Загрузить PDF
Загрузить PDF
Чтобы вычислить среднее арифметическое в группе чисел, необходимо их сложить и разделить на количество чисел. В повседневной жизни среднее арифметическое может пригодиться, когда необходимо оценить ежемесячные расходы, узнать, сколько времени уходит на выполнение той или иной задачи, или определить количество людей на основе предыдущего посещения.
-
1
Найдите сумму чисел в данном ряду. Первым делом сложите все числа в числовом ряду. Предположим, вам дан ряд 1, 2, 3, and 6. В этом случае сумма будет составлять
.[1]
-
2
Разделите результат на количество чисел в ряду. Наш ряд состоит из четырех чисел, поэтому следует взять сумму, 12, и разделить ее на четыре.[2]
. Среднее арифметическое в этом ряду равняется 3.[3]
Реклама
-
1
Запишите среднее арифметическое в каждой категории. Прежде всего найдите среднее арифметическое каждой категории, сложив все числа в ряду и разделив на количество чисел. Например, вам требуется найти средневзвешенное значение для класса и даны следующие числа:[4]
- Среднее арифметическое домашней работы = 93 %
- Среднее арифметическое экзамена = 88 %
- Среднее арифметическое проверочной работы = 91 %
-
2
Запишите весовую категорию каждого среднего арифметического. Помните, что весовые категории должны в сумме составлять 100 %. Предположим, вам даны следующие весовые категории:
- Среднее арифметическое домашней работы = 30 % итоговой оценки
- Среднее арифметическое экзамена = 50 % итоговой оценки
- Среднее арифметическое проверочной работы = 20 % итоговой оценки
-
3
-
4
Сложите полученные результаты. Чтобы найти средневзвешенное значение, сложите все три результата:
. Средневзвешенное значение для этого ряда равняется .
Реклама
Советы
- Пользуйтесь бумагой и ручкой, они упрощают жизнь в миллион раз.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 73 270 раз.
Была ли эта статья полезной?
В поисках средних значений: разбираемся со средним арифметическим, медианой и модой
В поисках средних значений: разбираемся со средним арифметическим, медианой и модой
Иногда при работе с данными нужно описать множество значений каким-то одним числом. Например, при исследовании эффективности сотрудников, уровня вовлеченности в аккаунте, KPI или времени ответа на сообщения клиентов. В таких случаях используют меры центральной тенденции. Их можно называть проще — средние значения.
Но в зависимости от вводных данных, находить среднее значение нужно по-разному. Основной набор задач закрывается с использованием среднего арифметического, медианы и моды. Но если выбрать неверный способ — выводы будут необъективны, а результаты исследования нельзя будет признать действительными. Чтобы не допустить ошибку, нужно понимать особенности разных способов нахождения средних значений.
Cтратег, аналитик и контент-продюсер. Работает с агентством «Палиндром».
Как считать среднее арифметическое
Использовать среднее арифметическое стоит тогда, когда множество значений распределяются нормально ― это значит, что значения расположены симметрично относительно центра. Как выглядит нормальное распределение на графике и в таблице, можно посмотреть на примере:
Если данные распределяются как в примерах — вам повезло. Можно без лишних заморочек считать среднее арифметическое и быть уверенным, что выводы будут объективны. Однако, нормальное распределение на практике встречается крайне редко, поэтому среднее арифметическое в большинстве случаев лучше не использовать.
Как рассчитать
Сумму значений нужно поделить на их количество. Например, вы хотите узнать средний ER за 4 дня при нормальном распределении значений и без аномальных выбросов. Для этого считаем среднее арифметическое: складываем ER всех дней и делим полученное число на количество дней.
Если хотите автоматизировать вычисления и узнать среднее арифметическое для большого числа показателей — используйте Google Таблицы:
- Заполните таблицу данными.
- Щелкните по пустой ячейке, в которую хотите записать среднее арифметическое.
- Введите «=AVERAGE(» и выделите ряд чисел, для которых нужно вычислить среднее арифметическое. Нажмите «Enter» после ввода формулы.
Когда можно не использовать
Если данные распределены ненормально, то наши расчеты не будут отражать реальную картину. На ненормальность распределения указывают:
- Отсутствие симметрии в расположении значений.
