Как найти сопротивление схемы между точками



В учебных и олимпиадных задачах, связанных с расчетом параметров электрических цепей постоянного тока, зачастую требуется рассчитать общее сопротивление цепи. Для решения подобных задач электрические цепи

преобразовывают

, то есть исходную схему заменяют другой с тем же числом выводов. Причём замена должна осуществляться так, чтобы сопротивления между любыми двумя выводами новой схемы были такими же, как у старой. Токи, потребляемые новой схемой от источника, должны оставаться прежними. Общее сопротивление схемы, рассчитанное для подключения к источнику для каждой пары выводов, также не изменяется. Такие преобразования называются

эквивалентными

. Расчёт потребления тока и общего сопротивления при этом обычно упрощается.

Универсального метода преобразования электрических цепей нет. Некоторые методы изложены методических пособиях и задачниках, например [1–4]. Однако изложение не носит систематического характера — обычно суть метода излагается прямо по ходу решения той или иной задачи.

В настоящей статье мы попытались собрать и кратко изложить (в виде конспекта) методы преобразования электрических цепей с сопротивлениями, которые могут быть полезны при решении широкого круга задач. Конспект будет полезен школьникам 8–11 классов, преподавателям физики, тем, кто интересуется проблемами углубленного изучения физики и подготовки школьников к олимпиадам (в частности, к Всероссийской олимпиаде и вузовским олимпиадам).

Метод простейших эквивалентных преобразований.

Простейшие примеры преобразования цепи — это 1) замена двух последовательно соединённых сопротивлений

r


₁

и

r


₂

одним сопротивлением

r


₁



+

r


₂

; 2) замена двух параллельно соединённых сопротивлений

r


₁



и

r


₂

одним сопротивлением

r


₁

·

r


₂

/(

r


₁



+

r


₂

). Эти две замены лежат в основе данного метода.

При решении задач в первую очередь необходимо установить, какие проводники соединены между собой последовательно, какие параллельно. Отдельные участки схемы с параллельно или последовательно соединенными резисторами заменяются одним эквивалентным резистором. Постепенным преобразованием участков схему упрощают и приводят к простейшей схеме, состоящей из одного резистора. При этом используются свойства последовательно и параллельно соединенных проводников.

Задача 1.

Найти общее сопротивление цепи.

R


₁

=

R


₂

= 4 Ом,

R


₃

=

R


₄

=

R


₅

=

R


₆

= 8 Ом.

Решение


: В этой задаче часто неправильно определяют, какие сопротивления включены последовательно, а какие параллельно. Эквивалентная схема представлена на рисунке. Расчет по формулам дает ответ 4 Ом.

Ответ


: 4 Ом.

Для отработки метода можно использовать следующие задачи.

– Задачи 6,11–12 с разобранными решениями, а также 10.13–10.14, 10.21–10.28 для самостоятельного решения из главы 10 [1];

– 2.22–2.24 из [2];

– 19.2–19.6 из [3].

Использование правил Кирхгофа.

Правила Кирхгофа позволяют упростить расчеты параметров разветвленных электрических цепей. Этих правил два.

Первое правило Кирхгофа

: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю.

.

Второе правило Кирхгофа

: для любого замкнутого контура разветвленной электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре.

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда, второе — следствием закона Ома для неоднородного участка цепи.

Правила Кирхгофа в каждом конкретном случае позволяют написать полную систему алгебраических уравнений, из которых могут быть найдены неизвестные токи и напряжения. При расчете разветвленной цепи данным методом следует применять следующий порядок:

1. произвольно выбрать направления токов во всех участках разветвленной цепи, отметив их стрелками на чертеже;
2. при составлении уравнений для узлов токи считать положительными, если они втекают к узлу, и отрицательными, если они вытекают от узла;
3. следует помнить, что число независимых уравнений, составленных по первому правилу Кирхгофа, всегда на одно меньше числа узлов, имеющихся в данной цепи;
4. выбрать направление обхода контуров цепи;
5. написать уравнения, соответствующие второму правилу Кирхгофа, соблюдая правило знаков: токи, совпадающие с направлением обхода, записывать со знаками «+», обратные направлению обхода − со знаками «−». ЭДС считать положительными, если они повышают потенциал в направлении обхода (при обходе по контуру сначала встречается отрицательный полюс источника, затем положительный);
6. следует помнить, что число независимых уравнений, составленных по второму правилу Кирхгофа, равно наименьшему числу разрывов, которые следует сделать в цепи, чтобы нарушить все контуры. Если удается изобразить схему на плоскости без пересечений, то это число равно числу областей, ограниченных проводниками (числу «дырок» в графе схемы);
7. если в полученном ответе какой-либо ток будет иметь отрицательный знак, то это указывает на ошибочность первоначального выбора направления данного тока.

Для отработки метода можно использовать, например, задачи 4.4.29–4.4.32 из [5].

Важнейшим примером задачи на применение правил Кирхгофа является задача о согласованном мосте Уитстона.

Задача 2.

Определить, при каких условиях в мостовой схеме через перемычку моста не течет ток.

Решение


: Схема моста представлена на рисунке, в качестве перемычки выступает гальванометр G. Если мостик подключить к источнику току, то мы получим разветвленную электрическую цепь, содержащую 4 узла и 3 дырки. Значит, для расчета токов и напряжений можно составить систему 6 независимых уравнений: 3 уравнения для узлов и три уравнения для контуров. Мы ограничимся выводом условия, при котором ток через гальванометр G идти не будет. Такой мостик называется

согласованным

. В этом случае токи через сопротивления

R


₁

и



R


₃

будут одинаковы. На схеме эти токи обозначены

I


₁

. Одинаковыми будут токи и через сопротивления

R


₂

и



R


₄

. На схеме токи через

R


₂

и



R


₄

обозначены

I


₂

.

Из второго правила Кирхгофа получаем:

Преобразовав систему, получим искомое условие:

. Это соотношение очень полезно для решения задач. Из него, в частности, следует, что мост, собранный из одинаковых сопротивлений, всегда будет согласованным.

