Как найти сопротивление контура через магнитный поток

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Магнитное сопротивление или магнитное сопротивление оппозиции средство представляет прохождение магнитного потока: большее нежелание более трудно установить магнитный поток. В магнитной цепи сопротивление играет ту же роль, что и электрическое сопротивление в электрической цепи.

Катушка, переносимая электрическим током, является примером очень простой магнитной цепи. Благодаря току создается магнитный поток, который зависит от геометрического расположения катушки, а также от силы тока, протекающего через нее.

Рисунок 1. Магнитное сопротивление – это характеристика магнитных цепей, таких как трансформатор. Источник: Pixabay.

Формулы и единицы измерения

Обозначая магнитный поток через Φ _m , имеем:

Куда:

-N – количество витков катушки.

-Сила тока i.

-ℓ _c представляет длину цепи.

– A _c – площадь поперечного сечения.

-μ – проницаемость среды.

Фактор в знаменателе, который объединяет геометрию плюс влияние среды, и есть магнитное сопротивление цепи, скалярная величина, которая обозначается буквой, чтобы отличить ее от электрического сопротивления. Так:

В Международной системе единиц (СИ) ℜ измеряется как величина, обратная генри (умноженная на количество витков N). В свою очередь, Генри – это единица измерения магнитной индукции, эквивалентная 1 тесла (Тл) x квадратный метр / ампер. Таким образом:

1 H ^-1 = 1 А / Тм ²

Поскольку 1 Tm ² = 1 Вебер (Wb), сопротивление также выражается в A / Wb (ампер / Вебер или, чаще, ампер-виток / Вебер).

Как рассчитывается магнитное сопротивление?

Поскольку магнитное сопротивление играет ту же роль, что и электрическое сопротивление в магнитной цепи, можно расширить аналогию с помощью эквивалента закона Ома V = IR для этих цепей.

Хотя он не циркулирует должным образом, магнитный поток Φ _m заменяет ток, тогда как вместо напряжения V определяется магнитное напряжение или магнитодвижущая сила, аналогичные электродвижущей силе или ЭДС в электрических цепях.

Магнитодвижущая сила отвечает за поддержание магнитного потока. Это сокращенно fmm и обозначается как ℱ. Таким образом, мы наконец получили уравнение, которое связывает три величины:

И сравнивая с уравнением Φ _m = Ni / (ℓ _c / μA _c ), делается вывод, что:

Таким образом, сопротивление может быть вычислено, зная геометрию контура и проницаемость среды, а также зная магнитный поток и магнитное напряжение, благодаря этому последнему уравнению, называемому законом Гопкинсона.

Разница с электрическим сопротивлением

Уравнение для магнитного сопротивления ℜ = ℓ _c / μA _c аналогично R = L / σA для электрического сопротивления. В последнем случае σ представляет собой проводимость материала, L – длину провода, а A – площадь его поперечного сечения.

Эти три величины: σ, L и A постоянны. Однако проницаемость среды μ, как правило, непостоянна, так что магнитное сопротивление цепи также непостоянно, в отличие от ее электрического аналога.

Если происходит изменение среды, например, при переходе от воздуха к железу или наоборот, происходит изменение проницаемости с последующим изменением сопротивления. А также магнитные материалы проходят циклы гистерезиса.

Это означает, что приложение внешнего поля заставляет материал сохранять некоторую часть магнетизма даже после того, как поле снято.

По этой причине каждый раз, когда рассчитывается магнитное сопротивление, необходимо тщательно определять, где материал находится в цикле, и, таким образом, знать его намагниченность.

Примеры

Хотя сопротивление сильно зависит от геометрии контура, оно также зависит от проницаемости среды. Чем выше это значение, тем меньше сопротивление; так обстоит дело с ферромагнитными материалами. С другой стороны, воздух имеет низкую проницаемость, поэтому его магнитное сопротивление выше.

Соленоиды

Соленоид – это обмотка длиной, состоящая из N витков, через которую пропускается электрический ток I. Как правило, витки намотаны по кругу.

Внутри него создается сильное и однородное магнитное поле, а снаружи поле становится примерно нулевым.

Рисунок 2. Магнитное поле внутри соленоида. Источник: Wikimedia Commons. Rajiv1840478.

Если обмотке придать круглую форму, у нее будет тор. Внутри может быть воздух, но если поместить железный сердечник, магнитный поток будет намного выше, благодаря высокой проницаемости этого минерала.

Катушка намотана на прямоугольный железный сердечник

Магнитную цепь можно построить, намотав катушку на прямоугольный железный сердечник. Таким образом, когда через провод проходит ток, можно создать ограниченный поток интенсивного поля внутри стального сердечника, как показано на рисунке 3.

Сопротивление зависит от длины цепи и площади поперечного сечения, указанной на рисунке. Показанная схема является однородной, так как сердечник изготовлен из одного материала, а поперечное сечение остается однородным.

Рисунок 3. Простая магнитная цепь, состоящая из катушки, намотанной на железный сердечник прямоугольной формы. Источник слева: Wikimedia Commons. Часто

Решенные упражнения

– Упражнение 1

Найдите магнитное сопротивление прямолинейного соленоида с 2000 витками, зная, что когда через него протекает ток 5 А, создается магнитный поток 8 мВт.

