Как найти среднее арифметическое больших чисел

Загрузить PDF

Загрузить PDF

Чтобы вычислить среднее арифметическое в группе чисел, необходимо их сложить и разделить на количество чисел. В повседневной жизни среднее арифметическое может пригодиться, когда необходимо оценить ежемесячные расходы, узнать, сколько времени уходит на выполнение той или иной задачи, или определить количество людей на основе предыдущего посещения.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 73 270 раз.

В поисках средних значений: разбираемся со средним арифметическим, медианой и модой

В поисках средних значений: разбираемся со средним арифметическим, медианой и модой

Иногда при работе с данными нужно описать множество значений каким-то одним числом. Например, при исследовании эффективности сотрудников, уровня вовлеченности в аккаунте, KPI или времени ответа на сообщения клиентов. В таких случаях используют меры центральной тенденции. Их можно называть проще — средние значения.

Но в зависимости от вводных данных, находить среднее значение нужно по-разному. Основной набор задач закрывается с использованием среднего арифметического, медианы и моды. Но если выбрать неверный способ — выводы будут необъективны, а результаты исследования нельзя будет признать действительными. Чтобы не допустить ошибку, нужно понимать особенности разных способов нахождения средних значений.

Как считать среднее арифметическое

Использовать среднее арифметическое стоит тогда, когда множество значений распределяются нормально ― это значит, что значения расположены симметрично относительно центра. Как выглядит нормальное распределение на графике и в таблице, можно посмотреть на примере:

Если данные распределяются как в примерах — вам повезло. Можно без лишних заморочек считать среднее арифметическое и быть уверенным, что выводы будут объективны. Однако, нормальное распределение на практике встречается крайне редко, поэтому среднее арифметическое в большинстве случаев лучше не использовать.

Как рассчитать

Сумму значений нужно поделить на их количество. Например, вы хотите узнать средний ER за 4 дня при нормальном распределении значений и без аномальных выбросов. Для этого считаем среднее арифметическое: складываем ER всех дней и делим полученное число на количество дней.

Если хотите автоматизировать вычисления и узнать среднее арифметическое для большого числа показателей — используйте Google Таблицы:

1. Заполните таблицу данными.
2. Щелкните по пустой ячейке, в которую хотите записать среднее арифметическое.
3. Введите «=AVERAGE(» и выделите ряд чисел, для которых нужно вычислить среднее арифметическое. Нажмите «Enter» после ввода формулы.

Когда можно не использовать

Если данные распределены ненормально, то наши расчеты не будут отражать реальную картину. На ненормальность распределения указывают:

• Отсутствие симметрии в расположении значений.
• Наличие ярко выраженных выбросов.

Как пример ненормального распределения (с выбросами) можно рассматривать среднее время ответа на комментарии по неделям:

Если посчитать среднее значение для такого набора данных с помощью среднего арифметического, то получится завышенное число. В итоге наши выводы будут более позитивными, чем реальное положение дел. Еще стоит учитывать, что выбросы могут не только завышать среднее значение, но и занижать его. В таком случае вы получите более скромный показатель, который не будет соответствовать реальности.

Например, в группе «Золотое Яблоко» во ВКонтакте иногда публикуют конкурсные посты. Они набирают более высокие показатели вовлеченности чем обычные публикации. Если посчитать средний ER с учетом конкурсов, мы получим 0,37%, а без учета конкурсов — только 0,29%. Аналогичная ситуация с числом комментариев. С конкурсами в среднем получаем 917 комментариев, а без конкурсов — всего лишь 503. Очевидно, что из-за розыгрышей средние показатели вовлеченности завышаются. В этом случае конкурсные посты следует исключить из анализа, чтобы объективно оценить эффективность контента в группе.

Еще часто бывает так, что данных очень много, заметны явные выбросы, но на их обработку и исключение аномальных значений не хватит ни времени, ни терпения. Тем более нет гарантий, что исключив выбросы, вы получите нормальное распределение. В таком случае лучше подсчитать средние значения, используя медиану.

Как найти медиану и когда ее применять

Если вы имеете дело с ненормальным распределением или замечаете значительные выбросы — используйте медиану. Так можно получить более адекватное среднее значение, чем при использовании среднего арифметического. Чтобы понять, как работать с медианой, рассмотрим аналогичный пример с ненормальным распределением времени ответов на комментарии.

Ниже в таблице уже введены данные из графика и рассчитано среднее время ответа с помощью среднего арифметического и медианы. Из расчетов видна наглядная разница между средним арифметическим и медианой ― она составляет 17 минут. Такое различие появляется из-за низкого темпа работы на выходных и в нестандартных ситуациях, когда к ответу на сообщения нужно относиться с особой ответственностью (события конца февраля). Подобные выбросы сильно завышают среднее арифметическое, а вот на медиану они практически не влияют. Поэтому если хотите посчитать среднее значение избегая влияния выбросов, — используйте медиану. Такие данные будут без искажений.

