В эффективных методах оптимизации используется понятие сопряженных направлений.
Пусть 
– симметрическая и положительно определенная матрица размерности 
.
Определение 3.1. Ненулевые векторы 
, 
, …, 
пространства 
при 
называются -сопряженными или просто сопряженными, если для них
, 
. (3.11)
Если матрица равна единичной матрице 
, то 
и условие сопряженности принимает вид 
. Это означает, что скалярное произведение векторов равно нулю. В этом случае условие сопряженности векторов эквивалентно условию их ортогональности 
. В частности, собственные векторы матрицы являются сопряженными.
Лемма 3.1. Если векторы , , …, -сопряженные, то они линейно независимы.
Доказательство. Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее нулю
. (3.12)
Транспонируем это равенство и умножим его справа на 
, где 
– произвольный вектор из данной системы векторов. В силу определения сопряженности (3.11) 
слагаемых левой части обращаются в нуль, и в результате имеем
.
По свойству (3.2) положительно определенной квадратичной функции 
, поэтому 
. Итак, равенство (3.12) может выполняться только при нулевых значениях коэффициентов 
, 
, …, 
, откуда и следует линейная независимость сопряженных векторов.
Количество сопряженных векторов не может быть больше, чем 
.
Следствие 3.1. Сопряженные векторы , , …, 
образуют базис в пространстве .
Любой вектор пространства можно разложить по базису из сопряженных векторов. Для положительно определенной квадратичной функции эффективный поиск минимума можно проводить в сопряженных направлениях. Это утверждение основано на свойствах сопряженных направлений.
Теорема 3.1. Пусть 
– некоторое направление поиска в пространстве , а 
и 
– две различные точки минимума квадратичной функции 
, полученные из двух точек 
и 
в направлении . Тогда направление 
сопряжено к направлению .
Доказательство. Если и – точки минимума квадратичной функции , полученные из двух точек и в направлении , то по свойству (3.7) точного одномерного поиска для квадратичной функции выполняются условия ортогональности:
, 
.
Но по формуле (3.3) градиента квадратичной функции
, 
.
Условия ортогональности градиентов направлению примут вид:
, 
.
Вычитая эти равенства и используя свойства матриц, получим:
.
Обозначая , придем к утверждению теоремы.
|
|
|
Рис. 3.1. Сопряженные направления |
Доказанную теорему называют Свойством параллельного подпространства. По свойству параллельного подпространства выполнение двух одномерных поисков из разных точек в направлении позволяет получить сопряженное к направление 
(рис. 3.1). Точка минимума 
квадратичной функции при 
может быть найдена одномерным поиском из точек или в направлении , то есть в результате проведения трех одномерных поисков.
Гладкие овражные функции вблизи дна оврага можно аппроксимировать квадратичными функциями. Поэтому свойства сопряженных направлений позволяют находить эффективные направления поиска для любых гладких функций.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
|
0 / 0 / 0 Регистрация: 04.09.2018 Сообщений: 73 |
|
|
1 |
|
Как получить сопряженный вектор01.09.2020, 18:51. Показов 1104. Ответов 3
0 |
|
Programming Эксперт 94731 / 64177 / 26122 Регистрация: 12.04.2006 Сообщений: 116,782 |
01.09.2020, 18:51 |
|
3 |
|
1436 / 1013 / 228 Регистрация: 31.05.2013 Сообщений: 6,645 Записей в блоге: 6 |
|
|
01.09.2020, 21:51 |
2 |
|
потому что не нашел здесь знака верхняя горизонтальная черточка bar{z} с учётом обозначения выше, я заменю их. И, кстати, если там есть индексы, то изволте писать их индексами. Обозначение:
0 |
|
0 / 0 / 0 Регистрация: 04.09.2018 Сообщений: 73 |
|
|
03.09.2020, 04:43 [ТС] |
3 |
|
вот формулы
0 |
|
8713 / 6314 / 3392 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 14,491 |
|
|
03.09.2020, 09:07 |
4 |
|
В силу соотношений
0 |
|
IT_Exp Эксперт 87844 / 49110 / 22898 Регистрация: 17.06.2006 Сообщений: 92,604 |
03.09.2020, 09:07 |
|
Помогаю со студенческими работами здесь Получить элементы квадратной матрицы. Сформировать из матрицы А вектор. Используя вектор Х получить значение п Даны квадратная матрица A порядка n и вектор b c n элементами. Получить вектор: A^2b
Есть квадратная матрица А порядка n и вектор b с n элементами. Получить вектор Аb.
