Средний арифметический индекс.
Помимо
агрегатных индексов в статистике
применяются средневзвешенные индексы.
К их исчислению прибегают тогда, когда
имеющаяся в распоряжении информация
не позволяет рассчитать общий агрегатный
индекс.
Средний
индекс – это индекс, вычисленный как
средняя величина из индивидуальных
индексов. Он должен быть тождествен
агрегатному индексу. При исчислении
средних индексов используются две формы
средних: арифметическая и гармоническая.
Среднеарифметический индекс тождествен
агрегатному, если весами индивидуальных
индексов будут слагаемые знаменателя
агрегатного по формуле средней
арифметической, будет равна агрегатному
индексу.
Рассмотрим
преобразование агрегатного индекса в
среднеарифметический на примере
агрегатного индекса физического объема
товарооборота. В этом случае индивидуальные
индексы должны быть взвешены на базисные
соизмерители. Из индивидуального индекса
физического объема товарооборота
следует, что q1= iqq0. Заменив q1 в числителе
агрегатного индекса физического объема
товарооборота (2.4) на iqq0, получим
среднеариметический индекс физического
объема продукции:
|
(2.6) |
|||||||||
Среднеарифметический
индекс трудоемкости производства
продукции определяется следующим
образом:
|
It= |
∑itT0 |
= |
∑itt0q0 |
(2.7) |
||
|
∑T0 |
∑t0q0 |
Поскольку
it · to= t1, то формула этого индекса может
быть преобразована в агрегатный индекс
трудоемкости продукции. Весами являются
общие затраты времени на производство
продукции или численность работников
в базисном периоде.
В
статистике широко известен и
среднеарифметический индекс
производительности труда. Он носит
название индекса Струмилина и определяется
следующим образом:
|
It= |
∑itT1 |
(2.8) |
||||
|
∑T1 |
Индекс
показывает, во сколько раз возросла
(уменьшилась) производительность труда
или сколько процентов составил рост
(снижение) производительности труда в
среднем по всем единицам исследуемой
совокупности.
Среднеарифметические
индексы чаще всего применяются на
практике для расчета сводных индексов
количественных показателей.
Средний
гармонический индекс.
В
тех случаях, когда не известны отдельные
значения p1 и q1, а дано их произведение
р1q1 – товарооборот отчетного периода
и индивидуальные индексы цен ip=р1/q1, а
сводный индекс должен быть вычислен с
отчетными весами, применяется
среднегармонический индекс цен. Причем
индивидуальные индексы должны быть
взвешены таким образом, чтобы
среднегармонический индекс совпал с
агрегатным. Из формулы ip=р1/р0 определим
неизвестное р0 значение и, заменив в
формуле агрегатного индекса цен (2.2)
значение р0=р1/ip, получим среднегармонический
индекс цен: 
(2.8)
Таким
образом, весами при определении
среднегармонического индекса себестоимости
являются издержки производства текущего
периода, а при расчете индекса цен
стоимость продукции этого периода.
Применение
той или иной формулы индекса зависит
от имеющейся в
распоряжении
информации. Также нужно иметь в виду,
что агрегатный индекс может быть
преобразован и рассчитан как средний
из индивидуальных Индексов только при
совпадении перечня видов продукции или
товаров (их ассортимента) в отчетном и
базисном периодах, т.е. когда агрегатный
индекс построен по сравнимому кругу
единиц (агрегатные индексы качественных
показателей и агрегатные индексы
объемных показателей при условии
сравнимого ассортимента). По несравнимой
продукции нельзя определить индивидуальные
индексы, а потому становится невозможным
преобразование агрегатного индекса в
адекватные ему средние индексы.
Рассмотрим
применение среднего индекса цен на
примере.
Пусть
имеются данные о продаже товаром в
магазине (табл.2.2.)
Таблица
2.2.
Данные
о продаже товаров
|
Товар, |
Продано |
Изменение
в
по |
|
Туфли |
186 |
+3 |
|
Костюмы, |
214 |
+6 |
|
ИТОГО |
400 |
– |
Определить
общий кодекс цен.
Решение.
Запишем, исходя из условия, индивидуальные
индексы цен: iⁿp=1,06 и i′p=1,03 и подставим
их значения в формулу среднего
гармонического индекса цен (2.8):
|
Ip= |
∑p1q1 |
= |
186+214 |
= |
400 |
= |
1,046 |
или |
104,60% |
|
|
∑ |
p1q1 |
186 |
+ |
214 |
382,47 |
|||||
|
ip |
1,03 |
1,06 |
Следовательно,
в отчетном периоде по сравнению с
базисным цены на данную группу товаров
повысился в среднем на 4,6%
20.
Для
изучения динамики качественных
показателей (цена, себестоимость,
производительность труда, средняя
заработная плата и т. д.) определяют
изменение средней величины индексируемого
показателя, которое обусловлено
взаимодействием двух факторов:
·
изменение значения индексируемого
показателя у отдельных групп единиц;
·
изменение структуры явления.
Для
определения влияния каждого из этих
факторов на общую динамику средней
применяются индексы переменного,
постоянного (фиксированного) состава
и индекс структурных сдвигов.
Индексом
переменного состава является
индекс, отражающий соотношение средних
уровней изучаемого явления, относящихся
к разным периодам.
Рассмотрим
индекс цен переменного состава:
.
Отражает
соотношение средней цены товаров в
текущем и базисном периодах.
Поскольку
средняя цена товаров определяется по
формуле средней арифметической взвешенной
как отношение товарооборота к объему
продаж (
,
),
то индекс цен переменного состава может
быть записан следующим образом:
.
Если
от объемов товара в натуральном выражении
перейти к их удельным весам, то данный
индекс может быть записан так:
где 
–
доля каждого товара соответственно в
базисном и отчетном периодах.
Индекс
постоянного (фиксированного) состава –
характеризует динамику средней величины
при одной и той же фиксированной
структуре. Индекс постоянного состава
показывает, как в отчетном периоде по
сравнению с базисным изменилось среднее
значение показателя по какой-либо
однородной совокупности за счет изменения
только самой индексируемой величины,
т. е. когда влияние структурного фактора
устранено.
Индекс
цен фиксированного состава:
или 
–
индекс цен фиксированного состава.
Индексом
структурных сдвигов называется
индекс, характеризующий влияние изменения
структуры изучаемого явления на динамику
среднего уровня изучаемого явления.
Индекс
цен структурных сдвигов:
или 
–
индекс цен структурных сдвигов.
Взаимосвязь: 
.
Помимо
мультипликативной модели, на основе
индексов переменного, постоянного
состава и структурных сдвигов может
быть построено аддитивное разложение,
отражающее абсолютное изменение среднего
уровня качественного показателя за
счет отдельных факторов.
Так,
например, общий абсолютный прирост
(уменьшение) средней цены товаров в
целом по совокупности находится как
разность числителя и знаменателя индекса
цен переменного состава:
или 
.
Абсолютный
прирост (уменьшение) средней цены за
счет изменения цен по отдельным единицам
совокупности (например, по отдельным
рынкам) определяется как разность
числителя и знаменателя индекса цен
фиксированного состава:
или 
.
Абсолютный
прирост (уменьшение) средней цены за
счет структурных изменений рассчитывается
как разность числителя и знаменателя
индекса цен структурных сдвигов:
или 
.
Общий
прирост результативного показателя
должен быть равен сумме приростов за
счет каждого из факторов. Аддитивное
разложение имеет вид:
.
Пример
2: Имеются
следующие данные о продаже картофеля
на рынках города:
Таблица
7.3
Данные
о продаже картофеля на рынках города
|
Рынок |
Базисный |
Отчетный |
||
|
Цена |
Продано, |
Цена |
Продано, |
|
Определить
индекс цен переменного состава, индекс
цен фиксированного состава и индекс
цен структурных сдвигов. Сделать выводы
по результатам расчетов.
Решение:
1)
Индекс цен переменного состава:
,
таким образом, в отчетном периоде по
сравнению с базисным средняя цена
картофеля по рынкам города увеличилась
на 15,8 %;
2)
Индекс цен фиксированного состава:
–за
счет изменения цен на картофель на
отдельных рынках средняя цена в отчетном
периоде по сравнению с базисным
увеличилась на 16,8 %;
3)
Индекс цен структурных сдвигов:
,
то есть за счет изменения долей отдельных
рынков в их общем объеме продаж (или за
счет структурных сдвигов) в отчетном
периоде по сравнению с базисным средняя
цена картофеля снизилась на 0,8%.
