Как найти среднее арифметическое таблицы частот

План урока:

Понятие выборки и генеральной совокупности

Среднее арифметическое выборки

Упорядоченный ряд и таблица частот

Размах выборки

Мода выборки

Медиана выборки

Ошибки в статистике

Понятие выборки и генеральной совокупности

Слово статистика, образованное от латинского status(состояние дел), появилось только в 1746 году, когда его употребил немец Готфрид Ахенвалль. Однако ещё в Древнем Китае проводились переписи населения, в ходе которых правители собирали информацию о своих владениях и жителях, проживающих в них.

В основе любого статистического исследования лежит массив информации, который называют выборкой данных. Покажем это на примере. Пусть в классе, где учится 20 учеников, проводился тест по математике, содержавший 25 вопросов. В результате учащиеся показали следующие результаты:

Ряд чисел, приведенный во второй строке таблицы (12, 19, 19, 14, 17, 16, 18, 20, 15, 25, 13, 20, 25, 16, 17, 12, 24, 13, 21, 13), будет выборкой. Также ее могут называть рядом данных или выборочной совокупностью.

В примере с классом выборка состоит из 20 чисел. Эту величину (количество чисел в ряду) называют объемом выборки. Каждое отдельное число в ряду именуют вариантой выборки.

В примере со школьным классом в выборку попали все его ученики. Это позволяет точно определить, насколько хорошо учащиеся написали математический тест. Однако иногда необходимо проанализировать очень большие группы населения, состоящие из десятков и даже сотен миллионов человек. Например, необходимо узнать, какая часть населения страны курит. Опросить каждого жителя государства невозможно, поэтому в ходе исследования опрашивают лишь его малую часть. В этом случае статистики выделяют понятие генеральная совокупность.

Так, если с помощью опроса 10 тысяч человек ученые делают выводы о распространении курения в России, то все российское население будет составлять генеральную совокупность исследования, а опрошенные 10 тысяч людей вместе образуют выборку.

Среднее арифметическое выборки

Сбор информации о выборке является лишь первой стадией статистического исследования. Далее ее необходимо обобщить, то есть получить некоторые цифры, характеризующие выборку. Самой часто используемой статистической характеристикой является среднее арифметическое.

Другими словами, для подсчета среднего арифметического необходимо просто сложить все числа в ряде данных, а потом поделить получившееся значение на количество чисел в ряде. Так, в примере с тестом по математике (таблица 1) средний балл учащихся составит: (12+19+19+14+17+16+18+20+15+25+13+20+25+16+17+12+24+13+21+13):20=

= 349:20 = 17,45.

Среднее арифметическое позволяет одним числом характеризовать какое-либо качество всех объектов группы. Чем больше средний балл учащихся в классе, тем выше их успеваемость. Чем меньше среднее количество голов, пропускаемых футбольной командой за один матч, тем лучше она играет в обороне. Если средняя зарплата программистов в городе составляет 90 тысяч рублей, а дворников – 25 тысяч рублей, то это значит, что программисты значительно более востребованы на рынке труда, а потому при выборе будущей профессии лучше предпочесть именно эту специальность.

Упорядоченный ряд и таблица частот

В ряде данных в таблице 1 числа приведены в произвольном порядке. Перепишем ряд так, чтобы все числа шли в неубывающем порядке, то есть от самого маленького к самому большому:

12, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 19, 19, 20, 20, 21, 24, 25, 25.

Такую запись называют упорядоченным рядом данных.

Его характеристики ничем не отличаются от изначальной выборки, однако с ним удобнее работать. С его помощью можно видеть, что ни одному ученику не удалось набрать 22 или 23 балла на тесте, но сразу двое учащихся дали 25 правильных ответов. На основе упорядоченного ряда данных несложно составить таблицу частот, в которой будет указано, как часто та или иная варианта выборки встречается в ряде. Выглядеть она будет так:

При составлении этой таблицы мы исключили из нее те варианты количества набранных баллов, частота которых равна нулю (от 0 до 12, 22 и 23).Заметим, что сумма чисел в нижней строке таблицы частот должна равняться объему выборки. Действительно,

2+3+1+1+2+2+1+2+2+1+1+2 = 20.