Решение

Уравнение ℱ = Ni используется для расчета магнитного напряжения, так как доступны сила тока и количество витков в катушке. Просто умножается:

Тогда используется ℱ = Φ _m . ℜ, стараясь выразить магнитный поток в Вебере (приставка «м» означает «милли», поэтому ее умножаем на 10 ^-3 :

Теперь сопротивление очищено и подставлены значения:

– Упражнение 2.

Рассчитайте магнитное сопротивление цепи, показанной на рисунке, с указанными размерами в сантиметрах. Проницаемость керна составляет μ = 0,005655 Т · м / А, а площадь поперечного сечения постоянна, 25 см ² .

Рисунок 4. Магнитная схема примера 2. Источник: Ф. Сапата.

Решение

Применим формулу:

Проницаемость и площадь поперечного сечения доступны как данные в отчете. Осталось найти длину контура, которая является периметром красного прямоугольника на рисунке.

Для этого длину горизонтальной стороны усредняют, добавляя большую длину и меньшую длину: (55 + 25 см) / 2 = 40 см. Затем действуйте таким же образом для вертикальной стороны: (60 + 30 см) / 2 = 45 см.

Наконец, складываются средние длины четырех сторон:

Вычтите подставляемые значения в формуле сопротивления, но не раньше, чем выразите длину и площадь поперечного сечения, указанные в заявлении, в единицах СИ:

Ссылки

1. Алеман, М. Ферромагнитный сердечник. Получено с: youtube.com.
2. Магнитная цепь и сопротивление. Получено с: mse.ndhu.edu.tw.
3. Спинадел, Э. 1982. Электрические и магнитные цепи. Новая библиотека.
4. Wikipedia. Магнитодвижущая сила. Получено с: es.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Магнитное сопротивление. Получено с: es.wikipedia.org.

Проводящий контур в переменном магнитном поле

Пример 11.7.

Магнитный
поток через замкнутый проводящий контур
сопротивлением R = 10 Ом
изменяется со временем t
по закону Ф = t²,
где  = 10
Вб/с².
Определите силу тока I
в контуре в момент времени t = 1 мс.

Решение.

Мгновенное
значение ЭДС индукции, согласно
закону Фарадея, определяется как

.

Тогда ток в контуре
по закону Ома равен

мА.

Знак минус в полученном
выражении свидетельствует о том, что
направление индукционного тока
противоположно направлению положительного
обхода контура, которое в свою очередь
согласовано с направлением вектора
нормали к поверхности, натянутой на
контур. Причиной индукционного тока
является вихревое электрическое поле,
порождаемое изменяющимся магнитным
полем, если контур неподвижен, и сила
Лоренца, если он перемещается в
неоднородном постоянном магнитном
поле.

Пример 11.8.

На длинный
соленоид, имеющий диаметр сечения
d = 5 см
и содержащий n = 20 витков
на 1 см длины, плотно надет круговой
виток из медного провода сечением
s = 1 мм²
(удельное сопротивление меди
).
Найдите ток в витке, если ток в обмотке
соленоида увеличивают с постоянной
скоростью100 А/с.
Магнитным полем индукционного тока
пренебречь.

Решение.

Магнитное поле внутри длинного соленоида
однородно и равно

,

где n 
число витков на единицу длины, а I
– мгновенное значение
тока. Поэтому, при выборе направления
нормали к поверхности витка вдоль
направления поля, магнитный поток через
эту поверхность равен

,

где
– площадь поверхности витка.

При увеличении
тока в обмотке соленоида магнитный
поток через виток возрастает, и возникающий
индукционный ток определяется выражением

,

где
,
а знак минус означает, что индукционный
ток течет в направлении, противоположном
направлению положительного обхода
витка, согласованного с направлением
нормали.

Тогда, величина
тока через виток в момент времени t
равна

мА.

Пример 11.9.

Плоский контур
(рис.13), имеющий вид двух квадратов со
сторонами a = 20 см
и b = 10 см,
находится в однородном магнитном поле,
перпендикулярном его плоскости. Индукцию
поля меняют по закону
,
гдеB₀ = 10 мТл
и  = 100 с^–1.
Найдите амплитуду индукционного тока
в контуре, если сопротивление единицы
его длины
.
Магнитным полем этого тока пренебречь.

Рис.13

Решение.

Индукционный ток в
рамке равен

.

На рис.14 показано
направление магнитного поля, а также
нормалей к поверхности каждого из
квадратов, составляющих контур,
согласованные единым направлением
положительного обхода. С учетом этого
суммарный магнитный поток через контур
равен

.

Рис.14

Откуда

.

Учитывая,
что сопротивление контура равно
,
найдем амплитуду индукционного тока

нА

Заряд и изменение магнитного потока

Пример 11.10.

Квадрат,
изготовленный из проволоки сопротивлением
R
= 1 Ом, помещен в однородное магнитное
поле, вектор индукции
которого перпендикулярен плоскости
квадрата. Длина стороны квадратаа = 1 см.
Величина индукции маг­нитного поля
сначала равна B=0,1
Тл а затем ее уменьшают до нуля. Найдите
величину q
заряда, который в результате переместится
через поперечное сече­ние проволоки.

Решение.

