Как найти сопряженное для предела

Пределы с иррациональностями. Вторая часть.

Нам понадобится несколько формул, которые я запишу ниже:

$$
begin{equation}
a^2-b^2=(a-b)cdot(a+b)
end{equation}
$$

$$
begin{equation}
a^3-b^3=(a-b)cdot(a^2+ab+b^2)
end{equation}
$$

$$
begin{equation}
a^3+b^3=(a+b)cdot(a^2-ab+b^2)
end{equation}
$$

$$
begin{equation}
a^4-b^4=(a-b)cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)
end{equation}
$$

Пример №4

Найти $lim_{xto 4}frac{sqrt[3]{5x-12}-sqrt[3]{x+4}}{16-x^2}$.

Решение

Так как $lim_{xto 4}left(sqrt[3]{5x-12}-sqrt[3]{x+4}right)=0$ и $lim_{xto 4}(16-x^2)=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $frac{0}{0}$. Чтобы избавиться от иррациональности, вызвавшей эту неопределенность, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое к числителю. Формула №1 здесь уже не поможет, ибо домножение на $sqrt[3]{5x-12}+sqrt[3]{x+4}$ приведёт к такому результату:

$$
left(sqrt[3]{5x-12}-sqrt[3]{x+4}right)left(sqrt[3]{5x-12}+sqrt[3]{x+4}right)=sqrt[3]{(5x-12)^2}-sqrt[3]{(x+4)^2}
$$

Как видите, такое домножение не избавит нас от разности корней, вызывающей неопределённость $frac{0}{0}$. Нужно домножить на иное выражение. Это выражение должно быть таким, чтобы после домножения на него исчезла разность кубических корней. А кубический корень может “убрать” только третья степень, посему нужно использовать формулу №2. Подставив в правую часть этой формулы $a=sqrt[3]{5x-12}$, $b=sqrt[3]{x+4}$, получим:

$$

left(sqrt[3]{5x-12}- sqrt[3]{x+4}right)left( sqrt[3]{(5x-12)^2}+sqrt[3]{5x-12}cdot sqrt[3]{x+4}+sqrt[3]{(x+4)^2} right)=\
=sqrt[3]{(5x-12)^3}-sqrt[3]{(x+4)^3}=5x-12-(x+4)=4x-16.

$$

Итак, после домножения на

$$sqrt[3]{(5x-12)^2}+sqrt[3]{5x-12}cdot sqrt[3]{x+4}+sqrt[3]{(x+4)^2}$$

разность кубических корней исчезла. Именно это выражение будет сопряжённым к выражению $sqrt[3]{5x-12}-sqrt[3]{x+4}$. Вернемся к нашему пределу и осуществим умножение числителя и знаменателя на выражение, сопряжённое числителю $sqrt[3]{5x-12}-sqrt[3]{x+4}$:

$$

lim_{xto 4}frac{sqrt[3]{5x-12}-sqrt[3]{x+4}}{16-x^2}=left|frac{0}{0}right|=\
=lim_{xto 4}frac{left(sqrt[3]{5x-12}- sqrt[3]{x+4}right)left( sqrt[3]{(5x-12)^2}+sqrt[3]{5x-12}cdot sqrt[3]{x+4}+sqrt[3]{(x+4)^2} right)}{(16-x^2)left( sqrt[3]{(5x-12)^2}+sqrt[3]{5x-12}cdot sqrt[3]{x+4}+sqrt[3]{(x+4)^2} right)}=\
=lim_{xto 4}frac{4x-16}{(16-x^2)left( sqrt[3]{(5x-12)^2}+sqrt[3]{5x-12}cdot sqrt[3]{x+4}+sqrt[3]{(x+4)^2} right)}

$$

Задача практически решена. Осталось лишь учесть, что $16-x^2==-(x-4)(x+4)$ (см. формулу №1). Кроме того $4x-16=4(x-4)$, поэтому последний предел перепишем в такой форме:

$$

lim_{xto 4}frac{4x-16}{(16-x^2)left( sqrt[3]{(5x-12)^2}+sqrt[3]{5x-12}cdot sqrt[3]{x+4}+sqrt[3]{(x+4)^2} right)}=\
=lim_{xto 4}frac{4(x-4)}{-(x-4)(x+4)left( sqrt[3]{(5x-12)^2}+sqrt[3]{5x-12}cdot sqrt[3]{x+4}+sqrt[3]{(x+4)^2} right)}=\
=-4cdotlim_{xto 4}frac{1}{(x+4)left( sqrt[3]{(5x-12)^2}+sqrt[3]{5x-12}cdot sqrt[3]{x+4}+sqrt[3]{(x+4)^2} right)}=\
=-4cdotfrac{1}{(4+4)left( sqrt[3]{(5cdot4-12)^2}+sqrt[3]{5cdot4-12}cdot sqrt[3]{4+4}+sqrt[3]{(4+4)^2} right)}=-frac{1}{24}.

$$

Ответ: $lim_{xto 4}frac{sqrt[3]{5x-12}-sqrt[3]{x+4}}{16-x^2}=-frac{1}{24}$.

