Как найти совместную функцию распределения случайных величин

Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины

Законом
распределения
дискретной двумерной
случайной величиныназывают перечень возможных значений
этой величины, т.е. пар чисел,
гдеи
возможные значения величини,
соответственно, и вероятностейих совместного появления.

Двумерная дискретная
случайная величина
задается в видетаблицы распределения
вида:

где первая строка
таблицы указывает возможные значения
составляющей
,
а первый столбец – все возможные значения
составляющей.

Так как события
(;)
образуют полную группу, то.

Зная закон
распределения двумерной дискретной
случайной величины, можно найти законы
распределения каждой из ее составляющих.
Так, например, вероятность того, что
примет значение,
равна.

Совместная
функция распределения двух случайных
величин

Функция
,
определяющая для каждой пары чиселвероятность того, чтопримет значение меньшее,
и при этомпримет значение меньшее,
называетсясовместной функцией
распределения
двух случайных
величин=.

Геометрически это
равенство можно истолковать так:
– это вероятность того, что случайная
точка ()
попадет в бесконечный квадрант с вершиной
(),
расположенный левее и ниже этой вершины.

Свойства совместной функции распределения двух случайных величин

  1. Значения
    совместной функции распределения
    удовлетворяют неравенству:

.

  1. –неубывающая
    функция по каждому аргументу, т.е.

,
если
;

,
если
.

Совместная функция
распределения имеет следующие предельные
значения:

;;

;.

  1. При
    илисовместная функция распределения
    системы становится функцией распределения
    одной из составляющих:;

Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины

Непрерывную
двумерную случайную величину можно
задать с помощью плотности распределения.
Плотность совместного распределения
вероятностей
двумерной непрерывной случайной величины
(,)
– это вторая смешанная частная производная
от функции распределения:

.

Зная плотность
совместного распределения
,
можно найти совместную функцию
распределенияпо формуле

следующей из
определения плотности распределения
двумерной непрерывной случайной величины
(,).

Смысл плотности
совместного распределения вероятностей:
вероятность попадания случайной точки
в прямоугольник (с вершиной в точке
и сторонамииравна произведению,
когда стороны этого прямоугольника
стремятся к нулю.

В связи с этим,
вероятность попадания случайной точки
в произвольную область D
равна двойному интегралу по областиDот функции:

Свойства двумерной плотности вероятности

  1. Двумерная плотность
    вероятности неотрицательна:
    .

  2. Двойной несобственный
    интеграл с бесконечными пределами от
    двумерной плотности вероятности равен
    единице:.

Независимые случайные величины

Две случайные
величины называются независимыми,
если закон распределения одной из них
не зависит от того, какие возможные
значения приняла другая величина.

Теорема.
Для того чтобы случайные величиныибыли
независимыми, необходимо и достаточно,
чтобы функция распределения системы
(,)
была равна произведению функций
распределения составляющих:.

Следствие.Для того чтобы случайные величиныибыли
независимыми, необходимо и достаточно,
чтобы плотность совместного распределения
системы (,)
была равна произведению плотностей
распределения составляющих:.

Двумерная непрерывная случайная величина

  • Краткая теория
  • Примеры решения задач

Краткая теория


Двумерной называют случайную величину

, возможные значения
которой есть пары чисел

. Составляющие

 и

, рассматриваемые
одновременно, образуют систему двух случайных величин. Двумерную величину
геометрически можно истолковать как случайную точку

 на плоскости

 либо как случайный вектор

.

Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие
между возможными значениями и их вероятностями.

Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства

Функцией распределения двумерной случайной величины

 называют функцию

, определяющую для каждой
пары чисел

 вероятность того, что

 примет значение, меньшее

, и при этом

 примет значение, меньшее

.

Свойство 1.

Значения
функции распределения удовлетворяют двойному неравенству:

Свойство 2.

 есть неубывающая функция по каждому аргументу,
то есть:

 если

  если

Свойство 3.

Имеют место предельные соотношения:

1)

2)

3)

4)

Свойство 4.

При

 функция распределения системы становится
функцией распределения составляющей

:

При

 функция распределения системы становится
функцией распределения составляющей

:

Плотность распределения двумерной случайной величины и ее свойства

Плотностью совместного распределения вероятностей

 двумерной непрерывной случайной величины

 называют вторую смешанную частную производную
от функции распределения:

Зная
плотность совместного распределения

 можно найти функцию распределения

 по формуле:

Свойство 1.

Двумерная
плотность вероятности неотрицательна:

Свойство 2.

Двойной
несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен единице:

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Безусловные и условные законы распределения составляющих

Пусть
известна плотность совместного распределения вероятностей системы двух
случайных величин. Найдем плотности распределения каждой из составляющих.

Аналогично
находится плотность распределения составляющей

:

Итак,
плотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с
бесконечными пределами от плотности совместного распределения системы, причем
переменная интегрирования соответствует другой составляющей.

Пусть

  – непрерывная двумерная случайная величина.

Условной
вероятностью

 распределения составляющих

 при данном значении

 называют отношение плотности совместного
распределения

 системы

 к плотности распределения

 составляющей

:

Аналогично
определяется условная плотность составляющей

 при данном значении

:

Если
известна плотность совместного распределения

, то условные плотности
составляющих могут быть найдены по формулам:

Эти
формулы можно записать в виде:

Аналогично
определяется условная плотность составляющей

 при данном значении

:

То есть
умножая закон распределения одной из составляющих на условный закон
распределения другой составляющей, найдем закон распределения системы случайных
величин.

Смежные темы решебника:

  • Двумерная дискретная случайная величина
  • Линейный выборочный коэффициент корреляции
  • Парная линейная регрессия и метод наименьших квадратов

Примеры решения задач


Пример 1

Найти
плотность совместного распределения f(x,y) системы случайных величин (X,Y) по
известной функции распределения:

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

По определению плотности совместно
распределения:

Искомая плотность совместного распределения:


Пример 2

Найти
функцию распределения системы случайных величин F(x,y) по известной плотности
совместного распределения f(x,y):

Решение

Воспользуемся
формулой:

В нашем
случае:

Ответ:


Пример 3

Двумерная
случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в
треугольнике ABC.  Определить функции плотности распределения
компонент этой случайной величины f(x), f(y), их математические
ожидания M(X), M(Y), дисперсии D(X), D(Y),
коэффициент корреляции rxy. Выяснить, являются ли
случайные величины X и Y независимыми?

A(0;0),B(-1;1),C(1;1)

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

где

 – площадь треугольника

Разделим
область

 на две равные части вдоль оси

, тогда из условия:

или

Тогда
плотность двумерной случайной величины

:

Вычислим
плотность составляющей

:

при

:

Откуда
плотность составляющей

:

Вычислим
плотность составляющей

:

при

Плотность
составляющей

:

Найдем
условную плотность составляющей

:

при 

Следовательно,
случайные величины

 и

 зависимы

Найдем
математическое ожидание случайной величины

:

Найдем
дисперсию случайной величины

:

Найдем
математическое ожидание случайной величины

:

Найдем
дисперсию случайной величины

:

Найдем
математическое ожидание двумерной случайной величины

:

Тогда
ковариация:

Значит
коэффициент корреляции:

Следовательно,
случайные величины

 и

 – зависимые, но некоррелированные


Пример 4

Двумерная
случайная величина (X,Y) имеет плотность
распределения:

Найти
вероятность попадания значения (X,Y) в область x1≤x≤x2,
y1≤y≤y2, вероятность попадания значения X в
интервал x1≤x≤x2, математическое ожидание M[X] и
условное математическое ожидание M[Y⁄X=x].

a=8, b=2, x1=6, x2=9, y1=0, y2=4

Решение

Найдем
вероятность попадания в область

 по формуле:

При
вычислении интеграла учитывается та часть области

, где

, т.е.

