Как найти спектр сигнала прямоугольного импульса - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Содержание

Обнаружили ошибку?
Выделите ее мышью
и нажмите

Вводные замечания

В предыдущих разделах мы рассмотрели

разложение периодических сигналов в ряд Фурье,

а также изучили

некоторые свойства
представления периодических сигналов рядом Фурье.

Мы говорили, что периодические сигналы можно представить как ряд комплексных экспонент,
отстоящих друг от друга на частоту $Delta omega = frac{2pi}{T}$ рад/c,
где — период повторения сигнала.
В результате мы можем трактовать представление сигнала в виде ряда комплексных гармоник как комплексный спектр сигнала.
Комплексный спектр, в свою очередь, может быть разделен на амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала.

В данном разделе мы рассмотрим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов,
как одного из важнейших сигналов, используемого в практических приложениях.

Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Пусть входной сигнал s(t) представляет собой периодическую последовательность
прямоугольных импульсов амплитуды , длительности tau секунд следующих с
периодом секунд, как это показано на рисунке 1

Рисунок 1. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Единица измерения амплитуды сигнала зависит от
физического процесса, который описывает сигнал s(t) .
Это может быть напряжение, или, сила тока,
или любая другая физическая величина со своей единицей измерения,
которая меняется во времени как s(t) .
При этом, единицы измерения амплитуд спектра
, $omega_n = frac{2 pi}{T} n$ ,
будут совпадать с единицами
измерения амплитуды исходного сигнала.

Тогда спектр , $omega_n = frac{2 pi}{T} n$ ,
данного сигнала может быть представлен как:

(1)

Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов представляет собой множество гармоник с огибающей вида
$S(omega) = A , frac{sin left(omega tau/2 right) }{omega T/2}$ .

Свойства спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов

Рассмотрим некоторые свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Постоянная составляющая огибающей S(0) может быть получена как предел:

(2)

Для раскрытия неопределенности воспользуемся правилом Лопиталя [1, стр. 257]:

(3)

где $Q = frac{T}{tau} > 1$ называется скважностью импульсов и задает отношение
периода повторения импульсов к длительности одиночного импульса.

Таким образом, значение огибающей на нулевой частоте равно амплитуде импульса деленной на скважность.
При увеличении скважности (т.е. при уменьшении длительности импульса при
фиксированном периоде повторения) значение огибающей на нулевой частоте уменьшается.

Используя скважность импульсов выражение (1) можно переписать в виде:

(4)

где .

Нули огибающей спектра последовательности прямоугольных импульсов можно получить из уравнения:

(5)

Знаменатель обращается в ноль только при , однако, как мы выяснили выше
$S(0) = frac{A}{Q} neq 0$ , тогда решением уравнения будет

(6)

Тогда огибающая обращается в ноль если

(7)

На рисунке 2 показана огибающая спектра периодической последовательности
прямоугольных импульсов (пунктирная линия) и частотные
соотношения огибающей и дискретного спектра .

Рисунок 2. Cпектр периодической последовательности
прямоугольных импульсов

Также показаны амплитудная огибающая , амплитудный спектр , а также фазовая огибающая и фазовый спектр
.

Из рисунка 2 можно заметить, что фазовый спектр принимает значения pm pi
когда огибающая имеет отрицательные значения.
Заметим, что и соответствуют одной и
той же точке комплексной плоскости равной .

Пример спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов

Пусть входной сигнал s(t) представляет собой периодическую последовательность
прямоугольных импульсов амплитуды A = 2 , следующих с периодом T = 4 секунды
и различной скважностью .
На рисунке 3а показаны временные осциллограммы указанных сигналов,
их амплитудные спектры (рисунок 3б),
а также непрерывные огибающие спектров (пунктирная линия).

Рисунок 3. Cпектр периодической последовательности
прямоугольных импульсов при различном значении скважности
а — временные осциллограммы; б — амплитудный спектр

Как можно видеть из рисунка 3, при увеличении скважности сигнала, длительность импульсов s(t) уменьшается,
огибающая спектра расширяется и уменьшается по амплитуде (пунктирная линия).
В результате, в пределах главного лепестка увеличивается количество гармоник спектра .

