Как найти среднюю площадь пластин

Перейти к контенту

3 Приложения
двойных интегралов

3.1 Теоретическое
введение

Рассмотрим приложения двойного интеграла
к решению ряда геометрических задач и
задач механики.

3.1.1 Вычисление площади и массы плоской
пластины

Рассмотрим тонкую материальную
пластину D,
расположенную в плоскости Оху.

Площадь
S
этой пластины может быть найдена с
помощью двойного интеграла по формуле:

Пусть в каждой точке пластины
задана ее поверхностная плотность γ
= γ (x,
y) ≥ 0. Будем считать,
что функция γ = γ (x,
y) непрерывна в области
D.
Тогда масса
m
этой пластины равна двойному интегралу
от функции плотности γ (x,
y) по области D:

3.1.2
Статические моменты. Центр масс плоской
пластины

Статическим моментом
M_x
относительно оси Ox
материальной точки P(x;y),
лежащей в плоскости Oxy
и имеющей массу m,
называется произведение массы точки
на ее ординату, т.е. M_x=
my. Аналогично
определяется статический момент M_y
относительно оси Oy:
­ ­ ­ M_y
= mx.
Статические
моменты плоской
пластины с поверхностной плотностью γ
= γ (x,
y) вычисляются по
формулам:

Как известно из механики,
координаты x_c
, y_c
центра масс плоской материальной системы
определяются равенствами:

где m
– масса системы, а M_x
и M_y
– статические моменты системы. Масса
плоской пластины m
определяется формулой (1), статические
моменты плоской пластины можно вычислить
по формулам (3) и (4). Тогда, согласно
формулам (5), получаем выражение для
координат центра масс плоской пластины:

3.2 Содержание
типового расчета

Типовой расчет содержит
две задачи. В каждой задаче задана
плоская пластина D,
ограниченная линиями, указанными в
условии задачи. Г(x,y)
– поверхностная плотность пластины D.
Для этой пластины найти:
1. S
– площадь;
2. m
– массу;
3. M_y
, M_x
– статические моменты относительно
осей Оy
и Ох
соответственно;
4.
,
–
координаты центра масс.

3.3 Порядок
выполнения типового расчета

При решении каждой задачи
необходимо:
1. Выполнить чертеж заданной
области. Выбрать систему координат, в
которой будут вычисляться двойные
интегралы.
2. Записать область в виде
системы неравенств в выбранной системе
координат.
3. Вычислить площадь S
и массу m
пластины по формулам (1) и (2).
4. Вычислить
статические моменты M_y
, M_x
по формулам (3) и (4).
5. Вычислить
координаты центра масс
,
по
формулам (6). Нанести центр масс на чертеж.
При этом возникает визуальный
(качественный) контроль полученных
результатов.
Численные ответы должны
быть получены с тремя значащими цифрами.

3.4 Примеры
выполнения типового расчета

Задача 1.
Пластина D
ограничена линиями: y
= 4 – x²;
х =
0; y
= 0 (x
≥ 0; y
≥ 0) Поверхностная плотность γ₀
= 3.
Решение.
Область, заданная в задаче, ограничена
параболой y
= 4 – x²,
осями координат и лежит в первой четверти
(рис. 1). Задачу будем решать в декартовой
системе координат. Эта область может
быть описана системой неравенств:

Рис.
1

Площадь S
пластины равна (1):

Так
как пластина однородная, ее масса m
= γ₀S
= 3·
= 16.
По формулам (3), (4) найдем статические
моменты пластины:




Координаты
центра масс находятся по формуле (6):

Ответ:
S ≈
5,33; m
= 16; M_x
= 25,6; M_y
= 12;
=
0,75;
=
1,6.

Задача 2.
Пластина D
ограничена линиями: х²
+ у²
= 4; х
= 0, у
= х
( х
≥ 0, у
≥ 0). Поверхностная плотность γ(x,y)
= у.

Решение.
Пластина ограничена окружностью и
прямыми, проходящими через начало
координат (рис. 2). Поэтому для решения
задачи удобно использовать полярную
систему координат. Полярный угол φ
меняется от π/4 до π/2. Луч, проведенный
из полюса через пластину, «входит» в
неё при ρ = 0 и «выходит» на окружность,
уравнение которой: х²
+ у²
= 4 <=> ρ = 2.

Рис.
2

Следовательно, заданную
область можно записать системой
неравенств:

Площадь
пластины найдем по формуле (1):

Массу
пластины найдем по формуле (2), подставив
γ(x,y)
= у = ρ
sinφ:

Для
вычисления статических моментов пластины
используем формулы (3) и (4):




Координаты
центра масс получим по формулам (6):

Ответ:
S ≈
1,57; m
≈ 1,886; M_x
= 2,57; M_y
= 1;
=
0,53;
=
1,36.