Количество
электричества, протекающего через любое
поперечное сечение контура с сопротивлением
R
при изменении магнитного потока сквозь
контур на величину
,
равно:

.

Отметим,
что величина q
не зависит от характера
временной зависимости изменения
магнитного потока, а определяется только
его начальным и конечным значениями.
Так как индукция магнитного поля меняется
от
до нуля, приращение магнитного потока,
пронизывающего контур, равно

.

Величина
заряда, который протекает по проволоке,
определится выражением

Кл.

Соседние файлы в папке Примеры решений

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Магнитной цепью называется устройство, отдельные участки которого выполнены из ферромагнитных материалов, по которым замыкается магнитный поток. Примерами простейших цепей могут служить магнитопроводы кольцевой катушки и электромагнита, изображенного на рис. 6.11, а. Электрические машины и трансформаторы, электромагнитные аппараты и приборы имеют обычно магнитные цепи более сложной формы.

Рис. 6.11 Магнитные цепи (а — неразветвленная, б — разветвленная)

Если магнитная цепь выполнена из одного и того же материала и имеет по всей длине одинаковое сечение, то цепь называется однородной.

Если же отдельные участки цепи изготовлены из различных ферромагнитных материалов и имеют различные длины и сечения, то цепь — неоднородная.

Магнитные цепи, так же как и электрические, бывают разветвленные (рис. 6.11,6) и неразветвленные (рис. 6.11,а).

В неразветвленных цепях магнитный поток Ф во всех сечениях имеет одно и то же значение.

Разветвленные цепи могут быть симметричными и несимметричными. Цепь, представленная на рис. 6.11,6, считается симметричной, если правая и левая части ее имеют одинаковые размеры, выполнены из одного и того же материала и если МДС I₁W₁ и I₂W₂ одинаковы. При невыполнении хотя бы одного из указанных условий цепь будет несимметричной.

Разобьем неразветвленную магнитную цепь, например, на рис 6.11, а на ряд однородных участков, каждый из которых выполнен из определенного материала и имеет одинаковое поперечное сечение S вдоль всей своей длины. Длину каждого участка L будем считать равной длине средней магнитной линии в пределах этого участка. Из сказанного выше следует, что магнитные потоки всех участков неразветвленной цепи равны, т. е.

Ф₁=Ф₂=Ф₃=…=Ф_n,

и поле на каждом участке можно считать однородным, т. е. Ф= BS; поэтому

B₁S₁=B₂S₂=B₃S3=…=B_nS_n

Где n — число участков цепи. Магнитное напряжение на любом из участков магнитной цепи

Где H — Напряженность, (измеряется в ампер на метр А/М).

B — Магнитная индукция (измеряется в теслах Тл).

L — Длинна средне силовой линии проходящей через центр поперечного сечения магнитопровода.

S — площадь поперечного сечения магнитопровода.

  — Магнитная постоянная.

μ_r — Магнитная проницаемость ферромагнетиков.

При заданном направлении тока в обмотке направление потока и МДС IW определяется по правилу буравчика.

Магнитное сопротивление и закон Ома для магнитной цепи.

По аналогии с электрической цепью величину

называют магнитным сопротивлением участка магнитной цепи (измеряется в 1/Гн).

Таким образом, магнитное напряжениеВыражение (3) по аналогии с электрической цепью часто называют законом Ома для магнитной цепи Однако вследствие нелинейности цепи, вызванной непостоянством магнитной проницаемости μ_r ферромагнетиков, оно практически не применяется для расчета магнитных цепей.

Законы Кирхгофа для магнитной цепи

При расчетах разветвленных магнитных цепей пользуются двумя законами Кирхгофа, аналогичными законам Кирхгофа для электрической цепи.

Первый закон Кирхгофа непосредственно вытекает из непрерывности магнитных линий, т.е. и магнитного потока; алгебраическая сумма магнитных потоков в точке разветвления равна нулю:

Например, для узла а на рис. 6.11,б

— Ф1 — Ф2 + Ф3 = 0

Второй закон Кирхгофа для магнитной цепи основывается на законе полного тока: алгебраическая сумма магнитных напряжений на отдельных участках цепи равна алгебраической сумме МДС:

Например, для левого контура и а рис. 6.11, бКак следует из закона Ома, для получения наибольшего магнитного потока при наименьшей МДС у магнитной цепи должно быть возможно меньшее магнитное сопротивление. Большая магнитная проницаемость ферромагнитных материалов обеспечивает получение малых магнитных сопротивлений магнитопроводов из этих материалов. Поэтому магнитные цепи электрических машин выполняют преимущественно из ферромагнетиков, а участки цепей из неферромагнитных материалов, то есть неизбежные или необходимые воздушные зазоры, делают, как правило, возможно малыми.

Схема устройства магнитной цепи двухполюсной машины с явно выраженными полюсами показана на рис. 6.12.

Рис. 6.12 Магнитная цепь электрической машины с явно выраженными полюсами

Плоскость 00′, проведенная через середины полюсов N и S и ось машины, делит магнитную цепь на две симметричные части. В каждой из них магнитный поток Ф/2 замыкается через полюсы П, полюсные наконечники ПН, воздушные зазоры, якорь Я и станину машины С. Магнитодвижущая сила создается током в обмотке возбуждения ОВ, расположенной на полюсах N и S. Из северного полюса N магнитные линии выходят и в южный полюс S входят.