Как рассчитать

Разберем на примере. В аккаунте опубликовали семь постов и они набрали разное количество комментариев: 35, 105, 2, 15, 2, 31, 1. Чтобы вычислить медиану, нужно пройти два этапа:

• Расположите числа в порядке возрастания. Итоговый ряд будет выглядеть так: 1, 2, 2, 15, 31, 35, 105.
• Найдите середину сформированного ряда. В центре стоит число 15 — его и нужно считать медианой.

Немного сложнее найти медиану, если вы работаете с четным количеством чисел. Например, вы собрали количество лайков на последних шести постах: 32, 48, 36, 201, 52, 12. Чтобы найти медиану, выполните три действия:

• Расставьте числа по возрастанию: 12, 32, 36, 48, 52, 201.
• Возьмите два из них, наиболее близких к центру. В нашем случае — это 36 и 48.
• Сложите два этих числа и разделите на два: (36 + 48) / 2 = 42. Результат и есть медиана.

Чтобы вычислять медиану быстрее и обрабатывать большие объемы данных — используйте Google Таблицы:

• Внесите данные в таблицу.
• Щелкните по свободной ячейке, в которую хотите записать медиану.
• Введите формулу «=MEDIAN(» и выделите ряд чисел, для которых нужно рассчитать медиану. Нажмите «Enter», чтобы все посчиталось.

Когда можно не использовать

Если данные распределены нормально и вы не видите заметных выбросов — медиану можно не использовать. В этом случае значение среднего арифметического будет очень близким к медиане. Можете выбрать любой способ нахождения среднего, с которым вам работать проще. Результат от этого сильно не изменится.

Что такое мода и где ее использовать

Мода ― это самое популярное/часто встречающееся значение. Например, стоит задача узнать, сколько комментариев чаще всего набирают посты в аккаунте. В этом случае можно не высчитывать среднее арифметическое или медиану ― лучше и проще использовать моду.

Еще пример. Нужно узнать, в какое время аудитория чаще всего взаимодействует с публикациями. Для этого можно посчитать данные вручную или использовать готовую таблицу из LiveDune (вкладка «Вовлеченность» ― таблица «Лучшее время для поста»). По ее данным ― больше всего реакций пользователи оставляют в среду в 16 часов. Это время и есть мода. Таким образом, если вам нужно найти самое популярное значение, а не классическое среднее — проще использовать моду.

Как рассчитать

Чтобы найти наиболее часто встречающееся значение в наборе данных, нужно посмотреть, какое число встречается в ряду чаще всех. Например, для ряда 5, 4, 2, 4, 7 ― модой будет число 4.

Иногда в ряде значений встречается несколько мод. Например, ряду 7, 7, 21, 2, 5, 5 свойственны две моды — 7 и 5. В этом случае совокупность чисел называется мультимодальной. Также поиск моды можно упростить с помощью Google Таблиц:

• Внесите значения в таблицу.
• Щелкните по ячейке, в которую хотите записать моду.
• Введите формулу «=MODE(» и выделите ряд чисел, для которых нужно вычислить моду. Нажмите «Enter».

Однако важно иметь в виду, что табличная функция выдает только самую меньшую моду. Поэтому будьте внимательны — можно упустить из виду несколько мод.

Когда использовать не стоит

Моду нет смысла использовать, если вас не просят найти самое популярное значение. Там, где надо найти классическое среднее значение, про моду лучше забыть.

Памятка по использованию

Макеты страниц

Оглавление

• 1. Предисловие
• 2. Перемена мест слагаемых
• 3. Перемена мест сомножителей
• 4. Сложение столбиком
• 5. Таблица умножения. Умножение столбиком
• 6. Деление «уголком»
• 7. Двоичная система счисления
• 8. Коммутативность
• 9. Ассоциативность
• 10. Расстановки скобок
• 11. Дистрибутивность
• 12. Буквы в алгебре
• 13. Сложение отрицательных чисел
• 14. Умножение отрицательных чисел
• 15. Действия с дробями
• 16. Степени
• 17. Отрицательные степени
• 18. Как умножить a^m на a^n или почему наше определение удобно
• 19. Правило умножения степеней
• 20. Формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы
• 21. Как объяснить формулу (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 младшему брату или сестре
• 22. Квадрат разности
• 23. Разность квадратов
• 24. Куб суммы
• 25. Четвертая степень суммы
• 26. (a+b)^5, (a+b)^6 и треугольник Паскаля
• 27. Многочлены
• 28. Отступление: какие многочлены считать равными?
• 29. Сколько одночленов останется?
• 30. Коэффициенты и значения
• 31. Разложение на множители
• 32. Рациональные выражения
• 33. Преобразование рационального выражения в частное двух многочленов
• 34. Многочлены и рациональные дроби с одной переменной
• 35. Деление многочленов с остатком
• 36. Остаток при делении на х – а
• 37. Многочлены, значения, интерполяция
• 38. Арифметические прогрессии
• 39. Сумма арифметической прогрессии
• 40. Геометрические прогрессии
• 41. Сумма геометрической прогрессии
• 42. Разные задачи о прогрессиях
• 43. Хорошо темперированный клавир
• 44. Сумма бесконечной прогрессии
• 45. Уравнения
• 46. Квадратное уравнение
• 47. Случай p = 0. Квадратный корень
• 48. Свойства квадратных корней
• 49. Уравнение х^2 + рх + q = 0
• 50. Теорема Виета
• 51. Разложение квадратного трехчлена на множители
• 52. Формула для корней уравнения ах^2 + bх + c = 0
• 53. Бще одна формула корней квадратного уравнения
• 54. Квадратное уравнение становится линейным
• 55. График квадратного трехчлена
• 56. Квадратные неравенства
• 57. Максимум и минимум квадратного трехчлена
• 58. Биквадратные уравнения
• 59. Возвратные уравнения
• 60. Как завалить на экзамене. Советы экзаменатору
• 61. Корни
• 62. Степень с дробным показателем
• 63. Доказательства числовых неравенств
• 64. Среднее арифметическое и среднее геометрическое
• 65. Среднее геометрическое не больше среднего арифметического
• 66. Задачи на максимум и минимум
• 67. Геометрические иллюстрации
• 68. Средние многих чисел
• 69. Среднее квадратическое
• 70. Среднее гармоническое
• 71. Книги для дальнейшего чтения