Плотность
вероятности для составляющей

 имеет вид:

Если

 или

, то

 и

.   При 

 находим:

Таким
образом, плотность имеет вид:

Тогда:

Условное математическое ожидание

 определяется с
помощью условной плотности распределения

 составляющей

Получаем:

Искомое
математическое ожидание:

  • Краткая теория
  • Примеры решения задач

Разумеется, на каждом вероятностном пространстве Многомерные случайные величины и их свойства содержащем хотя бы один элементарный исход Многомерные случайные величины и их свойства можно определить не одну случайную величину. На практике необходимость учета непредсказуемых воздействий также весьма редко приводит к рассмотрению только одной случайной величины. Обычно выделяют несколько случайных компонент и на их основе строят модель исследуемого явления. Классическим примером такого рода, описанным многими великими художниками слова, снова являются азартные игры. Игрок, даже имея самое твердое намерение сыграть только один раз, впадал в азарт (откуда и пошло само название «азартные игры») и, как правило, не уходил из-за игорного стола, пока совсем не разорялся. Здесь суммарный выигрыш игрока состоит из отдельных случайных величин — выигрышей его в каждой партии.

Итак, в этой главе мы обобщим результаты предыдущей главы на случай нескольких случайных величин. Естественно, для того чтобы над случайными величинами можно было производить различные действия (сложение, вычитание, умножение и т.п.), необходимо их задание на одном вероятностном пространстве.

Многомерная случайная величина

Пусть на одном и том же вероятностном пространстве Многомерные случайные величины и их свойства задано п случайных величин Многомерные случайные величины и их свойства Совокупность случайных величин Многомерные случайные величины и их свойства назовем многомерной (n-мерной) случайной величиной или случайным вектором.

В дальнейшем для сокращения записи будем пользоваться также обозначением Многомерные случайные величины и их свойства

Пример:

На скачках, в которых участвуют 2 лошади, п человек заключают пари (между собой, группами и т.д.). Считая, что результат скачек случаен, причем с вероятностью Многомерные случайные величины и их свойства происходит элементарный исход Многомерные случайные величины и их свойства — к финишу первой пришла лошадь с номером i получаем, что каждому элементарному исходу Многомерные случайные величины и их свойства соответствует вектор Многомерные случайные величины и их свойства компонентами которого являются выигрыши 1-го, …, n-го участников пари.

Пример:

Рассмотрим схему Бернулли, состоящую из п испытаний. Каждому элементарному исходу Многомерные случайные величины и их свойства поставим в соответствие число Многомерные случайные величины и их свойства равное нулю, если в последовательности УНН…У на i-м месте стоит буква Н (в i-м испытании произошла неудача), и единице, если стоит буква У (произошел успех). Тогда случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства есть не что иное, как число успехов в i-м испытании. Совокупность случайных величин Многомерные случайные величины и их свойства представляет собой n-мерный случайный вектор. Нетрудно видеть, что в данном случае существует взаимно однозначное соответствие между элементарными исходами Многомерные случайные величины и их свойства и значениями случайного вектора Многомерные случайные величины и их свойства Действительно, элементарному исходу Многомерные случайные величины и их свойствасоответствует значение (1,0,0,…,1) случайного вектора Многомерные случайные величины и их свойства и, наоборот, случайный вектор Многомерные случайные величины и их свойства принимает значение (1,0,0,…, 1) только для элементарного исхода Многомерные случайные величины и их свойства Ясно также, что суммарное число успехов Многомерные случайные величины и их свойства испытаниях Бернулли (см. пример 2 в гл. 5) представляет собой сумму чисел успехов в каждом испытании: Многомерные случайные величины и их свойства

Пример:

Двумерной случайной величиной является вектор Многомерные случайные величины и их свойствагде Многомерные случайные величины и их свойства сумма очков, выпавших при бросании двух игральных костей, а Многомерные случайные величины и их свойства — сумма их квадратов. В этом случае различным элементарным исходам могут соответствовать одинаковые значения случайного вектора Многомерные случайные величины и их свойства Например, двум элементарным исходам Многомерные случайные величины и их свойства соответствует одно и то же значение вектора Многомерные случайные величины и их свойства

Пример:

Двумерными случайными величинами являются декартовы Многомерные случайные величины и их свойства или полярные Многомерные случайные величины и их свойства координаты точки падения частицы на плоский экран (см. пример 5 в гл.5). Случайные величины Многомерные случайные величины и их свойства связаны соотношениями: Многомерные случайные величины и их свойства

Пример:

Широта Многомерные случайные величины и их свойства и долгота Многомерные случайные величины и их свойства места падения метеорита на Землю представляют собой двумерный случайный вектор Многомерные случайные величины и их свойства В эту модель можно ввести также третью координату Многомерные случайные величины и их свойства — время от начала наблюдений до момента падения первого метеорита на Землю Многомерные случайные величины и их свойства— координаты падения этого метеорита), если рассматривать процесс, протекающий во времени.

Совместная функция распределения

Функцией распределения (n-мерного) случайного вектора Многомерные случайные величины и их свойства называется функция Многомерные случайные величины и их свойства значение которой в точке Многомерные случайные величины и их свойства равно вероятности совместного осуществления (пересечения) событий Многомерные случайные величины и их свойства т.е.

Многомерные случайные величины и их свойства

Функцию Многомерные случайные величины и их свойства называют также совместной функцией распределения случайных величин Многомерные случайные величины и их свойства

Для сокращения записи в дальнейшем для функции распределения Многомерные случайные величины и их свойства будем использовать также обозначения Многомерные случайные величины и их свойства

Далее мы будем в основном рассматривать двумерный случай. В большинстве приводимых далее результатов переход от двумерного к общему n-мерному случаю не должен вызвать каких-либо трудностей, а там, где могут возникнуть затруднения, приводятся дополнительные пояснения.

Многомерные случайные величины и их свойства

Совместная функция распределения двумерной случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства по определению, представляет собой не что иное, как вероятность попадания точки с координатами Многомерные случайные величины и их свойства в область, заштрихованную на рис. 1.

Выведем свойства совместной функции распределения, аналогичные свойствам функции распределения одномерной случайной величины.

Как и прежде, поскольку Многомерные случайные величины и их свойства— вероятность, то

Многомерные случайные величины и их свойства

Следующее свойство является очевидным обобщением свойства 2 функции распределения одномерной случайной величины:

Многомерные случайные величины и их свойства — неубывающая функция по каждому из аргументов Многомерные случайные величины и их свойства

Поскольку события Многомерные случайные величины и их свойства невозможны, а в результате пересечения невозможного события с любым событием, как мы знаем, также получается невозможное событие, то

Многомерные случайные величины и их свойства

События Многомерные случайные величины и их свойства так же, как и их пересечение, достоверны. Значит,

Многомерные случайные величины и их свойства

Найдем вероятность попадания двумерной случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства в прямоугольник Многомерные случайные величины и их свойства (рис. 2). Для этого сначала определим вероятность попадания в полуполосу Многомерные случайные величины и их свойства Но эта вероятность представляет собой вероятность попадания в квадрант Многомерные случайные величины и их свойства за вычетом вероятности попадания в квадрант Многомерные случайные величины и их свойства т. е.

Многомерные случайные величины и их свойства

Теперь осталось заметить, что вероятность попадания в прямоугольник Многомерные случайные величины и их свойства есть вероятность попадания в полуполосу Многомерные случайные величины и их свойства из которой вычтена вероятность попадания в полуполосу Многомерные случайные величины и их свойства равная Многомерные случайные величины и их свойства Окончательно получаем

Многомерные случайные величины и их свойства

Подобно одномерному случаю доказывается и следующее свойство:

Многомерные случайные величины и их свойстванепрерывная слева по каждому из аргументов Многомерные случайные величины и их свойства функция.