Рис, 6.13. Магнитная цепь электрической машины с неявно выраженными полюсами

Схема устройства магнитной цепи двухполюсной машины с неявно выраженными полюсами показана на рис. 6.13. Здесь обмотка возбуждения заложена в пазы ротора Р — вращающейся части машины, укрепленной на валу. Как и в предыдущем случае, плоскость 00′, проведенная через середины полюсов N и S, делит магнитную цепь машины на две симметричные части, в каждой из которых магнитный поток Ф/2. Магнитный поток замыкается через ротор машины, воздушные зазоры и станину машины С, представляющую собой неподвижный наружный стальной цилиндр — статор машины.

Содержание:

Магнитные цепи:

В конструкцию многих электротехнических устройств (электрических машин, трансформаторов, электрических аппаратов, измерительных приборов и т. д.) входят магнитные цепи.

Магнитной цепью называется часть электротехнического устройства, содержащая ферромагнитные тела, в которой при наличии намагничивающей силы возникает магнитный поток и вдоль которой замыкаются линии магнитной индукции. Источниками намагничивающей силы могут быть катушки с токами, постоянные магниты.

В конструктивном отношении магнитные цепи выполняют неразветвленными и разветвленными; применение того или иного вида цепи определяется в основном назначением электромагнитного устройства.

Расчет неразветвленной однородной магнитной цепи

В неразветвленной магнитной цепи (рис. 9.1, 9.2) магнитный поток во всех участках один и тот же.

При расчете и конструировании магнитной цепи электромагнитного устройства решаются вопросы, связанные с выбором размеров, формы, материалов. Эти вопросы изучают в специальных курсах.
Здесь рассмотрим расчет для существующей или сконструированной магнитной цепи, размеры и материалы которой, а также расположение обмоток с токами известны. При этом решают задачи двух типов.

Прямая задача:

По заданному магнитному потоку в цепи требуется определить намагничивающую силу, необходимую для создания этого потока.

Рассмотрим решение этой задачи для неразветвленной однородной магнитной цепи (см. рис. 9.1) без учета потоков рассеяния.

1.    По заданному магнитному потоку и известной площади S поперечного сечения сердечника находят магнитную индукцию:

2.    Определяют напряженность магнитного поля Н в сердечнике. Зависимость В(Н) — характеристика намагничивания — для стали нелинейная, а магнитная проницаемость 

Рис. 9.1. Неразветвленная однородная магнитная цепь

Рис. 9.2. Неразветвленная неоднородная магнитная цепь

Обычно напряженность магнитного поля определяют по кривой намагничивания данного сорта стали (см. рис. 8.30 и приложение 4).

3. Находят намагничивающую силу по закону полного тока [см. формулу (8.41)]:

где l — длина магнитопровода, подсчитанная по средней линии без учета закруглений, причем условно принимается, что эта средняя линия во всех точках совпадает с линией магнитной индукции.

Обратная задача:

По заданной намагничивающей силе требуется найти магнитный поток в магнитопроводе.
1.    Определяют напряженность магнитного поля в сердечнике:

2.    По кривой намагничивания данного сорта стали находят магнитную индукцию В.
3.    Определяют магнитный поток:

Для конкретных величин В и Н, определенных в ходе решения задачи, можно подсчитать статическую магнитную проницаемость данного сорта стали по формуле (8.37):

тогда магнитная индукция

магнитный поток

Обозначив знаменатель этого выражения через R_м:

получим

Магнитное сопротивление

Выражение (9.2) по форме напоминает закон Ома для электрической цепи: на месте тока стоит магнитный поток, на месте э. д. с. — намагничивающая сила (ее называют еще магнитодвижущей силой — м. д. с.). Величину R_м называют магнитным сопротивлением. Выражение магнитного сопротивления сердечника по форме аналогично выражению для определения сопротивления проводника электрическому току. Нужно отметить, что формулы для электрической и магнитной цепей похожи только написанием. Никакого физического подобия явлений в электрической и магнитной цепях не существует.

Расчет магнитных цепей обычно проводят без определения магнитного сопротивления. Это понятие используют в некоторых случаях при качественном рассмотрении явлений в магнитных цепях. Пользуясь им, найдем, как должна измениться намагничивающая сила катушки, если в стальном сердечнике (см. рис. 9.1) сделать хотя бы незначительный воздушный зазор, а магнитный поток при этом должен остаться таким же.
Предположим, что в стальном сердечнике длиной l = 100 мм имеется воздушный зазор δ = 1 мм.
Магнитное сопротивление сердечника

Магнитное сопротивление сердечника с воздушным зазором равно сумме сопротивлений двух участков.

Сопротивление стальной части магнитной цепи при той же магнитной индукции останется практически без изменения, так как уменьшение длины ее очень незначительно (≈ 1 %).

Сопротивление воздушного зазора

Предположим, что относительная магнитная проницаемость стали  = 1000, тогда

и

Магнитное сопротивление воздушного зазора оказывается в 10 раз больше сопротивления стального сердечника.

Отсюда следует, что для обеспечения того же магнитного потока при наличии воздушного зазора в 1 мм нужно иметь намагничивающую силу примерно в 10 раз большую, чем при его отсутствии. Эта разница оказывается во много раз большей для сердечников из специальных сплавов, для которых величина достигает сотен тысяч.