- Наличие ярко выраженных выбросов.
Как пример ненормального распределения (с выбросами) можно рассматривать среднее время ответа на комментарии по неделям:
Если посчитать среднее значение для такого набора данных с помощью среднего арифметического, то получится завышенное число. В итоге наши выводы будут более позитивными, чем реальное положение дел. Еще стоит учитывать, что выбросы могут не только завышать среднее значение, но и занижать его. В таком случае вы получите более скромный показатель, который не будет соответствовать реальности.
Например, в группе «Золотое Яблоко» во ВКонтакте иногда публикуют конкурсные посты. Они набирают более высокие показатели вовлеченности чем обычные публикации. Если посчитать средний ER с учетом конкурсов, мы получим 0,37%, а без учета конкурсов — только 0,29%. Аналогичная ситуация с числом комментариев. С конкурсами в среднем получаем 917 комментариев, а без конкурсов — всего лишь 503. Очевидно, что из-за розыгрышей средние показатели вовлеченности завышаются. В этом случае конкурсные посты следует исключить из анализа, чтобы объективно оценить эффективность контента в группе.
Еще часто бывает так, что данных очень много, заметны явные выбросы, но на их обработку и исключение аномальных значений не хватит ни времени, ни терпения. Тем более нет гарантий, что исключив выбросы, вы получите нормальное распределение. В таком случае лучше подсчитать средние значения, используя медиану.
Как найти медиану и когда ее применять
Если вы имеете дело с ненормальным распределением или замечаете значительные выбросы — используйте медиану. Так можно получить более адекватное среднее значение, чем при использовании среднего арифметического. Чтобы понять, как работать с медианой, рассмотрим аналогичный пример с ненормальным распределением времени ответов на комментарии.
Ниже в таблице уже введены данные из графика и рассчитано среднее время ответа с помощью среднего арифметического и медианы. Из расчетов видна наглядная разница между средним арифметическим и медианой ― она составляет 17 минут. Такое различие появляется из-за низкого темпа работы на выходных и в нестандартных ситуациях, когда к ответу на сообщения нужно относиться с особой ответственностью (события конца февраля). Подобные выбросы сильно завышают среднее арифметическое, а вот на медиану они практически не влияют. Поэтому если хотите посчитать среднее значение избегая влияния выбросов, — используйте медиану. Такие данные будут без искажений.
Как рассчитать
Разберем на примере. В аккаунте опубликовали семь постов и они набрали разное количество комментариев: 35, 105, 2, 15, 2, 31, 1. Чтобы вычислить медиану, нужно пройти два этапа:
- Расположите числа в порядке возрастания. Итоговый ряд будет выглядеть так: 1, 2, 2, 15, 31, 35, 105.
- Найдите середину сформированного ряда. В центре стоит число 15 — его и нужно считать медианой.
Немного сложнее найти медиану, если вы работаете с четным количеством чисел. Например, вы собрали количество лайков на последних шести постах: 32, 48, 36, 201, 52, 12. Чтобы найти медиану, выполните три действия:
- Расставьте числа по возрастанию: 12, 32, 36, 48, 52, 201.
- Возьмите два из них, наиболее близких к центру. В нашем случае — это 36 и 48.
- Сложите два этих числа и разделите на два: (36 + 48) / 2 = 42. Результат и есть медиана.
Чтобы вычислять медиану быстрее и обрабатывать большие объемы данных — используйте Google Таблицы:
- Внесите данные в таблицу.
- Щелкните по свободной ячейке, в которую хотите записать медиану.
- Введите формулу «=MEDIAN(» и выделите ряд чисел, для которых нужно рассчитать медиану. Нажмите «Enter», чтобы все посчиталось.
Когда можно не использовать
Если данные распределены нормально и вы не видите заметных выбросов — медиану можно не использовать. В этом случае значение среднего арифметического будет очень близким к медиане. Можете выбрать любой способ нахождения среднего, с которым вам работать проще. Результат от этого сильно не изменится.
