных как в правой цепи. Кто бы ни придумал второй черный ящик, он очень тщательно выбрал значения резисторов так, чтобы эти два блока были неразличимы для остальной части схемы: мы знаем, как анализировать правую схему, и теперь мы знаем, что когда мы это делаем, результаты можно применить к левой схеме, потому что они эквивалентны. Вот зачем выполнять преобразования «треугольник→звезда» и «звезда→треугольник».

Основные соотношения

Чтобы определить уравнения, связывающие резисторы в цепи, соединенной треугольником, с резисторами в цепи, соединенной звездой, нам ничего не нужно, кроме наших надежных формул для последовательных/параллельных соединений (и немного алгебры). Идея заключается в выравнивании эквивалентных сопротивлений между соответствующими парами контактов при отключенном оставшемся контакте (рисунок 4)

Рисунок 4

Выполнив это для эквивалентного сопротивления между контактами B-C, мы получим:

[R_B + R_C = frac left( R_ + R_ right) > + R_ + R_>]

Если мы повторим этот процесс для каждой другой пары контактов по очереди, мы получим еще два аналогичных уравнения, и любое из них даст нам необходимую нам информацию (при условии, что мы распознаем задействованную симметрию).

Частный случай: симметричные схемы

Если сопротивления в каждом плече цепи, соединенной треугольником или звездой, равны, такая цепь считается «симметричной». Это означает, что

[R_Y = R_A = R_B = R_C]

Комбинация этого условия с соотношением из предыдущего раздела сразу приводит к уравнению преобразования для случая симметрии.

Это гораздо более значительный результат, чем может показаться на первый взгляд, и причина довольно проста – когда инженеры проектируют схемы с соединениями треугольник или звезда, они часто стараются сделать эти схемы симметричными. Хотя, конечно, это не всегда возможно, и поэтому мы должны иметь возможность разобраться с общим случаем, когда схема не симметрична.

Общий случай преобразования треугольник→звезда

Для преобразования треугольник/звезда нам дана известная схема, соединенная треугольником, и мы хотим найти значения для эквивалентной схемы, соединенной звездой, – поэтому мы пытаемся найти < R_A , R_B , R_C > для заданных < R_AB , R_BC , R_AC >.

Мы начнем с того, что запишем наши основные соотношения из первоначального вида в несколько более компактной форме, определив новую величину, R_ΔS , которая равна сумме сопротивлений всех резисторов в цепи, соединенной треугольником.

Затем мы делаем перестановку нашего соотношения для получения вида линейного алгебраического уравнения с неизвестными < R_A , R_B , R_C >.

Поскольку у нас есть три неизвестных, нам нужно еще два уравнения. Они получаются из эквивалентных сопротивлений, видимых при рассмотрении двух других пар контактов. Выполнив это (или используя симметрию) мы получаем

Сложив эти два уравнения вместе и вычтя наше первое уравнение, мы получим

Мы можем решить систему уравнению для двух других неизвестных сопротивлений (или использовать симметрию), чтобы получить

Эти отношения могут быть обобщены очень компактно. Сопротивление, подключенное к каждому узлу в эквивалентной цепи, соединенной звездой, равно произведению сопротивлений, подключенных к соответствующему узлу в цепи, соединенной треугольником, деленному на сумму сопротивлений всех резисторов в треугольнике. Обычно это выражается формулой, такой как

• R_N – резистор, подключенный к контакту N в схеме «звезда»;
• R_N1 и R_N2 – резисторы, подключенные к контакту N в схеме «треугольник»

Общий случай преобразования звезда→треугольник

Для преобразования звезда→треугольник нам дана известная схема, соединенная звездой, и мы хотим найти значения для эквивалентной схемы, соединенной треугольником. Следовательно, мы пытаемся найти < R_AB , R_BC , R_AC > для заданных < R_A , R_B , R_C >.

Это не так просто, как в случае преобразования треугольник→звезда потому, что неизвестные сопротивления перемножаются вместе, делая результирующие уравнения нелинейными. К счастью, мы можем обойти это неудобство, рассмотрев отношения сопротивлений резисторов в каждой цепи. Например, взяв отношение R_A к R_B , мы получаем

Другими словами, отношение сопротивлений резисторов, подключенных к любым двум контактам в схеме звезда, равно отношению сопротивлений резисторов, соединяющих те же самые два контакта с третьим контактом в схеме треугольник. Следовательно, два других соотношения будут следующими

Вооружившись этим, мы могли бы вернуться к нашим основным соотношениям и продолжить работу с ними, но в качестве отправной точки проще использовать одно из отношений из общего случая преобразования треугольник→звезда.

[R_ = R_A left( over R_> + over R_ > + 1 right)]

Два других выражения получаются аналогично (или согласно симметрии):

Эти выражения могут быть обобщены очень компактно. Сопротивление, подключенное между каждой парой узлов в эквивалентной схеме, соединенной треугольником, равно сумме сопротивлений двух резисторов, подключенных к соответствующим узлам в схеме, соединенной звездой, плюс произведение сопротивлений этих двух резисторов, деленное на сопротивление третьего резистора.

Общий способ выразить это состоит в том, чтобы поместить правую часть под общим знаменателем, а затем отметить, что числитель в каждом выражении является суммой произведений каждой пары сопротивлений в цепи, соединенной звездой, а знаменатель – это сопротивление, подключенное к третьему контакту.

[R_P = R_A R_B + R_B R_C + R_A R_C]

Пример

Давайте поработаем с задачей, показанной на рисунке 5. Прежде чем мы начнем, давайте определим ожидаемый ответ, чтобы у нас была хорошая проверка того, является ли наш окончательный ответ правильным. Для этого рассмотрим роль мостового резистора 150 Ом. Этот резистор служит для уменьшения общего сопротивления, обеспечивая путь между левой и правой сторонами цепи. Следовательно, самое высокое эффективное сопротивление будет иметь место, если этот резистор будет удален полностью, и в этом случае полное сопротивление будет равно параллельной комбинации левой и правой сторон, что приведет к

С другой стороны, наименьшее общее сопротивление было бы получено путем уменьшения мостового резистора до прямого короткого замыкания, и в этом случае общее сопротивление было бы равно параллельной комбинации двух верхних резисторов, включенной последовательно с параллельной комбинацией двух нижних резисторов, что приведет к

Теперь мы ЗНАЕМ, что наш ответ ДОЛЖЕН быть между этими двумя предельными значениями. Во многих случаях простой анализ границ, такой как этот, приводит к ответу, который «достаточно хорошо» подходит для данной цели, но давайте предположим, что это не так. Используя приведенные выше уравнения преобразования треугольник→звезда, мы сначала определяем сумму сопротивлений резисторов треугольника.

А затем находим значение R₁ , перемножив сопротивления двух резисторов, которые подключены к верхнему контакту, и разделив это произведение на сумму всех трех сопротивлений.

Повторим это же для R₂ .

Мы могли бы повторить это еще раз для R₃ , но давайте, вместо этого, определим R₃ , используя свойства отношений.

Теперь, когда у нас есть все сопротивления для эквивалентной схемы звезда, мы можем очень легко определить общее сопротивление.

Поскольку это значение находится между нашими минимальной и максимальной границами, мы полностью уверены, что это правильный ответ, или, даже если мы допустили ошибку, наш ответ довольно близок к правильному. Поэтому суммарный ток равен

Заключение

Теперь мы увидели, что преобразования треугольник/звезда полезны, и, что более важно, увидели, как их можно легко выполнить, используя не более чем концепцию эквивалентных сопротивлений с использованием последовательных/параллельных комбинаций резисторов. Это может хорошо вам помочь, поскольку дает вам возможность вывести эти формулы на лету, если когда-нибудь возникнет в них необходимость, и у вас не будет подходящего справочного материала. Но что еще более важно, это должно служить для более прочного закрепления фундаментальных понятий в наборе инструментов, который хранится у вас в голове, позволяя вам использовать в своей работе еще более эффективные навыки анализа цепей.

В конце мы должны принять к сведению распространенное заблуждение, заключающееся в том, что преобразования треугольник↔звезда являются ЕДИНСТВЕННЫМ способом анализа цепей, которые нельзя уменьшить другими способами. В действительности, хотя эти преобразования могут сделать нашу жизнь проще, они не обязательны, поскольку ЛЮБОЙ контур, который можно проанализировать с их помощью, также можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа, либо напрямую, либо с помощью одного из более формализованных методов их применения, включая метод контурных токов или метод узловых напряжений, а также с методиками, такими как эквивалентная схема Тевенина.