Ответ:

.

Если бы вместо гальванометра в схеме было бы сопротивление

R

, то удаление этого сопротивления не привело бы к изменению токов и потенциалов в цепи. Поэтому в тех частях электрических схем, где будут согласованные мосты, перемычку можно будет удалять.

Пример с мостом Уитстона вплотную подвёл нас к следующему методу расчёта сопротивления разветвлённой электрической цепи — к методу удаления сопротивления.

Метод удаления сопротивления.

Идея этого метода состоит в том, чтобы исключить участок цепи, через который не течет ток. Полученная схема будет эквивалентна исходной.

Задача 3.

Найти сопротивление участка цепи между точками А и В, изображенного на рисунке.

Решение:


Узлы С и D симметричны относительно прямой АВ. Если повернуть схему на 180° вокруг прямой АВ, то схема на изменяется. Можно представить себе такую ситуацию: независимый наблюдатель следит за ходом измерений для данной схемы. Его попросили выйти из лаборатории. После этого отсоединили источник тока, несколько раз повернули схему вокруг АВ, затем подсоединили источник и пригласили наблюдателя. Из-за симметрии никакими экспериментами он не сможет определить, сколько раз повернули схему и где теперь находится точка С. Значит, между симметричными точками C и D ток течь не может — иначе бы наблюдатель измерил его направление и определил местонахождение точки C. Следовательно, перемычку CD можно удалить.

Удаление сопротивления CD можно обосновать и с использованием моста Уитстона. Заметим, что часть цепи A-C-B-D-A представляет из себя согласованный мост с перемычкой CD, которую, как мы ранее доказали, можно убрать.

После исключения участка CD получим эквивалентную цепь, сопротивление которой равно

R

/2.

Для отработки метода удаления сопротивления можно использовать следующие задачи:

– Каркасный тетраэдр: задача 8 из главы 10 [1], 19.15(3) из [3].

– N-полюсник: 19.18 из [3].

Метод эквипотенциальных узлов

. Эквипотенциальными называются узлы с равными потенциалами. Если в цепи, содержащей сопротивления, имеются эквипотенциальные узлы, то их можно рассматривать как один узел, проводя операцию склейки узлов.Поэтому данный метод еще называют

методом склейки узлов

.

Почему операция сведения в один узел правомочна? В электрических схемах соединительные провода, не имеющие сопротивления (их изображают на схемах тонкой линией), можно удлинять или укорачивать. Общее сопротивление цепи при этом не изменяется. Если узлы соединены накоротко (соединительный провод имеет сопротивление равное нулю), то соединительный провод можно укорачивать до тех пор, пока узлы не «склеятся», образуя один узел. Если узлы имеют одинаковые потенциалы и не соединены проводом, то электрические условия в этих точках не изменяются (а значит и сопротивление всей цепи) при соединении их проводником, не имеющим сопротивления. После чего можно провести операцию склейки.

Но есть ещё один случай, когда эквипотенциальные узлы соединены проводником с не равным нулю сопротивлением. Если при подключении цепи к источнику тока, по этому проводнику не идёт ток, то по закону Ома для однородного участка цепи разность потенциалов на концах этого проводника равна нулю. А, значит, узлы на концах проводника являются эквипотенциальными. В этом случае проводник с сопротивлением можно заменить на соединительный провод без сопротивления, после чего узлы также склеиваются.

Как найти эквипотенциальные точки в разветвленной электрической цепи? Общих правил нет. Нахождению эквипотенциальных точек часто помогает симметрия включения участков цепи. При этом граф схемы должен иметь ось симметрии или плоскость симметрии, проходящую через точки подключения. Можно мысленно повернуть или трансформировать граф таким образом, чтобы «кандидаты» в эквипотенциальные узлы поменялись местами. Если после обмена наименований точек получается исходная схема, значит, выбранные узлы эквипотенциальны.

Операция склейки приводит к уменьшению количества узлов. После этой операции схема обычно упрощается и к ней можно применить метод эквивалентных преобразований.

Задача 4.

Найти сопротивление участка цепи между точками А и В. Считать сопротивление каждого проводника равным

R.

Решение



:

Докажем, что точки С и D эквипотенциальны. Точки С и D симметричны относительно прямой, проходящей через точки А и В. Если повернуть четырёхугольник вокруг прямой АВ на 180°, точка С перейдёт в точку D и наоборот. Если после поворота на 180° заменить наименование точек С на D, а D на С, мы получим исходную схему. Следовательно, потенциалы ϕ

_С

и ϕ

_D

равны.

Соединив точки С и D в один узел, получим эквивалентную схему, которую можно разложить на элементы последовательного и параллельного соединений. Сопротивление между точками А и В рассчитываем, используя преобразования схемы.

Ответ



:


R

_АВ


=7

R

/8.

Метод эквипотенциальных узлов помогает решать задачи, которые предлагаются на некоторых олимпиадах. К таким задачам, в частности, относятся следующие.

– Каркасный куб: задача 7 и задачи 10.15–10.16 из главы 10 [1], 2.28 из [2], 19.15(5) из [3];

– Каркасный многоугольник: 2.27а из [2];

– Склейка узлов, к которым подсоединен идеальный амперметр: 19.20–19.21 из [3].

Метод разрезания узлов

.Чуть более сложный метод, который заключается в замене одного узла несколькими эквипотенциальными. Главное условие — чтобы при разрезании не нарушилось распределение токов в цепи.

Задача 5.

Определить сопротивление участка цепи между точками А и В. Сопротивления отдельных участков одинаковы и равны

R



.

Решение


: Здесь нет ни одной пары проводников, соединенных между собой последовательно или параллельно. Поэтому необходимо обратить внимание на возможную симметрию цепи. Для применения метода разрезания узлов сначала надо провести анализ распределения токов в цепи.