Поэтому во всех случаях, когда по условиям работы электромагнитного устройства без воздушного зазора обойтись нельзя, следует по возможности его сокращать.

Задача 9.1.

В сердечнике кольцевой формы из электротехнической стали нужно получить магнитный поток Ф = 2 • 10^-3 Вб. Определить: 1) ток в обмотке, имеющей N = 100 витков; 2) магнитную проницаемость стали при заданном потоке в сердечнике; 3) индуктивность катушки.
Размеры сердечника заданы в миллиметрах на рис. 9.3.

Рис. 9.3. К задаче 9.1

Решение. Площадь сечения сердечника

Считая магнитную индукцию по сечению сердечника постоянной, найдем ее величину по заданному потоку:

По кривой намагничивания (см.рис. 8.30) определим напряженность магнитного поля: H = 50 А/см = 5000 А/м.
Намагничивающая сила, необходимая для создания заданного потока,

Ток в обмотке

Магнитная проницаемость стали при найденных величинах В и H

Относительная магнитная проницаемость

Индуктивность катушки

 

Задача 9.3.

Определить магнитный поток и магнитное сопротивление сердечника (рис. 9.4), размеры которого заданы в миллиметрах, если в катушке с числом витков N = 200 ток I = 6 А. Сердечник изготовлен из электротехнической стали 1511, причем 10% его сечения занимает изоляция между листами.

Рис. 9.4. К задаче 9.3

Решение. Намагничивающая сила и напряженность поля


где I — длина замкнутого сердечника по средней линии; согласно размерам, указанным на чертеже, l = 80 см = 0,8 м.
Магнитная индукция по характеристике намагничивания электротехнической стали 1511 В = 1,42 Тл.
Полная площадь сечения сердечника

Активная площадь

Магнитный поток

Магнитная проницаемость при заданной величине намагничивающей силы
Магнитное сопротивление

Расчет неразветвленной неоднородной магнитной цепи

Неоднородная магнитная цепь состоит из нескольких участков, отличающихся в общем случае длиной, поперечным сечением и материалом. Чаще всего встречаются магнитные цепи, у которых кроме участков из ферромагнитных материалов имеются воздушные зазоры.

Прямая задача:

При решении прямой задачи размеры и материалы каждого участка цепи известны, а магнитный поток задан; определяют намагничивающую силу. Порядок решения прямой задачи такой же, как и для однородной цепи, но магнитную индукцию и напряженность поля определяют для каждого участка; при этом потоки рассеяния в расчет не принимают.

Магнитная индукция k-го участка

где S_k — площадь поперечного сечения k-го участка.
По магнитной индукции определяют напряженность поля: для участков из ферромагнитных материалов — по кривым намагничивания; для воздушных зазоров и других участков из неферромагнитных материалов — по формуле
Далее составляют уравнение согласно закону полного тока:

где Н_k — напряженность магнитного поля k-го участка (принимают ее одинаковой во всех точках этого участка); l_k — длина k-то участка, взятая по средней линии; Н_kl_k — магнитное напряжение _к-то участка (далее магнитное напряжение будем обозначать U_m);  — алгебраическая сумма намагничивающих сил всех обмоток, входящих в рассматриваемую цепь.

Намагничивающую силу считают положительной в левой части уравнения (9.3), если ее направление, определенное по правилу буравчика, совпадает с направлением обхода магнитного контура. Магнитное напряжение в правой части уравнения считают положительным, если направление магнитного потока совпадает с направлением обхода контура.
Для магнитной цепи (см. рис. 9.2) развернутое уравнение (9.3) имеет вид

 

Обратная задача:

Обратную задачу — определение магнитного потока по заданным намагничивающим силам — нельзя решить так же просто, как для однородной цепи, так как нельзя сразу установить распределение магнитного напряжения между участками.

Нельзя воспользоваться формулой (9.2), так как магнитное сопротивление участка из ферромагнитного материала зависит от величины , которая определяется не известной еще магнитной индукцией.

Задачу можно решить методом последовательных приближений.
При наличии в цепи воздушного зазора первое значение магнитного потока можно взять, считая магнитное сопротивление воздушного зазора равным сопротивлению всей магнитной цепи. 

Основанием для такого выбора является то, что даже малый воздушный зазор имеет магнитное сопротивление, значительно большее, чем вся остальная часть цепи, выполненная из ферромагнитных материалов.
Пренебрегая в первом приближении магнитным сопротивлением ферромагнитной части цепи, получим поток

Определить магнитный поток можно, построив кривую намагничивания цепи в целом. Для этого нужно задаться произвольно несколькими величинами магнитного потока и определить соответствующие им величины намагничивающей силы.

Рис. 9.5. Кривая намагничивания магнитной цепи

Рис. 9.6. К расчету неразветвленной неоднородной магнитной цепи (обратная задача)

По результатам расчета строится кривая намагничивания цепи (рис. 9.5). По кривой находят магнитный поток, соответствующий заданной намагничивающей силе.