С помощью таблицы частот можно быстрее посчитать среднее арифметическое выборки. Для этого каждую варианту надо умножить на ее частоту, после чего сложить полученные результаты и поделить их на объем выборки:

(12•2+13•3+14•1+15•1+16•2+17•2+18•1+19•2+20•2+21•1+24•1+25•2):20 =

(24+39+14+15+32+34+18+38+40+42+24+50):20 = 349:20 = 17,45.

Размах выборки

Следующий важная характеристика ряда данных – это размах выборки.

Если выборка представлена в виде упорядоченного ряда данных, то достаточно вычесть из последнего числа ряда первое число. Так, размах выборки результатов теста в классе равен:

25 – 12 = 13,

так как самые лучшие ученики смогли решить все 25 заданий, а наихудший учащийся ответил правильно только на 13 вопросов.

Размах выборки характеризует стабильность, однородность исследуемых свойств. Например, пусть два спортсмена-стрелка в ходе соревнований производят по 5 выстрелов по круговой мишени, где за попадание начисляют от 0 до 10 очков. Первый стрелок показал результаты 8, 9, 9, 8, 9 очков. Второй же спортсмен в своих попытках показал результаты 7, 10, 10, 6, 10. Средние арифметические этих рядов равны:

(8+9+9+8+9):5 = 43:5 = 8,6;

(7+10+10+6+10):5 = 43:5 = 8,6.

Получается, что в среднем оба стрелка стреляют одинаково точно, однако первый спортсмен демонстрирует более стабильные результаты. У его выборки размах равен

9 – 8 = 1,

в то время как размах выборки второго спортсмена равен

10 – 6 = 4.

Размах выборки может быть очень важен в метеорологии. Например, в Алма-Ате и Амстердаме средняя температура в течение года почти одинакова и составляет 10°С. Однако в Алма-Ате в январе и феврале иногда фиксируются температуры ниже -30°С, в то время как в Амстердаме за всю историю наблюдений она никогда не падала ниже -20°С.

Мода выборки

Иногда важно знать не среднее арифметическое выборки, а то, какая из ее вариант встречается наиболее часто. Так, при управлении магазином одежды менеджеру не важен средний размер продаваемых футболок, а необходима информация о том, какие размеры наиболее популярны. Для этого используется такой показатель, как мода выборки.

В примере с математическим тестом сразу 3 ученика набрали по 13 баллов, а частота всех других вариант не превысила 2, поэтому мода выборки равна 13. Возможна ситуация, когда в ряде есть сразу две или более вариант, которые встречаются одинаково часто и чаще остальных вариант. Например, в ряде

1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5

варианты 3 и 5 встречаются по три раза. В таком случае ряд имеет сразу две моды – 3 и 5, а всю выборку именуют мультимодальной. Особо выделяется случай, когда в выборке все варианты встречаются с одинаковой частотой:

6, 6, 7, 7, 8, 8.

Здесь числа 6, 7 и 8 встречаются одинаково часто (по два раза), а другие варианты отсутствуют. В таких случаях говорят, что ряд не имеет моды.

Медиана выборки

Иногда, например, при расчете средней зарплаты, среднее арифметическое не вполне адекватно отражает ситуацию. Это происходит из-за наличия в выборке чисел, очень сильно отличающихся от среднего. Так, из-за огромных зарплат некоторых начальников большинство рядовых сотрудников компаний обнаруживают, что их зарплата ниже средней. В таких случаях целесообразно использовать такую характеристику, как медиану ряда. Это такое значение, которое делит ряд данных пополам. В упорядоченном ряде 2, 3, 6, 8, 8, 12, 15, 15, 18, 19, 25 медианой будет равна 12, так как именно она находится в середине ряда:

Однако таким образом можно найти только медиану ряда, в котором находится нечетное количество чисел. Если же их количество четное, то за медиану условно принимают среднее арифметическое двух средних чисел. Так, для ряда 2, 3, 6, 8, 8, 12, 15, 15, 18, 19, 25, 30, содержащего 12 чисел, медиана будет равна среднему значению 12 и 15, которые занимают 6-ое и 7-ое место в ряду:

Вернемся к примеру с математическим тестом в школе. Так как его сдавали 20 учеников, а 20 – четное число, то для расчета медианы следует найти среднее арифметическое 10-ого и 11-ого числа в упорядоченном ряде

12, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 19, 19, 20, 20, 21, 24, 25, 25.

