Расчет средней величины в интервальных вариационных рядах немного отличается от расчета в рядах дискретных. Как рассчитать среднюю арифметическую и среднюю гармоническую в дискретных рядах можно посмотреть вот ЗДЕСЬ. Такое различие вполне объяснимо – это связано с особенностью интервальных рядов, в которых изучаемый признак приведен в интервале от и до.
Итак, посмотрим особенности расчета на примере.
Пример 1. Имеются данные о дневном заработке рабочих предприятия.
| Дневной заработок рабочего, руб. | Число рабочих, чел. |
| 500-1000 | 15 |
| 1000-1500 | 30 |
| 1500-2000 | 80 |
| 2000-2500 | 60 |
| 2500-3000 | 25 |
| Итого | 210 |
Нам необходимо рассчитать среднедневную заработную плату рабочего.
Начало решения задачи будет аналогичным правилам расчета средней величины, которые можно посмотреть в этой статье.
Начинаем мы с определения варианты и частоты, поскольку ищем мы средний заработок за день, то варианта это первая колонка, а частота вторая. Данные у нас заданы явным количеством, поэтому расчет проведем по формуле средней арифметической взвешенной (так как данные приведены в табличном виде). Но на этом сходства заканчиваются и появляются новые действия.
| Дневной заработок рабочего, руб. х | Число рабочих, чел. f |
| 500-1000 | 15 |
| 1000-1500 | 30 |
| 1500-2000 | 80 |
| 2000-2500 | 60 |
| 2500-3000 | 25 |
| Итого | 210 |
Дело в том, что интервальный рад представляет осредняемую величину в виде интервала. 500-1000, 2000-2500 и так далее. Чтобы решить эту проблему необходимо провести промежуточные действия, и только потом подсчитать среднюю величину по основной формуле.
Что же требуется в данном случае сделать. Все достаточно просто, чтобы провести расчет нам нужно, чтобы варианта была представлена одним числом, а не интервалом. Для получения такого значения находят так называемое ЦЕНТРАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕРВАЛА (или середину интервала). Определяется оно путем сложение верхней и нижней границ интервала и делением на два.
Проведем необходимые расчеты и подставим данные в таблицу.
И так далее по всем интервалам рассчитываем центральное значение. В итоге получаем следующие результаты.
| Дневной заработок рабочего, руб. х | Число рабочих, чел. f | х’ | |
| 500-1000 | 15 | 750 | |
| 1000-1500 | 30 | 1250 | |
| 1500-2000 | 80 | 1750 | |
| 2000-2500 | 60 | 2250 | |
| 2500-3000 | 25 | 2750 | |
| Итого | 210 | — |
После того как мы рассчитали центральные значения далее проведем расчеты в таблицы и подставим итоговые данные в формулу, аналогично тому как мы уже рассматривали ранее.
| Дневной заработок рабочего, руб. х | Число рабочих, чел. f | х’ | x’f |
| 500-1000 | 15 | 750 | 11250 |
| 1000-1500 | 30 | 1250 | 37500 |
| 1500-2000 | 80 | 1750 | 140000 |
| 2000-2500 | 60 | 2250 | 135000 |
| 2500-3000 | 25 | 2750 | 68750 |
| Итого | ∑f = 210 | — | ∑ x’f = 392500 |
В итоге получаем, что среднедневная заработная плата одного рабочего составляет 1869 рублей.
Это пример решения, если интервальный ряд представлен со всеми закрытыми интервалами. Но достаточно часто бывает, когда два интервала открытые, первый и последний. В таких ситуациях прямой расчет центрального значения невозможен, но есть два варианта как это сделать.
Пример 2. Имеются данные о продолжительности производственного стажа персонала предприятия. Рассчитать среднюю продолжительность стада одного сотрудника.
| Длительность производственного стажа, лет | Число сотрудников, человек |
| до 3 | 19 |
| 3-6 | 21 |
| 6-9 | 15 |
| 9-12 | 10 |
| 12 и более | 5 |
| Итого | 70 |
В данном случае принцип решения останется точно таким же. Единственно, что поменялось в этой задаче, так это первый и последний интервалы. До 3 лет и 12 лет и более это и есть те самые открытые интервалы. Именно тут возникнет вопрос, а как же найти центральное значение интервала для таких интервалов.