3.5 Оформление
отчета

В отчете должны быть представлены все
выполненные расчеты, аккуратно выполненные
чертежи. Численные ответы должны быть
получены с тремя значащими цифрами.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Конденсаторы

теория по физике 🧲 электростатика

Конденсатор служит для накопления электрического заряда. Он представляет собой два проводника, разделенных слоем диэлектрика.

Плоский конденсатор — система двух разноименно заряженных пластин.

Разность потенциалов U (В) между обкладками конденсатора (напряжение между пластинами), определяется произведением напряженности создаваемого ими электрического поля на расстояние между ними:

Электроемкость конденсатора

Электрическая емкость — характеристика проводника, мера его способности накапливать электрический заряд.

Электроемкость обозначается как C. Единица измерения электрической емкости — Фарад (Ф).

Электроемкость конденсатора определяется формулой:

• ε 0 — диэлектрическая постоянная, равная 8,85∙10 –12 Кл 2 /(Н∙м 2 );
• ε — диэлектрическая проницаемость среды;
• S (м 2 ) — площадь каждой пластины.

Внимание! У воздушного конденсатора диэлектрическая проницаемость среды равна 1.

Связь между электроемкостью конденсатора, зарядом и напряжением определяется формулами:

Важно! Электроемкость конденсатора зависит только от площади его пластин, расстояния между ними и диэлектрической проницаемости среды. От заряда и напряжения эта величина не зависит.

Энергия конденсатора

Энергия конденсатора связана с его электроемкостью и вычисляется по следующим формулам:

W э = q 2 2 C . . = C U 2 2 .

Подсказки к задачам

Пример №1. Вычислить электроемкость плоского воздушного конденсатора с квадратными пластинами со стороной 10 см, расположенными на расстоянии 1 мм друг от друга. Ответ округлить до десятых.

Так как между обкладками конденсатора находится воздух, примем диэлектрическую проницаемость среды за единицу.

Площадь квадратной пластины равна квадрату ее стороны:

Соединения конденсаторов

1 C . . = 1 C 1 . . + 1 C 2 . .

Подсказки к задачам

Два конденсатора, электроемкости которых C1 и C2, заряжены до напряжения U1 и U2. Найдите разность потенциалов после соединения конденсаторов одноименными полюсами.

Схема соединения конденсаторов одноименными полюсами: Заряд системы после соединения:

q′ = C 1 U 1 + C 2 U 2

Электрическая емкость системы:

U′ = q ′ C ′ . . = C 1 U 1 + C 2 U 2 C 1 + C 2 . .

Два конденсатора, электроемкости которых C₁ и C₂, заряжены до напряжения U₁ и U₂. Найдите разность потенциалов после соединения конденсаторов разноименными полюсами.

Схема соединения конденсаторов разноименными полюсами:

Заряд системы после соединения:

q′ = C 1 U 1 − C 2 U 2

Электрическая емкость системы:

U′ = q ′ C ′ . . = C 1 U 1 − C 2 U 2 C 1 + C 2 . .

Пример №2. К конденсатору, электрическая емкость которого C = 16 пФ, подключают два одинаковых конденсатора емкостью X: один параллельно, а второй — последовательно (см. рисунок). Емкость образовавшейся батареи конденсаторов равна емкости C. Какова емкость X? Ответ округлите до десятых.

Электрическая емкость параллельного соединения равна:

C п а р а л = X + C

Электроемкость последовательного соединения:

1 C п о с л е д . . = 1 C п а р а л . . + 1 X . . = 1 X + C . . + 1 X . .

Учтем, что суммарная электроемкость равна C:

1 C . . = 1 X + C . . + 1 X . .

Преобразуем, умножим выражение на CX(X+C):

X ( X + C ) = C X + C ( X + C )

X 2 + X C = C X + C X + C 2

X 2 − C X − C 2 = 0

Решив уравнение, получим: X = 25,9 пФ.

Разбор задач на тему «Заряженная частица в поле конденсатора»

− F т я ж + − F K + − F A = 0

ρ_ш > ρ, поэтому − F т я ж > − F A . В этом случае сила Кулона направлена вверх, а заряд шарика положительный. Схематически это можно отобразить так:

Проекция второго закона Ньютона на ось ОУ:

F K + F A = F т я ж

Сила тяжести равна произведению объема на плотность шарика и на ускорение свободного падения:

F т я ж = ρ ш 4 3 . . π r 3 g

Архимедова сила равна произведению объема шарика на плотность масла и на ускорение свободного падения:

F А = ρ 4 3 . . π r 3 g

q U d . . + ρ 4 3 . . π r 3 g = ρ ш 4 3 . . π r 3 g

q = ( ρ ш 4 3 . . π r 3 g − ρ 4 3 . . π r 3 g ) d U . . = 4 π r 3 g d ( ρ ш − ρ ) 3 U . .

