Как найти средний квадрат статистика

Средняя квадратическая

Используется в тех случаях, когда при
замене индивидуальных значений признака
на среднюю величину необходимо сохранить
неизменной сумму квадратов исходных
величин.

Главная сфера её использования –
измерение степени колеблемости
индивидуальных значений признака
относительно средней арифметической
(среднее квадратическое отклонение).
Кроме этого, средняя квадратическая
применяется в тех случаях, когда
необходимо вычислить средний величину
признака, выраженного в квадратных или
кубических единицах измерения (при
вычислении средней величины квадратных
участков, средних диаметров труб, стволов
и т. д.).

Средняя квадратическая рассчитывается
в двух формах:

– как простая

(4.21)

как взвешенная

(4.22)

Все степенные средние различаются
между собой значениями показателя
степени.При этом, чем выше
показатель степени, тем большеколичественное значение среднего
показателя:

(4.23)

Это свойство степенных средних называется
свойством мажорантности средних.

Таким образом, выбор вида среднего
показателя оказывает существенное
влияние на его численную величину. Выбор
вида средней определяется в каждом
отдельном случае путем анализа исследуемой
совокупности, изучения содержания
явления. Степенная средняя выбрана
правильно, если на всех этапах
вычислений не меняется её логическая
формула, т.е. реально сохраняется
социально-экономическое содержание
усредняемого признака.

Особый вид средних показателей –
структурные средние. Они
используются при изучении внутреннего
строения рядов распределения значений
признака. К ним относятся мода и медиана.

Мода и медиана характеризуют значение
признака у статистической единицы,
занимающей определенное положение в
вариационном ряду.

Мода (Mo)
– наиболее часто встречаемое значение
признака в совокупности. Мода
широко используется в статистической
практике при изучении
покупательского спроса, регистрации
цен и др.

Медиана (Me)
– значение
признака у статистической единицы,
стоящей в середине ранжированного ряда
и делящей совокупность на две равные
по численности части.

Для дискретных вариационных
рядов Mo
и Me
выбираются в
соответствии с определениями: мода –
как значение признака с наибольшей
частотой
n_i
; положение медианы
при нечетном объеме совокупности
определяется ее номером
,
гдеN
– объем статистической совокупности.
При четном объеме ряда медиана равна
средней из двух вариантов, находящихся
в середине ряда.

Медиану используют как
наиболее надежный показатель типичного
значения неоднородной
совокупности, так как она нечувствительна
к крайним
значениям признака, которые могут
значительно отличаться от
основного массива
его значений. Кроме этого, медиана
находит практическое
применение вследствие особого
математического свойства:
.

Рассмотрим определение
моды и медианы на следующем примере:

Имеется ряд распределения
рабочих участка по уровню квалификации.
Данные приведены в таблице 4.4.

Таблица 4.4 – Распределения рабочих
участка по уровню квалификации

№ группы	Разряд рабочих	Число рабочих	Накопленная частота
1	1	3	3
2	2	5	8
3	3	9	17
4	4	14	31
5	5	10	41
6	6	9	50
Всего	–	50	–

Мода выбирается по
максимальному значению частоты: при
n_max
= 14,
Mo
= 4, т.е. чаще всего
встречается 4-ый разряд. Для нахождения
медианы Me
определяются
центральные единицы (N
+1)/2
. Это 25 и 26-ая единицы.
По накопленным частотам определяется
группа, в которую попадают эти единицы.
Это 4-ая группа, в которой значение
признака равно 4. Таким образом, Me
= 4, это означает,
что у половины рабочих разряд ниже 4-го,
а у другой – выше четвертого.

В интервальном ряду значения
Mo
и Me
вычисляются более
сложным путем.

Мода определяется следующим образом:

• По
максимальному значению частоты
определяется интервал, в котором
находится значение моды. Он называется
модальным.

• Внутри
модального интервала значение моды
вычисляется по формуле:

(4.24)

где
–
нижняя граница модального интервала;

a_Мо
– ширина модального
интервала;

n_Мо
,
n_Мо-1,

n_Мо+1
– соответственно
частоты модального, предмодального
(предшествующего модальному) и
постмодального (следующего за модальным)
интервалов.

Для расчета медианы в интервальных
рядах используется следующий подход:

• По
накопленным частотам находится медианный
интервал.

Медианным называется интервал, содержащий
центральную единицу.

• Внутри
медианного интервала значение Me
определяется по
формуле:

(4.25)

где
–
нижняя граница медианного интервала;

a_Ме
-ширина медианного
интервала;

N – объем статистической совокупности;

N
_Ме-1–
накопленная частота предмедианного
интервала;

n
_Ме
– частота медианного
интервала.

Расчет моды и медианы для
интервального ряда распределения
рассмотрим на примере ряда распределения
рабочих по стажу (табл. 4.5).

Таблица 4.5 – Распределение рабочих
участка по стажу

№ группы	Интервал	аi	ni	Ni
1	0	4	4	6	6
2	4	8	4	8	14
3	8	12	4	11	25
4	12	16	4	13	28
5	16	20	4	6	44
6	20	24	4	4	48
7	24	28	4	2	50
Всего	0	28	28	50	–

Расчет Mo:

• Максимальная частота
n_max
= 13, она
соответствует четвертой группе,
следовательно, модальным является
интервал с границами 12 – 16 лет.

• Моду рассчитаем по формуле:

Чаще всего встречаются рабочие со стажем
работы около 13 лет.

Мода не находится в середине модального
интервала, она смещена к его нижней
границе, связано это со структурой
данного ряда распределения (частота
предмодального интервала значительно
больше частоты постмодального интервала).

Расчет медианы:

• По графе накопленных частот определяется
медианный интервал. Он содержит 25 и
26-ую статистические единицы, которые
находятся в разных группах – в 3-ей и
4-ой. Для нахождения Me
можно использовать любую из них.
Расчет проведем по 3-ей группе:

Такое же значение Me
можно получить при её расчете по
4-ой группе:

При сдвоенном центре Me
всегда находится на стыке
интервалов, содержащих центральные
единицы. Вычисленное значениеMe
показывает, что у первых 25 рабочих
стаж работы – менее 12 лет, а у оставшихся
25-ти, следовательно, – более 12 лет.

Моду можно определить графически по
полигону распределения в дискретных
рядах, по гистограмме распределения –
в интервальных, а медиану – по кумуляте.

Для нахождения моды в интервальном ряду
правую вершину модального прямоугольника
нужно соединить с правым верхним углом
предыдущего прямоугольника, а левую
вершину – с левым верхним углом
последующего прямоугольника. Абсцисса
точки пересечения этих прямых и будет
модой распределения.

Для определение медианы высоту наибольшей
ординаты кумуляты, соответствующей
общей численности совокупности, делят
пополам. Через полученную точку проводят
прямую, параллельную оси абсцисс, до
пересечения ее с кумулятой. Абсцисса
точки пересечения является медианой.

Кроме Mo иMe в вариантных
рядах могут быть определены и другие
структурные характеристики – квантили.
Квантили предназначены для более
глубокого изучения структуры ряда
распределения.Квантиль – это
значение признака, занимающее определенное
место в упорядоченной по данному признаку
совокупности. Различают следующие виды
квантилей:

– квартили – значения признака,
делящие упорядоченную совокупность на
4 равные части;

– децили – значения признака, делящие
совокупность на 10 равных частей;

– перцентели – значения признака,
делящие совокупность на 100 равных частей.

Таким образом, для характеристики
положения центра ряда распределения
можно использовать 3 показателя: среднее
значениепризнака,мода, медиана.

