Как найти среднюю линию треугольника известно основание

Знаете ответ?

Как найти среднюю линию треугольника?

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Понятие треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

• Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
• Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
• Тупоугольный. Один угол тупой, два других — острые.

Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.

Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Свойства треугольников:

• В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
• Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
• Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Понятие средней линии треугольника

Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.

​Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.

​Основанием считается сторона, которой параллельна средняя линия.

Как найти среднюю линию треугольника — расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.

Понятие средней линии прямоугольного треугольника

Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.

Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.

В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.

Свойства средней линии треугольника

Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

Свойства:

1. Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.
2. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
3. Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.
4. Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.

Теорема о средней линии треугольника

Теорема о средней линии треугольника звучит так:

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:

Докажем теорему:

По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC

Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.

(по второму признаку подобия треугольников).

△ABC, то Следовательно, ВС = 2МN. Значит, доказано, что средняя линия равна половине основания.

△ABC, то ∠1 = ∠2 . Так как ∠1 и ∠2 — соответственные углы, то по признаку параллельности прямых MN || BC.

Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.

Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, K, N — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Найти периметр ΔMNK.

Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии, которые образуют треугольник ΔMNK. Найдем их длины по теореме о средней линии:

Ответ: периметр треугольника ΔMNK равен 10.

Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть две средние линии: MN и NP, равные 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов:

Так как MN — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета AC:

Значит, AC = 2MN = 2 × 3 = 6.

Так как NP — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета BC:

Значит, BC = 2NP = 2 × 4 = 8.

Тогда найдем площадь большого треугольника, используя формулу, указанную выше:

S = ½ × 6 × 8 = ½ × 48 = 24.

Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 24.

Что такое средняя линия треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии треугольника, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания теоретического материала.

Определение средней линии треугольника

Отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

• KL – средняя линия треугольника ABC
• K – середина стороны AB: AK = KB
• L – середина стороны BC: BL = LC

Свойства средней линии треугольника

Свойство 1

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон (которую не пересекает) и в два раза меньше этой стороны.

На рисунке выше:

Свойство 2

Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник (в соотношении 1:2), площадь которого в 4 раза меньше исходного.

На рисунке выше:

• △KBL ∼ △ABC (подобие по пропорциональности всех сторон)
• Стороны △KBL в два раза меньше соответствующих сторон △ABC:
  AB = 2KB, BC = 2BL, AC = 2KL.
• S_△ABC = 4 ⋅ S_△KBL

Свойство 3

В любом треугольнике можно провести три средние линии.

KL, KM и ML – средние линии треугольника ABC.

Свойство 4

Три средние линии треугольника делят его на 4 равных по площади треугольника.

Признак средней линии треугольника

Отрезок, проходящий через середину одной из сторон треугольника, пресекающий вторую и параллельный третьей стороне, является средней линией этого треугольника.

Пример задачи

Дан треугольник, две стороны которого равны 6 и 8 см. Найдите длину средней линии, соединяющей эти стороны.

Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным, причем известные значения – это длины катетов. Средняя линия, которая соединяет катеты, параллельна гипотенузе и равна половине ее длины.

Мы можем найти гипотенузу, воспользовавшись теоремой Пифагора.

BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
BC = 10.

Таким образом, средняя линия LM = 1 /₂ ⋅ BC = 1 /₂ ⋅ 10 = 5.

Длина средней линии треугольника – формула, признаки подобия и свойства

Фигура с тремя вершинами

Прежде чем понять, как найти ср. линию треугольника, необходимо рассмотреть фигуру, о которой пойдет речь. Каждый человек, даже плохо знакомый с геометрией, все же отчетливо представляет объект на плоскости, состоящий из трех вершин и трех сторон. Каждая вершина соединяется с двумя другими прямыми отрезками. Они называются сторонами.

Существующие типы

Рассматриваемый геометрический объект бывает нескольких типов. Наиболее известные из них следующие:

• равносторонний, у которого все стороны и углы равны между собой;
• равнобедренный, который имеет лишь две равные по длине стороны и отличающуюся от них третью;
• прямоугольный, у которого один из трех углов составляет 90 градусов, то есть является прямым.

