Прямоугольник — это двухмерная продолговатая фигура, которая имеет 4 стороны и 4 прямых угла.
Находящиеся друг напротив друга стороны имеют одну длину, причем одна пара сторон длиннее другой.
Если все стороны прямоугольника одинакового размера, то он является квадратом. Другими словами,
квадрат — это особенный случай прямоугольника.
- Сторона прямоугольника через диагональ и угол между
диагональю и стороной - Сторона прямоугольника через диагональ и известную
сторону - Сторона прямоугольника через площадь и другую известную
сторону - Сторона прямоугольника через периметр и другую известную
сторону - Сторона прямоугольника через диагональ и угол между
диагоналями
Через диагональ и угол между диагональю и стороной
Определить неизвестную сторону прямоугольника можно в том случае, если знаешь длину диагонали и угол
средь ней и стороной. Такая конструкция образует пару прямоугольных треугольников, поэтому можно
воспользоваться следующей формулой:
a = d * sinα
где d — это диагональ, а, b — одна из сторон фигуры.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Найти сторону прямоугольника, если диагональ равна 16 см, а угол между диагональю и этой
стороной — 60º.
Решение.
D = 16, β = 60º, b = ?
b = 16 cos 60º
b = 16 * 0.5 = 8 см.
Через его площадь и известную сторону
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: S = ab. Следовательно
a = S / b
где S — площадь прямоугольника, b — известная сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Площадь прямоугольника равна 60 единицам, а его длина равна 12 единицам. Подставляем
известные значения в формулу, Вычислив, получим ширину = 60/12, значит ширина равна 5.
Через диагональ и известную сторону
Сторону прямоугольника можно вычислить, если известны его диагональ и другая сторона.
Диагональ
— это отрезок прямой, соединяющий любые две несмежные вершины. Диагонали AC и BD равны. Одна из них
разрезает прямоугольник на 2 прямоугольных треугольника, в которых диагональ образует гипотенузу, а
две соседние стороны — остальные стороны треугольника. Отсюда :
a = √(d² — b²)
где d — диагональ, а, b — стороны.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Найти сторону прямоугольника, если диагональ равна 5 см, а другая сторона — 4 см.
Решение.
D=5, b=4, a=?
a = √(25 – 16) = √9 = 3 см.
Через диагональ и угол между диагоналями
Зная значение угла между двумя диагоналями и длину по крайней мере одной из них, можем рассчитать
сторону прямоугольника, зная следующую формулу:
a = D • sin(α/2)
где D — диагональ, α — угол между диагоналями.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Длина диагонали прямоугольника равна 20 см, а угол между диагоналями — 30º. Найти
сторону.
Решение.
a = 20 * (sin 30º / 2)
a = 20 * 0, 5 / 2 = 5 см.
Через периметр и другую известную сторону
Длину же мы можем вычислить, если известны периметр и ширина. Мы можем использовать формулу периметра
для получения длины. P = 2 (a + b).
a = (P — 2b) / 2
где P — периметр прямоугольника, b — другая известная сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Так, если P — 32 см, а b — 4 см, Подставим известные нам значения, получим a = (32 — 2*4).Вычислив,
получим 12 см.
Другие примеры по решению задач на прямоугольник с использованием длины и ширины
- Длина и ширина прямоугольника равны 7 дюймам и 21 дюйму. Найдите его периметр.
Результат: P
прямоугольника = 2 (длина + ширина) = 2 (7 + 21) дюйма = 2 (28) дюймов = 56 дюймов - Длина и ширина прямоугольника равны 0,3 м и 15 см. Найдите его площадь. Результат: Длина = 0,3
м, ширина = 15 см. Длина и ширина прямоугольника находятся в различных значениях, поэтому мы
преобразуем одно из них. Переведем длину в сантиметры, умножив ее на 100, так как 1 м = 100 см.