MathCAD: как получить вектор? Искать еще темы с ответами Или воспользуйтесь поиском по форуму: 4 |
Получить вектор Ab, где b – вектор, элементы которого вычисляются по формулеСопряженные векторы тензорного пространства
В тензорном исчислении (и векторной алгебре) очень важным моментом является существование операции поднятия/опускания индексов. Эта операция позволяет единообразно определять многие важные моменты этой алгебры. Соответственно индексы с верхним расположением называются контравариантными, а с нижним – ковариантными.
Соответствующие друг другу контравариантный и ковариантный векторы называются сопряженными. Именно через сопряженные векторы определяется скалярное произведение векторов:
Замечание: запись вида (1) и (6) (см.далее) имеет смысл суммирования по одинаковым индексам:
Скалярное произведение двух векторов A и B в векторной алгебре в каком-то смысле определяет длину “проекции” одного из векторов на направление другого вектора:
Например, проекция вектора A на направление вектора B определяется по формуле:
В (3) появилась “длина вектора B” = |B|.А длина вектора – это, в принятых выше определениях, проекция вектора на собственное направление:
Здесь появилась еще одна неопределенная операция – по известному контравариантному вектору найти ее ковариантный вектор. Вот эта задача, поставленная в заголовке, и является нашей задачей.
В тензорной алгебре сопряженный вектор может быть получен специальной операцией опускания индексов для контравариантных и операцией поднятия индексов для ковариантных векторов. Операция поднятия/опускания индексов осуществляется с помощью невырожденного, а в ортонормированном метрическом пространстве – диагонального единичного метрического тензора gij:
Метрический тензор симметричен относительно главной диагонали. Контравариантный тензор gij из нее получается взятием обратной матрицы:
Здесь dik – единичная матрица. В смешанном тензоре имеет значение отдельно порядок верхних и отдельно порядок нижних индексов, даже если они между собой перепутаны.
Сопряженные векторы галилеева пространства
Здесь есть большая проблема – в галилеевом пространстве принципиально не определена не вырожденная операция сопряжения. Нет невырожденных операции, определяющих в галилеевом пространстве некий параметр типа “длина 4-мерного вектора галилеева пространства“, включающий в себя все четыре координаты вектора – и время, и расстояние. Просто нет! Следовательно, невозможно стандартно определить сопряженные вектора. А с помощью вырожденных операции сопряжения получаются две метрики:
При этом при сопряжении по временному индексу изменяется положение временного индекса, а при сопряжении по пространственному индексу i Î {1..3} изменяется положение пространственных индексов. Поэтому в галилеевом пространстве векторы либо изначально контравариантны, либо изначально ковариантны. Но без скалярного произведения. Именно в силу этого факта классическая механика пользуется галилеевым пространством, но при этом не путает между собой временные и пространственные координаты. И в силу этого при галилеевых преобразованиях координат появляются разного вида псевдо-“скаляры”, псевдо-“векторы” и псевдо-“тензоры” со своими особыми правилами преобразования типа “правила галилеева сложения скоростей”.
Но есть способ определить не стандартный не вырожденный сопряженный вектор (тензор) и в этом случае. Выбирается какая либо с.к. и определяется как выделенная (аналог – АСО – абсолютная система отсчета). В этой с.к. для вектора (тензора), не имеющего сопряженного, делается сопряжение вектора (тензора) по следующему правилу:
1) При сопряжении по временному индексу значение сопряженного элемента не изменяется.
2) При сопряжении по пространственному индексу значение сопряженного элемента изменяется на противоположное.
Эти правила соответствуют сопряжению временных и пространственных элементов векторов в классической механике. Правда, в результате получается не совсем галилеево пространство и не совсем классическая механика. А точнее – для выбранного АСО получается “интервал” пространства Минковского:
В результате получается абсолютное галилеево пространство–время с выделенной с.к. (АСО), в которой допустимы нормальные галилеевы преобразования координат и тензоров. Галилеево оно потому, что применяются галилеевы преобразования координат, а АСО – потому, что операция сопряжения для вектора определена только для векторов выделенного ИСО. Поэтому это пространство не совсем Минковского, а псевдо -Минковского или даже недо-Минковского. Его свойства отличаются от свойств пространства Минковского – оно все же остается абсолютным.
Ради справедливости необходимо указать и другой способ сопряжения. В этом случае слагаемые в (8) и при Δr, и при Δt нужно взять с положительными знаками. Но этим способом мы просто получим евклидово пространство с размерностью на 1 больше – и всего лишь.