Среднее арифметическое нескольких величин – это отношение суммы величин к их количеству.

Правило. Чтобы вычислить среднее арифметическое нескольких чисел, нужно взять сумму этих чисел и разделить все на количество слагаемых. Частное и будет средним арифметическим этих чисел.

Например: найдем среднее арифметическое чисел 2; 6; 9; 15.

У нас четыре числа, значит надо их сумму разделить на четыре. Это и будет среднее арифметическое данных чисел: (2 + 6 + 9 + 15) : 4 = 8.

Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Например: найдем размах чисел 2; 5; 8; 12; 33.

Наибольшее число здесь – 33, наименьшее – 2. Значит, размах составляет 31, т. е.: 33 – 2 = 31.

Мода ряда чисел – это число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Например: найдем моду ряда чисел 1; 7; 3; 8; 7; 12; 22; 7; 11; 22; 8.

Чаще всего в этом ряде чисел встречается число 7 (3 раза). Оно и является модой данного ряда чисел.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

Например: в ряде чисел 2; 5; 9; 15; 21 медианой является число 9, находящееся посередине.

Найдем медиану в ряде чисел 4; 5; 7; 11; 13; 19.

Здесь четное количество чисел (6). Поэтому ищем не одно, а два числа, записанных посередине. Это числа 7 и 11. Находим среднее арифметическое этих чисел: (7 + 11) : 2 = 9. Число 9 является медианой данного ряда чисел.

1. В институте сдавали зачет по высшей математике. В группе было 10 человек, и они получили соответствующие оценки: 3; 5; 5; 4; 4; 4; 3; 2; 4; 5.

   Какую оценку получали чаще всего? Каков средний балл сдавшей зачет группы?

2. Дан ряд чисел: 175; 172; 179; 171; 174; 170; 172; 169.

   Найдите медиану и размах ряда.

3. Дан ряд чисел: 175; 172; 179; 171; 174; 170; 172; 169.

   Найдите моду ряда и среднее арифметическое ряда.

4. Имеются следующие данные о месячной заработной плате пяти рабочих (тг): 126000; 138000; 132000; 141000; 150000.

   Найдите среднюю заработную плату.

5. Магазин продает 8 видов булочек по следующим ценам: 31; 22; 24; 27; 30; 36; 19; 27.

   Найдите разность среднего арифметического и медианы этого набора.

6. Найдите объем и медиану числового ряда.

   9; 7; 1; 1; 11; 5; 1.

7. Товарные запасы хлопчатобумажных тканей в магазине за первое полугодие составили (тыс. тг) на начало каждого месяца:

   I	II	III	IV	V	VI	VII
   37	34	35	32	36	33	38

   Определите средний товарный запас хлопчатобумажных тканей за первое полугодие.

8. Провели несколько измерений случайной величины: 2,5; 2,2; 2; 2,4; 2,9; 1,8.

   Найдите среднее арифметическое этого набора чисел.

9. Провели несколько измерений случайной величины: 6; 18; 17; 14; 4; 22.

   Найдите медиану этого набора чисел.

10. Провели несколько измерений случайной величины:

    800; 3200; 2000; 2600; 2900; 2000. Найдите моду этого набора чисел.

11. Магазин продает 8 видов хлеба по следующим ценам: 60, 75, 80, 85, 90, 100, 110, 120 тенге.

    Найдите разность среднего арифметического и медианы этого набора.

12. Дан числовой ряд: 1; 7; 3; 8; 7; 12; 22; 7; 11; 22; 7,8.

    Найдите среднее арифметическое, размах и моду.