Средняя линия прямоугольного треугольника
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 84.
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 84.
Прямоугольный треугольник стоит особняком от остальных треугольников. Прямой угол делает возможным применение других признаков равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно без дополнительных построений использовать геометрические тождества, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора. Но среднюю линию прямоугольного треугольника определить трудно просто потому, что она редко упоминается в задачах, из-за чего мало кто может себе её визуально представить.
Опыт работы учителем математики – более 33 лет.
Что такое средняя линия прямоугольного треугольника?
Средняя линия – это отрезок, соединяющий середины сторон в треугольнике. В любом треугольнике можно провести три средних линии. При этом этот отрезок будет равен половине основания – это и считается формулой средней линии прямоугольного треугольника. Основанием считается сторона, с которой средняя линия не пересекается.
Средняя линия в треугольнике отсекает треугольник, подобный большому треугольнику, при этом площадь малого треугольника будет равна ¼ от площади большого, а коэффициент подобия будет равняться ½
Если в треугольнике провести все 3 средних линии, то образуется 4 равных между собой треугольника, которые при этом подобны большому треугольнику с теми же отношениями.
Причем, если средняя линия проводится в прямоугольном треугольнике, то каждый из четырех получившихся треугольников будет являться прямоугольным.
Все эти свойства можно использовать в ряде задач, что позволяет создавать интересные уникальные решения и доказательства.
Задача 1
В прямоугольном треугольнике АВС проведены три средние линии: MN; NP; MP. При этом MN=NP=2.
В центре треугольника средними линиями образован малый прямоугольный треугольник, катеты которого известны. Тогда его площадь равна: $S={1over{2}}*MN*NP={1over{2}}*2*2=2$.
Так как все 4 малых треугольника равны, то площадь большого будет равна: $S=4*2=8$
Задача 2
В прямоугольном треугольнике АВС проведены три средние линии: MN; NP; MP. В получившемся прямоугольнике MNPA известно, что диагональ MP равна 5, а синус угла между диагоналями равен 0,48. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.
Рис. 2. Рисунок к задаче
В прямоугольнике две диагонали между собой равны. Одна из диагоналей MP = 5, значит и вторая диагональ AN равна тоже 5.
Найдем площадь прямоугольника, как произведение диагоналей на синус угла между ними.
$$S=5*5*0,48=12$$
В большом треугольнике 4 малых, а в прямоугольнике 2 малых треугольника. Все малые треугольники между собой равны, значит, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нужно умножить площадь прямоугольника на 2.
$S=12*2=24$ – ответ получен.
Задача 3
В прямоугольном треугольнике АВС проведены три средние линии: MN; NP; MP. Найти площадь прямоугольника MNPA, если известно, что площадь АВС равна 36.
Аналогично с предыдущей задачей, можно вывести утверждение, что площадь треугольника равна двум площадям малого прямоугольника. Подставим в выражение цифры и выразим неизвестное. Площадь треугольника обозначим за S, прямоугольника s.
$$S=2s$$
$$s={Sover2}={36over2}=18$$
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое средняя линия, поговорили о свойствах средней линии и выделили особенности средней линии в прямоугольном треугольнике. Также мы закрепили пройденный материал, подробно изучив алгоритм решения задач на заданную тему.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
-
Светлана Колесникова
5/5
Оценка статьи
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 84.
А какая ваша оценка?
Как найти среднюю линию треугольника?
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Понятие треугольника
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
- Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
- Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
- Тупоугольный. Один угол тупой, два других — острые.
Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.
Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.
Свойства треугольников:
- В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
- Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
- Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
- В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Понятие средней линии треугольника
Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.
Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.
Основанием считается сторона, которой параллельна средняя линия.
Как найти среднюю линию треугольника — расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.
Понятие средней линии прямоугольного треугольника
Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.
Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.
В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.
Свойства средней линии треугольника
Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.
Свойства:
- Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.
- Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
- Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.
- Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.
Теорема о средней линии треугольника
Теорема о средней линии треугольника звучит так:
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:
Докажем теорему:
По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC
Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.
(по второму признаку подобия треугольников).