Пример
3: Продукт
А производится на двух предприятиях
региона:
Таблица
7.4
Данные
о себестоимости и физическом объеме
выпуска продукта А предприятиями региона
|
№ предприятия |
Себестоимость |
Физический |
||
|
Базисный |
Отчетный |
Базисный |
Отчетный |
|
Определить:
1)
изменение средней себестоимости продукта
А в процентах и в абсолютном размере;
2)
абсолютное изменение средней себестоимости
за счет действия отдельных факторов:
а)
изменения себестоимости по отдельным
предприятиям;
б)
структурных сдвигов в общем объеме
выпуска продукции.
Решение:
1)
Определим удельные веса каждого
предприятия в производстве продукта А
в отчетном и базисном периодах:
Таблица
7.5
Расчетная
таблица
|
№ предприятия |
Физический |
Удельный |
||
|
Базисный |
Отчетный |
Базисный |
Отчетный |
|
|
0,308 |
0,452 |
|||
|
Итого |
1,000 |
1,000 |
2)
Изменение средней себестоимости в
процентах характеризует индекс
себестоимости переменного состава:
.
Абсолютное
изменение средней себестоимости:
долл.
США.
Средняя
себестоимость продукта А в отчетном
периоде по сравнению с базисным
увеличилась на 3,1%, или на 1,93 долл. США;
3)
а) Абсолютное изменение средней
себестоимости за счет изменения
себестоимостей по отдельным предприятиям
можно определить, если из числителя
индекса фиксированного состава вычесть
знаменатель:
долл.
США.
За
счет изменения себестоимости продукта
А на отдельных предприятиях средняя
себестоимость снизилась на 0,81 долл.
США;
б)
Абсолютное изменение средней себестоимости
за счет структурных сдвигов в общем
объеме производства можно определить,
если из числителя индекса структурных
сдвигов вычесть знаменатель:
долл.
США.
За
счет изменения долей отдельных предприятий
в производстве продукта А (или за счет
структурных сдвигов общем объеме
выпуска) его средняя себестоимость
увеличилась на 2,74 долл. США.
Взаимосвязь:
;
1,93
= –0,81 + 2,74.
Разновидностью
относительных величин является
территориальный индекс, т. е. сравнение
показателей, относящихся к разным
территориям.
Пример: Товарооборот
регионов А и В, база сравнения регион
В.
, 
,
тогда 
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
22.02.201663.49 Кб91.doc
- #
22.02.2016240.09 Кб221.docx
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Средний арифметический и средний гармонический индексы, область их применения/ Цепные и базисные индексы
Контрольная работа по дисциплине «Статистика»
I. Введение
Возрастающий
интерес к статистике вызван современным этапом развития экономики в стране,
формирования рыночных отношений. Это требует глубоких экономических знаний в
области сбора, обработки и анализа экономической информации.
Полная
и достоверная статистическая информация является тем необходимым основанием, на
котором базируется процесс управления экономикой. Вся информация, имеющая
народнохозяйственную значимость, в конечном счете, обрабатывается и
анализируется с помощью статистики.
Именно
статистические данные позволяют определить объемы валового внутреннего продукта
и национального дохода, выявить основные тенденции развития отраслей экономики,
оценить уровень инфляции, проанализировать состояние финансовых и товарных
рынков, исследовать уровень жизни населения и другие социально-экономические
явления и процессы.
Овладение
статистической методологией – одно из условий познания конъюнктуры рынка,
изучения тенденций и прогнозирования, принятия оптимальных решений на всех
уровнях деятельности.
Сложной,
трудоемкой и ответственной является заключительная, аналитическая стадия
исследования. На этой стадии рассчитываются средние показатели и показатели
распределения, анализируется структура совокупности, исследуется динамика и
взаимосвязь между изучаемыми явлениями и процессами.
На
всех стадиях исследования статистика использует различные методы. Методы
статистики – это особые приемы и способы изучения массовых общественных
явлений.
В
данной работе затрагивается тема экономических индексов. Поскольку объекты
изучения индексов весьма разнообразны, то они широко применяются в
экономической практике.
II. Теоретическая часть.
2.1. Индексы и их классификация
В
статистике под индексом понимается относительная величина (показатель),
выражающая изменение сложного социально- экономического показателя во времени,
в пространстве, по сравнению с планом. В связи с этим различают динамические,
территориальные индексы, а также индексы выполнения плана.
Многие
общественные явления состоят из непосредственно несопоставимых явлений, поэтому
основной вопрос – это вопрос сопоставимости сравниваемых явлений.
К
какому бы экономическому явлению ни относились индексы, чтобы рассчитать их,
необходимо сравнивать различные уровни, которые относятся либо к различным
периодам времени, либо к плановому заданию, либо к различным территориям. В
связи с этим различают базисный период (период, к которому относится величина,
подвергаемая сравнению) и отчетный период (период, к которому относится
сравниваемая величина). При исчислении важно правильно выбрать период,
принимаемый за базу сравнения.
Индексы
могут относиться либо к отдельным элементам сложного экономического явления,
либо ко всему явлению в целом.
В
зависимости от степени охвата подвергнутых обобщению единиц изучаемой
совокупности индексы подразделяются на индивидуальные (элементарные) и общие.
Индивидуальные
индексы характеризуют изменения отдельных единиц статистической совокупности.
Так, например, если при изучении оптовой реализации продовольственных товаров
определяются изменения в продаже отдельных товарных разновидностей, то получают
индивидуальные (однотоварные) индексы.
В
статистической практике принято следующее обозначение
i
– индивидуальный индекс I – общий индекс
p
– цена q – количество
t
– затраты времени на производство единицы продукции
T
– численность f – з/п
F
– фонд з/п z- себестоимость
pq
– товарооборот, выручка.
zq
– затраты на производство всей продукции
Общие
индексы выражают сводные (обобщающие) результаты совместного изменения всех
единиц, образующих статистическую совокупность.
Рассмотрим
построение общего индекса на примере вычисления индекса товарооборота
(табл.2.1):
Таблица
2.1
|
Наименование товара |
Продано |
Цена за единицу, руб. |
Стоимость проданных товаров |
|||||
|
Базисный период |
Отчетный период |
|||||||
|
Базисный период |
Отчетный период |
Базисный период |
Отчетный период |
по ценам базисного периода |
по ценам отчетного периода |
по ценам базисного периода |
по ценам отчетного периода |
|
|
q0 |
q1 |
p0 |
p1 |
p0q0 |
p1q0 |
p0q1 |
p1q1 |
|
|
А, шт |
2000 |
25000 |
0,15 |
0,10 |
3000 |
2000 |
3750 |
2500 |
|
Б, кг |
16500 |
18500 |
0,20 |
0,12 |
3300 |
1980 |
3700 |
2200 |
|
В, л |
18000 |
24000 |
0,25 |
0,30 |
4500 |
5400 |
6000 |
7200 |
|
ИТОГО |
10800 |
9380 |
13450 |
11900 |
Общее
изменение товарооборота стоимости проданных товаров можно определять,
сопоставив общую стоимость проданных товаров в отчетном периоде по ценам
отчетного периода с общей стоимостью проданных товаров в базисном периоде по
ценам базисного периода:
|
Ipq= |
11900 |
=1,102 |
или |
110,2% |
|
10800 |
Следовательно,
товарооборот в нашем примере увеличился в отчетном периоде по сравнению с
базисным на 10,2% или в абсолютном выражении товарооборот увеличился на 11900 –
10800=1100 руб.
Таким
образом, можно записать формулу общего индекса товарооборота:
|
Ipq= |
∑p1q1 |
(2.1) |
||||
|
∑p0q0 |
||||||
Приведенная
формула индекса товарооборота называется агрегатной (от лат.aggrego-
присоединяю). Агрегатными называются индексы, числители и знаменатели которых
представляют собой суммы, произведения или суммы произведений уровней
изучаемого явления. [6 с.107]
Агрегатная
форма индекса является основной, наиболее распространенной формой экономических
индексов.
Для
исчисления агрегатных индексов необходимы два рода показателей: индексируемые
величины и веса. Но практически эти показатели имеются не всегда. В таких
случаях для удобства расчётов (в том случае, если мы располагаем значениями
индивидуальных индексов) на практике удобно использовать средние индексы.
