Сре́днее арифмети́ческое (в математике и статистике) — разновидность среднего значения. Определяется как число, равное сумме всех чисел множества, делённой на их количество. Является одной из наиболее распространённых мер центральной тенденции.
Предложена (наряду со средним геометрическим и средним гармоническим) ещё пифагорейцами[1].
Частными случаями среднего арифметического являются среднее (генеральной совокупности) и выборочное среднее (выборки).
На случай, если количество элементов множества чисел стационарного случайного процесса бесконечное, в качестве среднего арифметического играет роль математическое ожидание случайной величины.
Введение[править | править код]
Обозначим множество чисел X = (x1, x2, …, xn) — тогда выборочное среднее обычно обозначается горизонтальной чертой над переменной (
, произносится «x с чертой»).
Для обозначения среднего арифметического всей совокупности чисел обычно используется греческая буква μ. Для случайной величины, для которой определено среднее значение, μ есть вероятностное среднее, или математическое ожидание случайной величины. Если множество X является совокупностью случайных чисел с вероятностным средним μ, тогда для любой выборки xi из этой совокупности μ = E{xi} есть математическое ожидание этой выборки.
На практике разница между μ и в том, что μ является типичной переменной, потому что видеть можно скорее выборку, а не всю генеральную совокупность. Поэтому, если выборку представлять случайным образом (в терминах теории вероятностей), тогда (но не μ) можно трактовать как случайную переменную, имеющую распределение вероятностей на выборке (вероятностное распределение среднего).
Обе эти величины вычисляются одним и тем же способом:
Если X — случайная переменная, тогда математическое ожидание X можно рассматривать как среднее арифметическое значений в повторяющихся измерениях величины X. Это является проявлением закона больших чисел. Поэтому выборочное среднее используется для оценки неизвестного математического ожидания.
В элементарной алгебре доказано, что среднее n + 1 чисел больше среднего n чисел тогда и только тогда, когда новое число больше чем старое среднее, меньше тогда и только тогда, когда новое число меньше среднего, и не меняется тогда и только тогда, когда новое число равно среднему. Чем больше n, тем меньше различие между новым и старым средними значениями.
Заметим, что имеется несколько других «средних» значений, в том числе среднее степенное, среднее Колмогорова, гармоническое среднее, арифметико-геометрическое среднее и различные средне-взвешенные величины (например, среднее арифметическое взвешенное, среднее геометрическое взвешенное, среднее гармоническое взвешенное).
Примеры[править | править код]
- Для получения среднего арифметического трёх чисел необходимо сложить их и разделить на 3:
- Для получения среднего арифметического четырёх чисел необходимо сложить их и разделить на 4:
Непрерывная случайная величина[править | править код]
Если существует интеграл от некоторой функции 
одной переменной, то среднее арифметическое этой функции на отрезке ![[a;b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e776d74130a8890a814c1f4e74372a9110d2f9)
определяется через определённый интеграл:
![{displaystyle {overline {f(x)}}_{[a;b]}={frac {1}{b-a}}int _{a}^{b}f(x)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db0287956e28e4ced0b833809f5b0ed44aaa7339)
Здесь для определения отрезка подразумевается, что 
причём 
чтобы знаменатель не был равен 0.
Линейное преобразование[править | править код]
Линейно преобразованный набор данных 
можно получить при применении линейного отображения 
к метрически скалируемому набору данных 
следующим образом: 
. Тогда новое среднее значение набора данных будет равно 
, так как 
.
Некоторые проблемы применения среднего[править | править код]
Отсутствие робастности[править | править код]
Хотя среднее арифметическое часто используется в качестве средних значений или центральных тенденций, это понятие не относится к робастной статистике, то есть среднее арифметическое подвержено сильному влиянию «больших отклонений». Примечательно, что для распределений с большим коэффициентом асимметрии среднее арифметическое может не соответствовать понятию «среднего», а значения среднего из робастной статистики (например, медиана) может лучше описывать центральную тенденцию.
