Как найти среднее квадратическое отклонение дсв

Для оценки рассеяния
возможных значений слу­чайной величины
вокруг ее среднего значения кроме
дис­персии служат и некоторые другие
характеристики. К их числу относится
среднее квадратическое отклонение.

Средним
квадратическим отклонением случайной
величины X
называют
квадратный корень из дисперсии:

Легко показать, что дисперсия имеет
размерность, равную квадрату размерности
случайной величины. Так как среднее
квадратическое отклонение равно
квадратному корню из дисперсии, то
размерность


совпадает
с размерностью X.
Поэтому в
тех случаях, когда жела­тельно, чтобы
оценка рассеяния имела размерность
слу­чайной величины, вычисляют среднее
квадратическое от­клонение, а не
дисперсию. Например, если X
выражается
в линейных метрах, то

будет
выражаться также в линейных метрах, a
D
(X)
— в квадратных
метрах. Среднее
квадратическое отклонение суммы
взаимно независимых случайных величин
Пусть известны средние квадратические
откло­нения нескольких взаимно
независимых случайных вели­чин. Как
найти среднее квадратическое отклонение
суммы этих величин? Ответ на этот вопрос
дает следующая Теорема.
Теорема.
Среднее
квадратическое отклонение суммы
конечного числа взаимно независимых
случайных величин равно квадратному
корню из суммы квадратов средних
квадратических отклонений этих величин:

Доказательство.
Обозначим через X
сумму
рас­сматриваемых взаимно независимых
величин:

Дисперсия суммы
нескольких взаимно независимых случайных
величин равна сумме дисперсий слагаемых,
поэтому

Отсюда

,
или окончательно

20.Числовые характеристики(мо, дсв,ско) взаимно независимых св. Начальные и центральные моменты. Мо.

Математическое
ожидание дискретной величины- это сумма
произведении возможных величин на их
вероятности, т.е. М(Х)=∑(I
от 1 до n)x_ip_i
М(Х)= ∑ (I
от 1 до ∞)x_ip_i–
при сходимости правой части. Пр-р:Найти
МО числа появления события А в одном
испытании, если вер-сть появления соб-я
А равно р. Решение:X:
x₁=1
x₂=0;
P:
p
1-p
M(X)=x₁*p+x₂*(1-p)=1*p+0*(1-p)=p+0=p
Замечание:МО
числа появления события в данном
испытании равна вероятности этого
события. Св-ва:1°.
М(С)=С, где С-const.2°. М(СХ)=СМ(Х), 3°. X,Y-независ
СВ, M(XY)=M(X)M(Y)
Док-во:
X:x₁,x₂,…,x_n;
P:p₁,p₂,…,p_n;
Y:y₁,y₂,…,y_n;
Q:q₁,q₂,…,q_n;
XY:x₁y₁;x₁y₂;…;
x₁y_n;…;
x_ny₁,x_ny₂;;x_ny_nP:p₁q₁;p₁q₂;…;p₁q_n;…;p_nq₁;p_nq₂;…;p_nq_n
M(XY)=x₁p₁∑
(j
от 1 до m)y_jq_j+…+x_np_n∑
(i
от1 до n)y_iq_i=(∑
(i
от1 до n)x_ip_i)(
∑ (j
от 1 до m)y_jq_j)=M(X)M(Y)
ч.т.д Сл-е:
Пусть Х_i-независимыеСВ,
где i=1,…,n,тогда
M(П
(i
от1 до n
)X_i)=
П(i
от1 до n
)M(X_i)
4°.M(X+Y)=M(X)+M(Y)
Д-во:
M(X+Y)=(x₁+y₁)p₁₁+(x₂+y₂)p₁₂+…=
=x₁∑
(i
от 1 до n)
p_1i+…+
x_n∑
(i
от 1 до n)p_ni+
y₁∑
(j
от 1 до m)p_1j+…+
y_n∑
(j
от 1 до m)p_mj=/∑(j
от 1 до m)p_1j=p₁;…/=
∑ (i
от1 до n)x_ip_i+
∑ (j
от 1 до m)y_jq_j=M(X)+M(Y)
МО числа появлении события А в независимых
испытаниях = произведению числа испытаний
на вероятность появления события в
каждом испытании M(X)=n*p
Док-во:при
проведении n испытании допустим, что
событии в 1 испытании=x₁;
во 2 испытании=x₂;…;в
n
испытании=x_n,
тогда X=∑
(i
от1 до n)x_i
M(X)=M(∑
(i
от1 до n)x_i
)= ∑ (i
от1 до n)M(x_i),M(x_i)=p,M(X)=
∑ (i
от1 до n)p=p_n
ч.т.д. ДСВ.
Дисперсия
дискретной СВ- отклонение СВ от ее МО
называется СВ и определяется как Х-М(Х)
X:
x₁,x₂,
… ,x_n
P:
p₁,p₂,
… ,p_n
X-M(X):
x₁-M(X);
x₂-M(X);…;
x_n-M(X);P:p₁,p₂,
… ,p_n
МО от отклонения от СВ и его МО=0,т.е.
M(X-M(X))=M(X)-M(M(X))=M(X)-M(X)=0

ДСВ, Д(Х)-называют
МО от квадрата отклонения ее МО, т.е.
Д(Х)=М([X-M(X)]²);
[X-M(X)]²
:
[x₁-M(X)]²;[x₂-M(X)]²;…;[x_n-M(X)]²
P:
p₁;
p₂;…
;p_n;Д(Х)=
∑ (i
от1 до n)[x_i-M(X)]²p_i;
Д(X)=M(X²
2XM(X)+M²(X))=M(X²)-2M(X)M(X)+M(M²(X))=M(X²)-M²(X),
т.е. Д(X)=M(X²)-M²(X)
Св-ва:1°Д(С)=M([C-M(C)]²)=M(0-0)=M(0)=0
2°Д(СX)=M((CX)²)-M²(CX)=M(C²X²)-C²M²(X)=C²M(X²)-C²M²(X)=C²[M(X²)-M²(X)]=C²
Д(X)
3°Д(X+Y)=
Д(X)+
Д(Y)
Док-во:
Д(X+Y)=M((X+Y)²)-M²(X+Y)=
=M(X²+2XY+Y²)-M(X+Y)M(X+Y)=
=M(X²)+2M(X)M(Y)+M(Y²)-[M(X)+M(Y)]²=M(X²)+M(Y²)+2M(XY)-M²(X)-2M(X)M(Y)-M²(Y)=M(X²)-M²(X)+M(Y²)-M²(Y)=
Д(X)+
Д(Y)

4° Д(X–Y)=
Д(X+(-Y))=
Д(X)+
Д((-1)Y)=
Д(X)+
(-1)²Д(Y)=
Д(X)+
Д(Y)
Пусть производится
n независимых испытаний, вероятность
появления события А-const
и равно p.X-число
появлений события А в n испытаниях.
Д(X)-?.x_i-«число»
появления события А в i-ом испытании.
X=x₁+x₂+…+x_n=∑
(i
от 1 до n)
x_i
Д(X)=
∑ (i
от 1 до n)
Д(x_i)
Д(x_i)=M(x_i²)-M²(x_i)
x_i:
0;1 p:1-p;p
x_i²:
0;1
M(x_i²)=0(1-p)+1p=0+p=p
M(x_i)=p
Д(X)=p-p²=p(1-p)=pq,где
q=1-p
Д(X)=npq
СКО.
Средним квадратичным отклонением СВ
называется квадратный корень из дисперсии
этой СВ,т.е. σ=√Д(X)
σ(∑ (i
от 1 до n)x_i)=√Д(∑
(i
от 1 до n)x_i)=√
∑ (i
от 1 до n)
Д(x_i)=√
∑ (i
от 1 до n)σ²(x_i)Одинаково
распределенные независимые СВ. xi,i=1,…,n
x(с
чертой)=(1/n)
∑ (i
от 1 до n)
x_i–
среднее арифметическое x_i1.
M(х(с
чертой))=M((1/n)
∑ (i
от 1 до n)
x_i)=(1/n)
∑ (i
от 1 до n)
M(x_i)=/
M(x_i)=m₀(с
чертой)/=(1/n)m₀(с
чертой)n=
m₀(с
чертой) 2.
Д(х(с чертой))=Д((1/n)
∑ (i
от 1 до n)
x_i)=(1/n²)Д(∑
(i
от 1 до n)
x_i)=(1/n²)
∑ (i
от 1 до n)Д(x_i)=/Д(x_i)=d₀/=(1/n²)d₀n=d₀/n
3. σ(x(с
чертой))=√Д(x(с
чертой))=√(d₀/n)=σ₀/√n
, σ_0=√
d₀
Начальные и
центральные теоретические моменты.
Начальным
моментом к СВ X наз-ют МО Х в к-ой степени,
т.е. ν_к=М(х^к),
частные случаи ν₁=М(Х),ν₂=М(Х²)
Д(Х)=ν₂-ν₁²
Центральным
моментом к СВ Х называют МО (X-M(X))
в к-ой степени, т.е. μ_к=M([X-M(X)]^k),
частные случаи μ₁=M(X-M(X))=0,
μ₂=M([X-M(X)]²)=
=Д(Х), μ₂=ν₂-ν₁²,μ₃=ν₃-3ν₂ν₁+2ν₁³,μ₄=ν₄-4ν₃ν₁+6ν₂ν₁²-3ν₁⁴

21.Законы
больших чисел. Неравенство и теорема
Чебышева (Чебышев
Пафнутий Львович (1821 – 1824) – русский
математик.) На практике сложно сказать
какое конкретное значение примет
случайная величина, однако, при воздействии
большого числа различных факторов
поведение большого числа случайных
величин практически утрачивает случайный
характер и становится закономерным. Этот
факт очень важен на практике, т.к.
позволяет предвидеть результат опыта
при воздействии большого числа случайных
факторов. Однако, это возможно только
при выполнении некоторых условий,
которые определяются законом больших
чисел. К законам больших чисел относятся
теоремы Чебышева (наиболее общий случай)
и теорема Бернулли (простейший случай),
которые будут рассмотрены далее.
Рассмотрим дискретную случайную величину
Х (хотя
все сказанное ниже будет справедливо
и для непрерывных случайных величин),
заданную таблицей распределения:

Требуется
определить вероятность того, что
отклонение значения случайной величины
от ее математического ожидания будет
не больше, чем заданное число e.Теорема.
(Неравенство Чебышева) Вероятность
того, что отклонение случайной величины
Х от ее математического ожидания по
абсолютной величине меньше положительного
числа e, не меньше чем

.

Теорема Чебышева:
если последовательность попарно
независимых случайных величин
X1,X2…Xn..имеет
конечные математ ожидания и дисперсии
этих величин равномерно ограничены(не
превышают постоянного числа С ) то
среднее ариф случайных величин сходится
по вероятности к среднему ариф их математ
ожиданий, те если

–любое
положительное число то

В частности, сред
ариф послед попарно независим величин,
дисперсии которых равномерно ограничены
и которые имеют одно и то же матем
ожидание а
те если

– любое положительное число

22.Теорема
Бернулли.
Если
в
каждом из n
независимых испытаний .вероятность р
появления события А постоянна
то
как угодно близка к
единице
вероятность того, что-отклонение
относительной
частоты от вероятности р по абсолютной
величине будет сколь
угодно
малым
если ,число
испытаний достаточно велико.

Другими
словами» если

—сколь
угодно
малое поло­жительно число, то при
соблюдении условий теоремы
имеет
место равенство

ЗамечаниеВ
теореме речь идет лишь о вероятности
того, что при достаточно большом числе
испытаний относительная частота будет
как угодно мало отличаться от постоянной
вероятности появления события в каж­дом
испытании.

Таким
образом, сходимость относительной
частоты т/п
к
веро­ятности р
отличается
от сходимости в смысле обычного анализа.
Для того чтобы подчеркнуть это различие,
вводят понятие «сходимости по вероятности»
*>. Точнее, различие между указанными
видами сходимости состоит в следующем:
если т/п
стремится
при п—>

к
р как пределу в смысле обычного анализа,
то начиная с некото­рого n=
N
для
всех
последующих значений п
неуклонно
выпол­няется неравенство | т/п—р
<

; если же т/п
стремится
по веро­ятности к р при
п—>
,
то .для отдельных значений п
неравенство
может не выполняться.

Итак,
теорема Бернулли утверждает, что при
п—>
относи­тельная
частота стремится по вероятноети к р.
Коротко теорему Бернулли записывают
так:
/

Как
видим, теорема Бернулли объясняет,
почему относительная частота при
достаточно большом числе испытаний
обладает свойством устойчивости и
оправдывает статистическое определение
вероятности

Относительной
частотой события наз отношение числа
испытан, в которых событие появилось,
к общему числу фактич произведенных
испытаний.W(A)=m/n

m-число
появ события,n-общее
число испытаний.А различ опытах относ
частоты измен мало, колеблясь около
некоторого постоянного числа.Это постоян
число есть вероятность появлен событ.

*>
Последовательность случайных величин
X_lt
Х₂,
..
сходится по вероятности к случайной
величине X,
если
для
любого

> 0 вероятность неравенства Х_п
— Х<

при
п—>
стремится
к единице.

23.Функция
распределения вероятностей непрерывной
СВ. Свойства. График функции
распределения.Ф-ией
распред-ия наз-ют ф-ию вида F(x),
определяющую вероятность того, что
случ-ая величина Х в результате испытания
примет значение, меньшее х, т.е. F(x)=P(X<x).
Случ-ую величину наз-ют непрерывной,
если ее ф-ия распределения есть
непрерывная, кусочно-дифференцируемая
ф-ия с непрерывной производной. 1°
Значения ф-ии распределения

[0,1]:
.
Док-во.
Св-во вытекает из определения ф-ии
распределения как вероятности: вероятность
всегда есть неотриц-ое ч-о, не превышающее
1. 2°
F(x)
–неубывающая ф-ия, т.е.

,
если

.
Док-во.
Пусть

.
Событие, состоящее в том, что Х примет
значение,<
,
можно подразделить на =>-ие 2несовместных
события: 1)Х примет значение, <
,
с вероятностью

2)Х примет значение, удовлетворяющее
неравенству

,
с вероятностью

.
По теореме сложения имеем

.
=>

или

.
(*) т.к.

вероятность есть число неотриц-ое, то

,
или

.
=>1.Вероятность
того, что случайная величина примет
значение, заключённое в (a,b),
= приращению ф-ии распределения на этом
интер-ле:

(**).
(это =>-e
вытекает из (*), если

)
=>2.Вероятность
того, что непрерывная случайная величина
Х примет одно определённое значение =
0. 3°.
Если возможные значения случайной
величины

,
то: 1)F(x)=0
при

;
2)F(x)=1
при

.
Док-во.1) Пусть

,
тогда событие

невозможно
и, => вероятность = 0. 2)Пусть

,
тогда событие

достоверно и, => его вероятность = 1. =>.
Если возможные значения непрерывной
случайной величины расположены на всей
оси х, то справедливы =>-ие предельные
соотношения:
;

.
По док-м св-м график расположен в полосе,
огран-ой прямыми у=0 и у=1. При возраст-ии
ч в (a,b),
в к-м заключены все возможные значения
случайной вел-ны, график «подымается
вверх». При

ординаты графика =0; при

— 1.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Среднеквадрати́ческое отклонение (среднеквадрати́чное отклонение, стандартное отклонение^[1]) — наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания (аналога среднего арифметического с бесконечным числом исходов). Обычно означает квадратный корень из дисперсии случайной величины, но иногда может означать тот или иной вариант оценки этого значения.

В литературе обычно обозначают греческой буквой (сигма). В статистике принято два обозначения:  — для генеральной совокупности и (с англ. standard deviation — стандартное отклонение) — для выборки.

Варианты определения[править | править код]

Обычно определяется как квадратный корень из дисперсии случайной величины: . Измеряется в единицах измерения самой случайной величины и используется при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

На практике, когда вместо точного распределения случайной величины в распоряжении имеется лишь выборка, стандартное отклонение, как и математическое ожидание, оценивают (выборочная дисперсия), и делать это можно разными способами. Термины «стандартное отклонение» и «среднеквадратическое отклонение» обычно применяют к квадратному корню из дисперсии случайной величины (определённому через её истинное распределение), но иногда и к различным вариантам оценки этой величины на основании выборки.

В частности, если  — -й элемент выборки,  — объём выборки,  — среднее арифметическое выборки (выборочное среднее — оценка математического ожидания величины):

,

то два основных способа оценки стандартного отклонения записываются нижеследующим образом.

Оценка стандартного отклонения на основании смещённой оценки дисперсии (иногда называемой просто выборочной дисперсией^[2]):

.

Это в буквальном смысле среднее квадратическое разностей измеренных значений и среднего.

Оценка стандартного отклонения на основании несмещённой оценки дисперсии (подправленной выборочной дисперсии^[2], в ГОСТ Р 8.736-2011 — «среднее квадратическое отклонение»):

Само по себе, однако, не является несмещённой оценкой квадратного корня из дисперсии, то есть извлечение квадратного корня «портит» несмещённость.

Обе оценки являются состоятельными^[2].

Кроме того, среднеквадратическим отклонением называют математическое ожидание квадрата разности истинного значения случайной величины и её оценки для некоторого метода оценки^[3]. Если оценка несмещённая (выборочное среднее — как раз несмещённая оценка для случайной величины), то эта величина равна дисперсии этой оценки.

Среднее значение выборки также является случайной величиной с оценкой среднеквадратичного отклонения^[3][]:

Правило трёх сигм[править | править код]

Правило трёх сигм () гласит: вероятность того, что любая случайная величина отклонится от своего среднего значения менее чем на :

.

Практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале , где  — математическое ожидание случайной величины. Более строго — приблизительно с вероятностью 0,9973 значение нормально распределённой случайной величины лежит в указанном интервале.

Интерпретация[править | править код]

Большее значение среднеквадратического отклонения показывает больший разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; меньшее значение, соответственно, показывает, что значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения.

Например, для у всех трёх числовых множеств: {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} и {6, 6, 8, 8} средние значения равны 7, а среднеквадратические отклонения, соответственно, равны 7, 5 и 1. У последнего множества среднеквадратическое отклонение маленькое, так как значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения; у первого множества самое большое значение среднеквадратического отклонения — значения внутри множества сильно расходятся со средним значением.

В общем смысле среднеквадратическое отклонение можно считать мерой неопределённости. К примеру, в физике среднеквадратическое отклонение используется для определения погрешности серии последовательных измерений какой-либо величины. Это значение очень важно для определения правдоподобности изучаемого явления в сравнении с предсказанным теорией значением: если среднее значение измерений сильно отличается от предсказанных теорией значений (большое значение среднеквадратического отклонения), то полученные значения или метод их получения следует перепроверить.

Практическое применение[править | править код]

На практике среднеквадратическое отклонение позволяет оценить, насколько значения из множества могут отличаться от среднего значения.

Экономика и финансы[править | править код]

Среднее квадратическое отклонение доходности портфеля отождествляется с риском портфеля.

В техническом анализе среднеквадратическое отклонение используется для построения линий Боллинджера, расчёта волатильности.

Оценка рисков и критика[править | править код]

Среднеквадратическое отклонение широко распространено в финансовой сфере в качестве критерия оценки инвестиционного риска. По мнению американского экономиста Нассима Талеба, этого делать не следует. Так, по теории около двух третей изменений должны укладываться в определённые рамки (среднеквадратические отклонения −1 и +1) и что колебания свыше семи стандартных отклонений практически невозможны. Однако в реальной жизни, по мнению Талеба, всё иначе — скачки отдельных показателей могут превышать 10, 20, а иногда и 30 стандартных отклонений. Талеб считает, что риск-менеджерам следует избегать использования средств и методов, связанных со стандартными отклонениями, таких как регрессионные модели, коэффициент детерминации (R-квадрат) и бета-факторы. Кроме того, по мнению Талеба, среднеквадратическое отклонение — слишком сложный для понимания метод. Он считает, что тот, кто пытается оценить риск с помощью единственного показателя, обречён на неудачу^[4].

Климат[править | править код]

Предположим, существуют два города с одинаковой средней максимальной дневной температурой, но один расположен на побережье, а другой внутри континента. Известно, что в городах, расположенных на побережье, множество различных максимальных дневных температур меньше, чем у городов, расположенных внутри континента. Поэтому среднеквадратическое отклонение максимальных дневных температур у прибрежного города будет меньше, чем у второго города, несмотря на то, что среднее значение этой величины у них одинаковое, что на практике означает, что вероятность того, что максимальная температура воздуха каждого конкретного дня в году будет сильнее отличаться от среднего значения, выше у города, расположенного внутри континента.

Спорт[править | править код]

Предположим, что есть несколько футбольных команд, которые оцениваются по некоторому набору параметров, например, количеству забитых и пропущенных голов, голевых моментов и т. п. Наиболее вероятно, что лучшая в этой группе команда будет иметь лучшие значения по большему количеству параметров. Чем меньше у команды среднеквадратическое отклонение по каждому из представленных параметров, тем предсказуемее является результат команды, такие команды являются сбалансированными. С другой стороны, у команды с большим значением среднеквадратического отклонения сложно предсказать результат, что в свою очередь объясняется дисбалансом, например, сильной защитой, но слабым нападением.

Использование среднеквадратического отклонения параметров команды позволяет в той или иной мере предсказать результат матча двух команд, оценивая сильные и слабые стороны команд, а значит, и выбираемых способов борьбы.

Пример[править | править код]

Предположим, что интересующая нас группа (генеральная совокупность) это класс из восьми учеников, которым выставляются оценки по 10-бальной системе. Так как мы оцениваем всю группу, а не её выборку, можно использовать стандартное отклонение на основании смещённой оценки дисперсии. Для этого берём квадратный корень из среднего арифметического квадратов отклонений величин от их среднего значения.

Пусть оценки учеников класса следующие:

.

Тогда средняя оценка равна:

.

Вычислим квадраты отклонений оценок учеников от их средней оценки:

Среднее арифметическое этих значений называется дисперсией:

Стандартное отклонение равно квадратному корню дисперсии:

Эта формула справедлива только если эти восемь значений и являются генеральной совокупностью. Если бы эти данные были случайной выборкой из какой-то большой совокупности (например, оценки восьми случайно выбранных учеников большого города), то в знаменателе формулы для вычисления дисперсии вместо n = 8 нужно было бы поставить n − 1 = 7:

и стандартное отклонение равнялось бы:

Этот результат называется стандартным отклонением на основании несмещённой оценки дисперсии. Деление на n − 1 вместо n даёт неискажённую оценку дисперсии для больших генеральных совокупностей.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Боровиков В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: Для профессионалов / В. Боровиков. — СПб.: Питер, 2003. — 688 с. — ISBN 5-272-00078-1..
• Нассим Талеб, Дениэл Гольдштейн, Марк Шпицнагель. Шесть ошибок руководителей компаний при управлении рисками // Управление рисками (Серия «Harvard Business Review: 10 лучших статей») = On Managing Risk / Коллектив авторов. — М.: Альпина Паблишер, 2022. — С. 41—50. — 206 с. — ISBN 978-5-9614-8186-0.

Числовые характеристики дискретной случайной величины

В этом разделе:

• Основная информация
• Онлайн калькулятор
• Полезные ссылки

Основная информация

Числовые характеристики дискретной случайной величины $X$, которые обычно требуется находить в учебных задачах по теории вероятностей, это математическое ожидание $M(X)$, дисперсия $D(X)$ и среднее квадратическое отклонение $sigma(X)$.

$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
$$
D(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} right)^2.
$$
$$
sigma(X) = sqrt{D(X)}.
$$

Подробные формулы и примеры расчета вы найдете по ссылкам в предыдущем абзаце, в этом же разделе вы сможете автоматически и бесплатно рассчитать эти значения с помощью онлайн-калькулятора, который даст не только ответ, но и продемонстрирует процесс вычисления.

Калькулятор: числовые характеристики случайной величины

• Введите число значений случайной величины К.
• Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -1.5 или 10.558). Введите нужные значения (убедитесь, что сумма вероятностей равна единице, то есть закон распределения задан верно).
• Нажмите на кнопку “Вычислить”.
• Калькулятор покажет процесс вычисления математического ожидания $M(X)$, дисперсии $D(X)$ и СКО $sigma(X)$.
• Нужны еще расчеты? Вводите новые числа и нажимайте на кнопку.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики об СКО

На закуску для продвинутых – какие формулы вычисления СКО для выборок бывают и для чего подходят.

Полезные ссылки

• Калькуляторы по теории вероятнстей
• Онлайн учебник по ТВ
• Примеры решений по теории вероятностей
• Контрольные по теории вероятностей на заказ

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

Была ли эта статья полезной?