Всем доброго времени суток. В прошлых статьях я рассмотрел индуктивные элементы без сердечников, в частности, индуктивность прямого провода, индуктивность кольца и индуктивности различных типов круговых катушек. После этого можно было бы переходить к рассмотрению индуктивных элементов с сердечниками различной формы, однако существует ещё несколько типов катушек особой формы. Это, прежде всего, прямоугольные катушки и тороидальные катушки. Данная статья посвящена расчётам индуктивностей именно таких катушек.
Для сборки радиоэлектронного устройства можно преобрески DIY KIT набор по ссылке.
Прямоугольные катушки индуктивности
Прямоугольные катушки индуктивности, как видно из их названия, в поперечном разрезе имеют сечение прямоугольника (в отличии от круговых, где поперечный разрез имеет вид круга)
Поперечный (слева) и продольный (справа) разрез прямоугольной катушки индуктивности.
Данная катушка индуктивности имеет следующие конструктивные параметры:
c1b1 – размеры сердечника катушки (внутренние размеры обмотки);
c2b2 –внешние размеры катушки;
cb – средние размеры катушки;
l – длина катушки (аксиальный размер);
t – толщина намотки катушки (радиальный размер).
Для упрощение расчётов индуктивности, основными конструктивными параметрами прямоугольных катушек являются: средние размеры катушки c и b, толщина намотки t, длина катушки l. Средние размеры катушки вычисляются по следующим выражениям
При расчётах предполагается, что толщина намотки t одинакова по всем сторонам катушки.
Прямоугольные катушки в зависимости от их длины и толщины намотки подразделяются также как и любые другие типы катушек (по аналогии с круговыми катушками):
длинная катушки, если длина катушки больше средних размеров (l > c, l > b);
короткая катушка, если длина катушки меньше средних размеров (l < c или l < b);
очень короткая катушка, если длина катушки намного меньше средних размеров (l << c или l << b);
плоская катушка, если принять длину намотки равной нулю (l = 0);
толстая катушка, если толщина намотки немного меньше или приблизительно равна средним размерам катушки (t ≈ c, t ≈ b);
тонкая катушка, если толщина намотки меньше средних размеров катушки (t < c, t < b);
соленоид, если толщина намотки принята равной нулю (t = 0).
Особенности расчёта прямоугольных катушек индуктивности
На индуктивность квадратных катушек, также как и на любой другой индуктивный элемент влияют конструктивные размеры катушки (длина, ширина, высота, толщина намотки) и размеры и форма проводников, из которых намотана катушка. Поэтому для квадратных катушек вводятся поправки на собственную индуктивность витков катушки ∆1L и взаимную индуктивность между витками катушки ∆2L, которые вычисляются по аналогии с круговыми катушками
где
μ0 – магнитная постоянная, μ0 = 4π•10-7 Гн/м;
ω – число витков соленоида;
DСР – средний диаметр катушки, м;
I и J – коэффициенты, зависящие от расположения и от числа витков катушки.
А полная индуктивность катушки составит
где LР – расчётная индуктивность;
∆L – поправка на «изоляцию», ∆L = ∆1L + ∆2L;
∆1L – поправка учитывающая влияние индуктивности витков;
∆2L – поправка учитывающая влияние взаимной индуктивности витков.
Длина намотки l и толщина намотки t принимается равными шагу обмотки (p – шаг по длине катушки, q – шаг по толщине намотки) умноженному на количество слоёв в том или ином направлении ω
Если у катушки в каком-либо направлении (по длине намотки l или по толщине намотки t) имеется только один ряд (или слой), то в этом направлении размер l или t можно принять равным нулю, то есть расчёт ведётся как для соленоида или плоской катушки.
В некоторых случаях, при большом диаметре провода или шаге намотки у однослойных катушках размер l или t принимается равным диаметру голого провода d.
Так как величина поправки на взаимную индуктивность ∆2L в несколько раз меньше, чем поправка на индуктивность витков ∆1L, то при расчётах можно учитывать только ∆1L.
Индуктивность квадратного соленоида
В начале, рассмотрим простейший вариант прямоугольной катушки – квадратный соленоид, в которой средние размеры катушки равны между собой c = b
Расчёт квадратного соленоида.
Как известно соленоид представляет собой катушку, толщина которой бесконечно мала или равна нулю (t = 0) выражение для расчёта индуктивности такой катушки будет иметь вид
где μ0 – магнитная постоянная, μ0 = 4π•10-7 Гн/м;
ω – число витков соленоида;
с – сторона квадрата, являющегося основанием соленоида;
γ – величина зависящая от отношения стороны основания и длины намотки;
l – длина намотки соленоида.
Пример. В качестве примера рассчитаем квадратный соленоид длиной l = 5 см = 0,05 м, стороной основания с = 0,5 см = 0,005 м и числом витков ω = 100.
Вышеописанное выражение для индуктивности квадратного соленоида возможно использовать и для вычисления большинства однослойных катушек прямоугольного сечения с учётом поправок на изоляцию из в предыдущей статьи.
Индуктивность прямоугольного соленоида
Следующим типом катушки будет прямоугольный соленоид представленный ниже
Расчёт прямоугольного соленоида.
В отличие от квадратного соленоида, в котором стороны основания равны (c = b), в прямоугольном соленоиде стороны основания не равны (c ≠ b). В данном случае выражение для индуктивности такого соленоида несколько сложнее и зависит от соотношения сторон основания между собой и к длине соленоида
где μ0 – магнитная постоянная, μ0 = 4π•10-7 Гн/м;
ω – число витков соленоида;
с, b – сторона квадрата, являющегося основанием соленоида;
φb, φс, ψb, ψc – величины зависящие от соотношения сторон между собой и к длине соленоида.
Коэффициенты φb, φс зависят от γb и γс соответственно
где c и b – размеры основания соленоида;
l – длина катушки (аксиальный размер);
Коэффициенты ψb, ψс зависят от δb, δс
где c и b – размеры основания соленоида;
Пример. В качестве примера рассчитаем индуктивность прямоугольного соленоида длиной l = 7 см = 0,07 м, размерами основания с = 2 см = 0,02 м, b = 4 см = 0,04 м и числом витков ω = 400.
Индуктивность квадратной плоской катушки
Теперь рассмотрим квадратную плоскую катушку средними размерами основания с и толщиной намотки t
Расчёт индуктивности квадратной плоской катушки.
В данном случае длину катушки можно принять равной нулю (l = 0), а стороны основания равны между собой (c = b). Тогда индуктивность такой катушки можно найти по следующему выражению
где μ0 – магнитная постоянная, μ0 = 4π•10-7 Гн/м;
ω – число витков плоской катушки;
с – сторона квадрата, являющегося основанием плоской квадратной катушки;
Φ – коэффициент зависящий от размеров катушки и толщины намотки.
Величину Φ зависящую от соотношения средней длины основания c и толщины намотки катушки t можно оценить по следующему выражению
где t – толщина намотки катушки,
с – размер основания катушки.
Пример. Рассчитаем плоскую прямоугольную катушку со средней длиной стороны с = 50 см = 0,5 м, толщиной намотки t = 5 см = 0,05 м и имеющая ω = 100 витков.
Индуктивность прямоугольной катушки прямоугольного сечения
Отдельно необходимо рассмотреть прямоугольную катушку прямоугольного сечения, в которой длина l и толщина t намотки значительно меньше, чем средние размеры её сторон b и c.
Расчёт индуктивности прямоугольной катушки прямоугольного сечения.
Индуктивность такой катушки можно вычислить достаточно точно по следующему выражению
где μ0 – магнитная постоянная, μ0 = 4π•10-7 Гн/м;
ω – число витков катушки;
с,b – средние длины сторон основания прямоугольной катушки;
d – диагональ основания катушки;
t – толщина намотки катушки;
l – длина катушки.
В случае равенства сторон основания (c = b), то есть квадратной катушки, то выражение приобретает вид
где μ0 – магнитная постоянная, μ0 = 4π•10-7 Гн/м;
ω – число витков катушки;
с – средняя длинна стороны основания катушки;
d – диагональ основания катушки;
t – толщина намотки катушки;
l – длина катушки.
Индуктивность тороидальных катушек
Заканчивая рассмотрение расчётов индуктивностей катушек без сердечников, остановлюсь на таких распространённых индуктивных элементах, как тороидальные катушки. Они имеют ряд преимуществ перед предыдущими индуктивными элементами, в частности, лучшие массогабаритные показатели.
Рассмотрим два типа катушек: прямоугольным сечением и с круговым сечением каркаса
Тороидальные катушки: с прямоугольным сечением каркаса (слева) и круговым сечением каркаса (справа).
Индуктивность тороидальной катушки с прямоугольным сечением каркаса определяется по следующей формуле
где μ0 – магнитная постоянная, μ0 = 4π•10-7 Гн/м;
ω – число витков катушки;
t – толщина катушки;
l – высота катушки;
D – средний диаметр катушки.
Индуктивность тороидальной катушки с круговым сечением каркаса можно вычислить по следующему выражению
где μ0 – магнитная постоянная, μ0 = 4π•10-7 Гн/м;
ω – число витков катушки;
D – средний диаметр катушки;
d – средний диаметр обмотки.
На этом закончу рассмотрение выражений для расчёта индуктивностей элементов без сердечников. В следующей статье я буду рассматривать влияние различных типов сердечников на индуктивность элементов.
РАДИО ВСЕМ, №8, 1926 год. Расчеты самоиндукции
“Радио Всем”, №8, сентябрь 1926 год, стр. 20
РАСЧЕТЫ РАДИОЛЮБИТЕЛЯ
М. А. Нюренберг
Расчеты самоиндукции
(Продолжение)
Многослойные катушки
Как мы уже указывали в прошлой статье (см. № 7 “Р.В.”), многослойные катушки, являясь очень удобными с точки зрения их портативности, нехороши в электрическом отношении, обладая значительной внутренней емкостью. Не имея большого применения в колебательных контурах, эти катушки все же употребляются в некоторых случаях, почему мы и приводим метод их расчета.
Черт. 1.
Многослойная катушка в разрезе изображена на черт. 1. Для ее расчета применяются две номографические таблицы (черт. 2 и 3 помещены на III странице обложки1). По номограмме черт. 2 определяется поправочный коэффициент K, для чего необходимо знать две величины: U = 2 (l + b)— удвоенную сумму длины катушки и толщины намотки (см. чертеж) и D — средний диаметр катушки2). Все размеры берутся в сантиметрах.
Коэффициент K находится обычным способом соединения прямой линией значений U и D.
После того, как определен коэффициент K, переходим к номограмме черт. 3, которая и дает нам коэффициент самоиндукции катушки. Соединяя значение диаметра D с полученным по предыдущей номограмме значением коэффициента K, получаем некоторую точку на линии Z. Соединяя же эту точку со значением полного числа витков N, отложенным на той же линии, где и коэффициент K, получаем на правом крайнем столбце полную самоиндукцию катушки. На номограмме сделаны постоения для случая, когда D = 16 см., K = 1,41 (U = 4), N = 20. Следует отметить, что расчет по номограммам будет верен только в том случае, если отношение диаметра к величине U (D/U) будет находиться в пределах от 1 до 3. Если же это отношение будет другим, то для расчета коэффициента K следует пользоваться формулами, приводимыми в примечании, т. к. номограмма в этом случае будет неверна (номограмма черт. 3 остается верной для всех случаев)3).
Плоско-спиральные и корзинчатые катушки
Эти катушки (черт. 4) рассчитываются по той же номографической таблице для цилиндрических однослойных катушек, которую мы приводили в прошлом номере “Р. В.”.
Черт. 4.
За величину радиуса r берется в этом случае так наз. средний радиус катушки, который определяется, как среднее арифметическое наибольшего и наименьшего радиуса, т.-е.
Пример: r1 = 10 см., r2 = 3 см.; средний радиус r = 6,5 см.
Весь остальной расчет производится совершенно так же, как и в случае однослойной цилиндрической катушки.
Сотовые катушки
В отличие от предыдущих типов катушек сотовые катушки (черт. 5) не имеют простого графического способа для расчета их самоиндукции и требуют применения формулы, которую мы ниже приводим для подготовленного любителя4).
Черт. 5.
Неподготовленный же любитель должен для подбора сотовой катушки самоиндукции пользоваться числовой таблицей (см. III страницу обложки). Так как обычно применяются сотовые катушки стандартного типа, имеющие начальный диаметр = 5 см. и толщину = 2 см., мы приводим числовую таблицу только для этого типа катушек. Небольшие изменения в толщинах проволоки, указанных в таблице, вызовут лишь изменения в сопротивлении катушки, не меняя величины самоиндукции. В этой же таблице приводятся величины диапазона волн при включении параллельно катушке переменного конденсатора с максимальной емкостью в 1000 см.
Черт. 6.
Расчет прямоугольных катушек самоиндукции будет приведен в следующих номерах нашего журнала.
1) III страница обложки с рисунками 2, 3 и таблицей в журнале отсутствует. (примечание составителя).
2) Средний диаметр катушки принимается равным среднему арифметическому из наибольшего и наименьшего диаметра, т.-е.
3) Более точно самоиндукция многослойной катушки может быть подсчитана по формуле:
L = 10,5 N2DK (формула Korndörf’а)
где: N — полное число витков,
D — средний диаметр катушки в см.,
К — поправочный коэффициент, зависящий от отношения D/U
при = от 0 до 1, “” от 1 до 3, “” = 1 (D = U, K = 1). 4) Самоиндукция сотовых катушек (черт. 6) определяется формулой:
L = rN2f
где L — самоиндукция в см.
r — средний радиус в см. (способ его вычисления приведен выше).
N — обшее число витков катушки,
f — поправочный коэффициент, зависящий от радиуса, толщины и высоты намотки катушки.Поправочный коэффициент f является функцией двух величин p и q, которые определяются следующими формулами:
Все величины берутся в сантиметрах.
Для определения f в зависимости от p и q приводится график черт. 6. В этом графике по горизонтальной оси отложена величина q, а по вертикальной — поправочный коэффициент f. Для различных значений p нанесен ряд кривых, из которых легко определить f.
При заданной индуктивности, диаметре каркаса катушки и толщины намотки можно рассчитать число витков катушки, а также определить диаметр провода и число слоев намотки.
Все размеры выражены в миллиметрах, а индуктивность в мкГн.
Расчет ведется по формуле:
N²=(L(3Dk+9l+10t))/0.008Dk²
где
Dk – средний диаметр катушки = диаметр каркаса + толщина намотки,
t — толщина намотки,
l — длина намотки,
L — индуктивность.
Используя формулу расчета индуктивности многослойной катушки, можно рассчитать индуктивность при заданных значениях среднего диаметра катушки, толщины намотки, числе витков и длины намотки.
L=(0.008*Dk²*N²)/(3Dk+9l+10t)
где
Dk – средний диаметр катушки = диаметр каркаса + толщина намотки,
t — толщина намотки,
l — длина намотки,
N — число витков.
Для упрощения расчетов можно воспользоваться онлайн калькуляторами
На скриншотах показан пример расчета онлайн калькуляторов:
Расчет числа витков многослойной катушки без сердечника на сайте rcl-radio.ru
-
Методики расчета индуктивности катушек
Основным
элементом катушек индуктивности является
токовод. Величина индуктивности
определяется конструкцией токовода и
его размерами.
Полная
индуктивность медного провода круглого
сечения длиной lПРи диаметромd0равна
(3.1)
Из
(3.1) следует, что индуктивность провода
уменьшается с ростом его диаметра. Это
свойство широко используют в УКВ
аппаратуре для уменьшения индуктивности
соединительных проводов за счет
увеличения их диаметра.
Если
одиночный проводник согнуть, например,
в кольцо, то его индуктивность уменьшится
из-за встречного направления токов в
соседних частях кольца. Однако, для
круглого кольца индуктивность будет
наибольшей по сравнению с индуктивностью
витка любой другой конфигурации,
поскольку круглый виток охватывает
наибольшую площадь, обеспечивая
наибольшее потокосцепление.
Индуктивность
круглого плоского витка диаметром Dиз провода круглого сечения длинойlПРи диаметромdПРравна
(3.2)
При
сворачивании проводника в несколько
витков wодинакового
диаметра образуется катушка, индуктивность
которой можно определить как суммарную
индуктивность всех витков с учетом
взаимоиндукцииMмежду
ними:
(3.3)
Индексы при Муказывают на взаимную индуктивность
между первым и вторым, вторым и третьим,
первым и третьим витками и т.д. Если
известен коэффициент связи, который
определяется равенством
,
(3.4)
то индуктивность
катушки с произвольным числом витков
определяется из
. (3.5)
Коэффициент связи
между витками, расположенными на
расстоянии τ, в однослойной катушке
определяется выражением
(3.6)
Для сплошной намотки
τ=d0.
Индуктивность
многослойной катушки незначительно
зависит от диаметра провода, так как
определяется в основном взаимоиндукцией
между витками.
Из-за трудности
определения коэффициента связи выражение
(3.5) обычно применяют для расчета катушек
индуктивности с небольшим числом витков
(обычно не более шести).
Для катушек с однородным
замкнутым магнитопроводом (с тороидальным
сердечником) выражение для определения
индуктивности принимает вид
, (3.7)
где μ– начальная магнитная
проницаемость сердечника (μ=1 для
диэлектрического каркаса или воздуха);
μ0=4π·10-7Гн/м – магнитная постоянная;
w– число витков обмотки;
S
– площадь поперечного сечения катушки;
– длина намотки катушки;
Таким
образом, увеличение индуктивности
катушки может быть достигнуто за счет
увеличения числа витков, магнитной
проницаемости сердечника, площади
поперечного сечения магнитопровода, а
также уменьшения длины намотки.
