Как найти среднюю путевую скорость на окружности

I. Механика

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T – это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение – это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено – это есть период T. Путь, который преодолевает точка – это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Связь со вторым законом Ньютона

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна v_A и v_B соответственно. Ускорение – изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Разница векторов есть . Так как , получим

Движение по циклоиде*

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

Как найти среднюю скорость по окружности

I. Механика

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Связь со вторым законом Ньютона

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна v_A и v_B соответственно. Ускорение — изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Разница векторов есть . Так как , получим

Движение по циклоиде*

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

теория по физике 🧲 кинематика

Криволинейное движение — движение, траекторией которого является кривая линия. Вектор скорости тела, движущегося по кривой линии, направлен по касательной к траектории. Любой участок криволинейного движения можно представить в виде движения по дуге окружности или по участку ломаной.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью — частный и самый простой случай криволинейного движения. Это движение с переменным ускорением, которое называется центростремительным.

Особенности движения по окружности с постоянной по модулю скоростью:

1. Траектория движения тела есть окружность.
2. Вектор скорости всегда направлен по касательной к окружности.
3. Направление скорости постоянно меняется под действием центростремительного ускорения.
4. Центростремительное ускорение направлено к центру окружности и не вызывает изменения модуля скорости.

Период, частота и количество оборотов

Пусть тело двигается по окружности беспрерывно. Когда оно сделает один оборот, пройдет некоторое время. Когда тело сделает еще один оборот, пройдет еще столько же времени. Это время не будет меняться, потому что тело движется с постоянной по модулю скоростью. Такое время называют периодом.

Период — время одного полного оборота. Обозначается буквой T. Единица измерения — секунды (с).

t — время, в течение которого тело совершило N оборотов

За один и тот же промежуток времени тело может проходить лишь часть окружности или совершать несколько единиц, десятков, сотен или более оборотов. Все зависит от длины окружности и модуля скорости.

Частота — количество оборотов, совершенных в единицу времени. Обозначается буквой ν («ню»). Единица измерения — Гц.

N — количество оборотов, совершенных телом за время t.

Период и частота — это обратные величины, определяемые формулами:

Количество оборотов выражается следующей формулой:

Пример №1. Шарик на нити вращается по окружности. За 10 секунд он совершил 20 оборотов. Найти период и частоту вращения шарика.

Линейная и угловая скорости

Линейная скорость

Линейная скорость — это отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь был пройден. Обозначается буквой v. Единица измерения — м/с.

l — длина траектории, вдоль которой двигалось тело за время t

Линейную скорость можно выразить через период. За один период тело делает один оборот, то есть проходить путь, равный длине окружности. Поэтому его скорость равна:

R — радиус окружности, по которой движется тело

Если линейную скорость можно выразить через период, то ее можно выразить и через частоту — величину, обратную периоду. Тогда формула примет вид:

Выразив частоту через количество оборотов и время, в течение которого тело совершало эти обороты, получим:

Угловая скорость

Угловая скорость — это отношение угла поворота тела ко времени, в течение которого тело совершало этот поворот. Обозначается буквой ω. Единица измерения — радиан в секунду (рад./с).

ϕ — угол поворота тела. t — время, в течение которого тело повернулось на угол ϕ

Радиан — угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу. Полный угол равен 2π радиан.

За один полный оборот тело поворачивается на 2π радиан. Поэтому угловую скорость можно выразить через период:

Выражая угловую скорость через частоту, получим:

Выразив частоту через количество оборотов, формула угловой скорости примет вид:

Сравним две формулы:

Преобразуем формулу линейной скорости и получим:

Отсюда получаем взаимосвязь между линейной и угловой скоростями:

• У вращающихся прижатых друг к другу цилиндров линейные скорости точек их поверхности равны: v₁ = v₂.
• У вращающихся шестерен линейные скорости точек их поверхности также равны: v₁ = v₂.
• Все точки вращающегося твердого тела имеют одинаковые периоды, частоты и угловые скорости, но разные линейные скорости. T₁ = T₂, ν₁ = ν₂, ω₁ = ω₂. Но v₁ ≠ v₂.