Поступить в этой ситуации можно двумя способами:
- Предположить какой бы мог быть интервал, учитывая, что нам приведены интервалы равные, то это вполне возможно. Интервал до 3 мог бы выглядеть как 0-3, и тогда его центральное значение будет (0+3)/2 = 1,5 года. Интервал 12 и более мог бы выглядеть как 12-15, и тогда его центральное значение было бы (12+15)/2 = 13,5 года. Все оставшиеся центральные значения интервала рассчитываются аналогично. В результате получаем следующее.
| Длительность производственного стажа, лет х | Число сотрудников, человек f | х’ | x’f |
| до 3 | 19 | 1,5 | 28,5 |
| 3-6 | 21 | 4,5 | 94,5 |
| 6-9 | 15 | 7,5 | 112,5 |
| 9-12 | 10 | 10,5 | 105,0 |
| 12 и более | 5 | 13,5 | 67,5 |
| Итого | ∑f = 70 | — | ∑ x’f = 408,0 |
Средняя продолжительность стажа 5,83 года.
- Принять за центральное значение, то данное которое имеется в интервале, без дополнительных расчетов. В нашем случае в интервале до 3 это будет 3, а в интервале 12 и более это будет 12. Такой способ больше подходит для ситуаций, когда интервалы неравные и предположить какой интервал мог бы быть сложно. Рассчитаем нашу задачу по таким данным далее.
| Длительность производственного стажа, лет х | Число сотрудников, человек f | х’ | x’f |
| до 3 | 19 | 3 | 57,0 |
| 3-6 | 21 | 4,5 | 94,5 |
| 6-9 | 15 | 7,5 | 112,5 |
| 9-12 | 10 | 10,5 | 105,0 |
| 12 и более | 5 | 12 | 60,0 |
| Итого | ∑f = 70 | — | ∑ x’f = 429,0 |
Средняя продолжительность стажа 6,13 года.
Домашнее задание
- Рассчитать средний размер посевной площади на одно фермерское хозяйство по следующим данным.
| Размер посевной площади, га | Количество фермерских хозяйств |
| 0-20 | 64 |
| 20-40 | 58 |
| 40-60 | 32 |
| 60-80 | 21 |
| 80-100 | 12 |
| Итого | 187 |
- Рассчитайте средний возраст работника предприятия по следующим данным
| Возраст персонала, лет | Число сотрудников, человек |
| до 18 | 7 |
| 18-25 | 68 |
| 25-40 | 79 |
| 40-55 | 57 |
| 55 и старше | 31 |
| Итого | 242 |
Теперь Вы умеете рассчитывать среднюю в интервальном вариационном ряду!
Может еще поучимся? Загляни сюда!
Например, средняя арифметическая для интервального ряда
При расчете средней арифметической для
интервального вариационного ряда
сначала определяют среднюю для каждого
интервала, как полусумму верхней и
нижней границ, а затем — среднюю всего
ряда. В случае открытых интервалов
значение нижнего или верхнего интервала
определяется по величине интервалов,
примыкающих к ним.
Пример
3. Определить
средний возраст студентов вечернего
отделения.
|
Возраст |
Число |
Среднее |
Произведение |
|
до |
65 |
(18 + |
1235 |
|
20 — |
125 |
(20 + |
2625 |
|
22 — |
190 |
(22 + |
4560 |
|
26 — |
80 |
(26 + |
2240 |
|
30 и |
40 |
(30 + |
1280 |
|
Итого |
500 |
11940 |
Средние, вычисляемые из интервальных
рядов являются приближенными.
-
Структурные средние величины
Кроме степенных средних в статистике
для относительной характеристики
величины варьирующего признака и
характеристики рядов распределения
пользуются структурными средними: модой
и медианой.
Мода
Мода— это наиболее часто
встречающийся вариант ряда. Мода
применяется, например, при определении
размера одежды, обуви, пользующейся
наибольшим спросом у покупателей.