Наконец, последнее свойство устанавливает естественную связь между распределением случайного вектора Многомерные случайные величины и их свойства и распределениями

Многомерные случайные величины и их свойства

случайных величин Многомерные случайные величины и их свойства Событие Многомерные случайные величины и их свойства достоверно, поэтому Многомерные случайные величины и их свойства Аналогично Многомерные случайные величины и их свойства Значит,

Многомерные случайные величины и их свойства

Отметим, что, в отличие от одномерного случая, не любая функция Многомерные случайные величины и их свойства удовлетворяющая условиям 2-4 и 6, может являться совместной функцией распределения некоторой двумерной случайной величины. Для того чтобы это было возможно, необходимо потребовать также выполнение для любых Многомерные случайные величины и их свойства следующего дополнительного условия:

Многомерные случайные величины и их свойства

Дискретные двумерные случайные величины

Двумерная случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства называется дискретной, если каждая из случайных величин Многомерные случайные величины и их свойства является дискретной. Ясно, что если случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства может принимать только значения Многомерные случайные величины и их свойства (для простоты мы ограничимся только конечным множеством значений), а случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства — значения Многомерные случайные величины и их свойства то двумерный случайный вектор Многомерные случайные величины и их свойства может принимать только пары значений Многомерные случайные величины и их свойства

Так же, как и в одномерном случае, распределение двумерной дискретной случайной величины естественно описать с помощью перечисления всевозможных пар Многомерные случайные величины и их свойства значений случайного вектора Многомерные случайные величины и их свойства и соответствующих вероятностей, с которыми эти пары значений принимают случайные величины Многомерные случайные величины и их свойства Такое перечисление удобно реализовать таблицей (табл. 1) с двумя входами. В верхней строке этой таблицы перечислены все возможные значения Многомерные случайные величины и их свойства случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства а в левом столбце — значения Многомерные случайные величины и их свойства случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства На пересечении столбца Многомерные случайные величины и их свойства со строкой Многомерные случайные величины и их свойства приведена вероятность Многомерные случайные величины и их свойства совместного осуществления событий Многомерные случайные величины и их свойства К этой таблице обычно добавляют еще одну строку Многомерные случайные величины и их свойства и столбец Многомерные случайные величины и их свойства На пересечении столбца Многомерные случайные величины и их свойства со строкой Многомерные случайные величины и их свойствазаписывают число Многомерные случайные величины и их свойства Но Многомерные случайные величины и их свойства представляет собой не что иное, как вероятность случайной величине Многомерные случайные величины и их свойства принять значение Многомерные случайные величины и их свойства т.е. Многомерные случайные величины и их свойства Таким образом, первый и последний столбцы таблицы дают нам ряд распределения случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства Аналогично в строке Многомерные случайные величины и их свойства а первая и последняя строки в совокупности задают ряд распределения случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства Для контроля правильности составления таблицы рекомендуется просуммировать элементы последней строки и последнего столбца. Если хотя бы одна из этих сумм не будет равна единице, то это означает, что при составлении таблицы была допущена ошибка.

Многомерные случайные величины и их свойства

По табл. 1 нетрудно определить функцию распределения Многомерные случайные величины и их свойства Ясно, что для этого необходимо просуммировать Многомерные случайные величины и их свойства по всем тем значениям Многомерные случайные величины и их свойства для которых Многомерные случайные величины и их свойства Иными словами,

Многомерные случайные величины и их свойства

Пример:

В схеме Бернулли производится 2 испытания с вероятностью успеха р и вероятностью неудачи Многомерные случайные величины и их свойства Выпишем распределение двумерного случайного вектора Многомерные случайные величины и их свойства — число успехов в i-м испытании (см. пример 2). Каждая из случайных величин Многомерные случайные величины и их свойства может принимать 2 значения: 0 или 1. Числа успехов в обоих испытаниях равны нулю тогда, когда произойдут две неудачи, а это в силу независимости испытаний происходит с вероятностью Многомерные случайные величины и их свойства Поэтому Многомерные случайные величины и их свойства и на пересечении столбца «О» со строкой «О» нужно написать Многомерные случайные величины и их свойства (табл. 2). Далее, Многомерные случайные величины и их свойства если в первом испытании произошел успех, а во втором — неудача, и, значит Многомерные случайные величины и их свойства Аналогично заполняется второй столбец: Многомерные случайные величины и их свойства Наконец, на пересечении столбца Многомерные случайные величины и их свойства и строки «0» должно стоять Многомерные случайные величины и их свойства а на пересечении столбца Многомерные случайные величины и их свойства и строки Многомерные случайные величины и их свойства Таким же образом выписываем последнюю строку: Многомерные случайные величины и их свойства Проверяем правильность составления таблицы: сумма элементов последнего столбца Многомерные случайные величины и их свойства последней строки Многомерные случайные величины и их свойства Значит, есть надежда, что таблица составлена правильно.

Построим теперь совместную функцию распределения Многомерные случайные величины и их свойства случайных величин Многомерные случайные величины и их свойства Поскольку при Многомерные случайные величины и их свойства или Многомерные случайные величины и их свойства нет ни одного элементарного исхода Многомерные случайные величины и их свойства для которого Многомерные случайные величины и их свойства или Многомерные случайные величины и их свойства то событие Многомерные случайные величины и их свойства невозможно и, значит, Многомерные случайные величины и их свойства при Многомерные случайные величины и их свойства Далее, если Многомерные случайные величины и их свойства то событие Многомерные случайные величины и их свойства эквивалентно событию Многомерные случайные величины и их свойства которое, как видно из табл.2, происходит с вероятностью Многомерные случайные величины и их свойстваЕсли же Многомерные случайные величины и их свойства то событие Многомерные случайные величины и их свойства совпадает с объединением

Многомерные случайные величины и их свойства

непересекающихся событий Многомерные случайные величины и их свойства тогда Многомерные случайные величины и их свойства Аналогично, Многомерные случайные величины и их свойствапри Многомерные случайные величины и их свойства и Многомерные случайные величины и их свойства Наконец, если Многомерные случайные величины и их свойства то событие Многомерные случайные величины и их свойства достоверно и, значит, Многомерные случайные величины и их свойства Функция распределения Многомерные случайные величины и их свойства представляет собой поверхность в трехмерном пространстве, и ее не очень удобно изображать графически. Тем не менее такая попытка предпринята на рис. 3.

Пример:

Игральная кость размечена таким образом, что сумма очков на противоположных гранях равна 7 (т.е. 1-6, 2-5, 3-4). Случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства — число очков, выпавших на верхней грани, случайная величина — Многомерные случайные величины и их свойства на нижней. И случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства могут принимать любые целые значения от 1 до 6 с одинаковой вероятностью 1/6. Однако если случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства приняла значение 1 (на верхней грани выпало 1 очко), то единственным значением случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства может быть только 6 (на нижней грани обязательно выпадет 6 очков). Значит, строка «1» табл.3 будет состоять из нулей, за исключением пересечения со столбцом «6»: на этом месте обязана стоять вероятность 1/6. Аналогично, строка «2» будет иметь единственный отличный от нуля элемент на пересечении со столбцом «5»,

Многомерные случайные величины и их свойства

также равный 1/6 (на верхней грани выпало 2 очка, на нижней 5) и т.д. Столбец Многомерные случайные величины и их свойства и строку Многомерные случайные величины и их свойства находим, суммируя соответствующие строки и столбцы; как и должно было быть, мы получаем в них одинаковые значения 1/6, соответствующие принципу классической вероятности.

Предоставляем интересующемуся читателю самостоятельно построить совместную функцию распределения случайных величин Многомерные случайные величины и их свойства

Непрерывные двумерные случайные величины

Непрерывной двумерной случайной величиной Многомерные случайные величины и их свойства называется такая двумерная случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства функция распределения которой Многомерные случайные величины и их свойства может быть представлена в виде

Многомерные случайные величины и их свойства

Здесь имеется в виду двукратный интеграл по области Многомерные случайные величины и их свойства имеет место теорема Фубини, которая говорит, что этот двукратный интеграл можно представить в виде повторного, причем в любом порядке:

Многомерные случайные величины и их свойства

Функция Многомерные случайные величины и их свойства называется совместной плотностью распределения случайных величин Многомерные случайные величины и их свойства

Так же, как и в одномерном случае, будем предполагать, что Многомерные случайные величины и их свойстванепрерывная (или «почти» непрерывная) функция по обоим аргументам. Тогда совместная плотность распределения представляет собой смешанную производную совместной функции распределения:

Многомерные случайные величины и их свойства

Нетрудно вывести следующие свойства совместной плотности распределения:

Многомерные случайные величины и их свойства

Кроме этих свойств, повторяющих свойства плотности распределения одномерной случайной величины, укажем дополнительные свойства совместной плотности распределения.

