Как найти совершенное число формула

Как найти совершенное число формула

Собственный делитель натурального числа — это любой делитель, кроме самого этого числа. Если число равно сумме своих собственных делителей, то оно называется совершенным. Так, 6 = 3 + 2 + 1 — это наименьшее из всех совершенных чисел (1 не в счет), 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1 — это еще одно такое число.

Совершенные числа были известны еще в древности и интересовали ученых во все времена. В «Началах» Евклида доказано, что если простое число имеет вид 2n – 1 (такие числа называют простыми числами Мерсенна), то число 2n–1(2n – 1) — совершенное. А в XVIII веке Леонард Эйлер доказал, что любое четное совершенное число имеет такой вид.

Задача

Попробуйте доказать эти факты и найти еще пару-тройку совершенных чисел.

Подсказка 1

а) Чтобы доказать утверждение из «Начал» (что если простое число имеет вид 2n – 1, то число 2n–1(2n – 1) — совершенное), удобно рассмотреть сигма-функцию, которая равна сумме всех положительных делителей натурального числа n. Например, σ(3) = 1 + 3 = 4, а σ(4) = 1 + 2 + 4 = 7. Эта функция обладает полезным свойством: она мультипликативна, то есть σ(ab) = σ(a)σ(b); равенство выполняется для любых двух взаимно простых натуральных чисел a и b (взаимно простыми называются числа, у которых нет общих делителей). Это свойство можно попытаться доказать или принять на веру.

При помощи сигма-функции доказательство совершенности числа N = 2n–1(2n – 1) сводится к проверке того, что σ(N) = 2N. Для этого пригодится мультипликативность этой функции.

б) Другой путь решения не использует никаких дополнительных конструкций вроде сигма-функции. Он опирается только на определение совершенного числа: нужно выписать все делители числа 2n–1(2n – 1) и найти их сумму. Должно получиться это же число.

Подсказка 2

Доказывать, что любое четное совершенное число — это степень двойки, умноженная на простое число Мерсенна, также удобно с помощью сигма-функции. Пусть N — какое-нибудь четное совершенное число. Тогда σ(N) = 2N. Представим N в виде N = 2k·m, где m — нечетное число. Поэтому σ(N) = σ(2k·m) = σ(2k)σ(m) = (1 + 2 + … + 2k)σ(m) = (2k+1 – 1)σ(m).

Получается, что 2·2k·m = (2k+1 – 1)σ(m). Значит, 2k+1 – 1 делит произведение 2k+1·m, а поскольку 2k+1 – 1 и 2k+1 взаимно просты, то m должно делиться на 2k+1 – 1. То есть m можно записать в виде m = (2k+1 – 1)·M. Подставив это выражение в предыдущее равенство и сократив на 2k+1 – 1, получим 2k+1·M = σ(m). Теперь до окончания доказательства остается всего один, хотя и не самый очевидный, шаг.

Решение

В подсказках содержится значительная часть доказательств обоих фактов. Восполним здесь недостающие шаги.

1. Теорема Евклида.

а) Для начала нужно доказать, что сигма-функция действительно мультипликативна. На самом деле, поскольку каждое натуральное число однозначно раскладывается на простые множители (это утверждение называют основной теоремой арифметики), достаточно доказать, что σ(pq) = σ(p)σ(q), где p и q — различные простые числа. Но довольно очевидно, что в этом случае σ(p) = 1 + p, σ(q) = 1 + q, а σ(pq) = 1 + p + q + pq = (1 + p)(1 + q).

Теперь завершим доказательство первого факта: если простое число имеет вид 2n – 1, то число N = 2n–1(2n – 1) — совершенное. Для этого достаточно проверить, что σ(N) = 2N (так как сигма-функция — это сумма всех делителей числа, то есть сумма собственных делителей плюс само число). Проверяем: σ(N) = σ(2n–1(2n – 1)) = σ(2n–1)σ(2n – 1) = (1 + 2 + … + 2n–1)·((2n – 1) + 1) = (2n – 1)·2n = 2N. Здесь было использовано, что раз 2n – 1 — простое число, то σ(2n – 1) = (2n – 1) + 1 = 2n.