Модой для дискретного ряда является
варианта, обладающая наибольшей частотой.
При вычислении моды для интервального
вариационного ряда необходимо:
-
сначала определить модальный интервал
(по максимальной частоте), -
затем — значение модальной величины
признака по формуле:
где:
-
—
значение моды -
—
нижняя граница модального интервала -
i —
величина интервала -
—
частота модального интервала -
—
частота интервала, предшествующего
модальному -
—
частота интервала, следующего за
модальным
—
—
—
—
—
Определение моды графически:
Мода определяется по гистограмме
распределения. Для этого
правую вершину модального
прямоугольника соединяют с правым
верхним углом предыдущего прямоугольника
, а левую
вершину модального прямоугольника –
с левым верхним углом
последующего прямоугольника. Абсцисса
точки пересечения этих прямых и будет
модой распределения.
Медиана
Медиана — это значение признака,
который делит вариационный ряд на две
равные по численности части.
Медиана для дискретного ряда.
Для определения медианы в дискретном
рядус нечетнымколичеством
единиц наблюдения сначалапорядковый
номер медианыпо формуле: 
,
а затем определяют, какое значение
варианта обладает накопленной частотой,
равной номеру медианы.
Если ряд содержит четное
число элементов, то
медиана будет равна средней из двух
значений признака, находящихся в
середине. Номер первого из этих признаков
определяется по формуле: 
,
для второго – 
.
= n
(количество элементов в ряду).
Медиана для интервального ряда
При вычислении медианы для
интервального вариационного ряда сначала
определяют медианный интервал, в пределах
которого находится медиана.
Для этого:
-
определяется номер медианы
по формуле:
,
полученное значение округляется до
целого большего числа. -
затем по
накопленной частоте определяется
интервал, в который входит элемент с
таким номером, -
затем — значение медианы по формуле:
,
где:
-
—
искомая медиана -
—
нижняя граница интервала, который
содержит медиану -
i
— ширина интервала -
—
сумма частот или число членов ряда -
–
накопленная частота интервала,
предшествующего медианному -
—
частота медианного интервала
—
—
—
–
—
Пример.
Найти моду и медиану для интервального
ряда.
|
Возрастные |
Число |
Сумма |
|
До 20 |
346 |
346 |
|
20 — 25 |
872 |
1218 |
|
25 |
1054 |
2272 |
|
30 — 35 |
781 |
3053 |
|
35 — 40 |
212 |
3265 |
|
40 — 45 |
121 |
3386 |
|
45 лет |
76 |
3462 |
|
Итого |
3462 |
Решение:
-
Определим моду
В
данном примере модальный интервал
находится в пределах возрастной группы
25-30 лет, так как на этот интервал приходится
наибольшая частота (1054).
Рассчитаем
величину моды:
Это значит, что модальный
возраст студентов равен 27 годам.
-
Определим медиану.
Медианный интервал
находится в возрастной группе 25-30 лет,
так как в пределах этого интервала
расположена варианта, которая делит
совокупность на две равные части (Σfi/2
= 3462/2 = 1731). Далее подставляем в формулу
необходимые числовые данные и получаем
значение медианы:
Это значит, что одна половина студентов
имеет возраст до 27,4 года, а другая свыше
27,4 года.
Графически медиана
определяется по кумуляте. Для ее
определения высоту наибольшей ординаты,
которая соответствует сумме всех частот,
делят пополам. Через полученную точку
проводят прямую,
параллельную оси абсцисс,
до
пересечения ее с кумулятой. Абсцисса
точки пересечения является медианой.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Средняя хронологическая
Краткая теория
Средняя хронологическая – это средний
уровень ряда динамики, т. е. средняя, исчисленная по совокупности значений
показателя в разные моменты или периоды времени. В зависимости от вида ряда
динамики применяются различные способы ее расчета, а именно расчет средней
хронологической интервального ряда и средней хронологической моментного ряда.
