Среднее значение
уровней
ряда динамики зависит от его вида. Всего
существует четыре вида средних.
Среднее значение интервального ряда
динамики с равноотстоящими уровнями
вычисляется по формуле средней
арифметической простой:
Так, в примере 4.1 средний уровень ряда
динамики (среднегодовой выпуск
продукции в 1990—1998 гг.) составляет
Средний уровень
моментного
ряда динамики называется средней
хронологической. Для ряда с равноотстоящими
уровнями средняя хронологическая
Среднее
значение интервального ряда динамики
с неравноотстоящими уровнями
подсчитывается по формуле средней
арифметической взвешенной и составляет
Например,
среднегодовая площадь складских
помещений
в 1998-2004
гг. (пример 4.3):
В
примере 4.2 средний объем продаж в
1998—2003 гг. составляет
Средняя хронологическая для ряда с
неравноотстоящими уровнями подсчитывается
по формуле
Следуя
этой формуле, для примера 4.4 получаем:
среднемесячная численность работающих
на предприятии в 1999 г. составляла:
Средний абсолютный прирост исчисляется
как среднее значение цепных абсолютных
приростов
Средний абсолютный прирост можно
рассчитать по-другому:
Среднее значение коэффициента роста
Крравно среднему геометрическому
цепных коэффициентов роста
или
ПРИМЕР
4.6.Для ряда динамики из
примера 4.4 найти средние абсолютный
прирост, коэффициент роста, темп роста
и темп прироста. Пользуясь формулами
(4.6)—(4.9), имеем:
-
среднемесячный абсолютный прирост
численности работающих составляет:
следовательно, принималось на работу
в среднем 117 человек в месяц;
-
среднемесячный коэффициент роста:
или ежемесячно численность работающих
увеличивалась в 1,1073 раза;
• среднемесячный темп роста:
а среднемесячный темп прирост:
Средний темп роста
Тресть средний коэффициент роста,
выраженный в процентах:
или
согласно (4.7)
следовательно, численность работающих
увеличилась в среднем в месяц на 10,73%.
4.1.4.
Предварительная обработка эмпирических
данных
Любому статистическому моделированию
предшествует этап обработки эмпирических
данных.
Иногда при анализе рядов динамики
возникает необходимость их смыкания,
т.е. объединения одного или нескольких
рядов в один. Смыкание необходимо в
случаях, когда уровни несопоставимы в
связи с территориальными, ведомственными,
организационными изменениями, изменениями
в методологии вычисления и т.д.
В этом случае рассчитывается коэффициент
Смыкание может быть применено, когда
для одной даты имеются значения уровней
обоих рядов:
на который умножаем значение всех
уровней. Получаем сомкнутый ряд
динамики:
Второй способ смыкания состоит в том,
что последний уровень
первого
ряда и первый уровень
второго
принимают за 100%, а остальные пересчитывают
в процентах по отношению к ним:
Далее уровни ряда динамики необходимо
сгладить, т.е. избавить от влияния
случайных факторов, выявить основную
тенденцию развития признака.
Один из способов сглаживания заключается
в укрупнении интервалов времени.
Например, от показателей ежесуточного
выпуска продукции необходимо перейти
к ряду месячного выпуска и т. д.
Получаем
ряд динамики:
ПРИМЕР 4.7. Имеются данные об объемах
продаж торгующей организации в 2007
г., млн руб.:
Необходимо сгладить ряд динамики
переходом от ежемесячных к квартальным
показателям.
Используя формулу среднего уровня
интервального ряда динамики с
равноотстоящими уровнями, имеем:
Второй метод называется методом
скользящей средней. Он заключается в
замене абсолютных данных средними
арифметическими за определенные
периоды. Расчет средних ведется
скольжением, т.е. последовательным
исключением из принятого периода
скольжения первого периода первого
уровня и включения следующего.
Например, для трехчленного скольжения
ряда динамики, имеем:
Интервал скольжения можно брать также
четный. Нахождение скользящей средней
по четному числу членов осложняется
тем, что средняя может быть отнесена
только к середине между двумя датами,
для ликвидации этого сдвига применяют
центрирование, т.е. нахождение средней
из средних для отнесения полученного
уровня к определенной дате. При
центрировании необходимо находить
также скользящие суммы, скользящие
средние по этим суммам и средние из
средних.
ПРИМЕР
4.8.Методом скользящей
средней сгладить уровни ряда динамики
из примера 4.7. Сглаживание произвести
методом трехчленных и четырехчленных
скользящих средних.
Все необходимые вычисления производим
в табл. 4.3.
Новый ряд динамики будет теперь выглядеть
следующим образом:
На рис. 4.1 показано, как выравниваются,
сглаживаются эмпирические данные
(точки) с помощью трехчленных (точки) и
четырехчленных (треугольники) скользящих
сумм. Видим, что с увеличением числа
членов скользящих сумм данные все более
напоминают прямую.