Возможен и другой путь графо-аналитического решения обратной задачи (рис. 9.6). По взятым произвольно нескольким величинам магнитного потока находят величины  (для стальной части цепи) и (для воздушного зазора). Затем из начала координат строят кривую
На оси абсцисс находят точку a, соответствующую заданной намагничивающей силе IN, из которой влево проводят прямую Ф(IN — U_м0).
В точке пересечения этих графиков по оси ординат находят искомый поток, а по оси абсцисс — величины U_м.с = Нl_с и U_м0 = Н₀δ.
 

Задача 9.5.

Магнитная цепь электромагнитного реле клапанного типа, изготовленная из стали, имеет поток Ф = 1,2 • 10^-3 Вб. Определить число витков катушки реле, необходимое для возбуждения созданного магнитного потока при токе в катушке 0,2 А. Ярмо и якорь реле прямоугольного сечения 7,5 x 1,2 см, сердечник круглого сечения диаметром 3 см. Другие размеры показаны на рис. 9.2.
Решение. Магнитная цепь реле делится на однородные участки:

а) сердечник круглого сечения

длина l₁ = 8,6 см;
б) ярмо прямоугольного сечения

длина l₂ = 14,9 см (см. рис. 9.2);
в) якорь прямоугольного сечения

длина l₃ = 6,1 см;
г) воздушный зазор, сечение которого принимаем равным сечению сердечника, пренебрегая некоторым увеличением его за счет выпучивания линий магнитной индукции:

длина δ = 0,2 см.
Магнитная индукция в участках цепи:




Напряженность магнитного поля в стальных участках определена по кривой намагничивания литой стали, которая принята такой же и для кованой стали: Н₁ = 57 А/см; Н₂ = 18 А/см; Н_з = 18 А /см.

В воздушном зазоре

Составляем уравнение по закону полного тока:

Число витков обмотки

 

Задача 9.7.

Две катушки N₁ = 2000 и N₂ = 600 витков насажены на стержни сердечника из электротехнической стали 1211. Размеры магнитной цепи показаны на рис. 9.7. Определить магнитный поток при токе в катушках I = 0,8 А и при соединении концов катушек по схеме: К₁ соединен с К₂ напряжение приложено к зажимам Н₁ и Н₂.
Решение. Магнитная цепь рис. 9.7 имеет шесть участков, размеры которых найдены из чертежа:
а)    воздушный зазор — δ₀₁ = 0,09 см, S₀₁ = 5 • 4,5 = 22,5 см²;
б)    стержень А — l₁ = 20 см, S₁ = 22,5 см²;
в)    ярмо Б — l₂ = 25 см, S₂ = 22,5 см²;
г)    стержень В — l_з = 20 см, S₃ = 22,5 см²;
д)    воздушный зазор — δ₀₂ = 0,09 см, S₀₂ = 22,5 см²;
е)    якорь Д — l₀ = 25 см, S₆ = 22,5 см².

Рис. 9.7. К задаче 9.7

Задаемся несколькими величинами магнитного потока, причем наибольший возможный поток найдем в предположении, что магнитное сопротивление создают только воздушные зазоры [см. формулы (9.1), (9.2)]:


При определении потока учтено, что катушки включены согласно, поэтому их намагничивающие силы сложены.
Для полученного потока найдем намагничивающую силу с учетом стальной части магнитной цепи. Последовательность решения та же, что и при решении задачи 9.5. Результаты расчета для Ф₀ и других величин потока сведены в табл. 9.1.

Таблица 9.1

Таблица 9.2

Зависимости Ф(U_m.c) и Ф(IN — U_m0) показаны на рис. 9.6, причем прямая Ф(IN — U_m0) построена по двум точкам. При IN — U_m0 = 0

при Ф = 0

В точке пересечения графиков определяем искомый магнитный поток, а также величины Hl_c = U_m.c и H₀δ = U_m0, соответствующие этому потоку:

Расчет разветвленной магнитной цепи

В разветвленной магнитной цепи магнитные потоки в общем случае различны в разных ветвях (рис. 9.8).

Разветвленные магнитные цепи делятся на симметричные и несимметричные.

Рис. 9.8. Разветвленная симметричная магнитная цепь

Рис. 9.9. Магнитная цепь четырехполюсной электрической машины

Симметричную магнитную цепь мысленно можно разделить на неразветвленные цепи таким образом, что во всех участках выделенной цепи магнитный поток будет один и тот же. Кроме того, предполагается симметричное расположение намагничивающих сил (рис. 9.8, 9.9).
Если указанные условия симметрии не соблюдаются, то магнитная цепь относится к несимметричным (рис. 9.10).

Узловые и контурные уравнения магнитной цепи

Симметричная магнитная цепь (см. рис. 9.8) состоит из двух одинаковых контуров. Средний стержень вместе с катушкой (источником намагничивающей силы) входит в оба контура.

Место соединения среднего стержня с ярмом является узлом магнитной цепи, в котором магнитный поток Ф₁, делится на два равных потока, если магнитное сопротивление обоих контуров одинаково:

Расчет разветвленной симметричной цепи из-за равенств потоков симметричных контуров сводится к расчету одного контура, который выполняют в том же порядке, что и расчет неразветвленной цепи.
В аналогичной несимметричной магнитной цепи поток в узле делится на неравные части, но для любого узла пригодно уравнение

Для схемы рис. 9.8 это уравнение в развернутом виде записывают так:
или
При составлении такого уравнения учитывают направления потоков: направленные к узлу и направленные от узла потоки берутся с разными знаками.

