Как найти среднее измерение величины

Сре́днее арифмети́ческое (в математике и статистике) — разновидность среднего значения. Определяется как число, равное сумме всех чисел множества, делённой на их количество. Является одной из наиболее распространённых мер центральной тенденции.

Предложена (наряду со средним геометрическим и средним гармоническим) ещё пифагорейцами^[1].

Частными случаями среднего арифметического являются среднее (генеральной совокупности) и выборочное среднее (выборки).

На случай, если количество элементов множества чисел стационарного случайного процесса бесконечное, в качестве среднего арифметического играет роль математическое ожидание случайной величины.

Введение[править | править код]

Обозначим множество чисел X = (x₁, x₂, …, x_n) — тогда выборочное среднее обычно обозначается горизонтальной чертой над переменной (, произносится «x с чертой»).

Для обозначения среднего арифметического всей совокупности чисел обычно используется греческая буква μ. Для случайной величины, для которой определено среднее значение, μ есть вероятностное среднее, или математическое ожидание случайной величины. Если множество X является совокупностью случайных чисел с вероятностным средним μ, тогда для любой выборки x_i из этой совокупности μ = E{x_i} есть математическое ожидание этой выборки.

На практике разница между μ и в том, что μ является типичной переменной, потому что видеть можно скорее выборку, а не всю генеральную совокупность. Поэтому, если выборку представлять случайным образом (в терминах теории вероятностей), тогда (но не μ) можно трактовать как случайную переменную, имеющую распределение вероятностей на выборке (вероятностное распределение среднего).

Обе эти величины вычисляются одним и тем же способом:

Если X — случайная переменная, тогда математическое ожидание X можно рассматривать как среднее арифметическое значений в повторяющихся измерениях величины X. Это является проявлением закона больших чисел. Поэтому выборочное среднее используется для оценки неизвестного математического ожидания.

В элементарной алгебре доказано, что среднее n + 1 чисел больше среднего n чисел тогда и только тогда, когда новое число больше чем старое среднее, меньше тогда и только тогда, когда новое число меньше среднего, и не меняется тогда и только тогда, когда новое число равно среднему. Чем больше n, тем меньше различие между новым и старым средними значениями.

Заметим, что имеется несколько других «средних» значений, в том числе среднее степенное, среднее Колмогорова, гармоническое среднее, арифметико-геометрическое среднее и различные средне-взвешенные величины (например, среднее арифметическое взвешенное, среднее геометрическое взвешенное, среднее гармоническое взвешенное).

Примеры[править | править код]

• Для получения среднего арифметического трёх чисел необходимо сложить их и разделить на 3:

• Для получения среднего арифметического четырёх чисел необходимо сложить их и разделить на 4:

Непрерывная случайная величина[править | править код]

Если существует интеграл от некоторой функции одной переменной, то среднее арифметическое этой функции на отрезке определяется через определённый интеграл:

Здесь для определения отрезка подразумевается, что причём чтобы знаменатель не был равен 0.

Линейное преобразование[править | править код]

Линейно преобразованный набор данных можно получить при применении линейного отображения к метрически скалируемому набору данных следующим образом: . Тогда новое среднее значение набора данных будет равно , так как .

Некоторые проблемы применения среднего[править | править код]

Отсутствие робастности[править | править код]

Хотя среднее арифметическое часто используется в качестве средних значений или центральных тенденций, это понятие не относится к робастной статистике, то есть среднее арифметическое подвержено сильному влиянию «больших отклонений». Примечательно, что для распределений с большим коэффициентом асимметрии среднее арифметическое может не соответствовать понятию «среднего», а значения среднего из робастной статистики (например, медиана) может лучше описывать центральную тенденцию.