Таблица
4.3
Расчеты
к примеру 4.8
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
16.02.2016152.58 Кб20up.doc
- #
Средние показатели динамики: уровень ряда, абсолютный прирост, темп роста
Средний уровень ряда в статистике
Средний уровень ряда определяет обобщенную величину абсолютных уровней. Он определяется по средней, исчисленной из значений, меняющихся во времени. Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики разные.
Средний уровень из абсолютных уровней для интервальных рядов динамики рассчитывается по формуле средней арифметической:
1. При равных интервалах используют среднюю арифметическую простую:
где у — абсолютные уровни ряда;
n — число уровней ряда.
2. При неравных интервалах используют среднюю арифметическую взвешенную:
где у1,…,уn — уровни ряда динамики;
t1,… tn — веса, длительность интервалов времени.
Средний уровень моментного ряда динамики рассчитывается по формуле:
1. С равностоящими уровнями рассчитывается по формуле средней хронологической моментного ряда:
где у1,…,уn — уровни периода, за который делается расчет;
n — число уровней;
n-1 — длительность периода времени.
2. С неравностоящими уровнями рассчитывается по формуле средней хронологической взвешенной:
где у1,…,уn — уровни рядов динамики;
t — интервал времени между смежными уровнями
Средний абсолютный прирост в задачах статистики
Средний абсолютный прирост определяется как среднее из абсолютных приростов за равные промежутки времени одного периода. Он рассчитывается по формулам:
1. По цепным данным об абсолютных приростах за ряд лет рассчитывают средний абсолютный прирост как среднюю арифметическую простую:
где n — число степенных абсолютных приростов в исследуемом периоде.
2. Средний абсолютный прирост рассчитывают через базисный абсолютный прирост в случае равных интервалов
где m — число уровней ряда динамики в исследуемом периоде, включая базисный.
Средний темп роста
Средний темп роста есть свободная обобщающая характеристика интенсивности изменения уровней ряда динамики и показывает, во сколько раз в среднем за единицу времени изменяется уровень ряда динамики.
В качестве основы и критерия правильности вычисления среднего темпа роста (снижения) применяется обобщающий показатель, который рассчитывается как произведение цепных темпов роста, равное темпу роста за весь рассматриваемый период. Если значение признака образуется как произведение отдельных вариантов, то используют среднюю геометрическую.
Так как средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста, выражен в процентах, то для равностоящих рядов динамики расчеты по средней геометрической сводятся к вычислению средних коэффициентов роста из цепных по «цепному способу»:
где n — число цепных коэффициентов роста;
Кц — цепные коэффициенты роста;
Кб — базисный коэффициент роста за весь период.
Определение среднего коэффициента роста может быть упрощено, если будут ясны уровни динамического ряда. Так как произведение цепных коэффициентов роста равно базисному, то в подкоренное выражение подставляют базисный коэффициент роста.
Формула для определения среднего коэффициента роста для равностоящих рядов динамики по «базисному способу» будет такая:
Средний темп прироста
Средние темпы прироста рассчитываются на основе средних темпов роста (Тр) вычитанием из последних 100%:
Для того чтобы определить средний коэффициент прироста (Кпр), нужно из значений коэффициентов роста (Кр) вычесть единицу.
Источник: Балинова B.C. Статистика в вопросах и ответах: Учеб. пособие. — М.: ТК. Велби, Изд-во Проспект, 2004. — 344 с.
Improve Article
Save Article
Like Article
Improve Article
Save Article
Like Article
Given a non-empty binary tree, print the average value of the nodes on each level.
Examples:
Input :
4
/
2 9
/
3 5 7
Output : [4 5.5 5]
The average value of nodes on level 0 is 4,
on level 1 is 5.5, and on level 2 is 5.
Hence, print [4 5.5 5].
The idea is based on Level order traversal line by line | Set 2 (Using Two Queues)
- Start by pushing the root node into the queue. Then, remove a node from the front of the queue.
- For every node removed from the queue, push all its children into a new temporary queue.
- Keep on popping nodes from the queue and adding these node’ s children to the temporary queue till queue becomes empty.
- Every time queue becomes empty, it indicates that one level of the tree has been considered.
- While pushing the nodes into temporary queue, keep a track of the sum of the nodes along with the number of nodes pushed and find out the average of the nodes on each level by making use of these sum and count values.
- After each level has been considered, again initialize the queue with temporary queue and continue the process till both queues become empty.