△ABC, то Следовательно, ВС = 2МN. Значит, доказано, что средняя линия равна половине основания.
△ABC, то ∠1 = ∠2 . Так как ∠1 и ∠2 — соответственные углы, то по признаку параллельности прямых MN || BC.
Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.
Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, K, N — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Найти периметр ΔMNK.
Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии, которые образуют треугольник ΔMNK. Найдем их длины по теореме о средней линии:
Ответ: периметр треугольника ΔMNK равен 10.
Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть две средние линии: MN и NP, равные 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов:
Так как MN — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета AC:
Значит, AC = 2MN = 2 × 3 = 6.
Так как NP — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета BC:
Значит, BC = 2NP = 2 × 4 = 8.
Тогда найдем площадь большого треугольника, используя формулу, указанную выше:
S = ½ × 6 × 8 = ½ × 48 = 24.
Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 24.
Средняя линия прямоугольного треугольника
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 61.
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 61.
Прямоугольный треугольник стоит особняком от остальных треугольников. Прямой угол делает возможным применение других признаков равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно без дополнительных построений использовать геометрические тождества, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора. Но среднюю линию прямоугольного треугольника определить трудно просто потому, что она редко упоминается в задачах, из-за чего мало кто может себе её визуально представить.
Что такое средняя линия прямоугольного треугольника?
Средняя линия – это отрезок, соединяющий середины сторон в треугольнике. В любом треугольнике можно провести три средних линии. При этом этот отрезок будет равен половине основания – это и считается формулой средней линии прямоугольного треугольника. Основанием считается сторона, с которой средняя линия не пересекается.
Причем, если средняя линия проводится в прямоугольном треугольнике, то каждый из четырех получившихся треугольников будет являться прямоугольным.
Все эти свойства можно использовать в ряде задач, что позволяет создавать интересные уникальные решения и доказательства.
Задача 1
В прямоугольном треугольнике АВС проведены три средние линии: MN; NP; MP. При этом MN=NP=2.
Рис. 1. Рисунок к задаче
В центре треугольника средними линиями образован малый прямоугольный треугольник, катеты которого известны. Тогда его площадь равна: $S=<1over<2>>*MN*NP=<1over<2>>*2*2=2$.
Так как все 4 малых треугольника равны, то площадь большого будет равна: $S=4*2=8$
Задача 2
В прямоугольном треугольнике АВС проведены три средние линии: MN; NP; MP. В получившемся прямоугольнике MNPA известно, что диагональ MP равна 5, а синус угла между диагоналями равен 0,48. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.
Рис. 2. Рисунок к задаче
В прямоугольнике две диагонали между собой равны. Одна из диагоналей MP = 5, значит и вторая диагональ AN равна тоже 5.
Найдем площадь прямоугольника, как произведение диагоналей на синус угла между ними.
В большом треугольнике 4 малых, а в прямоугольнике 2 малых треугольника. Все малые треугольники между собой равны, значит, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нужно умножить площадь прямоугольника на 2.
$S=12*2=24$ – ответ получен.
Задача 3
В прямоугольном треугольнике АВС проведены три средние линии: MN; NP; MP. Найти площадь прямоугольника MNPA, если известно, что площадь АВС равна 36.
Рис. 3. Рисунок к задаче
Аналогично с предыдущей задачей, можно вывести утверждение, что площадь треугольника равна двум площадям малого прямоугольника. Подставим в выражение цифры и выразим неизвестное. Площадь треугольника обозначим за S, прямоугольника s.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое средняя линия, поговорили о свойствах средней линии и выделили особенности средней линии в прямоугольном треугольнике. Также мы закрепили пройденный материал, подробно изучив алгоритм решения задач на заданную тему.
Средняя линия прямоугольного треугольника – формула
Средняя линия прямоугольного треугольника – это прекрасная возможность для составителей задач. Большая часть обучающихся знают, что такое средняя линия и умело используют ее свойства в решении. Но как только этот отрезок появляется на чертеже прямоугольного треугольника, то сразу впадают в ступор из-за некоторой необычности рисунка, поэтому разберемся в теме подробнее.
