Как найти среднеквадратичную скорость частицы

Спрятать решение

Источник: Кирик Л. А. Са­мо­сто­я­тель­ные и кон­троль­ные ра­бо­ты для 10 клас­са, Х.: «Гим­на­зия», 2002 (№ 5 (высок.) стр. 11)

Наиболее
вероятная скорость.

Наиболее вероятная
скорость молекул идеального газа
соответсвует максимуму функции f(v).
Следовательно, эта скорость может быть
найдена из выражения

(13.18)

Средняя
скорость молекул.

По определению:

Есть табличный
интеграл:

В нашем случае

Откуда получаем:

(13.19)

средняя
квадратичная скорость <V_кв>
молекул.

По определению

Есть табличный
интеграл:

В нашем случае

Получаем:

(13.20)

Скорости,
характеризующие состояние газа.

Наиболее вероятная скорость
Средняя
средняя квадратичная скорость

Где:
k
– постоянная Больцмана;

m₀
–
масса
молекулы;

Т – термодинамическая
температура;

R
– молярная газовая постоянная;

– молярная масса.

13. 2. 4. Распределение Максвелла в безразмерном виде.

Зачатую бывает
удобно провести анализ или решение
задачи воспользовавшись распределением
Максвелла по скоростям в безразмерном
виде. Что получить распределение в такой
записи перейдем к безразмерной скорости

Тогда выражение
(13.16) примет вид

(13.21)

13. 2. 5. Распределение Максвелла по энергиям.

Преобразует
выражение (13.6) с помощью замен
(среднее значение энергии, приходящееся
на одну степень свободы) и(кинетическая энергия частицы). Тогдаи

или после перехода
к безразмерной величине

(13.22)

Это
и есть распределение Максвелла по
энергиям

13. 3. Распределение Больцмана. Газ в силовом поле.

Перейдем к рассмот­рению газа во внешнем силовом поле. Для простоты будем полагать, что в любом физически малом объеме температура газа одинакова. Выделим в газе два равных по величине объема (см. рис. 13.3) таких, что в каждом из них можно полагать потенциальную энергию неизменной.
Рисунок 13.3.

Пусть в первом
объеме молекулы газа обладают потенциальной
энергией
,
а во втором.
Согласно формулам (13.3) и (13.9) вероятности
того, что молекулы обладают такими
значениями потенциальной энергии (т.е.,
и.)
будут соответственно равны

и.

(13.23)

Здесь
– некоторый числовой множитель.

С другой стороны
эти вероятности
идолжны относиться друг к другу в той же
пропорции, что и количества частиц в
выбранных объемах при одинаковых в них
температурах

(13.24)

Подставим в левую
часть этого равенства (13.23), а числитель
и знаменатель правой дроби поделим на
величину выбранного объема
.
Тогда учтя, что концентрация частиц,
после упрощений получаем

Отсюда следует,
что

(13.25)

или

(13.26)

где
– концентрация частиц в местоположении
частиц газа с нулевой потенциальной
энергией. Данное выражениеназывается
распределение Больцмана
(при постоянной температуре).

Анализ данного
выражения показывает, что силовое
поле принуждает собираться частицы
газа в местах с минимальной потенциальной
энергией, а тепловое движение приводит
к разбрасыванию частиц по пространству.

Соседние файлы в папке физика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Kinetic Theory of Gases RMS Example

Updated on January 30, 2020

This example problem demonstrates how to calculate the root mean square (RMS) velocity of particles in an ideal gas. This value is the square root of the average velocity-squared of molecules in a gas. While the value is an approximation, especially for real gases, it offers useful information when studying kinetic theory.

Root Mean Square Velocity Problem

What is the average velocity or root mean square velocity of a molecule in a sample of oxygen at 0 degrees Celsius?

Solution

Gases consist of atoms or molecules that move at different speeds in random directions. The root mean square velocity (RMS velocity) is a way to find a single velocity value for the particles. The average velocity of gas particles is found using the root mean square velocity formula:

μ_rms = (3RT/M)^½

μ_rms = root mean square velocity in m/sec

R = ideal gas constant = 8.3145 (kg·m²/sec²)/K·mol

T = absolute temperature in Kelvin

M = mass of a mole of the gas in kilograms.

Really, the RMS calculation gives you root mean square speed, not velocity. This is because velocity is a vector quantity that has magnitude and direction. The RMS calculation only gives the magnitude or speed. The temperature must be converted to Kelvin and the molar mass must be found in kg to complete this problem.