Implementation:
C++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Node {
int val;
struct Node* left, *right;
};
void averageOfLevels(Node* root)
{
vector<float> res;
queue<Node*> q;
q.push(root);
while (!q.empty()) {
int sum = 0, count = 0;
queue<Node*> temp;
while (!q.empty()) {
Node* n = q.front();
q.pop();
sum += n->val;
count++;
if (n->left != NULL)
temp.push(n->left);
if (n->right != NULL)
temp.push(n->right);
}
q = temp;
cout << (sum * 1.0 / count) << " ";
}
}
Node* newNode(int data)
{
Node* temp = new Node;
temp->val = data;
temp->left = temp->right = NULL;
return temp;
}
int main()
{
Node* root = NULL;
root = newNode(4);
root->left = newNode(2);
root->right = newNode(9);
root->left->left = newNode(3);
root->left->right = newNode(8);
root->right->right = newNode(7);
averageOfLevels(root);
return 0;
}
Java
import java.util.*;
class GfG {
static class Node {
int val;
Node left, right;
}
static void averageOfLevels(Node root)
{
Queue<Node> q = new LinkedList<Node> ();
q.add(root);
int sum = 0, count = 0;
while (!q.isEmpty()) {
sum = 0;
count = 0;
Queue<Node> temp = new LinkedList<Node> ();
while (!q.isEmpty()) {
Node n = q.peek();
q.remove();
sum += n.val;
count++;
if (n.left != null)
temp.add(n.left);
if (n.right != null)
temp.add(n.right);
}
q = temp;
System.out.print((sum * 1.0 / count) + " ");
}
}
static Node newNode(int data)
{
Node temp = new Node();
temp.val = data;
temp.left = null;
temp.right = null;
return temp;
}
public static void main(String[] args)
{
Node root = null;
root = newNode(4);
root.left = newNode(2);
root.right = newNode(9);
root.left.left = newNode(3);
root.left.right = newNode(5);
root.right.right = newNode(7);
System.out.println("Averages of levels : ");
System.out.print("[");
averageOfLevels(root);
System.out.println("]");
}
}
Python3
from queue import Queue
class newNode:
def __init__(self, data):
self.val = data
self.left = self.right = None
def averageOfLevels(root):
q = Queue()
q.put(root)
while (not q.empty()):
Sum = 0
count = 0
temp = Queue()
while (not q.empty()):
n = q.queue[0]
q.get()
Sum += n.val
count += 1
if (n.left != None):
temp.put(n.left)
if (n.right != None):
temp.put(n.right)
q = temp
print((Sum * 1.0 / count), end = " ")
if __name__ == '__main__':
root = None
root = newNode(4)
root.left = newNode(2)
root.right = newNode(9)
root.left.left = newNode(3)
root.left.right = newNode(8)
root.right.right = newNode(7)
averageOfLevels(root)
C#
using System;
using System.Collections.Generic;
class GfG
{
class Node
{
public int val;
public Node left, right;
}
static void averageOfLevels(Node root)
{
Queue<Node> q = new Queue<Node> ();
q.Enqueue(root);
int sum = 0, count = 0;
while ((q.Count!=0))
{
sum = 0;
count = 0;
Queue<Node> temp = new Queue<Node> ();
while (q.Count != 0)
{
Node n = q.Peek();
q.Dequeue();
sum += n.val;
count++;
if (n.left != null)
temp.Enqueue(n.left);
if (n.right != null)
temp.Enqueue(n.right);
}
q = temp;
Console.Write((sum * 1.0 / count) + " ");
}
}
static Node newNode(int data)
{
Node temp = new Node();
temp.val = data;
temp.left = null;
temp.right = null;
return temp;
}
public static void Main(String[] args)
{
Node root = null;
root = newNode(4);
root.left = newNode(2);
root.right = newNode(9);
root.left.left = newNode(3);
root.left.right = newNode(5);
root.right.right = newNode(7);
Console.WriteLine("Averages of levels : ");
Console.Write("[");
averageOfLevels(root);
Console.WriteLine("]");
}
}
Javascript
<script>
class Node
{
constructor(data)
{
this.left = null;
this.right = null;
this.val = data;
}
}
function averageOfLevels(root)
{
let q = [];
q.push(root);
let sum = 0, count = 0;
while (q.length > 0)
{
sum = 0;
count = 0;
let temp = [];
while (q.length > 0)
{
let n = q[0];
q.shift();
sum += n.val;
count++;
if (n.left != null)
temp.push(n.left);
if (n.right != null)
temp.push(n.right);
}
q = temp;
document.write((sum * 1.0 / count) + " ");
}
}
function newNode(data)
{
let temp = new Node(data);
return temp;
}
let root = null;
root = newNode(4);
root.left = newNode(2);
root.right = newNode(9);
root.left.left = newNode(3);
root.left.right = newNode(5);
root.right.right = newNode(7);
document.write("Averages of levels : " + "</br>");
document.write("[");
averageOfLevels(root);
document.write("]" + "</br>");
</script>
Complexity Analysis:
- Time complexity : O(n).
The whole tree is traversed atmost once. Here, n refers to the number of nodes in the given binary tree. - Auxiliary Space : O(n).
The size of queues can grow upto atmost the maximum number of nodes at any level in the given binary tree. Here, n refers to the maximum number of nodes at any level in the input tree.