Скалярное произведение векторов после галилеевых преобразований координат
При преобразованиях координат для пары исходно различных “сопряженных” векторов A и B формулы (1) и/или (7) остаются в силе. Для них при переходе в любое ИСО “сопряженные” векторы преобразуются по различным законам – и они уже по умолчанию сопряжены по положению индексов. Для получения сопряженной пары определенного вектора, для которой заранее не был определен сопряженный вектор, для получения его скалярной “длины” необходимо поднять (или опустить) индексы. Это можно сделать
1) либо заранее в исходной с.о. (АСО),
2) либо из ИСО перевести в АСО, получить сопряженный вектор и после этого перейти снова в ИСО,
3) либо воспользоваться специальным преобразованным метрическим тензором. Такой тензор в галилеевом пространстве уже не будет иметь диагональный “единичный” вид
Произведем скалярное произведение произвольных векторов A’i и B’j в преобразованной системе координат:
т.е. для любых двух векторов Ai и Bi их прямое “скалярное” произведение является инвариантом при галилеевых преобразованиях. Это следовало ожидать из тензорных свойств векторов и тензорного характера галилеевых преобразований координат. Это верно также при любых значениях метрического тензора классической механики, потому что оно относится непосредственно к любым контравариантным и ковариантным векторам.
Если вам понравилась статья, то поставьте “лайк” и подпишитесь на канал! Если не понравилась – все равно комментируйте и подписывайтесь. Этим вы поможете каналу. И делитесь ссылками в ваших соцсетях!
Если хотите узнать, что обозначает слово или словосочетание, в ОПЕРЕ выделите это слово(сочетание), нажмите правую клавишу мыши и выберите “Искать в …”, далее – “Yandex”. Если это текстовая ссылка – выделите ее, нажмите правую клавишу мыши, выберите “перейти …”. Все! О-ля-ля!
Мои странички на Дзен: https://zen.yandex.ru/id/5e036c95fc69ab00aecfe6e9
Ссылка на мою статью Как написать формулы в статье на Дзен?
|
|
Макеты страниц
1. Взаимно сопряженные векторы. Особое направление. Диаметр, сопряженный направлению 
имеет направляющий вектор 
где
Векторы 
связаны соотношением
получающимся, если почленно сложить уравнения (1), предварительно умножив обе части первого из них на 
а второго — на 
. Но левая часть равенства (2) есть не что иное, как симметричная билинейная форма 
, полярная к квадратичной форме
Поэтому естественно ввести следующее
Определение.
Ненулевые векторы 
(а также определяемые ими направления 
) называются взаимно сопряженными относительно квадратичной формы 
если они удовлетворяют уравнению
Заметим прежде всего: при переходе от координатной системы 
к произвольной новой координатной системе 
билинейная форма 
переходит в билинейную форму 
выражающую ту же билинейную функцию 
, полярную к квадратичной функции 
, записывающейся в координатной системе 
в виде квадратичной формы 
и в координатной системе 
в виде 
. Поэтому билинейная функция 
, обращение в нуль которой характеризует сопряженность векторов 
, в любой координатной системе записывается в виде билинейной формы, полярной к квадратичной форме старших членов уравнения 
определяющего в этой системе координат данную кривую второго порядка. Свойство двух векторов быть или не быть сопряженными относительно формы 
не зависит от выбора той или иной системы координат, а зависит только от квадратичной функции 
определенной (в какой-нибудь системе координат) формой 
Мы будем также говорить, что векторы 
(и их направления) сопряжены относительно данной кривой второго порядка, если они сопряжены относительно квадратичной формы старших членов уравнения этой кривой (в какой-нибудь, все равно в какой именно, системе координат). Это позволяет нам в дальнейшем писать условие сопряженности, пользуясь какой-нибудь определенной, например канонической для данной кривой, системой координат.
Зная одно из двух сопряженных направлений, например направление 
другое определяем без труда; для этого переписываем равенство (2) в виде
что означает пропорцию
определяющую направление вектора 
. Точно так же выражается 
через 
Посмотрим, когда два сопряженных между собою направления совпадают. Очевидно, тогда и только тогда, когда
т. е. когда
Другими словами, направление тогда и только тогда совпадает со своим сопряженным, когда оно является асимптотическим. Поэтому асимптотические направления называются иначе самосопряженными.
Посмотрим, не может ли случиться, что направление 
сопряженное направлению 
перестанет быть определенным. В этом случае направление 
назовем особым.
Очевидно, направление 
будет особым тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет системе уравнений
Но вектор 
не есть нулевой вектор, поэтому равенства (3) могут иметь место, лишь если
т. е. если кривая 
параболическая.
