Как найти среднее арифметическое чисел видеоурок

§ 1  Что такое «среднее арифметическое»?

Цель нашего урока – выяснить, что такое среднее арифметическое и в чем его практическое применение?

Давайте решим задачу:

Вес одного яблока составляет 120 граммов, второго яблока – 130 граммов, а третьего яблока – 155 граммов. Необходимо определить средний вес одного яблока.

Для начала, сложим все три значения веса 120 + 130 + 155 получится 405 граммов – это вес трех яблок. Значит для того, чтобы найти – сколько граммов приходится на одно яблоко, необходимо 405 разделить на 3, будет 135 граммов.

Т.е. средний вес трех яблок равен 135 граммам.

Так вот число 135 является средним арифметическим трех чисел – 120, 130 и 155.

Итак, средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношению суммы этих чисел к их количеству.

Сущность среднего арифметического состоит в том, что если каждую величину в каком-то измерении заменить средним, то общая сумма не изменится.

§ 2  Правило вычисления среднего арифметического

Примером среднего арифметического служат такие показатели как урожайность, производительность, средняя скорость движения на определенном участке пути и многое другое.

Среднее арифметическое дает возможность охарактеризовать большой ряд числовых значений одним числом, сравнить отдельные величины со средним значением или выявить отклонения от нормы в ту или иную сторону.

Вычисление среднего арифметического выполняется по следующему правилу:

Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел надо:

1. сложить все эти числа;

2. полученную сумму разделить на количество этих чисел.

§ 3  Примеры решения задач на нахождение среднего арифметического

Разберем это правило на нескольких примерах.

Задача № 1:

На олимпиаде фигуристка получила следующие оценки 5,8; 5,7; 5,4; 5,1. Необходимо найти среднюю оценку этой участницы.

Решение:

Сложим все результаты:

5,8 + 5,7 + 5,4 + 5,1 = 22

Теперь разделим 22 на 4 (так как количество слагаемых равно четырем), получится 5,5. Таким образом, средняя оценка участницы равна 5,5 баллам.

Задача № 2:

Турист шел 3 часа по шоссе со скоростью 5,1 км/ч и 2 часа по лесу со скоростью 3,6 км/ч.

С какой постоянной скоростью он должен был идти, чтобы пройти то же расстояние за то же время?

Решение:

Найдем всё расстояние, которые прошел пешеход:

для этого умножим скорость ходьбы туриста на время, которое он потратил на оба расстояния:

5,1 × 3 = 15,3

3,6 × 2 = 7,2

и сложим полученные произведения:

15,3 + 7,2 = 22,5.

Значит 22,5 км турист прошел за всё время движения, т.е. за 5 часов.

Разделим полученное расстояние на все время движения:

22,5 ÷ 5 = 4,5.

Получили ответ:

Турист должен идти с постоянной скоростью 4,5 км/ч.

Такую скорость называют средней скоростью движения.

Между прочим, этот же ответ можно получить, если найти среднее арифметическое скоростей за каждый час движения: т.е сначала выполнить сложение:

5,1 + 5,1 + 5,1 + 3,6 + 3,6 = 22,5 и разделить на 5, получится 4,5.

Ответ средняя скорость движения туриста 4,5 км/ч.

Итак, для нахождения средней скорости движения можно воспользоваться формулой:

Средняя скорость равна отношению всего пройденного пути ко всему времени движения.

Кстати подобным же образом находят среднюю урожайность, среднюю производительность и т.д.

Задача №3:

С одного поля, площадь которого – 87 гектаров собрали 10 тысяч 450 центнеров картофеля, а с другого поля, площадью 113 гектаров, собрали 14 тысяч 980 центнеров.

Необходимо найти среднюю урожайность картофеля на этих полях.

Решение:

Найдем сколько всего центнеров картофеля собрали с обоих полей для этого:

10 450 + 14 980 = 25 430 центнеров картофеля.

Теперь вычислим общую площадь двух полей:

87 + 113 = 200

Далее разделим полученный вес картофеля на общую площадь этих полей:

25 430 ÷ 200 = 127,15

Ответ: 127,15 центнеров с гектара – средняя урожайность картофеля на этих полях.

Таким образом, мы достигли поставленной цели на данном уроке:

1. Выяснили, что такое среднее арифметическое и в чем его практическое применение;

2. Узнали, как найти среднее арифметическое и среднюю скорость движения.

– Паша, привет. Чем занимаешься?

– Привет, Саша. Да вот читаю журнал.
Представляешь, в России за год каждый человек съедает по 4,3 килограмма шоколада.
Это же сколько шоколадок получается?