Классическим примером является подсчёт среднего дохода. Арифметическое среднее может быть неправильно истолковано в качестве медианы, из-за чего может быть сделан вывод, что людей с большим доходом больше, чем на самом деле. «Средний» доход истолковывается таким образом, что доходы большинства людей находятся вблизи этого числа. Этот «средний» (в смысле среднего арифметического) доход является выше, чем доходы большинства людей, так как высокий доход с большим отклонением от среднего делает сильный перекос среднего арифметического (в отличие от этого, средний доход по медиане «сопротивляется» такому перекосу). Однако этот «средний» доход ничего не говорит о количестве людей вблизи медианного дохода (и не говорит ничего о количестве людей вблизи модального дохода). Тем не менее если легкомысленно отнестись к понятиям «среднего» и «большинство народа», то можно сделать неверный вывод о том, что большинство людей имеют доходы выше, чем они есть на самом деле. Например, отчёт о «среднем» чистом доходе в Медине, штат Вашингтон, подсчитанный как среднее арифметическое всех ежегодных чистых доходов жителей, даст на удивление большое число — из-за Билла Гейтса. Рассмотрим выборку (1, 2, 2, 2, 3, 9). Среднее арифметическое равно 3.17, но пять значений из шести ниже этого среднего.
Сложный процент[править | править код]
Если числа перемножать, а не складывать, нужно использовать среднее геометрическое, а не среднее арифметическое. Наиболее часто этот казус случается при расчёте окупаемости инвестиций в финансах.
Например, если акции в первый год упали на 10 %, а во второй год выросли на 60 %, тогда вычислять «среднее» увеличение за эти два года как среднее арифметическое (−10 % + 60 %) / 2 = 25 % некорректно, а правильное среднее значение в этом случае дают совокупные ежегодные темпы роста: годовой рост получается 20 %.
Причина этого в том, что проценты имеют каждый раз новую стартовую точку: 60 % — это 60 % от меньшего, чем цена в начале первого года, числа: если акции в начале стоили $30 и упали на 10 %, они в начале второго года стоят $27. Если акции выросли на 60 %, они в конце второго года стоят $43,2. Арифметическое среднее этого роста 25 %, но, поскольку акции выросли за 2 года всего на $13,2, средний рост в 20 % даёт конечный результат $43,2:
$30 × (1 – 0,1)*(1 + 0,6) = $30 × (1 + 0,2)*(1 + 0,2) = $43,2. Если же использовать таким же образом среднее арифметическое значение 25 %, мы не получим фактическое значение: $30 × (1 + 0,25)*(1 + 0,25) = $46,875.
Сложный процент в конце 2 года: 90 % * 160 % = 144 %, то есть общий прирост 44 %, а среднегодовой сложный процент 
, то есть среднегодовой прирост 20 %.
Таким образом среднегодовой прирост рассчитывается по формуле среднего геометрического
Направления[править | править код]
При расчёте среднего арифметического значений некоторой переменной, изменяющейся циклически (например, фаза или угол), следует проявлять особую осторожность. Например, среднее чисел 1° и 359° будет равно 180°. Этот результат неверен по двум причинам.
Среднее значение для циклической переменной, рассчитанное по приведённой формуле, будет искусственно сдвинуто относительно настоящего среднего к середине числового диапазона. Из-за этого среднее рассчитывается другим способом, а именно, в качестве среднего значения выбирается число с наименьшей дисперсией (центральная точка). Также вместо вычитания используется модульное расстояние (то есть, расстояние по окружности). Например, модульное расстояние между 1° и 359° равно 2°, а не 358° (на окружности между 359° и 360° = 0° — один градус, между 0° и 1° — тоже 1°, в сумме — 2°).