Спектр смещенной во времени периодической последовательности прямоугольных импульсов

Выше мы подробно изучили спектр периодической последовательности прямоугольных
импульсов для случая, когда исходный сигнал s(t) являлся симметричным относительно t = 0 .
В результате спектр такого сигнала является вещественным и задается выражением (1).
Теперь мы рассмотрим, что произойдет со спектром сигнала $s_{textrm{sh}}(t)$
если мы сместим сигнал s(t) во времени,как это показано на рисунке 4 .

Рисунок 4. Сдвинутая во времени периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Смещенный сигнал $s_{textrm{sh}}(t)$ можно представить как сигнал s(t) ,
задержанный на половину длительности импульса
$s_{textrm{sh}}(t) = s left( t - frac{tau}{2}right)$ .
Спектр $S_{textrm{sh}}(omega_n)$ смещенного сигнала $s_{textrm{sh}}(t)$ можно представить
согласно свойству

циклического временного сдвига

как:

(8)

Таким образом, спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, смещенной относительно нуля, не
является чисто вещественной функцией, а приобретает дополнительный фазовый множитель
$expleft( -j omega_n frac{tau}{2}right)$ .
Амплитудный $left|S_{textrm{sh}}(omega_n) right|$ и фазовый $Phi_{textrm{sh}}(omega)$
спектры показаны на рисунке 5.

Рисунок 5. Амплитудный и фазовый спектры сдвинутой во времени периодической
последовательности прямоугольных импульсов

Из рисунка 5 следует, что сдвиг периодического сигнала во времени не изменяет амплитудный спектр сигнала,
но добавляет линейную составляющую к фазовому спектру сигнала.

Выводы

В данном разделе мы получили аналитическое выражение для спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Мы рассмотрели свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов и привели примеры
спектров при различном значении скважности.

Также был рассмотрен спектр при смещении во времени последовательности прямоугольных импульсов и показано,
что смещение во времени изменяет фазовый спектр и не влияет на амплитудный спектр сигнала.

Программная реализация в библиотеке DSPL

Данные для построения рисунков данного раздела были просчитаны при использовании

библиотеки DSPL-2.0

Ниже приведён исходный код программы расчета данных для построения рисунка 3:

fourier_series_pimp_q.c


#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include "dspl.h"

/* Размер векторов входных сигналов и огибающей спетра */
#define N  1000 

/* Период повторения импульса. Для изменения скважности мы будем менять 
 * длительность импульса при фиксированном периоде повторения */
#define T  4.0

/* Амплитуда */
#define A  2.0

/* Количество спектральных гармоник разложения в ряд Фурье  */
#define M  41


/* длина команды Gnuplot */
#define PLOTCMD_LEN 256


int main(int argc, char* argv[])
{

  double    t1[N];   /* время (сек) на одном периоде повторения      */
  double    t4[N];   /* время (сек) на четырех периодах повторения   */
  double    s[N];    /* входной сигнал                               */
  complex_t S[M];    /* комплексный спектр периодического сигнала    */
  double    Smag[M]; /* амплитудный спектр периодического сигнала    */
  double    w[M];    /* частота (рад/c) дискретного спектра          */
  double    wc[N];   /* частота (рад/с) огибающей спектра            */
  double    Sc[N];   /* огибающая спектра                            */
  double    tau;     /* длительность импульса                        */

  /* скважность */
  double    Q[3] = {5.0, 2.0, 1.25};

  int q, m, n;
  
  char fname[64];            /* имя файла данных */
  char plotcmd[PLOTCMD_LEN]; /* Команда Gnuplot  */ 
  
  void* hdspl;  /* DSPL handle        */
  void* hplot;  /* GNUPLOT handle     */
  
  hdspl = dspl_load();
  if(!hdspl)
  {
    printf("Cannot to load libdspl!n");
    return 0;
  }
  