– Интересно, а как считали? Вот, например, я
очень люблю шоколад и могу съесть много, а мой сосед Ваня вообще не ест
шоколад, у него аллергия. И как тогда получили столько шоколада? Это что, у
каждого жителя России спрашивали, сколько шоколада он ест? У меня никто не
спрашивал. Какое-то это неправильное число, и вообще непонятно, откуда его
взяли.

– Может, сходим к Электроше
и у него узнаем, как получили это число?

– Пойдём.

– Электроша,
привет.

– Мы к тебе с новым вопросом. Вот смотри, в
журнале мы прочитали, что каждый житель России за год съедает 4,3 килограмма
шоколада. И нам интересно, а как это считают? Ведь если, например, Ваня не
может есть шоколад из-за аллергии, то за год он никак не съест так много.

– Сейчас я вам всё объясню. Но сначала
давайте порешаем устно.

Вернёмся к вашей задаче.

В таких случаях речь идёт о среднем
количестве шоколада, который съедают жители России. Получают это число так:
общее количество всего шоколада, который съели за год, делят на общее
количество людей, которые живут в России.

Аналогичным способом можно посчитать,
например, средний возраст ребят вашего класса.

Или, например, таким же способом можно узнать
среднюю скорость набора текста на компьютере.

В масштабах страны среднее арифметическое
используют тогда, когда говорят, например, о том, что пшеницы собрано
пятнадцать тонн с гектара или о среднем размере пенсии.

Для таких задач ввели специальную величину – среднее
арифметическое.

Дадим определение. Средним
арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих
чисел на количество слагаемых.

Попробуем найти среднее арифметическое чисел: .

Сложим их, разделим на 3 и получим, что
среднее арифметическое равно 17,5.

Вам всё понятно?

– Да.

– Тогда, Саша, задание для тебя.

Найдите среднее арифметическое чисел: .

Сложим все числа. Так как всего чисел 3,
значит, и делить будем на 3. Получим, что среднее арифметическое чисел  равно 24.

Очень часто, когда мы слышим, что автомобиль
ехал со средней скоростью 90 километров в час, речь идёт именно о среднем арифметическом скоростей.

Давайте попробуем найти среднюю температуру
за 3 жарких летних дня. По показаниям синоптиков, температура в первый день
поднималась до 25 градусов выше нуля, во второй – до 23, а в третий – до 27
градусов выше нуля. Чтобы найти среднюю температуру, нам надо найти среднее
арифметическое трёх чисел. Сложим их и разделим на 3. Получим, что средняя
температура за 3 дня составляла 25 градусов выше нуля.

Давайте решим вот такую задачу.

Автомобиль 3 часа ехал со скоростью 56
километров в час. Затем 2 часа – со скоростью 57 километров в час. Определите
среднюю скорость движения автомобиля.

– Ой, Электроша, а
мы не знаем, как такое решать. Ты можешь помочь?

– Конечно. Давайте вспомним формулу, по
которой мы можем найти скорость. Паша, ты помнишь?

– Скорость равна отношению длины всего
пути ко времени, потраченному на этот путь .

– Правильно. Давайте посчитаем, чему равно
общее расстояние, которое проехал автомобиль.

– Паша, посчитай.

– Хорошо. Перемножим 3 и 56, получим, что со
скоростью 56 километров в час автомобиль проехал 168 километров. Со скоростью
57 километров в час автомобиль проехал 114 километров. То есть всего автомобиль
проехал 282 километра.

А время, которое автомобиль был в пути, найти
несложно. Оно равно 5.

– Остаётся только поделить путь на время, и
получим, что средняя скорость автомобиля равна 56,4 километра в час.

– Вам стало понятно, ребята?

– Да, Электроша.

– Тогда вот для вас ещё одно задание. Среднее
арифметическое пяти чисел равно 25,7. Первые четыре числа равны 13,9; 7,2;
20,4; 9,5. Найдите пятое число.

– Саша, это задание для тебя.

Обозначим пятое число за х.

– У нас известно среднее арифметическое пяти
чисел.

Тогда мы можем определить сумму этих чисел.
Зная сумму и первые четыре числа, пятое определить несложно. Получим, что пятое
число равно 77,5.

– Молодец.

Вот вам ещё одно задание. Одно число больше
второго в 5 раз. Среднее арифметическое чисел равно 6. Найдите эти числа.

– Паша, это задание для тебя.

Обозначим одно число за х, получим,
что второе число равно 5х.

Раз среднее арифметическое двух чисел равно
6, значит, сумма искомых чисел равна 12. Получаем уравнение: 6х = 12.
Отсюда х = 2. Это первое число, и второе число равно 10.