Из симметрии схемы относительно прямой АВ следует, что токи в проводниках А-1 и А-3 будут равны между собой. А значит, в узлах 1 и 3 токи делятся в одинаковых пропорциях. Поэтому токи между узлами 1-О и 3-О также будут одинаковыми друг другу. Токи

I


_AO

=

I


_OB

=

I


₁

,

I


_1O

=

I


_O2

=

i


₁

,

I


_3O

=

I


_O4

=

i


₂

.

Следовательно, узел O можно разрезать так, чтобы не нарушалось протекание токов

I


₁

,

i


₁

и

i


₂

. После преобразований получаем окончательный ответ 4

R

/5.

Для отработки метода можно использовать следующие задачи: задачи 9 и 10.17 из главы 10 [1], 2.27в из [2], 19.15(1,2,4) и 19.16 из [3].

Метод замены «треугольника» на «звезду»

. Данный метод позволяет быстро рассчитать сопротивления участков цепи в том случае, когда не удается установить симметричного распределения токов. Метод замечательно изложен в статье А. Р. Зильбермана [6].

В основе этого метода лежит задача 19.13 из [3], разобрать которую мы предлагаем читателям самостоятельно. Выпишем только полученный результат.

Если в схеме к некоторым узлам подключены сопротивления

R


₁

,

R


₂

,

R


₃

в виде «треугольника», то его можно заменить на элемент «звезда» с сопротивлениями

r


₁

,

r


₂

,

r


₃

, которые рассчитываются по формулам

Результат легко запомнить, если заметить, что в знаменателе всегда стоит сумма сопротивлений «треугольника», в числителе — произведение сопротивлений с дополняющими номерами, причем индексы у

r


₁

,

R


₂

,

R


₃

в первой формуле можно менять по циклу 1–2–3–1 и таким образом получить остальные две формулы.

Задача 6.

В схеме, изображенной на рисунке, определить сопротивление между точками A и B.

Решение:


Данный мост не является согласованным, что легко проверить. Симметрия в схеме отсутствует. Однако левую половину моста (с сопротивлениями по 1 Ом) можно рассматривать как «треугольник». После замены на «звезду» получается схема с последовательным и параллельным соединениями, сопротивление которой предлагаем читателям подсчитать самостоятельно.

Ответ:


13/11 Ом.

Замена «треугольника» на «звезду» уменьшает на один количество контуров в схеме и увеличивает на один количество узлов. Если мы, напротив, хотим уменьшить число узлов в схеме, то можно провести обратную замену — «звезды» на «треугольник» по формулам [6]:

При удалении большего числа узлов можно использовать обобщенный метод, изложенный в статье Е. Соколова [7].

Расчет бесконечных цепей.

В олимпиадных задачах иногда встречаются электрические цепи, в которых повторяется одно и то же звено цепи до бесконечности. С практической точки зрения это означает, что число повторяющихся звеньев

N

очень велико и добавление очередного звена не приводит к сколько-нибудь значительному изменению общего сопротивления. С математической точки зрения

сопротивлением бесконечной цепиR

называется предельное значение сопротивления при

N

→ ∞.

Идея решения заключается в том, что при удалении первого звена сопротивление оставшейся части также будет равно

R

(ведь число элементов останется бесконечным. Значит, бесконечную цепь (без первого звена) можно заменить эквивалентным сопротивлением

R

, причем общее сопротивление также равно

R

. После этого составляется уравнение и находится его решение относительно

R

. Рисунок иллюстрирует сказанное применительно к задаче 19.19 из [3], которую мы предлагаем сделать читателям самостоятельно, как и задачу 2.26 из [2].

Повторяющиеся звенья цепи могут быть не в точности одинаковы, а быть подобны друг другу (т. е. все сопротивления в звеньях отличается в какое-то фиксированное количество раз). Такая схема, в частности, может быть реализована в виде

фрактала

, как это было в задаче № 6 для 8–11 кл. в Турнире Ломоносова 2015 г.

Задача 7.

Из однородной проволоки изготовлен равносторонний треугольник

ABC

, сторона которого равна

a

. К точкам

A


₁

и

C


₁

, делящим сторону

AC

на три равные части, прикреплены еще два куска проволоки — вместе с отрезком

A


₁

и

C


₁

они образуют равносторонний треугольник со стороной

a

/3. Внутри этого треугольника сделан еще один (в три раза меньший) и т. д. Найдите сопротивление всей конструкции, если число треугольников очень велико. Сопротивление куска проволоки длины

a

равно

r

.

Решение:


Обозначим искомое сопротивление за

R

.


Если разорвать куски проволоки

AA


₁

и

C


₁


C

, то оставшийся треугольник, как подобный исходному с коэффициентом 1/3, будет иметь сопротивление

R

/3, поскольку все сопротивления в нем (по сравнению с исходным) меньше в 3 раза. Эквивалентная схема показана на рисунке.

Вычисляя ее сопротивление, получим уравнение:

решения которого

. Один из корней отрицателен, другой положителен. Он и является ответом в задаче.

Ответ:

.

Напоследок предлагаем читателям еще одну задачу 3.52 из [4] с бесконечными цепями, содержащими подобные друг другу звенья.

Принцип суперпозиции

. Уравнения закона Ома и правил Кирхгофа линейны относительно токов. Это значит, что если в цепи есть несколько источников тока, то можно рассчитать, какой ток создаст в данном проводнике каждый источник в отдельности. А реальный ток через выбранный проводник будет равен сумме токов, создаваемых каждым источником в отдельности.

Задача 8

(задача 10 из главы 10 [1])

.

В каждое ребро бесконечной сетки с квадратными ячейками включено сопротивление

r =

20 Ом. Чему равно сопротивление сетки при подключении её соседними узлами?

Решение:


К узлам А и В подключается внешний источник тока. Он создаёт ток

I

, входящий через узел А, и такой же ток, выходящий через узел В. Будем измерять напряжение

U

между точками А и В идеальным вольтметром и ток

I

в измерительной цепи, содержащей источник тока и идеальный вольтметр. Во время измерений напряжение и ток в очень далёких от А и В узлах равны нулю. Поэтому, если соединить далёкие точки хорошо проводящим проводом, то ничего не изменится. Назовём этот провод «бесконечность». Его можно представить как провод, идущий по окружности очень большого радиуса.