б) Доведем до конца и второе решение. Найдем все собственные делители числа 2n–1(2n – 1). Это 1; степени двойки 2, 22, …, 2n–1; простое число p = 2n – 1; а также делители вида 2m·p, где 1 ≤ m ≤ n – 2. Суммирование всех делителей тем самым разбивается на подсчет сумм двух геометрических прогрессий. Первая начинается с 1, а вторая — с числа p; у обеих знаменатель равен 2. По формуле суммы элементов геометрической прогрессии сумма всех элементов первой прогрессии равна 1 + 2 + … + 2n–1 = (2n – 1)/2 – 1 = 2n – 1 (и это равно p). Вторая прогрессия дает p·(2n–1 – 1)/(2 – 1) = p·(2n–1 – 1). Итого, получается p + p·(2n–1 – 1) = 2n–1·p — то, что надо.

Скорее всего, Евклид не был знаком с сигма-функцией (да и вообще с понятием функции), поэтому его доказательство изложено несколько другим языком и ближе к решению из пункта б). Оно содержится в предложении 36 из IX книги «Начал» и доступно, например, здесь.

2. Теорема Эйлера.

Прежде чем доказывать теорему Эйлера, отметим еще, что если 2n – 1 — простое число Мерсенна, то n также должно быть простым числом. Дело в том, что если n = km — составное, то 2km – 1  = (2k)m – 1 делится на 2k – 1 (поскольку выражение xm – 1 делится на x – 1, это одна из формул сокращенного умножения). А это противоречит простоте числа 2n – 1. Обратное утверждение — «если n — простое, то 2n – 1 также простое» — не верно: 211 – 1 = 23·89.

Вернемся к теореме Эйлера. Наша цель — доказать, что любое четное совершенное число имеет вид, полученный еще Евклидом. В подсказке 2 были намечены первые этапы доказательства, и осталось сделать решающий шаг. Из равенства 2k+1·M = σ(m) следует, что m делится на M. Но m делится также и на само себя. При этом M + m = M + (2k+1 – 1)·M = 2k+1·M = σ(m). Это означает, что у числа m нет других делителей, кроме M и m. Значит, M = 1, а m — простое число, которое имеет вид 2k+1 – 1. Тогда N = 2k·m = 2k(2k+1 – 1), что и требовалось.

Итак, формулы доказаны. Применим их, чтобы найти какие-нибудь совершенные числа. При n = 2 формула дает 6, а при n = 3 получается 28; это первые два совершенных числа. По свойству простых чисел Мерсенна, нам нужно подобрать такое простое n, что 2n – 1 будет также простым числом, а составные n можно вообще не рассматривать. При n = 5 получится 2n – 1 = 32 – 1 = 31, это нам подходит. Вот и третье совершенное число — 16·31 = 496. На всякий случай проверим его совершенность явно. Выпишем все собственные делители 496: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248. Их сумма равна 496, так что всё в порядке. Следующее совершенное число получается при n = 7, это 8128. Соответствующее простое число Мерсенна равно 27 – 1 = 127, и довольно легко проверить, что оно действительно простое. А вот пятое совершенное число получается при n = 13 и равно 33 550 336. Но проверять его вручную уже очень утомительно (однако это не помешало кому-то открыть его еще в XV веке!).

Послесловие

Первые два совершенных числа — 6 и 28 — были известны с незапамятных времен. Евклид (и мы вслед за ним), применив доказанную нами формулу из «Начал», нашел третье и четвертое совершенные числа — 496 и 8128. То есть сначала было известно всего два, а потом четыре числа с красивым свойством «быть равными сумме своих делителей». Больше таких чисел обнаружить не могли, да и эти, на первый взгляд, ничего не объединяло. В эпоху древности люди были склонны вкладывать мистический смысл в таинственные и непонятные явления, поэтому и совершенные числа получили особый статус. Пифагорейцы, оказавшие сильное влияние на развитие науки и культуры того времени, также поспособствовали этому. «Всё есть число», — говорили они; число 6 в их учении обладало особыми магическими свойствами. А ранние толкователи Библии объясняли, что мир был сотворен именно на шестой день, потому что число 6 — самое совершенное среди чисел, ибо оно первое среди них. Также многим казалось неслучайным, что Луна делает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.

