Как найти совершенную дизъюнктивную нормальную форму

Соверше́нная дизъюнкти́вная норма́льная фо́рма (СДНФ) — одна из форм представления функции алгебры логики (булевой функции) в виде логического выражения. Представляет собой частный случай ДНФ, удовлетворяющий следующим трём условиям^[1]:

• в ней нет одинаковых слагаемых (элементарных конъюнкций);
• в каждом слагаемом нет повторяющихся переменных;
• каждое слагаемое содержит все переменные, от которых зависит булева функция (каждая переменная может входить в слагаемое либо в прямой, либо в инверсной форме).

Любая булева формула, не являющаяся тождественно ложной, может быть приведена к СДНФ, причём единственным образом, то есть для любой выполнимой функции алгебры логики существует своя СДНФ, причём единственная^[2].

Краткая теория[править | править код]

ДНФ представляет собой «сумму произведений», причём в качестве операции «умножения» выступает операция И (конъюнкция), а в качестве операции «сложения» — операция ИЛИ (дизъюнкция). Сомножителями являются различные переменные, причём они могут входить в произведение как в прямом, так и в инверсном виде.

Ниже приведён пример ДНФ:

В составе ДНФ, вообще говоря, могут присутствовать повторяющиеся слагаемые, а в составе каждого слагаемого — повторяющиеся сомножители, например:

С математической точки зрения такое клонирование бессмысленно, так как в булевой алгебре умножение любого выражения на само себя и сложение выражения с самим собой не меняет результата (), а сложение выражения с собственной инверсией и умножение на собственную инверсию даёт константы (). В последнем выражении можно удалить повторяющиеся слагаемые и сомножители следующим образом:

По этой причине ДНФ с повторяющимися слагаемыми и сомножителями используются обычно только со вспомогательными целями, например, при аналитическом преобразовании выражений.

СДНФ является канонической формой представления булевой функции в виде ДНФ, в которой повторы слагаемых и сомножителей запрещены. Кроме того, в каждом слагаемом должны присутствовать все переменные (в прямой или инверсной форме).

Ниже приведён пример СДНФ:

Значение СДНФ состоит в том, что

• для каждой конкретной функции её СДНФ единственна и однозначна;
• СДНФ имеет однозначное соответствие с таблицей истинности функции. Каждое слагаемое СДНФ соответствует одной строке в таблице истинности, где функция равна единице. Таким образом, число слагаемых в СДНФ равно числу единичных значений, которые принимает булева функция в своей области определения;
• СДНФ элементарно получается из таблицы истинноcти функции;
• СДНФ удобна в качестве базового выражения для минимизации функции, в ней особенно просто находятся слагаемые, пригодные для «склейки».

Пример нахождения СДНФ[править | править код]

Для того, чтобы получить СДНФ функции, требуется составить её таблицу истинности. К примеру, возьмём одну из таблиц истинности:

0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

В ячейках результата отмечаются лишь те комбинации, которые приводят логическое выражение в состояние единицы. Далее рассматриваются значения переменных, при которых функция равна 1. Если значение переменной равно 0, то она записывается с инверсией. Если значение переменной равно 1, то без инверсии.

Первая строка содержит 1 в указанном поле. Отмечаются значения всех трёх переменных, это:

• 
• 
• 

Нулевые значения — тут все переменные представлены нулями — записываются в конечном выражении инверсией этой переменной. Первый член СДНФ рассматриваемой функции выглядит так:

Переменные второго члена:

• 
• 
• 

в этом случае будет представлен без инверсии:

Таким образом анализируются все ячейки . Совершенная ДНФ этой функции будет дизъюнкцией всех полученных членов (элементарных конъюнкций).

Совершенная ДНФ этой функции:

См. также[править | править код]

• Дизъюнктивная нормальная форма
• Конъюнктивная нормальная форма
• Совершенная конъюнктивная нормальная форма

Примечания[править | править код]

Что такое СДНФ 

Нормальная форма логической формулы характеризуется тем, что для нее не свойственны эквивалентность, отрицание формул неэлементарного типа и знаки импликации.