Итак, длина = 0,3 100 см = 30 см. Площадь = длина ширина = 30 см 15 см = 450 см². - Одна сторона прямоугольника меньше другой на 7 см, а диагональ прямоугольника равна 17 см. Найти
периметр прямоугольника. Решение. Пусть АВ=х. Тогда AD=х+7. Зная, что диагональ BD=17,
используем теорему Пифагора и составим уравнение: AB² +AD² =BD².
Получаем: х² +(х+7)² =17² ⇒ х² +х² +14х+49=289; 2х² +14х-240=0; х² +7х-120=0,
отсюда по теореме Виета х1 =-15; х2 =8.Следовательно, АВ=8 см, AD=8+7=15 см. Периметр прямоугольника: P = 2∙ (AB+AD); P = 2∙ (8+15); P = 46 см.
Ответ: 46 см.
Прямоугольник обладает широким спектром свойств. Некоторые из важных свойств прямоугольника приведены
ниже.
- Прямоугольник — это четырехугольник.
- Противоположные стороны прямоугольника являются равными и параллельны друг другу.
- Внутренний угол прямоугольника при каждой вершине равен 90°.
- Сумма внутренних углов равна 360°.
- Диагонали пересекаются друг с другом.
- Длина диагоналей равна.
- Длина диагоналей может быть получена с помощью теоремы Пифагора. Длина диагонали со сторонами a
и b равна, диагональ = ( a2 + b2). - Поскольку стороны прямоугольника параллельны, его также называют параллелограммом.
- Все прямоугольники являются параллелограммами, но все параллелограммы не являются
прямоугольниками.
Где d – диагональ,b – сторона.
Где d – диагональ,α – угол между диагональю и искомой стороной.
Где d – диагональ,α – угол между диагональю и другой стороной.
Где S – площадь, b– известная сторона.
Где P – периметр, b – известная сторона.
Где d – диагональ, α – угол между диагоналями.
- Прямоугольник – это четырехугольник у которого противоположные стороны равны и параллельны AB = CD и BC = DA.
- Стороны прямоугольника являются его высотами.
- Между прилегающими сторонами угол всегда 90°.
Как найти длину стороны прямоугольника?
Сторона прямоугольника может быть легко найдена с помощью нашего онлайн калькулятора. Так же Вы можете воспользоваться формулами ниже для самостоятельного расчета.
|
a = √d2 ― b2 |
|
a = d·cos(α) |
|
a = d·sin(α) |
|
a = S b |
|
a = P – 2b 2 |
|
a = d·sin(0.5·α) |
Как найти сторону прямоугольника если известна одна сторона?
Ирина Д.
4 декабря 2018 · 8,8 K
Родилась в Нижнем Новгороде, волей судьбы оказалась в Москве. Мама двоих детей… · 4 дек 2018
Никак. Поскольку для поиска второй стороны Вам как минимум нужна длина гипотенузы. В противном случае вторая сторона может быть любой длины.
6,1 K
А если в задаче по геометрии Дона только одна сторона и маленькая часть диогонали
Комментировать ответ…Комментировать…
Что-найти одну сторону нам нужно знать не только сторону “А” но и площадь или периметр.!!!!!!!
Пример как должно быть:
Дано:
А=120см.
Б=?см.
S(или P) =140см.
Решение:
Б=140-120
Б=20см. Читать далее
5,3 K
Не бывает прямоугольников со стороной 120 и периметром 140
Комментировать ответ…Комментировать…
как найти сторону прямоугольника, если известен периметр и другая сторона?
Профи
(698),
закрыт
13 лет назад
maxim wolf
Новичок
(0)
13 лет назад
вычитаешь из периметра удвоенное произведение известной стороны а затем получившийся результат делишь пополам…. вот и сторона прямоугольника
Екатерина ***
Знаток
(277)
13 лет назад
периметр прямоугольника равен 2(A+B)=>
допустим одна сторона будет 10, периметр будет 40 (так нагляднее объяснить) , а другую сторону мы обозначим за х, тогда
2(х+5)=40
2х+10=40
2х=30
х=15
ффффф ффффффф
Ученик
(102)
2 года назад
9000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000+1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111=112345678963214879076+1212313123123-124135236135326345321-123141123421/4444444444444444444444444444444444444444444444+9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999=
сколько будет ???