В
высокочастотных катушках замкнутый
магнитопровод как правило отсутствует,
поэтому индуктивность катушки будет
меньше, рассчитанной по (3.7). Для учета
рассеивания магнитного потока на краях
катушки вводится поправочный коэффициент
k, который зависит от
отношения диаметра катушки к длине
намотки
(3.8)
Для
практических расчетов однослойных
цилиндрических катушек, намотанных
виток к витку (рис.3.2 а),используют
выражение
, (3.9)
где
– коэффициент формы катушки, учитывающий
краевые эффекты;
μ– начальная магнитная
проницаемость сердечника (μ=1 для
катушек без магнитного сердечника);
μ0=4π·10-7Гн/м –
магнитная постоянная;
w– число витков обмотки;
– площадь поперечного сечения круглой
катушки;
D– диаметр катушки;
– длина намотки.
Для
практических расчетов однослойных
цилиндрических катушек без сердечника,
намотанных с принудительным шагом τ(рис.3.2 б),индуктивн
ость
рассчитывают по (3.9), но полученный
результат уменьшают на поправкуΔL
, (3.10)
где τ– шаг намотки;
L–
индуктивность катушки, определенная
по (3.9) приμ=1.
Для
практических расчетов индуктивности
тороидальной однослойной катушки,
намотанной сплошным слоем на круглом
магнитном сердечнике прямоугольного
сечения (рис.3.2 в), используют
выражение
, (3.11)
где
– площадь поперечного сечения сердечника
тороида;
– средняя длина сердечника тороида;
D– внешний диаметр сердечника тороида;
d– внутренний диаметр сердечника тороида;
h– высота сердечника тороида.
Для практических
расчетов многослойных катушек без
сердечника(рис.3.2 г) используют
выражение
, (3.12)
г
деDCP
– средний диаметр катушки;
t– толщина катушки;
l– длина катушки.
Для
практических расчетов многослойных
секционированных катушек без сердечника
(рис.3.2 д) используют выражение
, (3.13)
где LC
– индуктивность одной секции катушки;
n– число секций;
kCB– коэффициент связи между смежными
секциями, зависящий от отношения
(рис.3.3);
b
– расстояние между секциями.
Для
практических расчетов плоских круглых
спиральных катушек (рис.3.2 е) используют
выражение
, (3.14)
где DBH,DH –внутренний и наружный диаметры
катушки, соответственно.
Для
практических расчетов плоских
квадратных спиральных катушек (рис.3.2
ж) используют выражение
, (3.15)
где АBH,АH
–внутренняя и наружная стороны
катушки, соответственно.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
10.02.20165.15 Mб192.doc
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Журнал РАДИОЛОЦМАН, январь 2012
Петр Демченко, Литва
EDN
В статье показано, как рассчитать индуктивность многослойной катушки без сердечника, зная только ее размеры и сопротивление постоянному току
Если размеры катушки выражены в миллиметрах, ее индуктивность в микрогенри может быть рассчитана по формуле:
где
- D – средний диаметр катушки,
- h – высота катушки,
- g – глубина (толщина намотки) катушки,
- N – количество витков (Рисунок 1).
 |
|
| Рисунок 1. | Зная размеры и количество витков катушки, можно рассчитать ее индуктивность. |
Если количество витков неизвестно, индуктивность, все равно, можно рассчитать, используя значение сопротивления обмотки постоянному току. Предполагается, что катушка намотана аккуратно, виток к витку, цилиндрическим эмалированным проводом (Рисунок 2). В этом случае приближенное выражение для числа витков будет следующим:
где d – диаметр провода.
Однако, мы будем полагать, что диаметр нам неизвестен.
 |
|
| Рисунок 2. | Оценить индуктивность аккуратно намотанной катушки можно по ее размерам и сопротивлению обмотки. |
Поскольку средняя длина витка равна π×D, общая длина провода будет N×π×D. Площадь сечения провода равна
Сопротивление катушки R можно выразить как
где ρ – удельное сопротивление, выраженное в [Ом·м], а сопротивление в [Ом]. Таким образом, можно получить выражение для квадрата диаметра провода:
Теперь подставляем d2 в выражение для числа витков:
После возведения обеих частей уравнения в квадрат и сокращения дроби получаем
Подстановка N2 в первое уравнение дает
Подставив значение ρ для меди, получаем выражение для L, зависящее только от сопротивления и физических размеров катушки:
Попутно обратим внимание на интересный вывод, следующий из того факта, что R и L пропорциональны друг другу: добротность Q катушки с заданными размерами D, g и h при неизменной угловой частоте w =2πF является константой:
