Как найти сос от синуса

Ответ мой будет аналогичным ответу на похожий вопрос (см. здесь).

Из основного тригонометрического тождества:

выразим косинус в квадрате угла а:

Значит косинус угла равен либо корню квадратному из этого выражения, либо ему же, только со знаком -.

Знак перед корнем зависит от ограничения, которое накладывается для определенности в условии задачи.

Если дано положительное значение синуса,то угол находится в 1-й или во 2-й четверти. В первой четверти (0< a< 90) значение косинуса будет положительным. Здесь выбираем знак плюс. Во второй четверти (90< a< 180) значение косинуса будет отрицательным. Тогда перед корнем выбираем знак минус.

Если значение синуса отрицательное, то угол расположен в 3-й или 4-й четверти. В 3 четверти (180< a< 270) косинус угла будет меньше нуля.

В 4 четверти (270< a< 360) косинус угла будет больше нуля.

Примеры.

Пример 1. Найти косинус угла, если sina = -0,6. 180<a<270 (в градусах)

Решение. Находим разность 1 и квадрата значения sina, т.е. квадрата (-0,6).

-0,6 в квадрате находится так: (-0,6)*(-0,6) = 0,36. Подставим его в искомую разность:

1-0,36=0,64

Получили квадрат значения косинуса. Для нахождения значения самого косинуса, извлечем корень квадратный из 0,64 и возьмем его со знаком + или со знаком – . Получим 0,8 или -0,8.

Так как по условию угол находится в 3 четверти, то искомое значение косинуса будет также меньше нуля. Значит выбираем -0,8.

Ответ: cos a =-0,8.

Рассмотрим пример для случая, когда угол находится в 4 четверти:

Пример 2. Найти косинус угла, если sina = -0,6. 270<a<360 (в градусах)

Решение такое же (см. пример 1).

Перед выбором ответа рассуждаем так:

Т. к. по условию угол расположен в 4 четверти, то значение косинуса будет больше нуля. Значит выбираем 0,8.

Ответ: cos a =0,8.

Формулы суммы и разности синусов и косинусов для двух углов α и β позволяют перейти от суммы указанных углов к произведению углов α+β2 и α-β2. Сразу отметим, что не стоит путать формулы суммы и разности синусов и косинусов с формулами синусов и косинусов суммы и разности. Ниже мы перечислим эти формулы, приведем их вывод и покажем примеры применения для конкретных задач.

Формулы суммы и разности синусов и косинусов

Запишем, как выглядят формулы суммы и разности для синусов и для косинусов

sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2sinα-sinβ=2sinα-β2cosα+β2

cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2cosα-cosβ=-2sinα+β2cosα-β2, cosα-cosβ=2sinα+β2·β-α2

Данные формулы справедливы для любых углов α и β. Углы α+β2 и α-β2 называются соответственно полусуммой и полуразностью углов альфа и бета. Дадим формулировку для каждой формулы.

Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов

Для вывода формул суммы и разности синуса и косинуса двух углов используются формулы сложения. Приведем их ниже

sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβsin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβcos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

Также представим сами углы в виде суммы полусумм и полуразностей.

α=α+β2+α-β2=α2+β2+α2-β2β=α+β2-α-β2=α2+β2-α2+β2

Переходим непосредственно к выводу формул суммы и разности для sin и cos.

Вывод формулы суммы синусов

В сумме  sinα+sinβ заменим α и β на выражения для этих углов, приведенные выше. Получим

sinα+sinβ=sinα+β2+α-β2+sinα+β2-α-β2

Теперь к первому выражению применяем формулу сложения, а ко второму – формулу синуса разностей углов (см. формулы выше)

sinα+β2+α-β2=sinα+β2cosα-β2+cosα+β2sinα-β2sinα+β2-α-β2=sinα+β2cosα-β2-cosα+β2sinα-β2sinα+β2+α-β2+sinα+β2-α-β2=sinα+β2cosα-β2+cosα+β2sinα-β2+sinα+β2cosα-β2-cosα+β2sinα-β2Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим искомую формулу

sinα+β2cosα-β2+cosα+β2sinα-β2+sinα+β2cosα-β2-cosα+β2sinα-β2==2sinα+β2cosα-β2

Действия по выводу остальных формул аналогичны. 

Вывод формулы разности синусов

sinα-sinβ=sinα+β2+α-β2-sinα+β2-α-β2sinα+β2+α-β2-sinα+β2-α-β2=sinα+β2cosα-β2+cosα+β2sinα-β2-sinα+β2cosα-β2-cosα+β2sinα-β2==2sinα-β2cosα+β2

Вывод формулы суммы косинусов

cosα+cosβ=cosα+β2+α-β2+cosα+β2-α-β2cosα+β2+α-β2+cosα+β2-α-β2=cosα+β2cosα-β2-sinα+β2sinα-β2+cosα+β2cosα-β2+sinα+β2sinα-β2==2cosα+β2cosα-β2

Вывод формулы разности косинусов

cosα-cosβ=cosα+β2+α-β2-cosα+β2-α-β2cosα+β2+α-β2-cosα+β2-α-β2=cosα+β2cosα-β2-sinα+β2sinα-β2-cosα+β2cosα-β2+sinα+β2sinα-β2==-2sinα+β2sinα-β2

Примеры решения практических задач

Для начала, сделаем проверку одной из формул, подставив в нее конкретные значения углов. Пусть α=π2, β=π6. Вычислим значение суммы синусов этих углов. Сначала воспользуемся таблицей основных значений тригонометрических функций, а затем применим формулу для суммы синусов.

α=π2, β=π6sinπ2+sinπ6=1+12=32sinπ2+sinπ6=2sinπ2+π62cosπ2-π62=2sinπ3cosπ6=2·32·32=32

Рассмотрим теперь случай, когда значения углов отличаются от основных значений, представленных в таблице. Пусть α=165°, β=75°. Вычислим значение разности синусов этих углов.

α=165°, β=75°sinα-sinβ=sin165°-sin75°sin165-sin75=2·sin165°-75°2cos165°+75°2==2·sin45°·cos120°=2·22·-12=22

С помощью формул суммы и разности синусов и косинусов можно перейти от суммы или разности к произведению тригонометрических функций. Часто эти формулы называют формулами перехода от суммы к произведению. Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и при преобразовании тригонометрических выражений.

Популярные сообщения из этого блога