Another Approach using the Map
Follow the below steps to solve the problem:
- Create a map to store the {sum for each level, number of elements in each level}
- Now recursively traverse the entire tree, while tracking the height of the tree
- For every level, keep tracking the sum as well as the number of elements in that level
- Once the entire tree is traversed, the map will contain sum of all the levels and the number of elements in each level
- Traverse the map
- Divide the sum by the number of elements
- Print the answers for every level
Below is the implementation of the above approach:
C++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Node {
int val;
struct Node *left, *right;
};
map<int, pair<double, double> > mp;
void avg(Node* r, int l)
{
if (r == NULL)
return;
mp[l].first += r->val;
mp[l].second++;
avg(r->left, l + 1);
avg(r->right, l + 1);
}
void averageOfLevels(Node* root)
{
avg(root, 0);
for (auto i : mp) {
cout << (i.second.first / i.second.second) << ' ';
}
}
Node* newNode(int data)
{
Node* temp = new Node;
temp->val = data;
temp->left = temp->right = NULL;
return temp;
}
int main()
{
Node* root = NULL;
root = newNode(4);
root->left = newNode(2);
root->right = newNode(9);
root->left->left = newNode(3);
root->left->right = newNode(8);
root->right->right = newNode(7);
averageOfLevels(root);
}
Java
import java.io.*;
import java.util.*;
class Node {
int val;
Node left;
Node right;
Node(int val)
{
this.val = val;
left = null;
right = null;
}
}
class GFG {
Map<Integer, Double[]> mp = new HashMap<>();
public void avg(Node r, int l)
{
if (r == null)
return;
if (!mp.containsKey(l)) {
mp.put(l, new Double[] { (double)r.val, 1.0 });
}
else {
Double[] temp = mp.get(l);
temp[0] += r.val;
temp[1] += 1;
mp.put(l, temp);
}
avg(r.left, l + 1);
avg(r.right, l + 1);
}
public void averageOfLevels(Node root)
{
avg(root, 0);
for (Map.Entry<Integer, Double[]> entry :
mp.entrySet()) {
System.out.print(entry.getValue()[0]
/ entry.getValue()[1]
+ " ");
}
}
public static void main(String[] args)
{
Node root = null;
root = new Node(4);
root.left = new Node(2);
root.right = new Node(9);
root.left.left = new Node(3);
root.left.right = new Node(8);
root.right.right = new Node(7);
GFG bt = new GFG();
bt.averageOfLevels(root);
}
}
Python3
class Node:
def __init__(self, data):
self.val = data
self.left = None
self.right = None
class Pair:
def __init__(self, val1, val2):
self.first = val1
self.second = val2
mp = {}
def avg(r, l):
if r is None:
return
if l in mp:
mp[l] = Pair(mp[l].first + r.val, mp[l].second)
mp[l].second += 1
else:
mp[l] = Pair(r.val, 1)
avg(r.left, l+1)
avg(r.right, l+1)
def average_of_levels(root):
avg(root, 0)
for key in mp:
print(mp[key].first / mp[key].second)
def new_node(data):
temp = Node(data)
return temp
root =None
root = new_node(4)
root.left = new_node(2)
root.right = new_node(9)
root.left.left = new_node(3)
root.left.right = new_node(8)
root.right.right = new_node(7)
average_of_levels(root)
C#
using System;
using System.Collections.Generic;
class Node
{
public int val;
public Node left;
public Node right;
public Node(int val)
{
this.val = val;
left = null;
right = null;
}
}
class BinaryTree
{
public Dictionary<int, Tuple<double,
double>> mp = new Dictionary<int, Tuple<double, double>>();
public void avg(Node r, int l)
{
if (r == null) return;
mp[l] = Tuple.Create(mp.ContainsKey(l) ? mp[l].Item1 + r.val :
r.val, mp.ContainsKey(l) ? mp[l].Item2 + 1 : 1);
avg(r.left, l + 1);
avg(r.right, l + 1);
}
public void averageOfLevels(Node root)
{
avg(root, 0);
foreach (var i in mp)
{
Console.Write((i.Value.Item1 / i.Value.Item2) + " ");
}
}
public static void Main(string[] args)
{
Node root = null;
root = new Node(4);
root.left = new Node(2);
root.right = new Node(9);
root.left.left = new Node(3);
root.left.right = new Node(8);
root.right.right = new Node(7);
BinaryTree bt = new BinaryTree();
bt.averageOfLevels(root);
}
}
Javascript
class Node{
constructor(data){
this.val = data;
this.left = null;
this.right = null;
}
}
class pair{
constructor(val1, val2){
this.first = val1;
this.second = val2;
}
}
let mp = new Map();
function avg(r, l){
if(r == null) return;
if(mp.has(l)){
mp.set(l, new pair(mp.get(l).first + r.val, mp.get(l).second));
mp.get(l).second += 1;
}
else
mp.set(l, new pair(r.val, 1));
avg(r.left, l+1);
avg(r.right, l+1);
}
function averageOfLevels(root){
avg(root, 0);
mp.forEach(function(value, key)
{
console.log(value.first / value.second + " ");
})
}
function newNode(data){
let temp = new Node(data);
return temp;
}
let root = null;
root = newNode(4);
root.left = newNode(2);
root.right = newNode(9);
root.left.left = newNode(3);
root.left.right = newNode(8);
root.right.right = newNode(7);
averageOfLevels(root);
Time Complexity: O(N*log(N)), for storing the level wise sum in map.