Одним из важных свойств рассматриваемой фигуры произвольного типа является равенство 180 градусам суммы его трех углов. Именно по этой причине фигура может иметь либо три острых угла, либо один тупой и два меньше 90 градусов. Два прямых угла он также не может иметь, поскольку третья вершина должна будет лежать в бесконечности, чтобы иметь нулевой угол (90 + 90 + 0 = 180).

Основные геометрические элементы

К ним относятся типичные для треугольника отрезки, которые обладают определенными характеристиками. Наиболее известны из них следующие:

1. Медиана. Она опускается из любой из трех вершин на середину противоположной стороны. Медиана делит треугольник на две равные по площади части, а точка пересечения трех подобных отрезков является геометрическим и гравитационным центром фигуры.
2. Биссектриса. Этот отрезок делит пополам угол вершины, из которой он проведен.
3. Высота. Она представляет собой перпендикулярный к противоположной стороне отрезок, опущенный из любой вершины треугольника. Высота делит фигуру на два прямоугольных геометрических объекта, сама является общей для них стороной и катетом.
4. Средняя линия. Это отрезок, который соединяет любые две точки треугольника, лежащие на серединах его сторон. В рассматриваемой фигуре можно провести три различных таких линии.

В общем случае первые три линейных элемента из списка не совпадают друг с другом, однако для определенных типов треугольников они могут быть одинаковыми. Например, для равносторонней фигуры не существует разницы между биссектрисами, медианами и высотами.

В случае треугольника равнобедренного лишь биссектриса, выходящая из вершины, образованной одинаковыми сторонами, также является медианой и высотой одновременно.

Признаки подобия

Важно рассмотреть признаки подобия треугольников, чтобы понимать все свойства, связанные со средним отрезком фигуры. Подобными являются геометрические объекты, которые имеют полностью идентичную форму, но разный размер. Например, два любых квадрата всегда подобны друг другу, поскольку один из них является увеличенной/уменьшенной копией другого.

Применительно к треугольникам существуют следующие признаки их подобия:

1. Равенство любых двух углов. Поскольку сумма трех углов является величиной постоянной, то этот признак свидетельствует о факте равенства всех трех рассматриваемых элементов.
2. Одинаковое соотношение всех трех сторон. Например, даны треугольники ABC и A1B1C1, для которых справедливо равенство: AB/A1B1 = BC/B1C1 = AC/A1C1 = k. Это означает, что обе фигуры подобны друг другу, при этом коэффициент их подобия равен k.
3. Существует коэффициент подобия для двух любых сторон рассматриваемых треугольников, а угол между ними является одинаковым. Математически это записывается так: A = A1 и AB/A1B1=AC/A1C1 = k.

Любой из этих признаков является достаточным, чтобы подтвердить подобие двух изучаемых треугольников. При доказательстве свойств среднего отрезка используют отмеченные признаки.

Средняя линия

Чтобы понять, как найти середину треугольника, можно воспользоваться обычной линейкой. Для этого необходимо выбрать произвольные две стороны фигуры. Затем отметить на каждой из них точки, отстоящие на одинаковом расстоянии от соответствующих вершин, которые ограничивают данную сторону. Полученные две точки следует соединить, чтобы начертить средний отрезок. Его название является интуитивно понятным каждому, поскольку он соединяет середины двух сторон.

Важные свойства

Существует три основных свойства, которыми обладает рассматриваемый отрезок. Пусть имеется треугольник произвольного типа ABC, в котором точки P и Q лежат на серединах сторон AB и AC соответственно. При таком обозначении отрезок PQ будет средней линией треугольника ABC. Справедливы следующие геометрические свойства:

1. Полученный треугольник APQ является подобным исходной фигуре ABC. Доказать это утверждение несложно, если обратить внимание на два факта: во-первых, угол A у обеих фигур является общим, во-вторых, отношение AB/AP равно величине AC/AQ и составляет 2 согласно выполненным геометрическим построениям. Таким образом, выполняется один из признаков подобия.
2. Длина средней линии PQ оказывается в два раза меньше, чем сторона BC. Кроме того, оба отрезка параллельны друг другу. Утверждение о равенстве PQ = ½*BC следует из факта подобия треугольников APQ и ABC, коэффициент которых составляет 2. Это равенство также можно доказать, если воспользоваться координатным методом.
3. Треугольник APQ имеет в 4 раза меньшую площадь, чем исходная фигура ABC.