Step 1

Find the absolute temperature using the Celsius to Kelvin conversion formula:

• T = °C + 273
• T = 0 + 273
• T = 273 K

Step 2

Find molar mass in kg:
From the periodic table, the molar mass of oxygen = 16 g/mol.
Oxygen gas (O₂) is comprised of two oxygen atoms bonded together. Therefore:

• molar mass of O₂ = 2 x 16
• molar mass of O₂ = 32 g/mol
• Convert this to kg/mol:
• molar mass of O₂ = 32 g/mol x 1 kg/1000 g
• molar mass of O₂ = 3.2 x 10^-2 kg/mol

Step 3

Find μ_rms:

• μ_rms = (3RT/M)^½
• μ_rms = [3(8.3145 (kg·m²/sec²)/K·mol)(273 K)/3.2 x 10^-2 kg/mol]^½
• μ_rms = (2.128 x 10⁵ m²/sec²)^½
• μ_rms = 461 m/sec

Answer

The average velocity or root mean square velocity of a molecule in a sample of oxygen at 0 degrees Celcius is 461 m/sec.

Для характеристики движения молекул в физике используют две скорости: среднюю и среднюю квадратичную скорость молекул.

Важно. Следует обязательно понимать, что в реальных условиях мы не можем точно знать ни конкретное число молекул в системе, ни тем более скорость каждой из них в конкретный момент времени. Это обусловлено неимоверно гигантским числом частиц в реальных и даже сколько-нибудь приближенных к ним системах. Например, в 1 см³ при давлении 200 мм. рт. ст. содержится 4,18*1018 молекул водорода. Говоря более понятными категориями, это более чем 4 миллиарда миллиардов. Заметим, что указанное давление меньше атмосферного почти в 4 раза. Последнее в среднем равняется 760 мм. рт. ст. Разрежённый водород по своим свойствам наиболее близок к идеальному газу. В данном случае физика вынуждена иметь дело с распределениями скоростей и энергий частиц.

Что такое средняя скорость движения молекул

Среднюю скорость движения молекул часто именуют скоростью их теплового движения.

Как определить среднюю квадратичную скорость движения молекул

Если обе её части возвести в квадрат и проинтегрировать, то получим выражение:

[langlemathrm{VKB}rangle^{2}=int_{0}^{infty} v^{2} F(v) d v]

Ещё одно выражение для среднеквадратичной скорости:

[leftlangle V_{K B}rightrangle=sqrt{frac{3 k T}{m_{0}}}=sqrt{frac{3 R T}{mu}}]

Именно она присутствует в уравнении, именуемом основным уравнением молекулярно-кинетической теории

P = (1/3)nm*<Vкв>

Где n – концентрация молекул, которая вычисляется делением их общего числа на объём.

Пример. 1.

Рассмотрим простейший случай, чтобы использование интегрирования не затруднило понимание сути явления и помогло лучше понять материал. Вычислим как меняется средняя скорость движения молекул в идеальном газе при линейном увеличении его давления. График следующий:

Напомним, что средняя скорость частиц:

[mathrm{Vcp}=sqrt{frac{8 R T}{pi m_{0}}}]

Если присмотреться к представленному графику, то можно заметить, что P приблизительно равно ρ‎. Эти две величины можно связать соотношением

P=C*ρ‎

Где С – некоторая постоянная величина, константа.

Далее считаем m₀= ρ/n, p = n*k*T = C* ρ. Отсюда следует, что k*T = (C*ρ)/n.

Нужно лишь подставить эти значения в формулу для средней скорости:

[V c p=sqrt{8 mathrm{kT} / pi mathrm{m}}=sqrt{(8 mathrm{C} rho / pi mathrm{n})(mathrm{n} / rho)}=sqrt{8 mathrm{C} / pi}]

В полученном выражении нет ни одной переменной величины, т. е. при увеличении давления, вопреки ожиданиям, скорость оказалась неизменной.

Ответ: В процессе, который был дан нам на графике, при увеличении давления средняя скорость молекул никак не меняется.

Пример. 2.

Определим среднюю квадратичную скорость молекул газа при условии, что нам известны его давление (P), молярная масса (M) и концентрация частиц (n).

Воспользуемся формулой:

[leftlanglemathrm{V}_{kappa в}rightrangle=sqrt{frac{3 k T}{m_{0}}}=sqrt{frac{3 R T}{mu}}]

Также нам потребуется уравнение Менделеева-Клайперона

Здесь мы воспользовались тем, что:

m/μ = N/N_a

PV = (m/μ)*RT = (N/N_a)*RT

Если обе части этого уравнения поделить на V и принять во внимание, что

(N/V) = n, то можно получить

P = (n/N_a)*RT. Отсюда находим, что RT = (p*N)/n

Если мы это подставим в выражение для среднеквадратичной скорости [leftlangle V_{K B}rightrangle=sqrt{3 mathrm{kT} / mathrm{m}_{0}}=sqrt{3 mathrm{RT} / mu}], получим, что средняя квадратичная скорость движения молекул газа: [leftlangle V_{K B}rightrangle=sqrt{left(3 rho N_{a}right) /(mu mathrm{n})}]

Ответ: Формула средней квадратичной скорости молекул исходя из данный нам условий следующая:

[leftlangle V_{K B}rightrangle=sqrt{left(3 rho N_{a}right) /(mu mathrm{n})}]