При выборе вида и формы конкретного
показателя центра распределения
необходимо исходить из следующих
рекомендаций:

– для устойчивых социально-экономических
процессов в качестве показателя центра
используют среднюю арифметическую.
Такие процессы характеризуются
симметричными распределениями, в которых

= Me
= Mo;

– для неустойчивых процессов положение
центра распределения характеризуется
с помощью Mo илиMe. Для
асимметричных процессов предпочтительной
характеристикой центра распределения
является медиана, поскольку она занимает
положение между средней арифметической
и модой.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В данной статье я расскажу о том, как найти среднеквадратическое отклонение. Этот материал крайне важен для полноценного понимания математики, поэтому репетитор по математике должен посвятить его изучению отдельный урок или даже несколько. В этой статье вы найдёте ссылку на подробный и понятный видеоурок, в котором рассказано о том, что такое среднеквадратическое отклонение и как его найти.

Среднеквадратическое отклонение дает возможность оценить разброс значений, полученных в результате измерения какого-то параметра. Обозначается символом  (греческая буква «сигма»).

Формула для расчета довольно проста. Чтобы найти среднеквадратическое отклонение, нужно взять квадратный корень из дисперсии. Так что теперь вы должны спросить: “А что же такое дисперсия?”

Что такое дисперсия

Определение дисперсии звучит так. Дисперсия — это среднее арифметическое от квадратов отклонений значений от среднего.

Чтобы найти дисперсию последовательно проведите следующие вычисления:

• Определите среднее (простое среднее арифметическое ряда значений).
• Затем от каждого из значений отнимите среднее и возведите полученную разность в квадрат (получили квадрат разности).
• Следующим шагом будет вычисление среднего арифметического полученных квадратов разностей (Почему именно квадратов вы сможете узнать ниже).

Рассмотрим на примере. Допустим, вы с друзьями решили измерить рост ваших собак (в миллиметрах). В результате измерений вы получили следующие данные измерений роста (в холке): 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм и 300 мм.

Порода собаки	Рост в миллиметрах
Ротвейлер	600
Бульдог	470
Такса	170
Пудель	430
Мопс	300

Вычислим среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Сперва найдём среднее значение. Как вы уже знаете, для этого нужно сложить все измеренные значения и поделить на количество измерений. Ход вычислений:

Среднее   мм.

Итак, среднее (среднеарифметическое) составляет 394 мм.

Теперь нужно определить отклонение роста каждой из собак от среднего:

   

Наконец, чтобы вычислить дисперсию, каждую из полученных разностей возводим в квадрат, а затем находим среднее арифметическое от полученных результатов:

Дисперсия мм².

Таким образом, дисперсия составляет 21704 мм².

Как найти среднеквадратическое отклонение

Так как же теперь вычислить среднеквадратическое отклонение, зная дисперсию? Как мы помним, взять из нее квадратный корень. То есть среднеквадратическое отклонение равно:

мм (округлено до ближайшего целого значения в мм).

Применив данный метод, мы выяснили, что некоторые собаки (например, ротвейлеры) – очень большие собаки. Но есть и очень маленькие собаки (например, таксы, только говорить им этого не стоит).

Самое интересное, что среднеквадратическое отклонение несет в себе полезную информацию. Теперь мы можем показать, какие из полученных результатов измерения роста находятся в пределах интервала, который мы получим, если отложим от среднего (в обе стороны от него) среднеквадратическое отклонение.

То есть с помощью среднеквадратического отклонения мы получаем “стандартный” метод, который позволяет узнать, какое из значений является нормальным (среднестатистическим), а какое экстраординарно большим или, наоборот, малым.

Что такое стандартное отклонение

Но… все будет немного иначе, если мы будем анализировать выборку данных. В нашем примере мы рассматривали генеральную совокупность. То есть наши 5 собак были единственными в мире собаками, которые нас интересовали.

Но если данные являются выборкой (значениями, которые выбрали из большой генеральной совокупности), тогда вычисления нужно вести иначе.

Если есть значений, то:

Все остальные расчеты производятся аналогично, в том числе и определение среднего.

Например, если наших пять собак – только выборка из генеральной совокупности собак (всех собак на планете), мы должны делить на 4, а не на 5, а именно:

Дисперсия выборки =  мм².

При этом стандартное отклонение по выборке равно мм (округлено до ближайшего целого значения).