Примечания[править | править код]
- ↑ Cantrell, David W., «Pythagorean Means» Архивная копия от 22 мая 2011 на Wayback Machine from MathWorld
См. также[править | править код]
- Арифметическая пропорция
- Арифметическая прогрессия
- Неравенство Швейцера
- Среднее арифметическое взвешенное
Ссылки[править | править код]
- Арифметическая средняя // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- Финансовая математика. Дисперсия. Среднее арифметическое. Среднеквадратическое отклонение. Коэффициент вариации Архивная копия от 19 сентября 2020 на Wayback Machine / Методики финансового анализа
- Среднее арифметическое — показатель центральной тенденции / Теория вероятностей и математическая статистика
Как найти среднее арифметическое
Это пригодится не только для решения школьных задачек, но и при различных подсчётах в обычной жизни.
Что такое среднее арифметическое
Среднее арифметическое — это сумма всех чисел в ряду, разделённая на количество слагаемых.
Как найти среднее арифметическое
Например, перед вами ряд чисел «1, 2, 3, 4, 5, 6». Как следует из определения, чтобы узнать среднее арифметическое, нужно сложить все данные вам числа, а потом разделить получившийся результат на количество этих чисел. В приведённом примере — на шесть. Вот как это выражается формулой:
Допустим, вам нужно определить среднее арифметическое для чисел 4, 5 и 6. Складываем 4 + 5 + 6 = 15. Теперь делим 15 на 3 и получаем 5. Это и будет среднее арифметическое.
Таким же образом оно подсчитывается для десятичных и обыкновенных дробей.
Пример расчёта среднего арифметического для обыкновенных дробей будет выглядеть так:
А это пример, как найти среднее арифметическое для десятичных дробей:
Как это пригодится в жизни
Среднее арифметическое помогает описать множество цифровых значений всего одним числом. Например, по выше представленной формуле можно подсчитать усреднённую цену на товар или среднюю зарплату сотрудников в одной организации, среднюю посещаемость заведения. Это полезно для ведения статистики и в случаях, когда нужно сжато изложить информацию.
Читайте также 🧐
- 7 причин полюбить математику
- 7 способов найти площадь прямоугольника
- 6 способов посчитать проценты от суммы с калькулятором и без
- Как освоить устный счёт школьникам и взрослым
- 10 увлекательных задач от советского математика
|
Формула среднего арифметического чисел?
Среднее арифметическое нескольких чисел — это сумма этих чисел, делённая на их количество. x ср = S/n где: x ср — среднее арифметическое S — сумма чисел n — количество чисел. Например, нам нужно найти среднее арифметическое чисел 3, 4, 5 и 6. Для этого нам нужно их сложить и полученную сумму разделить на 4: (3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18 : 4 = 4,5. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Алсу – Ш 8 лет назад Мне, как математику, интересны вопросы по данному предмету. Начну с истории вопроса. Над средними величинами задумывались с древних времмен. Среднее арифметическое, среднее геометоическое, среднее гармоническое. Эти понятия предложены в древней Греции пифагорийцами. А теперь интересующий нас вопрос. Что же понимается под средним арифметичским нескольких чисел: Итак, для нахождения среднего арифметического чисел нужно прибавить все числа и разделить полученную сумму на количество слагаемых. Имеет место формула:
Пример. Найти среднее арифметическое чисел: 100, 175, 325. Решение. Воспользуемся формулой нахождения среднего арифметического трех чисел (то есть вместо n будет 3; нужно сложить все 3 числа и разделить полученную сумму на их количество, т.е. на 3). Имеем: х=(100+175+325)/3=600/3=200. Ответ: 200.