Ряды динамики состоят из числовых значений двух показателей:
моментов или периодов времени t, к которым относятся приводимые данные, и
соответствующих им статистических данных у, которые называются уровнями
динамического ряда. В зависимости от того, к моментам или периодам времени
привязываются статистические данные, различают два вида рядов динамики:
моментные и интервальные.
Когда уровни ряда динамики характеризуют размеры общественных
явлений за определенные интервалы (периоды) времени (за сутки, месяц, квартал,
год и т. п.), то такие ряды называются интервальными (или периодическими). В
отличие от моментного ряда динамики уровни интервального ряда динамики могут
быть суммированы. Например, сложив данные выпуска станков за четыре квартала,
можно получить показатель их выпуска за год.
Для интервальных рядов с равноотстоящими уровнями средняя
хронологическая имеет вид средней арифметической простой:
где
– уровни интервального ряда
– количество равных периодов времени
В интервальных рядах с неравноотстоящими
уровнями средняя хронологическая имеет вид средней
арифметической взвешенной:
где
– периоды времени, отделяющие один уровень
ряда от другого
Если уровни ряда динамики выражают состояние явления на
определенные моменты времени или даты, то такие ряды называют моментными рядами
динамики. Особенность моментного ряда динамики в том, что некоторые его уровни
содержат элементы повторного счета, т. е. каждый последующий уровень полностью
или частично включает в себя предыдущий уровень. Поэтому суммирование уровней
моментного динамического ряда не имеет смысла, но разность уровней имеет
определенное значение.
В моментном ряду динамики с равноотстоящими уровнями средняя хронологическая
имеет вид:
Средний уровень моментного ряда динамики с неравноотстоящими
уровнями характеризует средняя хронологическая взвешенная, которая исчисляется
по формуле:
где
и
– значение уровня моментного ряда динамики и
уровня, следующего за ним;
–
промежуток времени между датами.
Примеры решения задач
Задача 1
Остатки
готовой продукции на складе составили, тыс.руб.:
| Дата |
Остатки готовой продукции, тыс.руб. |
| 01.04.2011 | 506 |
| 01.05.2011 | 519 |
| 01.06.2011 | 587 |
| 01.07.2011 | 624 |
| 01.08.2011 | 624 |
| 01.09.2011 | 545 |
| 01.10.2011 | 580 |
| 01.11.2011 | 542 |
| 01.12.2011 | 576 |
| 01.01.2012 | 606 |
Требуется:
Определить средние остатки готовой
продукции на складе за II квартал, за III квартал, за IV квартал, за второе
полугодие 2011 года.
Решение
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Средние
остатки продукции можно вычислить по формуле средней хронологической, так как
нам дан динамический моментный ряд с
равноотстоящими интервалами.
Средние
остатки за 2-й квартал:
Средние
остатки за 3-й квартал:
Средние
остатки за 4-й квартал:
Средние
остатки готовой продукции за второе полугодие:
Вывод
Таким
образом средние остатки готовой продукции за 2-й
квартал составили 557 тыс.р., за 3-й квартал 590,3 тыс.р., а за 4-й квартал 570,3 тыс.р.
Средние остатки готовой продукции за 2-е полугодие составили 580,3 тыс.р.
Задача 2
Известны
следующие данные об изменениях в списочном составе работников банка за январь,
человек.
| Число сотрудников | |
| Состояло по списку на 1 января | 205 |
| на 9 января | 200 |
| на 12 января | 198 |
| на 16 января | 201 |
| на 19 января | 197 |
| на 27 января | 199 |
| Состояло по списку на 1 февраля | 199 |
Определите
среднюю списочную численность работников банка в январе.
Решение
Данный
динамический ряд моментный, с неравноотстоящими датами.
Средняя
хронологическая взвешенная:
Вывод
Среднесписочная
численность работников банка в январе составила 200,2 чел.
Задача 3
Имеются
следующие данные о производстве молока в России за 1995-2000 годы (млн.т.)
| 1995 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 | 2000 |
| 39.2 | 35.8 | 34.1 | 33.3 | 32.3 | 32.3 |
Для
анализа ряда динамики определите средний уровень ряда динамики.