- Ответы к учебнику для 5 класса. А. Г. Мерзляк
- Переход на главную страницу сайта
Вопросы к параграфу
1. Какой четырёхугольник называют прямоугольником?
Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые.
2. Какие стороны прямоугольника называют соседними? Противолежащими?
- соседние стороны прямоугольника — это стороны, которые имеют общую вершину
- противолежащие стороны прямоугольника — это стороны, которые не имеют общих вершин
3. Что называют длиной и шириной прямоугольника?
Длиной и шириной прямоугольника называют соседние стороны прямоугольника.
4. Каким свойством обладают противолежащие стороны прямоугольника?
Противолежащие стороны прямоугольника равны.
5. Какую фигуру называют квадратом?
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
6. Объясните, какие фигуры называют симметричными относительно прямой.
Фигуру называют симметричной, относительно прямой, если при сгибе по этой прямой противоположные части фигуры совпадают друг с другом.
7. Как называют прямую, относительно которой симметрична фигура?
Ось симметрии.
8. Какие вы знаете фигуры, имеющие ось симметрии?
Круг, равнобедренный и равносторонний треугольник, квадрат, прямоугольник.
9. Сколько осей симметрии имеет прямоугольник, отличный от квадрата? Квадрат? Равносторонний треугольник?
- Прямоугольник, отличный от квадрата, имеет 2 оси симметрии.
- Квадрат имеет 4 оси симметрии.
- Равносторонний треугольник имеет 3 оси симметрии.
Решаем устно
1. Каждая сторона треугольника равна 12 см. Как называют такой треугольник? Чему равен его периметр?
Такой треугольник называют равносторонним. Его периметр равен P = 3a = 3 • 12 = 36 см.
Ответ: равносторонний, 36 см.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 32 см, а одна из его сторон — 12 см. Найдите длины двух других сторон треугольника. Сколько решений имеет задача?
Задача может иметь 2 решения.
Решение 1.
Пусть 12 см — это длина основания равнобедренного треугольника. Тогда, при периметре 32 см, боковые стороны этого треугольника будут равны:
(32 — 12) : 2 = 20 : 2 = 10 (см) — длина каждой из боковых сторон треугольника.
Ответ: двумя другими сторонами будут две боковые стороны: 10 см и 10 см.
Решение 2:
Пусть 12 см — это длина одной из боковых сторон равнобедренного треугольника. Тогда вторая боковая сторона этого треугольника также равна 12 см, а основание, при периметре треугольника 32 см, будет равно:
32 — 12 • 2 = 32 — 24 = 8 (см) — длина основания треугольника.
Ответ: двумя другими сторонами будут: основание — 8 см и вторая боковая сторона — 12 см.
3. Найдите сторону равностороннего треугольника, если она меньше его периметра на 10 см.
У равностороннего треугольника все три стороны равны, а периметр — это сумма все сторон треугольника.
Если одна сторона равностороннего треугольника меньше периметра на 10 см, значит сумма двух оставшихся сторон равна 10 см.
10 : 2 = 5 (см) — длина стороны равностороннего треугольника.
Ответ: 5 см.
4. Вычислите значение у по формуле у = х • х + 12, если:
1) х = 1
у = 1 • 1 + 12 = 1 + 12 = 13
Ответ: у = 13
2) х= 10
у = 10 • 10 + 12 = 100 + 12 = 112
Ответ: у = 112
Упражнения
359. Постройте:
1) прямоугольник, соседние стороны которого равны 4 см и 2 см
AB = DC = 4 см
AD = BC = 2 см
2) квадрат со стороной 3 см
AB = BC = CD = DA = 3 см
360. Постройте прямоугольник, соседние стороны которого равны 25 мм и 35 мм.