[spoiler title=”источники:”]

http://toehelp.com.ua/lectures/007.html

http://radioprog.ru/post/659

[/spoiler]

Какую тут можно провести аналогию?

Несколько одинаковых дырок. Через них протечёт воды в столько раз больше, чем через одну дырку, сколько дырок имеется.

Так если сопротивление больше, то проводимость что?

меньше

Сформулируйте своими словами формулу сопротивления участка из нескольких параллельных сопротивлений, чтобы лучше её запомнить.

Надо умножить все сопротивления, и разделить на сумму произведений этих сопротивлений, но в каждом этом произведнии одного сопротивления не хватает. Вы, может быть, и получше сформулируете.

Смотрим на “звезду” на рис. 3. Допустим, мы знаем сопротивления между точками

A и B, то есть (R_a+R_b);

A и C, то есть (R_a+R_c);

B и C, то есть (R_b+R_c).

Чему будут равны сопротивления R_a,   R_b,   R_c ?

Сформулируйте своими словами формулу из рисунка 3-4, чтобы лучше её запомнить.

Чтобы найти сопротивление луча “звезды”, надо умножить сопротивления сторон “треугольника”, которые “прилегают” (“имеют ту же букву”), и разделить на сумму сопротивлений всех сторон “треугольника”.

Сформулируйте своими словами формулу из рисунка 4-3, чтобы лучше её запомнить.

Чтобы найти сопротивление стороны “треугольника”, надо сложить сопротивления соответствующих сторон “звезды” (у которых “те же буквы”), и ещё прибавить произведение тех же сторон “звезды”, делёное на оставшуюся сторону.

Если стороны треугольника напряжений (рисунок 1, а) разделить на ток I (рисунок 1, б), то углы треугольника от этого не изменятся, и мы получим новый треугольник, подобный первому – треугольник сопротивлений (рисунок 1, в).

Рисунок 1. Получение треугольника сопротивлений

В треугольнике сопротивления, показанном отдельно на рисунке 2, все стороны обозначают сопротивления, причем гипотенуза его является полным или кажущимся сопротивлением цепи.

Из треугольника сопротивлений видно, что полное или кажущееся сопротивление z равно геометрической сумме активного r и индуктивного x_L сопротивлений.

Применяя теорему Пифагора к треугольнику сопротивлений, получаем:

z² = r² + x_L² ,

откуда

Если одно из сопротивлений цепи (активное или реактивное), например, в 10 и более раз меньше другого, то меньшим можно пренебречь, в чем легко можно убедиться непосредственным расчетом.

Пример 1. Определить полное сопротивление цепи, в которой r = 9 Ом и x_L = 12 Ом.

Было бы совершенно неправильно, если бы для определенного полного сопротивления были арифметически сложены оба сопротивления r и x_L, так как

9 + 12 = 21 Ом.

Результат, как мы видим, в этом случае получается неверный.

Пример 2. Полное сопротивление обмотки электромагнита z = 25 Ом. Активное сопротивление обмотки r = 15 Ом. Определить индуктивное сопротивление.

Так как

z² = r² + x_L² ,

то

x_L² = z² – r² ,

откуда

Поэтому

Пример 3. Индуктивное сопротивление обмотки электродвигателя переменного тока равно 14 Ом. Полное сопротивление ее равно 22 Ом. Найти активное сопротивление.

Так как

z² = r² + x_L² ,

то

r² = z² – x_L² ,

Поэтому

Пример 4. В цепи, изображенной на рисунке 3, определить показание вольтметра.

Рисунок 3. К примеру 4

U_а = I × r = 5 × 12 = 60 В.

U_L = I × x_L = 5 × 16 = 80 В.

Определим общее сопротивление:

Если умножить z на ток I, получим:

U = I × z = 5 × 20 = 100 В.

то есть тот же результат, что и выше.

Следовательно, если

U_а = I × r

и

U_L = I × x_L

то

U = I × z .

Источник: Кузнецов М. И., “Основы электротехники” – 9-е издание, исправленное – Москва: Высшая школа, 1964 – 560 с.