Теперь возьмём два одинаковых источника тока. Первый подключим к точке А и «бесконечности» так, чтобы ток

I

, шёл по сетке от точки А к «бесконечности». При этом распределение тока по разным направлениям (по четырём проводникам, подключённым к узлу А) равномерно. Поэтому по каждому такому проводнику пойдёт ток

I

/4 от узла А.

Второй источник подключим к узлу В и «бесконечности» так, чтобы ток

I

, шёл по сетке от «бесконечности» к точки В (см. рис. 25 в). По каждому проводнику, подключённому к узлу В пойдёт ток

I

/4 в направлении к узлу В. В силу указанной выше линейности уравнений закона Ома на каждом участке бесконечной сетки ток в любом ребре сетки будет суммой токов этих двух источников. Причём, для каждого источника распределение тока симметрично относительно узла, к которому источник подключён.

От первого источника по ребру АВ течёт ток

I

/4 в направлении от А к В. Такой же ток в том же направлении протекает по ребру АВ от второго источника. Значит, по ребру АВ течет ток

I

/2.

Тогда напряжение, измеренное на этом ребре, будет равно

U =

(

I

/2)

r

. Сопротивление сетки

R

=

U/I

=

r

/2.

Ответ:


10 Ом.

Для отработки метода предлагаем сформулировать и решить две аналогичные задачи с бесконечной сеткой из шестиугольников (должен получиться ответ 2

r

/3) и треугольников (

r

/3), а также разобрать еще более сложную задачу 3.53 с треугольной сеткой из [4].

Работа выполнена на базе ГБОУ Школа № 1557 имени Петра Леонидовича Капицы в рамках проекта «Курчатовский проект в московской школе». Авторы благодарят администрацию ГБОУ Школа № 1557 за помощь и поддержку.

Литература:

1. Черноуцан А. И. Физика. Задачи с ответами и решениями: учебное пособие. 9-е изд. М.: КДУ, 2017. 352 с.

2. Сборник задач по физике с решениями и ответами. Часть III. Электричество и оптика / Под ред. А. Н. Долгова. М.: МИФИ, 2001. 188 с.

3. Гольдфарб Н. И. Сборник вопросов и задач по физике. 9-е изд. М.: Дрофа, 2005. 351 с.

4. Варламов С. Д. и др. Задачи Московских городских олимпиад по физике. 1986–2005 / Под ред. М. В. Семенова, А. А. Якуты. 2-е изд., исправл. М.: МЦНМО, 2007. 624 с.

5. Павленко Ю. Г. Физика. Избранные задачи. Кн. I. М.: Экзамен, 2008. 544 c.

6. Зильберман А. Р. Преобразование электрических цепей // Квант, 1971. № 3. С. 10–14.

7. Соколов Е. О простом и сложном // Квант, 2002. № 2. С. 7–12.

Задача

Определить сопротивление цепей, если сопротивление каждого резистора равно 60 Ом. Сопротивлением соединительных проводов пренебречь.

Для решения подобных задач удобно применять эквивалентные схемы, объединив точки (узлы) одинакового потенциала:

В схеме (а) обозначим точки одинакового потенциала одинаковыми цифрами и затем объединив их рисуем более наглядную эквивалентную схему. При устном расчете учитываем, что при параллельном соединении n одинаковых резисторов, их общее сопротивление будет в n раз меньше.

Таким образом, легко видеть, что общее сопротивление в схеме а) в 3 раза меньше сопротивления одного резистора, т.е. равно 20 Ом.

Аналогичным образом поступим со схемой (б). Здесь две точки под номером 2 имеют одинаковый потенциал, поэтому объединяем их и рисуем соответствующую эквивалентную схему:

Два параллельных резисторов между точками 2 и 3 имеют общее сопротивление 30 Ом, а в цепи, с последовательно соединенным сопротивлением между точками 1 и 3, дадут 90 Ом. Учитывая параллельное соединение верхнего резистора 60 Ом к цепи 1 – 2, получим сопротивление схемы (б):

Со схемой (в) поступим несколько иначе. Пронумеруем все узлы и перерисуем схему в эквивалентную и более простую для восприятия. Сразу становится очевидным, что в силу симметрии, точки 2 и 3 имеют один и тот же потенциал, поэтому сопротивление, их соединяющее, можно просто выкинуть:

Таким образом, легко видеть, что общее сопротивление в схеме (в) равно 60 Ом.

Материал по близким темам: закон Ома; расчет шунта к амперметру; расчет добавочного сопротивления к вольтметру.

Спасибо за внимание! Ставьте лайки, подписывайтесь и комментируйте 🙂

Соседние файлы в папке Моделирование

• #
• #
• #

Тут, к сожалению, не проканает использование формула последовательногои параллельного сопротивления, поэтому придётся честно решать через законы Кирхгофа.

Для начала малость перерисуем схему:

Ну и теперь, памятую законы Ома и Кирхгофа, пишем:

i1+i2 = i4+i5 (на будущее – эта сумма как раз и есть ток, который нам и надо найти)

i2+i3 = i5

i1*R1 = U1-UA

i2*R2 = U2-UA

i3*R3 = U2-U1

i4*R4 = UB-U1

i5*R5 = UB-U2

Тут 7 уравнений на 9 неизвестных – пять токов и четыре напряжения. Но штука в том, что напряжения UA, UB можно выбрать произвольно. Например, считать UA=1, UB=0. Тем самым число неизвестных снижается до числа уравнений, и система оказывается вполне себе разрешимой.

Решать её, уж не обессудьте, придётся самостоятельно, благо это не составит труда. После чего остаётся найти сумму i1+i2 – вместе с разностью напряжений между точками А и В это как раз и даст эквивалентное сопротивление вспей цепи.