AB = DC = 35 мм
AD = BC = 5 мм
361. Вычислите периметр:
1) прямоугольника, соседние стороны которого равны 42 см и 23 см
P = 2a + 2b = 2 • 42 + 2 • 23 = 84 + 46 = 130 (см)
Ответ: P = 130 см.
2) квадрата со стороной 8 дм
P = 4a = 4 • 8 = 32 (дм)
Ответ: P = 32 дм.
362. Найдите периметр прямоугольника, соседние стороны которого равны 13 мм и 17 мм.
P = 2a + 2b = 2 • 13 + 2 • 17 = 26 + 34 = 60 (мм)
60 мм = 6 см
Ответ: P = 6 см.
363. Какие из букв, изображённых на рисунке 135, имеют ось симметрии?
Ось симметрии имеют в данном случае буквы А, В, Е, Т.
364. Сколько осей симметрии имеет многоугольник, изображённый на рисунке 136?
- а) робм — 2 оси симметрии
- б) правильный пятиугольник — 5 осей симметрии
- в) правильный шестиугольник — 6 осей симметрии
365. 1) Длина одной из сторон прямоугольника равна 14 см, что на 5 см больше длины соседней стороны. Найдите периметр прямоугольника.
1) 14 — 5 = 9 (см) — длина соседней стороны прямоугольника
P = 2a + 2b
2) 2 • 14 + 2 • 9 = 28 + 18 = 46 (см)
Ответ: P = 46 см.
2) Периметр прямоугольника равен 34 см, а одна из его сторон — 12 см. Найдите длину соседней стороны прямоугольника.
1) 12 • 2 = 24 (см) — сумма длин двух противоположных сторон прямоугольника
2) 34 — 24 = 10 (см) — сумма длин двух других, соседних им, противоположных сторон треугольника.
3) 10 : 2 = 5 (см) — длина соседней стороны прямоугольника.
Ответ: 5 см.
366. Одна сторона прямоугольника равна 8 см, а соседняя — в 4 раза больше. Найдите периметр прямоугольника.
1) 8 • 4 = 32 (см) — длина соседней стороны прямоугольника.
P = 2a + 2b
2) 2 • 8 + 2 • 32 = 16 + 64 = 80 (см)
Ответ: P = 80 см.
367. Квадрат со стороной 12 см и прямоугольник, одна из сторон которого равна 8 см, имеют равные периметры. Найдите неизвестную сторону прямоугольника.
1) 12 • 4 = 48 (см) — периметр квадрата.
2) 8 • 2 = 16 (см) — сумма двух противоположных сторон прямоугольника.
3) 48 — 16 = 32 (см) — сумма длин двух других, соседних им, противоположных сторон треугольника.
4) 32 : 2 = 16 см (см) — длина соседней стороны прямоугольника.
Ответ: 16 см.
368. Прямоугольник, соседние стороны которого равны 42 см и 14 см, и квадрат имеют равные периметры. Найдите длину стороны квадрата.
1) 2 • 42 + 2 • 14 = 84 + 28 = 112 (см) — периметр прямоугольника.
2) 112 : 4 = 28 (см) — длина стороны квадрата.
Ответ: 28 см.
369. Сколько квадратов изображено на рисунке 137?
- а) На рисунке изображено 14 квадратов (9 маленьких + 4 средних + 1 большой).
- б) На рисунке изображено 13 квадратов (4 очень маленьких + 4 маленьких + 4 средних + 1 большой).
370. Из куска проволоки сделали модель пятиугольника (рис. 138).
Какие из моделей перечисленных фигур, длины сторон которых выражаются натуральным числом сантиметров, можно сделать из этого куска проволоки: 1) квадрат; 2) пятиугольник, все стороны которого равны; 3) равносторонний треугольник?