  /* Вектор частот непрерывной огибаюхей вида sin(w/2*tau) / (w/2*T) */
  linspace(-M_PI*(double)M/(double)T, M_PI*(double)M/(double)T,  N, DSPL_SYMMETRIC, wc);
  
  /* заполнение массива временных отсчетов  */
  /* на одном периоде повторения сигнала    */
  linspace(-T/2.0, T/2.0,  N, DSPL_PERIODIC, t1);
  
  /* заполнение массива временных отсчетов
   * на 4-x периодах повторения сигнала
   * для отображения на осциллограмме */
  linspace(-T*2.0, T*2.0,  N, DSPL_PERIODIC, t4);
  
  
  /* Построение графиков пакетом GNUPLOT */
  gnuplot_create(argc, argv, 800, 640,  "img/fourier_series_rec.png", &hplot);
  gnuplot_cmd(hplot, "unset key");
  gnuplot_cmd(hplot, "set multiplot layout 3,2 rowsfirst");
  gnuplot_cmd(hplot, "set yrange [0:2.2]");
  
  for(q = 0; q < 3; q++)
  {
    tau = T/Q[q];

    /* 4 периода повторения п-импульса скважности Q[q] */
    signal_pimp(t4, N, A, tau, 0.0, T, s);

    /* сохранение в текстовый файл временных осциллограмм */
    sprintf(fname, "dat/pimp_time_%.2lf.csv", Q[q]);
    writetxt(t4, s, N, fname);

    /* Построение временнОй осциллограммы */
    sprintf(plotcmd, "plot '%s' with lines", fname);
    gnuplot_cmd(hplot, plotcmd);

    /* один период повторения п-импульса скважности Q[q] */
    signal_pimp(t1, N, A, tau, 0.0, T, s);

    /* разложение в ряд Фурье */
    fourier_series_dec(t1, s, N, T, M, w, S);

    /* Рассчет амплитудного спектра */
    for(m = 0; m < M; m++)
    {
      /*printf("S[%d] = %f     %fn", m, RE(S[m]), IM(S[m]));*/
      Smag[m] = ABS(S[m]);
    }

    /* Сохранение в файл амплитудного спетра для скважности Q[q] */
    sprintf(fname, "dat/pimp_freq_discrete_%.2lf.csv", Q[q]);
    writetxt(w, Smag, M, fname);

    /* Построение на график амплитудного спектра для заданной скважности */
    sprintf(plotcmd, "plot '%s' with  impulses lt 1 ,\", fname);
    printf("%sn", plotcmd);
    gnuplot_cmd(hplot, plotcmd);

    sprintf(plotcmd, "'%s'  with points pt 7 ps 0.5 lt 1 ,\", fname);
    printf("%sn", plotcmd);
    gnuplot_cmd(hplot, plotcmd);

    /* Расчет огибающей */
    for(n = 0; n < N; n++)
      Sc[n] = (wc[n] == 0.0) ? A/Q[q] : fabs( A * sin(0.5*wc[n]*tau) / (0.5*wc[n] * T));

    /* сохранение огибающей в файл для скважности Q[q] */
    sprintf(fname, "dat/pimp_freq_cont_%.2lf.csv", Q[q]);
    writetxt(wc, Sc, N, fname);
    
    /* Построение на график непрерывной огибающей 
    амплитудного спектра для заданной скважности */
    sprintf(plotcmd, "'%s'  with lines", fname);
    printf("%sn", plotcmd);
    gnuplot_cmd(hplot, plotcmd);
  }

  gnuplot_cmd(hplot, "unset multiplot");
  gnuplot_close(hplot);
  
  /* remember to free the resource */
  dspl_free(hdspl);
  return 0;
}

Смотри также

Представление периодических сигналов рядом Фурье
Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье
Преобразование Фурье непериодических сигналов
Свойства преобразования Фурье

Список литературы

[1]

Основы математического анализа.
Москва, Наука, 1965, 572 c.