Утверждение № 3 из списка справедливо для произвольного треугольника. Для его доказательства следует воспользоваться формулой Герона. Согласно ей, площадь рассматриваемой фигуры может быть вычислена следующим образом:

Здесь p = (a+b+c)/2 — полупериметр фигуры. Буквами a, b и c обозначены длины ее сторон. Пусть таким же образом обозначаются стороны для треугольника ABC. Тогда для фигуры APQ они будут иметь длины a/2, b/2 и c/2. Полупериметр для APQ составит величину p1 = (a+b+c)/4 = ½*p. Теперь необходимо подставить все известные величины в формулу Герона, получается площадь S1:

Иными словами, площадь треугольника APQ составляет четвертую часть от этой величины для ABC.

Решение задачи

В треугольнике ABC проведен средний отрезок PQ, граничные точки которой P и Q находятся на сторонах AB и AC соответственно. Необходимо с использованием метода координат доказать, что эта линия имеет в два раза меньшую длину, чем сторона BC.

Прежде чем находить решение этой задачи, следует обозначить координаты вершин исходной фигуры. Они будут следующие:

Поскольку точка P делит ровно пополам сторону AB, то для нахождения ее координат необходимо провести следующие вычисления:

Аналогичным образом рассчитываются координаты точки Q:

Вспоминая формулу для длины вектора, координаты конца и начала которого известны, для средней линии PQ можно произвести следующие вычисления:

PQ = (((x1+x3)/2 — (x1+x2)/2)^2 + ((y1+y3)/2 — (y1+y2)/2)^2)^0,5 = ½*((x3-x2)^2 + (y3-y2)^2)^0,5.

В свою очередь, длина стороны BC равна:

BC = ((x3-x2)^2 + (y3-y2)^2)^0,5.

Из сопоставления этих двух равенств следует искомая формула, которую требовалось доказать:

Поскольку в процессе доказательства были использованы произвольные координаты для вершин треугольника, полученный вывод является общим и универсальным для любого типа рассматриваемых фигур.

Срединный треугольник

Это особый вид фигуры с тремя вершинами, который строится на средних линиях. Поскольку любой треугольник имеет всего три линии указанного вида, то вместе они образуют новую фигуру, вершины которой расположены на серединах сторон исходной.

Построенный геометрический объект делит исходную фигуру на четыре одинаковые части. Доказать это можно следующим образом: если начертить срединный треугольник и обозначить черточками все его стороны, а также длины сторон исходного геометрического объекта, то можно увидеть, что сам он, а также три других фигуры при вершинах исходной имеют по три одинаковых стороны. Иными словами, выполняется признак их подобия. Равенство сторон всех четырех фигур говорит об одинаковом значении их площадей.

Еще одним интересным свойством срединной фигуры является возможность построения внутри нее точно такого же геометрического объекта. Он также будет подобен исходному треугольнику, но уже будет иметь в 8 раз меньшую площадь. Если продолжать такие геометрические построения, то площади срединных треугольников будут становиться все меньше, а пространство на плоскости, которое они будут покрывать, стремится к гравитационному центру исходной фигуры.

Таким образом, формула длины средней линии получается исходя из признака подобия треугольников по углу и двум прилежащим сторонам. Она всегда составляет половину от противоположной стороны. При выполнении геометрического построения срединного треугольника образуются четыре новых фигуры, которые подобны исходной. Гравитационные центры первоначального геометрического объекта и срединной фигуры совпадают.