Треугольник сопротивлений

Если
стороны треугольника напряжений (фиг.
155, а) разделить на ток I (фиг. 155, б), то
углы треугольника от этого не из менятся,
и мы получим новый треугольник, подобный
первому — треугольник сопротивлений
(фиг. 155, в).

В
треугольнике сопротивления, показанном
отдельно на фиг. 156, все стороны обозначают
сопротивления, причем гипотенуза его
является полным или кажущимся
сопротивлением цепи.

Из
треугольника сопротивлений видно, что
полное или кажущееся сопротивление z
равно геометрической сумме активного
r и индуктивного x_Lсопротивлений.

Применяя
теорему Пифагора к треугольнику
сопротивлений, получаем:

Если
одно из сопротивлений цепи – (активное
или реактивное), например, в 10 и более
раз меньше другого, то меньшим можно
пренебречь, в чем легко убедиться
непосредственным расчетом.

Пример
8. Определить полное сопротивление цепи,
в которой r — 9 ом и х _L —
12 ом.

Было
бы совершенно неправильно, если бы для
определения полного сопротивления были
арифметически сложены оба сопротивления
r и х _L,
так как

9+12=21
ом.

Результат,
как видим, в этом случае получается
неверный.

Пример
9. Полное сопротивление обмотки
электромагнита z=25 ом. Активное
сопротивление обмотки r=15 ом. Определить
индуктивное сопротивление.

Так как

Пример
10. Индуктивное сопротивление обмотки
электродвигателя переменного тока
равно 14 ом. Полное сопротивление ее
равно 22 ом. Найти активное сопротивление.

Так
как

Следовательно,
если

Измерение
в омах.

10)
Резонанс в электрических цепях – это
увеличение токов и напряжений на
отдельных

участках
цепи при изменении частоты гармонического
сигнала. Физической основой

резонанса
в электрических цепях является обмен
реактивной энергией между

емкостными
и индуктивными элементами (конденсаторами
и катушками

индуктивности),
включенными в данную цепь.

Резонанс
может быть двух видов резонанс токов и
резонанс напряжений . 
Опишу подробнее
оба случая резонанса . 

Параллельный
колебательный контур – резонанс токов. 

В
этом случае на катушке и на конденсаторе
напряжение такое же, как у генератора.
При резонансе, сопротивление контура
между точками разветвления становится
максимальным, а ток (I общ) через
сопротивление нагрузки Rн будет
минимальным (ток внутри контура I-1л и
I-2с больше чем ток генератора). 
В
идеальном случае полное сопротивление
контура равно бесконечности – схема не
потребляет тока от источника. При
изменение частоты генератора в любую
сторону от резонансной частоты полное
сопротивление контура уменьшается и
линейный ток (I общ) возрастает. 

Последовательный
колебательный контур – резонанс
напряжений. 

В
этой схеме при резонансе полное
сопротивление контура минимально, ток
в контуре и через Rн возрастает до пиковой
величины. Эта большая величина тока при
ее умножении на индуктивное и емкостное
сопротивление дает высокое падения
напряжения на катушке индуктивности
(U-1л) и на конденсаторе (U-2с) и в реальных
условиях значительно превышают напряжение
генератора. 
Главной чертой
последовательного резонансного контура
является то, что его полное сопротивление
минимально при резонансе. (ZL + ZC –
минимум). При настройке частоты на
величину, превышающую или лежащую ниже
резонансной частоты, полное сопротивление
возрастает. 
Вывод: 
В параллельном
контуре при резонансе ток через выводы
контура равен 0, а напряжение максимально. 
В
последовательном контуре наоборот –
напряжение стремится к нулю, а ток
максимален. 

Добротность 
Настроенный
контур при резонансе характеризуется
величиной добротности, которая
обозначается Q. Добротность катушки
индуктивности обычно выражается, как
отношение её последовательного
реактивного сопротивления к активному.
Что это значит? 
Добротность
резонансного контура равна отношению
увеличения напряжения на емкости и
индуктивности по сравнению с напряжением,
поданным на контур (для последовательного
резонанса) 
Также можно сказать,
что отношение энергии, запасенной
реактивными элементами контура, к
энергии омических (резистивных) потерь
за период принято называть добротностью
контура Q. Величину, обратную добротности
d=1/Q, называют затуханием контура. 
Добротность
зависит от качества элементов контура.
Для ее увеличения необходимо минимальное
активное сопротивление индуктивности
(толстый провод) и минимальные утечки
в ёмкости (хороший изолятор). Чем выше
добротность, тем лучше (острее) резонансная
кривая. 
Говоря по-простому – чем
выше добротность, тем дольше происходит
затухание свободных колебаний в контуре
после отключения поданного
напряжения. 
Добротность реальных
колебательных контуров составляет от
нескольких единиц до сотни и более.