Пусть D — некоторая область на плоскости (рис.4).

Многомерные случайные величины и их свойства

Тогда, как следует из свойства 4, вероятность попадания двумерной случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства в малый прямоугольник Многомерные случайные величины и их свойства приближенно равна Многомерные случайные величины и их свойства Поскольку попадания в непересекающиеся прямоугольники являются несовместными событиями, то, для того чтобы найти полную вероятность попадания двумерной случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства в область D, нужно просуммировать вероятности попадания во все «малые» прямоугольники, входящие в область D. Переходя к пределу, получаем для Многомерные случайные величины и их свойства — вероятности попадания Многомерные случайные величины и их свойства в область D — формулу

Многомерные случайные величины и их свойства

Далее, из свойства 7 совместной функции распределения и определения совместной плотности распределения имеем

Многомерные случайные величины и их свойства

откуда, дифференцируя по x, получаем выражения для одномерных плотностей распределения случайных величин Многомерные случайные величины и их свойства

Многомерные случайные величины и их свойства

Пример:

Предположим, что в соответствии с принципом геометрической вероятности мы бросаем точку случайным образом в круг радиусом R с центром в начале координат (см. пример 10 в гл. 2). Пусть случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства — абсцисса точки падения, а Многомерные случайные величины и их свойства — ордината. Естественно, поскольку точка не может попасть за пределы круга, то Многомерные случайные величины и их свойства при Многомерные случайные величины и их свойства Для каждой области внутри круга (в частности, прямоугольника Многомерные случайные величины и их свойства вероятность попадания пропорциональна площади этой области (равна Многомерные случайные величины и их свойства где А — коэффициент пропорциональности). Поэтому из свойства 4 совместной плотности распределения имеем: Многомерные случайные величины и их свойства т.е. плотность распределения постоянна внутри

круга. Для определения постоянной А воспользуемся свойством 3 совместной плотности распределения. Поскольку Многомерные случайные величины и их свойства то

Многомерные случайные величины и их свойства

и, значит, Многомерные случайные величины и их свойства Итак,

Многомерные случайные величины и их свойства

Нетрудно найти плотность распределения случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства

Многомерные случайные величины и их свойства

Аналогичное выражение получается и для Многомерные случайные величины и их свойства

Для нахождения совместной функции распределения Многомерные случайные величины и их свойства заметим, что в силу определения совместной плотности распределения

Многомерные случайные величины и их свойства

где область D представляет собой пересечение квадранта Многомерные случайные величины и их свойства и круга Многомерные случайные величины и их свойства с точностью до множителя Многомерные случайные величины и их свойства совпадает с площадью области D, имеющей двойную штриховку на рис. 5.

Многомерные случайные величины и их свойства

Мы думаем, читатель достаточно хорошо знаком с основами интегрального исчисления и может определить площадь области D для различных Многомерные случайные величины и их свойства самостоятельно.

Предложенный выше вариант определения совместной плотности распределения Многомерные случайные величины и их свойства которую естественно назвать равномерной плотностью распределения внутри круга Многомерные случайные величины и их свойства реализует первое решение примера 10 в гл.2. Во втором решении вероятность попадания одна и та же для областей, имеющих одинаковые приращения полярных координат: радиуса Многомерные случайные величины и их свойства и угла Многомерные случайные величины и их свойства Переходя к декартовым координатам, получаем, что совместная плотность распределения Многомерные случайные величины и их свойства в этом случае должна иметь вид

Многомерные случайные величины и их свойства

Предоставляем читателю определить нормировочную константу В, а также плотности распределения случайных величин Многомерные случайные величины и их свойства совместную функцию распределения Многомерные случайные величины и их свойства

В заключение этого параграфа рассмотрим наиболее часто встречающееся на практике распределение непрерывной n-мерной случайной величины.

Многомерное нормальное (гауссово) распределение

Пусть Многомерные случайные величины и их свойства — положительно определенная симметрическая квадратная матрица порядка п (т. е. Многомерные случайные величины и их свойства а все собственные значения матрицы А положительны). Обозначим через Многомерные случайные величины и их свойства матрицу, обратную матрице А, а через Многомерные случайные величины и их свойства — квадратичную форму, порожденную матрицей Многомерные случайные величины и их свойства т.е. Многомерные случайные величины и их свойства — элементы матрицы Многомерные случайные величины и их свойства a Многомерные случайные величины и их свойстваi-я координата вектора Многомерные случайные величины и их свойства Пусть также задан n-мерный вектор Многомерные случайные величины и их свойства Скажем, что n-мерный непрерывный случайный вектор Многомерные случайные величины и их свойства распределен по (невырожденному) нормальному закону, если его совместная плотность распределения Многомерные случайные величины и их свойства (определяется точно так же, как и совместная плотность распределения одномерной случайной величины:

Многомерные случайные величины и их свойства

задается формулой

Многомерные случайные величины и их свойства

(Здесь Многомерные случайные величины и их свойства — определитель матрицы А.) Матрица А носит название ковариационной матрицы (матрицы ковариаций), а вектор m — вектора средних. Если матрица А (а значит, и матрица Многомерные случайные величины и их свойства) совпадает с единичной матрицей I, а вектор Многомерные случайные величины и их свойства то

Многомерные случайные величины и их свойства

Такая плотность распределения по аналогии с одномерным случаем называется плотностью стандартного n-мерного нормального распределения (соответственно Многомерные случайные величины и их свойства — функция стандартного п-мерного нормального распределения).

Пусть Многомерные случайные величины и их свойства — n-мерный случайный вектор, распределенный

по (произвольному) нормальному закону. Тогда п— 1-мерный случайный вектор Многомерные случайные величины и их свойства распределен также по нормальному закону с вектором средних Многомерные случайные величины и их свойства и ковариационной матрицей Многомерные случайные величины и их свойства получаемой из матрицы А вычеркиванием последних строки и столбца (это можно показать непосредственно с помощью многомерного аналога свойства 7 совместной плотности распределения двумерной случайной величины:

Многомерные случайные величины и их свойства

однако существенно проще для этой цели воспользоваться аппаратом характеристических функций, который частично будет рассмотрен нами в гл. 8). В частности, каждая из случайных величин Многомерные случайные величины и их свойства распределена по нормальному закону со средним Многомерные случайные величины и их свойства и средним квадратичным отклонением Многомерные случайные величины и их свойства

Рассмотрим теперь уравнение Многомерные случайные величины и их свойства которое для плотности распределения n-мерного нормального распределения эквивалентно уравнению

Многомерные случайные величины и их свойства

Для всех Многомерные случайные величины и их свойства это уравнение в силу положительной определенности матрицы Многомерные случайные величины и их свойства представляет собой уравнение n-мерного эллипсоида, называемого эллипсоидом рассеивания; его главные оси называются осями рассеивания (рис. 6).

Многомерные случайные величины и их свойства

Будем трактовать n-мерный случайный вектор Многомерные случайные величины и их свойства как координаты случайной точки Многомерные случайные величины и их свойства в n-мерном пространстве. Тогда, если мы выберем в n-мерном пространстве новую ортонормированную систему координат Многомерные случайные величины и их свойства связанную с главными осями, то в этой системе новые координаты Многомерные случайные величины и их свойства случайной точки Многомерные случайные величины и их свойства снова будут описываться n-мерным нормальным законом, имеющим нулевой вектор средних Многомерные случайные величины и их свойства и диагональную матрицу ковариаций Многомерные случайные величины и их свойства причем диагональные элементы Многомерные случайные величины и их свойства матрицы Многомерные случайные величины и их свойства будут пропорциональны квадратам коэффициентов растяжения Многомерные случайные величины и их свойства эллипсоида рассеивания по соответствующим осям рассеивания. Еще раз вводя новые координаты Многомерные случайные величины и их свойства получаем, что в этой последней системе Многомерные случайные величины и их свойства координаты случайной точки Многомерные случайные величины и их свойства будут распределены по стандартному нормальному закону. Таким образом, делая обратные преобразования, можно трактовать (невырожденный) нормально распределенный вектор Многомерные случайные величины и их свойства с произвольными вектором средних m и матрицей ковариаций А как координаты случайной точки Многомерные случайные величины и их свойства имеющей стандартное нормальное распределение, в некоторой (вообще говоря, не ортонормированной и даже не ортогональной) системе координат.