[spoiler title=”источники:”]

http://nauka.club/matematika/geometriya/dlina-sredney-linii-treugolnika.html

[/spoiler]

Треугольник — геометрическая фигура, составленная из трёх отрезков. Они объединены тремя точками, не
лежащие в единственной прямой. Такие отрезки обычно именуют сторонами, а заданные точки — вершинами.
Средняя линия такого многоугольника — отрезок, объединяющий средины двух сторон.

Во всяком
треугольнике можно проложить три средних линии. В прямоугольном многоугольнике такой отрезок
равняется половине основания. Средняя линия прямоугольного треугольника разделяет его на четыре
прямоугольных треугольника. Существует и признак срединного отрезка треугольника: если отрезок в
многоугольнике пролегает через средину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен ей, тогда
такой отрезок называется средней линией.

Выделяют свойства срединного отрезка:

• Средняя линия равняется половине длины основания и параллельна ему;
• Этот отрезок отделяет треугольник, подобный заданному с коэффициентом 0.5, а его площадь
  равняется четверти площади заданной фигуры;
• Три средние линии дробят заданный многоугольник на четыре других, эквивалентных друг другу.
  Находящуюся по центру фигуру именуют дополнительной.

Через сторону

Срединный отрезок равняется половине противолежащей стороны. Следовательно, формула выглядит так:

m = a/2

где a — противолежащая сторона.

Следовательно, если такая сторона будет равна 50, то срединный отрезок будет равен m = 50/2 = 25. Если же сторона будет равна 20, тогда срединный отрезок
будет рассчитываться так: m = 20/2 = 10.

Средняя линия равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Срединный отрезок равностороннего многоугольника через радиус вписанной окружности высчитывается
так:

m = r√3

где r — радиус вписанной окружности.

Таким образом, если радиус такой окружности равняется 5, тогда m= 5√3 ≈ 8,66. Если же радиус будет равен, допустим, 9, в таком случае
m = 9√3 ≈ 15,59.

Средняя линия треугольника через площадь и высоту

Срединный отрезок многоугольника равен частному площади и высоты, перпендикулярной этой средней
линии. Таким образом, тождество имеет такой вид:

m = S/h

где S — это площадь, а h — перпендикуляр, ортогональный срединному отрезку.

Если площадь некоторого многоугольника будет равна 25, а перпендикуляр — 5, тогда m = 25/5 = 5. Если
же в качестве площади взять число 60, а в качестве перпендикуляра — 3, получится следующий срединный
отрезок: m = 60/3 = 20.

Средняя линия равностороннего треугольника через высоту

Срединный отрезок равностороннего многоугольника через перпендикуляр высчитывается следующим
образом:

m = h/√3

где h — перпендикуляр равностороннего многоугольника.

К примеру, если перпендикуляр равностороннего многоугольника равен 5, тогда срединный отрезок будет
такой: m = 5/√3 ≈ 2,89.
Если же перпендикуляр будет равен 10, тогда
срединный отрезок будет около m = 10/√3 ≈ 5,77.

Средняя линия равнобедренного треугольника через боковую сторону и высоту

Срединный отрезок равнобедренного многоугольника через боковую сторону и высоту вычисляется следующим
образом:

m = a² – h²

где a — боковая сторона, а h — перпендикуляр.

Допустим, если боковая сторона многоугольника равна 5, а перпендикуляр — 3, тогда m = 25 – 9 = 16.
Если же в качестве боковой стороны взять число 8, а в качестве перпендикуляра равнобедренного
многоугольника — 2, в таком случае m = 64 – 4 = 60.

Средняя линия равностороннего треугольника через площадь

Срединный отрезок равнобедренного многоугольника через площадь находится по следующей формуле:

m = 1/4 √(√3/S)

где S — это площадь равностороннего многоугольника.

Допустим, если площадь равностороннего многоугольника будет равна 5, тогда m = 1/4 √(√3/5) ≈ 0,15.
Если выбрать равносторонний многоугольник побольше, к примеру, с площадью 25, в таком случае m = 1/4 √(√3/25) ≈ 0,065.

Средняя линия равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Срединный отрезок равностороннего многоугольника через радиус описанной окружности высчитывается
так:

m = R√3/2

где R — радиус описанной окружности.