Пример №2. Период обращения Земли вокруг Солнца равен одному году. Радиус орбиты Земли равен 150 млн. км. Чему примерно равна скорость движения Земли по орбите? Ответ округлить до целых.

В году 365 суток, в одних сутках 24 часа, в 1 часе 60 минут, в одной минуте 60 секунд. Перемножив все эти числа между собой, получим период в секундах.

За каждую секунду Земля проходит расстояние, равное примерно 30 км.

Центростремительное ускорение

Центростремительное ускорение — ускорение с постоянным модулем, но меняющимся направлением. Поэтому оно вызывает изменение направления вектора скорости, но не изменяет его модуль. Центростремительное ускорение обозначается как a_ц.с.. Единица измерения — метры на секунду в квадрате (м/с 2 ). Центростремительное ускорение можно выразить через линейную и угловую скорости, период, частоту и количество оборотов/время:

Пример №3. Рассчитать центростремительное ускорение льва, спящего на экваторе, в системе отсчета, две оси которой лежат в плоскости экватора и направлены на неподвижные звезды, а начало координат совпадает с центром Земли.

Спящий лев сделает один полный оборот тогда, когда Земля сделает один оборот вокруг своей оси. Земля делает это за время, равное 1 сутки. Поэтому период обращения равен 1 суткам. Количество секунд в сутках: 1 сутки = 24•60•60 секунд = 86400 секунд = 86,4∙10 3 секунд.

Радиус Земли равен 6400 км. В метрах это будет 6,4∙10 6 . Теперь у нас есть все, что нужно для вычисления центростремительного ускорения. Подставляем данные в формулу:

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные.
2. Записать формулу для определения искомой величины.
3. Подставить известные данные в формулу и произвести вычисления.

Решение

Записываем исходные данные:

• Радиус окружности, по которой движется автомобиль: R = 100 м.
• Скорость автомобиля во время движения по окружности: v = 20 м/с.

Формула, определяющая зависимость центростремительного ускорения от скорости движения тела:

Подставляем известные данные в формулу и вычисляем:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Точка движется по окружности радиусом R с частотой обращения ν. Как нужно изменить частоту обращения, чтобы при увеличении радиуса окружности в 4 раза центростремительное ускорение точки осталось прежним?

а) увеличить в 2 раза б) уменьшить в 2 раза в) увеличить в 4 раза г) уменьшить в 4 раза

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные.
2. Определить, что нужно найти.
3. Записать формулу зависимости центростремительного ускорения от частоты.
4. Преобразовать формулу зависимости центростремительного ускорения от частоты для каждого из случаев.
5. Приравнять правые части формул и найти искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

Центростремительное ускорение определяется формулой:

Запишем формулы центростремительного ускорения для 1 и 2 случаев соответственно:

Так как центростремительное ускорение в 1 и 2 случае одинаково, приравняем правые части уравнений:

Произведем сокращения и получим:

Это значит, чтобы центростремительное ускорение осталось неизменным после увеличения радиуса окружности в 4 раза, частота должна уменьшиться вдвое. Верный ответ: «б».

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Движение по окружности.

1.Равномерное движение по окружности

2.Угловая скорость вращательного движения.

5.Связь линейной скорости с угловой.

7.Равнопеременное движение по окружности.

8.Угловое ускорение в равнопеременном движении по окружности.

10.Закон равноускоренного движения по окружности.

11. Средняя угловая скорость в равноускоренном движении по окружности.

12.Формулы, устанавливающие связь между угловой скоростью, угловым ускорением и углом поворота в равноускоренном движении по окружности.

1.Равномерное движение по окружности – движение, при котором материальная точка за равные интервалы времени проходит равные отрезки дуги окружности, т.е. точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. В этом случае скорость равна отношению дуги окружности, пройденной точкой ко времени движения, т.е.

и называется линейной скоростью движения по окружности.

Как и в криволинейном движении вектор скорости направлен по касательной к окружности в направлении движения (Рис.25).

