Как найти sполн конуса

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь поверхности прямого кругового конуса (боковую, полную и основания), а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

  • Формула вычисления площади конуса

    • 1. Боковая поверхность

    • 2. Основание

    • 3. Полная площадь

  • Примеры задач

Формула вычисления площади конуса

1. Боковая поверхность

Площадь (S) боковой поверхности конуса равняется произведению числа π на радиус основания и на длину образующей.

Sбок. = πRl

Площадь поверхности конуса

Образующая (l) соединяет вершину конуса и границу основания, другими словами, точку на окружности.

Примечание: в вычислениях значение числа π округляется до 3,14.

2. Основание

Основанием конуса является круг, площадь которого вычисляется так:

Sосн. = πR2

Учитывая то, что диаметр круга равняется двум его радиусам (d = 2R), данную формулу можно представить в виде:

Sосн. = π(d/2)2

3. Полная площадь

Для вычисления суммарной площади конуса следует сложить площади боковой поверхности и основания:

Sполн. = πRl + πR2 = πR(l + R)

Примеры задач

Задание 1
Вычислите площадь боковой поверхности конуса, если известно, что его радиус равен 16 см, а длина образующей – 5 см.

Решение:
Используем соответствующую формулу с известными нам величинами:
S = 3,14 ⋅ 16 см ⋅ 5 см = 251,2 см2.

Задание 2
Высота конуса равна 4 см, а его радиус – 3 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Если рассмотреть конус в сечении, то можно заметить, что его высота, радиус и образующая представляют собой прямоугольный треугольник. Следовательно, воспользовавшись теоремой Пифагора, можно найти длину образующей (является гипотенузой):
l2 = (4 см)2 + (3 см)2 = 25 см2.
l = 5 см.

Осталось только использовать найденное и известные по условиям задачи значения, чтобы рассчитать площадь:
S = 3,14 ⋅ 3 см ⋅ (5 см + 3 см)  = 75,36 см2.

Определение конуса

Конус — это совокупность всех лучей, которые исходят из какой-либо точки пространства и пересекают плоскую поверхность.

Онлайн-калькулятор площади поверхности конуса

Точка, которая является началом этих лучей, называется вершиной конуса. В случае когда в основании конуса лежит многоугольник, конус превращается в пирамиду.

Конус состоит из некоторых элементов, знать которые необходимо для решения задач.

Образующая — отрезок, соединяющий точку, лежащую на окружности круга, который является основанием, и вершину конуса.
Высота — расстояние от плоскости основания до точки вершины конуса.

Виды конуса

Конус может быть нескольких видов:

Прямым, если его основанием является эллипс или круг. Причем вершина должна точно проектироваться в центр основания.
Косым — это тот случай, когда центр фигуры, лежащей в основании, не совпадает с проекцией вершины на это основание.
Круговым — соответственно, если основание — круг.
Усеченным — область конуса, которая будет лежать между основанием и сечением плоскости, параллельной основанию и пересекающей этот конус.

Формула площади поверхности конуса

Для нахождения полной площади поверхности конуса нужно найти сумму площади основания (или оснований, если конус усеченный) конуса и площади его боковой поверхности:

S=Sосн+SбокS=S_{text{осн}}+S_{text{бок}}

SоснS_{text{осн}} — площадь основания (оснований) конуса;

SбокS_{text{бок}} — площадь боковой поверхности конуса.

Рассмотрим примеры нахождения площади поверхности обычного прямого кругового конуса, а также усеченного этого же конуса.

Формула площади поверхности кругового конуса

Sосн=π⋅r2S_{text{осн}}=picdot r^2
Sбок=π⋅r⋅lS_{text{бок}}=picdot rcdot l

rr — радиус круга (основания) кругового конуса;
ll — длина образующей этого конуса.

Пример

найти площадь конуса

Найти площадь поверхности кругового конуса, если радиус основания равен 3 (см.), а высота hh треугольника, путем вращения которого образовался данный конус, равна 4 (см.)