Что такое мода и где ее использовать
Мода ― это самое популярное/часто встречающееся значение. Например, стоит задача узнать, сколько комментариев чаще всего набирают посты в аккаунте. В этом случае можно не высчитывать среднее арифметическое или медиану ― лучше и проще использовать моду.
Еще пример. Нужно узнать, в какое время аудитория чаще всего взаимодействует с публикациями. Для этого можно посчитать данные вручную или использовать готовую таблицу из LiveDune (вкладка «Вовлеченность» ― таблица «Лучшее время для поста»). По ее данным ― больше всего реакций пользователи оставляют в среду в 16 часов. Это время и есть мода. Таким образом, если вам нужно найти самое популярное значение, а не классическое среднее — проще использовать моду.
Как рассчитать
Чтобы найти наиболее часто встречающееся значение в наборе данных, нужно посмотреть, какое число встречается в ряду чаще всех. Например, для ряда 5, 4, 2, 4, 7 ― модой будет число 4.
Иногда в ряде значений встречается несколько мод. Например, ряду 7, 7, 21, 2, 5, 5 свойственны две моды — 7 и 5. В этом случае совокупность чисел называется мультимодальной. Также поиск моды можно упростить с помощью Google Таблиц:
- Внесите значения в таблицу.
- Щелкните по ячейке, в которую хотите записать моду.
- Введите формулу «=MODE(» и выделите ряд чисел, для которых нужно вычислить моду. Нажмите «Enter».
Однако важно иметь в виду, что табличная функция выдает только самую меньшую моду. Поэтому будьте внимательны — можно упустить из виду несколько мод.
Когда использовать не стоит
Моду нет смысла использовать, если вас не просят найти самое популярное значение. Там, где надо найти классическое среднее значение, про моду лучше забыть.
Памятка по использованию
Среднее арифметическое
Как находим: сумма чисел / количество чисел.
Используем: если данные распределены нормально и нет ярких выбросов.
Не используем: если видим явные выбросы или ненормальное распределение.
Медиана
Как находим: располагаем числа в порядке возрастания и находим середину сформированного ряда.
Используем: если работаем с ненормальным распределением или видим выбросы.
Не используем: если выбросов нет и распределение нормальное.
Мода
Как находим: определяем значение, которое чаще всего встречается в ряду чисел.
Используем: если нужно найти не среднее, а самое популярное значение.
Не используем: если нужно найти классическое среднее значение.
Только важные новости в ежемесячной рассылке
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку персональных данных.
Подписывайся сейчас и получи гайд аудита Instagram аккаунта
Маркетинговые продукты LiveDune — 7 дней бесплатно
Наши продукты помогают оптимизировать работу в соцсетях и улучшать аккаунты с помощью глубокой аналитики
Анализ своих и чужих аккаунтов по 50+ метрикам в 6 соцсетях.
Оптимизация обработки сообщений: операторы, статистика, теги и др.
Автоматические отчеты по 6 соцсетям. Выгрузка в PDF, Excel, Google Slides.
Контроль за прогрессом выполнения KPI для аккаунтов Инстаграм.
Аудит Инстаграм аккаунтов с понятными выводами и советами.
Поможем отобрать «чистых» блогеров для эффективного сотрудничества.
|
Ddv122 Почемучка) 1244 / 304 / 30 Регистрация: 23.12.2010 Сообщений: 2,001 Записей в блоге: 1 |
||||
|
1 |
||||
Среднее арифметическое для больших чисел26.12.2011, 17:24. Показов 3476. Ответов 5 Метки нет (Все метки)
Всем добрый день. Попалась мне темка, задачка на составление среднего арифметического для больших чисел. Когда при стандартной формуле (a+b)/2 происходит переполнение int, и делим мы уже на 2 непонятно что. В гугле нашел формулу
Но, честно говоря логически не дошел до нее самостоятельно. Подскажите где почитать об этом, что бы понять: -как получается та формула; Буду рад любым намекам. Спасибо
0 |
|
1673 / 1045 / 174 Регистрация: 27.09.2009 Сообщений: 1,945 |
|
|
26.12.2011, 18:51 |
2 |
|
Формула получается очень просто. Математически (a+b)/2 = a/2 + b/2. Это основа. Но когда мы работаем с целыми числами, происходит округление вниз. Скажем, 5/2 = 2, 7/2 = 3. И когда мы тупо прибегнем к этой формуле, получим, что (5+7)/2 = 12/2 = 6 даёт нам не то же самое, что 5/2 + 7/2 = 2 + 3 = 5. Очевидно, что иногда надо добавлять к сумме единичку. Когда это надо? Когда оба слагаемых a и b нечётные. Именно так и ведёт себя выражение (a&b&1) – когда одновременно оба числа нечётные, даёт 1, в противном случае 0.