Маленький шарик с зарядом q и массой m, подвешенный на невесомой нити с коэффициентом упругости k, находится между вертикальными пластинами воздушного конденсатора. Расстояние между обкладками конденсатора d. Какова разность потенциалов между обкладками конденсатора U, если удлинение нити ∆l?

Условие равновесия исходит из второго закона Ньютона:

− F т я ж + − F K + − F у п р = 0

Проекции на оси ОХ и ОУ соответственно:

F у п р sin . α − F K = 0

F у п р cos . α − m g = 0

k Δ l sin . α = q U d . .

k Δ l cos . α = m g

Чтобы избавиться от угла α, возведем уравнения в квадрат и сложим их:

( k Δ l ) 2 sin 2 . α + ( k Δ l ) 2 cos 2 . α = ( q U d . . ) 2 + ( m g ) 2

( k Δ l ) 2 ( sin 2 . α + cos 2 . α ) = ( q U d . . ) 2 + ( m g ) 2

sin 2 . α + cos 2 . α = 1

( k Δ l ) 2 = ( q U d . . ) 2 + ( m g ) 2

U = d q . . √ ( k Δ l ) 2 − ( m g ) 2

Пластины плоского конденсатора расположены горизонтально на расстоянии d друг от друга. Напряжение на пластинах конденсатора U. В пространстве между пластинами падает капля жидкости. Масса капли m, ее заряд q. Определите расстояние между пластинами. Влиянием воздуха на движение капли пренебречь. Второй закон Ньютона в векторной форме:

− F т я ж + − F K = 0

Проекция на вертикальную ось:

F т я ж − F K = 0

Между двумя параллельными горизонтально расположенными диэлектрическими пластинами создано однородное электрическое поле с напряженностью − E , направленное вертикально вниз. Между пластинами помещен шарик на расстоянии d от верхней пластины и b от нижней. Заряд шарика –q, масса m. Шарик освобождают, и он начинает двигаться. Через какой промежуток времени t шарик ударится об одну из пластин, если система находится в поле силы тяжести Земли? Второй закон Ньютона в векторной форме:

− F т я ж + − F K = m − a

Согласно условию данной задачи, сила тяжести противоположно направлена силе Кулона. Построим рисунок:

Если F_тяж > F_K, то шарик движется с ускорением вниз. Ускорение и перемещение в этом случае равны:

Если F_тяж a = q E − m g m . .

Начальная скорость шарика равна нулю. Поэтому перемещение также равно:

m g − q E m . . t 2 2 . . = b

t = √ 2 b m m g − q E . .

Выполняя вычисления для случая Сделаем вычисления для случая F_тяж t = √ 2 b m q E − m g . .

Между двумя параллельными, вертикально расположенными диэлектрическими пластинами создано однородное электрическое поле, напряженность которого − E и направлена слева направо. Между пластинами помещен шарик на расстоянии b от левой пластины и d от правой. Заряд шарика –q, масса m. Шарик освобождают, и он начинает двигаться. Найдите смещение шарика по вертикали ∆h до удара об одну из пластин. Пластины имеют достаточно большой размер. Второй закон Ньютона в векторной форме:

− F т я ж + − F K = m − a

Если сила Кулона направлена вправо, то s_x = d.

Если сила Кулона направлена вправо, то s_x = b.

Учитывая, что заряд меньше нуля, а вектор напряженности направлен вправо, делаем вывод, что кулоновская сила направлена влево.

Из проекций второго закона Ньютона выразим проекции ускорения на оси ОХ и ОУ соответственно:

Проекции перемещений на эти же оси:

s x = Δ h = g t 2 2 . .

q E m . . t 2 2 . . = b

Так как время движения шарика по вертикали и горизонтали одинаково:

t 2 = 2 Δ h g . . = 2 m b q E . .

Введите ответ в поле ввода Плоский конденсатор подключён к гальваническому элементу. Как изменятся при уменьшении зазора между обкладками конденсатора три величины: ёмкость конденсатора, величина заряда на его обкладках, разность потенциалов между ними?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Алгоритм решения

Решение

Емкость конденсатора определяется формулой:

Следовательно, емкость имеет обратно пропорциональную зависимость от расстояния между обкладками. Если расстояние уменьшить, то емкость увеличится.

Вот как взаимосвязана электроемкость и заряд конденсатора:

Мы выяснили, что электроемкость увеличивается. Следовательно, увеличится и заряд, так как они имеют прямо пропорциональную зависимость.