Арифметика считается самым элементарным разделом математики и изучает простые действия с числами. Поэтому и среднее арифметическое также находится очень просто. Начнем с определения. Среднее арифметическое – это величина, которая показывает какое число наиболее близко к истине при нескольких последовательных однотипных действиях. Например при беге на сто метров человек каждый раз показывает разное время, но средняя величина будет в пределах например 12 секунд. Нахождение среднего арифметического таким образом сводится в последовательному суммированию всех чисел определенного ряда (результатов забегов) и деление этой суммы на количество этих забегов (попыток, чисел). В виде формулы это выглядит так: Sариф = (Х1+Х2+..+Хn)/n
Среднее арифметическое – это среднее число между несколькими числами. Например между числами 2 и 4 среднее число 3. Формула нахождения среднего арифметического такая: Нужно сложить все числа и разделить на количество этих чисел:
Например у нас 3 числа: 2, 5 и 8. Находим среднее арифметическое: X=(2+5+8)/3=15/3=5 Область применения среднего арифметического достаточно широка. Например можно зная координаты двух точек отрезка найти координаты середины этого отрезка. Например координаты отрезка: (X1,Y1,Z1)-(X2,Y2,Z2). Обозначим середину этого отрезка координатами X3,Y3,Z3. Отдельно находим середину для каждой координаты: X3=(X1+X2)/2; Y3=(Y1+Y2)/2; Z3=(Z1+Z2)/2;
Красивая поляна 8 лет назад Средне арифметическое число, это числа сложенные вместе и деленные на их количество, полученный ответ и есть средне арифметическое число. Например: Катя положила в копилку 50 рублей, Максим 100 рублей, а Саша положил в копилку 150 рублей. 50 + 100 + 150 = 300 рублей в копилке, теперь делим эту сумму на три (три человека положили деньги). Итак 300 : 3 = 100 рублей. Эти 100 рублей и будет средне арифметически, каждый из них положил в копилку. Есть такой простой пример: один человек ест мясо, другой человек ест капусту, а средне арифметически они оба едят голубцы. Таким же образом рассчитывают среднюю зарплату…
Среднеарифметическое-это среднее значение из заданных… Т.е. по простому имеем количество палочек разной длины и хотим узнать их среднее значение.. Логично, что для этого мы их сводим вместе, получая длинную палку, а потом делим её на требуемое число частей.. Вот и выходит среднеарифметическое.. Вот так и выводится формула:Sa=(S(1)+..S(n))/n..
Птичка2014 8 лет назад Среднее арифметическое – это сумма всех значений и деленное на их количество. Например числа 2, 3 , 5, 6 . Нужно их сложить 2+ 3+ 5 + 6 = 16 16 делим на 4 и получаем ответ 4 . 4 и есть среднее арифметическое этих чисел.
Azamatik 7 лет назад Средним арифметическим называют сумму чисел, разделенное на количество этих самых чисел. А найти среднее арифметическое очень просто. Как следует из определения мы должны взять числа, сложить их и разделить на их количество. Приведем пример: дается числа 1, 3, 5, 7 и нам надо найти среднее арифметическое этих чисел.
Итак, среднее арифметическое чисел 1, 3, 5 и 7 – это 4.
tana76 7 лет назад Среднее арифметическое – среднее значение среди заданных показателей. Оно находится путем деления суммы всех показателей на их количество. Например, у меня есть 5 яблок весом 200, 250, 180, 220 и 230 грамм. Средний вес 1 яблока находим так:
Это наиболее часто применяемый в статистике показатель.
Alen4uk 7 лет назад Это мы знаем со школьной скамьи. У кого был хороший учитель по математике, то запомнить это нехитрое действие можно было с первого раза. При нахождении среднего арифметического необходимо сложить все имеющиеся числа и разделить на их количество. Например, я купила в магазине 1 кг яблок, 2 кг бананов, 3 кг апельсинов и 1 кг киви. Сколько килограммов в среднем я купила фруктов. 1+2+3+1=7. 7/4= 1,8 килограммов. Это и будет среднеарифметическим значением.