Пятое совершенное число — 33 550 336 — было найдено только в XV веке. Еще почти через полтора века итальянец Катальди нашел шестое и седьмое совершенные числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Им соответствуют n = 17 и n = 19 в формуле Евклида. Обратите внимание, что счет идет уже на миллиарды, и страшно даже представить, что все вычисления были проделаны без калькуляторов и компьютеров!

Как мы знаем, Леонард Эйлер доказал, что любое четное совершенное число должно иметь вид 2n–1(2n – 1), причем 2n – 1 должно быть простым. Восьмое число — 2 305 843 008 139 952 128 — нашел тоже Эйлер в 1772 году. Здесь n = 31. После его достижений можно было осторожно сказать, что про четные совершенные числа науке стало что-то понятно. Да, они быстро растут, и их трудно вычислять, но хотя бы ясно, как это делать: надо брать числа Мерсенна 2n – 1 и искать среди них простые. Про нечетные совершенные числа неизвестно почти ничего. На сегодняшний день не найдено ни одного такого числа, при том что проверены все числа до 10300 (видимо, нижняя граница отодвинута даже дальше, просто соответствующие результаты еще не опубликованы). Для сравнения: число атомов в видимой части Вселенной оценивается величиной порядка 1080. При этом не доказано, что нечетных совершенных чисел не существует, просто это может быть очень большое число. Даже настолько большое, что наши вычислительные мощности никогда до него не доберутся. Существует ли такое число или нет — одна из открытых на сегодня проблем математики. Компьютерным поиском нечетных совершенных чисел занимаются участники проекта OddPerfect.org.

Вернемся к четным совершенным числам. Девятое число было найдено в 1883 году сельским священником из Пермcкой губернии И. М. Первушиным. В этом числе 37 цифр. Таким образом, к началу XX века было найдено всего 9 совершенных чисел. В это время появились механические арифметические машины, а в середине века — и первые компьютеры. С их помощью дело пошло быстрее. Сейчас найдено 47 совершенных чисел. Причем только у первых сорока известны порядковые номера. Еще про семь чисел пока точно не установлено, какие они по счету. В основном поиском новых мерсенновских простых (а с ними — и новых совершенных чисел) занимаются участники проекта GIMPS (mersenne.org).

В 2008 году участниками проекта было найдено первое простое число, в котором больше 10 000 000 = 107 цифр. За это они получили приз $100 000. Денежные призы 150 000 и 250 000 долларов также обещаны за простые числа, состоящие из больше чем 108 и 109 цифр соответственно. Предполагается, что из этих денег получат вознаграждение и те, кто нашел меньшие, но еще не открытые простые числа Мерсенна. Правда, на современных компьютерах проверка чисел такой длины на простоту займет годы, и это, наверное, дело будущего. Самое большое простое число на сегодня равно 243112609 – 1. Оно состоит из 12 978 189 цифр. Отметим, что благодаря тесту Люка—Лемера (см. его доказательство: A proof of the Lucas–Lehmer Test) сильно упрощается проверка на простоту чисел Мерсенна: не нужно пытаться найти хотя бы один делитель очередного кандидата (это очень трудоемкая работа, которая для таких больших чисел практически невыполнима сейчас).

У совершенных чисел есть забавные арифметические свойства:

  • Каждое четное совершенное число является также треугольным числом, то есть представимо в виде 1 + 2 + … + k = k(k + 1)/2 для некоторого k.
  • Каждое четное совершенное число, кроме 6, является суммой кубов последовательных нечетных натуральных чисел. Например, 28 = 13 + 33, а 496 = 13 + 33 + 53 + 73.
  • В двоичной системе счисления совершенное число 2n–1(2n – 1) записывается очень просто: сначала идут n единиц, а потом — n – 1 нулей (это следует из формулы Евклида). Например, 610 = 1102, 2810 = 111002, 3355033610 = 11111111111110000000000002.
  • Сумма чисел, обратных всем делителям совершенного числа (само число здесь тоже участвует), равна 2. Например, 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.
Источник

Соверше́нное число́ (др.-греч. ἀριθμὸς τέλειος) — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (то есть всех положительных делителей, отличных от самого́ числа). Например, число 6 равно сумме своих собственных делителей 1 + 2 + 3. Это понятие было введено пифагорейцами в VI веке до н. э.; согласно их нумерологической мистике, совпадение числа с суммой своих делителей свидетельствовало об особом совершенстве такого числа[1].