Для каждого контура магнитной цепи можно также составить уравнение по закону полного тока.

Предположим, что все участки магнитной цепи выполнены из материалов с постоянными значениями магнитной проницаемости. Каждый участок и вся цепь имеют линейную зависимость магнитного потока от магнитного напряжения Ф(U_м).

Определив для каждого участка магнитное сопротивление R_м, магнитную цепь можно представить соответствующей схемой замещения, в которую войдут постоянные магнитные сопротивления участков и намагничивающие силы.
На рис. 9.11, а показана схема замещения магнитной цепи (см. рис. 9.8). Пренебрегая потоками рассеяния, расчет магнитной цепи можно выполнить аналогично расчету электрической цепи, решая систему линейных уравнений, составленных для узлов (см. формулу (9.4)] и контуров [см. формулу (9.3)].

Графический расчет разветвленной цепи

Элементы схем замещения магнитных цепей, осуществляемых на практике (кроме элементов, соответствующих воздушным зазорам), имеют нелинейные характеристики Ф(U_м), так как магнитная проницаемость ферромагнитных материалов зависит от напряженности поля. Нелинейными являются и магнитные цепи в целом.

Аналогия с электрической цепью указывает на возможность графического расчета нелинейной магнитной цепи в порядке. Первый этап расчета состоит в построении характеристик Ф(U_м) для каждого участка цепи в общей системе координат. Для этого используются характеристики намагничивания материалов, из которых изготовлена магнитная цепь. Например, чтобы построить характеристику Ф₃(U_3м), нужно ряд величин напряженности поля Н₃, взятых из характеристики намагничивания материала третьего участка магнитной цепи, умножить на длину этого участка (H₃l₃ = U_3м), а соответствующие им величины магнитной индукции умножить на площадь S₃ этого участка (В₃S₃ = Ф₃).

По полученным значениям U_3м и Ф₃ строят график Ф₃(U_3м) (рис. 9.11, б). Магнитные сопротивления R_2м и R_3м соединены параллельно. Поэтому магнитные напряжения второго и третьего участков одинаковы: U_2м = U_3м = U_2.3м.

Сумма магнитных потоков этих участков равна магнитному потоку первого участка (сопротивление R_1м): Ф₁ = Ф₂ + Ф₃.
Складывая магнитные потоки Ф₂ и Ф₃ для ряда значений магнитного напряжения, получим кривую Ф₁ (U_2.3м).

На рис. 9.11, б это показано для одного значения U_м.п.Отрезки 4-3 и 4-2 в масштабе магнитных потоков выражают потоки Ф₃ и Ф₂. Сумма этих отрезков, равная отрезку 4-1, выражает магнитный поток Ф_1П. Магнитное сопротивление R_1м и сопротивление, эквивалентное R_2м и R_3м, соединены последовательно. Поэтому намагничивающая сила всей цепи IN равна сумме магнитных напряжений U_1м и U_2.3м: IN = U_1м + U_2.3м. Магнитные же потоки участков цепи с сопротивлениями R_1м и R_2.3м одинаковы.

Складывая магнитные напряжения U_1м и U_2.3м для ряда значений магнитного потока, получим кривую Ф₁(IN). На рис. 9.11, б это показано для одного значения Ф_1п. Отрезки 7-6 и 7-1 в масштабе магнитных напряжений выражают магнитные напряжения U_1м и U_2.3м. Сумма этих отрезков дает отрезок 7-5, выражающий намагничивающую силу IN.

Выполнив указанные построения, нетрудно решить различные задачи расчета магнитной цепи.

Задача 6.9.

Катушка, имеющая 500 витков, расположена на среднем стержне магнитопровода, изготовленного из стали 1511 (см. рис. 9.8). Определить ток в катушке, если в крайнем стержне поток Ф₂ = Ф₃ = 2 • 10^-3Вб. Рассеяние потока не учитывается.
Решение. В данной симметричной цепи можно наметить два одинаковых в магнитном отношении контура: а-б-в-г-а и а-е-д-г-а. В каждом из них по два участка:


Рассматривая один из контуров, решим задачу в порядке, принятом для неразветвленной цепи:

Магнитный поток в среднем стержне в два раза больше, чем в крайних:


По кривым намагничивания стали 1511 находим:

По закону полного тока,

Ток в катушке

 

Задача 9.10.

В крайнем стержне магнитопровода, взятого по условию задачи 9.9, имеется воздушный зазор δ = 0,1 см. Определить, как нужно изменить ток в катушке, чтобы сохранить прежнюю величину потока в этом стержне (см. рис. 9.10).
Решение. При наличии воздушного зазора в одном крайнем стержне магнитная цепь становится несимметричной.
В контуре а-е-д-г-а сохранились те же участки; в контуре а-б-в-г-а: l₁ = 16 см; l₃ = 41,9 см; δ = 0,1 см; S₁ = 30 см²;

Магнитная индукция в воздушном зазоре и крайнем стержне 6-в

Напряженность поля

по кривой намагничивания стали 1511 Н₃ = 3 А/см.
В магнитной цепи можно наметить третий контур (а-б-в-г-д-е-а). Для этого контура, по закону полного тока,


Магнитная индукция на участке l₂ по кривой намагничивания В₂ = 1,48 Тл. Магнитный поток на участке l₂

Магнитный поток в среднем стержне (участок l₁) определим на основании первого закона Кирхгофа для узла а:

Магнитная индукция на этом участке

Напряженность поля Н₁ = 69,5 А/см.
Для одного из контуров, включающего средний стержень, например а-б-в-г-а, по закону полного тока,


Ток в катушке

Вывод. Для того чтобы сохранить в крайнем стержне такой же магнитный поток при наличии воздушного зазора δ = 0,1 см, требуется увеличить ток в катушке почти в восемь раз по сравнению с тем случаем, когда зазор отсутствует.