1) 5 + 3 + 2 + 4 + 6 = 20 (см) — проволоки потребовалось для изготовления первоначальной модели.
2) 20 : 4 = 5 (см) — длина стороны квадрата, сделанного из этого куска проволоки.
3) 20 : 5 = 4 (см) — длина стороны пятиугольника, сделанного из этого куска проволоки.
4) 20 : 3 ≠ натуральному числу. Значит из этого куска проволоки нельзя изготовить равносторонний треугольник, длины сторон которого выражаются натуральным числом.
Ответ: квадрат и пятиугольник.
371. Прямоугольник ABCD разрезали на квадраты так, как показано на рисунке 139. Сторона наименьшего из квадратов равна 4 см. Найдите длины сторон прямоугольника ABCD.
- На рисунки мы видим три вида квадратов: большие, средние и маленькие.
- По условию, сторона маленького квадрата равна 4 см. По рисунку видно, что сторона большого квадрата соответствует трём длинам сторон маленьких квадратов:
1) 4 • 3 = 12 (см) — длина стороны большого квадрата.
- Вдоль стороны AD прямоугольника ABCD расположено два больших квадрата и один маленький. Значит:
2) AD = 12 + 12 + 2 = 24 + 4 = 28 (см) — длина нижней стороны прямоугольника ABCD.
- У прямоугольника противоположные стороны равны. Значит:
3) AD = BC = 28 (см) — длина верхней стороны прямоугольника ABCD.
- Вдоль верхней стороны прямоугольника ABCD расположено 4 средних квадрата. Значит:
4) 28 : 4 = 7 (см) — длина стороны среднего квадрата.
- Вдоль боковой стороны AB прямоугольника ABCD расположен один большой квадрат и один средний квадрат. Значит:
5) AB = 12 + 7 = 19 (см) — длина боковой стороны прямоугольника ABCD
- У прямоугольника противоположные стороны равны. Значит:
6) AB = CD = 19 (см) — длина противоположной боковой стороны прямоугольника ABCD
Ответ: у прямоугольника ABCD две стороны по 19 см и дву стороны по 28 см.
372. Начертите прямоугольник, соседние стороны которого равны 3 см и 6 см. Разделите его на три равных прямоугольника. Вычислите периметр каждого из полученных прямоугольников. Сколько решений имеет задача?
Задача имеет 2 решения.
Решение 1.
ABGE = EGHF = FHCD
a = AB = EG = FH = DC = 6 (см) — длина стороны малого прямоугольника.
b = AE = EF = FD = BG = GH = HC = 3 : 3 = 1 (см) — длина соседней стороны малого прямоугольника.
P = 2a + 2b = 2 • 6 + 2 • 1 = 12 + 2 = 14 (см) — периметр малого прямоугольника.
Ответ: P = 14 см.
Решение 2.
AKMD = KLNM = LBCN
a = AD = KM = LN = BC = 3 (см) — длина стороны малого прямоугольника.
b = AK = KL = LB = DM = MN = NC = 6 : 3 = 2 (см) — длина соседней стороны малого прямоугольника.
P = 2a + 2b = 2 • 3 + 2 • 2 = 6 + 4 = 10 (см) — периметр малого прямоугольника.
Ответ: P = 10 см.
373. Существует ли среди прямоугольников с периметром 12 см такой, который можно разделить на два равных квадрата? В случае положительного ответа выполните рисунок и вычислите периметр каждого из полученных квадратов.
Да, такой прямоугольник существует. Например, прямоугольник ABCD со сторонами AB = DC= 4 см и AD = BC = 2 см. Его периметр P = 12 см (2 • 4 + 2 • 2 = 8 + 4 = 12) и его можно разделить на 2 равных квадрата со сторонами 2 см. Это квадраты AMLD и MBCL.
Вычислим периметр полученных квадратов (так как квадраты равные, то и их периметры тоже равны):
P = 4а = 4 • 2 = 8 (см).