[2]

Баскаков, С.И.
Радиотехнические цепи и сигналы.
Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[3]

Гоноровский И.С.
Радиотехнические цепи и сигналы
Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[4]

Дёч, Г.
Руководство по практическому применению преобразования Лапласа.
Москва, Наука, 1965, 288 c.

[5]

Bracewell R.
The Fourier Transform and Its Applications
McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

Последнее изменение страницы: 12.05.2022 (19:42:36)

Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14

Источник

Наиболее
часто в вычислительной технике для
передачи данных используется прямоугольный
импульс, внешний вид и основные параметры
которого приведены на рис. 6.

Рис.
6. Прямоугольный импульс

Аналитически
во временном представлении импульс
описывается функцией

Для
определения спектра этого импульса
подставим его аналитическое описание
в формулу спектра непериодического
сигнала:

Воспользовавшись
формулой Эйлера

получим

.

Иногда
в радиотехнической литературе это
выражение записывают так

Модуль
этой функции, т.е. амплитудный спектр
определяется выражением

При

,

,
при

,

.

Спектр
прямоугольного импульса приведен на
рис. 7.

Рис. 7. Спектр
прямоугольного импульса

Спектр прямоугольного
импульса сплошной и простирается от 0
до

,
имеет тенденцию к затуханию. Однако
разумно предположить, что частоты выше
некоторых

можно не учитывать, т.к. их вес в форме
прямоугольного импульса становится
малым. В качестве критерия выбора ширины
спектра используется энергетический
критерий, согласно которому

выбирается так, чтобы энергия отсеченной
части

была пренебрежимо мала по сравнению с
энергией внутри интервала

.

Согласование характеристик сигнала и канала. Спектр сигнала при изменении масштаба времени.

Для передачи
сигнала по каналу важно согласовать 3
параметра :

Сигнал	Канал
1. время существования сигнала tсигнала	1. время, в течение которого доступен канал.
2. спектр частот, занимаемый сигналом Fсреза	2. полоса пропускания канала Fканала.
3. мощность сигнала Pсигнала, уровень помех в канале Рз. превышение сигнала над помехами.	3. динамический диапазон канала

Принято характеризовать
сигнал объемом сигнала Vсиг=tсигFсрез
Lсиг.

а канал – объемом
канала Vканала=tканалаFканалаLканала.
Для того чтобы передавать сигнал по
каналу нужно одновременное выполнение
след условий : Vк>=Vc,
tк>=tc,
Fк>=Fc,
Lк>=Lc.
Бывает так что Vк>=Vc,но
одно из дальнейших условий не выполняется.
В этой ситуации возможны преобразования
сигнала, которые позволяют подогнать
сигнал под канал.

Пусть
сигнал

подвергается сжатию во времени. Новый
сжатый сигнал

связан с исходным сигналом

соотношением

.

Длительность
сигнала

раз меньше, чем исходного сигнала

,
т.е.

.

Спектр
сигнала

определится как

Введем
новую переменную интегрирования

,
тогда

,

.
С учетом этого можно записать

отсюда

Итак,
при сжатии
сигнала в

раз на временной оси во столько же раз
расширяется его спектр по оси частот.

Очевидно,
что при растягивании
сигнала во времени имеет место сужение
спектра.

Выведенные
соотношения показывают, что единственный
способ сокращения ширины спектра сигнала
без изменения его характера, состоит в
том, чтобы растянуть явление во времени.
Это свойство широко используется при
согласовании характеристик сигнала и
линии связи.

8. Спектр
сигнала, полученного в результате
сложения сигналов. Спектр сигнала после
его задержки во времени. Спектр сигнала
после его дифференцирования. Спектр
сигнала после его интегрирования.

Сложение
сигналов

Пусть
имеется сигнал

,
являющийся суммой сигналов

,

,
…,

,
обладающих спектрами

,

,
…,

.
Необходимо найти спектр сигнала

.