Соловьев Валерий Иванович

преподаватель – методист  высшей категории

Таврический колледж  ФГАОУ ВО «Крымский

федеральный университет имени В. И. Вернадского»

г. Симферополь, Республика Крым

Решение типовых задач по расчету электрических цепей
постоянного и переменного тока 

      Изучение электротехники предусматривает овладение теоретическими
знаниями и приобретение определенных практических  навыков. Особая роль в этом
процессе, наряду с выполнением лабораторных и практических работ,  отводится
решению задач, которые позволяют использовать полученные теоретические сведения
по конкретным разделам и темам электротехники.

      Настоящее методическое пособие предназначено для закрепления
теоретического материала по разделам:

·      
Электрическое и магнитное
поле;

·      
Электрические цепи
постоянного тока;

·      
Электрические цепи
переменного тока.

      Пособие  содержит
примеры решения типовых задач  по электротехнике.

Раздел 1. Элетрическое и магнитное поле

      Задача №1

      В  
электрическом   поле   при   перемещении   заряда q = 2•10‾⁴
к  совершена работа A = 0,4 дж. Определить напряжение между
начальной и конечной  точками пути.

Решение:

U =  =  = 2000
в  =  2 кв.

      
Ответ: 
Напряжение между начальной и конечной  точками пути при   перемещении   заряда q
= 2•10‾⁴ к  равно 2 кв .

        Задача №2

       Определить напряженность магнитного поля и маг­нитную
индукцию в точках, расположенных на расстояниях 0,2; 0,4 и 1
см от оси прямолинейного провода. Радиус провода r = 0,4
см; электрический
ток в проводе  I = 50А  и   магнитная проницаемость μ
= 1.

Решение:

       Точка, лежащая на расстоянии 0,2
см от оси провода, находится внутри провода:

H =  =  = 1000  ;

B = μ• H = 4• 10•2000 = 25 гс.

      Точка, лежащая на расстоянии 0,4
см от оси провода, находится на его поверхности:

H = =  = 2000;

B = μ• H = 4 = 25 гс.

       Точка, лежащая на расстоянии 1
см, лежит за пределами провода:

H =  =  = 800 ;

B = μ• H = 4 = 10 гс.

       
Ответ: Напряженность
магнитного поля и маг­нитная индукция в точках, расположенных на расстояниях 0,2;
0,4 и 1 см от оси прямолинейного провода равна

             
H =  1000  ;

             
B = 25 гс.

             
H =  2000;

             
B = 25 гс.

             
H =  800;

              
B = 10 гс.

Раздел 2. Электрические цепи постоянного тока

        Задача №3

       Найти  сопротивление между точками  А и D,
приведенной на рисунке электрической схемы, если каждое из трех сопротивлений
равно  1 Ом. (Сопротивлением соединительных проводов пренебречь).

                     

Решение:

       Так как точки А и С, а также точки В и D
соединены проводниками, сопротивление которых мы не учитываем, то схему представленную
в условии задачи  можно заменить эквивалентной схемой.

                                       

        Из нее видно, что сопротивление между точка­ми А и D можно
вычислить по формуле для параллель­ного соединения проводников.

 =  +   +  = ;

        Откуда

R =   =   0,33 Ом.

       
Ответ: Сопротивление между
точками  А и D равно
R   0,33 Ом.

        Задача №4

       Мощность, потребляемая нагрузочным со­противлением RH = 9,9 Ом, измеряется с помощью
вольтметра    и амперметра. Вольтметр показывает 120В, ампер­метр 12А.

      Считая, что показания приборов не содержат
погрешностей (ошибки исключены с помощью поправок), подсчитать мощность, выделяющую­ся
в сопротивлении RH. Найти по­грешность измерения
мощности.

Решение:

       Мощность, выделяющаяся в сопротивлении R_н , подсчитанная по показаниям приборов,

Р_из
= UI = 120 ∙ 12 = 1440  Вт,

               
Действительное значение этой мощности

Р = I∙ R_н = 12² ∙ 9,9  =  1425,6 Вт.

               
Абсолютная погрешность измерения

ΔP = Р_из – Р = 1440 —
1425,6 = 14,4 Вт.

                Относительная
погрешность измерения

δ = ΔP/Р = 14,4/1425,6 = 0,0101 ≈ 1%.

      Таким образом,
проведя измерение абсолютно точны­ми приборами, получаем значение мощности, на 1
% от­личающееся от действительного.

Такая погрешность, вы­званная
самой схемой измерения, называется система­тической    или методической.

       Эта погрешность
может быть найдена и непосредст­венно по известной формуле

δ = RA / R_н

      Внутреннее
сопротивление амперметра

RA =
– R_н = – 9,9 = 0,1 Ом

      Погрешность

δ = RA / R_н = 0,1/9,9 = 0,0101.

      Ответ: По­грешность измерения мощности δ
= 0,0101 ≈ 1%.

      Задача №5

      Для изготовления обмотки нагревательного прибора при  напряжении 
220 В и  токе 2 А  применяется нихромовая лента. Определить длину
ленты, приняв допустимую плотность тока   δ = 10 :

               ρнихрома= 1,1  – удельное сопротивление нихрома.

Решение:

S =  =  = 0,2 мм.

      Сопротивление обмотки

r
=  = = 110 ом.

      Определяем
 длину ленты

l = = = 20
м.

      
Ответ:  Длина нихромовой
 ленты равна 20 м.

       Задача №6

       Определить   сопротивление  медного провода линии  передачи
сечением

S = 95мм, длиной l  = 120
км при 
температурах  О  и 20 °С.

           ρмеди= 0,0175  – удельное сопротивление меди.

           αмеди  = 0,004
 – температурный коэффициент меди.

Решение:

r = ρ•;

       так
как  ρ задано как раз для  температуры 20° С, то,  подставляя значения  l и S, находим: 

r  = 0,0175 • = 21,7 ом.

     Сопротивление провода при 0° С

r = r•=21,7 + 21,7 • 0,004 (-20 C) = 20 ом.