Auxiliary Space: O(H), H = Height of the tree
This article is contributed by Aakash Pal. If you like GeeksforGeeks and would like to contribute, you can also write an article using write.geeksforgeeks.org or mail your article to review-team@geeksforgeeks.org. See your article appearing on the GeeksforGeeks main page and help other Geeks.
Last Updated :
30 Jan, 2023
Like Article
Save Article
Показатели ряда динамики
Примеры решения задач
Задача 1
По АО
«Керамик» имеются данные о производстве кирпича за год. Рассчитайте все
недостающие в таблице уровни ряда и цепные показатели анализа динамики.
Рассчитайте средний уровень ряда, средние абсолютный прирост и темп роста.
| Месяцы |
Произведено кирпича, тыс.р. |
Цепные показатели | |||
| абсолютный | темп роста, % | темп прироста, % |
абсолютное значение 1% прироста |
||
| Январь | 450 | ||||
| Февраль | 100 | ||||
| Март | 80 | ||||
| Апрель | -30 | ||||
| Май | 250 | ||||
| Июнь | -30 | ||||
| Июль | |||||
| Август | 300 | 5,0 | |||
| Сентябрь | 150 | ||||
| Октябрь | 80 | ||||
| Ноябрь | -60 | ||||
| Декабрь | 300 |
Решение
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Формулы цепных показателей динамики
Абсолютный цепной прирост можно
найти по формуле:
-уровень ряда;
-предыдущий
уровень ряда
Цепной темп роста:
Темп прироста:
Абсолютное
содержание 1% прироста:
Расчет недостающих уровней ряда динамики
Исходя из формул, заполним
недостающие показатели:
Февраль:
Март:
Апрель:
Май:
Июнь:
Июль:
Август:
Сентябрь:
Октябрь:
Ноябрь:
Декабрь:
Вычисление цепных показателей динамики
|
Абсолютные приросты цепные: |
Темпы роста цепные: |
|
Темпы прироста цепные: |
Абсолютное содержание 1% прироста: |
Показатели динамики производства кирпича
| Месяцы |
Произведено кирпича, тыс.р. |
Цепные показатели |
|||
| абсолютный |
темп роста, % |
темп прироста, % |
абсолютное значение 1% прироста |
||
| Январь | 450 | —- | 100 | —- | —– |
| Февраль | 900 | 450 | 200 | 100 | 4.5 |
| Март | 720 | -180 | 80.0 | -20.0 | 9,0 |
| Апрель | 690 | -30 | 95.8 | -4.2 | 7.2 |
| Май | 1725 | 1035 | 250.0 | 150.0 | 6.9 |
| Июнь | 1208 | -517 | 70.0 | -30.0 | 17.25 |
| Июль | 500 | -708 | 41.4 | -58.6 | 12.08 |
| Август | 800 | 300 | 160.0 | 60.0 | 5,0 |
| Сентябрь | 1200 | 400 | 150.0 | 50.0 | 8,0 |
| Октябрь | 2160 | 960 | 180.0 | 80.0 | 12,0 |
| Ноябрь | 2100 | -60 | 97.2 | -2.8 | 21.6 |
| Декабрь | 6300 | 4200 | 300 | 200 | 21,0 |
Расчет средних уровней ряда динамики
Средний
уровень исследуемого динамического ряда найдем по формуле средней
арифметической:
Среднегодовой
абсолютный прирост:
Среднегодовой
темп роста:
Среднегодовой
темп прироста:
Вывод к задаче
Среднемесячный
показатель производства составил 1562,8 тыс.р. В среднем за месяц показатель
увеличивался на 531,8 тыс.р. или на 27,1% в относительном выражении.
Задача 2
Для
изучения динамики товаропотока рассчитайте:
- Абсолютные и относительные показатели динамики по годам периода (абсолютные
приросты – базисные и цепные; темпы роста – базисные и цепные). - Динамические средние за период в целом – среднегодовой уровень ряда,
среднегодовой абсолютный прирост, среднегодовой темп роста. Объясните их смысл. - Выполните прогнозы уровня ряда на следующий год, используя среднегодовой
абсолютный прирост и среднегодовой темп роста. Сделайте выводы о развитии
изучаемого процесса. - Постройте график динамики изучаемого процесса.