Разумеется, встречаются многомерные случайные величины, которые нельзя отнести ни к дискретному, ни к непрерывному типу. Так, у двумерной случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства одна координата (допустим Многомерные случайные величины и их свойства может быть дискретной, а другая Многомерные случайные величины и их свойства — непрерывной. Такую двумерную случайную величину удобно характеризовать набором функций Многомерные случайные величины и их свойства

Пример:

Придя в кассу «Аэрофлота», клиент застает очередь из Многомерные случайные величины и их свойства человек. Ясно, что Многомерные случайные величины и их свойства — дискретная случайная величина, принимающая значения 0, 1, 2,… Наряду с длиной очереди Многомерные случайные величины и их свойстваестественно рассмотреть и непрерывную случайную величину Многомерные случайные величины и их свойства — общее время, проведенное клиентом в кассе. Если интервалы времени между приходами клиентов независимы (см. параграф 6) и имеют одно и то же экспоненциальное распределение с параметром Многомерные случайные величины и их свойства а длительность обслуживания каждого клиента кассиром также распределена экспоненциально с параметром Многомерные случайные величины и их свойства то, как показано в теории массового обслуживания, совместное распределение случайных величин Многомерные случайные величины и их свойства в установившемся режиме работы задается функциями

Многомерные случайные величины и их свойства

Ряд распределения случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства находим, проинтегрировав Многомерные случайные величины и их свойства по х:

Многомерные случайные величины и их свойства

Итак, длина очереди Многомерные случайные величины и их свойства распределена по геометрическому закону. Аналогично, плотность распределения случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства получаем, суммируя Многомерные случайные величины и их свойства

Многомерные случайные величины и их свойства

т. е. время Многомерные случайные величины и их свойства пребывания клиента в кассе имеет экспоненциальное распределение с параметром Многомерные случайные величины и их свойства

Еще более интересные явления возникают, если рассматривать случайные величины, имеющие явную функциональную зависимость.

Пример:

Пусть Многомерные случайные величины и их свойства — непрерывная случайная величина с функцией распределения F(x) и плотностью распределения р(х). Рассмотрим двумерный случайный вектор Многомерные случайные величины и их свойства с одинаковыми координатами Многомерные случайные величины и их свойства и совместной функцией распределения Многомерные случайные величины и их свойства Ясно, что вектор Многомерные случайные величины и их свойства не является дискретным. Покажем, что Многомерные случайные величины и их свойства не может быть и непрерывной двумерной случайной величиной. Для этого заметим, что при Многомерные случайные величины и их свойства событие Многомерные случайные величины и их свойства совпадает с событием Многомерные случайные величины и их свойства значит, Многомерные случайные величины и их свойства

Но тогда

Многомерные случайные величины и их свойства

при Многомерные случайные величины и их свойства Аналогично, Многомерные случайные величины и их свойства и

Многомерные случайные величины и их свойства

при Многомерные случайные величины и их свойства

Таким образом, если бы у вектора Многомерные случайные величины и их свойства существовала плотность распределения, то она равнялась бы нулю всюду, кроме биссектрисы Многомерные случайные величины и их свойства и, значит,

Многомерные случайные величины и их свойства

что противоречит свойству 3 совместной плотности распределения. Ясно, что причина этого явления кроется в том, что значения двумерного случайного вектора Многомерные случайные величины и их свойства полностью сосредоточены на биссектрисе Многомерные случайные величины и их свойства

Условные распределения

Рассмотрим двумерную случайную величину Многомерные случайные величины и их свойства с совместной функцией распределения Многомерные случайные величины и их свойства Пусть известно, что случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства приняла значение у. Естественно задать вопрос: а что можно сказать при этом условии о распределении случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства Ответ на этот вопрос дает условная функция распределения случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства при условии Многомерные случайные величины и их свойства Как видно из самой постановки задачи, понятие условного распределения весьма схоже с понятием условной вероятности, разобранным в параграфе 1 гл. 3. Именно исходя из понятия условной вероятности, мы введем понятие условного распределения.

Начнем с наиболее простого случая. Пусть случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства является дискретной. Назовем условной функцией распределения Многомерные случайные величины и их свойства случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства при условии Многомерные случайные величины и их свойства условную вероятность события Многомерные случайные величины и их свойства при условии события Многомерные случайные величины и их свойства т.е. в соответствии с определением условной вероятности,

Многомерные случайные величины и их свойства

Условная функция распределения обладает всеми теми свойствами, которые присущи обычной (безусловной) функции распределения.

Пример:

Найдем условное распределение времени пребывания Многомерные случайные величины и их свойства клиента в кассе «Аэрофлота» (пример 9) при условии, что в момент прихода он застает очередь Многомерные случайные величины и их свойства человек. В этом случае, как мы знаем,

Многомерные случайные величины и их свойства

Таким образом,

Многомерные случайные величины и их свойства

и, значит, условная функция распределения Многомерные случайные величины и их свойства имеет условную плотность распределения

Многомерные случайные величины и их свойства

представляющую собой плотность гамма-распределения с параметрами Многомерные случайные величины и их свойства или, что то же самое, плотность распределения Эрланга порядка Многомерные случайные величины и их свойства

Если Многомерные случайные величины и их свойства — также дискретная случайная величина, причем Многомерные случайные величины и их свойства то удобно рассматривать условную вероятность Многомерные случайные величины и их свойства того, что случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства примет значение Многомерные случайные величины и их свойства при условии Многомерные случайные величины и их свойства определяемую как условную вероятность события Многомерные случайные величины и их свойства при условии события Многомерные случайные величины и их свойства т.е.

Многомерные случайные величины и их свойства

Обычно условное распределение дискретной случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства при условии дискретной случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства описывает табл. 4. Ясно, что элементы Многомерные случайные величины и их свойства табл.4 получаются из элементов табл. 1 по формуле Многомерные случайные величины и их свойства и, наоборот, Многомерные случайные величины и их свойства

Многомерные случайные величины и их свойства

Пример:

Условное распределение случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства (числа успехов в первом испытании) при условии Многомерные случайные величины и их свойства (числа успехов во втором испытании) из примера 6 задается табл. 5.

Пример:

Условное распределение случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства (числа очков, выпавших на верхней грани игральной кости) при условии Многомерные случайные величины и их свойства (числа очков, выпавших на нижней грани игральной кости) из примера 7 представлено в табл. 6.

В общем случае условную функцию распределения случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства при условии Многомерные случайные величины и их свойства также естественно было бы определить формулой

Многомерные случайные величины и их свойства

Однако это не всегда возможно (например, событие Многомерные случайные величины и их свойства для непрерывной случайной величины имеет нулевую вероятность: Многомерные случайные величины и их свойства Поэтому попытаемся воспользоваться предельным переходом,

Многомерные случайные величины и их свойства

рассматривая вместо события Многомерные случайные величины и их свойства событие Многомерные случайные величины и их свойства и устремляя Многомерные случайные величины и их свойства к нулю. Итак, определим сначала условную вероятность

Многомерные случайные величины и их свойства

и назовем условной функцией распределения Многомерные случайные величины и их свойства предел

Многомерные случайные величины и их свойства

Оказывается, такой предел всегда существует (правда, в определенном смысле: это производная Радона-Никодима одной меры по другой. Производная Радона-Никодима определяется не однозначно, а с точностью до множества точек на прямой, вероятность попадания в которое случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства равна нулю. Впрочем, с неоднозначностью определения условной функции распределения мы фактически уже встречались в случае дискретной случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства действительно, условную функцию распределения Многомерные случайные величины и их свойства мы определяли только для Многомерные случайные величины и их свойства для остальных значений у мы могли бы задать Многомерные случайные величины и их свойства совершенно произвольным образом, поскольку все равно случайная величина Многомерные случайные величины и их свойстватакие значения не принимает).