Решение
Так
как данный динамический ряд интервальный,
с равноотстоящими уровнями, то средний уровень исследуемого динамического
ряда найдем по формуле средней арифметической:
Вывод
Среднегодовое
производство молока в исследуемом периоде составило 34,5 млн. тонн.
Задача 4
Имеются
следующие данные о производстве продукции на заводе (млн. руб.)
| 2005 | 2008 | 2010 | 2011 | 2013 | 2014 |
| 45,4 | 48,3 | 41,5 | 39,6 | 42,5 | 46,8 |
Для
анализа ряда динамики определите средний уровень ряда динамики.
Решение
Так
как данный динамический ряд интервальный,
с неравноотстоящими уровнями, то средний уровень
исследуемого динамического ряда найдем по формуле средней арифметической
взвешенной:
Вывод
Среднегодовое производство продукции на предприятии в исследуемом
периоде составило 44,8 млн. рублей.
Как найти середину интервала
При статистической обработке результатов исследований самого разного рода полученные значения часто группируются в последовательность интервалов. Для расчета обобщающих характеристик таких последовательностей иногда приходится вычислять середину интервала – «центральную варианту». Методы ее расчета достаточно просты, но имеют некоторые особенности, вытекающие как из используемой для измерения шкалы, так и из характера группировки (открытые или закрытые интервалы).
Инструкция
Если интервал является участком непрерывной числовой последовательности, то для нахождения ее середины используйте обычные математические методы вычисления среднеарифметического значения. Минимальное значение интервала (его начало) сложите с максимальным (окончанием) и разделите результат пополам – это один из способов вычисления среднеарифметического значения. Например, это правило применимо, когда речь идет о возрастных интервалах. Скажем, серединой возрастного интервала в диапазоне от 21 года до 33 лет будет отметка в 27 лет, так как (21+33)/2=27.
Иногда бывает удобнее использовать другой метод вычисления среднеарифметического значения между верхней и нижней границами интервала. В этом варианте сначала определите ширину диапазона – отнимите от максимального значения минимальное. Затем поделите полученную величину пополам и прибавьте результат к минимальному значению диапазона. Например, если нижняя граница соответствует значению 47,15, а верхняя – 79,13, то ширина диапазона составит 79,13-47,15=31,98. Тогда серединой интервала будет 63,14, так как 47,15+(31,98/2) = 47,15+15,99 = 63,14.
Если интервал не является участком обычной числовой последовательности, то вычисляйте его середину в соответствии с цикличностью и размерностью используемой измерительной шкалы. Например, если речь идет об историческом периоде, то серединой интервала будет являться определенная календарная дата. Так для интервала с 1 января 2012 года по 31 января 2012 серединой будет дата 16 января 2012.
Кроме обычных (закрытых) интервалов статистические методы исследований могут оперировать и «открытыми». У таких диапазонов одна из границ не определена. Например, открытый интервал может быть задан формулировкой «от 50 лет и старше». Середина в этом случае определяется методом аналогий – если все остальные диапазоны рассматриваемой последовательности имеют одинаковую ширину, то предполагается, что и этот открытый интервал имеет такую же размерность. В противном случае вам надо определить динамику изменения ширины интервалов, предшествующих открытому, и вывести его условную ширину, исходя из полученной тенденции изменения.
Источники:
- что такое открытый интервал
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
В примерах в данной статье данные генерятся при каждой загрузке страницы. Если Вы хотите посмотреть пример с другими значениями –
обновите страницу .
Параметры дискретного закона распределения
В статье описано как найти среднее значение и стандартное отклонение. Вы узнаете, что такое квантиль и каких он бывает видов, а также,
как построить доверительный интервал.
Математическое описание
Смотря на закон распределения, мы можем понять, какова вероятность того или иного события,
можем сказать, какова вероятность, что произойдёт группа событий, а в этой статье мы рассмотрим, как наши выводы “на глаз” перевести
в математически обоснованное утверждение.