2.2. Средний арифметический индекс.
Помимо
агрегатных индексов в статистике применяются средневзвешенные индексы. К их
исчислению прибегают тогда, когда имеющаяся в распоряжении информация не
позволяет рассчитать общий агрегатный индекс.
Средний
индекс – это индекс, вычисленный как средняя величина из индивидуальных индексов.
Он должен быть тождествен агрегатному индексу. При исчислении средних индексов
используются две формы средних: арифметическая и гармоническая.
Среднеарифметический индекс тождествен агрегатному, если весами индивидуальных
индексов будут слагаемые знаменателя агрегатного по формуле средней
арифметической, будет равна агрегатному индексу.
Рассмотрим
преобразование агрегатного индекса в среднеарифметический на примере
агрегатного индекса физического объема товарооборота. В этом случае
индивидуальные индексы должны быть взвешены на базисные соизмерители. Из
индивидуального индекса физического объема товарооборота следует, что q1= iqq0. Заменив q1 в числителе
агрегатного индекса физического объема товарооборота (2.4) на iqq0, получим
среднеариметический индекс физического объема продукции:
|
(2.6) |
||||||||
Среднеарифметический индекс трудоемкости
производства продукции определяется следующим образом:
|
It= |
∑itT0 |
= |
∑itt0q0 |
(2.7) |
||
|
∑T0 |
∑t0q0 |
Поскольку
it · to= t1, то формула этого индекса может быть преобразована в агрегатный
индекс трудоемкости продукции. Весами являются общие затраты времени на
производство продукции или численность работников в базисном периоде.
В
статистике широко известен и среднеарифметический индекс производительности
труда. Он носит название индекса Струмилина и определяется следующим образом:
|
It= |
∑itT1 |
(2.8) |
||||
|
∑T1 |
Индекс
показывает, во сколько раз возросла (уменьшилась) производительность труда или
сколько процентов составил рост (снижение) производительности труда в среднем
по всем единицам исследуемой совокупности.
Среднеарифметические
индексы чаще всего применяются на практике для расчета сводных индексов количественных
показателей.
2.3. Средний гармонический индекс.
В
тех случаях, когда не известны отдельные значения p1 и q1, а дано их
произведение р1q1 – товарооборот отчетного периода и индивидуальные индексы цен
ip=р1/q1, а сводный индекс должен быть вычислен с отчетными весами, применяется
среднегармонический индекс цен. Причем индивидуальные индексы должны быть
взвешены таким образом, чтобы среднегармонический индекс совпал с агрегатным.
Из формулы ip=р1/р0 определим неизвестное р0 значение и, заменив в формуле
агрегатного индекса цен (2.2) значение р0=р1/ip, получим среднегармонический
индекс цен: 
(2.8)
Таким
образом, весами при определении среднегармонического индекса себестоимости
являются издержки производства текущего периода, а при расчете индекса цен
стоимость продукции этого периода.
Применение
той или иной формулы индекса зависит от имеющейся в
распоряжении
информации. Также нужно иметь в виду, что агрегатный индекс может быть преобразован
и рассчитан как средний из индивидуальных Индексов только при совпадении
перечня видов продукции или товаров (их ассортимента) в отчетном и базисном
периодах, т.е. когда агрегатный индекс построен по сравнимому кругу единиц
(агрегатные индексы качественных показателей и агрегатные индексы объемных
показателей при условии сравнимого ассортимента). По несравнимой продукции
нельзя определить индивидуальные индексы, а потому становится невозможным
преобразование агрегатного индекса в адекватные ему средние индексы.
Рассмотрим
применение среднего индекса цен на примере.
Пусть
имеются данные о продаже товаром в магазине (табл.2.2.)
Таблица
2.2.
Данные
о продаже товаров
|
Товар, ед.изм. |
Продано в отчетном периоде p1q1, тыс.руб. |
Изменение цен на товары в отчетном периоде по сравнению с базисным, % |
|
Туфли мужские, пары |
186 |
+3 |
|
Костюмы, шт. |
214 |
+6 |
|
ИТОГО |
400 |
– |
Определить
общий кодекс цен.
Решение.
Запишем, исходя из условия, индивидуальные индексы цен: iⁿp=1,06 и i′p=1,03
и подставим их значения в формулу среднего гармонического индекса цен (2.8):
|
Ip= |
∑p1q1 |
= |
186+214 |
= |
400 |
= |
1,046 |
или |
104,60% |
|
|
∑ |
p1q1 |
186 |
+ |
214 |
382,47 |
|||||
|
ip |
1,03 |
1,06 |
Следовательно,
в отчетном периоде по сравнению с базисным цены на данную группу товаров
повысился в среднем на 4,6% . [3 с.163]
2.4. Базисные и цепные индексы
В
ходе экономического анализа изменение индексируемых величин часть изучают не за
два, за ряд последовательных периодов. Возникает необходимость построения
индексов за ряд этих последовательных периодов.
В
зависимости от выбора базы сравнения индексы бывают цепными и базисными.
В
системе базисных индексов сравнения уровней индексируемого показателя в каждом
индексе производится с уровнем базисного периода, а системе цепных индексов
уровни индексируемого показателя сопоставляются с уровнем предыдущего периода.
Цепные
и базисные индексы могут быть как индивидуальные, так и общие.
Ряды
индивидуальных индексов просты по построению:
|
· базисные индексы |
Ip= |
p1 |
; |
Ip= |
p2 |
; |
Ip= |
p3 |
; |
Ip= |
pn |
. |
|
|
р0 |
р0 |
р0 |
р0 |
||||||||||
|
· цепные индексы |
Ip= |
p1 |
; |
Ip= |
p2 |
; |
Ip= |
p3 |
; |
Ip= |
pn |
. |
|
|
р0 |
р1 |
р2 |
pn-1 |
Между
цепными и базисными индивидуальными индексами существует взаимосвязь –
произведение последовательных цепных индивидуальный индексов дает базисный
индекс последнего периода:
|
Ip= |
p1 |
* |
p2 |
* |
p3 |
* |
pn |
= |
pn |
|
р0 |
р1 |
р2 |
рn-1 |
р0 |
Отношение
базисного индекса отчетного периода к базисному индексу предшествующего периода
дает цепной индекс отчетного периода:
|
Ip= |
pn |
: |
рn-1 |
= |
pn |
|
р0 |
р0 |
рn-1 |
|||
Это
правило позволяет применять так называемый цепной метод, т.е находить
неизвестный ряд базисных индексов по известным цепным, и наоборот.
Рассмотрим
построение базисных и цепных индексов на примере агрегатных индексов цен и
физического объема продукции. Известно, что если строится ряд индексов, то веса
в нем могут быть либо постоянными для всех индексов ряда, либо переменными.
Базисные индексы
Индексы
цен Паше (с переменными весами):
|
IР1/0= |
∑p1q1 |
; |
IP2/0= |
∑p2q2 |
; |
…; |
IPn/0= |
∑pnqn |
; |
|
∑p0q1 |
∑p0q2 |
∑p0qn |
Индексы
цен Ласпейреса (с постоянными весами)
|
IP1/0= |
∑p1q0 |
; |
IP2/0= |
∑p2q0 |
; |
…; |
IPn/0= |
∑pnq0 |
; |
|
∑p0q0 |
∑p0q0 |
∑p0q0 |
Индексы
физического объема продукции (с постоянными весами):
|
Iq1/0= |
∑p1q0 |
; |
Iq2/0= |
∑p2q0 |
; |
…; |
Iqn/0= |
∑qnp0 |
; |
|
∑p0q0 |
∑p0q0 |
∑p0q0 |
Цепные
индексы
Индексы
цен Паше (с переменными весами):
|
IР1/0= |
∑p1q1 |
; |
IP2/1= |
∑p2q2 |
; |
…; |
IPn/n-1= |
∑pnqn |
; |
|
∑p0q1 |
∑p1q2 |
∑pn-1qn |
Индексы
цен Ласпейреса (с постоянными весами)
|
IP1/0= |
∑p1q0 |
; |
IP2/1= |
∑p2q0 |
; |
…; |
IPn/n-1= |
∑pnq0 |
|
∑p0q0 |
∑p1q0 |
∑pn-1q0 |
Индексы
физического объема продукции (с постоянными весами):
|
Iq1/0= |
∑p1q0 |
; |
Iq2/1= |
∑q2p0 |
; |
…; |
Iqn/n-1= |
∑qnp0 |
. |
|
∑q0p0 |
∑q1p0 |
∑qn-1p0 |
Итак,
в базисных агрегатных индексах все отчетные данные сопоставляются только с
базисными (закрепленными) данными, а в цепных – с предыдущими (в данном случае
– смежными) данными.