Решение

r=3r=3
h=4h=4

Образующую можно найти, если рассмотреть треугольник, катетами которого являются радиус и высота, а гипотенузой – сама образующая ll. По теореме Пифагора имеем:

l2=r2+h2l^2=r^2+h^2
l2=32+42l^2=3^2+4^2
l2=25l^2=25
l=5l=5

Вычислим площадь основания конуса:

Sосн=π⋅r2=π⋅32≈28.26S_{text{осн}}=picdot r^2=picdot 3^2approx28.26 (см. кв.)

Площадь боковой поверхности:

Sбок=π⋅r⋅l=π⋅3⋅5≈47.10S_{text{бок}}=picdot rcdot l=picdot 3cdot 5approx47.10 (см. кв.)

Полная площадь

S=Sосн+Sбок≈28.26+47.10=75.36S=S_{text{осн}}+S_{text{бок}}approx28.26+47.10=75.36 (см. кв.)

Ответ: 75.36 см. кв.

Формула площади поверхности усеченного кругового конуса

Для усеченного кругового конуса площадь боковой поверхности можно найти по формуле:

Sбок=π⋅l⋅(r+r′)S_{text{бок}}=picdot lcdot (r+r’)

ll — длина образующей конуса;
rr — радиус основания;
r′r’ — радиус круга, получаемый при усечении кругового конуса.

Пример

площадь конуса  радиус второго основания

Условие возьмем из предыдущей задачи, добавив к нему только лишь радиус второго основания r′r’. Пусть он будет равен 2 (см.). Требуется вычислить полную площадь поверхности этого усеченного конуса.

Решение

l=5l=5
r=3r=3
r′=2r’=2

Оснований у нас теперь два, поэтому полная площадь оснований будет равна сумме площадей этих оснований с радиусами rr и r′r’:

Sосн=Sосн r+Sосн r’S_{text{осн}}=S_{text{осн r}}+S_{text{осн r’}}

Площадь основания радиуса rr:

Sосн r=π⋅r2=π⋅32≈28.26S_{text{осн r}}=picdot r^2=picdot 3^2approx28.26 (см. кв.)

Площадь основания радиуса r′r’:

Sосн r’=π⋅r′2=π⋅22≈12.56S_{text{осн r’}}=picdot r’^2=picdot 2^2approx12.56 (см. кв.)

Площадь боковой поверхности:

Sбок=π⋅l⋅(r+r′)=π⋅5⋅(3+2)≈78.50S_{text{бок}}=picdot lcdot (r+r’)=picdot 5cdot (3+2)approx78.50 (см. кв.)

Полная площадь:

S=Sосн+Sбок=Sосн r+Sосн r’+Sбок≈28.26+12.56+78.50=119,32S=S_{text{осн}}+S_{text{бок}}=S_{text{осн r}}+S_{text{осн r’}}+S_{text{бок}}approx28.26+12.56+78.50=119,32 (см. кв.)

Ответ: 119,32 см. кв.

Не знаете, как решить задачу по геометрии? Наши эксперты оперативно помогут вам с решением!

Тест по теме «Площадь поверхности конуса»

Площадь поверхности конуса состоит из площади боковой поверхности конуса и площади основания (круга).

конус_1.svg

Рис. (1). Конус

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

где (R) — радиус конуса,

(l) — образующая конуса.

Площадь основания конуса вычисляется  по формуле

S(круга) =
πR2.

Площадь полной поверхности конуса  вычисляется по формуле

S(полн.) =S(бок.) +S(круга) =πRl+πR2.

Объём конуса вычисляют по формуле

V = 13⋅H⋅ S(круга) = πR2⋅H3

Площадью боковой поверхности конуса является площадь её развёртки.

Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор.

  

сектор.svg

Рис. (2). Развёртка конуса

α

 — градусная мера центрального угла.

Радиус этого сектора — образующая конуса

(AK = KB = l)

  

Источники:

Рис. 1. Конус. © Якласс

Рис. 2. Развёртка конуса. © Якласс

Как рассчитать площадь поверхности конуса

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности конуса онлайн. Для расчета задайте высоту, радиус или образующую.