Спектр
этого сигнала определяется как

Поменяв
местами знаки суммы и интеграла получим

Таким
образом,
спектр сигнала, представляющего сумму
сигналов, равен сумме спектров этих
сигналов.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

В качестве примера приведем разложение в ряд Фурье периодической последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой , длительностью и периодом следования , симметричной относительно нуля, т.е.

, (2.10)

Здесь

Разложение такого сигнала в ряд Фурье дает

, (2.11)

где – скважность.

Для упрощения записи можно ввести обозначение

, (2.12)

Тогда (2.11) запишется следующим образом

, (2.13)

На рис. 2.3 изображена последовательность прямоугольных импульсов. Спектр последовательности, как впрочем, и любого другого периодического сигнала, носит дискретный (линейчатый) характер.

Огибающая спектра (рис. 2.3, б) пропорциональна . Расстояние по оси частот между двумя соседними составляющими спектра равно , а между двумя нулевыми значениями (ширина лепестка спектра) – . Число гармонических составляющих в пределах одного лепестка, включая правое по рисунку нулевое значение, составляет , где знак означает округление до ближайшего целого числа, меньшего (если скважность – дробное число), или (при целочисленном значении скважности). При увеличении периода основная частота уменьшается, спектральные составляющие на диаграмме сближаются, амплитуды гармоник также уменьшаются. При этом форма огибающей сохраняется.

Рис. 2.3

При решении практических задач спектрального анализа вместо угловых частот используют циклические частоты , измеряемые в Герцах. Очевидно, расстояние между соседними гармониками на диаграмме составит , а ширина одного лепестка спектра – . Эти значения представлены на диаграмме в круглых скобках.

В практической радиотехнике в большинстве случаев вместо спектрального представления (рис. 2.3, б) используют спектральные диаграммы амплитудного и фазового спектров. Амплитудный спектр последовательности прямоугольных импульсов представлен на рис. 2.3, в.

Очевидно, огибающая амплитудного спектра пропорциональна .

Что же касается фазового спектра (рис. 2.3, г), то полагают, что начальные фазы гармонических составляющих изменяются скачком на величину -π при изменение знака огибающей sinc kπ/q. Начальные фазы гармоник первого лепестка, полагаются равными нулю. Тогда начальные фазы гармоник второго лепестка составят φ = -π, третьего лепестка φ = -2π и т.д.

Рассмотрим еще одно представление сигнала рядом Фурье. Для этого воспользуемся формулой Эйлера

В соответствии с этой формулой k-ю составляющую (2.9) разложения сигнала в ряд Фурье можно представить следующим образом

, (2.14)

где

; . (2.15)

Здесь величины и являются комплексными и представляют собой комплексные амплитуды составляющих спектра. Тогда ряд

Фурье (2.8) с учетом (2.14) примет следующую форму

, (2.16)

где

, (2.17)

Нетрудно убедиться в том, что разложение (2.16) проводится по базисным функциям , которые также являются ортогональными на интервале , т.е.

Выражение (2.16) представляет собой комплексную форму ряда Фурье, которая распространяется на отрицательные частоты. Величины и , где означает комплексную сопряженную с величину, называются комплексными амплитудами спектра. Т.к. является комплексной величиной, из (2.15) следует, что

и .

Тогда совокупность составляет амплитудный, а совокупность – фазовый спектр сигнала .

Рис. 2.4

На рис. 2.4 представлена спектральная диаграмма спектра рассмотренной выше последовательности прямоугольных импульсов, представленного комплексным рядом Фурье

Спектр также носит линейчатый характер, но в отличие от ранее рассмотренных спектров определяется как в области положительных, так и в области отрицательных частот. Поскольку является чётной функцией аргумента , спектральная диаграмма симметрична относительно нуля.

Исходя из (2.15) можно установить соответствие между и коэффициентами и разложения (2.3). Так как

и ,

то в результате получим

. (2.18)

Выражения (2.5) и (2.18) позволяют найти значения при практических расчетах.