Динамика
экспорта РФ в Португалию, млрд. долл. США
| Годы | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 |
| Экспорт | 0.62 | 1.14 | 1.38 | 1.25 | 0.21 | 0.13 | 0.20 |
Решение
1)
|
Абсолютные приросты цепные: |
Абсолютные приросты базисные: |
|
Темпы роста цепные: |
Темпы роста базисные: |
|
Темпы прироста цепные: |
Темпы прироста базисные: |
Показатели динамики экспорта 2004-2010 гг.
| Годы |
Экспорт, млрд.долл |
Абсолютные приросты, млрд.долл |
Темпы роста, % |
Темпы прироста, % |
|||
| цепные | базисные | цепные | базисные | цепные | базисные | ||
| 2004 | 0.62 | —– | —– | 100.0 | 100.0 | —– | —– |
| 2005 | 1.14 | 0.52 | 0.52 | 183.9 | 183.9 | 83.9 | 83.9 |
| 2006 | 1.38 | 0.24 | 0.76 | 121.1 | 222.6 | 21.1 | 122.6 |
| 2007 | 1.25 | -0.13 | 0.63 | 90.6 | 201.6 | -9.4 | 101.6 |
| 2008 | 0.21 | -1.04 | -0.41 | 16.8 | 33.9 | -83.2 | -66.1 |
| 2009 | 0.13 | -0.08 | -0.49 | 61.9 | 21.0 | -38.1 | -79.0 |
| 2010 | 0.20 | 0.07 | -0.42 | 153.8 | 32.3 | 53.8 | -67.7 |
2)
Средний уровень исследуемого динамического ряда найдем по формуле средней
арифметической:
Среднегодовой
абсолютный прирост:
Среднегодовой
темп роста:
Среднегодовой
темп прироста:
Таким
образом в среднем за исследуемый период экспорт
составлял 0,704 млрд. долл. в год. В среднем показатель уменьшался на 0,07 млрд.долл. в год или на 17,2% в
относительном выражении.
3)
Прогноз на 2011 год с помощью среднего абсолютного прироста:
Прогноз
на 2011 год с помощью среднегодового темпа роста:
На
2011 год показатель, прогнозируемый с помощью среднего
абсолютного прироста составил 0,13 млрд. долл., а с помощью
среднегодового темпа роста – 0,166 млрд. долл.
4)
График динамики экспорта 2004-2010 гг.
9.2. Показатели ряда динамики
При анализе динамического ряда рассчитываются следующие показатели:
- средний уровень динамического ряда;
- абсолютные приросты: цепные и базисные, средний абсолютный прирост;
- темпы роста: цепные и базисные, средний темп роста;
- темпы прироста: цепные и базисные, средний темп прироста;
- абсолютное значение одного процента прироста.
Цепные и базисные показатели вычисляются для характеристики изменения уровней динамического ряда и различаются между собой базами сравнения: цепные рассчитываются по отношению к предыдущему уровню (переменная база сравнения), базисные – к уровню, принятому за базу сравнения (постоянная база сравнения).
Средние показатели представляют собой обобщенные характеристики ряда динамики. С их помощью сравнивают интенсивность развития явления по отношению к различным объектам, например по странам, отраслям, предприятиям и т.д., или периодам времени.
9.2.1. Средний уровень ряда динамики
Конкретное числовое значение статистического показателя, относящееся к моменту или периоду времени, называется уровнем ряда динамики и обозначается через yi (где i – показатель времени).
Методика расчета среднего уровня зависит от вида динамического ряда, а именно: является ли он моментным или интервальным, с равными или неравными временными промежутками между соседними датами.
Если дан интервальный ряд динамики абсолютных или средних величин с равными периодами времени, то для расчета среднего уровня применяется формула средней арифметической простой:
где y1, y2, yi, …, yn – уровни динамического ряда;
п – число уровней ряда.
Пример 9.2. По данным таблицы определим среднемесячный размер страхового возмещения, выплаченного страховой компанией, в расчете на один пострадавший объект за полугодие:
| Месяц | Январь | Февраль | Март | Апрель | Май | Июнь |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Средний размер выплаченного страхового возмещения, тыс. руб | 106 | 108 | 108 | 111 | 110 | 112 |
Если временные промежутки интервального динамического ряда неравны, то значение среднего уровня находят по формуле средней арифметической взвешенной, в которой в качестве весов используют длину временных периодов, соответствующих уровням ряда динамики (ti)
Пример 9.3. По данным, представленным в таблице, определим среднемесячный размер страхового возмещения, выплаченного страховой компанией, в расчете на один пострадавший объект:
| Месяц | Январь | Февраль | Март | II квартал | III квартал | IV квартал |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Средний размер выплаченного страхового возмещения, тыс. руб. | 106 | 110 | 138 | 150 | 160 | 140 |
В моментных рядах динамики с одинаковыми временными промежутками между датами средний уровень ряда рассчитывается по формуле средней хронологической простой
где yn – значения показателя на конец рассматриваемого периода.
