Фигура конус является объектом изучения стереометрии. Основными свойствами конуса являются наличие у него объема и площади поверхности, которые можно вычислить с помощью линейных параметров. Одним из них является диаметр конуса. В данной статье покажем, как этот диаметр можно рассчитать по другим известным характеристикам фигуры.
Круглый прямой конус
В общем случае конусом является фигура, построенная в результате движения отрезка вдоль некоторой кривой на плоскости, при этом второй конец отрезка зафиксирован в определенной точке пространства. Сам отрезок называется генератрисой, или образующей, а кривая – директрисой, или направляющей.
Согласно приведенному определению, кривая, которая ограничивает фигуру, может быть совершенно любого типа. Самыми известными из них являются парабола, гипербола, эллипс и окружность. В последнем случае говорят о круглом конусе.
Круглый конус может быть наклонным и прямым. Обе фигуры показаны ниже на рисунке.
Здесь r – радиус окружности, которая ограничивает основание фигуры. Буквой h обозначена высота, которая представляет опущенный на основание из вершины конуса перпендикуляр. Буквой a обозначена ось конуса. Видно, что в случае прямой фигуры его высота совпадает с осью, то есть пересекает окружность в ее центре.
Помимо радиуса r и высоты h, важным линейным параметром конуса является длина его образующей g. Как было сказано, образующая – это отрезок, соединяющий директрису с высотой. Для прямого круглого конуса все образующие равны друг другу.
Далее в статье, раскрывая вопрос касательно того, как найти диаметр конуса, будет рассматриваться только конус круглый и прямой.
Вычисление диаметра фигуры через линейные параметры и угол при основании
Описанную пространственную фигуру можно получить, если вращать вокруг любого катета прямоугольный треугольник. Этот факт демонстрирует рисунок ниже.
Из рисунка видно, что два катета AC и AB являются радиусом r и высотой h объемной фигуры соответственно. Генератриса g – это гипотенуза BC. Эти соответствия позволяют записать формулу диаметра конуса через известные g и h:
d = 2*√(g2 – h2)
При записи этой формулы использовалась теорема Пифагора, а также определение диаметра, который в два раза больше радиуса основания конуса.
Если известен угол φ между основанием и любой из образующих g фигуры, тогда диаметр конуса можно определить по следующим формулам:
d = 2*g*cos(φ);
d = 2*h/tg(φ)
Оба равенства являются следствием применения определения тригонометрических функций тангенса и косинуса.
Вычисление диаметра через площадь поверхности и генератрису
Поверхность рассматриваемого конуса образована конической поверхностью и круглым основанием. Развертка конуса показана ниже.
Общая площадь развертки определяется по следующей формуле:
S = pi*r2 + pi*r*g
Если известна площадь S и генератриса g, тогда это уравнение позволяет вычислить радиус фигуры, а значит, и ее диаметр. Заметим, что речь идет об уравнении второго порядка относительно радиуса r. Решать его следует с использованием дискриминанта. При решении, как правило, получаются два корня, один из которых отрицательный. Он должен быть отброшен, ввиду его не физического значения.
С использованием описанной методики в конце статьи будет решена задача, и будет получен ответ на вопрос о том, чему равен диаметр конуса.
Определение диаметра через объем и высоту
Теперь покажем, как найти диаметр конуса, зная его объем V и высоту h. Для этого необходимо вспомнить, что объем конуса, как и объем любой пирамиды, можно определить, пользуясь следующим равенством:
V = 1/3*S*h
Здесь S – площадь основания. Поскольку площадь основания в рассматриваемом случае является площадью круга, то это выражение можно переписать в таком виде:
V = 1/3*pi*r2*h
Остается выразить отсюда радиус и умножить его в два раза, и мы получим ответ на вопрос о том, как найти диаметр конуса через величины V и h. Имеем:
r = √(3*V/(pi*h));
d = 2*r = 2*√(3*V/(pi*h))
Заметим, что в правой части получается размерность длины. Это доказывает правильность полученной формулы.
Все записанные в статье формулы для диаметра d фигуры также являются справедливыми для радиуса, который будет в два раза меньше диаметра.
