Всего: 75 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–75
Добавить в вариант
Основания трапеции равны 1 и 11. Найдите бóльший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Основания трапеции равны 10 и 11. Найдите бóльший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 25, а основание BC равно 5. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средняя линия равна 10.
Углы при одном из оснований трапеции равны 77° и 13°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.
В трапеции ABCD AD = 5, BC = 2, а её площадь равна 28. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.
Наклонная балка поддерживается тремя столбами, стоящими вертикально на равном расстоянии друг от друга. Длины двух меньших столбов — 60 см и 90 см. Найдите длину большего столба. Ответ дайте в см.
Углы при одном из оснований трапеции равны 50° и 40°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 13. Найдите основания трапеции.
Основания трапеции равны 3 и 13. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку K. Докажите, что сумма площадей треугольников BKC и AKD равна половине площади трапеции.
Источник: Банк заданий ФИПИ
Углы при одном из оснований трапеции равны 47° и 43°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 16 и 14. Найдите основания трапеции.
Источник: Банк заданий ФИПИ
В трапеции ABCD известно, что AD = 6, BC = 2, а её площадь равна 32. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.
В трапеции ABCD известно, что AD = 5, BC = 1, а её площадь равна 51. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
В трапеции ABCD известно, что AD = 8, BC = 5, а её площадь равна 52. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.
В трапеции ABCD известно, что AD = 2, BC = 1, а её площадь равна 48. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.
В трапеции ABCD известно, что AD = 7, BC = 5, а её площадь равна 72. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Всего: 75 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–75
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)
Решение:
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:
frac{2+6}{2}=frac{8}{2}=4
Ответ: 4.
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 4.4 / 5. Количество оценок: 60
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com 😉
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!
В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.
- Запись опубликована:01.10.2021
- Рубрика записи18. Фигуры на квадратной решётке
- Автор записи:Andrei Maniakin
Вспомним,
какую фигуру называют трапецией.
Трапецией называется
четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не
параллельны.
Параллельные
стороны трапеции называют её основаниями, а две другие — боковыми
сторонами.
Известны
два частных случая трапеции. Равнобокая трапеция, у которой
боковые стороны равны. И прямоугольная трапеция, у которой один из углов
прямой.
К
слову, у такой трапеции будет два прямых угла.
Повторив
определение трапеции, введём понятие средней линии трапеции.
Средней
линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины
её боковых сторон.
Изобразим
средние линии трапеций изображённых на рисунке.
Для
этого сначала найдём их боковые стороны. Далее отметим точками их середины. Ну,
а потом проведем средние линии.
Выполним
задание. Пользуясь данными рисунков, указать пункты,
в которых является средней линией трапеции
.
На
первом рисунке точка М не является серединой боковой стороны AB,
поэтому МN не является средней
линией трапеции.
На
втором рисунке точки М и N
— середины сторон BC и AD,
но они являются основаниями трапеции. А по определению средняя линия трапеции
соединяет середины боковых сторон. Значит, в данном случае МN
не является средней линией.
На
третьем рисунке видим, что точки М и N
— середины боковых сторон. Причём по рисунку понятно, что эта трапеция —
равнобокая.
Так
получаем, что МN в данном случае —
средняя линия трапеции ABCD.
Посмотрев
на следующий рисунок, не трудно заметить, что МN
соединяет середину одного из оснований и середину одной из боковых сторон, а не
середины боковых сторон. Поэтому МN
не является средней линией.
На
рисунке под номером 5 точки М и N
середины боковых сторон АB
и CD трапеции ABCD.
Значит, МN — её средняя линия.
В
последнем случае точки М и N не
поровну делят боковые стороны трапеции, поэтому МN
не является её средней линией.
Мы
получили, что только на рисунках под номерами 3 и 5 изображены средние линии
трапеции.
Как
и средняя линия треугольника, средняя линия трапеции обладает определёнными свойствами.
Теорема. Средняя
линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство.
1.
2.
Что
и требовалось доказать.
Выполним
задание, где, пользуясь этой теоремой и данными рисунков, найдём длины средних
линий трапеций.
Длина
средней линии трапеции равна полусумме оснований.
На
рисунке а известны длины оснований. Поэтому не составит никакого труда найти,
что .
Перейдём
к рисунку б.
Известен
периметр трапеции, тогда можем записать,
.
В
последнем случае также дан периметр трапеции и известны боковые стороны.
Записав
периметр через стороны, и, подставив известные значения, можем выразить сумму
оснований.
Задача.
В трапеции найти
длины оснований и
,
если в
два раза больше и
длина средней линии равна
.
Решение.
Ответ:
мм,
мм.
Задача.
В прямоугольной трапеции
.
Найти длину средней линии ,
если ,
а угол .
Решение.
1.
2.
3.
4.
5.
Ответ:
.
Подведём
итоги нашего урока.
Сегодня
мы познакомились с понятием средней линии трапеции. Это отрезок, соединяющий
середины её боковых сторон.
При
этом мы выяснили, что средняя линия трапеции обладает следующими свойствами: она
параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.
Так
же мы рассмотрели примеры применения этих знаний при решении задач.
В этой статье для вас сделана очередная подборка задач с трапецией. Условия так или иначе связаны с её средней линией. Типы заданий взяты из открытого банка типовых задач. Если есть желание, то можете освежить свои теоретические знания связанные с трапецией. На блоге уже рассмотрены задачи условия которых связаны с площадью трапеции, а также с углами. Кратко о средней линии:
Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме.
Перед решением задач давайте рассмотрим теоретический пример.
Дана трапеция ABCD. Диагональ АС пересекаясь со средней линией образует точку К, диагональ BD точку L. Доказать, что отрезок KL равен половине разности оснований.
Давайте сначала отметим тот факт, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок концы которого лежат на её основаниях. Этот вывод напрашивается сам собой. Представьте отрезок соединяющий две точки оснований, он разобьёт данную трапецию на две других. Получится, что отрезок параллельный основаниям трапеции и проходящий через середину боковой стороны на другой боковой стороне пройдёт через её середину.
Так же это основывается на теореме Фалеса:
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.
То есть в данном случае К середина АС и L середина BD. Следовательно EK есть средняя линия треугольника АВС, LF есть средняя линия треугольника DCB. По свойству средней линии треугольника:
Можем теперь выразить отрезок KL через основания:
Доказано!
Данный пример приведён не просто так. В задачах для самостоятельного решения имеется именно такая задача. Только в ней не сказано, что отрезок соединяющий середины диагоналей лежит на средней линии. Рассмотрим задачи:
27819. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 30 и 16.
Вычисляем по формуле:
Ответ: 23
27820. Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.
Выразим большее основание:
Таким образом:
Ответ: 38
27836. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Для того, чтобы найти среднюю линию необходимо знать основания. Основание АВ найти просто: 10+4=14. Найдём DC.
Построим второй перпендикуляр DF:
Отрезки AF, FE и EB будут равны соответственно 4, 6 и 4. Почему?
В равнобедренной трапеции перпендикуляры опущенные к большему основанию разбивают его на три отрезка. Два из них, являющиеся катетами отсекаемых прямоугольных треугольников, равны друг другу. Третий отрезок равен меньшему основанию, так как при построении указанных высот образуется прямоугольник, а в прямоугольнике противолежащие стороны равны. В данной задаче:
Таким образом DC=6. Вычисляем:
Ответ: 10
27839. Основания трапеции относятся 2:3, а средняя линия равна 5. Найдите меньшее основание.
Введём коэффициент пропорциональности х. Тогда АВ=3х, DC=2х. Можем записать:
Следовательно меньшее основание равно 2∙2=4.
Ответ: 4
27840. Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.
Исходя из условия можем записать:
Если обозначить среднюю линию через величину х, то получится:
Второе уравнение уже можно записать в виде:
Ответ: 20
27841. Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите большее основание трапеции.