Что такое прямоугольный треугольник?
В общем случае, треугольник это фигура, состоящая из стрех сторон и трех углов. В зависимости от величин углов, входящих в состав треугольника выделяют:
- Остроугольные треугольники, все углы которых меньше 90 градусов.
- Тупоугольные треугольники, один из углов которых больше 90 градусов.
- Прямоугольные треугольники, один из углов которых равен 90 градусам.
Прямоугольные треугольники интересны специальными формулами, которые значительно упрощают решение. Но средняя линия прямоугольного треугольника ни чем не отличается от средней линии произвольного. Почему задачи с этим отрезком вызывают затруднения?
Только из-за необычности чертежа
Рис. 1. Прямоугольный треугольник.
Средняя линия
Что такое средняя линия? Это один из характеризующих отрезков любого треугольника. Средняя линия соединяет середины смежных сторон многоугольника.
Средняя линия есть не только у треугольника. Она существует у каждой выпуклой фигуры. При этом свойства средних линий треугольников не всегда совпадают с свойствами средних линий трапеций. Поэтому будьте аккуратны, у каждой фигуры есть свои свойства и признаки.
Рис. 2. Средняя линия трапеции.
Свойства средней линии
Свойств у средней линии не так много, но все они более чем интересны.
- Средняя линия всегда параллельна стороне, через которую она не проходит. Иначе говорят, что средняя линия параллельна основанию. Так проще запомнить это свойство, но немного страдает формулировка. Дело в том, что в любом треугольнике можно провести 3 средних линии, а основание только одно, поэтому будьте аккуратнее в формулировках.
- Средняя линия равна половине основания. А вернее не основания, а стороны, которую средняя линия не пересекает. Это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.
- Средняя линия отсекает треугольник подобный изначальном с коэффициентом подобия 1:2
Если формулировка «Средняя линия параллельна основанию» не совсем правильная, то почему же ее применяют в учебнике? Дело в том, что любое свойство должно быть коротким и ясным для простоты запоминания. Поэтому и сокращают некоторые высказывания. А основанием произвольного треугольника можно считать любую сторону, а значит неправильной формулировку назвать нельзя.
Задача
В прямоугольном треугольнике АВС проведены три средние линии: MN; NP; MP. В получившемся прямоугольнике MNPA известно, что синус угла между диагоналями равен 0,5. А средние линии MN и NP равны 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.
Рис. 3. Рисунок к задаче.
В прямоугольнике две диагонали между собой равны. Одна из диагоналей MP это гипотенуза прямоугольного треугольника MNP. Катеты треугольника известны, значит можно найти гипотенузу через теорему Пифагора.
Найдем площадь прямоугольника, как произведение диагоналей на синус угла между ними.
В большом треугольнике 4 малых, а в прямоугольнике 2 малых треугольника. Все малые треугольники между собой равны, значит, чтобы найти площадь прямоугольного треугольнику, нужно умножить площадь прямоугольника на 2.
$S=12,5*2=25$ – ответ получен.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое средняя линия прямоугольного треугольника. Поговорили о свойствах средней линии и решили небольшую задачу для закрепления материала.
[spoiler title=”источники:”]
http://obrazovaka.ru/matematika/srednyaya-liniya-pryamougolnogo-treugolnika-formula.html
http://sprint-olympic.ru/uroki/geometrija/14447-sredniaia-liniia-priamoygolnogo-treygolnika-formyla.html
[/spoiler]
Конечно, можно прикинуть на глазок и при некоторых способностях решить задачку в уме. Но давайте попытаемся предложить такое объяснение, которое будет понятно абсолютно всем. И для этого первым делом нам потребуется выяснить, что подразумевается под определением “средняя линия треугольника”. Для этого я предлагаю сначала изобразить сам прямоугольный треугольник со сторонами 6 и 8.
То, что мы его расположили на листочке в клеточку, позволяет легко и незамедлительно поставить риски на серединах сторон. Ведь именно это нам нужно для того, чтобы найти средние линии геометрической фигуры. Соединив полученные точки, мы увидим треугольник с теми же пропорциями, но существенно меньшими размерами. С длинами его сторон нам и предстоит разобраться.