Дадим геометрическую интерпретацию комплексной формы ряда Фурье. Выделим k-тую составляющую спектра сигнала. В комплексной форме k-я составляющая описывается формулой

, (2.19)

где и определятся выражениями (2.15).

В комплексной плоскости каждое из слагаемых в (2.19) изображается в виде векторов длиной , повернутых на угол и относительно вещественной оси и вращающихся в противоположных направлениях с частотой (рис. 2.5).

Очевидно, сумма этих векторов дает вектор, расположенный на вещественной оси, длина которого составляет . Но этот вектор соответствует гармонической составляющей

Рис. 2.5

Что касается проекций векторов на мнимую ось, то эти проекции имеют равную длину, но противоположные направления и в сумме дают ноль. А это значит, что сигналы, представленные в комплексной форме (2.16) в действительности являются вещественными сигналами. Иными словами, комплексная форма ряда Фурье является математической абстракцией, весьма удобной при решении целого ряда задач спектрального анализа. Поэтому, иногда спектр, определяемый тригонометрическим рядом Фурье, называют физическим спектром, а комплексной формой ряда Фурье – математическим спектром.

И в заключение рассмотрим вопрос распределения энергии и мощности в спектре периодического сигнала. Для этого воспользуемся равенством Парсеваля (1.42). При разложении сигнала в тригонометрический ряд Фурье выражение (1.42) принимает вид

Энергия постоянной составляющей

а энергия k-той гармоники

Тогда энергия сигнала

. (2.20)

Т.к. средняя мощность сигнала

то с учетом (2.18)

. (2.21)

При разложение сигнала в комплексный ряд Фурье выражение (1.42) имеет вид

где – энергия k-той гармоники.

Энергия сигнала в этом случае

а его средняя мощность

Из приведенных выражений следует, что энергия или средняя мощность k-той спектральной составляющей математического спектра вдвое меньше энергии или мощности соответствующей спектральной составляющей физического спектра. Это обусловлено тем, что физического спектра распределяется поровну между и математического спектра.

Выражения (2.20) – (2.12) позволяют рассчитать и построить спектральные диаграммы распределения энергий или мощностей, т.е. энергетические спектры периодического сигнала.

Источник

В соответствии со спектральным способом анализа прохождения сигналов через линейные цепи любой случайный сигнал S(T) можно представить в виде бесконечной суммы элементарных аналитически однотипных детерминированных сигналов :

(2.8)

Подавая на вход линейной цепи (рис. 1.14), коэффициент передачи которой равен , элементарный детерминированный сигнал, можно найти элементарный отклик цепи, то есть сигнал на выходе цепи.

Рис.2.3.К определению сигнала на выходе линейной цепи.

Сигнал на выходе линейной цепи равен

(2.9)

Поскольку для линейных цепей справедлив принцип суперпозиции, то результирующий отклик будет равен:

(2.10)

Функции, описывающие элементарные сигналы, называются базисными функциями. Представление сигнала базисными функциями упрощается, если они являются ортогональными и ортонормированными.

Набор функций называется ортогональным, Если в интервале от до

при (2.11)

И ортонормированным, Если для всех Выполняется условие

. (2.12)

Ортогональность базисных функций, с помощью которых представляется исходный сигнал , является гарантией того, что представление сигнала может быть сделано единственным образом. Условию ортогональности отвечают гармонические функции кратных частот, а также функции Уолша, которые на отрезке своего существования от до принимают лишь значения, равные 1, дискретные сигналы Баркера и некоторые другие функции. Спектральный метод анализа сигналов основан на преобразованиях Фурье и состоит в замене сложной функции времени, описывающей сигнал, суммой простых гармонических сигналов, образующих частотный спектр этого сигнала. Знаменитый французский физик и математик Ж. Б. Фурье (1768 – 1830 г. г.) доказал, что любое изменение во времени некоторой функции можно аппроксимировать в виде конечной или бесконечной суммы ряда гармонических колебаний с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. Этой функцией может быть ток или напряжение в электрической цепи.