Следовательно, если радиус такой окружности будет равен 15, тогда m = 15√3/2 =12,99. Если в качестве
радиуса взять число 24, в таком случае m = 24√3/2 = 20,78.

Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, который объединяет средины двух сторон представленной
фигуры. Такой термин используется при описании треугольников, четырёхугольников и трапеций. В
некоторых случаях рассматривается вырожденный треугольник, три вершины которого пролегают на
единственной прямой. Треугольник считается одной из основных геометрических фигур, повсюду
применяемых в науке и технике, потому изучение его качеств велось с давних времён.

Решение. Пусть ABCD — таблица, а ее средняя линия, lm — определенное сечение (рис. 7). Поскольку AE = EB, по теории Талиса выполняется следующее равенство: ln= nm, что и требовалось доказать.

Понятие треугольника

Треугольники — это геометрические фигуры, возникающие из трех отрезков. Они соединены с тремя точками, которые не лежат на прямой линии. Отрезки называются сторонами, а точки — вершинами.

• Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
• Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
• Тупоугольный. Один угол тупой, два других — острые.

Треугольник является равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или прямоугольным.

Треугольник называется прямоугольным, если он имеет прямой угол, т.е. угол, равный 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу, является подчиненной; две другие стороны — катеты.

Прямоугольный (равносторонний или эквивалентный) треугольник — это прямоугольный многоугольник, у которого все стороны равны и все углы также равны 60°. В равносторонних треугольниках высота является одновременно биссектрисой и медианой.

Свойство треугольника:.

• В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
• Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
• Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Нужно быстро систематизировать свои знания перед экзаменом? Запишитесь на урок математики Use Maths на SkySmart!

Понятие средней линии треугольника

Определение средней линии треугольника подходит для каждого типа этой фигуры.

Средняя линия треугольника — это часть треугольника, которая соединяет центры двух сторон. Для каждого треугольника можно разработать три средние линии.

Основание — это сторона с параллельными средними линиями.

Как найти средние линии треугольника — мы объясним далее, но сначала давайте разберемся со всеми определениями немного подробнее.

Понятие средней линии прямоугольного треугольника

Математики говорят: в каждом треугольнике можно провести три средние линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок равен половине основания. Это тип средней линии для прямоугольных треугольников.

Прямые углы помогают применять другие точки равенства и подобия. Геометрическое тождество можно использовать для углов прямоугольного треугольника без дополнительной структуры, а по теореме Пифагора можно найти любую сторону.

В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны перпендикуляру, а третья равна медиане, призванной быть подчиненной. Средние линии кислотных и неправильных треугольников не обладают аналогичными свойствами.

Выделяя срединные линии, мы говорили о вторичных свойствах отрезков. Мы привели свойства центральной линии и рассказали об особенностях формулировки этих свойств. Мы обсудили, как типы проявляются в длине центральной линии треугольника и как средняя линия делит треугольник. Все эти свойства используются при разрешении треугольника.

Видео

Математики говорят: в каждом треугольнике можно провести три средние линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок равен половине основания. Это тип средней линии для прямоугольных треугольников.

Прямые углы помогают применять другие точки равенства и подобия. Геометрическое тождество можно использовать для углов прямоугольного треугольника без дополнительной структуры, а по теореме Пифагора можно найти любую сторону.

В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны перпендикуляру, а третья равна медиане, призванной быть подчиненной. Средние линии кислотных и неправильных треугольников не обладают аналогичными свойствами.

Средняя линия прямоугольного треугольника делит его на четыре прямоугольных треугольника.

Средняя линия

Чтобы понять, как найти центр треугольника, можно воспользоваться простой линейкой. Для этого выделите две любые стороны фигуры. Затем отметьте каждую точку, равноудаленную от каждой из вершин, примыкающих к этой стороне. Чтобы спроектировать центральную часть, эти две точки необходимо соединить. Их названия интуитивно понятны всем, поскольку они соединяют носителей информации с обеих сторон.