Эти места занимают числа 17 и 17 (выделены жирным шрифтом). Медиана ряда будет равна

(17+17):2 = 34:2 = 17.

Три приведенные основные статистические характеристики выборки, а именно среднее арифметическое, мода и медиана, называются мерами центральной тенденции. Они позволяют одним числом указать значение, относительно которого группируются все числа ряда.

Рассмотрим для наглядности ещё один пример. Врач в ходе диспансеризации измерил вес мальчиков в классе. В результате он получил 10 значений (в кг):

39, 41, 67, 36, 60, 58, 46, 44, 39, 69.

Найдем среднее арифметическое, размах, моду и медиану для этого ряда.

Решение. Сначала перепишем ряд в упорядоченном виде:

36, 39, 39, 41, 44, 46, 58, 60, 67, 69.

Так как в ряде 10 чисел, то объем выборки равен 10. Найдем среднее арифметическое. Для этого сложим все числа в ряде и поделим их на объем выборки (то есть на 10):

(36+39+39+41+44+46+58+60+67+69):10 =

= 499:10 = 49,9 кг.

Размах выборки равен разнице между наибольшей и наименьшей вариантой в ней. Самый тяжелый мальчик весит 69 кг, а самый легкий – 36 кг, а потому размах ряда равен

69 – 36 = 33 кг.

В упорядоченном ряде только одно число, 39, встречается дважды, а все остальные числа встречаются по одному разу. Поэтому мода ряда будет равна 39 кг.

В выборке 10 чисел, а это четное число. Поэтому для нахождения медианы надо найти два средних по счету значение найти их среднее. На 5-ом и 6-ом месте в ряде находятся числа 44 и 46. Их среднее арифметическое равно

(44+46):2 = 90:2 = 45 кг.

Поэтому и медиана ряда будет равна 45 кг.

Ошибки в статистике

Статистика является очень мощным инструментом для исследований во всех областях человеческой деятельности. Однако иногда ее иронично называют самой точной из лженаук. Известно и ещё одно высказывание, приписываемое политику Дизраэли, согласно которому существует просто ложь, наглая ложь и статистика. С чем же связана такая репутация этой дисциплины?

Дело в том, что некоторые люди и организации часто манипулируют данными статистики, чтобы убедить других в своей правоте или преимуществах товара, которые они продают. Требуются определенные навыки, чтобы правильно пользоваться статистикой. Одна из самых распространенных ошибок – это неправильный выбор выборки.

В 1936 году перед президентскими выборами в США был проведен телефонный опрос, который показал, что с большим преимуществом победу должен одержать Альфред Лендон. Однако на выборах Франклин Рузвельт набрал почти вдвое больше голосов. Ошибка была связана с тем, что в те годы телефон могли позволить себе только богатые люди, которые в большинстве своем поддерживали Лендона. Однако бедные люди (а их, конечно же, больше, чем богатых) голосовали за Рузвельта.

Ещё один пример – это агитация в конце XIX века в США к службе на флоте. Пропагандисты в своей рекламе указывали, что, согласно статистике, смертность на флоте во время войны (испано-американской) составляет 0,09%, в то время как среди населения Нью-Йорка она равнялась 0,16%. Получалось, что служить на флоте в военное время безопаснее, чем жить мирной жизнью. Однако на самом деле причина таких цифр заключается в том, что во флот всегда отбирали молодых мужчин с хорошим здоровьем, которые не могли умереть от «старческих» болезней, в то время как в население Нью-Йорка входят больные и старые люди.

При указании среднего значения исследователь может использовать разные характеристики – среднее арифметическое, медиана, мода. При этом почти всегда среднее арифметическое несколько больше медианы. Именно поэтому большинство людей, узнающих о средней зарплате в стране, удивляются, так как они столько не зарабатывают. Правильнее ориентироваться на медианную зарплату.