Рассмотрим вначале представление периодического электрического сигнала (рис. 2.4), отвечающего условию

, (2.13)

где: — период сигнала; =1,2,3,….

Рис. 2.4. Периодический сигнал

Представим этот сигнал бесконечным тригонометрическим рядом:

. (2.14)

Этот ряд называется рядом Фурье.

Возможна запись ряда Фурье в другом виде:

, (2.15)

Где: — модуль амплитуд гармоник;

— фазы гармоник;

— круговая частота;

— коэффициенты косинусоидальных составляющих; — коэффициенты синусоидальных составляющих; — среднее значение сигнала за период (постоянная составляющая).

Отдельные слагаемые рядов называют гармониками. Число является номером гармоники. Совокупность величин в ряде (2.15) называют спектром амплитуд, а совокупность величин — спектром фаз.

Ниже на рис. 2.5 представлены амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала. Вертикальные отрезки амплитудного спектра представляют амплитуды гармоник и называются спектральными линиями.

Рис 2.5. Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала

Таким образом, спектр периодического сигнала – Линейчатый. Каждый периодический сигнал имеет вполне определенные амплитудный и фазовый спектры.

Сумма ряда (2.15) является бесконечной, но, начиная с некоторого номера, амплитуды гармоник настолько малы, что ими можно пренебречь и практически реальный периодический сигнал представляется функцией с ограниченным спектром. Интервал частот, соответствующий ограниченному спектру, называется шириной спектра.

Если функция , описывающая периодический сигнал, является четной, то сумма ряда (2.14) будет содержать только косинусоидальные составляющие. Если — нечетная функция, то сумма будет содержать только синусоидальные составляющие.

Возможно также представление периодического сигнала в виде комплексного ряда Фурье:

, (2.16)

Где:

— комплексные амплитуды спектра, содержащие информацию, как об амплитудном, так и о фазовом спектрах.

После подстановки значений и , получим:

(2.17)

Если подставить полученное значение в ряд (1.29), то он обращается в тождество. Таким образом, периодический электрический сигнал можно задавать либо функцией времени , либо комплексной амплитудой спектра.

2.2.1. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Состав спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов зависит от величины отношения периода последовательности к длительности импульса, называемого скважностью импульсов. В спектре будут отсутствовать гармоники с номерами кратными скважности импульсов. Скважность импульсов равна . На рис.1.17 приведены три импульсные последовательности с разными скважностями и соответствующие им спектры. Для периодической последовательности, скважность которой равна 2, в спектре отсутствуют 2, 4, 6 ,8 и т. д. гармоники. Для последовательности, скважность которой равна 3, в спектре отсутствуют 3, 6 и т. д. гармоники. Для последовательности, скважность которой равна 4, в спектре отсутствуют 4, 8 и т. д. гармоники. Во всех приведенных спектрах интервал между спектральными линиями равен величине обратной периоду последовательности. Точки на оси частот, в которых спектр равен нулю, соответствуют величине, обратной длительности импульсов периодических последовательностей.

Рис.2.6.Периодические последовательности импульсов и их спектры.

2.2.2. Спектр непериодического сигнала

При рассмотрении спектра непериодического сигнала воспользуемся предельным переходом от периодического сигнала к непериодическому сигналу, устремив период к бесконечности.

Для периодического сигнала, представленного на рис. 2.4, ранее получено выражение (2.17) для комплексной амплитуды спектра:

(2.18)

Введем обозначение:

(2.19)

Построим модуль спектра :

Рис. 2.7. Модуль спектра периодического сигнала

Расстояние между спектральными линиями равно . Если увеличивать период , то будет уменьшаться интервал w1 . При интервал между спектральными линиями w1® dw. При этом периодическая последовательность импульсов превращается в одиночный импульс и модуль спектра стремится к непрерывной функции частоты . В результате предельного перехода от периодического сигнала к непериодическому линейчатый спектр вырождается в сплошной спектр, представленный на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Спектр непериодического сигнала

При этом комплексная амплитуда равна:

. (2.20)

С учетом предельного перехода при

(2.21)

Подставим полученное выражение в ряд (2.16). При этом сумма трансформируется в интеграл, а значения дискретных частот в значение текущей частоты и непериодический сигнал можно представить в следующем виде:

. (2.22)

Это выражение соответствует обратному преобразованию Фурье. Огибающая сплошного спектра одиночного импульса совпадает с огибающей линейчатого спектра периодической функции, представляющей периодическое повторение этого импульса.

Интеграл Фурье позволяет любую непериодическую функцию представить в виде суммы бесконечного числа синусоидальных колебаний с бесконечно малыми амплитудами и бесконечно малым интервалом по частоте. Спектр сигнала определяется из выражения

. (2.23)

Этот интеграл соответствует прямому преобразованию Фурье.

– комплексный спектр, в нём содержится информация, как о спектре амплитуд, так и о спектре фаз.

Таким образом, спектр непериодической функции сплошной. Можно сказать, что в нём содержатся «все» частоты. Если вырезать из сплошного спектра малый интервал частот , то частоты спектральных составляющих в этом участке будут отличаться сколь угодно мало. Поэтому спектральные составляющие можно складывать так, как будто все они имеют одну и ту же частоту и одинаковые комплексные амплитуды. Спектральная плотность есть отношение комплексной амплитуды малого интервала частот к величине этого интервала.

Спектральный анализ сигналов имеет фундаментальное значение в радиоэлектронике. Информация о спектре сигнала позволяет обоснованно выбирать полосу пропускания устройств, на которые воздействует этот сигнал.

2.2.3. Спектр одиночного прямоугольного видеоимпульса

Рассчитаем спектр одиночного прямоугольного импульса, амплитуда которого равна Е, а длительность — t, представленного на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Одиночный прямоугольный импульс

В соответствии с выражением (2.24) спектр такого сигнала равен

=. (2.24)

Поскольку = 0 , когда , то частоты, на которых спектр обращается в нуль равны , где K=1,2,3…

На рис. 2.10 представлен комплексный спектр одиночного прямоугольного импульса длительностью .

Рис.2.10. Спектр одиночного прямоугольного импульса

Спектральная плотность определяет распределение энергии в спектре одиночного импульса. В общем случае распределение энергии неоднородно. Однородное распределение характерно для хаотического процесса, называемого «белым шумом».

Спектральная плотность импульса на нулевой частоте равна его площади. Приблизительно 90% энергии одиночного прямоугольного импульса сосредоточено в спектре, ширина которого определяется выражением

. (2.25)

Соотношение (1.41) определяет требования к ширине полосы пропускания радиотехнического устройства. В задачах, где форма сигнала имеет второстепенное значение полосу пропускания устройства для этого сигнала можно выбрать равной ширине первого лепестка спектра. При этом неизвестна степень искажения формы сигнала. Двукратное увеличение полосы пропускания лишь на 5% увеличит энергию сигнала при одновременном возрастании уровня шумов.

2.2.4. Спектры неинтегрируемых сигналов

Фурье анализ применим лишь к интегрируемым функциям, то есть к функциям, для которых выполняется условие сходимости интеграла:

(2.26)

К неинтегрируемым относятся такие сигналы, как -импульс, единичный скачок, гармонический сигнал, постоянное напряжение.

Спектр — импульса

Рассчитаем спектр —Импульса с помощью интеграла прямого преобразования Фурье.

(2.27)

На основании стробирующего свойства — функции получим:

. (2.28)

Таким образом, и . При фаза .

Рис.2.11. Спектр — импульса

Итак, — функция имеет сплошной бесконечный спектр с единичной амплитудой на всех частотах. В момент возникновения импульса все гармонические составляющие бесконечного спектра складываются когерентно, поскольку спектр вещественный. В результате этого наблюдается бесконечно большая амплитуда импульса.

Спектр гармонического сигнала

Вычислим спектр гармонического сигнала с единичной амплитудой .