0 |
|
Почемучка) 1244 / 304 / 30 Регистрация: 23.12.2010 Сообщений: 2,001 Записей в блоге: 1 |
|
|
26.12.2011, 21:36 [ТС] |
3 |
|
Спасибо большое. Все же не очевидно пока почему добавляем единицу при нечетных числах. А так же я не до конца понимаю роль символа – &. Какой то ступор сегодня…Но очень хочется разобраться
0 |
|
1673 / 1045 / 174 Регистрация: 27.09.2009 Сообщений: 1,945 |
|
|
26.12.2011, 23:16 |
4 |
|
Символ & обозначает побитовую операцию “И”. Если не знаешь теорию таких вещей, то лучше что-нибудь на эту тему почитать, так рассказывать долго.
0 |
|
Почемучка) 1244 / 304 / 30 Регистрация: 23.12.2010 Сообщений: 2,001 Записей в блоге: 1 |
|
|
26.12.2011, 23:32 [ТС] |
5 |
|
& – и && – или, это все знаю, спасибо. Просто в таком контексте ни разу не применял. Объяснение прямо для чайников, все просто и понятно. Спасибо огромное!
0 |
|
1673 / 1045 / 174 Регистрация: 27.09.2009 Сообщений: 1,945 |
|
|
28.12.2011, 20:41 |
6 |
|
& – побитовое И, && – логическое. Аналогично, | – побитовое ИЛИ, || – логическое.
0 |
|
IT_Exp Эксперт 87844 / 49110 / 22898 Регистрация: 17.06.2006 Сообщений: 92,604 |
28.12.2011, 20:41 |
|
Помогаю со студенческими работами здесь
Найти сумму элементов дин. массива, стоящих на местах, кратных 3 и больших, чем его среднее арифметическое
Найти среднее арифметическое чисел #include…
Искать еще темы с ответами Или воспользуйтесь поиском по форуму: 6 |
Найти среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел|
|
Макеты страниц
Среднее арифметическое трех чисел а, b, с определяется как 
среднее геометрическое — как 
(мы вновь предполагаем, что 
). Аналогичные определения даются и для любого количества чисел: среднее арифметическое 
чисел 
определяется как
среднее геометрическое неотрицательных чисел 
— как
Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом верно для любого количества чисел:
Как и в разобранном ранее случае двух чисел, равенство возможно, только если все числа равны.
Прежде чем доказывать неравенство, извлечем некоторые следствия.
Задача 331. Используя неравенство, доказать, что если 
— неотрицательные числа, для которых
то
Решение.
В двух следующих задачах также предполагается использовать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (без доказательства).
Задача 332. Доказать, что произведение 
неотрицательных чисел с заданной суммой максимально, когда эти числа равны.
Задача 333. Доказать, что сумма 
неотрицательных чисел с заданным произведением минимальна, когда эти числа равны.
Существуют разные доказательства неравенства о средних арифметическом и геометрическом, но наиболее естественное использует математический анализ (понятие производной). Мы обойдемся без него — но поневоле это будет выглядеть как трюк.
Задача 334. Доказать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для 
Решение. Нам даны 4 неотрицательных числа а, b, с, d. Будем менять их, сохраняя неизменной их сумму (и, следовательно, среднее арифметическое). При этом их произведение будет меняться — и мы будем следить за тем, как именно. Наше доказательство проходит в несколько этапов.
1. Заменим а и 
на два числа, каждое из которых равно 
Сумма не изменится. Произведение возрастет (или останется прежним, если 
сомножители с и d не меняются, а произведение двух чисел с заданной суммой 
максимально, когда числа равны.