Ну и наконец, нельзя забывать, что любая статистика может показать только корреляцию между двумя величинами, но это не всегда означает причинно-следственную связь. Так, известно, что чем больше в городе продается мороженого, тем больше в это же время людей тонет на пляжах. Означает ли это, что поедание мороженого увеличивает риск во время плавания? Нет. Дело в том, что оба этих показателя, продажи мороженого и количество утонувших, зависят от третьей величины – температуры в городе. Чем жарче на улице, тем большее количество людей ходят на пляж и тем больше мороженого продается в магазинах.

Раздел 11 Элементы теории вероятностей и математической статистики

Лекция № 208 Среднее арифметическое, медиана, размах, генеральная совокупность, выборка.

Основная литература:

1. Уч. пособие “Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей” авторов Ю.Н. Макарычева и Н.Г. Миндюк

2. Математика: учебник / М.И. Башмаков. — Москва: КноРус, 2017.

3. Башмаков М.И. Математика. Задачник: учебное пособие для студ. Учреждений сред проф. образования. – 5-е изд., стер.- М.: Издательский центр «Академия», 2017 год.

4. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования /М.И. Башмаков.- 7-е изд., стер.- М.: Издательский центр «Академия», 2012 год.

5. http://www.drofa.ru/ (Методические пособия, статьи для обучения математике)

6. http://podgotovka-ege.ru/education/ (Сайт для подготовки к ЕГЭ)

7. https://multiurok.ru/seropol-irina

ВНИМАНИЕ!!! Материалы, представленные в лекции взяты из книги Уч. пособие “Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей” авторов Ю.Н. Макарычева и Н.Г. Миндюк. Книгу можно открыть:

1. В материалах, представленных в папке преподавателя файл Учебник. Алгебра элементы статистики и теории вероятностей. Миндюк, Макарычев.pdf (Для открытия файла на вашем компьютере или телефоне, должна быть установлена программа Adobe Acrobat –распространяется бесплатно).

2. Книгу можно открыть по ссылкам вашем браузере

https://uch-lit.ru/matematika-2/dlya-shkolnikov/makaryichev-yu-n-algebra-elementyi-stati

https://www.description-pdf.ru/2020/01/31/%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B-%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8-%D0%B8-%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8/

Мотивация.

Для изучения различных общественных и социально-экономических явлений, а также некоторых процессов, происходящих в природе, проводятся специальные статистические исследования. Всякое статистическое исследование начинается с целенаправленного сбора информации об изучаемом явлении или процессе. Этот этап называется этапом статистического наблюдения.

Для обобщения и систематизации данных, полученных в результате статистического наблюдения, их по какому-либо признаку разбивают на группы и результаты группировки сводят в таблицы.

Как уже было замечено, что результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов, поэтому важно уметь собирать и группировать информацию по какому-либо признаку.

Задача 1: Администрация школы решила проверить математическую подготовку восьмиклассников. С этой целью был составлен тест, содержащий 9 заданий. Работу выполняли 40 учащихся школы. При проверке каждой работы учитель отмечал число верно выполненных заданий. В результате был составлен ряд чисел. После того, как его упорядочили получили:

0, 1, 2, 3,3, 4,4,4,4,4, 5,5,5,5,5,5, 6,6,6,6,6,6,6,6, 7,7,7,7,7,7,7, 8,8,8,8,8, 9,9,9,9.

Решение.

Представим полученные данные в виде таблицы. В верхней строке укажем число верно выполненных заданий, а в нижней количество появлений этого числа в ряду, т.е. частоту.

Такую таблицу называют таблицей частот

Замечание: сумма частот равна общему числу данных числового ряда.

При проведении статистического исследования после сбора и группировки данных переходят к их анализу, используя для этого различные обобщающие показатели. Простейшими из них являются такие известные вам статистические характеристики, как.

Задача 2: Проведите анализ результатов проведенной проверки работ учащихся задачи 1. Найдите среднее арифметическое, моду, медиану, размах.

Решение.

Проанализируем результаты проведенной проверки работ учащихся.