Крайне важное определение: математическое ожидание – это площадь под графиком распределения. Если мы говорим о дискретном распределении –
это сумма событий умноженных на соответсвующие вероятности, также известно как момент:
(2) E(X) = Σ(pi•Xi) E – от английского слова Expected (ожидание)
Для математического ожидания справедливы равенства:(3) E(X + Y) = E(X) + E(Y)
(4) E(X•Y) = E(X) • E(Y)
Момент степени k:
(5) νk = E(Xk)
Центральный момент степени k:
(6) μk = E[X – E(X)]k
Среднее значение
Среднее значение (μ) закона распределения – это математическое ожидание случайной величины
(случайная величина – это событие), например, сколько в среднем посетителей заходит в магазин в час:
| Кол-во посетителей | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Количество наблюдений | 118 | 101 | 70 | 17 | 8 | 0 | 86 |
| Таблица 1. Количество посетителей в час |
График 1. Количество посетителей в час
Чтобы найти среднее значение всех результатов необходимо сложить всё вместе и разделить на количество результатов:
μ = (118 • 0 + 101 • 1 + 70 • 2 + 17 • 3 + 8 • 4 + 0 • 5 + 86 • 6) / 400 = 840/400 = 2.1
То же самое мы можем проделать используя формулу 2:
μ = M(X) = Σ(Xi•pi) = 0 • 0.3 + 1 • 0.25 + 2 • 0.18 + 3 • 0.04 + 4 • 0.02 + 5 • 0 + 6 • 0.22 = 2.1 Момент первой степени, формула (5)
Собственно, формула 2 представляет собой среднее арифметическое всех значений
Итог: в среднем, 2.1 посетителя в час
| Количество посетителей | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Вероятность (%) | 29.5 | 25.3 | 17.5 | 4.3 | 2 | 0 | 21.5 |
| Таблица 2. Закон распределения количества посетителей |
Отклонение от среднего
Посмотрите на это распределение, можно предположить, что в среднем случайная величина равна 100±5, поскольку
кажется, что таких значений несравнимо больше чем тех, что меньше 95 или больше 105:
График 2. График функции вероятности. Распределение ≈ 100±5
Среднее значение по формуле (2): μ = 99.95, но как посчитать, насколько далеко все значения находятся от среднего? Вам должна быть
знакома запись 100±5. Что бы получить это значение ±, нам необходимо определить диапазон значений вокруг среднего. И мы могли бы
использовать в качестве меры удалённости “разность” между средним и случайными величинами:
(7) xi – μ
но сумма таких расстояний, а следовательно и любое производное от этого числа, будет равно нулю, поэтому в качестве меры выбрали квадрат разниц
между величинами и средним значением:
(8) (xi – μ)2
Соответственно, среднее значение удалённости – это математическое ожидание квадратов удалённости:
(9) σ2 = E[(X – E(X))2]
Поскольку вероятности любой удалённости равносильны – вероятность каждого из них – 1/n, откуда:
(10) σ2 = E[(X – E(X))2] = ∑[(Xi – μ)2]/n
Она же формула центрального момента (6) второй степени
σ возведена в квадрат, поскольку вместо расстояний мы взяли квадрат расстояний. σ2 называется дисперсией. Корень из дисперсии
называется средним квадратическим отклонением, или среднеквадратическим отклоненим, и его используют в качестве меры разброса:
(11) μ±σ
(12) σ = √(σ2) = √[∑[(Xi – μ)2]/n]
Возвращаясь к примеру, посчитаем среднеквадратическое отклонение для графика 2:
σ = √(∑(x-μ)2/n) = √{[(90 – 99.95)2 + (91 – 99.95)2 + (92 – 99.95)2 + (93 – 99.95)2 + (94 – 99.95)2 + (95 – 99.95)2 + (96 – 99.95)2 + (97 – 99.95)2 + (98 – 99.95)2 + (99 – 99.95)2 + (100 – 99.95)2 + (101 – 99.95)2 + (102 – 99.95)2 + (103 – 99.95)2 + (104 – 99.95)2 + (105 – 99.95)2 + (106 – 99.95)2 + (107 – 99.95)2 + (108 – 99.95)2 + (109 – 99.95)2 + (110 – 99.95)2]/21} = 6.06
Итак, для графика 2 мы получили:
X = 99.95±6.06 ≈ 100±6 , что немного отличается от полученного “на глаз”
Квантиль
График 3. Функция распределения. Медиана
График 4. Функция распределения. 4-квантиль или квартиль
График 5. Функция распределения. 0.34-квантиль
Для анализа функции распределения ввели понятие квантиль. Квантиль – это случайная величина при заданном уровне вероятности, т.е.:
квантиль для уровня вероятности 50% – это случайная величина на графике плотности вероятности, которая имеет вероятность 50%.