Если же случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства непрерывна, то условную функцию распределения можно определить следующим выражением:

Многомерные случайные величины и их свойства

формально получаемым, если в выражении для Многомерные случайные величины и их свойства поделить числитель и знаменатель на Многомерные случайные величины и их свойства и устремить Многомерные случайные величины и их свойства к нулю.

Пример:

Найдем условное распределение длины очереди Многомерные случайные величины и их свойства в кассу «Аэрофлота» в момент прихода клиента при условии, что общее время Многомерные случайные величины и их свойства проведенное им в кассе, составило х (пример 9). Ответ дадим в терминах условного ряда распределения Многомерные случайные величины и их свойства Тогда в обозначениях примера 9

Многомерные случайные величины и их свойства

Таким образом, условное распределение очереди Многомерные случайные величины и их свойства при условии Многомерные случайные величины и их свойства представляет собой распределение Пуассона с параметром Многомерные случайные величины и их свойства

В наиболее важных для приложений случаях вектор Многомерные случайные величины и их свойства представляет собой двумерную непрерывную случайную величину с совместной плотностью распределения Многомерные случайные величины и их свойства Тогда

Многомерные случайные величины и их свойства

и значит,

Многомерные случайные величины и их свойства

Нетрудно видеть, что условная функция распределения Многомерные случайные величины и их свойства имеет производную по х, т. е. существует условная плотность распределения случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства при условии Многомерные случайные величины и их свойства

Многомерные случайные величины и их свойства

Пример:

Найдем условную плотность распределения случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства — абсциссы точки падения (из примера 8) при условии, что ордината Многомерные случайные величины и их свойства приняла значение у. Тогда, как мы знаем,

Многомерные случайные величины и их свойства

и при Многомерные случайные величины и их свойства

Многомерные случайные величины и их свойства

Таким образом, случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства при условии Многомерные случайные величины и их свойства равномерно распределена на отрезке Многомерные случайные величины и их свойства Если Многомерные случайные величины и их свойства то условная плотность распределения Многомерные случайные величины и их свойства не определена; но это нас не должно волновать, поскольку случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства не может принимать значение, по модулю большее R.

Рекомендуем читателю самостоятельно решить эту задачу для второго варианта определения плотности распределения из примера 8.

Пример:

Пусть Многомерные случайные величины и их свойства— двумерный нормальный вектор с матрицей ковариаций

Многомерные случайные величины и их свойства

и вектором средних Многомерные случайные величины и их свойства Найдем условную плотность распределения случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства при условии Многомерные случайные величины и их свойства Для этого сначала определим Многомерные случайные величины и их свойства

Многомерные случайные величины и их свойства

Теперь мы можем выписать совместную плотность распределения случайных величин Многомерные случайные величины и их свойства

Многомерные случайные величины и их свойства

Далее, как нам известно,

Многомерные случайные величины и их свойства

и, значит,

Многомерные случайные величины и их свойства

Таким образом, условное распределение Многомерные случайные величины и их свойства при условии Многомерные случайные величины и их свойства снова является нормальным со средним значением Многомерные случайные величины и их свойства и средним квадратичным отклонением Многомерные случайные величины и их свойства

Независимые случайные величины

Назовем случайные величины Многомерные случайные величины и их свойства независимыми, если совместная функция распределения Многомерные случайные величины и их свойства представляется в виде произведения одномерных функций распределения Многомерные случайные величины и их свойства

Многомерные случайные величины и их свойства

Понятие независимости случайных величин представляет собой перенос понятия независимости событий на случайные величины и опять-таки отражает отсутствие связи между случайными величинами Многомерные случайные величины и их свойства (хотя, повторяем еще раз, Многомерные случайные величины и их свойства заданы на одном и том же вероятностном пространстве Многомерные случайные величины и их свойства и в совокупности определяют двумерный случайный вектор Многомерные случайные величины и их свойстваИными словами, независимость случайных величин Многомерные случайные величины и их свойства можно охарактеризовать следующим образом: зная значение, которое приняла случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства мы никакой новой информации о распределении случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства не получим. Отметим, что обычно независимость случайных величин вводится несколько иначе; в этом случае приведенное здесь определение выступает в роли необходимого и достаточного условия независимости.

Совершенно аналогично определяется независимость произвольного числа случайных величин. Случайные величины Многомерные случайные величины и их свойства называются независимыми (в совокупности), если

Многомерные случайные величины и их свойства

Разумеется, так же, как и для событий, из попарной независимости не следует независимость случайных величин в совокупности.

Пример:

Свяжем с бросанием правильного раскрашенного тетраэдра (пример 11 в гл. 3) три случайные величины: Многомерные случайные величины и их свойствакаждая из которых может принимать значения 0 или 1, причем Многомерные случайные величины и их свойства если тетраэдр упал на грань, в раскраске которой присутствует синий цвет, и Многомерные случайные величины и их свойства в противном случае. Аналогично, Многомерные случайные величины и их свойства характеризует наличие красного цвета, а Многомерные случайные величины и их свойства — зеленого. Нетрудно видеть, что случайные величины Многомерные случайные величины и их свойства будут попарно независимы, но зависимы в совокупности.

Пример:

Рассмотрим широту Многомерные случайные величины и их свойства долготу Многомерные случайные величины и их свойства места падения метеорита на Землю и время Многомерные случайные величины и их свойства от начала наблюдений до момента его падения (см. пример 5). Предполагая, что каждый падающий метеорит имеет случайное направление, мы должны считать случайные величины Многомерные случайные величины и их свойства независимыми. Однако если Земля проходит через метеоритный поток определенного направления, уже нельзя пользоваться моделью с независимыми Многомерные случайные величины и их свойства поскольку долгота места падения связана с тем, какой стороной к потоку метеоритов обращена Земля, т. е. в конечном счете со временем. Тем не менее и в этом случае широта Многомерные случайные величины и их свойства не будет зависеть от времени Многомерные случайные величины и их свойства т.е. имеет место независимость случайных величин Многомерные случайные величины и их свойства хотя случайные величины Многомерные случайные величины и их свойства зависимы в совокупности. Предоставляем читателю самостоятельно поразмышлять над вопросом: какое направление должен иметь поток метеоритов, чтобы были независимыми между собой случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства и случайный вектор Многомерные случайные величины и их свойства (широта не зависит от долготы и времени падения).

Пусть Многомерные случайные величины и их свойства — независимые случайные величины. Рассмотрим событие Многомерные случайные величины и их свойства связанное со случайной величиной Многомерные случайные величины и их свойства событие Многомерные случайные величины и их свойства связанное со случайной величиной Многомерные случайные величины и их свойства В силу независимости Многомерные случайные величины и их свойства

Многомерные случайные величины и их свойства

Таким образом, для независимых случайных величин независимы между собой не только события, связанные с попаданием случайных величин Многомерные случайные величины и их свойства на интервалы Многомерные случайные величины и их свойства но и на любые интервалы Многомерные случайные величины и их свойства и, более того, в любые (измеримые) одномерные множества А и В.

Для проверки независимости компонент многомерных дискретных и непрерывных случайных векторов обычно бывают удобными другие эквивалентные определения независимости (доказательство эквивалентности приводимых ниже определений предоставляем читателю). Так, дискретные случайные величины Многомерные случайные величины и их свойства независимы, если для всех возможных значений Многомерные случайные величины и их свойства

Многомерные случайные величины и их свойства

Пример:

В схеме Бернулли с двумя испытаниями (см. пример 6)

Многомерные случайные величины и их свойства

Таким образом, числа успехов Многомерные случайные величины и их свойства в первом и втором испытаниях представляют собой независимые случайные величины. Впрочем, иного и нельзя было ожидать из самого определения схемы Бернулли. Читатель может самостоятельно убедиться в том, что независимы в совокупности случайные величины Многомерные случайные величины и их свойства— числа успехов в первом,…, n-м испытаниях Бернулли.