Даксплячи Учлинзайх 7 лет назад Помню как итоговую контрольную по математике сдавал Так там нужно было среднее арифметическое найти. Хорошо что добрые люди подсказали что делать, иначе беда. Например у нас 4 числа. Складываем числа и делим на их количество (в данном случае 4) Например цифры 2,6,1,1. Складываем 2+6+1+1 и делим на 4 = 2.5 Как видите ничего сложного. Так что среднее арифметическая – это среднее значение всех чисел. Знаете ответ? |
Среднее арифметическое
Онлайн калькулятор поможет найти среднее арифметическое чисел. Среднее арифметическое множества чисел (ряда чисел) — число, равное сумме всех чисел множества, делённой на их количество.
Программа вычисляет среднее арифметическое элементов массива, среднее арифметическое натуральных чисел, целых чисел, набора дробных чисел.
Формула которая используется для расчета среднего арифметического значения:
Приведём примеры нахождения среднего арифметического ряда чисел:
Среднее арифметическое двух чисел: (2+5)/2=3.5;
Среднее арифметическое трёх чисел: (2+5+7)/3=4.66667;
Среднее арифметическое 4 чисел: (2+5+7+2)/4=4;
Найти выборочное среднее (математические ожидание):
Среднее арифметическое 5 чисел: (2+5+7+2+3)/5=3.8;
Среднее арифметическое 6 чисел: (2+5+7+2+3+4)/6=3.833;
Среднее арифметическое 7 чисел: (2+5+7+2+3+4+8)/7=4.42857;
Среднее арифметическое 8 чисел: (2+5+7+2+3+4+8+5)/8=4.5;
Среднее арифметическое 10 чисел: (2+5+7+2+3+4+8+5+9+1)/10=4.6;
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone – просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android – просто добавьте страницу
«На главный экран»
Смотрите также
План урока:
Понятие среднего арифметического
Алгоритм нахождения среднего арифметического
Интересные факты
Понятие среднего арифметического
К сестрам Марине, Наталье, Елене в гости приехала бабушка. Она привезла своим внучкам гостинцы: восемнадцать конфет, шесть шоколадок, шесть киндер-сюрпризов. Сказала угощение разделить поровну. Определите, сколько сладостей достанется каждой девочке?
Ответ на вопрос, можно получить двумя способами. Рассмотрим их.
1
Чтобы выяснить, сколько сладостей достанется одной девочке, нужно каждый вид угощения разделить поровну – на 3.
Разделим конфеты между детьми:
18 : 3 = 6.
Теперь известно, что каждому ребенку досталось 6 конфет.
Разделим шоколадки:
6 :3 = 2.
Каждой внучке досталось две шоколадки.
Разделим шоколадные яйца:
6 : 3 = 2.
Выяснили, бабушка привезла по два киндер-сюрприза.
Стало известно, сколько гостинцев получил один ребенок. Теперь, вычислим, сколько сладостей досталось каждой девочке. Сложим количество конфет(6), шоколадок(2), киндер-сюрпризов(2), имеющихся у одной девочки:
6+2+2=10.
Получается, бабушка привезла по 10 сладостей.
Запишем решение задачи.
Как видите, способ, довольно простой, ноимеет длинную запись, занимает много времени. Рассмотрим второй способ решения задач такого вида.
2
Известно, сколько гостинцев привезла бабушка: конфет–восемнадцать, шоколадок – шесть, киндер-сюрпризов – шесть. Чтобы узнать количество гостинцев, доставшееся каждой сестре, сложим гостинцы и разделим поровну. То есть, суммируем привезенные подарки, делим на 3. Такой способ решения, имеет название в математике – «Нахождение среднего арифметического». Сформулируем, определение, среднего арифметического:
Среднее арифметическое нескольких чисел – результат деления суммы этих чисел на их количество
Используя, рассмотренное определение, найдем общее количество угощения, для этого сложим количество сладостей каждого вида конфеты + шоколадки + киндеры:
18+6+6=30.
Получается, что всего было 30 угощений. Теперь, эту сумму(30) делим на количество слагаемых(3), использованных в сумме:
30 : 3 =10.
Каждой внучке досталось по 10 сладостей.