На примере с графиком 3, квантиль уровня 0.5 = 99 (ближайшее значение, поскольку распределение дискретно и события со значением 99.3 просто не существует)
- 2-квантиль – медиана
- 4-квантиль – квартиль
- 10-квантиль – дециль
- 100-квантиль – перцентиль
То есть, если мы говорим о дециле (10-квантиле), то это означает, что мы разбили график на 10 частей, что соответствует девяти линяям,
и для каждого дециля нашли значение случайной величины.
Также, используется обозначение x-квантиль, где х – дробное число, например, 0.34-квантиль, такая запись означает значение случайной величины при
p = 0.34.
Для дискретного распределения квантиль необходимо выбирать следующим образом: квантиль гарантирует вероятность, поэтому, если рассчитанный
квантиль не совпадает с одним и значений, необходимо выбирать меньшее значение.
Построение интервалов
Квантили используют для построения доверительных интервалов, которые необходимы для исследования статистики не одного конкретного события (например,
интерес – случайное число = 98), а для группы событий (например, интерес – случайное число между 96 и 99). Доверительный интервал бывает двух видов:
односторонний и двусторонний. Параметр доверительного интервала – уровень доверия. Уровень доверия означает процент событий, которые можно считать успешными.
Двусторонний доверительный интервал
Двусторонний доверительный интервал строится следующим образом: мы задаёмся уровнем значимости, например, 10%, и выделяем область на графике так, что 90% всех
событий попадут в эту область. Поскольку интервал двусторонний, то мы отсекаем по 5% с каждой стороны, т.е. мы ищем 5й перцентиль, 95й перцентиль и значения
случайной величины между ними будут являться доверительной областью, значения за пределами доверительной области называются “критическая область”
График 6. Плотность вероятности
График 7. Функция распределения с 5 и 95 перцентилями. Цветом выделен доверительный интервал с уровнем доверия 0.9
График 8. Функция вероятности и двусторонний доверительный интервал с уровнем доверия 90%
Доверительный интервал
Левосторонний и правосторонний доверительные интервалы строятся аналогично двустороннему: для левостороннего интервала мы находим перцентиль уровня
[‘один’ минус ‘уровень значимости’]. Таким образом, для построения доверительного левостороннего интервала уровня значимости 4% нам необходимо найти четвёртый перцентиль
и всё, что справа – доверительный интервал, всё что слева – критическая область.
График 9. Левосторонний доверительный интервал с уровнем значимости 4%. Заливкой выделен доверительный интервал
График 10. Правосторонний доверительный интервал с уровнем значимости 4%. Заливкой выделен доверительный интервал
Итого
Среднее значение – математическое ожидание случайной величины, находится по формуле:
μ = E(X) = Σ(pi•Xi)
Среднеквадратичное отклонение – математическое ожидание удалённости значений от среднего, находится по формуле:
σ = √(σ2) = √[∑[(Xi – μ)2]/n]
n-квантиль – разделение функции распределения на n равных отрезков, основные типы квантилей:
- 2-квантиль – медиана
- 4-квантиль – квартили
- 10-квантиль – децили
- 100-квантиль – перцентили
Доверительный интервал уровня α – участок функции вероятности, содержащий α всех возможных значений. Двусторонний доверительный
интервал строится отсечением (1-α)/2 справа и слева. Левосторонний и правосторонний доверительные интервалы строятся отсечением
области (1-α) слева и справа соответственно.