С учетом того, что плоский конденсатор подключен к гальваническому элементу, разность потенциалов никак не зависит от расстояния между обкладками. Поэтому величина U остается неизменной.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Воспользовавшись оборудованием, представленным на рис. 1, учитель собрал модель плоского конденсатора (рис. 2), зарядил нижнюю пластину положительным зарядом, а корпус электрометра заземлил. Соединённая с корпусом электрометра верхняя пластина конденсатора приобрела отрицательный заряд, равный по модулю заряду нижней пластины. После этого учитель сместил одну пластину относительно другой не изменяя расстояния между ними (рис. 3). Как изменились при этом показания электрометра (увеличились, уменьшились, остались прежними)? Ответ поясните, указав, какие явления и закономерности Вы использовали для объяснения. Показания электрометра в данном опыте прямо пропорциональны разности потенциалов между пластинами конденсатора.

Алгоритм решения

Решение

На первом рисунке стрелка и стержень электрометра, соединённые с нижней пластиной, но изолированные от корпуса, заряжаются положительно. Поэтому стрелка отклоняется на некоторый угол. В верхней пластине и металлическом корпусе электрометра происходит перераспределение свободных электронов таким образом, что верхняя пластина заряжается отрицательно.

На втором рисунке заряды пластин одинаковы по модулю и противоположны по знаку, пластины образуют конденсатор с ёмкостью:

S — площадь перекрытия пластин, d — расстояние между ними, ε — диэлектрическая проницаемость диэлектрика между пластинами.

Характер изменения угла отклонения стрелки совпадает с изменением разности потенциалов между пластинами: при увеличении разности потенциалов увеличивается угол отклонения, при уменьшении разности потенциалов угол уменьшается.

На рисунке 3 площадь перекрытия пластин уменьшилась. Следовательно, уменьшилась электроемкость, которая имеет обратно пропорциональную зависимость от разности потенциалов:

Заряд остается постоянным, поскольку система изолированная — заряду просто некуда деться. Поэтому с уменьшением электроемкость растет разность потенциалов. Поэтому показания электрометра увеличатся.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Ученик изучает свойства плоского конденсатора. Какую пару конденсаторов (см. рисунок) он должен выбрать, чтобы на опыте обнаружить зависимость ёмкости конденсатора от расстояния между его обкладками?

Алгоритм решения

1. Установить, какие величины в данном эксперименте должны быть переменными, а какие — постоянными.
2. Найти рисунок с парой конденсаторов, удовлетворяющий требованиям, выявленным в шаге 1.

Решение

Чтобы на опыте обнаружить зависимость ёмкости конденсатора от расстояния между его обкладками, нужно сохранить все величины постоянными, кроме самого расстояния. Поэтому площади обкладок должны быть одинаковыми, но расстояние между ними разными, как на рисунке 1.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Протон влетает в электрическое поле конденсатора параллельно его пластинам в точке, находящейся посередине между пластинами (см. рисунок). Найдите минимальную скорость υ , «> υ , с которой протон должен влететь в конденсатор, чтобы затем вылететь из него. Длина пластин конденсатора 5 см, расстояние между пластинами 1 см, напряжённость электрического поля конденсатора 5000 В/м. Поле внутри конденсатора считать однородным, силой тяжести пренебречь.

Ответ записать в км/с, округлив до десятков.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Изначально протон обладает только горизонтальной скоростью v, равной v_x. Влетев в однородное электростатическое поле внутри конденсатора, протон обретает вертикальную компоненту скорости, которая растет за счет ускорения, придаваемого кулоновскими силами. Положительно заряженный протон притягивается нижней отрицательно зараженной пластиной конденсатора.

Чтобы протон вылетел из конденсатора, его горизонтальная компонента скорости должна быть достаточной для того, чтобы частица не притянулась к нижней пластине раньше. Время, которое понадобится протону для преодоления длины пластин конденсатора со скоростью v_x:

t = l v x . . = l v . .

Протон влетел в пространство между обкладками конденсатора на одинаковом расстоянии от них. Следовательно, прежде чем он упадет на нижнюю пластину, по оси OY он переместится на расстояние, равное 0,5d. Так как начальная компонента скорости равна нулю (мы пренебрегаем силой тяжести):

0 , 5 d = a t 2 2 . .

Протон вылетит из конденсатора, а не упадет на его пластину, если время горизонтального перемещения до конца пластин будет как минимум равно времени падения. Выразим время падения:

Приравняем правые части уравнений времени и получим:

Отсюда скорость равна:

Ускорение выразим из второго закона Ньютона:

F K = m a = q U d . .

Но известно, что:

a = q E d m d . . = q E m . .

Минимальная скорость, с которой протон должен влететь в конденсатор, составляет 346∙10 3 м/с. Округлим до десятков и переведем в км/с. Получим 350 км/с.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Источник