Картинка наглядно демонстрирует следующее:
- Если AB = 8, то XZ = 4
- Если AC = 6, то YZ = 3
- Отрезок XY является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами XZ и YZ.
Даже невооружённому глазу видно, что длина XY будет больше, чем любая из XZ и YZ. Ведь гипотенуза не может быть меньше катетов прямоугольного треугольника. Но нас интересует точное значение её длины. Для этого используем классический вариант – извлечём квадратный корень из суммы квадратов катетов красного треугольника.
- XY = Корень(XZ² + YZ²) = Корень(4² + 3²) = Корень(16 + 9) = Корень(25) = 5
Думаю, в том, что 5 больше 3-х и 4-х, ни у кого нет сомнений? Тогда можно дать однозначный ответ – наибольшей средней линией искомого треугольника является сторона XY, которая равна 5-ти.
P.S. Если кто-то не в курсе, то такая треугольная фигура со сторонами 3*4*5 издавна носит название “Египетский треугольник”. И опытные математики видят её издалека. Соответственно, они могут ответить на поставленный вопрос, не прибегая к банальным вычислениям. Но на то они и математики. 🙂
Средняя линия прямоугольного треугольника – это прекрасная возможность для составителей задач. Большая часть обучающихся знают, что такое средняя линия и умело используют ее свойства в решении. Но как только этот отрезок появляется на чертеже прямоугольного треугольника, то сразу впадают в ступор из-за некоторой необычности рисунка, поэтому разберемся в теме подробнее.
Содержание
- Что такое прямоугольный треугольник?
- Средняя линия
- Свойства средней линии
- Задача
- Что мы узнали?
Что такое прямоугольный треугольник?
В общем случае, треугольник это фигура, состоящая из стрех сторон и трех углов. В зависимости от величин углов, входящих в состав треугольника выделяют:
- Остроугольные треугольники, все углы которых меньше 90 градусов.
- Тупоугольные треугольники, один из углов которых больше 90 градусов.
- Прямоугольные треугольники, один из углов которых равен 90 градусам.
Прямоугольные треугольники интересны специальными формулами, которые значительно упрощают решение. Но средняя линия прямоугольного треугольника ни чем не отличается от средней линии произвольного. Почему задачи с этим отрезком вызывают затруднения?
Только из-за необычности чертежа
Рис. 1. Прямоугольный треугольник.
Средняя линия
Что такое средняя линия? Это один из характеризующих отрезков любого треугольника. Средняя линия соединяет середины смежных сторон многоугольника.
Средняя линия есть не только у треугольника. Она существует у каждой выпуклой фигуры. При этом свойства средних линий треугольников не всегда совпадают с свойствами средних линий трапеций. Поэтому будьте аккуратны, у каждой фигуры есть свои свойства и признаки.
Рис. 2. Средняя линия трапеции.
Свойства средней линии
Свойств у средней линии не так много, но все они более чем интересны.
- Средняя линия всегда параллельна стороне, через которую она не проходит. Иначе говорят, что средняя линия параллельна основанию. Так проще запомнить это свойство, но немного страдает формулировка. Дело в том, что в любом треугольнике можно провести 3 средних линии, а основание только одно, поэтому будьте аккуратнее в формулировках.
- Средняя линия равна половине основания. А вернее не основания, а стороны, которую средняя линия не пересекает. Это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.
- Средняя линия отсекает треугольник подобный изначальном с коэффициентом подобия 1:2
Если формулировка «Средняя линия параллельна основанию» не совсем правильная, то почему же ее применяют в учебнике? Дело в том, что любое свойство должно быть коротким и ясным для простоты запоминания. Поэтому и сокращают некоторые высказывания. А основанием произвольного треугольника можно считать любую сторону, а значит неправильной формулировку назвать нельзя.
Задача
В прямоугольном треугольнике АВС проведены три средние линии: MN; NP; MP. В получившемся прямоугольнике MNPA известно, что синус угла между диагоналями равен 0,5. А средние линии MN и NP равны 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.