Обозначим меньшее основание (DC) как х, тогда большее (AB) будет равно х+4. Можем записать
Получили, что меньшее основание рано пяти, значит большее равно 9.
Ответ: 9
27842. Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2. Найдите большее основание трапеции.
Большее основание трапеции мы без труда найдём если вычислим отрезок ЕО. Он является средней линией в треугольнике ADB, и АВ=2∙ЕО.
Что имеем? Сказано что средняя линия равна 12 и разность отрезков ЕО и ОF равна 2. Можем записать два уравнения и решить систему:
Понятно, что в данном случае подобрать пару чисел можно без вычислений, это 5 и 7. Но, всё-таки, решим систему:
Значит ЕО=12–5=7. Таким образом, большее основание равно АВ=2∙ЕО=14.
Ответ: 14
27844. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.
Сразу отметим, что высота проведённая через точку пересечения диагоналей в равнобедренной трапеции лежит на оси симметрии и разбивает трапецию на две равные прямоугольные трапеции, то есть основания этой высотой делятся пополам.
Казалось бы, для вычисления средней линии мы должны найти основания. Тут небольшой тупик возникает… Как зная высоту, в данном случае, вычислить основания? А ни как! Таких трапеций с фиксированной высотой и диагоналями пересекающимися по углом 90 градусов можно построить множество. Как быть?
Посмотрите на формулу средней линии трапеции. Ведь нам необязательно знать сами основания, достаточно узнать их сумму (или полусумму). Это мы сделать можем.
Так как диагонали пересекаются под прямым углом, то высотой EF образуются равнобедренные прямоугольные треугольники:
При чём:
Из выше сказанного следует, что FO=DF=FC, а OE=AE=EB. Теперь запишем чему равна высота выраженная через отрезки DF и AE:
Таким образом, средняя линия равна 12.
*Вообще это задачка, как вы поняли, для устного счёта. Но, уверен, представленное подробное объяснение необходимо. А так… Если взглянуть на рисунок (при условии, что при построении соблюдён угол между диагоналями), сразу в глаза бросается равенство FO=DF=FC, а OE=AE=EB.
Ответ: 12
В составе прототипов имеется ещё типы заданий с трапециями. Построена она на листе в клетку и требуется найти среднюю линию, сторона клетки обычно равна 1, но может быть другая величина.
27848. Найдите среднюю линию трапеции ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.
Всё просто, вычисляем основания по клеткам и используем формулу: (2+4)/2=3
Ответ: 3
Если же основания построены под углом к клеточной сетке, то есть два способа. Например!
28854.Найдите среднюю линию трапеции ABCD, если стороны квадратных клеток равны √2.
В данном случае видно, что средняя линия трапеции равна трём диагоналям клетки. Диагональ одной клетки по теореме Пифагора будет равна:
Значит средняя линия равна 2∙3=6.
Конечно, есть и другой путь решения.
Если допустить мысль, что основания трапеции могут лежать по отношению к сетке под углом не 45 градусов, а например 30, или другим, то вполне применим следующий метод (таких задач на ЕГЭ не предвидится):
Вычисляем основания используя теорему Пифагора, а далее используем формулу средней линии.
Основание AD при данных условиях это диагональ в прямоугольном треугольнике с катетами равными 4 сторонам клетки, вычисляем:
Основание BC это диагональ в прямоугольном треугольнике катетами равными 2 сторонам клетки, вычисляем:
Средняя линия будет равна (8+4)/2=6.
*То есть при данном подходе, как бы ни была построена трапеция всегда можно вычислить основания.
Ответ: 6
27853. Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны √2.
Высота трапеции равна диагонали клетки. Вычисляем по теореме Пифагора:
Ответ: 2
27821. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
Посмотреть решение
27838.Периметр трапеции равен 50, а сумма непараллельных сторон равна 20. Найдите среднюю линию трапеции.
Посмотреть решение
27843. Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Посмотреть решение
На этом всё, успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P,S: Расскажите о сайте в социальных сетях.