Чтобы найти среднее арифметическое, надо общее число верно выполненных заданий разделить на число учащихся, т. е. на 40. (Используем таблицу задачи 1). Получаем:

Значит, в среднем учащиеся выполнили по 5,8 заданий, т. е. примерно от общего объема работы.

Наибольшее число верно выполненных учащимися заданий равно 9, а наименьшее равно 0. Значит, размах ряда равен 9-0 = 9, т. е. различие в числе верно выполненных заданий достаточно велико.

Из таблицы ясно, что чаще всего встречаются работы, в которых верно выполнено 6 заданий, т. е. мода ряда равна 6.

Найдем медиану ряда. Так как в ряду всего 40 чисел, то медиана равна среднему арифметическому 20-го и 21-го членов соответствующего упорядоченного ряда. Для того чтобы определить, в какие группы попадают эти члены, будем последовательно суммировать частоты и сравнивать суммы с числами 20 и 21. Найдем, что 1 + 1 + 1+2 + 5 + 6=16, 1 + 1 + 1+2 + 5 + 6 + 8 = 24, т.е. 20-й и 21-й члены ряда попадают в ту группу, которую составляют учащиеся, верно выполнившие 6 заданий. Значит, медиана ряда равна (6+ 6): 2 = 6.

Ответ: среднее арифметическое 5,8, мода 6, медиана 6

Иногда составляют таблицу, в которой для каждого данного указывается не частота, а отношение частот к общему числу данных в ряду. Это отношение, выраженное в процентах, называется относительной частотой, а саму таблицу – таблицей относительных частот.

Определение: Относительно частотой (частостью) называют число

,

где M – частота, N –общее число данных.

Для данной задачи найдем относительные частоты и составим таблицу относительных частот:

Замечание: сумма относительных частот равна 100%.

Если в ряду имеется большое число данных и одинаковые значе­ния встречаются редко, то таблицы частот или относительных частот становятся излишне громоздкими. В таких случаях для анализа данных строят интервальный ряд. Для этого разность между наибольшим и наименьшим значениями делят на несколько равных частей (примерно 5 – 10) и, округляя полученный результат, определяют дли­ну интервала. За начало первого интервала часто выбирают наимень­шее данное или ближайшее к нему целое число, расположенное левее. Для каждого интервала указывают число данных, попадающих в этот интервал, или выраженное в процентах отношение этого чис­ла к общей численности совокупности. При этом граничное число обычно считают относящимся к последующему интервалу.

Задача 3: На партии из 50 электроламп изучали продолжительность их горения (в часах). По результатам составили такую таблицу:

Найдите среднюю продолжительность горения ламп.

Решение.

Пользуясь составленной таблицей, найдем среднюю продолжительность горения. Для этого составим новую таблицу частот, заменив каждый интервал числом, которое является его серединой. Получим:

Для полученного ряда данных найдем среднее арифметическое:

(100∙1+300∙3+ 500∙5+ 700∙9+900∙16+1100∙9+1300∙5+1500∙2): 50 ≈ 870 (с точностью до десятков).

Значит, средняя продолжительность горения электроламп приближенно равна 870 ч.

Ответ: средняя продолжительность горения электроламп приближенно равна 870 ч.

В рассмотренном в начале пункта примере были проанализированы результаты выполнения теста восьмиклассниками одной школы. Тот же тест можно было бы использовать для более широкой проверки математической подготовки учащихся, например, предложить его восьмиклассникам всех школ города или региона. Заметим, что организация такой проверки связана с серьезными трудностями по пересылке текстов заданий в школы, сбору и проверке работ учащихся, обработке полученных результа­тов. Вообще, проведение любого массового исследования требует больших организационных усилий и финансовых затрат. Например, перепись населения страны связана с подготовкой разнообразной документации, выделением и инструктажем переписчиков, сбором информации, обработкой собранных сведений.

В тех случаях, когда бывает сложно или даже невозможно провести сплошное исследование, его заменяют выборочным. При выборочном исследовании из всей изучаемой совокупности данных, называемой генеральной совокупностью, выбирается определенная ее часть, т. е. составляется выборочная совокупность (выборка), которая подвергается исследованию. При этом выборка должна быть представительной, или, как говорят, репрезентативной, т. е. отражающей характерные особенности исследуемой генеральной совокупности.