11)
РЕЗОНАНС
НАПРЯЖЕНИЙ 

Имеются два случая резонанса в колебательных контурах: резонанс напряжений и резонанс токов. Резонанс напряжений, или последовательный резонанс, наблюдается в случае, когда генератор переменной эдс нагружен Рис.1 – Схема и резонансные кривые для резонанса напряжений на соединенные последовательно L и С контура (рис.1 а), т.е. включен внутри контура. В такой цепи имеется активное сопротивление г и общее реактивное сопротивление х, равное Разность хL, и xC берется потому, что индуктивное и емкостное сопротивления оказывают противоположные влияния на ток. Первое вызывает отставание по фазе тока от напряжения, а второе, наоборот, создает отставание напряжения от тока. Для собственных колебаний xL и хс равны друг другу. Если частота генератора равна частоте контура, то для тока, создаваемого генератором, xL и хC также одинаковы. Тогда общее реактивное сопротивление х станет равным нулю и полное сопротивление цепи для генератора равно только одному активному сопротивлению, которое в контурах имеет сравнительно небольшую величину. Благодаря этому ток значительно возрастает и устраняется сдвиг фаз между напряжением генератора и током. Резонанс напряжений выражается в том, что полное сопротивление контура становится наименьшим и равным активному сопротивлению, а ток становится максимальным. Условием резонанса напряжений является равенство частот генератора и контура f = fo, или равенство индуктивного и емкостного сопротивлений для тока генератора: xL = хC. Когда частота генератора больше частоты контура, индуктивное сопротивление преобладает над емкостным и контур представляет для генератора сопротивление индуктивного характера. Если частота генератора меньше частоты контура, то емкостное сопротивление больше индуктивного и контур для генератора является сопротивлением емкостного характера. В любом из этих случаев при отклонении от резонанса полное сопротивление контура возрастает по сравнению а его величиной при резонансе. На (рис.1 б) показаны графики изменения полного сопротивления контура z и тока I при изменении частоты генератора f. Для расчета сопротивления контура и тока при резонансе напряжений служат простые формулы: Таким образом, напряжение генератора U равно падению напряжения на активном сопротивлении (г). Большой ток в контуре при резонансе создает на индуктивном и емкостном сопротивлениях напряжения, значительно превышающие напряжение генератора. Они равны: Так как хL = хC = р, то эти напряжения равны, но они противоположны по фазе и взаимно компенсируют друг друга. Действительно, напряжение на катушке опережает ток на 90°, а напряжение на конденсаторе отстает от тока на 90°. Ясно, что между этими напряжениями сдвиг фаз равен 180°. Кривая резонанса для тока, приведенная на (рис.1 6), при небольшом Изменении частоты показывает также изменение напряжения UL и Uс (только в ином масштабе). Это следует из того, что при изменении частоты вблизи резонанса ток меняется сильно, а сопротивления xL и хC — сравнительно мало. Например, если fpeз — 1000 кгц и частота изменяется на 20 кгц, т.е. на 2%, то сопротивления xL и хС изменяются каждое также только на 2%. В результате напряжения UL = IxL и Uc = IxС изменяются почти точно пропорционально току. При резонансе напряжение на катушке или на конденсаторе в Q раз больше, чем напряжение генератора, равное U — Ir. Напряжение на L или С равно UL = Uc = р. Поэтому Чем выше добротность контура Q, тем больше увеличение напряжения при резонансе. Повышение напряжения на катушке и на конденсаторе характерно для резонанса напряжений, само название которого подчеркивает увеличение напряжения в момент резонанса. Большие напряжения на катушке и конденсаторе получаются за счет постепенного накопления энергии в контуре в процессе возникновения в нем колебаний. Эдс генератора возбуждает в контуре колебания, амплитуда которых нарастает до тех пор, пока энергия, даваемая генератором, не станет равна потерям энергии в активном сопротивлении контура. После этого в контуре происходят мощные колебания, характеризующиеся большой величиной тока и большими напряжениями, а генератор расходует небольшую мощность только для компенсации потерь энергии. Подобно этому можно, раскачивая тяжелый маятник легкими движениями руки с частотой, равной его собственной частоте, постепенно довести амплитуду колебаний маятника до значительной величины, во много раз превышающей амплитуду колебаний руки, играющей роль генератора. Резонанс напряжений применяется в радиотехнике для получения максимального тока и напряжения в контуре. Например, антенный контур радиопередатчика настраивают на резонанс напряжений для того, чтобы ток в антенне был максимальным. Тогда дальность действия передатчика будет наибольшей. Входной контур приемника также настраивают на резонанс напряжений для того, чтобы получить усиление напряжения сигналов той радиостанции, на частоту которой настроен контур. Напряжения сигналов других радиостанций, частоты которых отличаются от резонансной частоты приемного контура, усиливаются незначительно. При резонансе напряжений в величину активного сопротивления контура входит внутреннее сопротивление генератора. Если оно велико, то качество контура может стать низким и резонансные свойства его будут выражены слабо. Поэтому для резонанса напряжений генератор, питающий контур, должен иметь малое внутреннее сопротивление.