Ряды
агрегатных индексов с постоянными весами имеют преимущество – сохраняется
взаимосвязь между цепными и базисными индексами, например, в ряду агрегатных
индексов физического объема:
|
∑q1p0 |
* |
∑q2p0 |
* |
∑q3p0 |
= |
∑q3p0 |
|
∑p0q0 |
∑q1p0 |
∑q2p0 |
∑p0q0 |
или
в ряду агрегатных индексов цен Ласпейреса:
|
∑p1q0 |
* |
∑p2q0 |
* |
∑p3q0 |
= |
∑p3q0 |
|
∑p0q0 |
∑p1q0 |
∑p2q0 |
∑p0q0 |
Таким
образом, использование постоянных весов в течение ряда лет позволяет переходить
от цепных общих индексов к базисным, и наоборот.
В
рядах агрегатных индексов качественных показателей, которые строятся с
переменными весами (например, ряд цен Паше), перемножение цепных индексов не
дает базисный:
|
∑p1q1 |
* |
∑p2q2 |
* |
∑p3q3 |
≠ |
∑p3q1 |
|
∑p0q1 |
∑p1q2 |
∑p2q3 |
∑p0q1 |
Для
таких индексов переход от цепных индексов к базисным, и наоборот невозможен. Но
в статистической практике часто возникает необходимость определения динамики
цен за длительный период времени на основе цепных индексов или с переменными
веса. Тогда для получения приближенного итогового индекса цепные индексы цен
перемножают, заведомо зная, что в таком расчете допускается ошибка. Отчетные
индексы этого ряда используются для пересчета стоимостных показателей отчетного
периода в ценах предыдущего года.
III. Практическая часть
Второй
вариант.
ЗАДАЧА
I.
Имеются
следующие данные о стаже работы и проценты выполнения норм выработки рабочих-сдельщиков
за отчетный месяц:
|
Рабочий, № п/п |
Стаж, число лет |
Выполнение норм, % |
Рабочий, № п/п |
Стаж, число лет |
Выполнение норм, % |
|
1 |
1,0 |
96 |
11 |
10,5 |
108 |
|
2 |
6,5 |
103 |
12 |
9,0 |
107 |
|
3 |
9,2 |
108 |
13 |
5,0 |
105 |
|
4 |
4,5 |
103 |
14 |
6,0 |
103 |
|
5 |
6,0 |
106 |
15 |
10,2 |
109 |
|
6 |
2,5 |
100 |
16 |
5,4 |
102 |
|
7 |
2,5 |
101 |
17 |
7,5 |
105 |
|
8 |
16,0 |
113 |
18 |
8,0 |
106 |
|
9 |
14,0 |
110 |
19 |
8,5 |
106 |
|
10 |
12,0 |
109 |
20 |
11,0 |
107 |
Для
выявления зависимости между стажем работы и выполнением норм выработки
произвести группировку рабочих по стажу, образовав пять групп с равными интервалами.
По
каждой группе и совокупности рабочих подсчитайте: 1) число рабочих; 2) средний
стаж работы; 3) средний процент выполнения норм выработки.
Результаты
оформите в групповой таблице и сделайте выводы.
РЕШЕНИЕ:
В
качестве группировочного признака возьмем стаж рабочих. Образуем пять групп
рабочих с равными интервалами. Величину интервала определим по формуле:
хmax
– xmin 16-1
h=
_____________ = _________= 3 число лет
n
5
Обозначим
границы групп:
1
– 4 – 1-я группа;
4
– 7 – 2-я группа;
7
– 10 – 3-я группа;
10
– 13 – 4-я группа;
13
– 16 – 5-я группа.
После
того, как определен группировочный признак, задано число групп и образованы
сами группы, необходимо отобрать показатели, которые характеризуют группы, и
определить их величины по каждой группе. Результаты разносим в таблицу 3.1.
Таблица
3.1
|
№ группы |
Группы рабочих по стажу работы |
Число рабочих |
Средний стаж работы, число лет |
Средний процент выполнения норм выработки, % |
|
1 |
1 – 4 |
3 |
2 |
99 |
|
2 |
4 – 7 |
6 |
5,6 |
103,7 |
|
3 |
7 – 10 |
5 |
8,4 |
106,4 |
|
4 |
10 – 13 |
4 |
10,9 |
108,3 |
|
5 |
13 – 16 |
2 |
15 |
111,5 |
|
ИТОГО |
20 |
Вывод.
Таким
образом, чем больше стаж работы, тем выше процент выполнения норм выработки.
ЗАДАЧА
II.
Имеются
следующие данные о реализации товаров на городском колхозном рынке:
|
Товар |
Средняя цена единицы товара, руб. |
Количество проданного товара, тыс. |
||
|
январь |
март |
январь |
март |
|
|
Картофель, кг |
4,0 |
5,0 |
50 |
52 |
|
Молоко, л |
8,0 |
10,0 |
15 |
20 |
Определите
общие индексы: 1) товарооборота; 2) физического объема товарооборота; 3) цен и
сумму экономии (или перерасхода) от изменения цен.
Покажите
взаимосвязь между исчисленными индексами.
РЕШЕНИЕ:
1)
Рассчитаем сводный индекс цен по формуле (2.2):
где
р1 – средняя цена, руб. в отчетном периоде;
р0
– средняя цена, руб. в базисном периоде;
q1
–количество проданного товара, тыс. в отчетном периоде.
52*5,0+20*10,0 260+200 460
Ip
=——————– = —————= ——— = 1,25 125%
52*4,0+20*8,0
208+160 368
Применение
формулы 1 показывает, что в целом цены повысились в среднем на 25%.
2)
Рассчитаем сводный индекс физического объема реализации по формуле (2.4):
где
р0 – средняя цена, руб. в базисном периоде;
q0
–количество проданного товара, тыс. в базисном периоде;
q1
–количество проданного товара, тыс. в отчетном периоде.
52*4,0+20*8,0
208+160 368
Ip =——————– = —————=
——— = 1,15 115%
15*8,0+50*4,0
120+200 320
Применение
формулы 2 показывает, что по данному ассортименту товаров в целом прирост
физического объёма реализации в текущем периоде составил в среднем 15%.
3)
Определяем индекс товарооборота по формуле (3.1)
где
Ip – сводный индекс цен;
Iq
– сводный индекс физического объема реализации
Ipq = 1,25 ∙ 1,15 = 1,4375 143,75%
или
по формуле: pq= (3.2)
где
р0 – средняя цена, руб. в базисном периоде;
q0
–количество проданного товара, тыс. в базисном периоде;
q1
–количество проданного товара, тыс. в отчетном периоде;
р1
– средняя цена, руб. в отчетном периоде.
52*5,0+20*10,0
260+200 460
Ipq = ——————- =
———– = —— = 1,4375 143,75%
15*8,0+50*4,0
120+200 320
За
счет увеличения физического объема товарооборота на 15% и за счет увеличения
цены на 25% товарооборот увеличился на 43%
4)
Определим абсолютный прирост товарооборота (разница между числителем и
знаменателем индекса товарооборота):
Ipq
= 
– 
= 460 – 320=
140 руб.
Товарооборот
возрос в отчетном периоде по сравнению с базисным, а также величина экономии
составила 140 рублей.
Определяем
за счет, каких факторов это произошло.
а)
за счет изменения цен.
Ip
= – 
= 460 – 368 =
92 руб.
За
счет роста цен товарооборот возрос на 92 рубля.
б)
за счет изменения объема продаж
Ip
= – = 368 – 320=
48 руб.
Товарооборот
увеличился за счет увеличения объема продаж на 48 рублей.
Общее
изменение товарооборота
140
руб. = (92руб. + 48руб.)
ЗАДАЧА
III.