Важные свойства

Этот компонент имеет три основных свойства Предположим, у нас есть произвольный треугольник типа ABC, с P и Q в серединах AB и AC соответственно. Учитывая эту запись, PQ является средней линией ABC. Применяются следующие геометрические свойства.

1. Полученный треугольник APQ является подобным исходной фигуре ABC. Доказать это утверждение несложно, если обратить внимание на два факта: во-первых, угол A у обеих фигур является общим, во-вторых, отношение AB/AP равно величине AC/AQ и составляет 2 согласно выполненным геометрическим построениям. Таким образом, выполняется один из признаков подобия.
2. Длина средней линии PQ оказывается в два раза меньше, чем сторона BC. Кроме того, оба отрезка параллельны друг другу. Утверждение о равенстве PQ = ½*BC следует из факта подобия треугольников APQ и ABC, коэффициент которых составляет 2. Это равенство также можно доказать, если воспользоваться координатным методом.
3. Треугольник APQ имеет в 4 раза меньшую площадь, чем исходная фигура ABC.

Пункт №3 списка применим к любому треугольнику. Для доказательства используйте формулу Герона. В соответствии с этим, площадь этой фигуры можно рассчитать следующим образом:.

где p = (a + b + c)/2 — полуокружность диаграммы. Пусть α, β и γ — длины его сторон. Символизируйте стороны ABC таким же образом. Тогда длины отрезка APQ равны a / 2, b / 2 и c / 2. Полупериметр APQ равен p1 = (a + b + c)/4 = ½*p. Подставив все известные величины в формулу Герона, получим площадь S1.

Другими словами, площадь треугольника APQ составляет одну четверть от данной величины ABC.

Решение задачи

PQ — середина треугольника ABC, граничные точки P и Q которого лежат в точках AB и AC соответственно. Используя метод координат, докажите, что эта линия равна половине длины стороны BC.

Прежде чем найти решение этой проблемы, необходимо определить координаты вершин исходной фигуры. Они следующие.

Точка P делит ребро AB ровно пополам, поэтому для нахождения ее координат необходимо выполнить следующее вычисление

Координаты точки Q вычисляются аналогичным образом.

Вспоминая формулу длины вектора, когда известны координаты начала и конца, можно выполнить следующий расчет для средней линии PQ

PQ = ((x1 + x3)/ 2-(x1 + x2)/ 2)^ 2 + ((y1 + y3)/ 2-(y1 + y2)/ 2)^ 2)^ 2)^ 0,5 =½*((x3-x2)^ 2 + (y3-y2)^ 2)^ 0,5.

Тогда длина стороны BC становится равной

Из цитаты этих двух уравнений следует, что уравнение, которое необходимо доказать, следующее

Поскольку в доказательстве использовались произвольные координаты вершин треугольника, полученные выводы являются общими и универсальными для каждого типа рассматриваемой фигуры.

Формула для расчета

Центральная линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

ЭВИДЕНЦИЯ.

Рассмотрим dž (dž треугольник BA_1C_1 ) и dž (dž треугольник BAC ).

Мы видим, что треугольники похожи по двум соответствующим сторонам и углу между ними.

Следовательно, ἀ (ἀ угол BA_1C_1 = ἀ угол BAC ) является соответствующим элементом подобного треугольника. Поэтому, согласно принципу параллелизма (A_1C_1 параллельно AC ).

Подобие также показывает, что ǁ(ǁ frac = frac12 )

Это уравнение работает для любого треугольника, включая изоклетки, изоклетки и правильные треугольники.

Проведите центральные линии см, см и см на заданном треугольнике. Найдите периметр треугольника. Решение Средняя линия равна половине параллельных сторон, поэтому можно найти длины всех сторон треугольника. см см см см см см см Теперь можно найти периметр треугольника как сумму всех длин. Его стороны: см см Ответ: см см см.

Средние линии четырехугольника. Теорема Вариньона

Значение. Средняя линия четырехугольника соединяет середины непересекающихся сторон четырехугольника.