Рис. 3. Рисунок к задаче.
В прямоугольнике две диагонали между собой равны. Одна из диагоналей MP это гипотенуза прямоугольного треугольника MNP. Катеты треугольника известны, значит можно найти гипотенузу через теорему Пифагора.
$$MP=sqrt{MN^2+NP^2}=sqrt{9+16}=sqrt{25}=5$$
Найдем площадь прямоугольника, как произведение диагоналей на синус угла между ними.
$$S=5*5*0,5=12,5$$
В большом треугольнике 4 малых, а в прямоугольнике 2 малых треугольника. Все малые треугольники между собой равны, значит, чтобы найти площадь прямоугольного треугольнику, нужно умножить площадь прямоугольника на 2.
$S=12,5*2=25$ – ответ получен.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое средняя линия прямоугольного треугольника. Поговорили о свойствах средней линии и решили небольшую задачу для закрепления материала.
Предыдущая
ГеометрияРавнобедренный тупоугольный треугольник – основание, формула
Следующая
ГеометрияТупоугольный треугольник – площадь, определение, свойства
Содержание материала
- Средняя линия треугольника + Задачи по теме
- ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ
- Видео
- Понятие средней линии прямоугольного треугольника
- Средняя линия
- Важные свойства
- Решение задачи
- Формула для расчета
- Примеры решения задач
Средняя линия треугольника + Задачи по теме
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Свойства средней линии треугольника: 1. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине. 2. Средняя линия трeугольника отсекает от него треугольник, подобный данному (с коэффициентом подобия 1/2 ). 3. Три средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника, подобных данному, с коэффициентом подобия 1/2.
Свойство средней линии треугольника является следствием теоремы Фалеса.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ
Задача № 1. Дано: ΔABC; AB = 8 см; BC = 10 см; AC = 12 см; M — середина AB; N — середина BC; L — середина AC. Найти: MN, NL, ML.
Задача № 2.
Задача № 3. ΔABC; K — середина AB; O — середина BC; P — середина AC; PABC = 52 см. Найти: PКOР
Задача № 4.
Это конспект по теме «Средняя линия треугольника + Задачи по теме». Выберите дальнейшие действия:
- Перейти к следующему конспекту:
- Вернуться к Списку конспектов по геометрии
Видео
Понятие средней линии прямоугольного треугольника
Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.
Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.
В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.
Важное свойство
Средняя линия прямоугольного треугольника делит его на четыре прямоугольных треугольника.
Средняя линия
Чтобы понять, как найти середину треугольника, можно воспользоваться обычной линейкой. Для этого необходимо выбрать произвольные две стороны фигуры. Затем отметить на каждой из них точки, отстоящие на одинаковом расстоянии от соответствующих вершин, которые ограничивают данную сторону. Полученные две точки следует соединить, чтобы начертить средний отрезок. Его название является интуитивно понятным каждому, поскольку он соединяет середины двух сторон.
Важные свойства
Существует три основных свойства, которыми обладает рассматриваемый отрезок. Пусть имеется треугольник произвольного типа ABC, в котором точки P и Q лежат на серединах сторон AB и AC соответственно. При таком обозначении отрезок PQ будет средней линией треугольника ABC. Справедливы следующие геометрические свойства:
- Полученный треугольник APQ является подобным исходной фигуре ABC. Доказать это утверждение несложно, если обратить внимание на два факта: во-первых, угол A у обеих фигур является общим, во-вторых, отношение AB/AP равно величине AC/AQ и составляет 2 согласно выполненным геометрическим построениям. Таким образом, выполняется один из признаков подобия.
- Длина средней линии PQ оказывается в два раза меньше, чем сторона BC. Кроме того, оба отрезка параллельны друг другу. Утверждение о равенстве PQ = ½*BC следует из факта подобия треугольников APQ и ABC, коэффициент которых составляет 2. Это равенство также можно доказать, если воспользоваться координатным методом.
- Треугольник APQ имеет в 4 раза меньшую площадь, чем исходная фигура ABC.