Выполняйте
по показателю 2, приведенному в таблице исходных данных.
|
№ показателя, соответствующего номеру |
2002 |
2003 |
2004 |
2005 |
2006 |
|
2. Численность экономически активного |
670,0 |
662,3 |
650,5 |
661,6 |
Для
анализа динамики соответствующего показателя вычислить:
1)
абсолютные приросты (снижения), темпы роста и прироста (снижения) по годам и по
сравнению с 2002 г., абсолютное содержание одного процента прироста (снижения).
Результаты представить в виде таблицы;
2)
среднегодовой уровень и среднегодовой абсолютный прирост (снижение);
3)
среднегодовой темп роста и темп прироста.
4)
Построить график. Сделать выводы.
РЕШЕНИЕ:
1)
Для вычисления абсолютных приростов (снижений), темпов роста и прироста
(снижения) по годам и по сравнению с 2002 г., абсолютного содержания одного
процента прироста (снижения), используем нижеприведенные формулы:
Цепной
абсолютный прирост – 
(3.3)
Базисный
абсолютный прирост – 
(3.4)
Цепные
темпы роста: 
*100 (3.5)
Базисные
темпы роста: 
*100 (3.6)
Цепные
темпы прироста: 
или 
К0 = К0 – 100
% (3.7)
Базисные
темпы прироста: 
или Ка = Ка – 100
% (3.8)
Абсолютное
значение (содержание) одного процента прироста:
где
и 
– абсолютный
базисный или цепной прирост;
– уровень ряда
динамики, выбранный за базу для определения базисных абсолютных приростов;
– уровень ряда динамики, выбранный за базу для
определения i-го цепного абсолютного прироста
Результаты
вычислений представлены в Приложении 1.
2)
Рассчитаем среднегодовой уровень прироста (снижения). Для вычисления используем
формулу:
yпр=
∑y / n (3.10)
где
у – абсолютные уровни ряда;
n-
число уровней ряда.
yпр=
(670+662,3+650,5+661,6) / 4= 2644,4/ 4 = 661,1 тыс.чел.
Для
вычисления среднегодового абсолютного прироста (снижения) используем формулы:
∆y1=∑∆y1/
n (3.11)
∆y0=∑∆y0/
n (3.12)
где
n- число абсолютных приростов цепных или базисных;
∆y1-цепные
абсолютные приросты;
∆y0-базисные
абсолютные приросты
∆y1=
(-7,7+-11,8+11,8) / 3 = -8,4/3=-2,8 тыс. чел.
∆y1=
(-7,7+-19,5+-8,4) / 3 = -35,6/3=-11,87 тыс. чел.
3)
Рассчитаем среднегодовой темп роста и прироста, %:
Тр=3√661,6
/ 670= 3√0,987= 3√987*3√10-3= 9,96* 10=0,996 = 99,6%
Следовательно,
среднегодовой темп сокращения численности экономически активного населения ЧР
составил:
Тпр=
Тр-100= 99,6 – 100= -0,4%
4)
График «Численность экономически активного населения ЧР (в среднем за год),
тыс. человек» представлен на рисунке 3.2
Рис.
3.2. Численность экономически активного населения ЧР,тыс. человек
На
рисунке 3.3 представлен график «Абсолютный прирост экономически активного
населения ЧР (в среднем за год), тыс. человек».
Рис.
3.3. Абсолютный прирост экономически активного населения ЧР, тыс. человек
На
рисунке 3.4 представлен график «Абсолютное значение одного процента прироста,
%»
Рис.
3.4 Абсолютное значение одного процента прироста, %
4.
Список используемой литературы:
Бендина
Н.В. Общая теория статистики (конспект лекций).- М.: Финансы и статистика, 2002
Воронин
В.Ф., Жильцова Ю.В.Статистика. –М.: Экономистъ, 2004.
Гусаров
В.М. Статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003
Елисеева
М.А. Общая теория статистики, М.: Статистика, 1988.
Финансы.
Под ред. В.М. Родионовой. – М.: Финансы и статистика, 1994.
Харченко
Н.М. Статистика: Учебник.-М.: Издательство-торговая корпорация «Дашков и К0»,
2007.
Шмайлова
Р.А. Практикум по теории статистики. – М.:Финансы и статистика, 1999.
Список литературы
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referat.ru
|
А= |
yi-yi-1 |
= |
yi-1 |
= |
0,01 yi-1% |
(3.9) |
||||||
|
yi-yi-1 |
* |
100 |
100 |
|||||||||
|
yi-1 |
Дата добавления: 24.03.2008
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 10.
Расчёт общих индексов.
Студент должен:
знать:
– область применения и методику расчёта общих индексов;
уметь:
– исчислить общие индексы
количественных и качественных показателей;
– формулировать вывод по полученным
результатам.
Методические указания
Общими индексами
называются индексы, выражающие обобщённые результаты изменения всех
единиц изучаемой сложной совокупности. Важной особенностью этих индексов
является то, что в них соединены разнородные единицы совокупности и такие индексы
позволяют изучать влияние отдельных факторов на изменение изучаемого явления.
Если индексы охватывают не все элементы сложного явления, а только их часть, то
такие индексы называются групповыми индексами, или субиндексами. Групповые индексы
отражают закономерности в развитии отдельных частей изучаемых явлений. В таких индексах проявляется их
связь с методом группировок.
В зависимости от формы построения различают общие индексы агрегатные
и средние.
Средние индексы, в свою очередь, делятся на арифметические и гармонические. Агрегатная форма общих индексов является основной
формой экономических индексов. Средние индексы – производные, они получаются в
результате преобразования агрегатных индексов.
По характеру объекта исследования общие индексы подразделяются на индексы
количественных (объёмных) показателей и индексы качественных показателей.
В основе такого деления индексов лежит
вид индексируемой величины. Например, к количественным индексам относится
индекс физического объёма продукции, а к качественным индексам – индекс цен на
продукцию.
По составу явления можно выделить две группы сложных индексов:
индексы постоянного (фиксированного)
состава и индексы переменного состава. Деление индексов на эти две группы используется для анализа
динамики средних показателей.
С помощью экономических
индексов решаются следующие задачи:
–
измерение
динамики социально – экономических явлений за два и более
периодов времени;
–
измерение
динамики среднего экономического показателя;
–
измерение
соотношения показателей по различным регионам;
–
определение
степени влияния изменений значений одних показателей
на динамику других показателей;
–
пересчёт
значения макроэкономических показателей из фактических цен в
сопоставимые.
Каждая из этих задач
решается с помощью различных индексов.В
экономических расчётах чаще всего используются общие индексы, которые
характеризуют изменение совокупности в целом. Построение этих индексов и
является содержанием индексной методологии. В индексной теории сложились две
концепции: синтетическая и аналитическая. Они по-разному
интерпретируют общие индексы.
Согласно синтетической
концепции особенность общих индексов состоит в том, что они выражают
относительное изменение сложных (разнотоварных)
явлений, отдельные части или элементы которых непосредственно несоизмеримы, и
поэтому индексы – показатели синтетические. Например, предприятие выпускает
несколько видов продукции, имеющей различное назначение и единицы измерения.
Следовательно, путём суммирования количества произведённых товаров различных
видов нельзя получить показатель физического объёма продукции, Методология
построения общих индексов предусматривает, прежде всего, приведение разнотоварных явлений
к соизмеримому виду.
В аналитической теории
индексы рассматриваются как показатели, необходимые для измерения влияния
изменения составных частей, компонентов, факторов сложного явления на изменение
уровня этого явления. Например, изменение общей величины стоимости продукции в
отчётном периоде по сравнению с базисным периодом связано как с изменением физического
объёма выпущенной продукции, так и с изменением цен по каждому виду продукции.
Поэтому индексная методология предусматривает определение влияния каждого из
факторов на изменение уровня изучаемого явления.
Таким образом, общие
индексы являются и синтетическими и аналитическими показателями.
Общие индексы строят как
для количественных, так и для качественных показателей.
В зависимости от цели
исследования и наличия исходных данных используют различную форму построения общих индексов: агрегатную или средневзвешенную.
Основной формой общих
индексов являются агрегатные индексы. Агрегатный индекс – это сложный
относительный показатель, характеризующий среднее изменение социально –
экономического явления, состоящего из несоизмеримых элементов.