Пусть, например, в ходе кампании по выборам мэра в горо­де со стотысячным населением хотят узнать, кто из кандидатов имеет наибольшие шансы на успех. Для этого проводят опрос, например, полутора тысяч избирателей, в ходе которого выясня­ется, за кого они собираются голосовать. При этом нельзя опра­шивать только молодых избирателей или только пенсионеров, так как это может привести к неправильным выводам. Необходимо, чтобы среди опрашиваемых было примерно одинаковое число мужчин и женщин. Кроме того, должны быть представлены лю­ди с разным социальным положением и образованием.

Выборочное исследование проводят также и тогда, когда проведение сплошного исследования связано с порчей или уничтожением продукции. Например, при исследовании продолжительности горения партии электроламп, выпущенных заводом, невозможно проверить всю партию, так как это просто привело бы к ее уничтожению.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ И РЕШЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ.

1. Определяя степень засоренности цветочных семян, выясняли, сколько семян сорных растений содержится в каждом из 100 произвольным образом выбранных пакетов с одинаковым числом семян. Получили такую таблицу:

Для полученного ряда данных найдите среднее арифметическое и моду. Объясните практический смысл этих характеристик.

1. В ходе опроса 34 учащихся школы было выяснено, сколько времени (с точностью до 0,5 ч) в неделю они затрачивают на занятия в кружках и спортивных секциях. Получили следующие данные:

5, 1,5, 0, 2,5, 1, О, О, 2, 2,5, 3,5, 4, 5, 3,5, 2,5, 0, 1,5, 4,5, 3, 3, 5, 3,5, 4, 3,5, 3, 2,5, 2, 1, 2, 2, 4,5, 4, 3,5, 2, 5.

Представьте этот ряд данных в виде таблицы частот. Найди­те, сколько времени в среднем тратят учащиеся на занятия в кружках и спортивных секциях.

1. Учащимся восьмых классов школ некоторого города была предложена контрольная работа по алгебре, содержащая 6 заданий. При подведении итогов составили таблицу, в которой указали число учащихся, верно выполнивших одно, два, три и т. д. задания:

Пользуясь этой таблицей, составьте таблицу относительных частот (с точностью до 1%).

1. При проверке 70 работ по русскому языку отмечали число орфографических ошибок, допущенных учащимися. Полученный ряд данных представили в виде таблицы частот:

1. Каково наибольшее различие в числе допущенных ошибок?

2. Какое число ошибок является типичным для данной группы учащихся?

3. Укажите, какие статистические характеристики были использованы при ответе на поставленные вопросы.

1. При изучении учебной нагрузки учащихся попросили 32 восьмиклассников отметить время (с точностью до 0,1 ч), которое они затратили в определенный день на выполнение домашних заданий. Получили следующие данные:

Представьте полученные данные в виде интервального ряда с интервалами длиной 0,5 ч.

1. Ряд данных о количестве акций одинаковой стоимости, приобретенных сотрудниками лаборатории, представлен в виде таблицы частот:

Для этого ряда данных найдите среднее арифметическое, размах и моду. Что характеризует каждый из этих показателей?

1. Имеются следующие данные о распределении участников похода по возрасту:

Заменив каждый интервал его серединой, найдите средний возраст участников похода.

1. Ниже показана среднесуточная переработка сахара (в тыс. ц) заводами сахарной промышленности некоторого региона:

Представьте эти данные в виде интервального ряда с интервалами длиной в три единицы. Найдите, сколько сахара в среднем перерабатывал в сутки завод региона:

а) заменив каждый интервал его серединой;

б) используя заданный ряд.

В каком случае средняя выработка найдена точнее?

Является ли выборка представительной, если при изучении времени, которое затрачивают на выполнение уроков восьмиклассники:

а) опрашивали только девочек;

б) опрос проводили только по четвергам;

в) опрашивали только учащихся гимназий и лицеев?