Существует две формы нормального типа: КНФ (конъюнктивная нормальная форма) и ДНФ (дизъюнктивная нормальная форма).

ДНФ выглядит следующим образом:

((A;wedge;overline B;wedge;C);vee;(B;wedge;C))

СДНФ обладает некоторыми определенными свойствами:

• включает различные элементарные конъюнкции;
• все логические слагаемые формулы содержат все переменные, которые входят в функцию F;
• ни в одном логическом слагаемом не содержится переменная и её отрицание.

К СДНФ возможно привести любую формулу алгебры логики. Исключение составляет только тождественно ложная формула. СДНФ можно получить как используя таблицы истинности, так и через равносильные преобразования.

Что такое СКНФ

КНФ имеет вид:

((A;vee;overline B;vee;C);wedge;(A;vee;C))

Формула должна соответствовать нескольким условиям, чтобы называться СКНФ:

• в ней отсутствуют одинаковые элементарные дизъюнкции;
• дизъюнкции не содержат одинаковые переменные;
• все дизъюнкции содержат каждую переменную из входящих в конъюнктивную нормальную функцию такого типа.

Правила построения по таблице истинности

Дизъюнктивная форма

Если функция равна 1, то для всех наборов переменных, при которых это происходит, записывается произведение. Однако переменные, которые имеют значение 0, берутся с отрицанием.

Конъюнктивная форма

Когда функция равна 0, то для всех наборов переменных, при которых это происходит, записывается сумма. Однако переменные, которые имеют значение 1, берутся с отрицанием.

Алгоритм приведения к СДНФ и СКНФ

Рассмотрим логическую функцию в виде таблицы истинности.

Алгоритм построения СДНФ по таблице истинности выглядит следующим образом:

1. Отметить наборы переменных, значение функции F на которых равно 1.
2. Записать для всех отмеченных наборов конъюнкцию всех переменных так: если значение некоторой переменной в этом наборе равняется 1, в конъюнкцию включается сама переменная. В случае противного результата, в конъюнкцию включается ее отрицание.
3. Связать полученные конъюнкции операциями дизъюнкции.

Построим совершенную ДНФ:

И как результат получим следующую СДНФ:

(F(x_1,;x_2,;x_3);=;(overline{x_1}wedgeoverline{x_2}wedgeoverline{x_3});vee(overline{x_1};wedge;overline{x_2};wedge;x_3);vee(x_1;wedge;overline{x_2};wedge;overline{x_3});vee;(x_1;wedge;overline{x_2};wedge;x_3);vee;(x_1;wedge;x_2;wedge;x_3))

Алгоритм построения СКНФ по таблице истинности выглядит следующим образом:

1. Отметить в таблице истинности наборы переменных, значение функции F на которых равно 0.
2. Записать для всех отмеченных наборов дизъюнкцию всех переменных — в том случае, когда значение некоторой переменной в этом наборе равняется 0, в дизъюнкцию включается сама переменная, если происходит наоборот, то в дизъюнкцию включается ее отрицание.
3. Связать полученные дизъюнкции операциями конъюнкции.

Построим совершенную КНФ:

И как результат получим следующую СКНФ:

(F(x_1,;x_2,;x_3);=;(x_1;vee;overline{x_2};vee;x_3);wedge;(x_1;vee;overline{x_2};vee;overline{x_3});wedge;(overline{x_1};vee;overline{x_2};vee;x_3))

Рассмотрев алгоритмы построения СДНФ и СКНФ ясно, что в случае подавляющей части наборов значений переменных функция равна 0, то значительно легче построить и СДНФ для получения ее формулы, а в обратном случае — СКНФ.

Доказательство эквивалентности

Эквивалентность — понятие, означающее, что две и более формул представляют одну и ту же функцию. Для обозначения эквивалентности могут использоваться следующие знаки: ( equiv , = , Leftrightarrow .)