Но это еще не все: умножая обе части первого из уравнений (3) на 
, а второго — на 
и складывая, получаем
т. е. направление 
есть асимптотическое направление.
Итак, только для параболической кривой и для (единственного) ее асимптотического направления сопряженное направление перестает быть определенным.
С другой стороны, единственное асимптотическое направление
параболической кривой 
удовлетворяет условиям
т. е. условию
для любого направления 
Итак, в случае параболической линии ее асимптотическое направление сопряжено всякому направлению, т. е. является особым.
Вернемся теперь — в случае любой кривой второго порядка 
уравнению (2) § 7:
т. е. к уравнению диаметра, сопряженного направлению 
Какова бы ни была кривая второго порядка 
ее диаметр, сопряженный направлению имеет направление сопряженное направлению 
.
Если кривая 
центральная, то диаметр, сопряженный направлению будет иметь направление 
.
Два диаметра центральной кривой называются взаимно сопряженными между собою, если сопряжены их направления. Каждый из двух сопряженных между собою диаметров делит пополам хорды, параллельные другому (рис. 174, рис. 175).
Рис. 174.
Рис. 175.
Переходим к параболическому случаю. Если данная кривая 
распадается на пару параллельных прямых, то у нее — один единственный диаметр («средняя» прямая по отношению к двум данным); этот диаметр является геометрическим местом середин хорд любого направления, он является прямой центров нашей кривой (1), его направление — особое, оно сопряжено любому направлению (рис. 176).
У параболы середины всех хорд данного направления лежат, как мы видели, на вполне определенной прямой, и прямая эта имеет асимптотическое направление 
, она является диаметром параболы (сопряженным данному направлению 
).
Докажем, что в случае параболы всякая прямая асимптотического направления есть диаметр, сопряженный некоторому вполне определенному направлению.
При доказательстве мы вправе выбрать любую систему координат; возьмем такую, в которой уравнение параболы имеет вид
Прямые асимптотического направления суть просто прямые, параллельные оси абсцисс. Пусть
(5)
— такая произвольная прямая (рис. 177).
Уравнение (2) § 7, т. е. уравнение диаметра, сопряженного направлению 
имеет в нашем случае вид
(6)
Для того чтобы оно определяло ту же прямую, что и уравнение (5), необходимо
Рис. 176.
Рис. 177.
и достаточно, чтобы 
чем отношение 
определено однозначно, и наше утверждение доказано.
Таким образом, диаметры параболы могут быть определены как прямые асимптотического направления.
Предположим, что выбрана прямоугольная система координат, каноническая для данной параболы. Для 
т. е. для направления, перпендикулярного к оси параболы, уравнение (6) дает 
т. е. ось параболы, которая является, таким образом, диаметром, сопряженным направлению, перпендикулярному к направлению оси.
Если мы теперь будем вектор 
вращать (начиная с положения 
но часовой стрелке (от оси ординат к оси абсцисс), то сопряженный ему диаметр, все время оставаясь горизонтальным, будет подниматься вверх, уходя в бесконечность; когда направление вектора станет горизонтальным (т. е. асимптотическим), сопряженный диаметр перестанет быть определенным, а при дальнейшем вращении вектора 
(по часовой стрелке) 
станет отрицательным (сначала очень малым по абсолютной величине), и наш диаметр (оставаясь горизонтальным) будет из бесконечных далей нижней полуплоскости подниматься вновь к оси абсцисс и совпадет с нею, когда вектор 
примет направление оси ординат (рис. 178).
Рис. 178.
Рассмотрим теперь случай эллипса и гиперболы, заданных их каноническими уравнениями
Соотношение сопряженности двух векторов 
запишем в виде
т. е.
или, полагая 
(верхний знак — для эллипса, нижний — для гиперболы.)
Отсюда следует; угловые коэффициенты двух взаимно сопряженных диаметров имеют в случае эллипса противоположные, а в случае гиперболы — одинаковые знаки. А это означает, что два сопряженных диаметра лежат в случае эллииса в разных парах вертикальных координатных углов, а в случае гиперболы — в одинаковых.
Возьмем за начальное значение вектора 
единичный вектор 
оси абсцисс. Диаметр этого направления есть фокальная ось эллипса, а сопряженный ему диаметр — вторая ось. Будем вращать вектор 
(приложенный к центру эллипса, т. е. к началу координат) против часовой стрелки; направленный по этому вектору диаметр эллииса будет вращаться (находясь в первой и третьей четверти) от фокальной оси ко второй оси против часовой стрелки, а сопряженный ему диаметр — от второй оси к фокальной, тоже против часовой стрелки (рис. 179) — при вращении данного диаметра сопряженный ему будет от него убегать, вращаясь в том же направлении.