2. То же самое сделаем с 
Сумма не изменится, произведение снова увеличится (или останется прежним, если 
).
3. Мы выравняли числа в первой паре и во второй паре, теперь будем выравнивать между парами:
4. Теперь осталось выравнять второе и четвертое числа:
В конечном итоге мы заменили числа
на числа
где 
— среднее арифметическое, и их произведение возросло (или осталось прежним)
или
Что и требовалось.
Задача 335. Доказать, что неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для четырех чисел превращается в равенство, только если все числа равны.
Указание. Из решения предыдущей задачи видно, что равенство возможно лишь, если на всех стадиях описанного там процесса наши числа фактически не изменялись.
Задача 336. Как доказать неравенство о среднем арифметическом и геометрическом для 
?
Решение. Точно так же: сначала выравниваем числа в четырех парах, затем между парами — и получается две четверки, затем выравниваем все восемь.
Задача 337. Доказать неравенство о среднем арифметическом и геометрическом для 
Решение. Из трех чисел а, b, с сделаем четыре, добавив среднее геометрическое: получатся числа
к которым применим неравенство для четырех чисел:
Корень, стоящий в левой части неравенства, представляет собой не что иное, как 
Чтобы убедиться в этом, возведем оба (неотрицательных) числа 
в четвертую степень: получим одно и то же:
и
Итак,
Что и требовалось доказать.
Задача 338. Используя неравенство о средних для 
доказать его для 
Задача 339. Доказать неравенство о средних для 
Указание. Воспользоваться предыдущими задачами.
Задача 340. Доказать неравенство о средних для всех целых 71 2.
Указание. Сначала доказываем для 
, а затем спускаемся вниз.
Задача 341. Доказать, что неравенство между арифметическим и геометрическим средними обращается в равенство, только если все числа равны.
Неравенство о среднем арифметическом и геометрическом можно доказывать и по-другому.
Заметим прежде всего, что если все числа 
увеличить в одно и то же число раз — например, в три раза — то и среднее арифметическое, и среднее геометрическое увеличатся в то же самое число раз. При этом их соотношение сохранится. Поэтому, желая доказать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, можно изменить
все числа во столько раз, чтобы среднее арифметическое стало равно 1. Тем самым достаточно доказать:
Будем доказывать это для различных значений n.
1. Для 
мы это уже знаем: если сумма двух чисел равна 2, то их можно записать как 
и их произведение равно 
2. Докажем это для 
. Пусть сумма трех положительных чисел a, b, с равна 3. Если не все они равны 1, то среди них есть как числа, большие 1, так и числа, меньшие 1. Пусть например, 
Тогда 
произведение
будет отрицательным, т. е.
Так как
то
или
Глядите-ка: мы имеем два числа 
и с, их сумма меньше 2, а доказать надо, что их произведение не больше 1. А для двух чисел мы это уже знаем.
Внимательный читатель остановит нас: для двух чисел мы доказали, что если сумма равна 2, то произведение не
больше 1. А здесь сумма меньше 2. Но эта разница несущественна: увеличим одно из чисел, сделав сумму равной 2 — от этого произведение только возрастет.
3. Пусть теперь 
мы должны доказать, что
Опять же одно из чисел (например, а) должно быть меньше 1, а другое (например, b) должно быть больше 1. Тогда
поэтому
И вновь осталось доказать, что если сумма трех (неотрицательных) чисел меньше 3, то их произведение не больше 1 — мы свели дело к доказанному ранее. И так далее.
Следующее доказательство неравенства о среднем арифметическом и геометрическом для трех чисел является, вероятно, самым коротким — но и самым загадочным.
Из тождества
которое легко проверить, раскрыв скобки, следует, что при неотрицательных о, 6, с его левая часть неотрицательна, то есть
Остается подставить вместо а, b и с кубические корни 
А вот еще одно обоснование неравенства о среднем арифметическом и геометрическом.
Нам нужно доказать, что произведение 
неотрицательных чисел с заданной суммой максимально, когда числа равны. Пусть это не так и числа 
для которых произведение максимально, не все равны между собой. Предположим, для примера, что 
. Будем менять 
оставляя 
неизменными, причем так, чтобы сумма 
оставалась постоянной. Произведение 
а с ним и произведение 
будет меняться. Сделав 
равными, мы увеличим их произведение, поскольку произведение двух неотрицательных чисел с постоянной суммой максимально, когда числа равны. Тем самым увеличится и произведение 
значит, оно не было максимально возможным!