Можно сказать, что мы произвели некоторую “коррекцию” в случае, когда наши значения являются всего лишь небольшой выборкой.

Примечание. Почему именно квадраты разностей?

Но почему при вычислении дисперсии мы берём именно квадраты разностей? Допустим при измерении какого-то параметра, вы получили следующий набор значений: 4; 4; -4; -4. Если мы просто сложим абсолютные отклонения от среднего (разности) между собой … отрицательные значения взаимно уничтожатся с положительными:

.

Получается, этот вариант бесполезен. Тогда, может, стоит попробовать абсолютные значения отклонений (то есть модули этих значений)?

.

На первый взгляд получается неплохо (полученная величина, кстати, называется средним абсолютным отклонением), но не во всех случаях. Попробуем другой пример. Пусть в результате измерения получился следующий набор значений: 7; 1; -6; -2. Тогда среднее абсолютное отклонение равно:

.

Вот это да! Снова получили результат 4, хотя разности имеют гораздо больший разброс.

А теперь посмотрим, что получится, если возвести разности в квадрат (и взять потом квадратный корень из их суммы).

Для первого примера получится:

.

Для второго примера получится:

.

Теперь – совсем другое дело! Среднеквадратическое отклонение получается тем большим, чем больший разброс имеют разности … к чему мы и стремились.

Фактически в данном методе использована та же идея, что и при вычислении расстояния между точками, только примененная иным способом.

И с математической точки зрения использование квадратов и квадратных корней дает больше пользы, чем мы могли бы получить на основании абсолютных значений отклонений, благодаря чему среднеквадратическое отклонение применимо и для других математических задач.

О том, как найти среднеквадратическое отклонение, вам рассказал репетитор по математике в Москве, Сергей Валерьевич

Среднее квадратическое

Содержание:

• Определение среднего квадратического
• Свойства среднего квадратического
• Расчет среднего квадратического
• Прикладное значение среднего квадратического

Среднее квадратическое, как правило, используется тогда, когда смысловое значение имеет квадрат от значений исходной последовательности.
Рассмотрим такую задачу:
Из конверта выпало 2 квадратика со стороной 1 см, затем большой квадратик со стороной 4 см и еще 2 односантиметровых – всего 5 квадратиков.

Какова должна быть сторона у 5 одинаковых квадратиков, занимающих ту же площадь (рисунок на заставке)?
Если предположить, что это будет средняя длина сторон исходных квадратиков

(1+1+4+1+1)/5 = 1,6

то сильно ошибемся: S_{общ ср дл} = (1,6)² × 5 = 12,8.
В то время как

S_{общ кв} = (1)²+(1)²+(4)²+(1)²+(1)²=20; 20 > 12,8

Значит длина стороны одинаковых квадратиков должна быть равна корню квадратному из S_{общ кв}/5, то есть (20/5)^1/2 = (4)^1/2 = 2 (см) – эта длина и есть среднее квадратическое от сторон квадратов!
Прежде чем начать онлайн расчеты будет уместно вспомнить строгое определение предмета счета:

Среднее квадратическое значение множества заданных чисел определяется как число равное квадратному корню от суммы квадратов этих чисел, делённой на их количество:

a_{ср.квадр} = 

√

Можно сказать, что среднее квадратическое равно квадратному корню из среднего арифметического^[1] квадратов заданных чисел a₁+ a₂+ …+ a_n и является частным случаем среднего степенного^[2].

Свойства среднего квадратического

1. Среднее квадратическое значение множества заданных неотрицательных чисел лежит между минимальным и максимальным числами из этого множества.