Рассмотрим ещё один пример (пример №5) в данной части, где применим формулу №4. Принципиально схема решения ничем не отличается от предыдущих примеров, – разве что сопряжённое выражение будет иметь иную структуру. Кстати, стоит отметить, что в типовых расчётах и контрольных работах часто встречаются задачи, когда, например, в числителе размещены выражения с кубическим корнем, а в знаменателе – с корнем квадратным. В этом случае приходится домножать и числитель и знаменатель на различные сопряжённые выражения. Например, для при вычислении предела $lim_{xto 8}frac{sqrt[3]{x}-2}{sqrt{x+1}-3}$, содержащего неопределённость вида $frac{0}{0}$, домножение будет иметь вид:

$$
lim_{xto 8}frac{sqrt[3]{x}-2}{sqrt{x+1}-3}=left|frac{0}{0}right|=

lim_{xto 8}frac{left(sqrt[3]{x}-2right)cdot left(sqrt[3]{x^2}+2sqrt[3]{x}+4right)cdotleft(sqrt{x+1}+3right)}{left(sqrt{x+1}-3right)cdotleft(sqrt{x+1}+3right)cdotleft(sqrt[3]{x^2}+2sqrt[3]{x}+4right)}=\=
lim_{xto 8}frac{(x-8)cdotleft(sqrt{x+1}+3right)}{left(x-8right)cdotleft(sqrt[3]{x^2}+2sqrt[3]{x}+4right)}=
lim_{xto 8}frac{sqrt{x+1}+3}{sqrt[3]{x^2}+2sqrt[3]{x}+4}=frac{3+3}{4+4+4}=frac{1}{2}.
$$

Все преобразования, применённые выше, уже были рассмотрены ранее, поэтому полагаю, особых неясностей здесь нет. Впрочем, если решение вашего аналогичного примера вызывает вопросы, прошу отписать об этом на форум.

Пример №5

Найти $lim_{xto 2}frac{sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}$.

Решение

Так как $lim_{xto 2}(sqrt[4]{5x+6}-2)=0$ и $lim_{xto 2}(x^3-8)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $frac{0}{0}$. Для раскрытия оной неопределённости используем формулу №4. Сопряжённое выражение к числителю имеет вид

$$sqrt[4]{(5x+6)^3}+sqrt[4]{(5x+6)^2}cdot 2+sqrt[4]{5x+6}cdot 2^2+2^3=sqrt[4]{(5x+6)^3}+2cdotsqrt[4]{(5x+6)^2}+4cdotsqrt[4]{5x+6}+8.$$

Домножая числитель и знаменатель дроби $frac{sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}$ на указанное выше сопряжённое выражение будем иметь:

$$lim_{xto 2}frac{sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}=left|frac{0}{0}right|=\
=lim_{xto 2}frac{left(sqrt[4]{5x+6}-2right)cdot left(sqrt[4]{(5x+6)^3}+2cdotsqrt[4]{(5x+6)^2}+4cdotsqrt[4]{5x+6}+8right)}{(x^3-8)cdotleft(sqrt[4]{(5x+6)^3}+2cdotsqrt[4]{(5x+6)^2}+4cdotsqrt[4]{5x+6}+8right)}=\
=lim_{xto 2}frac{5x+6-16}{(x^3-8)cdotleft(sqrt[4]{(5x+6)^3}+2cdotsqrt[4]{(5x+6)^2}+4cdotsqrt[4]{5x+6}+8right)}=\
=lim_{xto 2}frac{5x-10}{(x^3-8)cdotleft(sqrt[4]{(5x+6)^3}+2cdotsqrt[4]{(5x+6)^2}+4cdotsqrt[4]{5x+6}+8right)}
$$

Так как $5x-10=5cdot(x-2)$ и $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ (см. формулу №2), то:

$$
lim_{xto 2}frac{5x-10}{(x^3-8)cdotleft(sqrt[4]{(5x+6)^3}+2cdotsqrt[4]{(5x+6)^2}+4cdotsqrt[4]{5x+6}+8right)}=\
=lim_{xto 2}frac{5(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)cdotleft(sqrt[4]{(5x+6)^3}+2cdotsqrt[4]{(5x+6)^2}+4cdotsqrt[4]{5x+6}+8right)}=\
lim_{xto 2}frac{5}{(x^2+2x+4)cdotleft(sqrt[4]{(5x+6)^3}+2cdotsqrt[4]{(5x+6)^2}+4cdotsqrt[4]{5x+6}+8right)}=\
frac{5}{(2^2+2cdot 2+4)cdotleft(sqrt[4]{(5cdot 2+6)^3}+2cdotsqrt[4]{(5cdot 2+6)^2}+4cdotsqrt[4]{5cdot 2+6}+8right)}=frac{5}{384}.
$$

Ответ: $lim_{xto 2}frac{sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}=frac{5}{384}$.