Непрерывные случайные величины Многомерные случайные величины и их свойства независимы, если для всех х и у

Многомерные случайные величины и их свойства

Отметим здесь же, что если независимые случайные величины Многомерные случайные величины и их свойства непрерывны, то и двумерная случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства обязана быть непрерывной (ср. с примером 10).

Пример:

Координаты двумерного нормального случайного вектора (см. пример 16) независимы тогда и только тогда, когда р = 0, т.е. матрицы Многомерные случайные величины и их свойства — диагональные. В этом можно без труда убедиться, сравнивая выражения для Многомерные случайные величины и их свойства с произведением Многомерные случайные величины и их свойства Аналогично, случайные величины Многомерные случайные величины и их свойства имеющие совместное n-мерное нормальное распределение, независимы (в совокупности) тогда и только тогда, когда матрица Многомерные случайные величины и их свойства а значит, и ковариационная матрица А диагональны. Интересно отметить, что попарная независимость всех компонент Многомерные случайные величины и их свойства и нормального вектора Многомерные случайные величины и их свойства влечет за собой независимость случайных величин Многомерные случайные величины и их свойства в совокупности(ср. с примером 17).

Для читателя, ознакомившегося с понятием условного распределения (параграф 5), приведем еще один критерий независимости случайных величин Многомерные случайные величины и их свойства случайные величины Многомерные случайные величины и их свойства независимы тогда и только тогда, когда условное распределение (функция распределения Многомерные случайные величины и их свойства плотность распределения Многомерные случайные величины и их свойства случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства при условии Многомерные случайные величины и их свойства совпадает с безусловным распределением (функцией распределения Многомерные случайные величины и их свойства плотностью распределения Многомерные случайные величины и их свойства случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства при всех значениях х и у. В частности, дискретные величины Многомерные случайные величины и их свойства независимы тогда и только тогда, когда все условные вероятности Многомерные случайные величины и их свойства совпадают с безусловными вероятностями Многомерные случайные величины и их свойства т.е. все столбцы табл.4 совпадают с последним.

Пример:

В схеме Бернулли с двумя испытаниями (см. пример 6) числа успехов Многомерные случайные величины и их свойства в первом и втором испытаниях независимы, поскольку в табл. 5 все три столбца совпадают. Этот факт нами уже был установлен другим способом в примере 19.

Пример:

Число очков Многомерные случайные величины и их свойства выпавших на верхней грани игральной кости, и число очков Многомерные случайные величины и их свойства на нижней грани (см. пример 7) — зависимые случайные величины, поскольку вообще ни один из первых шести столбцов табл. 6 не совпадает с последним.

Пример:

В примере 11 показано, что условное распределение времени пребывания Многомерные случайные величины и их свойства клиента в кассе «Аэрофлота» (см. пример 9) при условии, что в момент прихода он застает очередь Многомерные случайные величины и их свойства человек, является распределением Эрланга порядка Многомерные случайные величины и их свойства в то время как случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства распределена по экспоненциальному закону. Таким образом, Многомерные случайные величины и их свойства— зависимые случайные величины.

Пример:

Условная плотность распределения случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства (абсциссы точки падения при равномерном бросании в круг, см. пример 8) при условии Многомерные случайные величины и их свойства (ординаты точки падения), как следует из примера 15, равномерна, в то время как безусловная плотность распределения случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства таковой не является. И в этом примере случайные величины Многомерные случайные величины и их свойства зависимы между собой.

Функции от многомерных случайных величин

Функция от многомерной случайной величины определяется точно так же, как и функция от одномерной. Рассмотрим это понятие на примере двумерной случайной величины. Пусть на вероятностном пространстве Многомерные случайные величины и их свойства задана двумерная случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства Предположим, что у нас имеется (измеримая) числовая функция Многомерные случайные величины и их свойства числовых аргументов Многомерные случайные величины и их свойства Случайную величину Многомерные случайные величины и их свойства назовем функцией от двумерной случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства

Функция Многомерные случайные величины и их свойства от двумерной дискретной случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства снова является дискретной случайной величиной, принимающей значения Многомерные случайные величины и их свойства с вероятностью Многомерные случайные величины и их свойства где Многомерные случайные величины и их свойства значения случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства— случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства Разумеется, для того чтобы построить ряд распределения случайной величины Многомерные случайные величины и их свойстванеобходимо, во-первых, исключить все те значения Многомерные случайные величины и их свойства которые принимаются с вероятностью, равной нулю, а, во-вторых, объединить в один столбец все одинаковые значения Многомерные случайные величины и их свойства приписав этому столбцу суммарную вероятность.

Пример:

Рассмотрим случайную величину Многомерные случайные величины и их свойства — суммарное число успехов в двух испытаниях Бернулли. Тогда Многомерные случайные величины и их свойства (см. пример 2) и Многомерные случайные величины и их свойства Поскольку случайные величины Многомерные случайные величины и их свойствапринимают только два значения 0 или 1, то случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства может принимать 4 значения: Многомерные случайные величины и их свойстваи Многомерные случайные величины и их свойства с вероятностями (см. пример 6) Многомерные случайные величины и их свойства соответственно (табл. 7). Осталось заметить, что двум средним столбцам соответствует

Многомерные случайные величины и их свойства

одно и то же значение 1 случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства и их необходимо объединить. Окончательно получаем ряд распределения случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства представленный в табл. 8.

Естественно, мы получили, что суммарное число успехов Многомерные случайные величины и их свойства в двух испытаниях имеет распределение Бернулли.

Многомерные случайные величины и их свойства

Пример:

Пусть Многомерные случайные величины и их свойства — число очков, выпавших на верхней грани игральной кости, а Многомерные случайные величины и их свойства — на нижней (пример 7). Рассмотрим случайную величину Многомерные случайные величины и их свойства— суммарное число очков, выпавших на верхней и нижней гранях Многомерные случайные величины и их свойства Тогда Многомерные случайные величины и их свойства может принять любое целочисленное значение от 2 до 12. Так, например, значению Многомерные случайные величины и их свойства соответствует выпадение 1-3, 2-2 и 3-1 очков на верхней и нижней гранях. Однако нетрудно видеть из табл. 3. что все значения, кроме значения, равного семи, случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства принимает с вероятностью, равной нулю, и их необходимо изъять из ряда распределения, а значение 7 случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства принимает в 6 случаях (1-6, 2-5, 3-4, 4-3, 5-2 и 6-1), причем каждый из этих случаев реализуется с вероятностью 1/6. Поэтому случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства может принимать всего одно значение — 7 с вероятностью, равной единице, т.е. она имеет ряд распределения, представленный в табл. 9.

Собственно говоря, это было очевидно с самого начала, поскольку игральная кость размечена таким образом, что сумма очков на противоположных гранях равна семи. □

В том случае, когда Многомерные случайные величины и их свойства— двумерная непрерывная случайная величина с плотностью распределения Многомерные случайные величины и их свойства функция распределения случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства определяется формулой

Многомерные случайные величины и их свойства

Область интегрирования в последней формуле состоит из всех Многомерные случайные величины и их свойства для которых Многомерные случайные величины и их свойства

Пример:

Пусть Многомерные случайные величины и их свойства — двумерный случайный вектор, распределенный по стандартному нормальному закону. Найдем распределение случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства В этом случае Многомерные случайные величины и их свойства Очевидно, что

Многомерные случайные величины и их свойства при Многомерные случайные величины и их свойства

Многомерные случайные величины и их свойства

Последний интеграл удобно вычислить, переходя к полярным координатам Многомерные случайные величины и их свойства Тогда Многомерные случайные величины и их свойства а область интегрирования превращается в круг Многомерные случайные величины и их свойства

Многомерные случайные величины и их свойства

Это уже известное нам распределение Рэлея.

Полученный результат допускает многочисленные физические трактовки. Приведем одну из них. Если движущаяся в плоскости частица имеет случайные составляющие скорости, распределенные по двумерному стандартному нормальному закону, то абсолютная величина скорости распределена по закону Рэлея. Трехмерным аналогом распределения Рэлея (абсолютная величина скорости частицы, движущейся в трехмерном пространстве, причем составляющие скорости распределены по трехмерному стандартному нормальному закону) является распределение Максвелла, представляющее собой распределение случайной величины Многомерные случайные величины и их свойства случайная величина, распределенная по закону Многомерные случайные величины и их свойства с тремя степенями свободы.