Конус – геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника около одного из его катетов.

Образующая конуса – это отрезок, соединяющий вершину и границу основания.

Боковая поверхность через радиус и образующую


Площадь боковой поверхности конуса


Формула боковой поверхности конуса через радиус и образующую:

π – константа равная (3.14); l – образующая конуса; r – радиус основания конуса.


Боковая поверхность через радиус и высоту


Площадь боковой поверхности конуса


Формула боковой поверхности конуса через радиус и высоту:

π – константа равная (3.14); h – высота конуса; r – радиус основания конуса.


Полная площадь через радиус и образующую


Площадь поверхности конуса


Формула площади полной поверхности конуса через радиус и образующую:

π – константа равная (3.14); l – образующая конуса; r – радиус основания конуса.


Полная площадь через радиус и высоту


Площадь полной поверхности конуса


Формула полной площади поверхности конуса через радиус и высоту:

π – константа равная (3.14); h – высота конуса; r – радиус основания конуса.

Площадь поверхности конуса

  1. Главная
  2. /
  3. Математика
  4. /
  5. Геометрия
  6. /
  7. Площадь поверхности конуса

Для того чтобы посчитать площадь поверхности конуса, просто воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Площадь боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса
=
=

Sб.пов =

0

Округление числа π: Округление ответа:

Площадь полной поверхности конуса

Площадь полной поверхности конуса
=
=

Sп.пов =

0

Округление числа π: Округление ответа:

Просто введите данные, и получите ответ.

Теория

Площадь боковой поверхности конуса через образующую

Чему равна площадь боковой поверхности конуса Sб.пов, если образующая l, а радиус основания r:

Формула

Sб.пов = π ⋅ r ⋅ l

через диаметр:

Sб.пов = π ⋅ l ⋅ d2

Пример

Для примера посчитаем чему равна площадь боковой поверхности конуса, образующая которого l = 6 см, а радиус основания r = 3 см:

Sб.пов ≈ 3.14 ⋅ 6 ⋅ 3 ≈ 56.52 см²

Площадь боковой поверхности конуса через высоту

Чему равна площадь боковой поверхности конуса Sб.пов, если высота h, а радиус основания r:

Формула

Sб.пов = π ⋅ r ⋅ r² + h²

через диаметр:

Sб.пов = π ⋅ d2(d/2)² + h²

Пример

Для примера посчитаем чему равна площадь боковой поверхности конуса, высота у которого h = 5 см, а радиус основания r = 2 см:

Sб.пов ≈ 3.14 ⋅ 2 ⋅ 2² + 5² ≈ 6.28 ⋅ 2933.82 см²

Площадь полной поверхности конуса через образующую

Чему равна площадь полной поверхности конуса Sп.пов, если образующая l, а радиус основания r:

Формула

Sп.пов = π ⋅ r ⋅ (r + l)

через диаметр:

Sп.пов = π ⋅ d2 ⋅ (d2 + l)

Пример

Для примера посчитаем чему равна площадь полной поверхности конуса, образующая которого l = 6 см, а радиус основания r = 3 см:

Sп.пов ≈ 3.14 ⋅ 3 ⋅ (3 + 6) ≈ 84.78 см²

Площадь полной поверхности конуса через высоту

Чему равна площадь полной поверхности конуса Sп.пов, если высота h, а радиус основания r:

Формула

Sп.пов = π ⋅ r ⋅ (r + r² + h²)

через диаметр:

Sп.пов = π ⋅ d2 ⋅ (d2 + (d/2)² + h²)

Пример

Для примера посчитаем чему равна площадь полной поверхности конуса, высота у которого h = 5 см, а радиус основания r = 2 см:

Sп.пов ≈ 3.14 ⋅ 2 ⋅ (2 + 2² + 5²) ≈ 6.28 ⋅ (2 + 29) ≈ 46.38 см²

См. также

Добавить комментарий