Задача 342. Найти недостаток в этом рассуждении.
Ответ. Мы доказали, что максимум произведения 
(при постоянной сумме) не может достигаться, если числа 
не равны. Но не доказали, что этот максимум вообще достигается. На самом деле этот факт следует из общих теорем математического анализа, так что пробел может быть восполнен. Кроме того, можно усложнить наше рассуждение, сближая 
не до полного совпадения, а до тех пор, пока одно из них не станет равным среднему арифметическому чисел 
. Тогда в конце концов все числа станут равными среднему арифметическому.
Задача 343. Числа 
положительны; доказать, что
Задача 344. Доказать, что
при любых 
.
Задана 345. Каково минимальное значение а 
если 
.
Задача 346. Доказать неравенство
для любых неотрицательных а, b и с.
Задача 347. Доказать неравенство
Задача 348. Доказать, что
Решение. Число 
можно представить как произведение 11 сомножителей, из которых один равен 1, а все остальные равны 
Сравнивая это произведение с 
видим, что сумма сомножителей осталась неизменной, а все они стали равными. Следовательно, произведение выросло.
Задача 349. Доказать, что
Указание. Правую часть можно представить в виде произведения 11 сомножителей, один из которых равен
а остальные равны 
. Левая часть есть произведение 11 одинаковых сомножителей. Достаточно убедиться, что сумма сомножителей левой части больше суммы сомножителей правой части и воспользоваться неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом.
Задача 350. Расположите 4 числа из двух предыдущих задач в порядке возрастания.
Оглавление
- 1. Предисловие
- 2. Перемена мест слагаемых
- 3. Перемена мест сомножителей
- 4. Сложение столбиком
- 5. Таблица умножения. Умножение столбиком
- 6. Деление «уголком»
- 7. Двоичная система счисления
- 8. Коммутативность
- 9. Ассоциативность
- 10. Расстановки скобок
- 11. Дистрибутивность
- 12. Буквы в алгебре
- 13. Сложение отрицательных чисел
- 14. Умножение отрицательных чисел
- 15. Действия с дробями
- 16. Степени
- 17. Отрицательные степени
- 18. Как умножить a^m на a^n или почему наше определение удобно
- 19. Правило умножения степеней
- 20. Формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы
- 21. Как объяснить формулу (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 младшему брату или сестре
- 22. Квадрат разности
- 23. Разность квадратов
- 24. Куб суммы
- 25. Четвертая степень суммы
- 26. (a+b)^5, (a+b)^6 и треугольник Паскаля
- 27. Многочлены
- 28. Отступление: какие многочлены считать равными?
- 29. Сколько одночленов останется?
- 30. Коэффициенты и значения
- 31. Разложение на множители
- 32. Рациональные выражения
- 33. Преобразование рационального выражения в частное двух многочленов
- 34. Многочлены и рациональные дроби с одной переменной
- 35. Деление многочленов с остатком
- 36. Остаток при делении на х – а
- 37. Многочлены, значения, интерполяция
- 38. Арифметические прогрессии
- 39. Сумма арифметической прогрессии
- 40. Геометрические прогрессии
- 41. Сумма геометрической прогрессии
- 42. Разные задачи о прогрессиях
- 43. Хорошо темперированный клавир
- 44. Сумма бесконечной прогрессии
- 45. Уравнения
- 46. Квадратное уравнение
- 47. Случай p = 0. Квадратный корень
- 48. Свойства квадратных корней
- 49. Уравнение х^2 + рх + q = 0
- 50. Теорема Виета
- 51. Разложение квадратного трехчлена на множители
- 52. Формула для корней уравнения ах^2 + bх + c = 0
- 53. Бще одна формула корней квадратного уравнения
- 54. Квадратное уравнение становится линейным
- 55. График квадратного трехчлена
- 56. Квадратные неравенства
- 57. Максимум и минимум квадратного трехчлена
- 58. Биквадратные уравнения
- 59. Возвратные уравнения
- 60. Как завалить на экзамене. Советы экзаменатору
- 61. Корни
- 62. Степень с дробным показателем
- 63. Доказательства числовых неравенств
- 64. Среднее арифметическое и среднее геометрическое
- 65. Среднее геометрическое не больше среднего арифметического
- 66. Задачи на максимум и минимум
- 67. Геометрические иллюстрации
- 68. Средние многих чисел
- 69. Среднее квадратическое
- 70. Среднее гармоническое
- 71. Книги для дальнейшего чтения
Среднее арифметическое нескольких величин – это отношение суммы величин к их количеству.