Поскольку каждый четырехугольник имеет две пары непересекающихся сторон, каждый четырехугольник имеет две средние линии (рис. 10).

Средние линии на рисунке 10 — это отрезки EF и GH.

Примечание 1: Приведенное выше определение средней линии применимо не только к плоским четырехугольникам, но и к «пространственным четырехугольникам» (рис. 11). Пространственный четырехугольник» — это замкнутая четырехсвязная линия, не имеющая самопересечений и не находящаяся на одном уровне.

На рис. 11 показан «пространственный четырехугольник» ABCD. Его середины — отрезки EF и GH.

Замечание 2. Хотя таблица является четырехугольником, принято называть среднюю линию банкира единственной частью, соединяющей середины ее сторон.

Замечание 3. В этом разделе книги невыпуклые четырехугольники и четырехугольники с независимыми сечениями не рассматриваются.

Теорема Валлиньона. Середины сторон любого плоского или «пространственного» четырехугольника являются вершинами прямоугольника.

Доказательство Рассмотрим плоский четырехугольник ABCD, изображенный на рисунке 12. Точки E, G, F и H являются средними точками, а отрезок AC — диагональю четырехугольника.

Отрезок EG — перпендикулярная биссектриса треугольника ABC, поэтому отрезок EG параллелен и равен половине диагонали AC. Отрезок FH — перпендикулярная биссектриса треугольника CDA, поэтому отрезок FH параллелен диагонали AC и составляет ее половину. Таким образом, в четырехугольнике EGFH противоположные стороны EG и FH одинаково параллельны. Знак прямоугольника указывает на то, что четырехугольник EGFH является прямоугольным, что и требуется доказать.

Замечание 4. Для «пространственного четырехугольника» ABCD доказательство остается прежним (рис. 13).

Пункт 5. Средние линии любого четырехугольника пересекаются и делятся пополам в точке пересечения (рис. 14).

Средние линии тетраэдра

Тетраэдры представляют собой произвольные треугольники (рис. 17).

Каждый тетраэдр имеет четыре вершины, четыре поверхности и шесть ребер, разделенных на три пары непересекающихся ребер. На рисунке 17 каждая пара непересекающихся ребер показана другим цветом. Все две непересекающиеся грани тетраэдра располагаются на пересекающихся линиях пересечения.

Значение. Центральная линия тетраэдра (с обеих сторон) — это часть, соединяющая середины двух непересекающихся граней тетраэдра.

Каждый тетраэдр имеет три центральные линии. Часть EF на рис. 18 является одной из центральных линий тетраэдра.

Утверждение 7. Все центральные линии тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся посередине этой точкой.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА Выберите среднюю линию тетраэдра. Например, EF и докажите, что остальные средние линии тетраэдра проходят через центр отрезка EF. Для этого рассмотрим, например, медиану GH, соединяющую средние точки AC и BD и соединяющую точки E, H, F и G с отрезком (рис. 19).

Так как отрезок EH является средней линией треугольника ADB, он является

Значение. Точка пересечения средних точек тетраэдра называется центростремительной силой тетраэдра.

Пункт 8. Рассмотрим декартову систему координат с началом в точке O и произвольный тетраэдр ABCD. Если центр этого тетраэдра обозначить буквой М (рис. 20), то векторное равенство выполняется.

Прямые углы помогают применять другие точки равенства и подобия. Геометрическое тождество можно использовать для углов прямоугольного треугольника без дополнительной структуры, а по теореме Пифагора можно найти любую сторону.

Что такое средняя линия треугольника

В данной публикации рассматриваются определения, качества и признаки треугольников. Вы также получите примеры решений для лучшего понимания теоретического материала.

Часть треугольника, соединяющая центры двух сторон треугольника, называется средней линией.

• KL – средняя линия треугольника ABC
• K – середина стороны AB: AK = KB
• L – середина стороны BC: BL = LC

Свойства средней линии треугольника

Свойство 1

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон (не пересекается) и вдвое меньше этой стороны.

Свойство 2

Средняя линия треугольника разрезает аналогичный треугольник (1:2), который в четыре раза меньше исходного треугольника.