Задача на определение диаметра через известную площадь конуса и его образующую
Дан конус, площадь поверхности которого составляет 150 см2. Генератриса равна 14 см. Чему равен диаметр конуса?
Для получения ответа на поставленный вопрос используем описанную в статье методику. Сначала выпишем соответствующее уравнение:
S = pi*r2 + pi*r*g =>
r2 + 14*r – 150/3,14 = 0
При получении последнего равенства мы разделили левую и правую его части на число Пи. Рассчитываем дискриминант D. Имеем:
D = 142 – 4*1*(-150/3,14) = 387,0828
Полученный дискриминант приведен с точностью до 0,0001. Формула для корней уравнения r имеет следующий вид:
r = (-14±√D)/2
Очевидно, что один из корней будет отрицательным. Его не будем вычислять. Определим лишь искомый положительный радиус фигуры:
r = (-14+√387,0828)/2 = 2,837 см
Чтобы найти диаметр конуса, остается умножить это значение на два и записать ответ: d = 5,674 см.
В конце отметим, что, зная два любых параметра круглого конуса прямого, можно определить любую его характеристику, включая объем и площадь поверхности.
Фигура конус является объектом изучения стереометрии. Основными свойствами конуса являются наличие у него объема и площади поверхности, которые можно вычислить с помощью линейных параметров. Одним из них является диаметр конуса. В данной статье покажем, как этот диаметр можно рассчитать по другим известным характеристикам фигуры.
Круглый прямой конус
В общем случае конусом является фигура, построенная в результате движения отрезка вдоль некоторой кривой на плоскости, при этом второй конец отрезка зафиксирован в определенной точке пространства. Сам отрезок называется генератрисой, или образующей, а кривая – директрисой, или направляющей.
Согласно приведенному определению, кривая, которая ограничивает фигуру, может быть совершенно любого типа. Самыми известными из них являются парабола, гипербола, эллипс и окружность. В последнем случае говорят о круглом конусе.
Круглый конус может быть наклонным и прямым. Обе фигуры показаны ниже на рисунке.
Здесь r – радиус окружности, которая ограничивает основание фигуры. Буквой h обозначена высота, которая представляет опущенный на основание из вершины конуса перпендикуляр. Буквой a обозначена ось конуса. Видно, что в случае прямой фигуры его высота совпадает с осью, то есть пересекает окружность в ее центре.
Каждая объемная фигура, которая имеет конечные линейные размеры, обладает в пространстве некоторой…
Помимо радиуса r и высоты h, важным линейным параметром конуса является длина его образующей g. Как было сказано, образующая – это отрезок, соединяющий директрису с высотой. Для прямого круглого конуса все образующие равны друг другу.
Далее в статье, раскрывая вопрос касательно того, как найти диаметр конуса, будет рассматриваться только конус круглый и прямой.
Вычисление диаметра фигуры через линейные параметры и угол при основании
Описанную пространственную фигуру можно получить, если вращать вокруг любого катета прямоугольный треугольник. Этот факт демонстрирует рисунок ниже.
Из рисунка видно, что два катета AC и AB являются радиусом r и высотой h объемной фигуры соответственно. Генератриса g – это гипотенуза BC. Эти соответствия позволяют записать формулу диаметра конуса через известные g и h:
d = 2*√(g2 – h2)
При записи этой формулы использовалась теорема Пифагора, а также определение диаметра, который в два раза больше радиуса основания конуса.
Если известен угол φ между основанием и любой из образующих g фигуры, тогда диаметр конуса можно определить по следующим формулам:
d = 2*g*cos(φ);
d = 2*h/tg(φ)
Оба равенства являются следствием применения определения тригонометрических функций тангенса и косинуса.
Каждая объемная фигура, которая имеет конечные линейные размеры, обладает в пространстве некоторой…
Вычисление диаметра через площадь поверхности и генератрису
Поверхность рассматриваемого конуса образована конической поверхностью и круглым основанием. Развертка конуса показана ниже.
