Как найти среднее квадратическое отклонение формула - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Среднеквадрати́ческое отклонение (среднеквадрати́чное отклонение, стандартное отклонение^[1]) — наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания (аналога среднего арифметического с бесконечным числом исходов). Обычно означает квадратный корень из дисперсии случайной величины, но иногда может означать тот или иной вариант оценки этого значения.

В литературе обычно обозначают греческой буквой sigma (сигма). В статистике принято два обозначения: sigma — для генеральной совокупности и (с англ. standard deviation — стандартное отклонение) — для выборки.

Варианты определения[править | править код]

Обычно определяется как квадратный корень из дисперсии случайной величины: . Измеряется в единицах измерения самой случайной величины и используется при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

На практике, когда вместо точного распределения случайной величины в распоряжении имеется лишь выборка, стандартное отклонение, как и математическое ожидание, оценивают (выборочная дисперсия), и делать это можно разными способами. Термины «стандартное отклонение» и «среднеквадратическое отклонение» обычно применяют к квадратному корню из дисперсии случайной величины (определённому через её истинное распределение), но иногда и к различным вариантам оценки этой величины на основании выборки.

В частности, если $x_{i}$ — -й элемент выборки, — объём выборки, — среднее арифметическое выборки (выборочное среднее — оценка математического ожидания величины):

${displaystyle {bar {x}}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}x_{i}={frac {1}{n}}(x_{1}+ldots +x_{n})}$

то два основных способа оценки стандартного отклонения записываются нижеследующим образом.

Оценка стандартного отклонения на основании смещённой оценки дисперсии (иногда называемой просто выборочной дисперсией^[2]):

${displaystyle S={sqrt {{frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}left(x_{i}-{bar {x}}right)^{2}}}}$

Это в буквальном смысле среднее квадратическое разностей измеренных значений и среднего.

Оценка стандартного отклонения на основании несмещённой оценки дисперсии (подправленной выборочной дисперсии^[2], в ГОСТ Р 8.736-2011 — «среднее квадратическое отклонение»):

${displaystyle S_{0}={sqrt {{frac {n}{n-1}}S^{2}}}={sqrt {{frac {1}{n-1}}sum _{i=1}^{n}left(x_{i}-{bar {x}}right)^{2}}}.}$

Само по себе, однако, $S_{0}$ не является несмещённой оценкой квадратного корня из дисперсии, то есть извлечение квадратного корня «портит» несмещённость.

Обе оценки являются состоятельными^[2].

Кроме того, среднеквадратическим отклонением называют математическое ожидание квадрата разности истинного значения случайной величины и её оценки для некоторого метода оценки^[3]. Если оценка несмещённая (выборочное среднее — как раз несмещённая оценка для случайной величины), то эта величина равна дисперсии этой оценки.

Среднее значение выборки также является случайной величиной с оценкой среднеквадратичного отклонения^[3]^[]:

${displaystyle S_{bar {x}}=S_{0}/{sqrt {n}}={sqrt {{frac {1}{n(n-1)}}sum _{i=1}^{n}left(x_{i}-{bar {x}}right)^{2}}}.}$

Правило трёх сигм[править | править код]

Правило трёх сигм () гласит: вероятность того, что любая случайная величина отклонится от своего среднего значения менее чем на :

${displaystyle P(|xi -Exi mid <3sigma )geqslant {frac {8}{9}}}$

Практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале , где — математическое ожидание случайной величины. Более строго — приблизительно с вероятностью 0,9973 значение нормально распределённой случайной величины лежит в указанном интервале.

Интерпретация[править | править код]

Большее значение среднеквадратического отклонения показывает больший разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; меньшее значение, соответственно, показывает, что значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения.

Например, для у всех трёх числовых множеств: {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} и {6, 6, 8, 8} средние значения равны 7, а среднеквадратические отклонения, соответственно, равны 7, 5 и 1. У последнего множества среднеквадратическое отклонение маленькое, так как значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения; у первого множества самое большое значение среднеквадратического отклонения — значения внутри множества сильно расходятся со средним значением.

В общем смысле среднеквадратическое отклонение можно считать мерой неопределённости. К примеру, в физике среднеквадратическое отклонение используется для определения погрешности серии последовательных измерений какой-либо величины. Это значение очень важно для определения правдоподобности изучаемого явления в сравнении с предсказанным теорией значением: если среднее значение измерений сильно отличается от предсказанных теорией значений (большое значение среднеквадратического отклонения), то полученные значения или метод их получения следует перепроверить.

Практическое применение[править | править код]

На практике среднеквадратическое отклонение позволяет оценить, насколько значения из множества могут отличаться от среднего значения.

Экономика и финансы[править | править код]

Среднее квадратическое отклонение доходности портфеля отождествляется с риском портфеля.

В техническом анализе среднеквадратическое отклонение используется для построения линий Боллинджера, расчёта волатильности.

Оценка рисков и критика[править | править код]

Среднеквадратическое отклонение широко распространено в финансовой сфере в качестве критерия оценки инвестиционного риска. По мнению американского экономиста Нассима Талеба, этого делать не следует. Так, по теории около двух третей изменений должны укладываться в определённые рамки (среднеквадратические отклонения −1 и +1) и что колебания свыше семи стандартных отклонений практически невозможны. Однако в реальной жизни, по мнению Талеба, всё иначе — скачки отдельных показателей могут превышать 10, 20, а иногда и 30 стандартных отклонений. Талеб считает, что риск-менеджерам следует избегать использования средств и методов, связанных со стандартными отклонениями, таких как регрессионные модели, коэффициент детерминации (R-квадрат) и бета-факторы. Кроме того, по мнению Талеба, среднеквадратическое отклонение — слишком сложный для понимания метод. Он считает, что тот, кто пытается оценить риск с помощью единственного показателя, обречён на неудачу^[4].

Климат[править | править код]

Предположим, существуют два города с одинаковой средней максимальной дневной температурой, но один расположен на побережье, а другой внутри континента. Известно, что в городах, расположенных на побережье, множество различных максимальных дневных температур меньше, чем у городов, расположенных внутри континента. Поэтому среднеквадратическое отклонение максимальных дневных температур у прибрежного города будет меньше, чем у второго города, несмотря на то, что среднее значение этой величины у них одинаковое, что на практике означает, что вероятность того, что максимальная температура воздуха каждого конкретного дня в году будет сильнее отличаться от среднего значения, выше у города, расположенного внутри континента.

Спорт[править | править код]

Предположим, что есть несколько футбольных команд, которые оцениваются по некоторому набору параметров, например, количеству забитых и пропущенных голов, голевых моментов и т. п. Наиболее вероятно, что лучшая в этой группе команда будет иметь лучшие значения по большему количеству параметров. Чем меньше у команды среднеквадратическое отклонение по каждому из представленных параметров, тем предсказуемее является результат команды, такие команды являются сбалансированными. С другой стороны, у команды с большим значением среднеквадратического отклонения сложно предсказать результат, что в свою очередь объясняется дисбалансом, например, сильной защитой, но слабым нападением.

Использование среднеквадратического отклонения параметров команды позволяет в той или иной мере предсказать результат матча двух команд, оценивая сильные и слабые стороны команд, а значит, и выбираемых способов борьбы.

Пример[править | править код]

Предположим, что интересующая нас группа (генеральная совокупность) это класс из восьми учеников, которым выставляются оценки по 10-бальной системе. Так как мы оцениваем всю группу, а не её выборку, можно использовать стандартное отклонение на основании смещённой оценки дисперсии. Для этого берём квадратный корень из среднего арифметического квадратов отклонений величин от их среднего значения.

Пусть оценки учеников класса следующие:

Тогда средняя оценка равна:

${displaystyle mu ={frac {2+4+4+4+5+5+7+9}{8}}=5}$

Вычислим квадраты отклонений оценок учеников от их средней оценки:

${displaystyle {begin{array}{lll}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(9-5)^{2}=4^{2}=16\end{array}}}$

Среднее арифметическое этих значений называется дисперсией:

${displaystyle sigma ^{2}={frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{8}}=4}$

Стандартное отклонение равно квадратному корню дисперсии:

Эта формула справедлива только если эти восемь значений и являются генеральной совокупностью. Если бы эти данные были случайной выборкой из какой-то большой совокупности (например, оценки восьми случайно выбранных учеников большого города), то в знаменателе формулы для вычисления дисперсии вместо n = 8 нужно было бы поставить n − 1 = 7:

${displaystyle sigma ^{2}={frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{7}}approx 4{,}57}$

и стандартное отклонение равнялось бы:

{displaystyle sigma ={sqrt {4{,}57}}approx 2{,}14}

Этот результат называется стандартным отклонением на основании несмещённой оценки дисперсии. Деление на n − 1 вместо n даёт неискажённую оценку дисперсии для больших генеральных совокупностей.

Примечания[править | править код]

↑ Встречаются также различные синонимы: среднее квадратическое отклонение, стандартный разброс, стандартная неопределённость; термин «среднее квадратическое» означает «среднее степени 2»
↑ ¹ ² ³ Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Введение в математическую статистику. — М. : Издательство ЛКИ, 2010. — §2.2. Выборочные моменты: точная и асимптотическая теория. — ISBN 978-5-382-01013-7.
↑ ¹ ² C. Patrignani et al. (Particle Data Group). 39. STATISTICS. — В: Review of Particle Physics // Chin. Phys. C. — 2016. — Vol. 40. — P. 100001. — doi:10.1088/1674-1137/40/10/100001.
↑ Талеб, Гольдштейн, Шпицнагель, 2022, с. 46.

Литература[править | править код]

Боровиков В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: Для профессионалов / В. Боровиков. — СПб.: Питер, 2003. — 688 с. — ISBN 5-272-00078-1..
Нассим Талеб, Дениэл Гольдштейн, Марк Шпицнагель. Шесть ошибок руководителей компаний при управлении рисками // Управление рисками (Серия «Harvard Business Review: 10 лучших статей») = On Managing Risk / Коллектив авторов. — М.: Альпина Паблишер, 2022. — С. 41—50. — 206 с. — ISBN 978-5-9614-8186-0.

Источник

Загрузить PDF

Вычислив среднеквадратическое отклонение, вы найдете разброс значений в выборке данных.^[1] Но сначала вам придется вычислить некоторые величины: среднее значение и дисперсию выборки. Дисперсия – мера разброса данных вокруг среднего значения.^[2] Среднеквадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии выборки. Эта статья расскажет вам, как найти среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

1
Возьмите наборе данных. Среднее значение – это важная величина в статистических расчетах.^[3]
- Определите количество чисел в наборе данных.
- Числа в наборе сильно отличаются друг от друга или они очень близки (отличаются на дробные доли)?
- Что представляют числа в наборе данных? Тестовые оценки, показания пульса, роста, веса и так далее.
- Например, набор тестовых оценок: 10, 8, 10, 8, 8, 4.
2
Для вычисления среднего значения понадобятся все числа данного набора данных.^[4]
- Среднее значение – это усредненное значение всех чисел в наборе данных.
- Для вычисления среднего значения сложите все числа вашего набора данных и разделите полученное значение на общее количество чисел в наборе (n).
- В нашем примере (10, 8, 10, 8, 8, 4) n = 6.
3
Сложите все числа вашего набора данных.^[5]
- В нашем примере даны числа: 10, 8, 10, 8, 8 и 4.
- 10 + 8 + 10 + 8 + 8 + 4 = 48. Это сумма всех чисел в наборе данных.
- Сложите числа еще раз, чтобы проверить ответ.
4
Разделите сумму чисел на количество чисел (n) в выборке. Вы найдете среднее значение.^[6]
- В нашем примере (10, 8, 10, 8, 8 и 4) n = 6.
- В нашем примере сумма чисел равна 48. Таким образом, разделите 48 на n.
- 48/6 = 8
- Среднее значение данной выборки равно 8.
Реклама

1
Вычислите дисперсию. Это мера разброса данных вокруг среднего значения.^[7]
- Эта величина даст вам представление о том, как разбросаны данные выборки.
- Выборка с малой дисперсией включает данные, которые ненамного отличаются от среднего значения.
- Выборка с высокой дисперсией включает данные, которые сильно отличаются от среднего значения.
- Дисперсию часто используют для того, чтобы сравнить распределение двух наборов данных.
2
Вычтите среднее значение из каждого числа в наборе данных. Вы узнаете, насколько каждая величина в наборе данных отличается от среднего значения.^[8]
- В нашем примере (10, 8, 10, 8, 8, 4) среднее значение равно 8.
- 10 – 8 = 2; 8 – 8 = 0, 10 – 2 = 8, 8 – 8 = 0, 8 – 8 = 0, и 4 – 8 = -4.
- Проделайте вычитания еще раз, чтобы проверить каждый ответ. Это очень важно, так как полученные значения понадобятся при вычислениях других величин.
3
Возведите в квадрат каждое значение, полученное вами в предыдущем шаге.^[9]
- При вычитании среднего значения (8) из каждого числа данной выборки (10, 8, 10, 8, 8 и 4) вы получили следующие значения: 2, 0, 2, 0, 0 и -4.
- Возведите эти значения в квадрат: 2², 0², 2², 0², 0², и (-4)² = 4, 0, 4, 0, 0, и 16.
- Проверьте ответы, прежде чем приступить к следующему шагу.
4
Сложите квадраты значений, то есть найдите сумму квадратов.^[10]
- В нашем примере квадраты значений: 4, 0, 4, 0, 0 и 16.
- Напомним, что значения получены путем вычитания среднего значения из каждого числа выборки: (10-8)^2 + (8-8)^2 + (10-2)^2 + (8-8)^2 + (8-8)^2 + (4-8)^2
- 4 + 0 + 4 + 0 + 0 + 16 = 24.
- Сумма квадратов равна 24.
5
Разделите сумму квадратов на (n-1). Помните, что n – это количество данных (чисел) в вашей выборке. Таким образом, вы получите дисперсию.^[11]
- В нашем примере (10, 8, 10, 8, 8, 4) n = 6.
- n-1 = 5.
- В нашем примере сумма квадратов равна 24.
- 24/5 = 4,8
- Дисперсия данной выборки равна 4,8.
Реклама

1
Найдите дисперсию, чтобы вычислить среднеквадратическое отклонение.^[12]
- Помните, что дисперсия – это мера разброса данных вокруг среднего значения.
- Среднеквадратическое отклонение – это аналогичная величина, описывающая характер распределения данных в выборке.
- В нашем примере дисперсия равна 4,8.
2
Извлеките квадратный корень из дисперсии, чтобы найти среднеквадратическое отклонение.^[13]
- Как правило, 68% всех данных расположены в пределах одного среднеквадратического отклонения от среднего значения.
- В нашем примере дисперсия равна 4,8.
- √4,8 = 2,19. Среднеквадратическое отклонение данной выборки равно 2,19.
- 5 из 6 чисел (83%) данной выборки (10, 8, 10, 8, 8, 4) находится в пределах одного среднеквадратического отклонения (2,19) от среднего значения (8).
3
Проверьте правильность вычисления среднего значения, дисперсии и среднеквадратического отклонения. Это позволит вам проверить ваш ответ.^[14]
- Обязательно записывайте вычисления.
- Если в процессе проверки вычислений вы получили другое значение, проверьте все вычисления с самого начала.
- Если вы не можете найти, где сделали ошибку, проделайте вычисления с самого начала.
Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 64 646 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

В данной статье я расскажу о том, как найти среднеквадратическое отклонение. Этот материал крайне важен для полноценного понимания математики, поэтому репетитор по математике должен посвятить его изучению отдельный урок или даже несколько. В этой статье вы найдёте ссылку на подробный и понятный видеоурок, в котором рассказано о том, что такое среднеквадратическое отклонение и как его найти.

Среднеквадратическое отклонение дает возможность оценить разброс значений, полученных в результате измерения какого-то параметра. Обозначается символом (греческая буква «сигма»).

Формула для расчета довольно проста. Чтобы найти среднеквадратическое отклонение, нужно взять квадратный корень из дисперсии. Так что теперь вы должны спросить: “А что же такое дисперсия?”

Что такое дисперсия

Определение дисперсии звучит так. Дисперсия — это среднее арифметическое от квадратов отклонений значений от среднего.

Чтобы найти дисперсию последовательно проведите следующие вычисления:

Определите среднее (простое среднее арифметическое ряда значений).
Затем от каждого из значений отнимите среднее и возведите полученную разность в квадрат (получили квадрат разности).
Следующим шагом будет вычисление среднего арифметического полученных квадратов разностей (Почему именно квадратов вы сможете узнать ниже).

Рассмотрим на примере. Допустим, вы с друзьями решили измерить рост ваших собак (в миллиметрах). В результате измерений вы получили следующие данные измерений роста (в холке): 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм и 300 мм.

Порода собаки	Рост в миллиметрах
Ротвейлер	600
Бульдог	470
Такса	170
Пудель	430
Мопс	300

Вычислим среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Сперва найдём среднее значение. Как вы уже знаете, для этого нужно сложить все измеренные значения и поделить на количество измерений. Ход вычислений:

Среднее $=frac{600+470+170+430+300}{5} = 394$ мм.

Итак, среднее (среднеарифметическое) составляет 394 мм.

Теперь нужно определить отклонение роста каждой из собак от среднего:

$[ begin{array}{l} 1: 600-394 = 206 \ 2: 470-394 = 76 \ 3: 170-394 = -224\ 4: 430-394 = 36\ 5: 300-394 = -94 end{array} ]$

Наконец, чтобы вычислить дисперсию, каждую из полученных разностей возводим в квадрат, а затем находим среднее арифметическое от полученных результатов:

Дисперсия $= frac{206^2+76^2+(-224)^2+36^2+(-94)^2}{5} = 21704$ мм².

Таким образом, дисперсия составляет 21704 мм².

Как найти среднеквадратическое отклонение

Так как же теперь вычислить среднеквадратическое отклонение, зная дисперсию? Как мы помним, взять из нее квадратный корень. То есть среднеквадратическое отклонение равно:

мм (округлено до ближайшего целого значения в мм).

Применив данный метод, мы выяснили, что некоторые собаки (например, ротвейлеры) – очень большие собаки. Но есть и очень маленькие собаки (например, таксы, только говорить им этого не стоит).

Самое интересное, что среднеквадратическое отклонение несет в себе полезную информацию. Теперь мы можем показать, какие из полученных результатов измерения роста находятся в пределах интервала, который мы получим, если отложим от среднего (в обе стороны от него) среднеквадратическое отклонение.

То есть с помощью среднеквадратического отклонения мы получаем “стандартный” метод, который позволяет узнать, какое из значений является нормальным (среднестатистическим), а какое экстраординарно большим или, наоборот, малым.

Что такое стандартное отклонение

Но… все будет немного иначе, если мы будем анализировать выборку данных. В нашем примере мы рассматривали генеральную совокупность. То есть наши 5 собак были единственными в мире собаками, которые нас интересовали.

Но если данные являются выборкой (значениями, которые выбрали из большой генеральной совокупности), тогда вычисления нужно вести иначе.

Если есть значений, то:

Все остальные расчеты производятся аналогично, в том числе и определение среднего.

Например, если наших пять собак – только выборка из генеральной совокупности собак (всех собак на планете), мы должны делить на 4, а не на 5, а именно:

Дисперсия выборки = $frac{108520}{4}=27130$ мм².

При этом стандартное отклонение по выборке равно мм (округлено до ближайшего целого значения).

Можно сказать, что мы произвели некоторую “коррекцию” в случае, когда наши значения являются всего лишь небольшой выборкой.

Примечание. Почему именно квадраты разностей?

Но почему при вычислении дисперсии мы берём именно квадраты разностей? Допустим при измерении какого-то параметра, вы получили следующий набор значений: 4; 4; -4; -4. Если мы просто сложим абсолютные отклонения от среднего (разности) между собой … отрицательные значения взаимно уничтожатся с положительными:

$frac{4+4-4-4}{4}=0$ .

Получается, этот вариант бесполезен. Тогда, может, стоит попробовать абсолютные значения отклонений (то есть модули этих значений)?

$frac{4+4+|-4|+|-4|}{4} = frac{4+4+4+4}{4}=4$ .

На первый взгляд получается неплохо (полученная величина, кстати, называется средним абсолютным отклонением), но не во всех случаях. Попробуем другой пример. Пусть в результате измерения получился следующий набор значений: 7; 1; -6; -2. Тогда среднее абсолютное отклонение равно:

$frac{7+1+|-6|+|-2|}{4} = frac{7+1+6+2}{4}=4$ .

Вот это да! Снова получили результат 4, хотя разности имеют гораздо больший разброс.

А теперь посмотрим, что получится, если возвести разности в квадрат (и взять потом квадратный корень из их суммы).

Для первого примера получится:

$sqrt{frac{4^2+4^2+(-4)^2+(-4)^2}{4}}=4$ .

Для второго примера получится:

$sqrt{frac{7^2+1^2+(-6)^2+(-2)^2}{4}}=4.74$ .

Теперь – совсем другое дело! Среднеквадратическое отклонение получается тем большим, чем больший разброс имеют разности … к чему мы и стремились.

Фактически в данном методе использована та же идея, что и при вычислении расстояния между точками, только примененная иным способом.

И с математической точки зрения использование квадратов и квадратных корней дает больше пользы, чем мы могли бы получить на основании абсолютных значений отклонений, благодаря чему среднеквадратическое отклонение применимо и для других математических задач.

О том, как найти среднеквадратическое отклонение, вам рассказал репетитор по математике в Москве, Сергей Валерьевич

Источник

Что такое среднеквадратичное отклонение

Рассматривая какие-либо величины или их изменения, используют такие критерии как среднеарифметическая величина и ее отклонение. Различные понятия позволяют оценить разброс измеряемой величины и ее отклонение. К ним относится абсолютная погрешность, которая показывает насколько каждая конкретная величина отличается от среднего значения. Но так как сумма всех абсолютных погрешностей равна нулю, то этот критерий не позволяет показать разброс измеряемых величин. И для решения этой задачи был введен новый показатель — среднее квадратичное отклонение.

Для того чтобы объяснить его смысл необходимо вспомнить некоторые основные математические понятия.

Определение

Средней величиной или средним арифметическим называется число, полученное в результате деления суммы всех величин на их количество.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Пример

Среднеарифметическое для 3 чисел b₁, b₂ и b₃ определяется как:

(M=frac{b_1+b_2+b_3}3)

Со средней величиной непосредственно связана и другая характеристика — математическое ожидание.

Определение

Значение среднего арифметического некоторого множества при стремлении его членов к бесконечности называется математическим ожиданием (М).

А оценкой математического ожидания является среднее арифметическое определенного числа измерений изучаемой величины.

Определение

Вариантой или абсолютной погрешностью называется разность измеряемой величины со средним значением.

Она обозначается греческой буквой D. Для того чтобы найти варианту единичного измерения ai следует отнять от ее значение среднее арифметическое:

(Da_i=a_i-M)

Также для оценки единичного измерения используется и относительная погрешность, значение которой выражается в процентах. Ее вычисление проводят по формуле:

(sigma=frac{left|triangle a_iright|}Mtimes100%)

Относительная погрешность каждой величины позволяет отбросить из вариации измерений значения с очень большой погрешностью и проводить дальнейший анализ только величин с незначительной относительной погрешностью.

Характеристикой распределения значений некоторой измеряемой величины является дисперсия (D).

Определение

Дисперсией называется среднее арифметическое квадратов всех абсолютных погрешностей.

Теперь можно дать определение и «среднеквадратичному отклонению».

Определение

Значение корня квадратного из дисперсии случайной величины называется среднеквадратичным отклонением и обозначается «ϭ».

Оно вычисляется по формуле:

(sigma=sqrt{D_{left|xright|}})

Единицей измерения среднеквадратического отклонения является единица измерения исследуемой величины. Данный критерий используется при измерении линейной функции, статической проверки гипотезы, расчете стандартной ошибки среднего арифметического, а также при построении доверительных интервалов.

Как найти среднеквадратическое отклонение

Вычисление среднеквадратичного отклонения на первый взгляд может показаться достаточно сложным и запутанным. Но этот процесс можно облегчить, если воспользоваться следующим алгоритмом действий:

Найти среднее арифметическое всех членов множества.
Для каждого элемента вычислить варианту.
Сложить все полученные на предыдущем этапе значения.
Разделить число, полученное при выполнении третьего шага, на количество элементов множества.
Из полученного в предыдущем шаге числа извлечь корень квадратный.

Формула, примеры решения задач

Для четырех измеренных значений величины b формула среднеквадратичного отклонения будет выглядеть следующим образом:

(sigma=sqrt{frac{triangle b_1+triangle b_2+triangle b_3+triangle b_4}4})

где Db₁ – Db₄ являются абсолютными погрешностями каждой исследуемой величины.

Рассмотрим пример решения конкретной задачи.

Задача

При проведении лабораторной работы по физике школьники несколько раз измерили напряжение электрического тока и получили следующие значения:

(U_1=4.22B\U_2=4.30B\U_3=4.27B\U_4=4.23B\U_5=4.20B)

Необходимо рассчитать погрешности (абсолютные и относительные) каждого измерения, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Решение

Определим среднее арифметическое значение напряжения в данной работе:

(U_c=sqrt{frac{U_1+U_2+U_3+U_4+U_5}5}=frac{4.22+4.30+4.27+4.23+4.20}5=4.244B)

Теперь рассчитаем для каждого полученного измерения абсолютную и относительную погрешности. Так как абсолютная погрешность определяется как разница между средним арифметическим и полученным значением, то

(triangle U_1=0.024\triangle U_2=-0.056\triangle U_3=-0.026\triangle U_4=0.014\triangle U_5=0.044)

Находим относительную погрешность:

(sigma_1=frac{left|U_1right|}{U_c}times100%=0.50%\sigma_2=frac{left|U_2right|}{U_c}times100%=1.06%\sigma_3=frac{left|U_3right|}{U_c}times100%=0.50%\sigma_4=frac{left|U_4right|}{U_c}times100%=0.25%\sigma_5=frac{left|U_5right|}{U_c}times100%=0.84%\)

Зная абсолютные погрешности несложно вычислить дисперсию:

(D=frac{triangle U_1^2+{triangle U_2}^2+{triangle U_3}^2+{triangle U_4}^2+{triangle U_5}^2}5=0.001304\)

Теперь можно вычислить среднеквадратичное отклонение:

(sigma=sqrt D=0.0361\)

Источник

Для определения
степени колеблемости признаков
используется среднее квадратическое
отклонение, широко применяемое в
экономических расчетах.

Среднее квадратическое
отклонение бывает простое и взвешенное.
Оно обозначается буквой σ.

—простое квадратическое
отклонение;
—взвешенное
квадратическое отклонение.

Рассмотрим порядок
вычисления взвешенного среднего
квадратического отклонения.

Вычисляют СА
взвешенную величину из ряда
.

Определяют
отклонения отдельных вариантов от
средней.

Полученные
отклонения возводят в квадрат.
Квадраты отклонений
делят на увеличивают на число случаев
в этих отклонениях, то есть на частоты
.
Затем полученные отклонения суммируют.
Сумму квадратов
отклонений сумму всех чисел членов
ряда:

Таким
образом, получается дисперсия, или
средний квадрат отклонений.

Из величины,
выражающей дисперсию, извлекают
квадратный корень:

Пример. Произведем
вычисление простого и взвешенного
среднеквадратического отклонения. В
табл. 12 показано распределение кип
шерсти по массе при отгрузке.

Таблица
.12

Распределение кип шерсти при отгрузке

Масса одной кипы (), кг	Количество отгруженных кип (f), шт
86	10
90	20
94	10
96	30
100	15
110	15
ИТОГО	100

Требуется определить
СА простую и взвешенную, среднее
квадратическое отклонение простое и
взвешенное.

Определяем средний
вес одной кипы, для чего используем
формулу средней арифметической простой:

Подставим значения:

2. Среднее
квадратическое простое отклонение (не
взвешенное) определяем по формуле:

Для расчета
квадратического отклонения построим
расчетную таблицу(таб. .13).
Таблица .13

Данные для расчета квадратического отклонения

Масса кипы шерсти, кг	Отклонение от средней (= 96 кг)	Квадраты отклонений (х-х_а)²
86	-10(86-96)	100
90	-6	36
94	-2	4
96	0	0
100	+4	16
110	+14	196
ИТОГО

Что характеризует
полученное квадратическое отклонение?

Масса отдельных
кип шерсти отклоняется от средней (96
кг) в одних случаях на большую величину,
в других— на меньшую. В среднем это
отклонение от средней составляет ±7,7
кг. Из этих данных видно и другое: простое
среднее квадратическое отклонение
выражается в тех же именованных числах,
что и средняя величина. Поэтому оно
составляет так называемое абсолютное
отклонение от средней величины. По
данным примера рассчитаем также среднее
квадратическое отклонение (взвешенное)
для характеристики ряда распределения
с неравными частотами. Для этого примем
во внимание количество отгруженных
кип, которые будут составлять частоты(f).

Расчет производим
по формуле:

Построим расчетную
таблицу (табл. .14).

Сначала определяем
среднюю арифметическую взвешенную:

Рассчитаем среднее
квадратическое отклонение (взвешенное):

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.12.2018130.46 Кб297.docx
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#

Источник

Варианты определения[править | править код]

Правило трёх сигм[править | править код]

Интерпретация[править | править код]

Практическое применение[править | править код]

Экономика и финансы[править | править код]

Оценка рисков и критика[править | править код]

Климат[править | править код]

Спорт[править | править код]

Пример[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Что такое дисперсия

Что такое стандартное отклонение

Примечание. Почему именно квадраты разностей?

Что такое среднеквадратичное отклонение

Как найти среднеквадратическое отклонение

Формула, примеры решения задач

Распределение кип шерсти при отгрузке

Данные для расчета квадратического отклонения

Вам также может понравиться

Потерял гос номер как найти

Как найти разряженный айпад дома

Как можно найти письмо без трек номера

Добавить комментарий Отменить ответ