Ответ: Да, возможно. Периметр каждого из образованных квадратов AMLD и MBCL равен 8 см.
374. Как надо разрезать квадрат на четыре равные части, чтобы из них можно было сложить два квадрата?
375. Как надо разрезать равнобедренный прямоугольный треугольник на четыре равные части, чтобы из них можно было сложить квадрат?
376. Как надо разрезать прямоугольник со сторонами 8 см и 4 см на четыре части, чтобы из них можно было сложить квадрат?
377. Как надо разрезать квадрат на треугольник и четырёхугольник, чтобы из них можно было сложить треугольник?
378. Как надо разрезать квадрат со стороной 6 см на две части по ломаной, состоящей из трёх звеньев, чтобы из полученных частей можно было сложить прямоугольник?
Упражнения для повторения
379. Проведите прямую МК, луч PS и отрезок АВ так, чтобы луч PS пересекал отрезок АВ и прямую МК, а прямая МК не пересекала отрезок АВ.
380. В магазине имеются лимоны, апельсины и мандарины, всего 740 кг. Если бы продали 55 кг лимонов, 36 кг апельсинов и 34 кг мандаринов, то оставшиеся массы лимонов, апельсинов и мандаринов оказались бы равными. Сколько килограммов фруктов каждого вида имеется в магазине?
- Предположим, что в магазине продали 55 кг лимонов 36 кг апельсинов и 34 кг мандаринов. Тогда можно найти массу фруктов оставшихся в магазине:
1) 740 — (55 + 36 + 34) = 740 — (55 + 70) = 740 — 125 = 615 (кг) — фруктов осталось в магазине после продажи.
- По условию задачи в магазине остались равные массы лимонов, апельсинов и мандарины. Узнаем сколько килограммов каждого вида фруктов осталось:
2) 615 : 3 = 205 (кг) — масса каждого вида фруктов осталось в магазине.
- Теперь найдём какова масса фруктов изначально:
3) 205 + 55 = 260 (кг) — лимонов было в магазине изначально.
4) 205 + 36 = 241 (кг) — апельсинов было в магазине изначально.
5) 205 + 34 = 239 (кг) — мандаринов было в магазине изначально.
Ответ: лимонов — 260 кг, апельсинов — 241 кг, мандаринов — 239 кг.
381. От дома до дачи можно доехать на автобусе, или на электропоезде, или на маршрутном такси. В таблице указано время, которое надо затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Каким видом транспорта при этом надо воспользоваться?
1) 10 мин + 1 ч 15 мин + 5 мин = 1 ч 30 мин — потребуется для поездки на автобусе.
2) 8 мин + 56 мин + 10 мин = 74 мин = 1 ч 14 мин — потребуется для поездки на электропоезде.
3) 7 мин + 1 ч 5 мин + 8 мин = 1 ч 20 мин — потребуется для поездки на маршрутном такси.
Ответ: наименьшее время на дорогу — 1 ч 14 мин, для этого надо воспользоваться электропоездом.
382. Найдите сумму корней уравнений:
Задача от мудрой совы
383. Как с помощью пятилитрового бидона и трёхлитровой банки набрать на берегу реки 4 л воды?
- Наливаем из реки полный 5-литровый бидон.
- Переливаем 3 литра в 3-х литровую банку. В 5-ти литровом бидоне останется 2 литра воды.
- Выливаем из 3-х литровой банки воду обратно в реку.
- Переливаем остаток воды из 5-литрового бидона (2 литра) в 3-литровую банку.
- Наливаем из реки полный 5-литровый бидон.
- Переливаем воду из 5-литрового бидона в 3-литровую банку.
При последнем действии мы сможем вылить в банку только 1 литр воды, так как в ней уже есть 2 литра воды. То есть в 5-литровом бидоне останется искомые 4 литра воды (5 — 1 = 4).
- Ответы к учебнику для 5 класса. А. Г. Мерзляк
- Переход на главную страницу сайта