Доказать эквивалентность формул можно двумя способами.

1. Первый заключается в построении и сравнении таблиц истинности обеих функций. В этом случае результат будет истинным только в том случае, когда оба высказывания либо ложны, либо истинны.
2. Второй вариант — метод эквивалентных преобразований. Суть этого метода —  построение цепи эквивалентных формул на основе ранее доказанных эквивалентностей. 

Далее следуют примеры с некоторыми эквивалентными преобразованием в булевой алгебре и новыми эквивалентностями, которые возможно получить с их помощью. 

Поглощение

(x;vee;xy;=;x)

(x(x;vee;y);=;x;)

Доказательство эквивалентности:

(x;vee;xy;=;x;cdot;l;vee;xy;=;x(l;vee;y);=;x)

(x(x;vee;y);=;xx;vee;xy;=;x;vee;xy;=;x)

Склеивание

(xy;vee;xoverline y;=;x)

Доказательство эквивалентности:

(xy;vee;xoverline y;=;x(y;vee;overline y);=;x;cdot;l;=;x)

Обобщенное склеивание

(xz;vee;yoverline z;vee;xy;=;xz;vee yoverline z)

Доказательство эквивалентности

(xz;vee;yoverline z;vee;xy;=;xz;vee yoverline z;vee;xyz;vee;xyoverline z;=;xz;vee;yoverline z)

Расщепление

(x;vee;overline xy;=;x;vee;y)

Доказательство эквивалентности

(x;vee;overline xy;=;xy;vee;xoverline y;vee;overline xy;=;xy;vee;xoverline y;vee;xy;vee;overline xy;=;x;cdot;l;;vee;y;cdot;l;=;x;vee;y)

Примеры с решением

Задача №1

Приведите к СКНФ (((((Arightarrow B)rightarrowoverline A)rightarrowoverline B)rightarrowoverline C)).

Через применение закона де Моргана и правила( x;rightarrow;y;=;overline x;vee;y) упростим выражения:

(F;=;((((A;rightarrow;B);rightarrow;overline A);rightarrowoverline B);rightarrow;overline C);=;(((overline A;vee;B);rightarrow;overline A);rightarrow;overline B);rightarrowoverline C;);=)

(=;((((overline A;vee;B);rightarrowoverline A);rightarrowoverline B);rightarrow;overline C);=;((overline{((overline A;vee;B)};vee;overline A);rightarrowoverline B);rightarrowoverline C);=)

(=(((overline A;vee;B);vee;overline A);rightarrow;overline B);rightarrow;overline C);=((overline{(overline{(overline Avee B)};vee;overline A;)};vee;overline B);rightarrow;overline C);=)

(=;(overline{(overline{(overline{(overline A;vee;B)};vee;overline A)};vee;overline B)};vee;overline C);=;(((A;vee;B);vee;overline A);vee;overline B);vee;overline C;=)

(=;((overline{(overline A;vee;B)};vee;overline A);wedge;B);vee;overline C;=;(((A;wedge;overline B);vee;overline A);wedge B);vee;overline C;=)

(=((Aoverline B;vee;overline A);vee;overline A);wedge;B);vee;overline C;=(((A;wedge;overline B);vee;overline A);wedge;B);vee;overline C;=)

(=;((Aoverline B;vee;overline A);wedge;B);vee;overline C;=;(Aoverline BB;vee;overline AB);vee;overline C;=;(0;vee;overline AB);vee;overline C;=;overline AB;vee;overline C)

Далее приведем выражение к КНФ:

(F;=;overline AB;vee;overline C;;=;(overline A;vee;overline C);wedge;(B;vee;overline C))

Далее приведем выражение к СКНФ:

(F;=;(overline A;vee;overline C);wedge;(B;vee;overline C);=;(overline A;vee:overline C;vee;Boverline B);wedge;(Aoverline A;vee;B;v;overline C);=)

(=;(overline A;vee;overline C;vee;B);wedge;(A;vee;B;vee;overline C);wedge;(overline A;vee;overline C;vee;overline B);wedge;(overline A;vee;B;;overline C))