Если суммировать все делители числа (то есть добавить само число) {displaystyle sigma (N)-N=N} или {displaystyle sigma (N)=2N,} получим другое эквивалентное определение: Совершенные числа — это числа, у которых сумма всех делителей в 2 раза больше самого числа.

По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Неизвестно, бесконечно ли множество всех совершенных чисел. Неизвестно также, есть ли среди них нечётные.

Совершенные числа образуют последовательность A000396 в OEIS:

  1. 6,
  2. 28,
  3. 496,
  4. 8128,
  5. 33 550 336,
  6. 8 589 869 056,
  7. 137 438 691 328,
  8. 2 305 843 008 139 952 128,
  9. 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176,
  10. 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216,
…

Примеры[править | править код]

  • 1-е совершенное число — 6 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма равна 6.
  • 2-е совершенное число — 28 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма равна 28.
  • 3-е совершенное число — 496 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма равна 496.
  • 4-е совершенное число — 8128 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма равна 8128.

История изучения[править | править код]

Чётные совершенные числа[править | править код]

Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида, где было доказано, что число 2^{{p-1}}(2^{p}-1) является совершенным, если число 2^{p}-1 является простым (т. н. простые числа Мерсенна)[2]. Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.

В античные времена были известны только первые четыре совершенных числа (соответствующие р = 2, 3, 5 и 7), они приведены в Арифметике Никомаха Геразского.

Пятое совершенное число 33 550 336, соответствующее р = 13, нашёл в 1536 году голландский математик Худалрик Perиус (лат. Hudalrichus Regius) в трактате «Utriusque Arithmetices» (1536 год)[3]. Позднее это число было также обнаружено историками в неопубликованной рукописи Региомонтана 1461 года[4].

В 1603 году итальянский математик Катальди обнаружил и опубликовал шестое и седьмое совершенные числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Они соответствуют р = 17 и р = 19.. Заодно он опроверг гипотезу Никомаха, согласно которой в последних цифрах членов последовательности совершенных чисел чередуются цифры 6 и 8[4].

В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности.

На 2019 год известно 51 совершенное число, вытекающее из простых чисел Мерсенна, поиском которых занимается проект распределённых вычислений GIMPS.

Нечётные совершенные числа[править | править код]

Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, конечно ли множество нечётных совершенных чисел, если они существуют.

Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, превышает 101500; при этом число простых делителей такого числа с учётом кратности не меньше 101[5]. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений OddPerfect.org.

Свойства[править | править код]

  • Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел
{displaystyle 1^{3}+3^{3}+5^{3}+ldots +(2n-1)^{3}=n^{2}(2n^{2}-1)}
  • Все чётные совершенные числа являются треугольными и одновременно шестиугольными числами, то есть, могут быть представлены в виде {displaystyle n({2n-1})} для некоторого натурального числа n.
  • Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая само число), равна 2. Это прямое следствие определения и того факта, что сумма делителей при делении на само число дает сумму чисел, обратных делителям.
  • Все совершенные числа являются числами Оре.
  • Все чётные совершенные числа, кроме 6 и 496, заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56 или 76.
  • Все чётные совершенные числа в двоичной записи содержат сначала p единиц, за которыми следует p-1 нулей (следствие из их общего представления).
  • Если сложить все цифры чётного совершенного числа (кроме 6), затем сложить все цифры полученного числа и так повторять, пока не получится однозначное число[6], то это число будет равно 1 (2 + 8 = 10, 1 + 0 = 1; 4 + 9 + 6 = 19, 1 + 9 = 10…) Эквивалентная формулировка: остаток от деления чётного совершенного числа, отличного от 6, на 9 равен 1.

В религии[править | править код]

Особенный («совершенный») характер чисел 6 и 28 был признан в культурах, имеющих основание в авраамических религиях, утверждающих, что Бог сотворил мир за 6 дней и обративших внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.

Джеймс А. Эшельман в книге «Еврейские иерархические имена Брии»[7] пишет, что в соответствии с гематрией:

Не менее важна идея, выраженная числом 496. Это «теософское расширение» числа 31 (то есть сумма всех целых чисел от 1 до 31). Помимо всего прочего, это сумма слова малхут (царство). Таким образом, Царство, полное проявление первичной идеи Бога, предстает в гематрии как естественное дополнение или проявление числа 31, которое является числом имени 78.