Общая площадь развертки определяется по следующей формуле:
S = pi*r2 + pi*r*g
Если известна площадь S и генератриса g, тогда это уравнение позволяет вычислить радиус фигуры, а значит, и ее диаметр. Заметим, что речь идет об уравнении второго порядка относительно радиуса r. Решать его следует с использованием дискриминанта. При решении, как правило, получаются два корня, один из которых отрицательный. Он должен быть отброшен, ввиду его не физического значения.
С использованием описанной методики в конце статьи будет решена задача, и будет получен ответ на вопрос о том, чему равен диаметр конуса.
Определение диаметра через объем и высоту
Теперь покажем, как найти диаметр конуса, зная его объем V и высоту h. Для этого необходимо вспомнить, что объем конуса, как и объем любой пирамиды, можно определить, пользуясь следующим равенством:
Все пространственные фигуры, которые изучает специальный раздел геометрии – стереометрия, можно…
V = 1/3*S*h
Здесь S – площадь основания. Поскольку площадь основания в рассматриваемом случае является площадью круга, то это выражение можно переписать в таком виде:
V = 1/3*pi*r2*h
Остается выразить отсюда радиус и умножить его в два раза, и мы получим ответ на вопрос о том, как найти диаметр конуса через величины V и h. Имеем:
r = √(3*V/(pi*h));
d = 2*r = 2*√(3*V/(pi*h))
Заметим, что в правой части получается размерность длины. Это доказывает правильность полученной формулы.
Все записанные в статье формулы для диаметра d фигуры также являются справедливыми для радиуса, который будет в два раза меньше диаметра.
Задача на определение диаметра через известную площадь конуса и его образующую
Дан конус, площадь поверхности которого составляет 150 см2. Генератриса равна 14 см. Чему равен диаметр конуса?
Для получения ответа на поставленный вопрос используем описанную в статье методику. Сначала выпишем соответствующее уравнение:
S = pi*r2 + pi*r*g =>
r2 + 1 r – 150/3,14 = 0
При получении последнего равенства мы разделили левую и правую его части на число Пи. Рассчитываем дискриминант D. Имеем:
D = 142 – 1*(-150/3,14) = 387,0828
Полученный дискриминант приведен с точностью до 0,0001. Формула для корней уравнения r имеет следующий вид:
r = (-14±√D)/2
Очевидно, что один из корней будет отрицательным. Его не будем вычислять. Определим лишь искомый положительный радиус фигуры:
r = (-14+√387,0828)/2 = 2,837 см
Чтобы найти диаметр конуса, остается умножить это значение на два и записать ответ: d = 5,674 см.
В конце отметим, что, зная два любых параметра круглого конуса прямого, можно определить любую его характеристику, включая объем и площадь поверхности.
Фигура конус является объектом изучения стереометрии. Основными свойствами конуса являются наличие у него объема и площади поверхности, которые можно вычислить с помощью линейных параметров. Одним из них является диаметр конуса. В данной статье покажем, как этот диаметр можно рассчитать по другим известным характеристикам фигуры.
Круглый прямой конус
В общем случае конусом является фигура, построенная в результате движения отрезка вдоль некоторой кривой на плоскости, при этом второй конец отрезка зафиксирован в определенной точке пространства. Сам отрезок называется генератрисой, или образующей, а кривая — директрисой, или направляющей.
Согласно приведенному определению, кривая, которая ограничивает фигуру, может быть совершенно любого типа. Самыми известными из них являются парабола, гипербола, эллипс и окружность. В последнем случае говорят о круглом конусе.
Круглый конус может быть наклонным и прямым. Обе фигуры показаны ниже на рисунке.
Здесь r — радиус окружности, которая ограничивает основание фигуры. Буквой h обозначена высота, которая представляет опущенный на основание из вершины конуса перпендикуляр. Буквой a обозначена ось конуса. Видно, что в случае прямой фигуры его высота совпадает с осью, то есть пересекает окружность в ее центре.
Помимо радиуса r и высоты h, важным линейным параметром конуса является длина его образующей g. Как было сказано, образующая — это отрезок, соединяющий директрису с высотой. Для прямого круглого конуса все образующие равны друг другу.
Далее в статье, раскрывая вопрос касательно того, как найти диаметр конуса, будет рассматриваться только конус круглый и прямой.
Вычисление диаметра фигуры через линейные параметры и угол при основании
Описанную пространственную фигуру можно получить, если вращать вокруг любого катета прямоугольный треугольник. Этот факт демонстрирует рисунок ниже.
Из рисунка видно, что два катета AC и AB являются радиусом r и высотой h объемной фигуры соответственно. Генератриса g — это гипотенуза BC. Эти соответствия позволяют записать формулу диаметра конуса через известные g и h:
d = 2*√(g2 — h2)
При записи этой формулы использовалась теорема Пифагора, а также определение диаметра, который в два раза больше радиуса основания конуса.
Если известен угол φ между основанием и любой из образующих g фигуры, тогда диаметр конуса можно определить по следующим формулам:
d = 2*g*cos(φ);
d = 2*h/tg(φ)
Оба равенства являются следствием применения определения тригонометрических функций тангенса и косинуса.
Вычисление диаметра через площадь поверхности и генератрису
Поверхность рассматриваемого конуса образована конической поверхностью и круглым основанием. Развертка конуса показана ниже.
Общая площадь развертки определяется по следующей формуле:
S = pi*r2 + pi*r*g
Если известна площадь S и генератриса g, тогда это уравнение позволяет вычислить радиус фигуры, а значит, и ее диаметр. Заметим, что речь идет об уравнении второго порядка относительно радиуса r. Решать его следует с использованием дискриминанта. При решении, как правило, получаются два корня, один из которых отрицательный. Он должен быть отброшен, ввиду его не физического значения.
С использованием описанной методики в конце статьи будет решена задача, и будет получен ответ на вопрос о том, чему равен диаметр конуса.
Определение диаметра через объем и высоту
Теперь покажем, как найти диаметр конуса, зная его объем V и высоту h. Для этого необходимо вспомнить, что объем конуса, как и объем любой пирамиды, можно определить, пользуясь следующим равенством:
V = 1/3*S*h
Здесь S — площадь основания. Поскольку площадь основания в рассматриваемом случае является площадью круга, то это выражение можно переписать в таком виде:
V = 1/3*pi*r2*h
Остается выразить отсюда радиус и умножить его в два раза, и мы получим ответ на вопрос о том, как найти диаметр конуса через величины V и h. Имеем:
r = √(3*V/(pi*h));
d = 2*r = 2*√(3*V/(pi*h))
Заметим, что в правой части получается размерность длины. Это доказывает правильность полученной формулы.
Все записанные в статье формулы для диаметра d фигуры также являются справедливыми для радиуса, который будет в два раза меньше диаметра.
Задача на определение диаметра через известную площадь конуса и его образующую
Дан конус, площадь поверхности которого составляет 150 см2. Генератриса равна 14 см. Чему равен диаметр конуса?
Для получения ответа на поставленный вопрос используем описанную в статье методику. Сначала выпишем соответствующее уравнение:
S = pi*r2 + pi*r*g =>
r2 + 14*r — 150/3,14 = 0
При получении последнего равенства мы разделили левую и правую его части на число Пи. Рассчитываем дискриминант D. Имеем:
D = 142 — 4*1*(-150/3,14) = 387,0828
Полученный дискриминант приведен с точностью до 0,0001. Формула для корней уравнения r имеет следующий вид:
r = (-14±√D)/2
Очевидно, что один из корней будет отрицательным. Его не будем вычислять. Определим лишь искомый положительный радиус фигуры:
r = (-14+√387,0828)/2 = 2,837 см
Чтобы найти диаметр конуса, остается умножить это значение на два и записать ответ: d = 5,674 см.
В конце отметим, что, зная два любых параметра круглого конуса прямого, можно определить любую его характеристику, включая объем и площадь поверхности.
Просмотры: 17
Конусность – это отношение разности диаметров к длине(высоте) конуса. Например,
конусноть 1:10 означает, что D – d = 1, а L(h) = 10. А конусноть 7:24 означает, что D – d = 7, а L(h) = 24.
Конус – геометрическое тело, которое получается путем вращением прямой линии (образующей конуса),
расположенной под углом к оси вращения.
Конусность измерить нельзя. Измеряют угол, который соответсвует конкретной конусности. Например,
угол конусности 1 : 10 будет равен 5° 43′ 29.3″ (5 градусам 43 минутам 29.3 секундам). 1 угол содержит 60 минут, а 1 минута содержит 60 секунд.
На производстве углы измеряют инструментом, который называется угломер.
С помощью калькулятора на данной странице вы сможете рассчитать любую конусность.
Часто это бывает нужно, когда на чертеже не хватает размеров, а чертеж не в векторном формате.
Так же, например, необходима бывает индентификация конусности на существующем изделии (штифт, инструмент и др.).
Нормальные конусности представлены в ГОСТ 8593-81.
Инструментальные конусности представлены в ГОСТ 25557-2006. Среди инструментальных конусов
выделяются конуса Морзе. В российских стандартах обозначаются КМ0-КМ7 (КМ7 не рекомендован к применению). В немецких стандартах
МК0-МК7. В английских стандартах МТ0-МТ7.
При расчете используются следующие буквенные обозначения:
- D – наибольшее основание конуса;
- d – наименьшее основание конуса;
- L – длина конуса;
- α – угол конуса;
- α/2- угол уклона.
| Конусность | Угол конуса | Угол уклона |
|---|---|---|
| 1 : 500 | 0° 6′ 52.5″ | 0° 3′ 25.25″ |
| 1 : 200 | 0° 17′ 11.3″ | 0° 8′ 35.65″ |
| 1 : 100 | 0° 34′ 22.6″ | 0° 17′ 11.3″ |
| 1 : 50 | 1° 8′ 45.2″ | 0° 34′ 22.6″ |
| 1 : 30 | 1° 54′ 34.9″ | 0° 57′ 17.45″ |
| 1 : 20 | 2° 51′ 51.1″ | 1° 25′ 55.55″ |
| 1 : 15 | 3° 49′ 5.9″ | 1° 54′ 32.95″ |
| 1 : 12 | 4° 46′ 18.8″ | 2° 23′ 9.4″ |
| 1 : 10 | 5° 43′ 29.3″ | 2° 51′ 44.65″ |
| 1 : 8 | 7° 9′ 9.6″ | 3° 34′ 34.8″ |
| 1 : 7 | 8° 10′ 16.4″ | 4° 5′ 8.2″ |
| 1 : 6 | 9° 31′ 38.2″ | 4° 45′ 49.1″ |
| 1 : 5 | 11° 25′ 16.3″ | 5° 42′ 38.15″ |
| 1 : 4 | 14° 15′ 0.1″ | 7° 7′ 30.05″ |
| 1 : 3 | 18° 55′ 28.7″ | 9° 27′ 44.35″ |
| 1 : 1.866025 | 30° 0′ 0″ | 15° 0′ 0″ |
| 1 : 1.207107 | 45° 0′ 0″ | 22° 30′ 0″ |
| 1 : 0.866025 | 60° 0′ 0″ | 30° 0′ 0″ |
| 1 : 0.651613 | 75° 0′ 0″ | 37° 30′ 0″ |
| 1 : 0.500000 | 90° 0′ 0″ | 45° 0′ 0″ |
| 1 : 0.288675 | 120° 0′ 0″ | 60° 0′ 0″ |
| Метрический конус | ||
| 1 : 20 | 2° 51′ 51.1″ | 1° 25′ 55.55″ |
| Конус Морзе №0 | ||
| 1 : 19.212 | 1° 29′ 27″ | 0° 44′ 43.5″ |
| Конус Морзе №1 | ||
| 1 : 20.047 | 1° 25′ 43″ | 0° 42′ 51.5″ |
| Конус Морзе №2 | ||
| 1 : 20.020 | 1° 25′ 50″ | 0° 42′ 55″ |
| Конус Морзе №3 | ||
| 1 : 19.992 | 1° 26′ 16″ | 0° 43′ 8″ |
| Конус Морзе №4 | ||
| 1 : 19.254 | 1° 29′ 15″ | 0° 44′ 37.5″ |
| Конус Морзе №5 | ||
| 1 : 19.002 | 1° 30′ 26″ | 0° 45′ 13″ |
| Конус Морзе №6 | ||
| 1 : 19.18 | 1° 29′ 36″ | 0° 44′ 48″ |
| Конусность 7:24 | ||
| 1 : 3.42857143 | 16° 35′ 39″ | 8° 17′ 49″ |
| Конусность резьб конических | ||
| 1 : 16 | 3° 34′ 48″ | 1° 47′ 24″ |
Конус 1:500 и 1:200 применяют для изготовления крепежных деталей для неразъемных
соединений, подвергающихся вибрациям и ударной переменной нагрузке, конических оправок.
Конус 1:100 применяют для изготовления крепежных деталей для неразъемных
соединений, подвергающихся вибрациям и спокойной переменной нагрузке, клиновых шпонок, конических оправок.
Конус 1:50 применяют для изготовления конических штифтов, установочных шпилек,
насадных рукояток.
Конус 1:30 применяют для изготовления конусов шеек шпинделей.
Конус 1:20 применяют для изготовления метрических конусов в шпинделях станков, оправок.
Конус 1:16 применяют для изготовления конических резьбовых соединений метрических и дюймовых.
Конус 1:15 применяют для изготовления конических соединений деталей при осевых нагрузках,
соединений поршней со штоками.
Конус 1:12 применяют для изготовления конических закрепительных втолок шарико- и
роликоподшипников.
Конус 1:10 применяют для изготовления конических соединений деталей при нагрузках,
перпендикулярных и параллельных оси, концов валов электрических и других машин, регулируемых
втулок подшипников шпинделей.
Конус 1:7 применяют для кранов в арматуростроении.
Конус 1:5 и 1:3 применяют для изготовления легкоразъемных конических
соединений при нагрузках, перпендикулярных оси, конических фрикционных муфт.
Конус 1:1.5 применяют для изготовления тяжелых винтовых трубных соединений с коническим
уплотнением.
Конус 30° применяют для изготовления фрикционных муфт приводов, зажимных цанг,
головок шинных болтов.
Конус 60° применяют для изготовления центровых отверстий.
Конус 75° применяют для изготовления внутренних конусов нажимных гаек в соединениях труб
высокого давления, наружных центров инструментов диаметром до 10 мм.
Конус 90° применяют для изготовления концов обрабатываемых валов и валиков,
конусов вентилей и клапанов, центровых отверстий для тяжелых работ, потайных головок заклепок диаметром
1 – 10 мм.
Конус 100° применяют для изготовления винтов по дереву.
Конус 120° применяют для изготовления потайных головок заклепок диаметром
2 – 5 мм, внутренних фаскок резьбовых отверстий, конусов под набивку сальников, дроссельных клапанов.
Значок конуса обязательно должен быть направлен в сторону уменьшения диаметра.
Посмотреть какие настройки токарного станка для обработки конуса существуют
можно на этой странице .
Фигура конус является объектом изучения стереометрии. Основными свойствами конуса являются наличие у него объема и площади поверхности, которые можно вычислить с помощью линейных параметров. Одним из них является диаметр конуса. В данной статье покажем, как этот диаметр можно рассчитать по другим известным характеристикам фигуры.
Круглый прямой конус
В общем случае конусом является фигура, построенная в результате движения отрезка вдоль некоторой кривой на плоскости, при этом второй конец отрезка зафиксирован в определенной точке пространства. Сам отрезок называется генератрисой, или образующей, а кривая – директрисой, или направляющей.
Вам будет интересно:Как найти образующую конуса обычного и усеченного. Формулы
Согласно приведенному определению, кривая, которая ограничивает фигуру, может быть совершенно любого типа. Самыми известными из них являются парабола, гипербола, эллипс и окружность. В последнем случае говорят о круглом конусе.
Круглый конус может быть наклонным и прямым. Обе фигуры показаны ниже на рисунке.
Здесь r – радиус окружности, которая ограничивает основание фигуры. Буквой h обозначена высота, которая представляет опущенный на основание из вершины конуса перпендикуляр. Буквой a обозначена ось конуса. Видно, что в случае прямой фигуры его высота совпадает с осью, то есть пересекает окружность в ее центре.