Пример 9.4. По приведенным ниже данным о размере денежных средств на счете вкладчика на начало каждого месяца определим средний размер вклада в I квартале 2006 г.:
| Дата | 01.01.06 | 01.02.06 | 01.03.06 | 01.04.06 |
|---|---|---|---|---|
| Остаток денежных средств, руб. | 132 000 | 147 289 | 151 870 | 148 500 |
Средний уровень моментного ряда динамики равен:
Хотя I квартал включает три месяца (январь, февраль, март), в расчете должны быть использованы четыре уровня ряда (включая данные на 1 апреля). Это легко доказать. Действительно, если исчислять средние уровни по месяцам, то получим:
в январе 
в феврале 
в марте 
Рассчитанные средние образуют интервальный ряд динамики с равными временными промежутками, в котором средний уровень исчисляется, как мы видели выше, по формуле средней арифметической простой:
Аналогично, если требуется рассчитать средний уровень моментного ряда динамики с равными интервалами между датами за первое полугодие, то в качестве последнего уровня в формуле средней хронологической простой следует взять данные на 1 июля, а если за год – данные на 1 января следующего года.
В моментных рядах динамики с неравными промежутками между датами для определения среднего уровня применяется формула средней хронологической взвешенной:
где ti – длина временного периода между двумя соседними датами.
Пример 9.5. По данным о запасах товаров на начало месяца определим средний размер товарных запасов в 2006 г.
| Дата | 01.01.06 | 01.02.06 | 01.03.06 | 01.07.06 | 01.09.06 | 01.12.06 | 01.01.07 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Запасы товаров, тыс. руб. | 1 320 | 1 472 | 1 518 | 1 300 | 1 100 | 1 005 | 920 |
Средний уровень ряда равен:
Расстояние между датами
Если имеется полная информация о значениях моментного статистического показателя на каждую дату, то среднее значение этого показателя за весь период исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной:
где yi – значения показателя
ti – длина периода, в течение которого это значение статистического показателя оставалось неизменным.
Если мы дополним пример 9.4 информацией о датах изменения денежных средств на счете вкладчика в I квартале 2006 г., то получим:
- остаток денежных средств на 1 января – 132 000 руб.;
- января выдано – 19 711 руб.;
- 28 января внесено – 35 000 руб.;
- 20 февраля внесено – 2000 руб.;
- 24 февраля внесено – 2581 руб.;
- 3 марта выдано – 3370 руб. (в марте других изменений не происходило).
Итак, с 1 по 4 января (четыре дня) значение показателя оставалось равным 132 000 руб., с 5 по 27 января (23 дня) его значение составило 112 289 руб., с 28 января по 19 февраля (23 дня) – 147 289 руб., с 20 по 23 февраля (четыре дня) – 149 289 руб., с 24 февраля по 2 марта (семь дней) – 151 870 руб., с 3 по 31 марта (29 дней) – 148 500 руб. Для удобства проведения расчетов представим эти данные в таблице:
| Длина периода, дней | 4 | 23 | 23 | 4 | 7 | 29 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Остаток денежных средств, руб. | 132 00 | 112 289 | 147 289 | 149 289 | 151 879 | 148 500 |
По формуле средней арифметической взвешенной находим значение среднего уровня ряда
Как видим, среднее значение отличается от полученного в примере 9.4, оно является более точным, так как в вычислениях использовалась более точная информация. В примере 9.4 были известны лишь данные на начало каждого месяца, при этом не оговаривалось, когда же именно происходили изменения показателя, была применена формула хронологической средней.
В заключение отметим, что расчет среднего уровня ряда теряет свой аналитический смысл в случаях большой изменяемости показателя внутри ряда, а также при резкой смене направления развития явления.
9.2.2. Показатели абсолютного изменения уровней динамического ряда
Абсолютные приросты рассчитываются как разность между двумя значениями соседних уровней динамического ряда (цепные приросты) или как разность между значениями текущего уровня и уровня, принятого за базу сравнения (базисные приросты). Показатели абсолютного прироста имеют те же единицы измерения, что и уровни динамического ряда. Они показывают, на сколько единиц изменился показатель при переходе от одного момента или периода времени к другому.
Базисные абсолютные приросты рассчитывают по формуле
где уi – i-й текущий уровень ряда,
y1 – первый уровень ряда динамики, принятый за базу сравнения.
Формула для определения цепных абсолютных приростов имеет вид
где уi – 1 – уровень, предшествующий i-му уровню динамического ряда.
Средний абсолютный прирост показывает, на сколько единиц в среднем ежемесячно, или ежеквартально, или ежегодно и т.д. изменялось значение показателя в течение рассматриваемого периода времени. В зависимости от того, какими данными мы располагаем, его можно рассчитать следующими способами:
-
– цепные абсолютные приросты показателя; -
где yn – последний уровень ряда
– цепные абсолютные приросты показателя;
Пример 9.6. По данным таблицы определим показатели абсолютных приростов размера страхового возмещения, выплаченного страховой компанией.
 |
* Сумма всех рассчитанных цепных абсолютных приростов дает базисный абсолютный прирост последнего периода.