Пример №6

Найти $lim_{xto 2}frac{sqrt[5]{3x-5}-1}{sqrt[3]{3x-5}-1}$.

Решение

Так как $lim_{xto 2}(sqrt[5]{3x-5}-1)=0$ и $lim_{xto 2}(sqrt[3]{3x-5}-1)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $frac{0}{0}$. В таких ситуациях, когда выражения под корнями одинаковы, можно использовать способ замены. Требуется заменить выражение под корнем (т.е. $3x-5$), введя некоторую новую переменную. Однако простое использование новой буквы ничего не даст. Представьте, что мы просто заменили выражение $3x-5$ буквой $t$. Тогда дробь, стоящая под пределом, станет такой: $frac{sqrt[5]{t}-1}{sqrt[3]{t}-1}$. Иррациональность никуда не исчезла, – лишь несколько видоизменилась, что нисколько не облегчило задачу.

Здесь уместно вспомнить, что корень может убрать лишь степень. Но какую именно степень использовать? Вопрос не тривиален, ведь у нас два корня. Один корень пятого, а другой – третьего порядка. Степень должна быть такой, чтобы одновременно убрать оба корня! Нам нужно натуральное число, которое одновременно делилось бы на $3$ и на $5$. Таких чисел бесконечное множество, но наименьшее из них – число $15$. Его называют наименьшим общим кратным чисел $3$ и $5$. И замена должна быть такой: $t^{15}=3x-5$. Посмотрите, что такая замена сделает с корнями:

$$
sqrt[5]{3x-5}=sqrt[5]{t^{15}}=t^{frac{15}{5}}=t^3;\
sqrt[3]{3x-5}=sqrt[3]{t^{15}}=t^{frac{15}{3}}=t^5.\
$$

Корни исчезли, остались лишь степени. И дробь $frac{sqrt[5]{3x-5}-1}{sqrt[3]{3x-5}-1}$ станет такой:

$$
frac{sqrt[5]{3x-5}-1}{sqrt[3]{3x-5}-1}=frac{t^3-1}{t^5-1}.
$$

Однако это ещё не всё. Переменная $xto 2$, но к чему стремится переменная $t$? Рассудим так: если $t^{15}=3x-5$, то $t=sqrt[15]{3x-5}$. Так как $xto 2$, то ${(3x-5)}to 1$, $sqrt[15]{3x-5}to 1$, посему $tto 1$. Теперь можем вернуться к нашему пределу:

$$
lim_{xto 2}frac{sqrt[5]{3x-5}-1}{sqrt[3]{3x-5}-1}=left|frac{0}{0}right|=lim_{tto 1}frac{t^3-1}{t^5-1}
$$

Корни исчезли, – но неопределённость $frac{0}{0}$ осталась. Чтобы убрать её, нужно учесть, что при $t=1$ имеем $t^3-1=1^3-1=0$ и $t^5-1=1^5-1=0$. Из сказанного следует, что $t=1$ – корень многочленов $t^3-1$ и $t^5-1$. Следовательно, оные многочлены делятся на $t-1$. Разделим многочлен $t^5-1$ на $t-1$ с помощью схемы Горнера:

Результаты применения схемы Горнера можно записать так: $t^5-1=(t-1)(t^4+t^3+t^2+t+1)$. К многочлену $t^3-1$ можно также применить схему Горнера, но лучше использовать формулу №2: $t^3-1=t^3-1^3=(t-1)(t^2+t+1)$. Вернёмся к рассматриваемому пределу:

$$
lim_{tto 1}frac{t^3-1}{t^5-1}=lim_{tto 1}frac{(t-1)(t^2+t+1)}{(t-1)(t^4+t^3+t^2+t+1)}=\
=lim_{tto 1}frac{t^2+t+1}{t^4+t^3+t^2+t+1}=lim_{tto 1}frac{1^2+1+1}{1^4+1^3+1^2+1+1}=frac{3}{5}.
$$

Ответ: $lim_{xto 2}frac{sqrt[5]{3x-5}-1}{sqrt[3]{3x-5}-1}=frac{3}{5}$.