«Левиафан» (букв. «извивающийся») — один из четырёх Князей Тьмы, воплощённый в форме змея. Поэтому удерживать Левиафана — значит контролировать энергии Нефеш, ассоциируемые со сфирой йесод. Во-вторых, «змей изгибающийся» может означать и «свернувшийся кольцами змей», то есть Кундалини. В-третьих, гематрия слова «Левиафан» — 496, так же как и слова «Малхут» (Царство); представление о том, что архангел Йесод сдерживает природу Малхут, даёт богатую пищу для размышлений. В-четвёртых, число 496 — это сумма чисел от 1 до 31, то есть полное расширение, или проявление, имени «Эль», божественного имени трёх высших сфирот в Брии (в том числе и сфиры Кетер, ангелом которой является Йехоэль).

В сочинении «Град Божий» святой Августин писал[8]:

Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил всё сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил всё сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней.

Вариации и обобщения[править | править код]

Античные математики различали три типа натуральных чисел, в зависимости от суммы их собственных делителей:

  • избыточные числа, для которых сумма собственных делителей больше, чем само число;
  • недостаточные числа, для которых сумма собственных делителей меньше, чем само число;
  • совершенные числа, для которых сумма собственных делителей равна самому числу.

Современные исследования показали, что наиболее распространены недостаточные числа, их примерно 75 %. Избыточных чисел немногим менее 25 %. Доля совершенных чисел на интервале от 1 до N с ростом N стремится к нулю[9].

Натуральное число, сумма всех делителей которого кратна самому числу, называется мультисовершенным[en][10].

См. также[править | править код]

  • Дружественные числа
  • Магические числа (физика)
  • Открытые математические проблемы
  • Полусовершенные числа
  • Слегка избыточные числа (квазисовершенные числа)
  • Слегка недостаточные числа
  • Суперсовершенные числа

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Успенский, В. А. Предисловие к математике [сборник статей]. — СПб.: ООО «Торгово-издательский дом Амфора», 2015. — С. 87. — 474 с. — (Популярная наука, вып. 12). — ISBN 978-5-367-03606-0.
  2. ↑ Совершенная красота и совершенная бесполезность совершенных чисел. Дата обращения: 19 апреля 2010. Архивировано 31 октября 2010 года.
  3. ↑ Попов, И. Н. Совершенные и дружественные числа: Учебное пособие. — Архангельск: Поморский гос. университет им. М. В. Ломоносова, 2005. — 153 с. — ISBN 5-88086-514-2. Архивная копия от 25 ноября 2021 на Wayback Machine
  4. ↑ 1 2 Perfect numbers. Дата обращения: 21 сентября 2021. Архивировано 5 октября 2021 года.
  5. ↑ Ochem, Pascal; Rao, Michaël. Odd perfect numbers are greater than 101500 (англ.) // Mathematics of Computation  (англ.) (рус. : journal. — 2012. — Vol. 81, no. 279. — P. 1869—1877. — ISSN 0025-5718. — doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4. Архивировано 15 января 2016 года.
  6. ↑ см. Нумерология#Сокращение чисел до цифр
  7. ↑ Числа. Дата обращения: 10 сентября 2011. Архивировано 16 апреля 2015 года.
  8. ↑ Саймон Сингх. Великая Теорема Ферма. с. 9 (недоступная ссылка).
  9. ↑ Стюарт, Иэн. Невероятные числа профессора Стюарта = Professor Stewart’s incredible numbers. — М.: Альпина нон-фикшн, 2016. — С. 103—104. — 422 с. — ISBN 978-5-91671-530-9.
  10. ↑ The Multiply Perfect Numbers Page. Дата обращения: 10 февраля 2022. Архивировано 19 февраля 2020 года.

Ссылки[править | править код]

  • Депман И. Совершенные числа // Квант. — 1991. — № 5. — С. 13—17.
  • Евгений Епифанов. Совершенные числа. Элементы.
Источник

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграмм “Математика не для всех”, чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.