Запишем решение этой задачи с использованием второго способа.
Как видите, второй способ, более краткий и удобный. Главное – запомнить изученное определение. Ведь, решение задач такого вида часто встречается на протяжении всего учебного процесса!
Алгоритм нахождения среднего арифметического
Рассмотрим следующую задачу.
Два брата-садовода продавали собранные фрукты. Первый брат продал яблок на 25000 рублей, а второй брат продал груш на сумму 15000 рублей. Все заработанные деньги братья разделили поровну. Сколько денег заработал каждый садовод?
Чтобы ответить на вопрос, необходимо использовать изученное правило.
Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, нужно сумму этих чисел разделить на их количество. Для этого:
1. Определяем количество слагаемых;
2. Находим сумму всех слагаемых;
3. Делим полученную сумму на количество слагаемых
В начале давайте определим количество слагаемых. Так как фрукты продавали два садовода, то и делить выручку будем между ними. То есть количество слагаемых в сумме – два.
Теперь можем найти общую сумму, заработанную братьями. Для этого, складываем выручку первого и второго брата:
25000+15000=40000
Всего они заработали 40000 рублей.
Зная, что общая сумма равна 40000 рублей, мы можем найти сумму заработка каждого садовода. Для этого полученную сумму (40000) делим на количество слагаемых (2):
40000 : 2 = 20000.
Получается, заработок садовода составил 20000 рублей.
В ходе решения данной задачи мы составили алгоритм нахождения среднего арифметического.
Запомни!
Алгоритм вычисления среднего арифметического:
1. Находим слагаемые и считаем их количество;
2. Суммируем все слагаемые;
3. Полученную сумму делим на количество слагаемых
Держи табличку всегда под рукой, тогда сможешь найти среднее арифметическое любых чисел!
Выполним задание.
Найди среднее арифметическое чисел 10,20,30,40.
Чтобы выполнить необходимые вычисления, вспоминаем,
среднее арифметическое – частное суммы всех слагаемых и их количества
Мы уже знаем, что для вычисления заданий, такого вида, существует специальный алгоритм. Используя данный алгоритм,выполним все необходимые действия.
Следуя определенному алгоритму, мы без труда выполнили задание.
Запомни формулу среднего арифметического!
В заключение нашего урока рассмотрим еще одну задачу.
В школе четыре пятых класса 5А,5Б,5В,5Г. 5А – 22 ученика, 5Б –30 учеников, 5В – 28 детей, 5Г – 20. Найдите, сколько детей училось бы в каждом классе, если во всех классах учеников будет поровну.
Исходя из условия, в этой задаче нужно найти среднее количество учеников в одном классе. Чтобы ответить на главный вопрос, необходимо воспользоваться алгоритмом вычисления среднего арифметического.
Значит, если бы во всех пятых классах школы, училось равное количество учеников, в каждом классе было по 25 детей.
Запишем решение.
Сегодня вы узнали, как найти среднее арифметическое число. Внимательно рассмотрите урок, и запомните основные определения и алгоритмы! Тогда, любая контрольная будет по плечу!
Интересные факты
- По статистике, дети улыбаются 400 раз в день, а взрослые всего 17. Улыбайтесь чаще!
- В России продолжительность жизни мужчин составляет 70 лет, женщин – 78 лет!
- Ежедневно в Росси рождается 5000 детей.
- Ученые подсчитали, за всю жизнь, человек тратит 5 лет на процесс приема пищи,
- Ученые подсчитали, за 70 лет, человек поглощает более 50000 килограммов пищи, в том числе около 200-300 килограммов поваренной соли. Так же, каждый человек, достигший 70 летнего возраста, выпил за всю жизнь 50000 литров воды, что больше в 1400 раз массы человеческого тела.
- Одной хорошей шариковой ручкой можно написать 50000 слов.
Когда трескается стекло, трещина распространяется со скоростью 5000 км/ч.