Рис. 179.
Рис. 180.
В случае гиперболы 
диаметр, сопряженный оси абсцисс (фокальной оси гиперболы), есть снова ось ординат, вторая ось гиперболы, но если будем вращать прямую 
начиная с положения 
против часовой стрелки, то сопряженный диаметр 
-так как он должен лежать в тех же координатных углах, что и данный диаметр 
— должен вращаться в противоположном направлении — при вращении данного диаметра вокруг центра гиперболы сопряженный диаметр бежит ему навстречу. При этом, когда 
е. когда прямая 
вращаясь против часовой стрелки, приближается к асимптоте), то k тоже – оба со пряженных диаметра неограниченно приближаются к асимптоте (каждый со своей стороны) (рис. 180).
2. Диаметры и касательные. Теорема 8. Диаметр, проходящий через какую-нибудь заданную точку не распадающейся кривой второго порядка, сопряжен направлению касательной к этой кривой в данной ее точке.
Рис. 181.
Доказательство. На кривой 
берем точку 
Существует единственный диаметр, проходящий через эту точку; если кривая центральная (рис. 181, а и б), то этим диаметром является прямая, соединяющая точку 
с центром; если кривая — парабола (рис. 181, в), то ее диаметром, проходящим через точку 
будет прямая (единственного) асимптотического направления, проходящая через эту точку.
Диаметр, сопряженный какому-нибудь направлению 
имеет уравнение 
.
Если диаметр проходит через точку 
то имеет место тождество
т. е.
но это направление есть как раз направление касательной к кривой 
в точке 
что и требовалось доказать.
Прилагаемый рис. 181 иллюстрирует теорему, когда кривая 
является соответственно эллипсом, гиперболой или параболой.
Оглавление
- ПРЕДИСЛОВИЕ
- ГЛАВА I. КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ
- § 1. Отношение отрезков
- § 2. Направленные отрезки (векторы); их отношение
- § 3. Ось. Алгебраическое значение (координата) вектора на оси
- § 4. Сложение векторов на прямой
- § 5. Система координат на прямой
- § 6. Деление отрезка в данном отношении
- § 7. Пропорциональность пар чисел
- § 8. Бесконечно удаленная точка прямой
- § 9. Пропорциональность двух последовательностей, состоящих из и чисел
- ГЛАВА II. ВЕКТОРЫ
- § 1. Равенство векторов. Свободный вектор
- § 2. Линейные операции над векторами (сложение и умножение на число)
- § 3. Проекции
- § 4. Коллинеарные и компланарные векторы; координаты вектора относительного данного базиса
- § 5. Линейная зависимость и независимость векторов
- § 6. Геометрический смысл линейной зависимости векторов
- § 7. Векторные многообразия
- ГЛАВА III. АФФИННАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
- § 1. Определение аффинной системы координат
- § 2. Перенос начала координат
- § 3. Деление отрезка в данном отношении
- ГЛАВА IV. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
- § 1. Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками. Уравнение окружности и сферы
- § 2. Скалярное произведение векторов; угол между двумя векторами
- § 3. Угол от одного вектора до другого на плоскости
- § 4. Полярная система координат на плоскости
- § 5. Полярная система координат в пространстве
- ГЛАВА V. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
- § 1. Направляющий вектор и угловой коэффициент прямой (в произвольной аффинной системе координат). Уравнение прямой
- § 2. Расположение двух прямых на плоскости
- § 3. Частные случаи общего уравнения прямой
- § 4. Векторная и параметрическая форма уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
- § 5. Задача: когда прямая Ax+By+C=0 на плоскости проходит через точку пересечения двух заданных прямых A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0?