Особо важным для теории вероятностей представляется случай, когда Многомерные случайные величины и их свойства независимые случайные величины, а Многомерные случайные величины и их свойства — их сумма. Тогда Многомерные случайные величины и их свойства и в силу независимости Многомерные случайные величины и их свойства

Многомерные случайные величины и их свойства

Дифференцируя последнюю формулу под знаком интеграла, получаем выражение для плотности Многомерные случайные величины и их свойства распределения суммы Многомерные случайные величины и их свойства

Многомерные случайные величины и их свойства

Последнее выражение носит название формулы свертки и должно быть хорошо известно читателю, знакомому с элементами теории преобразований Фурье.

Пример:

Случайные величины Многомерные случайные величины и их свойства независимы и имеют гамма-распределения с параметрами Многомерные случайные величины и их свойства соответственно. Найдем плотность распределения суммы Многомерные случайные величины и их свойства Ясно, что поскольку Многомерные случайные величины и их свойства— положительные случайные величины, то случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства также положительна

и Многомерные случайные величины и их свойства При х > 0, учитывая, что Многомерные случайные величины и их свойстваи Многомерные случайные величины и их свойства имеем по формуле свертки

Многомерные случайные величины и их свойства

Г(x) введена в гл. 5, параграф 4. Делая замену Многомерные случайные величины и их свойства получаем

Многомерные случайные величины и их свойства

Интеграл, стоящий в последнем выражении, представляет собой так называемый Многомерные случайные величины и их свойства-интеграл, хорошо известный в теории специальных функций. Однако мы для его вычисления воспользуемся просто условием нормировки

Многомерные случайные величины и их свойства

откуда

Многомерные случайные величины и их свойства

и получаем окончательно, что случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства также имеет гамма-распределение с параметрами Многомерные случайные величины и их свойства Отсюда, в частности, следует: если независимые случайные величины имеют распределения Эрланга порядков Многомерные случайные величины и их свойства соответственно (с одинаковым параметром Многомерные случайные величины и их свойства то их сумма также распределена по закону Эрланга порядка Многомерные случайные величины и их свойства (также с параметром Многомерные случайные величины и их свойства если независимые случайные величины имеют распределения Многомерные случайные величины и их свойства степенями свободы, то их сумма также имеет распределение Многомерные случайные величины и их свойства степенями свободы.

Пусть теперь с двумерным случайным вектором Многомерные случайные величины и их свойства связана не одна, а две (можно рассматривать и большее количество) случайные величины Многомерные случайные величины и их свойства Тогда мы можем определить совместную функцию распределения случайных величин Многомерные случайные величины и их свойства Так, для непрерывного двумерного случайного вектора Многомерные случайные величины и их свойства

Многомерные случайные величины и их свойства

Если Многомерные случайные величины и их свойства задают взаимно однозначное преобразование плоскости саму в себя (или в некоторую область G), причем обратные преобразования Многомерные случайные величины и их свойства имеют непрерывные частные производные по Многомерные случайные величины и их свойства то плотности распределения случайных векторов Многомерные случайные величины и их свойства связаны между собой соотношениями

Многомерные случайные величины и их свойства

где

Многомерные случайные величины и их свойства

— якобиан преобразования Многомерные случайные величины и их свойства Это свойство вытекает из того факта, что Многомерные случайные величины и их свойства с одной стороны, приближенно равна Многомерные случайные величины и их свойства а с другой — приближенно равна Многомерные случайные величины и их свойства — площадь прообраза прямоугольника со сторонами Многомерные случайные величины и их свойства которая, как известно из курса математического анализа, в свою очередь приближенно равна Многомерные случайные величины и их свойства

В частности, пусть Многомерные случайные величины и их свойства т.е. преобразование линейное, причем матрица Многомерные случайные величины и их свойства невырожденная. Тогда

Многомерные случайные величины и их свойства

где Многомерные случайные величины и их свойства— обратная к B матрица, а Многомерные случайные величины и их свойства — модуль определителя матрицы B.

Пример:

Пусть Многомерные случайные величины и их свойства — (невырожденный) n-мерный случайный вектор, распределенный по нормальному закону с матрицей ковариаций Многомерные случайные величины и их свойства и вектором средних Многомерные случайные величины и их свойства (этого всегда можно добиться, вводя случайный вектор Многомерные случайные величины и их свойства Введем новый случайный вектор Многомерные случайные величины и их свойства— некоторая невырожденная квадратная матрица порядка n (в этом случае случайные величины Многомерные случайные величины и их свойства задаются линейными функциями Многомерные случайные величины и их свойства Тогда случайный вектор Многомерные случайные величины и их свойства имеет плотность распределения

Многомерные случайные величины и их свойства

т. е. также распределен по нормальному закону с нулевым вектором средних Многомерные случайные величины и их свойства и матрицей ковариаций Многомерные случайные величины и их свойства — матрица линейного преобразования Многомерные случайные величины и их свойства а В — транспонированная к В матрица. Из курса линейной алгебры известно, что всегда можно подобрать невырожденное преобразование В таким образом, чтобы матрица Многомерные случайные величины и их свойства была единичной, т.е. вектор Многомерные случайные величины и их свойства имел бы стандартное нормальное распределение. Таким образом, мы нашли второй способ (ср. с результатом параграфа 4) задания n-мерного нормального случайного вектора Многомерные случайные величины и их свойства имеющего произвольный вектор средних m и матрицу ковариаций А, с помощью n-мерного стандартного нормального вектора Многомерные случайные величины и их свойстваМногомерные случайные величины и их свойства Отметим также, что если матрица Многомерные случайные величины и их свойства вырождена, то мы получаем так называемый вырожденный нормальный закон.

В дальнейшем нам понадобится следующее почти очевидное свойство функций от случайных величин. Пусть случайные величины Многомерные случайные величины и их свойства независимы, а функции Многомерные случайные величины и их свойства таковы, что Многомерные случайные величины и их свойства Тогда случайные величины Многомерные случайные величины и их свойства также независимы.

Действительно (предполагая, например, что Многомерные случайные величины и их свойства — непрерывные случайные величины), имеем

Многомерные случайные величины и их свойства

Как и все остальные свойства, рассмотренные в настоящем параграфе, это свойство без всяких комментариев переносится на случай произвольной размерности п случайного вектора Многомерные случайные величины и их свойства

Пример:

Пусть Многомерные случайные величины и их свойства — независимые случайные величины, распределенные по стандартному нормальному закону. Тогда случайные величины Многомерные случайные величины и их свойства также независимы и распределены по закону Многомерные случайные величины и их свойства с одной степенью свободы (см. пример 12 в гл.5) и, как следует из примера 28, случайная величина Многомерные случайные величины и их свойства имеет распределение Многомерные случайные величины и их свойства с n степенями свободы. Извлекая квадратный корень из получаем при Многомерные случайные величины и их свойства распределения Рэлея и Максвелла (см. пример 27).

Решение заданий и задач по предметам:

  • Теория вероятностей
  • Математическая статистика

Дополнительные лекции по теории вероятностей:

  1. Случайные события и их вероятности
  2. Случайные величины
  3. Функции случайных величин
  4. Числовые характеристики случайных величин
  5. Законы больших чисел
  6. Статистические оценки
  7. Статистическая проверка гипотез
  8. Статистическое исследование зависимостей
  9. Теории игр
  10. Вероятность события
  11. Теорема умножения вероятностей
  12. Формула полной вероятности
  13. Теорема о повторении опытов
  14. Нормальный закон распределения
  15. Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных
  16. Системы случайных величин
  17. Нормальный закон распределения для системы случайных величин
  18. Вероятностное пространство
  19. Классическое определение вероятности
  20. Геометрическая вероятность
  21. Условная вероятность
  22. Схема Бернулли
  23. Предельные теоремы теории вероятностей
  24. Оценки неизвестных параметров
  25. Генеральная совокупность

Добавить комментарий