• △KBL ∼ △ABC (подобие по пропорциональности всех сторон)
• Стороны △KBL в два раза меньше соответствующих сторон △ABC: AB = 2KB, BC = 2BL, AC = 2KL .
• S_abc. =4⋅s_△KBL

Свойство 3

Для каждого треугольника можно разработать три средние линии.

KL, KM и ML — средние линии треугольника ABC.

Свойство 4

Три центральные линии треугольника делят его на четыре треугольника равной площади.

Признак средней линии треугольника

Отрезок, проходящий через середину одной стороны треугольника, пересекает вторую и параллелен третьей — это центральный класс треугольника.

Дан треугольник, стороны которого равны 6 см и 8 см. Найдите длину средней линии, соединяющей эти стороны.

Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным, а известные величины — длинами перпендикуляров. Средняя линия, соединяющая катетеры, параллельна нижней и равна половине ее длины.

Для нахождения подчиненных можно использовать теорему Пифагора.

BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100. bc = 10.

Поэтому центральная линия lm = 1 /₂ de bc = 1 /₂ ⋅ 10 = 5.

Теорема Валлиньона. Середины сторон любого плоского или «пространственного» четырехугольника являются вершинами прямоугольника.

Длина средней линии треугольника

Средняя линия треугольника — интересный классификационный отрезок, так как он обладает рядом свойств, позволяющих находить простые решения, казалось бы, сложных задач. Давайте рассмотрим основные свойства средней линии и поговорим о том, как длину этого отрезка можно найти в треугольнике.

Треугольник и его характеризующие отрезки

Треугольник — это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. В зависимости от величины углов треугольник делится на

Основные характеристики треугольника следующие

• Медиана – отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.
• Биссектриса – отрезок, проведенный из вершины угла к противоположной стороне и делящий угол пополам
• Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.

Рисунок 2.Высота, межстрочный и биссектрисальный треугольники

За каждый раздел характеристики начисляется балл. Когда три центральных пересечения класса, бисквит и возвышение, соединяются, возникает золотое пересечение треугольников.

Однако существует несколько дополнительных классифицированных разделов.

• Серединный перпендикуляр – перпендикуляр восстановленный из середины стороны. Как правило серединный перпендикуляр продлевается до пересечения с другой стороной.
• Средняя линия – отрезок, соединяющий середины смежных сторон.
• Радиус вписанной окружности. Вписанная окружность – окружность, которая касается каждой из сторон треугольника. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника
• Радиус описанной окружности. Описанная окружность – окружность, содержащая в себе все вершины треугольника. Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

Смежные стороны треугольника — это стороны с общей вершиной. В геометрии существует понятие противоположных сторон, то есть сторон, противоположных друг другу и не имеющих общей вершины. Однако это понятие не применимо к треугольникам — все стороны треугольника смежные.

Свойства средней линии

Средняя линия не обладает многими свойствами, все из которых важны для решения задачи. Дело в том, что лишь немногие задачи связаны с нахождением длины средней линии, некоторые из них, несмотря на свою простоту, могут привести учащихся в апатию.

Давайте теперь приведем и обсудим все свойства средней линии треугольника.

• Средняя линия треугольника равна половине основания. Вообще правильнее сказать не половине основания, а половине противолежащей стороны. Так как сторон в треугольнике 3, а основание всего одно. Но в общем случае, основанием можно считать любую из сторон треугольника, так что подобная формулировка считается допустимой. К тому же ее проще выучить. В общем случае по этому свойству и определяется длина средней линии треугольника.
• Средняя линия параллельна основанию. С понятием основания здесь та же ситуация, что и в предыдущем свойстве.
• Средняя линия отсекает от треугольника малый подобный треугольник с коэффициентом подобия, равным 0,5
• Три средние линии делят треугольник на 4 равных треугольника, подобных большому треугольнику с коэффициентом подобия 0,5

Фактический вид длины срединной линии вытекает из второго свойства.

$ m = 1 над * a $-, где m — средняя линия, а a — сторона, противоположная средней линии.