Простое объяснение принципов решения пределов с корнями и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Пределы с корнями: примеры решений

Среди задач на решение пределов попадаются пределы с корнями. В результате подстановки значения $ x $ в функцию получаются неопределенности трёх видов:

1. $ bigg [frac{0}{0} bigg ] $ 
2. $ bigg [frac{infty}{infty} bigg ] $
3. $ bigg [infty-infty bigg ] $

Перед тем, как приступить к решению определите тип своей задачи

Тип 1 $ bigg [frac{0}{0} bigg ] $

Для того, чтобы раскрывать такие неопределенности необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное к выражению содержащему корень.

Пример 1

Найти предел с корнем $$ lim limits_{x to 4} frac{x-4}{4-sqrt{x+12}} $$

Решение

Подставляем $ x to 4 $ в подпределельную функцию: $$ lim limits_{x to 4} frac{x-4}{4-sqrt{x+12}} = frac{0}{0} = $$ Получаем неопределенность $ [frac{0}{0}] $. Домножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное к нему, так как он содержит корень: $ 4+sqrt{x+12} $ $$ = lim limits_{x to 4} frac{(x-4)(4+sqrt{x+12})}{(4-sqrt{x+12})(4+sqrt{x+12})} = $$ Используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ приведем предел к следующему виду: $$ = lim limits_{x to 4} frac{(x-4)(4+sqrt{x+12})}{16-(x+12)} = $$ Раскрываем скобки в знаменателе и упрощаем его: $$ = lim limits_{x to 4} frac{(x-4)(4+sqrt{x+12})}{4-x} = $$ Сокращам функцию в пределе на $ x-4 $, имеем: $$ = -lim limits_{x to 4} (4+sqrt{x+12}) = -(4+sqrt{4+12}) = -8 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ lim limits_{x to 4} frac{x-4}{4-sqrt{x+12}} = -8 $$

Тип 2 $ bigg [frac{infty}{infty} bigg ]  $

Пределы с корнем такого типа, когда $ x to infty $ вычислять нужно по-другому в отличии от предыдущего случая. Необходимо определить старшие степени выражений числителя и знаменателя. Затем вынести самую старшую из двух степеней за скобки и сократить.

Пример 2

Решить предел с корнем $$ lim limits_{x to infty} frac{x^2+5x+2}{sqrt{x+6}} $$

Решение

Вставляем $ x to infty $ в предел и получаем $ [frac{infty}{infty}] $. Определяем, что в числителе старшая степень это $ x^2 $, а в знаменателе $ sqrt{x} $. Выносим их за скобки:  $$ lim limits_{x to infty} frac{x^2(1+frac{5x}{x^2}+frac{2}{x^2})}{x^2(sqrt{frac{x}{x^4}+frac{6}{x^4})}} = $$ Теперь выполняем сокращение: $$ = lim limits_{x to infty} frac{1+frac{5x}{x^2}+frac{2}{x^2}}{sqrt{frac{1}{x^3}+frac{6}{x^4}}} = $$ Снова подставляем $ x to infty $ в предел, имеем: $$ = frac{1 + 0 + 0}{ sqrt{0 + 0}} = lbrack frac{1}{0} rbrack = infty $$

Ответ

$$ lim limits_{x to infty} frac{x^2+5x+2}{sqrt{x+6}} = infty $$

Тип 3 $ bigg [infty-infty bigg ] $

Этот вид пределов часто попадается в дополнительных заданиях на экзамене. Ведь часто студенты не правильно вычисляют пределы такого типа. Как решать пределы с корнями данного вида? Всё просто. Необходимо умножить и разделить функцию, стоящую в пределе, на выражение сопряженное к ней.

Пример 3

Вычислить предел корня $$ lim limits_{x to infty} sqrt{x^2-3x}-x $$

Решение

При $ x to infty $ в пределе видим: $$ lim limits_{x to infty} sqrt{x^2-3x}-x = [infty – infty] = $$ После домножения и разделения на сопряженное имеем предел: $$ lim limits_{x to infty} frac{(sqrt{x^2-3x}-x)(sqrt{x^2-3x}+x)}{sqrt{x^2-3x}+x} = $$ Упростим числитель, используя формулу разности квадратов: $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $ $$ = lim limits_{x to infty} frac{(x^2-3x)-x^2}{sqrt{x^2-3x}+x} =  $$ После раскрытия скобок и упрощения получаем: $$ lim limits_{x to infty} frac{-3x}{sqrt{x^2-3x}+x} = $$ Далее выносим $ x $ за скобки и сокращаем: $$ = lim limits_{x to infty} frac{-3x}{x(sqrt{1-frac{3}{x}}+1)} = lim limits_{x to infty} frac{-3}{sqrt{1-frac{3}{x}}+1} = $$ Снова подставляем $ x to infty $ в предел и вычисляем его: $$ = frac{-3}{sqrt{1-0}+1} = -frac{3}{2} $$

Ответ

$$ lim limits_{x to infty} sqrt{x^2-3x}-x = -frac{3}{2} $$