Своё название агрегатные
индексы получили от латинского «aggrego», что значит «присоединяю». В
числителе и знаменателе агрегатных индексов содержатся соединённые наборы –
агрегаты элементов изучаемой совокупности. Числитель и знаменатель агрегатного
индекса представляют собой сумму произведений двух величин, одна из которых
изменяется (индексируемая величина),
а другая остаётся неизменной в числителе и знаменателе (вес индекса).
Для вычисления индекса
надо иметь не менее двух величин изучаемого явления. Основным элементом
индексного соотношения является индексируемая величина. Под индексируемой
величиной понимают признак, изменение значения которого является
объектом изучения.
В сложных совокупностях
сопоставимость разнородных единиц достигается путём введения специальных
сомножителей индексируемых величин. Эти сомножители называются весами – соизмерителями. Их роль при определении агрегатных индексов
состоит в том, чтобы обеспечить переход от натуральных измерителей разнородных
единиц совокупности к однородным единицам. При этом в числителе и знаменателе
агрегатного индекса изменяются лишь значения индексируемой величины, а их веса
– соизмерители остаются на одном уровне. Это
необходимо для того, чтобы на величине индекса сказывалось лишь влияние
изучаемого фактора. Т.о. вес индекса – это величина,
служащая для целей соизмерения индексируемых величин.
За каждым экономическим
индексом стоят определённые экономические категории. Экономическое содержание
индекса определяет методику его расчёта. Методика построения агрегатного
индекса предусматривает решение трёх вопросов:
1)
какая
величина будет индексируемой;
2)
по
какому составу разнородных элементов явления необходимо исчислить индекс;
3)
что
будет служить весом при расчёте индекса.
При выборе веса индекса
принято руководствоваться правилом: если строится индекс количественного
показателя, то веса берутся за базисный период; если строится индекс
качественного показателя, то используются веса отчётного периода.
Например, общий индекс количественного показателя – физического объёма продукции
имеет вид: 
, а общий индекс качественного показателя – цены имеет
вид: 
Характеристика общих индексов
|
Наименование индекса |
Формула |
Что показывает индекс |
Что показывает значение индекса, уменьшенное на 100%, т. е. [I×100-100] |
Что показывает разность знаменателя |
|
Индекс |
|
Во |
На сколько процентов изменилась стоимость продукции |
На сколько рублей изменилась стоимость продукции в результате роста |
|
Индекс цен |
|
Во сколько раз изменилась |
На сколько процентов изменилась стоимость продукции |
На сколько рублей изменилась стоимость продукции в результате роста |
|
Индекс стоимости продукции (товарооборота) |
|
Во |
На |
На |
|
Индекс |
|
Во |
На |
На сколько рублей изменились издержки производства продукции в результате роста (уменьшения) |
|
Индекс |
|
Во |
На |
На |
|
Индекс |
|
Во сколько раз возросли (уменьшились) издержки производства |
На |
На |
|
Индекс |
|
Во сколько раз изменились |
На сколько процентов изменились затраты времени |
На сколько человеко – часов увеличились (уменьшились) затраты времени на |
|
Индекс производительности труда |
|
Во сколько раз увеличилась (уменьшилась) производительность труда, или сколько процентов |
На |
Абсолютный размер экономии (перерасхода) затрат живого труда в связи с ростом (уменьшением) его производитель ности |
|
Индекс |
|
Во |
На |
На сколько человеко – часов увеличились (уменьшились) затраты |
Средняя форма общего индекса.
Агрегатная форма общих
индексов является основной формой экономических индексов, а средние индексы –
производные, они получаются в результате преобразования агрегатных индексов.
Расчёт средних общих индексов
рассмотрим на следующих примерах:
Пример 1. На основании следующих данных определить общее изменение
физического объема выпущенной
продукции:
|
Вид продукции |
Стоимость продукции базисного периода, тыс. рублей ( |
Изменение количества продаваемых товаров в отчетном |
|
А Б В |
3800 4400 2100 |
-10 +12 -22 |
)Указать вид применяемого индекса. Сделать вывод.
Решение:
Общий индекс физического объёма
продукции имеет вид: (1)
где 
– стоимость продукции
отчётного периода в ценах базисного периода, тыс.руб.;
– стоимость продукции
базисного периода в ценах базисного
периода, тыс.руб.
Индивидуальный индекс физического
объёма продукции имеет вид:
(2), следовательно 
(3). Подставим формулу
(3) в формулу (1) и получим
средний арифметический
индекс физического объёма продукции
Индивидуальный индекс физического объёма продукции
составляет:
Для товара А 
Для товара Б 
Для товара В 
Средний арифметический индекс физического объёма продукции
составляет
т.е. в результате [0,970×100-100=-3] уменьшения физического объёма выпуска
продукции в среднем на 3% , стоимость выпущенной продукции в отчётном периоде
[9986-10300=-314] уменьшилась по сравнению
с базисным периодом на 314 тыс. руб.
Пример 2. На
основании данных таблицы вычислить общее изменение
цен на продукцию в отчётном периоде по сравнению с базисным
периодом:
|
Товар |
Стоимость продукции отчетного периода в действующих ( |
Изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным, % |
|
А Б В Г |
1060 800 1300 700 |
– + 15 – 4 + 20 |
)Указать вид применяемого индекса. Сделать вывод
Решение:
Общий индекс цен имеет вид: (1)
где 
– стоимость продукции
отчётного периода в действующих ценах, тыс.руб.;
– стоимость продукции
отчётного периода в ценах базисного периода, тыс.руб.
Индивидуальный индекс цены имеет вид:
(2),
следовательно
(3).Подставим формулу (3) в формулу (1) и получим
средний
гармонический индекс цен
Индивидуальный индекс цены продукции составляет:
Для товара А 
Для товара Б 
Для товара В 
Для товара Г 
Средний гармонический индекс цен составляет
т.е. в результате
[1,039×100-100=3,9] прироста
физического объёма выпуска продукции на 3,9% , стоимость выпущенной продукции в
отчётном периоде [3860-3714,8=145,2]
увеличилась по сравнению с базисным периодом на 145,2 тыс.руб.
Индексы структурных сдвигов.
При изучении динамики
качественных показателей приходиться определять изменение средней величины
индексируемого показателя, которое обусловлено взаимодействием двух факторов –
изменением значения индексируемого показателя у отдельных групп единиц и
изменением структуры явления. Под
изменением структуры явления понимается изменение отдельной групп единиц
совокупности в общей их численности. Так, средняя заработная плата на
предприятии может вырасти в результате роста оплаты труда работников или
увеличения доли высокооплачиваемых сотрудников. Снижение трудоёмкости
производства единицы продукции по совокупности предприятий отрасли может быть
обусловлено повышением производительности труда на предприятиях или
концентрацией производства продукции на заводах с низкой трудоёмкостью. Так как на изменение среднего значения
показателя оказывают воздействие два фактора, возникает задача определить
степень влияния каждого из факторов на общую динамику средней.
Эта задача решается с помощью индексного
метода, т.е. путём построения системы взаимосвязанных индексов, в которую
включаются три индекса: переменного состава, постоянного состава и структурных
сдвигов.
Индексом переменного состава называется индекс, выражающий соотношение
средних уровней изучаемого явления, относящихся к разным периодам времени.
Например, индекс переменного состава себестоимости продукции одного и того же
вида рассчитывается по формуле.
Где IПС– индекс переменного состава. Индекс
переменного состава отражает изменение не только индексируемой величины (в
данном случае себестоимости), но и структуры совокупности (весов)
Индекс постоянного (фиксированного) состава – это индекс, исчисленный с весами,
зафиксированными на уровне одного какого- либо периода, и показывающий
изменения только индексируемой величины. Индекс фиксированного состава
определяется как агрегатный индекс.
Так, индекс фиксированного состава себестоимости продукции рассчитывается по
формуле.
Где IФС– индекс фиксированного состава.
Под индексом структурных сдвигов понимают индекс ,
характеризующий влияния изменения структуры изучаемого явления на динамику
среднего уровня этого явления. Индекс определяется по формуле ( при изучении изменения среднего уровня себестоимости )
Где Iсс– индекс структурных сдвигов.
Система взаимосвязанных
индексов при анализе динамики средней себестоимости имеет следующий вид: 
, т.е. индекс переменного состава можно представить в виде
произведения индекса фиксированного состава и индекса структурных сдвигов.