      Ответ: Сопротивление  медного провода линии
 передачи сечением S = 95мм, длиной l  = 120
км при 
температурах  О  и 20°С равно 20 ом.

        Задача №7

       Определить напряжение на выходе делителя напряжения, который
подключен к источнику питания 10 В в следующих случаях:

              а) напряжение снимается со всего делителя напряжения;

                б) напряжения снимается с половины витков делителя
напряжения;

              в) напряжение снимается с 1/4 витков делителя напряжения.

Решение:

      Напряжение на выходе делителя определяется по формуле:

U = I • R

      С другой стороны, ток переменного резистора находится из
соотношения

I
=

      Следовательно, отношение напряжения на выходе делителя и напряже­ния
питания пропорционально отношению сопротивлений R и R т.е.

U = • U

       Отсюда находим  искомые значения напряжений на выходе делителя

а) U  =  = 10 В;

б) U  =  = 5 В;

  в) U  =  = 2,5 В.

      Ответ:

а) напряжение снимается со всего делителя напряжения

U = 10 В;

б) напряжения
снимается с половины витков делителя напряжения

U= 5 В;

в) напряжение снимается с 1/4 витков делителя напряжения U = 2,5 В.

       Задача №8

      Определять токи и напря­жения в электрической цепи,
изображенной на рисунке, при следующих ее данных: Е = 2 в; r  = 0,5 ом; r = 3,5 ом; r = 5 ом; r= 100 ом; r=25 ом.

Решение:

      Находим проводимость параллельно соединенных ветвей

gАБ
= g2+ g3   +
g4 =  + + = 0,25
,

откуда следует, что сопротивление этого участка

r= = 4 ом.

общее
сопротивление всей цепи

r  = r + r + r = 0,5 + 3,5 + 4 =  8 ом.

     Ток в неразветвленной части цепи

I =  =  =  0,25 А.

    Напряжение между точками АБ

U = I• r= 0,25 • 4 = 1 В.

    Токи в отдельных ветвях

I=  =  = 0,2 А;

I =  =  = 0,01 А;

I =  =  = 0,04 А.

    Ответ:  токи и напря­жения в электрической
цепи равны:

             
U = 1 В.

              
I =   0,25 А.

              
I= 
0,2 А;

              
I = 
0,01 А;

              
I =  0,04 А.

        Задача №9

       При разомкнутом ключе К показания вольтметра  2,1
В. Когда ключ замкнут, амперметр фиксирует ток 1А. Внешнее
сопротивление цепи R = 2 Ом. Определить  ЭДС источника   Е,  внутреннее
сопротивление источника R  и напряжение  на зажимах источника U.

Решение:

       Когда цепь тока разорвана, вольтметр, подключенный к
зажимам источника, практически фиксирует значение ЭДС.

Следовательно,

E = 2,1 В.

       Для определения R необходимо воспользоваться законом Ома
для всей цепи:

I = ,

Откуда

R + R  =  =  = 2,1 Ом.

       Так как известно, что внешнее сопротивление цепи R=
2 Ом, то внутренне сопротивление  источника

R = 2,1 – 2 = 0,1 Ом.

       Напряжение на зажимах источника

U = E – RI

или  

U = RI

     Подставляя значения в приведенные выражения, полу­чим 

U = 2,1 – 0,1 • 1 = 2 B;

U = 2 • 1 = 2В;

       Применение формулы U = E – RI предпочтительней, так как
подчеркивается тот факт, что напряжение на зажимах источника меньше ЭДС, причем
с увеличением тока это напряжение уменьшается.

       
Ответ: E = 2,1 В.

          
          R = Ом.

            
         U = 2 B;

         Задача №10

        Для электрической цепи представленной на рисунке, методом двух
узлов, определить токи во всех ее ветвях. Задачу решить в общем виде, учесть,
что  известны  следующие параметры электрической цепи: E1, E2, Ri1, Ri2, R1, R2, R3.         

Решение:

         Решение
данной задачи состоит в расчете  сложной цепи пе­ременного тока методом двух
узлов. Для этого надо   применитель­но к представленной на рисунке
электрической схеме:

                     1) 
выбрать направления всех токов одинаковыми

                     2) 
найти проводимости всех ветвей, См,

G1 =

G2 =

G3 =

                     3) 
определить узловое напряжение Uab

Uab   =

                     (E₂G₂ – со знаком “минус”, так как E2    имеет противоположное I2  направление);

4)    определить токи в ветвях;

I1 = (E1 –
UAB)G1

I2 =
(-E2 – UAB)G2

I3 =
(0 – UAB)G3

5)   
если в
результате расчетов какой – либо ток будет получен    со знаком «минус», значит,
его действительное направление противоположно выбранному на схеме.
Действительное направление необходимо показать пунктиром на схеме.

        Задача №11

        Генератор постоянного  тока с параллельным
возбуждением работает на нагрузку, со­противление которой Rн = 5 Ом,
сопротивление обмотки якоря Rя = 0,2  Ом,   сопротивление обмотки возбуждения RB=230
Ом, напряжение на зажимах генерато­ра U =230 В.    

 Определить: а) ЭДС генерато­ра; б) электромагнитную
мощность;  в) потери мощности в обмотках яко­ря и возбуждения?  

Решение:

                           Токи 
нагрузки

Iн =  U/Rн  = 230/5 = 46А

                          
возбуждения 

Iв = U/Rв  = 230/230 = 1А

                          
Якоря

Iя = Iн
+ Iв = 46 + 1 = 47A

                          
ЭДС генератора

Е = U + Iя ∙ R_я = 230+47 ∙ 0,2 = 239,4 В

                          Электромагнитная
мощность

Pэ = Е ∙ Iя  = 239,4 ∙ 47 =  11251,8 Вт.