Правило. Чтобы вычислить среднее арифметическое нескольких чисел, нужно взять сумму этих чисел и разделить все на количество слагаемых. Частное и будет средним арифметическим этих чисел.
Например: найдем среднее арифметическое чисел 2; 6; 9; 15.
У нас четыре числа, значит надо их сумму разделить на четыре. Это и будет среднее арифметическое данных чисел: (2 + 6 + 9 + 15) : 4 = 8.
Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.
Например: найдем размах чисел 2; 5; 8; 12; 33.
Наибольшее число здесь – 33, наименьшее – 2. Значит, размах составляет 31, т. е.: 33 – 2 = 31.
Мода ряда чисел – это число, которое встречается в данном ряду чаще других.
Например: найдем моду ряда чисел 1; 7; 3; 8; 7; 12; 22; 7; 11; 22; 8.
Чаще всего в этом ряде чисел встречается число 7 (3 раза). Оно и является модой данного ряда чисел.
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.
Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.
Например: в ряде чисел 2; 5; 9; 15; 21 медианой является число 9, находящееся посередине.
Найдем медиану в ряде чисел 4; 5; 7; 11; 13; 19.
Здесь четное количество чисел (6). Поэтому ищем не одно, а два числа, записанных посередине. Это числа 7 и 11. Находим среднее арифметическое этих чисел: (7 + 11) : 2 = 9. Число 9 является медианой данного ряда чисел.
-
В институте сдавали зачет по высшей математике. В группе было 10 человек, и они получили соответствующие оценки: 3; 5; 5; 4; 4; 4; 3; 2; 4; 5.
Какую оценку получали чаще всего? Каков средний балл сдавшей зачет группы?
-
Дан ряд чисел: 175; 172; 179; 171; 174; 170; 172; 169.
Найдите медиану и размах ряда.
-
Дан ряд чисел: 175; 172; 179; 171; 174; 170; 172; 169.
Найдите моду ряда и среднее арифметическое ряда.
-
Имеются следующие данные о месячной заработной плате пяти рабочих (тг): 126000; 138000; 132000; 141000; 150000.
Найдите среднюю заработную плату.
-
Магазин продает 8 видов булочек по следующим ценам: 31; 22; 24; 27; 30; 36; 19; 27.
Найдите разность среднего арифметического и медианы этого набора.
-
Найдите объем и медиану числового ряда.
9; 7; 1; 1; 11; 5; 1.
-
Товарные запасы хлопчатобумажных тканей в магазине за первое полугодие составили (тыс. тг) на начало каждого месяца:
I II III IV V VI VII 37 34 35 32 36 33 38 Определите средний товарный запас хлопчатобумажных тканей за первое полугодие.
-
Провели несколько измерений случайной величины: 2,5; 2,2; 2; 2,4; 2,9; 1,8.
Найдите среднее арифметическое этого набора чисел.
-
Провели несколько измерений случайной величины: 6; 18; 17; 14; 4; 22.
Найдите медиану этого набора чисел.
-
Провели несколько измерений случайной величины:
800; 3200; 2000; 2600; 2900; 2000. Найдите моду этого набора чисел.
-
Магазин продает 8 видов хлеба по следующим ценам: 60, 75, 80, 85, 90, 100, 110, 120 тенге.
Найдите разность среднего арифметического и медианы этого набора.
-
Дан числовой ряд: 1; 7; 3; 8; 7; 12; 22; 7; 11; 22; 7,8.
Найдите среднее арифметическое, размах и моду.