Классическим примером является подсчёт среднего дохода. Арифметическое среднее может быть неправильно истолковано в качестве медианы, из-за чего может быть сделан вывод, что людей с большим доходом больше, чем на самом деле. «Средний» доход истолковывается таким образом, что доходы большинства людей находятся вблизи этого числа. Этот «средний» (в смысле среднего арифметического) доход является выше, чем доходы большинства людей, так как высокий доход с большим отклонением от среднего делает сильный перекос среднего арифметического (в отличие от этого, средний доход по медиане «сопротивляется» такому перекосу). Однако этот «средний» доход ничего не говорит о количестве людей вблизи медианного дохода (и не говорит ничего о количестве людей вблизи модального дохода). Тем не менее если легкомысленно отнестись к понятиям «среднего» и «большинство народа», то можно сделать неверный вывод о том, что большинство людей имеют доходы выше, чем они есть на самом деле. Например, отчёт о «среднем» чистом доходе в Медине, штат Вашингтон, подсчитанный как среднее арифметическое всех ежегодных чистых доходов жителей, даст на удивление большое число — из-за Билла Гейтса. Рассмотрим выборку (1, 2, 2, 2, 3, 9). Среднее арифметическое равно 3.17, но пять значений из шести ниже этого среднего.

Сложный процент[править | править код]

Если числа перемножать, а не складывать, нужно использовать среднее геометрическое, а не среднее арифметическое. Наиболее часто этот казус случается при расчёте окупаемости инвестиций в финансах.

Например, если акции в первый год упали на 10 %, а во второй год выросли на 60 %, тогда вычислять «среднее» увеличение за эти два года как среднее арифметическое (−10 % + 60 %) / 2 = 25 % некорректно, а правильное среднее значение в этом случае дают совокупные ежегодные темпы роста: годовой рост получается 20 %.

Причина этого в том, что проценты имеют каждый раз новую стартовую точку: 60 % — это 60 % от меньшего, чем цена в начале первого года, числа: если акции в начале стоили $30 и упали на 10 %, они в начале второго года стоят $27. Если акции выросли на 60 %, они в конце второго года стоят $43,2. Арифметическое среднее этого роста 25 %, но, поскольку акции выросли за 2 года всего на $13,2, средний рост в 20 % даёт конечный результат $43,2:

$30 × (1 – 0,1)*(1 + 0,6) = $30 × (1 + 0,2)*(1 + 0,2) = $43,2. Если же использовать таким же образом среднее арифметическое значение 25 %, мы не получим фактическое значение: $30 × (1 + 0,25)*(1 + 0,25) = $46,875.

Сложный процент в конце 2 года: 90 % * 160 % = 144 %, то есть общий прирост 44 %, а среднегодовой сложный процент , то есть среднегодовой прирост 20 %.

Таким образом среднегодовой прирост рассчитывается по формуле среднего геометрического

Направления[править | править код]

При расчёте среднего арифметического значений некоторой переменной, изменяющейся циклически (например, фаза или угол), следует проявлять особую осторожность. Например, среднее чисел 1° и 359° будет равно 180°. Этот результат неверен по двум причинам.

Среднее значение для циклической переменной, рассчитанное по приведённой формуле, будет искусственно сдвинуто относительно настоящего среднего к середине числового диапазона. Из-за этого среднее рассчитывается другим способом, а именно, в качестве среднего значения выбирается число с наименьшей дисперсией (центральная точка). Также вместо вычитания используется модульное расстояние (то есть, расстояние по окружности). Например, модульное расстояние между 1° и 359° равно 2°, а не 358° (на окружности между 359° и 360° = 0° — один градус, между 0° и 1° — тоже 1°, в сумме — 2°).

Примечания[править | править код]

См. также[править | править код]

• Арифметическая пропорция
• Арифметическая прогрессия
• Неравенство Швейцера
• Среднее арифметическое взвешенное

Ссылки[править | править код]

• Арифметическая средняя // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Финансовая математика. Дисперсия. Среднее арифметическое. Среднеквадратическое отклонение. Коэффициент вариации Архивная копия от 19 сентября 2020 на Wayback Machine / Методики финансового анализа
• Среднее арифметическое — показатель центральной тенденции / Теория вероятностей и математическая статистика

При
многократных измерениях какой-то
величины, истинное значение которой a,
проделывают n
измерений. В результате получают ряд
приближенных значений

Истинные абсолютные
погрешности представим как

Тогда можем
записать:

Складывая почленно,
имеем:

Отсюда

,

среднее
арифметическое отдельных измерений.

Истинное значение
а, выразится

истинная
абсолютная погрешность, которая остается
неизвестной.

Задача нахождения
случайных погрешностей была решена
Гауссом. В основе рассмотрения лежат
две аксиомы:

1. Погрешности равной
   абсолютной величины и противоположных
   знаков равновероятны.

2. Чем больше
   абсолютная величина погрешности, тем
   она менее вероятна.

Из первой аксиомы
следует, что при бесконечном числе
измерений (при
)

и тогда

Но практически
осуществить можно лишь конечное число
измерений. И этого оказывается достаточно,
так как на основе второй аксиомы
маловероятны большие погрешности.

Отсюда следует,
что
многих измерений, и встает задача оценить
степень приближения среднего значения
к истинному.

3. Погрешности прямых или непосредственных измерений

Если в результате
измерения величины b
получены значения
то среднее арифметическое значение

Абсолютные
погрешности отдельных измерений
равны по модулю разностям среднего
значенияи результатов отдельных измерений

,

,…,

средняя
абсолютная погрешность измерений.

Результат измерения
представляют так:

Расчеты проводятся
с учетом правил приближенных вычислений.

Относительная
погрешность показывает, какую долю
составляет абсолютная погрешность от
среднего значения и выражается обычно
в процентах

Наименьшая
погрешность измерения не может быть
меньше погрешности прибора. Последняя
указывается в паспорте, либо за нее
принимаем половину цены деления прибора.

Если измерение
проведено один раз или при многократных
повторениях получается один и тот же
результат, то погрешностью измерения
считают погрешность прибора (по паспорту
или классу точности прибора) или ее
принимают равной половине цены наименьшего
деления прибора.

Класс точности
прибора определяется максимальной
погрешностью прибора, выраженной в
процентах от полной величины шкалы.
Например, класс точности 0,5 означает
погрешность 0,5% при отклонении стрелки
на всю шкалу. При отклонении стрелки на
половину шкалы погрешность возрастает
в два раза, при отклонении стрелки на
треть шкалы – втрое.

4. Погрешности косвенных измерений

При косвенных
измерениях величину x
находят как
функцию непосредственно измеренных
величин а,
b,
с.
Абсолютные погрешности
непосредственных измерений обуславливают
абсолютную погрешностьПри нахождениииспользуют следующие теоремы:

1. Абсолютная
погрешность суммы (разности) равна сумме
абсолютных погрешностей слагаемых
(уменьшаемого и вычитаемого)

,

2. Абсолютная
погрешность произведения равна сумме
произведений первого сомножителя на
абсолютную погрешность второго и второго
сомножителя на абсолютную погрешность
первого

,

3. Абсолютная
погрешность частного равна сумме
произведений делимого на абсолютную
погрешность делителя и делителя на
абсолютную погрешность делимого,
деленной на квадрат делителя

,

Относительная
погрешность

В математическом
анализе показано, что

При этом x
– есть
какая-то функция
и т. д. в явном виде, и, следовательно,
можно вычислить ее дифференциал от
логарифма, который будет содержатьи т. д.

Если заменить в
полученном выражении все дифференциалы
малыми конечными разностями
и т.д., то получим формулу для относительной
погрешности

для конечных
разностей

.

Если
есть абсолютные погрешности при
непосредственных измеренияха,
b,
с,
то –абсолютная
погрешностьвеличины
x.

Формула для
нахождения относительной погрешности
будет записана так: (все члены берутся
по абсолютной величине)

.

Для выражения в
процентах нужно правую и левую части
умножить на 100%.

Эту формулу удобно
использовать и для нахождения абсолютной
погрешности.

Действительно,

.

Результаты
представляют так:
.

Если функция x
представляет
сложную сумму или разность, то погрешности
находятся для каждого члена отдельно,
а затем суммируются. В тех случаях, когда
в формулы для нахождения величины x
входят физические или математические
справочные величины, выраженные
приближенными числами, их погрешностями
считают половину единицы низшего ряда.
Например,

Соседние файлы в папке 1. Механика

• #
• #
• #
• #
• #
• #

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, являются средние показатели (средняя величина).

Средняя величина – представляет  обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.

---

Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности.

---

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные.

• Например, курс акций корпорации в основном определяется финансовыми результатами ее деятельности. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу.
  

  ---

Сущность средней заключается, в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенно­стей, присущих отдельным единицам.

---

ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН наиболее часто применяемых на практике:

• средняя арифметическая;                     
• средняя гармоническая;
• средняя геометрическая;                       
• средняя квадратическая.
  

  ---

Выбор средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять.

---

---

• Средняя арифметическая простая (невзвешенная) – вычисляется  когда каждый вариант совокупности встречается только один раз.
  

  ---

  ---

• Средняя арифметическая (взвешенная) – варианты повторяются различное число раз, при этом число повторений вариантов называется частотой, или статистическим весом.
  

  ---

  ---

ФОРМУЛЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН

---

• Средняя арифметическая простая – самый распространенный вид средней величины, рассчитывается по формуле (8.8):

---

• где х_i – вариант, а n – количество единиц  совокупности.
  

  ---

• Пример вычисления средней арифметической простой. Провели опрос о желаемом размере заработной платы у пяти сотрудников  офиса. По результатам опроса выяснили, что желаемый размер заработной платы составляет соответственно для каждого сотрудника: 50000, 100000, 200000, 350000, 500000 рублей человек. Рассчитаем среднюю арифметическую простую по формуле (8.8):Вывод: в среднем желаемый размер заработной платы  по результатам опроса 5-ти человек составил 240 тысяч рублей.
  

  ---

• Средняя арифметическая взвешенная  формула 8.9.

---

• где х_i – вариант, а f_i  – частота или статистический вес.
  

  ---

• Пример вычисления  средней арифметической взвешенной. Результаты опроса всех работников офиса приведены в табл. 8.2.

Таблица 8.2 – Результаты опроса работников офиса

Желаемый размер заработной платы, тыс.руб хi	Количество работников fi	хifi
1	2	3
50 100 200 350 500	6 10 20 9 5	300 1000 4000 3150 2500
Итого	50	10950

Пример. Вычислим (ориентируясь на итоговые строки таблицы) желаемый размер заработной платы, 50 сотрудников офиса (используем формулу 8.9):

Вывод: в среднем желаемый размер заработной платы  по результатам опроса 50 человек составил 219 тысяч рублей.

---

Среднеарифметическая – всегда обобщающая количественная характеристика варьирующего признака совокупности.

---

---

• Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда приходится суммировать не сами варианты, а обратные им величины.
  

  ---

• Средняя гармоническая  простая представлена ниже:

---

Средняя гармоническая взвешенная определяется по формуле

---

где x_i – вариант, n – количество вариантов, V_i – веса для обратных значений x_i.

---

---

Средняя гармоническая невзвешенная. Эта форма средней, используемая значительно реже, чем взвешенная. Для иллюстрации области ее применения воспользуемся упрощенным условным примером.

---

• Пример (вычисление средней гармонической простой (невзвешенной)).

Предположим, в фирме, специализирующейся на торговле по почте на основе предварительных заказов, упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 5 мин., второй – 15 мин.

• Каковы средние затраты времени на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна?

На первый взгляд, ответ на этот вопрос заключается в осреднении индивидуальных значений затрат времени на 1 заказ, т.е. если используем среднюю арифметическую простую получим: (5+15):2=10, мин.

• Проверим обоснованность такого подхода на примере одного часа (60 минут) работы. За этот час первый работник обрабатывает 12 заказов (60:5), второй – 4 заказа (60:15), что в сумме составляет 16 заказов.

Если же заменить индивидуальные значения их предполагаемым средним значением, то общее число обработанных обоими работниками заказов в данном случае уменьшится: (60/10) + (60/10) = 12 заказов (что не соответствует истине).

---

• Подойдем к решению через исходное соотношение средней. Для определения средних затрат времени необходимо общие затраты времени за любой интервал (например, за час) разделить на общее число обработанных за этот интервал двумя работниками заказов, т.е. используем среднюю гармоническую:

---

Если теперь мы заменим индивидуальные значения их средней величиной, то общее количество обработанных за час заказов не изменится: (60/7,5) + (60/7,5) = 16 заказов

• Подведем итог: средняя гармоническая невзвешенная может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значения Wj для единиц совокупности равны (в рассмот­ренном примере рабочий день у сотрудников одинаковый).
  

  ---

  ---

  Пример (вычисление средней гармонической взвешенной) В ходе торгов на валютной бирже за первый час работы заключено пять сделок. Данные о сумме продажи рублей и курсе рубля по отношению к доллару США приведены в табл.8.3.

  Таблица 8.3 – Данные о ходе торгов на валютной бирже (цифры условные)

  Номер сделки	Сумма продажи V, млн руб.	Курс рубля x, руб. за 1 дол.	V/x
  1	2	3	4
  1 2 3 4 5	455,00 327,50 528,00 266,00 332,50	65,00 65,50 66,00 66,50 66,50	7,00 5,00 8,00 4,00 5,00
  итого	1909,00	–	29,00

  Для того чтобы определить средний курс рубля по отношению к доллару, нужно найти соотношение между суммой продажи рублей, которые затрачены на покупку долларов в ходе всех сделок, и суммой приобретенных в результате этих сделок долларов.

  

  ---

• Вывод: средний курс за один доллар составил 65,83 руб.;
  

  ---

• Если бы для расчета среднего курса была использована средняя арифметическая простая:то,  за один доллар, по данному курсу на покупку 29 млн дол. нужно было бы затратить 1899,5  млн.руб., что не соответствует действительности.
  

  ---

  ---

  Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака обычно представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин как отношение каждого уровня ряда к предыдущему уровню.

  ---

  ---

• Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле 8.12

---

---

• Если использовать частоты m, получим формулу средней геометрической взвешенной
• Средняя геометрическая взвешенная рассчитывается по формуле 8.13

---

Средняя квадратическая применяется, когда изучается вариация признака. В качестве вариантов используются отклонения фактических значений признака либо от средней арифметической, либо от заданной нормы.

Для несгруппированных данных используют формулу средней квадратической простой

Средняя квадратическая простая (формула 8.14)

---

Для сгруппированных данных используют формулу средней квадратической взвешенной

Средняя квадратическая взвешенная (формула 8.15)

---

Средние арифметическая, гармоническая, геометрическая и квадратическая, рассчитанные для одного и того же ряда вариантов, отличаются друг от друга. Их численное значение возрастает с ростом показателя степени в формуле степенной средней правило мажорантности средних А.Я. Боярского, т.е.

---

---

Мода и Медиана (структурные средние) формулы и примеры вычисления см.  по ссылке

---

Среднее арифметическое — очень важное понятие из мира математики, используемое во многих других дисциплинах. Например, среднее арифметическое используют для того чтобы найти какое-то усреднённое значение. В частности, в экономических дисциплинах можно воспользоваться этим понятием для расчёта среднего дохода в месяц и других показателей.

Часто понятием среднего арифметического пользуются и учёные: химики с помощью него могут посчитать, сколько в среднем получается необходимого вещества при повторных проведениях опыта, а специалисты агропромышленности — среднюю урожайность яблок или другой сельскохозяйственной культуры.

Что такое среднеарифметическое значение

Примерами величин, которые нельзя складывать так как они имеют разную размерность, являются масса и расстояние. Масса измеряется в килограммах или граммах, а расстояние измеряется в сантиметрах, метрах и других единицах измерения.

Если значения какой-либо величины заданы с помощью разных единиц измерения, то в таком виде их также нельзя складывать и, соответственно, искать среднее арифметическое между ними.

Если же привести их к одинаковой единице измерения, то можно сложить их между собой.

В качестве примера можно привести длину двух некоторых объектов. Для одного объекта длина равна $70$ см, а для второго — $0, 9$ м. Чтобы найти среднее арифметическое, необходимо перевести один из них в единицу измерения второго, например, метры в сантиметры или наоборот.

«Среднее арифметическое» 👇

Как посчитать среднее арифметическое

Чтобы посчитать среднее арифметическое, нужно сложить все имеющиеся значения какой-либо величины и разделить на количество этих значений. Для четырёх значений $a, b, c, d$ среднее арифметическое равно

$frac{a+b+c+d}{4}$.

Если же $a, b, c$ и $d$ заданы не в одной единице измерения, а, например, в метрах и сантиметрах, то сначала нужно выбрать общую единицу измерения и привести все значения к ней.