Задача №2

Используя эквивалентные преобразования, постройте ДНФ функции (f(widetilde x^n))

(f(widetilde x^3) = (overline{x_1}x_2;oplus;x_3);cdot;(x_1x_3;rightarrow;x_2))

Преобразуем функцию:

(f(widetilde x^3) = (overline{x_1}x_2;oplus;x_3);cdot;(x_1x_3;rightarrow;x_2) = ((overline{x_1}x_2;cdot;overline{x_3};);vee;(overline{overline{x_1}x_2};cdot;x_3));cdot;(overline{x_1x_3};vee;x_2);=)

(=;((overline{x_1}x_2overline{x_3});vee;((overline{overline{x_1}};vee;overline{x_2});x_3);cdot;(overline{x_1};vee;overline{x_3};vee;x_2);=;((overline{x_1}x_{2;}overline{x_3});vee;((x_1;vee;overline{x_2});x_3);cdot;(overline{x_1};vee;overline{x_3};vee;x_2);=)

(=;(overline{x_1}x_2overline{x_3};vee;x_1x_3;vee;overline{x_2}x_3);cdot;(overline{x_1};vee;overline{x_3};vee;x_2);=)

(=(overline{x_1}x_2overline{x_3};cdot(x_1vee x_3vee x_2);vee;x_1x_3;cdot;(overline{x_1};vee;overline{x_3};vee;x_2);vee;overline{x_2}x_3;cdot;(overline{x_1};vee;overline{x_3};vee;x_2));=)

(=;(overline{x_1}x_2overline{x_3};vee;(x_1;x_3overline{x_1};vee;x_1x_3overline{x_3};vee;x_1x_3x_2);vee;(overline{x_2}x_3overline{x_1};vee;overline{x_2}x_3overline{x_3};vee;overline{x_2}x_3x_2);=)

(=;(overline{x_1}x_2overline{x_3};vee;0;vee;0;vee;x_1x_2x_3;vee;overline{x_1}overline{x_2}x_3;vee;0;vee;0);=)

(=;overline{x_1}x_2overline{x_3};vee;x_1x_2x_3;vee;overline{x_1}overline{x_2}x_3)

Нормальная форма логической формулы не содержит знаков импликации, эквивалентности и отрицания неэлементарных формул.

Нормальная форма существует в двух видах:

1. конъюнктивная нормальная форма (КНФ) — конъюнкция нескольких дизъюнкций, например, $left(Avee overline{B}vee Cright)wedge left(Avee Cright)$;

2. дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — дизъюнкция нескольких конъюнкций, например, $left(Awedge overline{B}wedge Cright)vee left(Bwedge Cright)$.

СКНФ

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — это КНФ, удовлетворяющая трем условиям:

• не содержит одинаковых элементарных дизъюнкций;

• ни одна из дизъюнкций не содержит одинаковых переменных;

• каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую переменную из входящих в данную КНФ.

Любая булева формула, которая не является тождественно истинной, может быть представлена в СКНФ.

Правила построения СКНФ по таблице истинности

Для каждого набора переменных, при котором функция равна 0, записывается сумма, причем переменные, которые имеют значение 1, берутся с отрицанием.

СДНФ

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — это ДНФ, удовлетворяющая трем условиям:

• не содержит одинаковых элементарных конъюнкций;

• ни одна из конъюнкций не содержит одинаковых переменных;

• каждая элементарная конъюнкция содержит каждую переменную из входящих в данную ДНФ, к тому же в одинаковом порядке.

Любая булева формула, которая не является тождественно ложной, может быть представлена в СДНФ, к тому же единственным образом.

Правила построения СДНФ по таблице истинности

Для каждого набора переменных, при котором функция равна 1, записывается произведение, причем переменные, которые имеют значение 0 берут с отрицанием.

