Как найти sосн куба

Подготовка к ЕГЭ по математике не может обойтись без изучения геометрии. Задачи на расчет площади и объема фигур, нахождение углов и длин сторон встречаются и в первой, и во второй части. В базовой математике ЕГЭ формулы на объем и площадь представлены в справочных материалах. Тем, кто сдает профильную, придется выучить их. Рассмотрим основную теорию.

Площадь — величина, которая есть у плоских фигур. Ее можно посчитать для квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника, ромба, трапеции, круга. Объем присущ трехмерным объектам, таким как куб, шар, параллелепипед, призма, пирамида, конус. Объемные тела условно делят на многогранники (состоят из нескольких многоугольников) и поверхности вращения (есть условная линия, вдоль которой вращается плоская фигура). На вычисление объема это не влияет.

В таблицах представлены основные формулы объемов и площадей фигур для ЕГЭ. Мы советуем сохранить их себе, чтобы пользоваться при подготовке к ЕГЭ и быстро повторить теорию перед экзаменом. 

В данной теме выложены вспомогательные картинки для учеников и студентов с формулами площадей и объемов фигур. Ниже расположены основные формулы, которые потребуются при решении задач по геометрии на нахождение объемов и площадей поверхности таких фигур, как квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, треугольник, прямоугольный треугольник, трапеция, круг, куб, параллелепипед, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, цилиндр, конус и шар.

         

Формулы площадей

Формулы объемов

    1.Объем куба.
    2.Объем параллелепипеда.
    3.Объем призмы.
    4.Объем пирамиды.
    5.Объем усеченной пирамиды.
    6.Объем цилиндра.
    7.Объем правильной треугольной пирамиды.
    8.Объем конуса.
    9.Объем усеченного конуса.
    10.Объем тетраэдра.
    11.Объем шара.
    12.Объем шарового сегмента и сектора.

           

1 2
3
4
5
6
7
8

           

     

Площадь многоугольника

   

Рассчитать площадь многоугольника вписанного в круг и описанного около круга

               

 

Площадь треугольника

   

Рассчитать площадь треугольника

Сторона а 

   

Сторона а 

   Сторона b 

   
Угол ɣ (0-90°) 

Площадь квадрата

   

Рассчитать площадь квадрата

Сторона а 

        
S =
           

Площадь прямоугольника

   

Рассчитать площадь прямоугольника

Сторона а 

Площадь параллелограмма

   

Рассчитать площадь параллелограмма

Сторона а 

Площадь ромба

   

Рассчитать площадь ромба

Сторона а 

   
Угол α (0-90°) 

Площадь трапеции

   

Рассчитать площадь трапеции

Сторона а 

   
Сторона b 

Площадь четырехугольника

   

Рассчитать площадь четырехугольника

Диагональ d₁ 

   
Диагональ d₂ 

Площадь круга

   

Рассчитать площадь круга, длину окружности

Площадь кругового сектора, длина дуги

   

Рассчитать площадь кругового сектора, длину дуги

Радиус R 

   
Угол α (0-360°) 

Площадь эллипса

   

Рассчитать площадь эллипса

Длина полуоси а 

			Репетитор: Васильев Алексей Александрович
			Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.   2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.

 

   

Объем куба

   

Рассчитать объем и площадь поверхности куба

Объем параллелепипеда

   

Рассчитать объем параллелепипеда

Площадь основания S 

Объем призмы

   

Рассчитать объем призмы

Площадь основания S 

Объем пирамиды

   

Рассчитать объем пирамиды

Площадь основания S 

Объем усеченной пирамиды

   

Рассчитать объем усеченной пирамиды

Площадь S1 

   
Площадь S2 

Объем цилиндра

         

Рассчитать объем цилиндра

Радиус основания R 

Объем правильной треугольной пирамиды

   

Рассчитать объем правильной треугольной пирамиды

Сторона а 
   Высота h 

     
V =            

Объем конуса

         

Рассчитать объем конуса

Радиус основания R 

Объем усеченного конуса

   

Рассчитать объем усеченного конуса

Радиус R1 

   
Радиус R2 

Объем тетраэдра

   

Рассчитать объем тетраэдра

Объем шара

   

Рассчитать объем и площадь поверхности шара

Объем шарового сегмента и сектора

   

Рассчитать объем шарового сегмента

Радиус R 

1 2
3
4
5
6
7
8

   

Свойства куба:

1. В кубе $6$ граней и все они являются квадратами.

2. Противоположные грани попарно параллельны.

3. Все двугранные углы куба – прямые.

4. Диагонали равны.

5. Куб имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

6. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра

$B_1D=AB√3$

7. Диагональ грани куба в $√2$ раза больше длины ребра.

$DC_1=DC√2$

Пусть $а-$длина ребра куба, $d-$диагональ куба, тогда справедливы формулы:

Объем куба: $V=a^3={d^3}/{3√3}$.

Площадь полной поверхности: $S_{п.п}=6а^2=2d^2$

Радиус сферы, описанной около куба: $R={a√3}/{2}$

Радиус сферы, вписанной в куб: $r={a}/{2}$

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

$B_1D^2=AD^2+DC^2+C_1C^2$

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$а$-длина;

$b$-ширина;

$с$-высота(она же боковое ребро);

$P_{осн}$-периметр основания;

$S_{осн}$-площадь основания;

$S_{п.п}$-площадь полной поверхности;

$V$-объем.

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

$S_{п.п}=2(ab+bc+ac)$.

Пирамида

$SO$ — высота.

Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.

$h_a$ — высота боковой грани (апофема)

$S_{бок}={P_{осн}·h_a}/{2}$

$S_{п.п}=S_{бок}+S_{осн}$

$V={1}/{3}S_{осн}·h$

В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:

1. Для равностороннего треугольника $S={a^{2}√3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.
2. Квадрат $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2. Найти объем каждого параллелепипеда.
3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.