Среднемесячный абсолютный прирост за полугодие равен
Таким образом, в среднем ежемесячно размер выплат страхового возмещения увеличивался на 1,2 тыс. руб.
9.2.3. Показатели относительного изменения уровней динамического ряда
Характеристиками относительного изменения уровней ряда динамики являются коэффициенты и темпы роста значений показателя и темпы их прироста.
Коэффициент роста представляет собой соотношение двух уровней динамического ряда, выраженное в виде простого кратного отношения. Он показывает, во сколько раз изменилось значение показателя в одном периоде (моменте) времени по сравнению с другим. Темп роста – это коэффициент роста, выраженный в процентах. Он показывает, сколько процентов составляет значение показателя в данном периоде, если уровень, с которым проводится сравнение, принять за 100%.
Так же, как и абсолютные приросты, коэффициенты и темпы роста могут быть цепными и базисными.
Цепные коэффициент и темп роста измеряют относительное изменение текущего уровня показателя по сравнению с предшествующим ему уровнем:
коэффициент роста:
темп роста:
Базисные коэффициент и темп роста характеризуют относительное изменение текущего уровня показателя по сравнению с базисным (чаще всего с первым) уровнем:
коэффициент роста
темп роста
Цепные и базисные коэффициенты роста имеют между собой следующую связь:
- произведение всех рассчитанных до текущего периода цепных коэффициентов роста дает базисный коэффициент роста текущего периода:
- деление базисного коэффициента роста текущего периода на базисный коэффициент роста предшествующего периода дает цепной коэффициент роста текущего периода:
Средние темп роста и коэффициент роста в динамических рядах с равноотстоящими уровнями рассчитываются по формуле средней геометрической простой
– цепные коэффициенты роста;
– цепные темпы роста.
Эти формулы могут быть приведены к следующему виду:
Для того чтобы определить, на сколько процентов текущий уровень показателя больше или меньше значения предшествующего или базисного уровня, рассчитываются темпы прироста. Они исчисляют путем вычитания 100% из соответствующих темпов роста:
- цепные темпы прироста:
- базисные темпы прироста:
Средний темп прироста рассчитывается аналогичным образом: из среднего темпа роста вычитаются 100%:
Пример 9.7. В таблице приведены рассчитанные коэффициенты роста, темпы роста и прироста показателя, характеризующего среднемесячный размер выплаченного компанией страхового возмещения за период с января по июнь.
| Месяц | Средний размер выплаченного страхового возмещения, тыс. руб., yi | Коэффициент роста | Темпы роста, % | Темпы прироста, % | Абсолютное значение 1% прироста, тыс. руб. | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| цепные | базисные | цепные | базисные | цепные | базисные | |||
| Январь | 106 | – | 1 | – | 100 | – | – | – |
| Февраль | 108 | 1,019 | 1,019 | 101,9 | 101,9 | 1,9 | 1,9 | 1,06 |
| Март | 108 | 1,000 | 1,000 | 100,0 | 101,9 | 0 | 1,9 | 1,08 |
| Апрель | 111 | 1,028 | 1,047 | 102,8 | 104,7 | 2,8 | 4,7 | 1,08 |
| Май | 110 | 0,991 | 1,038 | 99,1 | 103,8 | -0,9 | 3,8 | 1,11 |
| Июнь | 112 | 1,018 | 1,057 | 101,8 | 105,7 | 1,8 | 5,7 | 1,10 |
По формуле средней геометрической простой определим среднемесячный коэффициент роста показателя за период с февраля по июнь:
или
Средний темп роста, соответственно, равен 101,1%. Следовательно, в среднем ежемесячно размер выплат страхового возмещения увеличивался в 1,011 раза, или на 1,1%.
Если известны средние темпы (или коэффициенты) роста за некоторые неравные отрезки времени, то средний темп роста за весь период исчисляется по формуле средней геометрической взвешенной:
где Тi – средний темп роста за i-й период времени;
ti – длина i-го периода.
Пример 9.8. Среднегодовые коэффициенты роста числа страховых компаний в одной из областей России составили за период 1991-1995 гг. – 1,18; 1995-2000 гг. – 1,24; 2000-2004 – 1,56. Определим среднегодовой коэффициент роста числа страховых компаний за весь период с 1991 по 2004 гг.
Решение:
Таким образом, за период с 1991 по 2004 гг. среднегодовой темп роста числа страховых компаний в одной из областей России составил 131,1%, соответственно, среднегодовой темп прироста – 31,1%.
Для более полного анализа динамики расчет цепных показателей роста и прироста уровней динамического ряда часто сопровождаются указаниями абсолютных значений 1% прироста.
Абсолютное значение 1% прироста (Аi) определяется как отношение значения абсолютного прироста показателя к его темпу прироста в i-й момент времени:
В последней графе таблицы примера 9.7 рассчитаны цепные абсолютные значения 1% прироста.