- § 6. Две полуплоскости, определяемые данной прямой на плоскости
- § 7. Прямая на плоскости в прямоугольной системе координат. Нормальное уравнение прямой на плоскости
- § 8. Расстояние от точки до прямой (на плоскости)
- § 9. Углы, образуемые двумя прямыми на плоскости
- § 10. Прямая в пространстве, снабженном прямоугольной системой координат
- ГЛАВА VI. ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА
- § 1. Парабола
- § 2. Определение и каноническое уравнение эллипса
- § 3. Параметрическая запись уравнения эллипса; построение эллипса по точкам. Эллипс как результат сжатия окружности к одному из ее диаметров
- § 4. Эллипс как проекция окружности и как сечение круглого цилиндра
- § 5. Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы
- § 6. Основной прямоугольник и асимптоты гиперболы
- § 7. Директрисы эллипса и гиперболы
- § 8. Фокальный параметр эллипса и гиперболы. Уравнение при вершине
- § 9. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах
- ГЛАВА VII. ДЕТЕРМИНАНТЫ
- § 1. Плошадь ориентированного параллелограмма и треугольника
- § 2. Детерминант второго порядка. Матрицы
- § 4. Разложение детерминанта третьего порядка по элементам какой-либо строки. Приложение к системе трех уравнений с тремя неизвестными (правило Крамера)
- § 5. Системы трех уравнений с тремя неизвестными с детерминантом системы, равным нулю
- § 6. Арифметическое n-мерное векторное многообразие (пространство). Общее определение матрицы. Детерминанты любого порядка
- § 7. Разложение детерминанта n-го порядка по элементам данной строки (данного столбца)
- § 8. Правило Крамера для решений систем и уравнений с n неизвестными
- § 9. Общее определение миноров матрицы. Теорема Лапласа
- § 10. Умножение детерминантов
- § 11. Детерминант n-го порядка как линейная нечетная нормированная функция от n векторов
- ГЛАВА VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. МАТРИЦЫ
- § 1. Переход от одной аффинной системы координат к другой
- § 2. Перемножение матриц. Новое определение обратной матрицы
- § 3. Переход от одной прямоугольной системы координат к другой
- § 4. Действия над матрицами в общем случае
- ГЛАВА IX. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ (ПРОДОЛЖЕНИЕ): ОРИЕНТАЦИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА; УГЛЫ ЭЙЛЕРА; ОБЪЕМ ОРИЕНТИРОВАННОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА; ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
- § 1. Ориентация пространства (плоскости)
- § 2. Углы Эйлера
- § 3. Объем ориентированного параллелепипеда
- § 4. Векторное произведение двух векторов
- ГЛАВА X. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
- § 1. Уравнения плоскости
- § 2. Множество решений системы двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными
- § 3. Взаимное расположение двух плоскостей
- § 4. Прямая как пересечение двух плоскостей
- § 5. Пучок плоскостей
- § 6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- § 7. О двух полупространствах, определяемых данной плоскостью
- § 8. Плоскость в прямоугольной системе координат; нормальное уравнение плоскости; расстояние от точки до плоскости
- § 9. Угол между прямой и плоскостью; угол между двумя плоскостями
- § 10. Две задачи
- ГЛАВА XI. ДВИЖЕНИЯ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
- § 1. Определение движений и аффинных преобразований
- § 2. Преобразование векторов при аффинном преобразовании плоскости и пространства. Основные свойства аффинных преобразований
- § 3. Аналитическое выражение аффинных преобразований
- § 4. Сохранение отношений площадей и объемов при аффинных преобразованиях
- § 5. Получение собственных аффинных преобразований посредством деформации тождественного преобразования. Следствия
- § 6. Движения как изометрические преобразования
- § 7. Преобразования подобия
- § 8. Классификация движений прямой и плоскости
- ГЛАВА XII. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (МНОГООБРАЗИЯ) ЛЮБОГО КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ИЗМЕРЕНИЙ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ
- § 1. Определение векторного пространства
- § 2. Размерность. Базис. Координаты
- § 3. Теорема об изоморфизме между любыми двумя векторными пространствами одной и той же конечной размерности n
- § 4. Подпространства векторного пространства. Дальнейшие теоремы о линейной зависимости векторов и о базисе векторного пространства
- § 5. Алгебраическая (в частности, прямая) сумма подпространств
- § 6. Линейные отображения векторных пространств
- § 7. Теорема о ранге матрицы
- § 8. Системы линейных однородных уравнения
- ГЛАВА XIII. ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ НА ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
- § 1. Линейные функции
- § 2. Билинейные функции и билинейные формы
- § 3. Матрица билинейной и квадратичной формы и ее преобразование при переходе к новому базису (при преобразовании переменных)
- § 4. Ранг билинейной и квадратичной формы (билинейной и квадратичной функции)
- § 5. Существование канонического базиса для всякой квадратичной и всякой билинейной функции («приведение квадратичных форм к каноническому виду»)
- ГЛАВА XIV. ТОЧЕЧНО-ВЕКТОРНОЕ АФФИННОЕ n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
- § 1. Определение n-мерного аффинного пространства
- § 2. Системы координат. Арифметическое пространство. Изоморфизм всех n-мерных пространств между собою
- § 3. r-мерные плоскости n-мерного аффинного пространства; r-мерные параллелепипеды
- § 4. Геометрически независимые системы точек. Барицентрические координаты. Симплексы
- § 5. Системы линейных уравнений
- § 6. Аффинные преобразования n-мерного аффинного пространства
- ГЛАВА XV. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ. КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ И КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСТРАНСТВО
- § 1. Определение алгебраических линий и поверхностей
- § 2. Преобразование многочлена второй степени при преобразовании координат
- § 3. Аффинная эквивалентность линий и поверхностей
- § 4. Комплексная плоскость
- § 5. Прямая линия на комплексной плоскости
- § 6. Замечание о действительных и мнимых линиях
- § 7. Комплексное пространство
- § 8. Распадающиеся линии и поверхности. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения
- § 9. Несколько заключительных замечаний о линиях и поверхностях
- ГЛАВА XVI. Различные виды кривых второго порядка
- § 1. О линиях, определяемых уравнениями второй степени с двумя неизвестными
- § 2. Инварианты многочлена второй степени
- § 3. Центральный случай
- § 4. Параболический случай
- § 5. Аффинная классификация кривых второго порядка
- § 6. Несколько заключительных замечаний
- ГЛАВА XVII. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- § 1. Пересечение алгебраической кривой с прямой. Асимптотические направления и асимптоты алгебраической кривой
- § 2. Теорема единственности для кривых второго порядка. Пучок кривых второго порядка
- § 3. Асимптотические направления кривых второго порядка
- § 4. Пересечение кривой второго порядка с прямой иеасимптотического направления. Касательные
- § 5. Пересечение кривой второго порядка с прямой асимптотического направления. Геометрическая характеристика асимптотических и неасимптотических направлений
- § 6. Центр кривой второго порядка
- § 7. Диаметры кривой второго порядка
- § 8. Взаимно сопряженные векторы (направления). Диаметры и касательные
- § 9. Вид уравнения кривой, если оси координат имеют сопряженные направления
- § 10. Второе доказательство теоремы единственности. О полноте системы ортогональных инвариантов
- § 11. Оси симметрии и главные направления кривой второго порядка
- § 12. Основная теорема об аффинных преобразованиях
- ГЛАВА XVIII. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- § 1. Распадающиеся поверхности
- § 2. Цилиндрические поверхности
- § 3. Конусы второго порядка
- § 4. Эллипсоиды и гиперболоиды
- § 5. Параболоиды
- § 6. Прямолинейные образующие
- ГЛАВА XIX. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. I (ПЕРЕСЕЧЕНИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ И С ПРЯМОЙ; АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ; КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ; ЦЕНТР)
- § 1. Ранг и детерминант малой и большой матрицы многочлена второй степени
- § 2. Пересечение поверхности второго порядка с плоскостью
- § 3. Пересечение поверхности второго порядка с прямой. Асимптотические направления. Касательные прямые и касательная плоскость. Особые точки поверхности второго порядка
- § 4. Асимптотические направления, конус асимптотических направлений, прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
- § 5. Центр поверхности второго порядка
- ГЛАВА XX. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II (ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ; ОСОБЫЕ И ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ; АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ)
- § 1. Диаметральные плоскости. Особые направления
- § 2. Диаметральные плоскости поверхностей различных видов
- § 3. Сопряженные направления
- § 4. Уравнение поверхности второго порядка относительно координатной системы с сопряженными направлениями осей
- § 5. Теорема единственности
- § 6. Главные направления
- § 7. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка
- § 8. Аффинная классификация поверхностей второго порядка
- ГЛАВА XXI. ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
- § 1. Перспективное соответствие между плоскостью и связкой
- § 2. Однородные координаты точек на плоскости и лучел в связке
- § 3. Координаты прямой; арифметическая проективная плоскость; общее определение проективной плоскости
- § 4. Принцип двойственности для проективной плоскости
- § 5. Проективная система координат в связке и на проективной плоскости
- § 6. Проективные преобразования и отображения проективной плоскости
- § 7. Проективные координаты на прямой. Проективные отображения прямой
- § 8. Двойное отношение
- ГЛАВА XXII. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
- § 1. Определение. Теорема единственности
- § 2. Пересечение кривой второго порядка с прямой. Касательные; асимптоты
- § 3. Пучок кривых второго порядка. Второе доказательство теоремы единственности. Теорема Паскаля. Теорема Штейнера
- § 4. Поляры и полюсы
- § 5. Коррелятивное, в частности полярное, соответствие. Тангенциальное уравнение кривой
- § 6. Диаметры как поляры несобственных точек
- § 7. Автополярный треугольник
- § 8. Проективная классификация кривых второго порядка
- ГЛАВА XXIII. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
- § 1. Проективное пространство; его плоскости и прямые
- § 2. Проективные координаты. Проективные преобразования.