2. Кроме того среднее квадратическое подчиняется неравенству о средних, то есть для любого множества чисел оно не меньше среднего арифметического:

  ≤  

√

Расчет среднего квадратического

Для начала расчета введите исходные числа в одно из полей ввода-вывода данных.
В первое поле можно ввести последовательность чисел, разделенных точкой с запятой (программа попытается так же преобразовать к стандартному виду, например, вставленную копию последовательности чисел с плавающей точкой, разделенных пробелами, запятой или точкой с запятой).
Во второе поле можно вводить числа по одному – они автоматически будут добавляться к данным первого поля, если расчет не запустился автоматически, кликните по зеленой кнопке, показывающей количество чисел в исследуемом массиве:
 

ВНИМАНИЕ! При перезагрузке страницы введенная информация не сохраняется, если Вы не сгенерировали код для записи результатов работы в командной строке:

Сохранить расчет среднего квадратического в истории браузера

Адресную строку с кодом из Ваших данных Вы можете можете переслать на любое устройство и воспроизвести на нем результаты расчетов

После того как будут введены хотя бы два исходных числа цвет квадратной кнопки на поле ввода данных должен поменяться с оранжевого на зеленый и автоматически начнется расчет среднего квадратического и сопутствующих параметров, если это не произошло, то кликните по зеленому полю кнопки.

Прикладное значение среднего квадратического

Среднее квадратическое от отклонений значений исследуемых данных находит широкое прикладное применение в метрологии и статистике.
При обработке результатов измерений во многих случаях их окончательные значения определяются как среднее арифметическое от значений, полученных в результате эксперимента, при этом среднеквадратическое отклонение^[3],[4] величин будет являться оценкой ошибки измерений.
В свою очередь на основе минимизации среднеквадратических отклонений в 19 веке был разработан метод наименьших квадратов, который нашел широкое применение в таких областях как статистический, регрессионный анализ, обработка экспериментальных данных и вычислительная математика.

P.S. На этой странице используется Бета версия программы расчета среднего квадратического, об обнаруженных недочетах, а так же возможных пожеланиях просьба сообщить на форум сайта (окно для входа на форум находится в нижней части страницы).

1. Среднее арифметическое значение (чаще используется термин, просто, “среднее арифметическое” или “среднее”) множества заданных чисел определяется как число равное сумме всех чисел множества, делённой на их количество:

a_{ср.арифм} =  

2. Среднее степенное значение   s_d  порядка (степени) d от множества заданных чисел a₁+ a₂+ …+ a_n определяется формулой:

s_d = 

(

)

1
d

Среднее арифметическое является степенным средним c d = 1, среднее квадратическое – d = 2, среднее гармоническое можно считать степенным средним порядка d = -1.

3. Если вычислено арифметическое среднее заданного множества чисел, то во многих случаях, становится желательной оценка рассеяния значений этих чисел относительно среднего. Оценка расходимости квадратов значений этих чисел от среднего и является оценкой дисперсии.
Вообще термин дисперсия появился в рамках теорий вероятностей. Одной из ее основополагающих характеристик является дисперсия случайной величины как мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания.
Не углубляясь в дебри Тер-Вера, здесь приводим только используемую для наших расчетов формулу дисперсии:

σ ² =  

4. Среднеквадратическое отклонение σ вычисляется как корень квадратный от дисперсий и возвращает нас в область сопоставимых со средним арифметическим величин:

σ = 

√

● Главная
▸ Статьи
▸ Блог
▸ Копилка
✔ Среднее квадратическое

Была ли эта статья полезной?

Среднее квадратическое (квадратичное)^[1] — число , равное квадратному корню из среднего арифметического квадратов данных чисел :

Среднее квадратическое — частный случай среднего степенного и потому подчиняется неравенству о средних. В частности, для любых чисел оно не меньше среднего арифметического:

Среднее квадратическое находит широкое применение во многих науках. В частности, через него определяется основное понятие теории вероятностей и математической статистики — дисперсия (квадратный корень из которой называется среднеквадратическим отклонением). Также тесно связан с этим понятием метод наименьших квадратов, имеющий общенаучное значение.

Примечания[править | править код]

Свойства[править | править код]

• Среднее квадратическое набора неотрицательных чисел лежит между минимальным и максимальным числами из этого набора.

В другом языковом разделе есть более полная статья Root mean square (англ.). Вы можете помочь проекту, расширив текущую статью с помощью перевода

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Добавить иллюстрации. Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.