10.3. Агрегатные индексы
При использовании индексного метода на практике чаще всего решают задачу нахождения не индивидуальных, а сводных индексов. Общий (сводный) индекс (I) представляет собой отношение уровней сложного экономического явления, состоящего из элементов, непосредственно несоизмеримых. Он дает обобщающую характеристику изменения одноименного показателя по разнородной совокупности во времени, в пространстве или по сравнению с некоторым заданным уровнем (например, планируемым или нормативным).
В индексной теории по способу (форме) построения общие (сводные) индексы подразделяют на агрегатные, средние и индексы изменения среднего показателя. Последняя группа индексов имеет свою специфику, о ней мы будем говорить ниже.
Основной формой построения индексов является агрегатная; средние индексы получаются в результате ее преобразования. В агрегатной формуле сводного индекса присутствуют два элемента:
- индексируемая величина, изменение которой показывает индекс (обозначим ее через х);
- некоторая постоянная величина, называемая весом индекса (f); с помощью весов несоизмеримые элементы сложного социально-экономического явления приводятся к сопоставимому виду.
Веса в общем индексе необходимы, поскольку суммировать значение признака х по элементам разнородной совокупности неправомерно (например, нельзя суммировать объемы продаж различных товаров в розничной торговле в натуральных единицах измерения). Поэтому находят такой связанный с х показатель (f), при котором произведение х и f имеет экономическое содержание и может суммироваться по всем единицам разнородной совокупности [например, умножив количества товаров на их цены, получим объемы продаж в денежном выражении (товарооборот), которые можно суммировать по разным видам товаров].
Общая формула агрегатного индекса может быть записана следующим образом:
где х1 и х0 – значения индексируемой величины, соответственно, в отчетном и базисном периоде;
f – вес или соизмеритель. Значения этого показателя у всех единиц совокупности при исчислении индекса должны быть взяты на уровне одного и того же периода – отчетного или базисного, с тем, чтобы индекс показал изменение только индексируемой величины.
Таким образом, в числителе и знаменателе агрегатной формы индекса находятся просуммированные произведения двух величин, одна из которых – индексируемая величина (в числителе содержится значение, относящееся к отчетному периоду, а в знаменателе – к базисному), а другая – постоянная, являющаяся весом индекса. При этом суммируемых произведений столько, сколько единиц исследуемой совокупности входит в изучаемое явление.
Но к какому периоду должны относиться веса индекса (f) – отчетному или базисному? В теории индексов обычно придерживаются следующих правил:
- индексы качественных показателей строятся с весами отчетного периода. Тогда формула агрегатного индекса примет вид
- индексы количественных показателей строятся с весами базисного периода. Формула агрегатного индекса в этом случае имеет следующий вид:
Такое построение агрегатных индексов позволяет получить систему взаимосвязанных индексов и провести анализ влияния отдельных факторов на изменение обобщающих результативных показателей.
К количественным относят показатели, характеризующие физические размеры явления, например, производство продукции в натуральном выражении, количество проданного товара, численность работающих, объем промышленно-производственных фондов и т. д. (как правило, в названии количественного показателя содержатся слова “объем”, “число”, “численность”, “количество”; при этом используются простые единицы измерения – метры, килограммы, тонны, штуки, рубли).
Качественный показатель используется для экономической (качественной) характеристики количественной единицы совокупности. Это цена за единицу товара (продукции), себестоимость единицы продукции, фондоотдача, фондоемкость, средняя заработная плата (единица измерения качественного показателя сложная – руб./шт., руб./руб., руб./чел. и т.д.).
Построение агрегатного индекса покажем на примере сводного (общего) индекса цен (Ip). В данном случае индексируемой величиной является цена, поэтому в числителе возьмем ее значение за отчетный период (р1), а в знаменателе – за базисный (р0). Непосредственно просуммировать цены отчетного периода и разделить их на сумму базисных цен мы не можем. Если же цену каждого товара умножить на его количество, то полученные произведения, характеризующие товарооборот, суммировать можно. Поскольку цена – качественный показатель, данные о количестве проданных товаров необходимо взять на уровне отчетного периода. Таким образом, получаем следующую формулу агрегатного индекса цен:
Пример 10.2. В таблице представлена следующая информация по ценам и количеству проданной молочной продукции:
| Наименование товара | Единицы измерения | Цена, руб. | Количество проданного товара | ||
|---|---|---|---|---|---|
| базисный период | отчетный период | базисный период | отчетный период | ||
| Масло | кг | 60 | 65 | 2 680 | 3 110 |
| Сметана | кг | 42 | 46 | 4 502 | 3 980 |
| Цельное молоко | л | 12 | 14 | 18 901 | 20 405 |
Проведем расчет общего индекса цен по агрегатной формуле.
Следовательно, цены на молочную продукцию увеличились в 1,121 раза, или на 12,1%. Агрегатная форма построения индекса позволяет провести расчеты с учетом веса каждого товара в их общей совокупности.
В теории индексов существуют два направления возможного анализа сводных индексов: синтетическое и аналитическое. Различие между ними состоит в интерпретации полученных результатов. При синтетическом подходе индекс рассматривается как показатель, характеризующий среднее изменение уровня индексируемой величины (отметим, что в среднем цены на молочную продукцию увеличились на 12,1%). Аналитический подход подразумевает использование индекса как меры изменения уровня результативного показателя (получаемого в виде произведения индексируемой величины и ее веса) под влиянием изменений индексируемой величины. В рассматриваемом примере числитель формулы содержит суммарный товарооборот по группе товаров отчетного периода (произведение pq представляет собой размер товарооборота), а знаменатель – товарооборот этого же периода, выраженный в ценах базисного периода. Полученный в примере результат 112,1% можно также интерпретировать следующим образом: товарооборот увеличился в отчетном периоде по сравнению с базисным на 12,1% в результате изменения цен.
Аналогичным образом строятся и другие агрегатные индексы качественных показателей. Например, сводный индекс себестоимости, показывающий среднее изменение уровней себестоимости разных видов продукции, в качестве весов также содержит величину физического объема выпускаемой продукции, зафиксированный на уровне отчетного периода (поскольку себестоимость – это качественный показатель)
где z0 и z1 – себестоимость единицы продукции данного вида соответственно в базисном и отчетном периодах;
q1 – физический объем выпуска данного вида продукции в отчетном периоде.
Индексы количественных показателей также требуют применения определенных соизмерителей, в качестве которых выступают те или иные качественные показатели, зафиксированные на уровне базисного периода. В сводном индексе физического объема товарооборота в качестве соизмерителей используются цены за единицу каждого товара, взятые на уровне базисного периода, что позволяет перейти от натуральных единиц измерения к универсальным – стоимостным
Тогда в числителе и знаменателе получим товарооборот соответствующих периодов, выраженный в ценах базисного периода. Индекс покажет, как изменился товарооборот в отчетном периоде по сравнению с базисным в результате снижения или роста физического объема продаж (аналитический подход) или как в среднем увеличился или снизился физический объем товарооборота в отчетном периоде по сравнению с базисным (синтетический подход).
Пример 10.3. По данным таблицы из примера 10.2 определим изменения объема продаж молочной продукции. Для этого рассчитаем общий индекс физического объема товарооборота.
Таким образом, в среднем физический объем товарооборота молочной продукции увеличился в 1,038 раза, или на 3,8%.
Индекс физического объема рассчитывается при анализе не только товарооборота, но и изменения издержек производства (затрат). В этом случае соизмерителем выступит уже себестоимость единицы продукции (остальные принципы построения индекса останутся прежними):
Агрегатные индексы результативных показателей, получаемых как произведение определенных величин, имеют несколько иной вид. В качестве примера приведем индекс товарооборота (стоимости) продукции. В этом случае сравниваются объемы товарооборота отчетного и базисного периодов, при этом не требуется введения каких-либо соизмерителей, поскольку значения уже сопоставимы и их можно суммировать по разным видам товаров. Агрегатный индекс товарооборота получается как простое соотношение его суммарных значений по группам товаров за разные периоды времени:
Пример 10.4. По данным таблицы из примера 10.2 определим общий индекс товарооборота.
То есть товарооборот (объем проданной молочной продукции в денежном выражении) увеличился в 1,163 раза, или на 16,3%.