- § 3. Понятие об n-мерном проективном пространстве
- § 4. Поверхности второго порядка в проективном пространстве. Теорема единственности
- § 5. Пересечение поверхности второго порядка с плоскостью и с прямой. Касательные прямые. Касательная плоскость. Прямолинейные образующие
- § 6. Полюсы и полярные плоскости
- § 7. Проективная классификация поверхностей второго порядка
- § 8. Распределение по проективным классам поверхностей различных аффинных классов. Проективно-аффинная классификация поверхностей второго порядка
- ГЛАВА XXIV. ЕВКЛИДОВО n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
- § 1. Введение. Ортогональные матрицы
- § 2. Положительно определенные симметричные билинейные функции в векторном пространстве
- § 3. Определение евклидовых пространств и простейших относящихся к ним понятий
- § 4. Неравенство Коши—Буняковского и его следствия. Углы
- § 5. Подпространства евклидовых пространств. Ортогональное дополнение к данному подпространству
- ГЛАВА XXV. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- § 1. Инвариантные подпространства и собственные векторы линейного оператора в любом векторном пространстве
- § 2. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства
- § 3. Движения трехмерного евклидова пространства
- § 4. Преобразования подобия. Дальнейшие проблемы
- § 5. Самосопряженные операторы
- § 6. Теорема о структуре произвольного линейного преобразования евклидова пространства
- § 7. Билинейные и квадратичные формы в евклидовых пространствах
- § 8. (n-1)-мерные многообразия (поверхности) второго поряд] в -мерном аффинном и евклидовом пространствах
- ПРИБАВЛЕНИЕ. ПЕРЕСТАНОВКИ, МНОЖЕСТВА И ИХ ОТОБРАЖЕНИЯ; ГРУППЫ
- § 1. Перестановки
- § 2. Множества
- § 3. Отображения или функции
- § 4. Разбиение множества на подмножества. Отношение эквивалентности
- § 5. Определение группы
- § 6. Простейшие теоремы о группах
- § 7. Эквивалентность подмножеств данного множества по отношению к дайной группе его преобразований
- ЗАДАЧИ
- Задачи к главе IV
- Задачи к главе V
- Задачи к главе VI
- Задачи к главе VIII
- Задачи к главе IX
- Задачи к главе X
- Задачи к главе XI
- Задачи к главе XII
- Задачи к главе XIII
- Задачи к главе XIV
- Задачи к главе XV
- Задачи к главам XVI и XVII
- Задачи к главе XVIII
- Задачи к главам XIX и XX
- Задачи к главе XXI
- Задачи к главе XXII
+ h + = 0
Подставив соответствующие координаты базисных векторов и переделав систему уравнений, получаем:
a + b – 4c = 0
a + 2b – 6c = 0
g + h = 0
Эту систему можно представить в матричном виде:
[1, 1, -4;
1, 2, -6;
0, 0, 0] * [a;b;c] = [0;0;0]
Это условие на линейную независимость базисных векторов. Также нам нужно убедиться в том, что они являются ортогональными. Для этого необходимо проверить, выполняется ли условие:
= 0, если i ≠ j, и ≠ 0
Если систему уравнений необходимо решать вручную, то можно воспользоваться методами элементарных преобразований, например, методом Гаусса.
В общем же случае можно воспользоваться основным свойством матрицы сопряженности: сопряженный базис пространства является базисом ядра матрицы. Таким образом, необходимо найти ядро матрицы X^T, т.е. решить систему уравнений:
[1, 1, 0;
1, 2, 0;
-4,-6, 1] * [a;b;c] = 0
Получаем систему:
a + b = 0
-3a -2b = 0
4a + 6b + c = 0
Решая её, получаем, что базис сопряженного пространства имеет вид:
e1′ = [-1, 3, 2]
e2′ = [-1, 1, 0]
Проверим, что эти векторы являются ортогональными данному вектору v:
= -1 + 3 – 8 = -6
= 1 – 3 + 0 = -2
= 1 – 3 + 0 = -2
= 1 + 1 + 0 = 2
Как мы видим, ≠ 0, следовательно, векторы e1′ и e2′ не образуют базис пространства, сопряженного данному вектору. В этом случае следует продолжить поиск других базисных векторов сопряженного пространства.