                          Потери мощности
в меди обмотки якоря

Р_мя
 = Iя  ∙ R_я = 47² ∙ 0,2 = 441,8 Вт

                          Потери
мощности в меди обмотки возбуждения

Р_мв
 = Iв  ∙ R_в = 1² ∙ 230 = 230 Вт

                          
Добавочные потери в соответствие ГОСТом состав­ляют

         1 % от
полезной мощности генератора

Рдоб = 0,01 UIн = 0,01 ∙ 230 ∙ 46 = 105,8 Вт

                            
Потери в щеточных контактах

Р_к = 2ΔUIя = 2 ∙ 0,5 ∙ 47 =  47 Вт

       Ответ: ЭДС генерато­ра Е  =
239,4 В;  электромагнитную мощность 

Pэ  =  11251,8 Вт; потери мощности в обмотках яко­ря Р_мя
 = 441,8 Вт  и возбуждения  Р_мв = 230 Вт.

        Задача №12

       Чему равны одинаковые электрические токи,
протекающие  в двух па­раллельных проводах, которые расположены на расстоянии, а
= 20 см друг от друга, если на каждый метр провода действует сила F = 100 н/м?

           
μ= 4 – магнитная постоянная.

            Для воздуха     μ = 1

Решение:

I =  =  =
10000А.

        
Ответ: Электрические
токи, протекающие  в двух па­раллельных проводах, которые расположены на
расстоянии, а = 20 см  равны 10000А.

         Задача №13

        Три конденсатора, емкости которых С = 20 мкф,  С = 25 мкф  и С= 30 мкф, соединяются последовательно.
Опреде­лить общую емкость.

Решение:

       Записываем формулу для определения  общей емкости трех последовательно соединенных  конденсаторов.

 =  +  +  =   +  +  =  0,05
+ 0,04 + 0,033 = 0,123.

C =  = 8,13 мкф.

        
Ответ: Общая
емкость трех конденсаторов, соединенных последовательно равна 8,13 мкф.

        Задача №14

        Определите
емкость батареи конденсаторов, если емкость первого конденсатора С = 1 мкФ, второго – С =   2  мкФ,  третьего –  С =  4  мкФ.

Решение:

Конденсаторы С и С соединены параллельно,  поэтому их 
общая  емкость

C = С + С;

Конденсатор  C соединен последовательно с C. По
формуле последовательного соединения конденсаторов имеем:

 =  + ;

C =  =  =  =  = 0,86 мкф.

         
Ответ: C =  0,86 мкф.

         Задача №15

       Три одинаковых конденсатора соединены параллельно в батарею.
Определите емкость батареи, если известно, что при подключении аккумулятора (U
= 2 В) на обкладках каждого
конденсатора накапливается заряд, равный  10Кл.

Решение:

       При параллельном соедине­нии  конденсаторов  имеем:

C
= C + C + C = 3 C

U = U=U=U

Следовательно,

С = 3
C = 3,

 т. к. C = ;    С = 3 • = 1,5 • 10Ф.

      Ответ: Емкость батареи конденсаторов равна С =  1,5
• 10Ф.

      Задача №16

      Три  конденсатора  С, С, С емкостью
2 мкф  каждый  соединены параллельно. Определить их общую емкость.

Решение:

       Записываем  формулу для определения  общей емкости трех
параллельно соединенных  конденсаторов. Но, так как,  емкость всех трех
конденсаторов одинакова то, можно воспользоваться, более простой формулой.

С = 3 • С = 3 • 2 = 6 мкф.

      
Ответ: Общая
емкость трех конденсаторов, соединенных параллельно равна 6 мкф.

       Задача №17

       Пространство между плоскопараллельными металлическими
пластинам заполнено парафинированной бумагой. Опреде­лить допустимое и пробивное
напряжения между пластинами при условии, что допустимое напряжение должно быть
меньше пробив­ного в 2,5 раза.   Расстояние   между  пластинами  d = 0,I мм.

       εпр = 10⁴
 – пробивная напряженность
парафинированной бумаги.

Решение:

Пробивное напряжение:

U пр =
ε пр • d =10⁴ • 0,1 = 1000 в.

Допустимое напряжение

U  ==  = 400 в.

      
Ответ:  Пробивное
напряжение между пластинами равно 1000 в.

             Допустимое напряжение по условию задачи должно
быть меньше

             пробив­ного в 2,5 раза и равно 400
в.  

Раздел 3. Электрические цепи переменного тока

       Задача №18

      Электротехническое устройство с потребляемой мощ­ностью
50 Вт и напряжением питания 110 В нужно включить в сеть перемен­ного
напряжения 220 В частотой 50 Гц. Найти емкость конденсатора, ко­торый
необходимо подключить последовательно данному устройству, чтобы скомпенсировать
избыточное напряжение.

Решение:

        Для решения задачи необходимо определить ток и
напряжение компенсирующего конденсатора, что позволит найти его реактивное
сопротивление, а следовательно, и емкость. Поэтому ток в цепи не должен
превышать

I =  =  =  0,455
A.

       Напряжение на конденсаторе должно быть равно
векторной разности напряжений питания и нагрузки:

U =  =  = 191
В.

Зная напряжение и ток конденсатора, находим его реактивное
со­противление:

Х =  =  = 420 Ом.

По известной формуле для определения емкостного
сопротивления

X = ;

находим искомую емкость конденсатора

С =  =  = 7,6 • 10Ф
= 7,6 мкФ.

       Ответ: Емкость конденсатора, ко­торый необходимо
подключить последовательно данному устройству, чтобы скомпенсировать избыточное
напряжение С =  7,6 мкФ.

       Задача №19

       В электрическую цепь переменного тока напряжением U = 220В, частотой

 f = 50Гц включена катушка с индуктивностью L = 0,0127Гн и активным сопротивлением R = 3Ом.  

       Определить:  

                1) реактивное  сопротивление катушки;

                2) ток в ка­тушке;

                3) активную мощность катушки;

                4) реактивную   мощность ка­тушки;

                5) энергию, запасаемую в магнитном поле
катушки.