Постоянные магниты

В измерительных приборах, электрической аппаратуре и других устройствах в качестве источников намагничивающей силы широко применяют постоянные магниты.

На рис. 9.12 схематично изображены магнитные системы магнито-электрического измерительного прибора (а) и поляризованного реле (б).
Эти системы, как и большинство им подобных, имеют несколько участков: 1) из магнитно-твердого материала— постоянного магнита 1; 2) из магнитно-мягкого материала 2, служащего магнитопроводом, и воздушного зазора 3, форма и размеры которого определяются конструкцией и назначением устройства.
При расчете магнитной цепи с постоянным магнитом требуется определить магнитный поток и индукцию в воздушном зазоре или по заданному потоку найти оптимальные размеры постоянного магнита (наименьшие объем и габариты).
 

Характеристики размагничивания постоянных магнитов

Величины остаточной магнитной индукции В_г и коэрцитивной силы H_с характеризуют материал постоянного магнита: чем они больше, тем выше его качество. Как известно, на петле гистерезиса В_г соответствует Н = 0, а при В = 0 Н = Н_с.

Рис. 9.12. Магнитные цепи с постоянными магнитами

Рис. 9.13. Характеристики размагничивания постоянных магнитов:
1 — АНКО-4; 2 — АНКО-2; З-АН-2; 4 — сталь с 30% СО

Промежуточные магнитные состояния определяются частью петли магнитного гистерезиса, лежащей во второй четверти, — характеристикой размагничивания (рис. 9.12). Эта характеристика используется при расчете постоянных магнитов.
Согласно закону полного тока, сумма магнитных напряжений участков магнитной цепи (рис. 9.12) равна нулю, так как внешняя намагничивающая сила (ампер-витки) отсутствует:

где U_м.т — магнитное напряжение постоянного магнита; — сумма магнитных напряжений всех участков магнитной цепи, включая воздушные зазоры, но без постоянного магнита.

Левая и правая части равенства (9.5) связаны с магнитной индукцией и потоком определенными зависимостями: Ф_т(U_м.т) — кривая размагничивания постоянного магнита (по форме повторяет кривую размагничивания материала, из которого выполнен постоянный магнит); Ф_м(U_м.с) — кривая намагничивания части конструкции устройства, изготовленной из магнитно-мягкого материала; Ф₀(U_м0) — прямая, проходящая через начало координат и повторяющая в других масштабах зависимость

Определение магнитного потока в магнитной цепи с постоянным магнитом

Пренебрегая потоком рассеяния  и магнитным напряжением в участках из магнитно-мягкого материала (), можно построить в общей системе координат зависимости  и .

В этом случае искомый магнитный поток Ф₀ определяется точкой их пересечения (рис. 9.14).

Магнитная индукция в воздушном зазоре

Из равенства (9.5) следует, что напряженности поля в воздушном зазоре и магните направлены в противоположные стороны.

При отсутствии воздушного зазора (постоянный магнит замкнут) остаточная индукция имеет величину В_г, а при наличии зазора будет меньше В_г (рис. 9.14). Воздушный зазор создает эффект размагничивания магнита.

Рис. 9.14. К расчету магнитной цепи с постоянным магнитом

Задача 9.12.

Определить магнитный поток и индукцию в воздушном зазоре постоянного магнита (см. рис. 9.12, а), если магнит, изготовленный из сплава АНКО-2, имеет длину l_т = 10 см; S_Т = 4 см². Полюса и цилиндрический сердечник изготовлены из магнитно-мягкой стали, имеют общую длину l_м = 15 см; воздушный зазор между полюсом и сердечником δ = 0,2 см с каждой стороны и площадь S = 10 см². Характеристика размагничивания сплава АНКО-2 представлена на рис. 9.13.
Решение. Построим зависимость магнитного потока в магните от магнитного напряжения Ф(U_м.т).
Для этого, согласно кривой 2 на рис. 9.13, берем величины В и Н, подсчитываем Ф и U_м.т и результаты подсчета сводим в табл. 9.3.
Для тех же величин магнитного потока определим U_м0 = Н₀δ для воздушного зазора. Величинами H_сl_с для участков из стали пренебрегаем из-за их незначительной величины.

Т а б л и ц а 9.3

Для потока Ф = 3,28 • 10^-4 Вб

Результаты подсчетов сводим в табл. 9.4.

Таблица 9.4

Зависимости Ф(U_м.т) и Ф(U_м0) построены на рис. 9.14. В точке пересечения этих графиков находим магнитный поток:

Магнитная индукция в воздушном зазоре