12)
Добротность —
характеристика колебательной системы,
определяющая полосу резонанса и
показывающая, во сколько раз запасы
энергии в системе больше, чем потери
энергии за один период колебаний.

13,16)
Активная (мощность и проводимость)

Единица
измерения — ватт (W,
Вт).

Среднее
за период T значение
мгновенной мощности называется активной
мощностью: В
цепях однофазного синусоидального
тока где U и I — среднеквадратичные
значения напряжения и тока, φ — угол
сдвига фаз между
ними. Для цепей несинусоидального тока
электрическая мощность равна сумме
соответствующих средних мощностей
отдельных гармоник. Активная мощность
характеризует скорость необратимого
превращения электрической энергии в
другие виды энергии (тепловую и
электромагнитную). Активная мощность
может быть также выражена через силу
тока, напряжение и активную составляющую
сопротивления цепи r или
её проводимость g по
формуле В
любой электрической цепи как
синусоидального, так и несинусоидального
тока активная мощность всей цепи равна
сумме активных мощностей отдельных
частей цепи, для трёхфазных
цепей электрическая
мощность определяется как сумма мощностей
отдельных фаз. С полной мощностью S активная
связана соотношением 

В
теории длинных
линий (анализ
электромагнитных процессов в линии
передачи, длина которой сравнима с
длиной электромагнитной волны) полным
аналогом активной мощности является
проходящая мощность, которая определяется
как разность между падающей мощностью
и отраженной мощностью.

Реактивная

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

          

Методы расчета резисторных схем постоянного тока

3. Преобразование и расчет цепей с помощью перехода «звезда» — «треугольник»

Рассматриваемый метод основан на том, что сложную схему, имеющую три вывода (узла), можно заменить другой, с тем же числом выводов (узлов). Замену следует произвести так, чтобы сопротивление участка между двумя любыми выводами новой схемы было таким же, как у прежней. В результате получится цепь, сопротивление которой эквивалентно сопротивлению данной по условию. Общее сопротивление обеих цепей будет одинаковым. Однако, поскольку в результате такого преобразования изменяются токи внутри цепи, такую замену можно проводить только в тех случаях, когда не надо находить распределение токов.

Подобные преобразования широко известны для случая двух выводов. Так, например, два резистора сопротивлениями R₁ и R₂, включенные последовательно, можно заменить одним резистором сопротивлением R₁ + R₂. Если резисторы включены параллельно, то их можно заменить одним резистором сопротивлением

$frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$

И в этих случаях распределение токов в цепи (или в части цепи) претерпевает изменения. Рассмотрим более сложное преобразование схем, имеющих три вывода (трехполюсников). Иначе это называется преобразованием «звезды» (рис. а) в «треугольник» (рис. б), и наоборот.