Построить ряд распределения
Предположим, мы имеем 100 значений и все разные, например: масса тела Сомалийских пиратов.
Такой набор данных обрабатывать неудобно, мы даже не можем представить их на обычном графике.
Поэтому нам необходимо категоризировать имеющиеся данные и для этого мы делаем следующее:
Запишем наши данные в таблицу:
| 120 | 71 | 72 | 80 | 110 | 83 | 113 | 54 | 95 | 123 |
| 84 | 91 | 85 | 102 | 129 | 133 | 79 | 112 | 91 | 125 |
| 75 | 82 | 58 | 99 | 86 | 124 | 67 | 111 | 75 | 88 |
| 63 | 110 | 94 | 64 | 76 | 71 | 108 | 102 | 68 | 136 |
| 86 | 133 | 81 | 65 | 89 | 115 | 76 | 95 | 77 | 64 |
| 55 | 115 | 128 | 87 | 109 | 72 | 74 | 59 | 82 | 58 |
| 106 | 126 | 119 | 88 | 68 | 56 | 107 | 91 | 109 | 115 |
| 59 | 98 | 77 | 71 | 106 | 80 | 91 | 131 | 133 | 90 |
| 88 | 132 | 127 | 93 | 81 | 85 | 58 | 70 | 92 | 121 |
| 80 | 120 | 72 | 101 | 65 | 68 | 122 | 69 | 119 | 132 |
| Таблица 3. Вес сомалийских пиратов |
Данные разобьём на группы, для начала предлагаю разбить на девять интервалов:
Узнаём максимальное и минимальное значения, вычитаем их друг из друга и делим на количество
интервалов – получили отрезки:
Максимальное значение: 136
Минимальное значение: 54
Разница: 136 – 54 = 82
Длина интервала: 82 / 9 = 9.12
Теперь посчитаем количество пиратов (весов, я имею ввиду) в каждом интервале:
| # | Интервал | Количество элементов |
|---|---|---|
| 1. | 54 – 63.12 | 9 |
| 2. | 63.12 – 72.24 | 16 |
| 3. | 72.24 – 81.36 | 13 |
| 4. | 81.36 – 90.48 | 14 |
| 5. | 90.48 – 99.6 | 11 |
| 6. | 99.6 – 108.72 | 7 |
| 7. | 108.72 – 117.84 | 10 |
| 8. | 117.84 – 126.96 | 10 |
| 9. | 126.96 – 136.08 | 10 |
| Таблица 4. Количество элементов в интервалах |
Вуа-ля, наше распределение на графике:
График 11. Ряд распределения массы тела сомалийских пиратов
Бонус
Интервалы лучше брать целыми числами, поэтому, если с выбранным количеством интервалов
размер выходит нецелым, то можно раздвинуть диапазон значений, пример:
Значение интервала равно 9.12, число не является целым, поэтому
отодвигаем верхнюю границу:
Остаток от деления: [(136 – 54) / 9] = 1
Подвинуть на: 8
Новый диапазон: [54;144]
Диапазон можно двигать как вверх, так и вниз, но лучше в обе стороны.
Совет
Принято делить распределение на 7-8 интервалов, но в каждой конкретной ситуации
Вы можете выбрать отличное количество интервалов, впрочем, как и сделать их
различной длины.
Список параметров
Итак, вот список основных параметров дискретного закона распределения:
| Название | Символ | Формула |
|---|---|---|
| Математическое ожидание (среднее) | E(X) | Σ(pi•Xi) |
| Центральный момент (среднеквадратичное отклонение) |
σx | σ = √(σ2) = √[∑[(Xi – μ)2]/n] |
| Длина интервала | R | max(x) – min(x) |
| Мода | mo | max P(x = mo) |
| 1й квантиль | – | F(x) = 0.25 |
| Медиана | me | F(x) = 0.5 |
| Дециль | – | F(x) = 0.1 |
| Таблица 5. Основные параметры дискретного закона распределения |
Шаблон гистограммы в OpenOffice Calc
Файл histogram_mock.ods содержит шаблон
построения гистограммы.
Вам понравилась статья?
/
Просмотров: 15 996