Утверждение № 3 из списка справедливо для произвольного треугольника. Для его доказательства следует воспользоваться формулой Герона. Согласно ей, площадь рассматриваемой фигуры может быть вычислена следующим образом:
S = (p*(p-a)*(p-b)*(p-c))^0,5.
Здесь p = (a+b+c)/2 — полупериметр фигуры. Буквами a, b и c обозначены длины ее сторон. Пусть таким же образом обозначаются стороны для треугольника ABC. Тогда для фигуры APQ они будут иметь длины a/2, b/2 и c/2. Полупериметр для APQ составит величину p1 = (a+b+c)/4 = ½*p. Теперь необходимо подставить все известные величины в формулу Герона, получается площадь S1:
S1 = (p1*(p1-a/2)*(p1-b/2)*(p1-c/2))^0,5 = (½*p*(½*p-a/2)*(½*p-b/2)*(½*p-c/2))^0,5 = ¼*S.
Иными словами, площадь треугольника APQ составляет четвертую часть от этой величины для ABC.
Решение задачи
В треугольнике ABC проведен средний отрезок PQ, граничные точки которой P и Q находятся на сторонах AB и AC соответственно. Необходимо с использованием метода координат доказать, что эта линия имеет в два раза меньшую длину, чем сторона BC.
Прежде чем находить решение этой задачи, следует обозначить координаты вершин исходной фигуры. Они будут следующие:
- A (x1, y1);
- B (x2, y2);
- C (x3, y3).
Поскольку точка P делит ровно пополам сторону AB, то для нахождения ее координат необходимо провести следующие вычисления:
P = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2).
Аналогичным образом рассчитываются координаты точки Q:
Q = ((x1+x3)/2, (y1+y3)/2).
Вспоминая формулу для длины вектора, координаты конца и начала которого известны, для средней линии PQ можно произвести следующие вычисления:
PQ = (((x1+x3)/2 — (x1+x2)/2)^2 + ((y1+y3)/2 — (y1+y2)/2)^2)^0,5 = ½*((x3-x2)^2 + (y3-y2)^2)^0,5.
В свою очередь, длина стороны BC равна:
BC = ((x3-x2)^2 + (y3-y2)^2)^0,5.
Из сопоставления этих двух равенств следует искомая формула, которую требовалось доказать:
PQ = ½*BC.
Поскольку в процессе доказательства были использованы произвольные координаты для вершин треугольника, полученный вывод является общим и универсальным для любого типа рассматриваемых фигур.
Формула для расчета
Теорема
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна её половине.
(A_1C_1=frac12AC)
Доказательство
Дано:
(triangle ABC)
(A_1C_1)— средняя линия
Доказать:
(A_1C_1parallel AC)
(A_1C_1=frac12AC)
Рассмотрим (triangle BA_1C_1) и (triangle BAC):
(left{begin{array}{l}angle B;-;общий\frac{BA_1}{BA}=frac{BC_1}{BC}=frac12end{array}right.)
Из этого следует, что треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Следовательно, (angle BA_1C_1=angle BAC) , как соответственные элементы подобных треугольников. Следовательно (A_1C_1parallel AC) по признаку параллельности.
Кроме того, из подобия следует, что (frac{A_1C_1}{AC}=frac12)
Следовательно, (A_1C_1=frac12AC)
Утверждение доказано.
Примечание
Данная формула одинаково работает для любого треугольника: равнобедренного, равностороннего (правильного).
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Задание В треугольнике провели среднюю линию , параллельную. Найти площадь треугольника , если известно, что см, а высота , опущенная на сторону , равна 5 см. Решение В треугольнике (см. рис. 1) средняя линия равна половине стороны , поэтому
Найдем площадь треугольника :
Так как средняя линия отсекает треугольник , площадь которого равна одной четвёртой площади исходного треугольника , то площадь треугольника равна:
Ответ см.
ПРИМЕР 2
Задание В треугольнике провели средние линии см, см и см. Найти периметр треугольника . Решение Так как средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна, то можем найти длины всех сторон треугольника :
см см см
Теперь можно найти периметр треугольника как сумму длин всех его сторон:
см Ответ см.