Совершенные числа

Замечательные пределы – далеко не единственные математические конструкты с изящным и даже романтичным названием. Сегодня поговорим о совершенных числах: в чем их особенность, как их находить и какие загадки они до сих пор таят в себе.

Источник: https://i.sunhome.ru/religion/189/muzhskaya-i-zhenskaya-energiya.orig.jpg
Источник: https://i.sunhome.ru/religion/189/muzhskaya-i-zhenskaya-energiya.orig.jpg

Что такое совершенные числа и каковы их свойства?

Во-первых, совершенные числа принадлежат множеству натуральных чисел (кстати, вот краткий курс введения в теорию множеств, где очень доступно рассмотрены основные вопросы).

Во-вторых, с увеличением чисел совершенных среди них становится всё меньше.

В-третьих, неизвестно, конечно ли множество совершенных чисел. Как, скажете Вы, можно говорить о конечности какого-либо количества чисел, ведь число чисел бесконечно? Но не всё так просто, ответ на этот вопрос даёт теория множеств. Кстати, в своем блоге я рассказываю про этот раздел математики с самых азов.

В-четвертых, главное свойство совершенных чисел в том, что они равны сумме своих делителей.

Давайте посмотрим на самых “маленьких” представителей совершенных чисел.

6, 28, 496, 8128 – первые четыре представителя, уже десятое по счету совершенное число имеет 54 (!!!) значащих цифры.

Например, 6 делится на свои делители 1, 2 и 3, 28 делится на 14, 7, 4, 2 и 1. Легко проверить четвертое свойство: просто сложите делители!

На какие размышления не наводят числа 6 и 28 ? Американский математик-любитель Мартин Гарднер заметил, что Земля сотворена за 6 дней, а за 28 дней обновляется Луна. Ну как не подтверждения совершенства? (хотя лично я в это не верю)

Открыл главное свойство совершенные числа Евклид: он показал, что, если число 2^p-1 – простое, то число 2^(p-1)*(2^p-1) – совершенное и четное. Например, для простого числа 7, получим

2^p-1=7

p=3

2^(3-1)*(2^3-1)=4 *7 = 28

Таким образом, число 28 соответствует простому числу 7. В начале 20 века были найдены еще три совершенных числа (соответствующие простым числам – 89, 107 и 127). Для понимания: чтобы вычислить совершенное число, необходимо (вспомним, что в начале 20 века ЭВМ не было) обладать быстрым алгоритмом поиска простых чисел, чтобы наконец-то найти среди них такое, что 2^p-1={простое число}. А такие простые числа, как Вы уже догадались, попадаются ОЧЕНЬ редко.

К счастью, проверять вручную все делители огромного числа нет необходимости. Еще в 18 веке автор самой красивой формулы в математике – Леонард Эйлер – доказал, что все четные совершенные числа имеют форму, предсказанную Эвклидом.

Обратите внимание на “тонкость” формулировки: о существования нечетных совершенных чисел ничего не сказано. Как показывают последние исследования, если нечетное совершенное число существует, то оно больше 10^1500 степени.

Т.е. находится где-то между квингентиллионом и квадрингентиллионом
Т.е. находится где-то между квингентиллионом и квадрингентиллионом

В 2019 году известно всего 51 (!!!) совершенное число.

Парочка свойств совершенных чисел

1) Если сложить все цифры чётного совершенного числа (кроме 6), затем сложить все цифры полученного числа и так повторять, пока не получится однозначное число, то это число будет равно 1. Пример:

8128 ->8+1+2+8=19 – >1+9=10 – > 1=0 =1

2) Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел. Пример:

8128 = 3375 + 2197+ 1331 + 729 + 343 + 125 + 27 + 1 – кубы нечетных чисел от 1 до 15.

Зачем необходимо тратить огромные вычислительные мощности для вычисления совершенных чисел? Подискутируем в комментариях!

Путеводитель по каналу “Математика не для всех”

************************************************************************

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.

**************************************************************************

Список материалов для начинающего математика:

Источник

Кто нибудь скажет формулу расчета совершенного числа



Ученик

(74),
закрыт



6 лет назад

marat aminov

Просветленный

(32951)


6 лет назад

см статью в вике ,,Совершенные числа,, нечетных совершенных чисел не обнаружили, каждое четное совершенное число равно n=2^(p-1)*[2^(p)-1], если 2^(p)-1 является простым числом. всего вычислено 48 совершенных чисел.