Помимо радиуса r и высоты h, важным линейным параметром конуса является длина его образующей g. Как было сказано, образующая – это отрезок, соединяющий директрису с высотой. Для прямого круглого конуса все образующие равны друг другу.
Далее в статье, раскрывая вопрос касательно того, как найти диаметр конуса, будет рассматриваться только конус круглый и прямой.
Вычисление диаметра фигуры через линейные параметры и угол при основании
Описанную пространственную фигуру можно получить, если вращать вокруг любого катета прямоугольный треугольник. Этот факт демонстрирует рисунок ниже.
Из рисунка видно, что два катета AC и AB являются радиусом r и высотой h объемной фигуры соответственно. Генератриса g – это гипотенуза BC. Эти соответствия позволяют записать формулу диаметра конуса через известные g и h:
d = 2*√(g2 – h2)
При записи этой формулы использовалась теорема Пифагора, а также определение диаметра, который в два раза больше радиуса основания конуса.
Если известен угол φ между основанием и любой из образующих g фигуры, тогда диаметр конуса можно определить по следующим формулам:
d = 2*g*cos(φ);
d = 2*h/tg(φ)
Оба равенства являются следствием применения определения тригонометрических функций тангенса и косинуса.
Вычисление диаметра через площадь поверхности и генератрису
Поверхность рассматриваемого конуса образована конической поверхностью и круглым основанием. Развертка конуса показана ниже.
Общая площадь развертки определяется по следующей формуле:
S = pi*r2 + pi*r*g
Если известна площадь S и генератриса g, тогда это уравнение позволяет вычислить радиус фигуры, а значит, и ее диаметр. Заметим, что речь идет об уравнении второго порядка относительно радиуса r. Решать его следует с использованием дискриминанта. При решении, как правило, получаются два корня, один из которых отрицательный. Он должен быть отброшен, ввиду его не физического значения.
С использованием описанной методики в конце статьи будет решена задача, и будет получен ответ на вопрос о том, чему равен диаметр конуса.
Определение диаметра через объем и высоту
Теперь покажем, как найти диаметр конуса, зная его объем V и высоту h. Для этого необходимо вспомнить, что объем конуса, как и объем любой пирамиды, можно определить, пользуясь следующим равенством:
V = 1/3*S*h
Здесь S – площадь основания. Поскольку площадь основания в рассматриваемом случае является площадью круга, то это выражение можно переписать в таком виде:
V = 1/3*pi*r2*h
Остается выразить отсюда радиус и умножить его в два раза, и мы получим ответ на вопрос о том, как найти диаметр конуса через величины V и h. Имеем:
r = √(3*V/(pi*h));
d = 2*r = 2*√(3*V/(pi*h))
Заметим, что в правой части получается размерность длины. Это доказывает правильность полученной формулы.
Все записанные в статье формулы для диаметра d фигуры также являются справедливыми для радиуса, который будет в два раза меньше диаметра.
Задача на определение диаметра через известную площадь конуса и его образующую
Дан конус, площадь поверхности которого составляет 150 см2. Генератриса равна 14 см. Чему равен диаметр конуса?
Для получения ответа на поставленный вопрос используем описанную в статье методику. Сначала выпишем соответствующее уравнение:
S = pi*r2 + pi*r*g =>
r2 + 14*r – 150/3,14 = 0
При получении последнего равенства мы разделили левую и правую его части на число Пи. Рассчитываем дискриминант D. Имеем:
D = 142 – 4*1*(-150/3,14) = 387,0828
Полученный дискриминант приведен с точностью до 0,0001. Формула для корней уравнения r имеет следующий вид:
r = (-14±√D)/2
Очевидно, что один из корней будет отрицательным. Его не будем вычислять. Определим лишь искомый положительный радиус фигуры:
r = (-14+√387,0828)/2 = 2,837 см
Чтобы найти диаметр конуса, остается умножить это значение на два и записать ответ: d = 5,674 см.
В конце отметим, что, зная два любых параметра круглого конуса прямого, можно определить любую его характеристику, включая объем и площадь поверхности.