Примеры нахождения СКНФ и СДНФ

«Построение СКНФ и СДНФ по таблице истинности» 👇

Для любой логической формулы можно построить бесконечное количество равносильных ей формул. Для этого потребуется произвести некоторое количество тождественных преобразований. Одной из главных задач в алгебре логики является нахождение канонических форм формул. Проще говоря таких, которые построены по одному канону (правилу).

Форма представления какой-либо логической функции будет считаться нормальной, если она выражена через конъюнкцию, дизъюнкцию, а также отрицание переменных. Среди всех нормальных форм можно выделить совершенно нормальные. Это тот случай, когда функция может быть записана только одним единственным способом.

Классы СКНФ и СДНФ

В при решении задач в алгебре логики особая роль отводится классам конъюнктивных и дизъюнктивных совершенно нормальных форм. Они основаны на стандартных понятиях элементарной конъюнкции и дизъюнкции.

СКНФ

Форма любой логической формулы нормального типа не может содержать знаки эквивалентности, импликации, а также отрицания неэлементарных формул. Она может существовать только в двух видах:

• КНФ – конъюнктивная нормальная форма, представляющая собой конъюнкцию нескольких дизъюнкций. К примеру, [(A vee bar{B} vee C) wedge(A vee C)];
• ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма, которая является дизъюнкцией нескольких конъюнкций. К примеру, [(A wedge bar{B} wedge C) vee(A wedge C)].

Правила построения СКНФ

В алгебре логики для любого набора переменных, при котором конечное значение функции становится нулевым, можно записать сумму. При этом переменные, имеющие числовые значение больше единицы, должны браться с отрицательным знаком.

Построение должно осуществляться по следующему алгоритму:

1. В таблице нужно отметить такие наборы переменных, при которых [f=1].
2. Для каждого выбранного набора переменных записываем КНФ, при этом если значение какой-либо из них равно 1, то она включается в неизменном виде, иначе – ее отрицание.
3. На последнем этапе все полученные конъюнкции следует связать операциями дизъюнкции.

СНДФ

Любую булеву формулу в алгебре логики, не являющуюся тождественно ложной, можно представить в виде СНДФ, но только в одном единственном виде.

Правила построения СДНФ

Если существует определённый набор переменных, при котором значение функции равно единице, то можно записать произведения, учитывая, что переменные, значение которых больше нуля, нужно брать с отрицанием.

Алгоритм построения будет следующим:

1. В таблице отмечаются все те наборы переменных, при которых [f=0]
2. Для каждого отмеченного набора всех переменных записывается ДНФ, при этом если значение какой-либо из них равно нулю, то включается сама переменная, в любом другом случае ее нужно инвертировать.
3. В конце все полученные дизъюнкции связываются друг с другом операциями конъюнкции.

Примеры нахождения СКНФ и СДНФ

Рассмотрим несколько примеров нахождения СКНФ и СДНФ с помощью данных таблицы истинности.

Известно два способа задания логических
функций: с помощью формулы и с помощью
таблицы истинности. По формуле легко
составляется таблица. На практике при
конструировании различных электронных
устройств часто возникает обратная
задача – от таблицы истинности перейти
к формуле, чтобы на ее основе построить
функциональную схему.

Введем следующие определения:

Элементарной
конъюнкцией называется конъюнкция
нескольких переменных, взятых с отрицанием
или без отрицания, причем среди переменных
могут быть одинаковые.

Элементарной
дизъюнкцией называется дизъюнкция
нескольких переменных, взятых с отрицанием
или без отрицания, причем среди переменных
могут быть одинаковые.

Всякую дизъюнкцию
элементарных конъюнкций назовем
дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

Всякую конъюнкцию
элементарных дизъюнкций назовем
конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Совершенной
дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ)
называется ДНФ, в которой нет одинаковых
элементарных конъюнкций и все конъюнкции
состоят из одного и того же набора
переменных, в который каждая переменная
входит только один раз (возможно, с
отрицанием).

Совершенной
конъюнктивной нормальной формой (СКНФ)
называется КНФ, в которой нет одинаковых
элементарных дизъюнкций и все дизъюнкции
состоят из одного и того же набора
переменных, в который каждая переменная
входит только один раз (возможно, с
отрицанием).

Приведем примеры формул, соответствующих
и не соответствующих этим определениям:

НАЗВАНИЕ ФОРМУЛЫ В ОПРЕДЕЛЕНИИ	Формула, соответствующая определению	ФОРМУЛА, НЕ СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ОПРЕДЕЛЕНИЮ
Элементарная дизъюнкция
Элементарная конъюнкция
ДНФ		ДНФ можно построить для всякой формулы (путем преобразования)
КНФ		КНФ можно построить для всякой формулы (путем преобразования)
СДНФ
СКНФ

Любую функцию,
кроме констант 0 и 1, можно представить
в виде как СДНФ, так и СКНФ.

Этот факт является теоремой алгебры
логики. Из него следует, что любая формула
(кроме констант 0 и 1) может быть преобразован
к виду как СДНФ, так и СКНФ. Константа 0
может быть представлена только СКНФ
(),
а константа 1 – только СДНФ ().
Из вышесказанного следует, что если
надо построить формулу некоторой функции
по таблице истинности этой функции, то
всегда можно получить СКНФ или СДНФ
этой функции.

Алгоритм получения
СДНФ по таблице истинности:

1. Отметить те строчки таблицы истинности,
   в последнем столбце которых стоят 1:

X	Y	F(X,Y)
0	0	0
0	1	1*
1	0	1*
1	1	0

1. Выписать для каждой отмеченной строки
   конъюнкциювсех переменных следующим
   образом: если значение некоторой
   переменной в данной строкеравно 1,
   то в конъюнкцию включатьсаму эту
   переменную, еслиравно 0, то ееотрицание:

– для 2-й строки;

– для 3-й строки.

1. Все полученные конъюнкции связать в
   дизъюнкцию:
   .

Алгоритм получения
СКНФ по таблице истинности:

1. Отметить те строки таблицы истинности,
   в последнем столбце которых стоит 0:

X	Y	F(X,Y)
0	0	0*
0	1	1
1	0	1
1	1	0*

1. Выписать для каждой отмеченной строки
   дизъюнкциювсех переменных следующим
   образом: если значение некоторой
   переменной в данной строкеравно 0,
   то в дизъюнкцию включатьсаму эту
   переменную, еслиравно 1, то ееотрицание:

– для 1-й строки;

– для 4-й строки.

1. Все полученные дизъюнкции связать в
   конъюнкцию:
   .

Покажем, что полученные по двум алгоритмам
СДНФ и СКНФ эквивалентны. Преобразуем
СКНФ по правилам алгебры логики:
.

Примечание: для нахождения
формулы по таблице истинности рекомендуется
использовать тот из двух алгоритмов, в
котором в таблице помечается меньше
строк.

1. ТИПОВЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ
   УСТРОЙСТВА ЭВМ.

К типовым логическим устройствам ЭВМ
относятся сумматоры, полусумматоры,
триггеры, счетчики, регистры, шифраторы,
дешифраторы.

1. СУММАТОРЫ.

Сумматор является
основным узлом арифметико-логического
устройства ЭВМ и служит для суммирования
чисел посредством поразрядного сложения.

Сумматор выполняет сложение многозначных
двоичных чисел. Он представляет собой
последовательное соединение одноразрядных
двоичных сумматоров, каждый из которых
осуществляет сложение в одном разряде.
При этом если сумма двух цифр в данном
разряде больше или равна основанию
используемой системы счисления, то
возникает перенос старшего разряда в
соседний сумматор.

Одноразрядный сумматор должен иметь
два выхода: для суммы и для переносимого
значения. У него может быть два или три
(для складываемых значений и значения
переноса) входа.

Одноразрядный
двоичный сумматор на два входа и два
выхода называется одноразрядным
полусумматором.

Одноразрядный
двоичный сумматор на три входа и два
выхода называется одноразрядным
сумматором на три входа.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #