Как найти среднее значение измеренной величины

Как найти среднее значение измеренной величины

При
многократных измерениях какой-то
величины, истинное значение которой a,
проделывают n
измерений. В результате получают ряд
приближенных значений

Истинные абсолютные
погрешности представим как

Тогда можем
записать:

Складывая почленно,
имеем:

Отсюда

,

среднее
арифметическое отдельных измерений.

Истинное значение
а, выразится

истинная
абсолютная погрешность, которая остается
неизвестной.

Задача нахождения
случайных погрешностей была решена
Гауссом. В основе рассмотрения лежат
две аксиомы:

  1. Погрешности равной
    абсолютной величины и противоположных
    знаков равновероятны.

  2. Чем больше
    абсолютная величина погрешности, тем
    она менее вероятна.

Из первой аксиомы
следует, что при бесконечном числе
измерений (при
)

и тогда

Но практически
осуществить можно лишь конечное число
измерений. И этого оказывается достаточно,
так как на основе второй аксиомы
маловероятны большие погрешности.

Отсюда следует,
что
многих измерений, и встает задача оценить
степень приближения среднего значения
к истинному.

3. Погрешности прямых или непосредственных измерений

Если в результате
измерения величины b
получены значения
то среднее арифметическое значение

Абсолютные
погрешности отдельных измерений
равны по модулю разностям среднего
значенияи результатов отдельных измерений

,

,…,

средняя
абсолютная погрешность измерений.

Результат измерения
представляют так:

Расчеты проводятся
с учетом правил приближенных вычислений.

Относительная
погрешность показывает, какую долю
составляет абсолютная погрешность от
среднего значения и выражается обычно
в процентах

Наименьшая
погрешность измерения не может быть
меньше погрешности прибора. Последняя
указывается в паспорте, либо за нее
принимаем половину цены деления прибора.

Если измерение
проведено один раз или при многократных
повторениях получается один и тот же
результат, то погрешностью измерения
считают погрешность прибора (по паспорту
или классу точности прибора) или ее
принимают равной половине цены наименьшего
деления прибора.

Класс точности
прибора определяется максимальной
погрешностью прибора, выраженной в
процентах от полной величины шкалы.
Например, класс точности 0,5 означает
погрешность 0,5% при отклонении стрелки
на всю шкалу. При отклонении стрелки на
половину шкалы погрешность возрастает
в два раза, при отклонении стрелки на
треть шкалы – втрое.

4. Погрешности косвенных измерений

При косвенных
измерениях величину x
 находят как
функцию непосредственно измеренных
величин а,
b,
с.
Абсолютные погрешности
непосредственных измерений обуславливают
абсолютную погрешностьПри нахождениииспользуют следующие теоремы:

1. Абсолютная
погрешность суммы (разности) равна сумме
абсолютных погрешностей слагаемых
(уменьшаемого и вычитаемого)

,

2. Абсолютная
погрешность произведения равна сумме
произведений первого сомножителя на
абсолютную погрешность второго и второго
сомножителя на абсолютную погрешность
первого

,

3. Абсолютная
погрешность частного равна сумме
произведений делимого на абсолютную
погрешность делителя и делителя на
абсолютную погрешность делимого,
деленной на квадрат делителя

,

Относительная
погрешность

В математическом
анализе показано, что

При этом x
– есть
какая-то функция
и т. д. в явном виде, и, следовательно,
можно вычислить ее дифференциал от
логарифма, который будет содержатьи т. д.

Если заменить в
полученном выражении все дифференциалы
малыми конечными разностями
и т.д., то получим формулу для относительной
погрешности

для конечных
разностей

.

Если
есть абсолютные погрешности при
непосредственных измеренияха,
b,
с,
то –абсолютная
погрешностьвеличины
x.

Формула для
нахождения относительной погрешности
будет записана так: (все члены берутся
по абсолютной величине)

.

Для выражения в
процентах нужно правую и левую части
умножить на 100%.

Эту формулу удобно
использовать и для нахождения абсолютной
погрешности.

Действительно,

.

Результаты
представляют так:
.

Если функция x
представляет
сложную сумму или разность, то погрешности
находятся для каждого члена отдельно,
а затем суммируются. В тех случаях, когда
в формулы для нахождения величины x
входят физические или математические
справочные величины, выраженные
приближенными числами, их погрешностями
считают половину единицы низшего ряда.
Например,

Соседние файлы в папке 1. Механика

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Как определить среднее значение при нескольких измерениях? помогитееее очень нужно



Знаток

(352),
закрыт



7 лет назад

Александр Бубликов

Ученик

(131)


6 лет назад

Чтобы получить более точное значение, измерение производят несколко раз. Иногда для этого даже используют разные измерительные приборы. В результате каждого измерения получают значения, которые могут отличаться одно от другого. Как же понять, чему в итоге равна измеряемая нами величина? Для ответа на этот вопрос вычисляют число, которое называют Средним Значением. Среднее значение получают следующим образом : Складывают результаты всех измерений, а затем полученную сумму делят на количество измерений.

Источник

Сре́днее арифмети́ческое (в математике и статистике) — разновидность среднего значения. Определяется как число, равное сумме всех чисел множества, делённой на их количество. Является одной из наиболее распространённых мер центральной тенденции.

Предложена (наряду со средним геометрическим и средним гармоническим) ещё пифагорейцами[1].

Частными случаями среднего арифметического являются среднее (генеральной совокупности) и выборочное среднее (выборки).

На случай, если количество элементов множества чисел стационарного случайного процесса бесконечное, в качестве среднего арифметического играет роль математическое ожидание случайной величины.

Введение[править | править код]

Обозначим множество чисел X = (x1, x2, …, xn) — тогда выборочное среднее обычно обозначается горизонтальной чертой над переменной ({bar {x}}, произносится «x с чертой»).

Для обозначения среднего арифметического всей совокупности чисел обычно используется греческая буква μ. Для случайной величины, для которой определено среднее значение, μ есть вероятностное среднее, или математическое ожидание случайной величины. Если множество X является совокупностью случайных чисел с вероятностным средним μ, тогда для любой выборки xi из этой совокупности μ = E{xi} есть математическое ожидание этой выборки.

На практике разница между μ и {bar {x}} в том, что μ является типичной переменной, потому что видеть можно скорее выборку, а не всю генеральную совокупность. Поэтому, если выборку представлять случайным образом (в терминах теории вероятностей), тогда {bar {x}} (но не μ) можно трактовать как случайную переменную, имеющую распределение вероятностей на выборке (вероятностное распределение среднего).

Обе эти величины вычисляются одним и тем же способом:

{bar {x}}={frac {1}{n}}sum _{{i=1}}^{n}x_{i}={frac {1}{n}}(x_{1}+cdots +x_{n}).

Если X — случайная переменная, тогда математическое ожидание X можно рассматривать как среднее арифметическое значений в повторяющихся измерениях величины X. Это является проявлением закона больших чисел. Поэтому выборочное среднее используется для оценки неизвестного математического ожидания.

В элементарной алгебре доказано, что среднее n + 1 чисел больше среднего n чисел тогда и только тогда, когда новое число больше чем старое среднее, меньше тогда и только тогда, когда новое число меньше среднего, и не меняется тогда и только тогда, когда новое число равно среднему. Чем больше n, тем меньше различие между новым и старым средними значениями.

Заметим, что имеется несколько других «средних» значений, в том числе среднее степенное, среднее Колмогорова, гармоническое среднее, арифметико-геометрическое среднее и различные средне-взвешенные величины (например, среднее арифметическое взвешенное, среднее геометрическое взвешенное, среднее гармоническое взвешенное).

Примеры[править | править код]

  • Для получения среднего арифметического трёх чисел необходимо сложить их и разделить на 3:
{frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}.
  • Для получения среднего арифметического четырёх чисел необходимо сложить их и разделить на 4:
{frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}}.

Непрерывная случайная величина[править | править код]

Если существует интеграл от некоторой функции f(x) одной переменной, то среднее арифметическое этой функции на отрезке [a;b] определяется через определённый интеграл:

{displaystyle {overline {f(x)}}_{[a;b]}={frac {1}{b-a}}int _{a}^{b}f(x)dx.}

Здесь для определения отрезка [a;b] подразумевается, что {displaystyle bgeq a,} причём {displaystyle bneq a,} чтобы знаменатель не был равен 0.

Линейное преобразование[править | править код]

Линейно преобразованный набор данных {displaystyle y_{1},dots ,y_{n}} можно получить при применении линейного отображения {displaystyle y=a+bx} к метрически скалируемому набору данных x_{1},dots ,x_{n} следующим образом: {displaystyle y_{i}=a+bx_{i},iin {1,dots ,n}}. Тогда новое среднее значение набора данных будет равно {displaystyle {overline {y}}=a+b{overline {x}}}, так как {displaystyle {overline {y}}={frac {1}{n}}sum _{i=0}^{n}y_{i}={frac {1}{n}}sum _{i=0}^{n}(a+bx_{i})=a+{frac {b}{n}}sum _{i=0}^{n}bx_{i}=a+b{overline {x}}}.

Некоторые проблемы применения среднего[править | править код]

Отсутствие робастности[править | править код]

Хотя среднее арифметическое часто используется в качестве средних значений или центральных тенденций, это понятие не относится к робастной статистике, то есть среднее арифметическое подвержено сильному влиянию «больших отклонений». Примечательно, что для распределений с большим коэффициентом асимметрии среднее арифметическое может не соответствовать понятию «среднего», а значения среднего из робастной статистики (например, медиана) может лучше описывать центральную тенденцию.

Классическим примером является подсчёт среднего дохода. Арифметическое среднее может быть неправильно истолковано в качестве медианы, из-за чего может быть сделан вывод, что людей с большим доходом больше, чем на самом деле. «Средний» доход истолковывается таким образом, что доходы большинства людей находятся вблизи этого числа. Этот «средний» (в смысле среднего арифметического) доход является выше, чем доходы большинства людей, так как высокий доход с большим отклонением от среднего делает сильный перекос среднего арифметического (в отличие от этого, средний доход по медиане «сопротивляется» такому перекосу). Однако этот «средний» доход ничего не говорит о количестве людей вблизи медианного дохода (и не говорит ничего о количестве людей вблизи модального дохода). Тем не менее если легкомысленно отнестись к понятиям «среднего» и «большинство народа», то можно сделать неверный вывод о том, что большинство людей имеют доходы выше, чем они есть на самом деле. Например, отчёт о «среднем» чистом доходе в Медине, штат Вашингтон, подсчитанный как среднее арифметическое всех ежегодных чистых доходов жителей, даст на удивление большое число — из-за Билла Гейтса. Рассмотрим выборку (1, 2, 2, 2, 3, 9). Среднее арифметическое равно 3.17, но пять значений из шести ниже этого среднего.

Сложный процент[править | править код]

Если числа перемножать, а не складывать, нужно использовать среднее геометрическое, а не среднее арифметическое. Наиболее часто этот казус случается при расчёте окупаемости инвестиций в финансах.

Например, если акции в первый год упали на 10 %, а во второй год выросли на 60 %, тогда вычислять «среднее» увеличение за эти два года как среднее арифметическое (−10 % + 60 %) / 2 = 25 % некорректно, а правильное среднее значение в этом случае дают совокупные ежегодные темпы роста: годовой рост получается 20 %.

Причина этого в том, что проценты имеют каждый раз новую стартовую точку: 60 % — это 60 % от меньшего, чем цена в начале первого года, числа: если акции в начале стоили $30 и упали на 10 %, они в начале второго года стоят $27. Если акции выросли на 60 %, они в конце второго года стоят $43,2. Арифметическое среднее этого роста 25 %, но, поскольку акции выросли за 2 года всего на $13,2, средний рост в 20 % даёт конечный результат $43,2:

$30 × (1 – 0,1)*(1 + 0,6) = $30 × (1 + 0,2)*(1 + 0,2) = $43,2. Если же использовать таким же образом среднее арифметическое значение 25 %, мы не получим фактическое значение: $30 × (1 + 0,25)*(1 + 0,25) = $46,875.

Сложный процент в конце 2 года: 90 % * 160 % = 144 %, то есть общий прирост 44 %, а среднегодовой сложный процент {displaystyle {sqrt {144%}}=120%}, то есть среднегодовой прирост 20 %.

Таким образом среднегодовой прирост рассчитывается по формуле среднего геометрического

{displaystyle {sqrt {(1-0.1)(1+0.6)}}={sqrt {1.44}}=1.20 ={sqrt {(1+0.20)(1+0.20)}}}

Направления[править | править код]

При расчёте среднего арифметического значений некоторой переменной, изменяющейся циклически (например, фаза или угол), следует проявлять особую осторожность. Например, среднее чисел 1° и 359° будет равно 180°. Этот результат неверен по двум причинам.

Среднее значение для циклической переменной, рассчитанное по приведённой формуле, будет искусственно сдвинуто относительно настоящего среднего к середине числового диапазона. Из-за этого среднее рассчитывается другим способом, а именно, в качестве среднего значения выбирается число с наименьшей дисперсией (центральная точка). Также вместо вычитания используется модульное расстояние (то есть, расстояние по окружности). Например, модульное расстояние между 1° и 359° равно 2°, а не 358° (на окружности между 359° и 360° = 0° — один градус, между 0° и 1° — тоже 1°, в сумме — 2°).

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Cantrell, David W., «Pythagorean Means» Архивная копия от 22 мая 2011 на Wayback Machine from MathWorld

См. также[править | править код]

  • Арифметическая пропорция
  • Арифметическая прогрессия
  • Неравенство Швейцера
  • Среднее арифметическое взвешенное

Ссылки[править | править код]

  • Арифметическая средняя // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  • Финансовая математика. Дисперсия. Среднее арифметическое. Среднеквадратическое отклонение. Коэффициент вариации Архивная копия от 19 сентября 2020 на Wayback Machine / Методики финансового анализа
  • Среднее арифметическое — показатель центральной тенденции / Теория вероятностей и математическая статистика
Источник

Среднее значение – измеренная величина

Cтраница 1

Средние значения измеренных величин для каждого режима испытаний находятся как средние арифметические. Явно ошибочные замеры при подсчетах исключаются. Для определения средних величин в произведенные во время испытаний отсчеты должны быть внесены поправки приборов по паспортным данным. В случае значительных колебаний измеряемых величин, при подсчете средних значений должны также указываться их наибольшие и наименьшие значения.
 [1]

Если средние значения измеренных величин диаметров капель совпали с расчетными значениями, то наличие капель с диаметрами в 100 и более раз меньшим dKp, на первый взгляд, плохо согласуется с теорией. Не менее интересен и тог факт, что количество капель с диаметром меньшим dKp зависит от времени пребывания дисперсии в турбулентном потоке.
 [2]

По средним значениям измеренных величин строят диаграммы, откладывая в масштабе измеренные величины на схеме трассы трубопровода. После нанесения на схему всех точек их соединяют между собой прямыми линиями.
 [3]

После нанесения всех средних значений измеренной величины разности потенциалов ординаты их соединяются между собой прямыми линиями.
 [5]

В расчетную формулу подставляют средние значения измеренных величин.
 [6]

Отношение абсолютной ошибки к среднему значению измеренной величины, выраженное дробью с числителем, равным единице, называют относительной ошибкой.
 [7]

По окончании опыта следует подсчитать средние значения измеренных величин, которые и должны использоваться во всех последующих расчетах.
 [8]

После обработки данных измерений разности потенциалов строят потенциальные диаграммы по средним значениям измеренных величин.
 [9]

После обработки данных измерений разности потенциалов строят потенциальные диаграммы по средним значениям измеренных величин.
 [11]

После обработки результатов измерений потенциала трубопровода по отношению к земле по средним значениям измеренных величин строятся потенциальные диаграммы.
 [12]

После обработки данны х измерений разности потенциалов строят потенциальные диаграммы по средним значениям измеренных величин.
 [14]

После обработки результатов измерений переменного потенциала трубопровода по отношению к земле по средним значениям измеренных величин строятся потенциальные диаграммы.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

Источник


Загрузить PDF


Загрузить PDF

После сбора данных их нужно проанализировать. Обычно нужно найти среднее значение, квадратичное отклонение и погрешность. Мы расскажем вам, как это сделать.

  1. Изображение с названием Calculate Mean, Standard Deviation, and Standard Error Step 1

    1

    Запишите числовые значения, которые вы собираетесь анализировать. Мы проанализируем случайно подобранные числовые значения в качестве примера.

    • Например, 5 школьникам был предложен письменный тест. Их результаты (в баллах по 100 бальной системе): 12, 55, 74, 79 и 90 баллов.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate Mean, Standard Deviation, and Standard Error Step 2

    1

    Для того чтобы посчитать среднее значение, нужно сложить все имеющиеся числовые значения и разделить получившееся число на их количество.

    • Среднее значение (μ) = Σ/N, где Σ сумма всех числовых значений, а N количество значений.
    • То есть, в нашем случае μ равно (12+55+74+79+90)/5 = 62.

  1. Изображение с названием Calculate Mean, Standard Deviation, and Standard Error Step 3

    1

    Мы будем считать среднее отклонение. Среднее отклонение = σ = квадратный корень из [(Σ((X-μ)^2))/(N)].

    • Для вышеуказанного примера это квадратный корень из [((12-62)^2 + (55-62)^2 + (74-62)^2 + (79-62)^2 + (90-62)^2)/(5)] = 27,4. (Обратите внимание, что если это выборочное среднеквадратическое отклонение, то делить нужно на N-1, где N количество значений.)

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate Mean, Standard Deviation, and Standard Error Step 4

    1

    Считаем среднюю погрешность (среднего значения). Это оценка того, насколько сильно округляется общее среднее значение. Чем больше числовых значений, тем меньше средняя погрешность, тем точнее среднее значение. Для расчета погрешности надо разделить среднее отклонение на корень квадратный от N. Стандартная погрешность = σ/кв.корень(n).

    • Если в нашем примере 5 школьников, а всего в классе 50 школьников, и среднее отклонение, посчитанное для 50 школьников равно 17 (σ = 21), средняя погрешность = 17/кв. корень(5) = 7.6.

Советы

  • Расчеты среднего значения, среднего отклонения и погрешности годятся для анализа равномерно распределенных данных. Среднее отклонение математического среднего значения распределения относится приблизительно к 68% данных, 2 средних отклонения – к 95% данных, а 3 – к 99.7% данных. Стандартная погрешность же уменьшается при увеличении количества значений.
  • Простой в использовании калькулятор для расчета среднего отклонения.

Реклама

Предупреждения

  • Считайте дважды. Все делают ошибки.

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 66 238 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Добавить комментарий