Аналогичным образом рассчитывают агрегатные индексы и других результативных показателей. Например, издержки производства можно представить как произведение себестоимости единицы продукции на объем ее производства в натуральном выражении (zq). Агрегатный индекс издержек обращения имеет вид
Величины, находящиеся в числителе и знаменателе агрегатных индексов, имеют вполне определенный экономический смысл: они характеризуют величину явления в целом по совокупности объектов за отчетный (числитель) и базисный (знаменатель) периоды. Таким образом, если частное этих величин определяет относительное изменение явления – индекс, то их разность характеризует изменение явления в абсолютном выражении в отчетном периоде по сравнению с базисным.
Например, если из числителя сводного индекса товарооборота вычесть знаменатель (
) то получим величину, определяющую, на сколько денежных единиц изменился товарооборот в отчетном периоде по сравнению с базисным.
И для индивидуальных, и для общих индексов действует общее правило: индексы связаны между собой так же, как и индексируемые величины. Например, товарооборот – это произведение цены на количество реализованного товара. Точно такая же зависимость выполняется для индексов этих показателей:
Аналогично индекс затрат на производство продукции является произведением индекса себестоимости и индекса физического объема продукции:
Следует отметить, что в теории и практике статистики существует несколько подходов к решению проблемы выбора системы взвешивания. В частности, при построении агрегатных индексов цен используется несколько формул расчета этих показателей, названных по имени авторов, их разработавших. Наибольшую известность получили индексы цен Пааше, Ласпейреса и Фишера.
При расчете индекса цен по формуле Пааше в качестве весов берутся количества продукции текущего периода:
С помощью этого индекса определяется изменение цен на товары, реализованные или приобретенные в текущем периоде.
При расчете индекса цен по формуле Ласпейреса в качестве весов используются количества продукции базисного периода:
Данный индекс характеризует изменение цен на товары, реализованные в базисном периоде. По такой схеме обычно строятся индексы стоимости жизни, когда хотят оценить изменение цен на фиксированный набор товаров, обычно приобретаемых определенными группами населения.
Выбор той или иной формулы для оценки динамики цен зависит от принятой в стране методологии расчета, имеющейся информации и целей исследования. Вопрос о том, какая из формул более точно характеризует изменение цен, не совсем корректен: каждый индекс предназначен для решения своей конкретной задачи. Вместе с тем желание получить один показатель для отражения динамики цен привело к появлению целого ряда работ, целью которых было найти идеальную формулу индекса. Наиболее известные работы в этой области принадлежат американскому ученому Ирвину Фишеру, который предложил свой подход к исчислению агрегатного индекса цен, а именно использовать среднюю геометрическую из индексов цен Пааше и Ласпейреса:
В данной формуле равноправно представлено количество продукции как базисного, так и текущего периодов. Это свойство позволяет применять данный индекс при исследовании цен за значительный промежуток времени, когда структура продукции претерпевает существенные изменения, и, строго говоря, не представляется возможным сделать обоснованный выбор в пользу весов базисного или отчетного периода. По этим же соображениям индекс Фишера часто используется для территориальных сопоставлений.
10.4. Средние индексы
В отличие от агрегатной формы индекса, средние индексы используются тогда, когда имеется информация об изменении индексируемой величины по отдельным единицам исследуемой совокупности (т.е. известны индивидуальные индексы).
Средний индекс – это сводный индекс, вычисленный как средневзвешенная величина из значений индивидуальных индексов.
Средний индекс получают путем преобразования агрегатного индекса. В зависимости от того, какие веса используются в соответствующей агрегатной формуле (базисного или отчетного периода), средний индекс рассчитывается по формуле средней арифметической или средней гармонической величины. Соответственно, исчисленные по одним и тем же данным агрегатный и средний индексы всегда равны.
Рассмотрим, например, как получается средний индекс физического объема товарооборота. Его агрегатная формула имеет вид
Тогда, учитывая, что индивидуальный индекс представляет собой отношение
получим [
]. Подставим это выражение в формулу агрегатного индекса
Получен индекс физического объема товарооборота в виде средней арифметической взвешенной из индивидуальных индексов, в которой в качестве весов используется товарооборот базисного периода (q0 p0).
Итак, формула среднего арифметического индекса физического объема имеет вид
Обратимся теперь к индексу цен. Его агрегатная формула имеет вид
Из формулы индивидуального индекса цен 
выразим 
и, подставив в формулу агрегатного индекса, получим
Получен средний гармонический индекс цен
Пример 10.5. По данным таблицы из примера 10.2 рассчитаем средние индексы. Для этого необходимо определить индивидуальные индексы и объем товарооборота по каждому виду молочной продукции (расчеты проведены в следующей таблице).
|
Исчислим средний гармонический индекс цен.
Средний арифметический индекс физического объема товарооборота равен
Индекс цен, индекс Пааше, индекс Ласпейреса, индекс Фишера
В условиях современной экономики и эконометрике важное место среди индексов качественных показателей отвелось индексу цен, который представляет собой показатели динамики уровня цен.
При помощи индекса потребительских цен (ИПЦ) проводится оценка динамики цен на товары производственного и непроизводственного потребления. ИПЦ отражает динамику ценконечного потребления, измеряет общее изменение стоимости фиксированного набора потребительских товаров и услуг («потребительская корзина»), а также является одним из основных показателей, характеризующих уровень инфляции. ИПЦ используется при корректировке минимального размера труда, расчета ставок налогов и т. д.
Индекс Пааше
В 1874 г. немецкий экономист Г. Пааше предложил агрегатный индекс цен с отчетными весами. Формула агрегатного индекса цен Пааше определяется так:
Где числитель — фактическая стоимость продукции отчетного периода;
Знаменатель — условная стоимость товаров, которые реализованы в отчетном периоде по базисным ценам.
Индекс цен Пааше показывает, во сколько раз возрос или уменьшился в среднем уровень цен на массу товара, реализованную в отчетном периоде, или сколько процентов составляет его рост (снижение) в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом, т. е. он показывает, на сколько товары в отчетном периоде стали дороже (дешевле), чем в базисном.
В 1864 г. немецкий экономист Э. Ласпейрес предложил индекс, отражающий изменение цен и строится по продукции базисного периода.
Индекс Ласпейреса
Формула агрегатного индекса цен Ласпейреса рассчитывается как отношение:
Индекс цен Ласпейреса показывает, на сколько изменились цены в отчетном периоде по сравнению с базисным, но по продукции, которая была реализована в базисном периоде, и экономию (перерасход), который можно было бы получить от изменения цен. Индекс цен Ласпейреса также показывает, во сколько раз товары базисного периода подорожали (подешевели) в результате изменения цен на них в отчетном периоде.
Индекс Фишера
Американский экономист И. Фишер предложил «идеальный» индекс цен, который назвали его именем, представляющий собой среднюю геометрическую произведения двух агрегатных индексов цен Ласпейреса и Пааше.
Идеальность данной формулы заключается в том, что индекс является обратимым во времени, т. е. при перестановке базисного и отчетного периодов полученный обратный индекс представляет собой величину, обратную величине первоначального индекса. Недостаток формулы состоит в том, что она лишена конкретного экономического содержания (разность между числителем и знаменателем не показывает никакой реальной экономии или потерь вследствие изменения цен).
Средний гармонический индекс цен
Средний гармонический индекс цен применяется тогда, когда неизвестны значения p1, q1 но дано их произведение и индивидуальные индексы цен ip = p1/p0 а сводный индекс должен быть исчислен с отчетными весами.
Индивидуальные индексы определены таким образом, чтобы средний гармонический индекс совпал с агрегатным.
Выражая из формулы индивидуальных индексов цен неизвестное значение р0 = p1/ip, подставляем его в знаменатель агрегатной формулы и получим средний гармонический индекс цен, который равен формуле Пааше:
Весами индивидуальных индексов iр в индексе является стоимость отдельных видов продукции отчетного периода в ценах того же периода p1q1.
Средний арифметический индекс цен
Средний арифметический индекс цен получают в том случае, если из индивидуального индекса цен ip = p1/p0 выразить цену отчетного периода p1 = i0p0, а затем подставить ее в числитель агрегатного индекса цен.
Данный индекс аналогичен агрегатному индексу Ласпейреса и имеет формулу:
В этом индексе весами осредненных индивидуальных индексов служит объем товарооборота в базисном периоде.
Источник: Балинова B.C. Статистика в вопросах и ответах: Учеб. пособие. — М.: ТК. Велби, Изд-во Проспект, 2004. — 344 с.