Юрий Семыкин

Искусственный Интеллект

(156726)


6 лет назад

Формулу нет, а вот алгоритм – пожалуйста. Образуете всевозможные наборы натуральных чисел. Вычисляете их сумму и произведение, как только сумма и произведение совпадут, то это и есть совершенное число, которое вам нужно. Запишите его и продолжайте поиск.

Источник


Совершенные числа и числа Мерсенна - Numberphile [rus]

Видео: Совершенные числа и числа Мерсенна – Numberphile [rus]

Содержание

  • История
  • Свойства совершенных чисел
  • Формула и критерии Евклида
  • Самое большое известное совершенное число
  • Идеальный номер дружит сам с собой
  • Примеры идеальных чисел
  • Упражнения
  • – Упражнение 1
  • Решение
  • – Упражнение 2.
  • Решение
  • – Упражнение 3.
  • Решение
  • – Упражнение 4.
  • Решение
  • Ссылки

А идеальное число – такое натуральное число, что сумма его делителей такая же, как и число. Очевидно, что само число не может быть включено в число делителей.

Один из простейших примеров совершенного числа – 6, поскольку его делители: 1, 2 и 3. Если мы сложим делители, мы получим: 1 + 2 + 3 = 6.

Сумма делителей целого числа, не считая самого числа, называется аликвота. Следовательно, идеальное число равно его аликвоте.

Но если само число входит в сумму делителей числа, тогда совершенное число будет таким, в котором сумма всех его делителей, деленная на 2, равна самому числу.

История

Математики древности, особенно греки, придавали большое значение совершенным числам и приписывали им божественные качества.

Например, Филон Александрийский ближе к первому веку утверждал, что 6 и 28 – идеальные числа, которые совпадают с шестью днями сотворения мира и двадцатью восемью днями, которые требуется Луне, чтобы обойти Землю.

Совершенные числа также присутствуют в природе, например, на северном полюсе Сатурна также появляется совершенное число 6, вихрь в форме шестиугольника, обнаруженный зондом Кассини и заинтриговавший ученых.

Соты пчел имеют ячейки шестиугольной формы, то есть с 6 сторонами. Было показано, что многоугольник с идеальным числом 6 – это тот, который позволяет максимально увеличить количество ячеек в улье с минимумом воска для его обработки.

Свойства совершенных чисел

Сумма всех делителей натурального числа n обозначается σ (n). В совершенном числе выполняется равенство σ (n) = 2n.

Формула и критерии Евклида

Евклид открыл формулу и критерий, позволяющий находить идеальные числа. Эта формула:

2(п-1) (2п-1)

Однако число, полученное по формуле, будет идеальным только тогда, когда множитель (2п -1) простое число.

Посмотрим, как генерируются первые совершенные числа:

Если n = 2, то у нас осталось 21 (22 – 1) = 2 x 3 = 6, которое мы уже видели, идеально.

При n = 3 имеем 22 (23 – 1) = 4 x 7 = 28, что также идеально, что подробно проверено в примере 1.

Посмотрим, что будет с n = 4. Подставляя в формулу Евклида, мы имеем:

23 (24 – 1) = 8 х 15 = 120

Можно проверить, что это число несовершенно, как подробно показано в примере 3. Это не противоречит критерию Евклида, поскольку 15 не является простым числом, что является необходимым требованием для того, чтобы результат был совершенным числом.

Теперь посмотрим, что происходит при n = 5. Применяя формулу, мы имеем:

24 (25 – 1) = 16 х 31 = 496

Поскольку 31 – простое число, то число 496 должно быть совершенным, согласно критериям Евклида. В примере 4 подробно показано, что есть на самом деле.

Простые числа в форме 2п – 1 названы двоюродными братьями Мерсенна в честь монаха Марина Мерсенна, изучавшего простые и совершенные числа еще в 17 веке.

Позже в 18 веке Леонард Эйлер показал, что все совершенные числа, порожденные формулой Евклида, четны.

На сегодняшний день не найдено ничего необычного.