Решение:

X = ωL = 2fL = 2 • 3,14 • 50 • 0,0127 =  4 Oм;

Z =  =  =5 Oм;

I =  =  = 44A;

P = U• I = I • R = 44 • 3 = 1936 • 3 = 5808 Вт;

Sin φ =  =  = 0,8;

Q = UI sinφ = 220 • 44 • 0,8 = 7744 Вар;

W = LI = 0,0127 • 44 = 24,59 дж.

          Ответ: 
X =  4 Oм;

             
          Z = 5 Oм;

                         I
= 44A;

                         P
= 5808 Вт;

              
         Sin φ = 0,8;

              
         Q = 7744 Вар;

      
                 W =
24,59 дж.

       Задача №20

       К генератору переменного электрического тока с напряжением

U = 240В и частотой  f = 50Гц присоединен конденсатор с емкостью  

C = 40 мкф.                  

              Определить:  1) реактивное сопротивление емкости X;

                                    2) ток в электрической цепи;

                                    3) реактивную мощность цепи Q;

                                    4) максимальную энергию, запасаемую
в

                                       электрическом поле конденсатора W.

Решение:

X =  =    = 80 Ом.

I =   =  = 3
A.

Q = U • I = 240 • 3 = 720 Вар.

W = C•U = 40 • 10•240 = 2,7 дж.

          Ответ: Реактивное сопротивление емкости  X =  80 Ом.

                       Ток в электрической
цепи I =  3
A;

                       Реактивная мощность
цепи Q = 720 Вар;

                       Максимальная
энергия, запасаемая в электрическом поле

                       конденсатора W = 2,7 дж.

      Задача №21

      В  электрическую цепь переменного тока напряжением U = 220 В, частотой

f
= 50 Гц включена
катушка с индуктивностью L = 25,5 мГн и активным сопротивлением R = 6 Ом.  

               Определить:  X; Z ; U; U; cosφ.

Решение:

X = ωL = 2 =
2 • 3,14 • 50 • 0,0255 = 8 Oм;

Z = =   = 10 Oм;

I =  =  = 22
A;

U= I R =
22 • 6  = 132 B;

U = U = I • X = 22 •
8 = 176 B;

Cos φ =  =   = 0,6.

      
Ответ: X =  8 Oм;

          
         Z = 10 Oм;

                     I
=  22 A;

                    U= 132 B;

                    U = U = 176
B;

                   Cos
φ = 0,6.

         Задача №22

        В электрическую сеть напряжением 220В включено 16
одинаковых электрических ламп мощностью по 100Вт каждая. Определить
необходимое сечение медного провода, соединяющего эти электрические лампочки.

           
Площадь поперечного сечения                          Наиболее допустимый

                  
медного провода, мм                                  электрический
ток, А

                                  0,50                                                          
         10

                                  0,75                                                                    13

                                  1,0                                                                      15

Решение:

              Полная   мощность                     

Р = P ламп • 16 = 100 • 16 = 1600 Вт.

Ток в проводе

I =  =  = 7,273 А.

По таблице, приведенной в условии задачи,  выбираем сечение
провода;

S = 0,50
мм.

      Ответ: Сечение медного провода, необходимое для
подключения 16 одинаковых электрических ламп мощностью по 100Вт каждая
в электрическую сеть напряжением 220В равно 0,50
мм.

         Задача №23

         Генератор переменного тока, используемый для
получения переменной электродвижущей силы, имеет частоту вращения 2800 об/мин.

Определить частоту, период и угловую частоту электрического
тока, возникающего при подключении  генератора  к нагрузке,  если число пар
полюсов генератора равно 6.

Решение:

                Частота
электрического тока гене­ратора

f = pn/60 = 6 ∙ 2800/60 = 280 Гц.

                Период

Т= 1
/ f = 1/280 = 0,0036 с

                и
угловая частота

ω = 2π/Т = 2 π f   = 2 ∙ 3,14 ∙ 280 = 1750   1/с.  

      
Ответ:  Частота электрического
тока равна  f  = 280 Гц,

                      период
электрического тока равен  Т= 0,0036 с,

             
        угловая частота электрического тока равна  ω = 1750   1/с.  

       Задача №24

       В  электрическую цепь переменного тока напряжением U = 220 В, частотой

 f = 50 Гц включена катушка с индуктивностью L = 25,5 мГн и активным сопротивлением R = 6 Ом; I
=  22 A; U= 132 B; Cos
φ = 0,6.

               Определить:

               1) максимальную мощность в активном сопротивлении
P;

               2) активную мощность;

               3) реактивную мощность;

               4) полную мощность.

Решение:

P = 2 UI = 2 • 132 • 22 = 5808 Вт.

P = UI
cos φ = 220 • 22 • 0,6 = 2904 Вт.

Q = UI
sin φ =220 • 22 • 0,8 = 3872 Вар.

S = UI = 220 • 22 = 4840 BA.

       Ответ: P = 5808 Вт.

                   P = 2904 Вт.

                   Q = 3872 Вар.

                   S = 4840 BA.

       Задача №25

      Лампа накаливания включена параллельно с линейным ре­зистором

R2 = 30 Ом.

               Построить зависимость эквивалентного
сопротивления Rэк цепи от напряжения U на его зажимах.

               Методом последовательных приближений
определить напряжение U при токе в неразветвленной части цепи I = 5А.  
Вольт-амперная характеристика лампы   задана  в    таблице.

U, B	0	20	40	60	80	100	120
I, A	0	0,6	1,1	1,5	1,85	2,15	2,4

Решение:

               
Построим вольт-амперные ха­рактеристики элементов цепи.

       На рисунке: I(U) —
характеристика лампы и I2(U) — ха­рактеристика резистора R2.
Сложив ординаты
этих характеристик при различных значениях напряжения, получим вольт-амперную
характе­ристику всей цепи, т. е. зависимость тока в неразветвленной части цепи
от приложенного напряжения I(U). Эквивалентное сопротивление схемы найдем
как отношение Rэк = U/I для различных значений приложенного напряжения.

Результаты вычислений приведены на гра­фике представленном
на рисунке.