Вопросы для повторения материала

1. Назовите формулу для нахождения относительных частот.

2. Объясните на примере, как по таблице частот находят среднее арифметическое.

3. Объясните на примере, как по таблице частот находят размах.

4. Объясните на примере, как по таблице частот находят моду.

5. Объясните на примере, как по таблице частот находят медиану.

Нахождение средних статистических
характеристик

Цели:
ввести понятия частоты появления числа в ряду, таблицы частот и таблицы
относительных частот; формировать умения составлять таблицы частот, а также
находить средние статистические характеристики.

Ход урока

I. Организационный момент.

II.
Устная работа.

Даны
ряды:

1) 4; 1; 8; 5; 7.

2) ; 9; 3; 0,5; .

3) 6; 0,2; ; 4; 7,3.

Найдите:

а) наибольшее и наименьшее значения
каждого ряда;

б) размах каждого ряда.

III.
Объяснение нового материала.

1. Объяснение проводить согласно
пункту учебника.

Учащихся знакомим с элементами
статистики как научного направления. Прежде всего речь идёт об элементах так
называемой «описательной» статистики, которая занимается вопросами сбора и
представления первичной статистической информации в табличной и графической
формах, вычисления числовых характеристик для совокупности статистических
данных.

На примере таблицы частот со с. 215
учебника показываем, как анализируются данные статистического исследования,
какие обобщающие показатели используются.

Необходимо затем подытожить, какие
статистические характеристики теперь могут находить учащиеся. Для этого на
доску можно вынести пример:

2. Вводится понятие таблицы
относительных частот – таблица, в которой для каждого данного указывается не
частота, а отношение частоты к общему числу данных в ряду, выраженное в
процентах.

IV.
Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся отрабатывают
умения составления таблиц частот и таблиц относительных частот, а также
статистических характеристик. Необходимо следить, чтобы учащиеся чётко
мотивировали свои ответы, избегали формализации.

1.
№ 1028.

Р е ш е н и е

Проверяем,
что 13 + 23 + 14 = 50.

Данных недостаточно, чтобы сделать
вывод о предстоящих результатах голосования.

2.
Подсчитывая число семян сорных растений в 15 одинаковых пакетах, получили такие
данные:

3, 1, 0, 3, 2, 2, 1, 0, 1, 3, 2, 1,
0, 0, 2.

Представьте
эти данные в виде таблицы частот.

Р е ш е н и е

Проверяем,
что 4 + 4 + 4 + 3 = 15.

3. № 1030.

Р е ш е н и е

Находим  общее  число  учащихся 
(сумма  чисел  в  правом  столбце);
п = 625.

Относительные частоты вычисляем
делением каждого числа в правом столбце на 625 и умножаем на 100 % (с
округлением до 1 %):

Проверяем: 0 + 4 + 8 + 14 + 36 + 23 + 14 = 99 %. А должно быть 100
%. Это результат округления. В таких случаях увеличивают на 1 число, которое
имеет самую большую отброшенную дробную часть; в данном случае это  =
8,48; в таблице процент выполнивших 2 задания следует записать 9 вместо 8.

4.
№ 1031.

Р е ш е н и е

Наибольшее различие в числе
допущенных ошибок: 6 – 0 = 6.

Типичное число ошибок: 3 (встречается
26 раз из 70).

Использованы: размах и мода.

5.
№ 1032.

Р е ш е н и е

1) Данные представлены в виде таблицы
частот, поэтому среднее арифметическое находим по формуле.

.

Эта величина характеризует среднее
количество акций на руках одного сотрудника.

2)
Размах А = х_max – x_min = 100 – 2 =
98.

Размах показывает, что разброс
наблюдаемых значений очень велик.

3)
Мода М = 2 показывает, что наибольшее число сотрудников приобрело по 2
акции.

О
т в е т: ≈10,44; ≈98; 2.

V.
Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Что называется таблицей частот?

– Какие данные заносятся в таблицу относительных
частот?

– Какие существуют средние
статистические характеристики?

– Объясните на примере, как по
таблице частот находят среднее арифметическое, размах и моду.

Домашнее
задание: № 1029, № 1033, № 1034.