Самое большое известное совершенное число

На сегодняшний день известен 51 идеальное число, все они получены с использованием формулы и критериев Евклида. Это число было получено после того, как был найден самый большой двоюродный брат Мерсенна, а именно: (282589933 – 1).

Идеальное число # 51 – (282589933) х (282589933 – 1) и имеет 49724095 цифр.

Идеальный номер дружит сам с собой

В теории чисел два числа считаются друзьями, если сумма делителей одного, не включая само число, равна другому числу, и наоборот.

Читатель может убедиться, что сумма делителей числа 220, исключая 220, равна 284. С другой стороны, сумма делителей числа 284, исключая 284, равна 220. Следовательно, пара чисел 220 и 284 друзья.

С этой точки зрения идеальный номер дружит сам с собой.

Примеры идеальных чисел

Первые восемь совершенных чисел перечислены ниже:

6

28

496

8128

33550336

8589869056

137438691328

2305843008139952128

Упражнения

В следующих упражнениях необходимо будет вычислить делители числа, затем сложить их и проверить, является ли число идеальным числом или нет.

Поэтому, прежде чем приступить к упражнениям, мы рассмотрим концепцию и покажем, как они рассчитываются.

Для начала помните, что числа могут быть простыми (когда их можно разделить только на себя и 1) или составными (когда они могут быть разложены как произведение простых чисел).

Для составного числа N имеем:

N = ап . бм. cп … рk 

Где a, b, c… r – простые числа, а n, m, p… k – показатели, принадлежащие натуральным числам, которые могут быть начиная с 1.

В терминах этих показателей существует формула, чтобы узнать, сколько делителей имеет число N, хотя она не сообщает нам, что это такое. Пусть C будет этой величиной, тогда:

C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)

Разложение числа N как произведения простых чисел и знание того, сколько у него делителей, простых и непростых, поможет нам определить, что это за делители.

Когда у вас есть все из них, кроме последнего, которое не требуется в сумме, вы можете проверить, является ли это идеальным числом или нет.

– Упражнение 1

Убедитесь, что число 28 идеально.

Решение

Первое, что нужно сделать, – это разложить число на простые множители.

28|2
14|2
07|7
01|1

Его делители: 1, 2, 4, 7, 14 и 28. Если исключить 28, сумма делителей дает:

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 3 + 4 + 7 + 14 = 7 + 7 + 14 = 14 + 14 = 28

Следовательно, 28 – идеальное число.

Кроме того, сумма всех его делителей равна 28 + 28, поэтому правило σ (28) = 2 x 28 выполняется.

– Упражнение 2.

Решите, идеально ли число 38 или нет.

Решение

Число раскладывается на простые множители:

39|3
13|13
01|1

Делители 39 без учета самого числа: 1, 3 и 13. Сумма 1 + 3 + 13 = 4 + 13 = 17 не равна 39, поэтому 39 – несовершенное или несовершенное число.

– Упражнение 3.

Узнайте, идеально ли число 120 или нет.

Решение

Приступим к разложению числа на простые множители:

120|2
060|2
 30|2
 15|3
  5|5
  1|1

Из простых множителей переходим к нахождению делителей:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 и 120}

Если 120 было идеальным, сложение всех его делителей должно получить 2 x 120 = 240.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360

Этот результат явно отличается от 240, поэтому можно сделать вывод, что число 120 не идеальное.

– Упражнение 4.

Убедитесь, что число 496, полученное с помощью критериев Евклида, является идеальным числом.

Решение

Число 496 раскладывается на простые множители:

496|2
248|2
124|2
062|2
031|31
001|1

Итак, его делители:

{1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496}

Сейчас их все добавлены, кроме 496:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

Подтверждая, что это действительно идеальный номер.

Ссылки

  1. Балдор, А. 1986. Арифметика. Издания и распространения Кодекса.
  2. Все о простых числах. Дружелюбные номера. Получено с: Númeroprimos.org.
  3. Wolfram MathWorld. Правило Эйлера. Получено с: mathworld.wolfram.com.
  4. Wolfram MathWorld. Идеальное число. Получено с: mathworld.wolfram.com.
  5. Википедия. Совершенные числа. Получено с: en.wikipedia.org.
  6. Википедия. Дружелюбные номера. Получено с: es.wikipedia.org.
Источник

Добавить комментарий