Сопротивления резисторов в схеме «звезда» обозначаются с индексом точки, с которой соединен этот резистор, например, резистор r₁ соединен с точкой 1. В «треугольнике» индексы резисторов соответствуют точкам, между которыми они включены, например, резистор R₁₃ подключен к точкам 1 и 3. Как отмечено выше, чтобы заменить одну из этих схем другой, нужно получить такие соотношения между их сопротивлениями, чтобы эквивалентные сопротивления между любыми точками были одинаковы для обеих схем (при условии сохранения числа этих точек). Так, в «звезде» сопротивление между точками 1 и 2 равно r₁ + r₂, в «треугольнике»

$frac{R_{12}(R_{13} + R_{23})}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$,

следовательно, для того чтобы сопротивления между точками 1 и 2 были одинаковы для обеих схем, необходимо, чтобы выполнялось следующее равенство:

$r_1 + r_2 = frac{R_{12}(R_{13} + R_{23})}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$.

Аналогично для точек 2 и 3 и для точек 1 и 3:

$r_2 + r_3 = frac{R_{23}(R_{12} + R_{13})}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$,

$r_1 + r_3 = frac{R_{13}(R_{12} + R_{23})}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$.

Сложим все эти уравнения и, поделив обе части на 2, получим:

$r_1 + r_2 + r_3 = frac{R_{12}R_{13} + R_{12}R_{23} + R_{13}R_{23}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$.

Вычитая из этого уравнения поочередно предыдущие, получим:

$r_1 = frac{R_{12}R_{13}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$,

$r_2 = frac{R_{12}R_{23}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$,

$r_3 = frac{R_{13}R_{23}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$.

Эти выражения легко запомнить:

знаменатель в каждой формуле есть сумма сопротивлений всех резисторов «треугольника», а в числителе дважды повторяется индекс, стоящий слева:

$r_1 rightarrow R_{12}R_{13}, r_2 rightarrow R_{12}R_{23}, r_3 rightarrow R_{13}R_{23}$.

Аналогично получают и формулы обратного преобразования:

$R_{12} = frac{r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3}{r_3}$,

$R_{13} = frac{r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3}{r_2}$,

$R_{23} = frac{r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3}{r_1}$.

Последние выражения также легко запомнить и проверить:

числитель у всех уравнений один и тот же, а в знаменателе стоит сопротивление резистора с индексом, которого не достает в левой части выражения.

Этот метод представляет собой наиболее универсальный подход к решению практически всех типов задач на разветвленные цепи.

Задача 27. Определите сопротивление цепи АВ (рис.), если R₁ = R₅ = 1 Ом, R₂ = R₆ = 2 Ом, R₃ = R₇ = 3 Ом, R₄ = R₈ = 4 Ом.

Решение. Преобразуем «треугольники» R₁R₂R₈ и R₄R₅R₆ в эквивалентные «звезды». Схема примет иной вид (рис.).

Сопротивления $r_1, r_2, …, r_6$ найдем по формулам:

$r_1 = frac{R_1R_8}{R_1 + R_2 + R_8} = frac{4}{7}$ Ом;

$r_2 = frac{R_1R_2}{R_1 + R_2 + R_8} = frac{2}{7}$ Ом;

$r_3 = frac{R_2R_8}{R_1 + R_2 + R_8} = frac{8}{7}$ Ом;

$r_4 = frac{R_4R_6}{R_4 + R_5 + R_6} = frac{8}{7}$ Ом;

$r_5 = frac{R_5R_6}{R_4 + R_5 + R_6} = frac{2}{7}$ Ом;

$r_6 = frac{R_4R_5}{R_4 + R_5 + R_6} = frac{4}{7}$ Ом.

Теперь нет никаких препятствий для расчета схемы, которая состоит из последовательно и параллельно соединенных резисторов (рис.). После простых расчетов получим

$R_{AB} = frac{47}{14}$ Ом

---

1.1. Шаговый (рекуррентный) метод

1.2. Метод преобразования

1.3. Метод равнопотенциальных узлов

1.3.1. Метод исключения «пассивных» участков цепи

1.3.2. Метод объединения равнопотенциальных узлов

1.3.3. Метод разделения узлов

1.3.4. Метод расщепления ветвей

1.4.1 Расчет эквивалентных сопротивлений линейных бесконечных цепей

1.4.2. Расчет эквивалентных сопротивлений плоскостных бесконечных цепей

1.4.3. Расчет эквивалентных сопротивлений объемных бесконечных цепей

2. Расчет цепей по правилам Кирхгофа

3. Преобразование и расчет цепей с помощью перехода «звезда» — «треугольник»