– Молодец, Паша.

Важно знать. Термин среднее арифметическое имеет глубокие корни. Это понятие появилось ещё при Пифагоре и называлось «медианное», то есть серединное чего либо.

Пифагорейцы рассматривали тройку чисел, где одно из них было средним арифметическим двух других. Например: 2,4,6. 4 это среднее арифметическое 2 и 6. (2+6):2=4

Не только пифагорейцы развивали идею среднего арифметического. Средневековый мыслитель Аль-Бируни, живший в одиннадцатом веке, искал результат среди большого количества измерений. Он брал среднее арифметическое наибольшего и наименьшего значений.

Карл Фридрих Гаусс говорил «Хотя среднее значение и не совсем строгое, оно близко к действительности, и на него можно положиться».

Среднее арифметическое используется когда не нужна абсолютная точность.

Среднее значение

Обратите внимание. В привычной жизни люди часто сталкиваются со средними значениями — средняя температура, средняя урожайность, средний возраст.

В фигурном катании и гимнастике необходим средний балл. Он поможет вывести средний балл для оценки выступления спортсменов.

Важно знать. Для этого необходимо сложить все оценки, выставленные судьями и поделить на их количество.

Средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношение суммы этих чисел к их количеству.

Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел необходимо:

1. Сложить все числа

1. Найти количество слагаемых

1. Полученную сумму разделить на количество этих чисел

Запомните. Если в результате подсчета среднего  арифметического получается десятичная дробь в периоде, то его можно округлить.

По правилу округления если второй знак после запятой от 1 до 5 округление делается в меньшую сторону. Если это число от 6 до 9, то округление производится в большую сторону.

Например:

Найти среднее арифметическое чисел

1. 6, 10 и 3

(6+10+3):3=18:3=6

1. 6, 10, 3, 4, и 12

(6+10+3+4+12):5=35:5=7

Рассмотрим задачу

Поезд ехал 3 часа со скоростью 60 км/ч и 2 часа со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость пути.

Средняя скорость поезда — одна и та же  неизменная скорость поезда.

1)60*3=180 км — проехал поезд за 3 часа

2)70*2= 150 км — проехал поезд за 2 часа

3)3+2=5 ч в пути

4)180+150=330 км — весь путь поезда

Для того, чтобы найти среднюю скорость необходимо весь пройденный путь поделить на все время движения.

5)330:5=66 км/ч — средняя скорость поезда на всем пути

Другой пример:

Среднее арифметическое чисел 10,8 и х равно 10,2. Найдите х

1 ч — 10,8

2 ч — х

Среднее арифметическое этих чисел — 10,2

(10,8+х):2=10,2

10,8+х=10,2*2

10,8+х=20,4

х=20,4-10,8

x=9,6

Проверка:

(10,8+9,6):2=10,2

10,2=10,2

Задача

Найти среднюю температуру за 3 летних дня. По сведениям синоптиков температура в первый день была 15 градусов выше нуля, во второй день — 20 градусов выше нуля, а в третий — 18 градусов выше нуля.

(15+20+19): 3 = 18

Средняя скорость движения

Определение. Средняя скорость движения — весь пройденный путь делённый на все время движения.

Вывод. Среднее арифметическое используется повсеместно — в спорте, статистике и философии благодаря простоте использования. Оно используется в тех случаях, когда не нужна абсолютная точность и достаточно примерного числа.

Видеоуроки являются идеальными помощниками при изучении новых тем, закреплении материала, для обычных и факультативных занятий, для групповой и индивидуальной работы. Они содержат оптимальное количество графической и анимационной информации для сосредоточения внимания и удержания интереса ребят без отвлечения от сути занятия. Каждый видеоурок озвучен профессиональным мужским голосом, четким и приятным для восприятия.

Ученики ценят оригинальность подачи материала, родители радуются повышению отметок детей, а учителя в восторге от эффекта и экономии времени и денег при подготовке к урокам.

____________________________________

★Инфоурок★
Крупнейший в России образовательный онлайн-проект

МЫ ПРЕДЛАГАЕМ:

✓ Курсы дополнительного образования детей и взрослых: https://infourok.ru/
✓ Тесты для учителей и воспитателей: https://infourok.ru/tests
✓ Самые массовые международные дистанционные олимпиады: https://infourok.ru/konkurs
✓ Видеоуроки по 14 предметам: https://infourok.ru/videouroki
✓ Каталог репетиторов: https://infourok.ru/tutor/ru
✓ Библиотека методических материалов для учителей: https://infourok.ru/biblioteka

© 2012–2017 Издатель: Проект «Инфоурок»