2. Угловая скорость в равномерном движении по окружности – отношение угла поворота радиуса ко времени поворота:

В равномерном движении по окружности угловая скорость постоянна. В системе СИ угловая скорость измеряется в(рад/c). Один радиан – рад это центральный угол, стягивающий дугу окружности длиной равной радиусу. Полный угол содержит радиан, т.е. за один оборот радиус поворачивается на угол радиан.

3. Период вращения – интервал времени Т, в течении которого материальная точка совершает один полный оборот. В системе СИ период измеряется в секундах.

4. Частота вращения – число оборотов , совершаемых за одну секунду. В системе СИ частота измеряется в герцах ( 1Гц = 1 ) . Один герц – частота, при которой за одну секунду совершается один оборот. Легко сообразить, что

Если за время t точка совершает n оборотов по окружности то .

Зная период и частоту вращения, угловую скорость можно вычислять по формуле:

или

5 Связь линейной скорости с угловой. Длина дуги окружности равна где центральный угол, выраженный в радианах, стягивающий дугу радиус окружности. Теперь линейную скорость запишем в виде

, где .

Часто бывает удобно использовать формулы: или Угловую скорость часто называют циклической частотой, а частоту линейной частотой.

6. Центростремительное ускорение. В равномерном движении по окружности модуль скорости остаётся неизменным , а направление её непрерывно меняется (Рис.26). Это значит, что тело, движущееся равномерно по окружности, испытывает ускорение, которое направлено к центру и называется центростремительным ускорением.

Пусть за промежуток времени прошло путь равный дуге окружности . Перенесём вектор , оставляя его параллельным самому себе, так чтобы его начало совпало с началом вектора в точке В. Модуль изменения скорости равен , а модуль центростремительного ускорения равен

На Рис.26 треугольники АОВ и ДВС равнобедренные и углы при вершинах О и В равны, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами АО и ОВ Это значит, что треугольники АОВ и ДВС подобные. Следовательно Если то есть интервал времени принимает сколь угодно малые значения, то дугу можно приближенно считать равной хорде АВ, т.е. . Поэтому можем записать Учитывая, что ВД= , ОА=R получим Умножая обе части последнего равенства на , получим и далее выражение для модуля центростремительного ускорения в равномерном движении по окружности: . Учитывая, что получим две часто применяемые формулы:

, .

Итак, в равномерном движении по окружности центростремительное ускорение постоянно по модулю.

Легко сообразить, что в пределе при , угол . Это значит, что углы при основании ДС треугольника ДВС стремятся значению , а вектор изменения скорости становится перпендикулярным к вектору скорости , т.е. направлен по радиусу к центру окружности.

7. Равнопеременное движение по окружности – движение по окружности, при котором за равные интервалы времени угловая скорость изменяется на одну и ту же величину.

8. Угловое ускорение в равнопеременном движении по окружности – отношение изменения угловой скорости к интервалу времени , в течении которого это изменение произошло, т.е.

,

где начальное значение угловой скорости, конечное значение угловой скорости, угловое ускорение, в системе СИ измеряется в . Из последнего равенства получим формулы для вычисления угловой скорости

и , если .

Умножая обе части этих равенств на и учитывая, что , — тангенциальное ускорение, т.е. ускорение, направленное по касательной к окружности , получим формулы для вычисления линейной скорости:

и , если .

9. Тангенциальное ускорение численно равно изменению скорости в единицу времени и направлено вдоль касательной к окружности. Если >0, >0, то движение равноускоренное. Если

Дата добавления: 2015-08-08 ; просмотров: 17263 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Неравномерное движение и средняя скорость

теория по физике 🧲 кинематика

Неравномерное движение — движение с переменной скоростью, которая может менять как направление, так и модуль.

Неравномерное движение можно охарактеризовать средней скоростью. Различают среднюю векторную и среднюю скалярную скорости.

Средняя векторная скорость

Средняя векторная скорость — это скорость, равная отношению перемещения тела ко времени, в течение которого это перемещение было совершено.

v _ср — средняя векторная скорость, s — перемещение тела, совершенное за время t

Направление вектора средней скорости всегда совпадает с направлением вектора перемещения.

Чтобы вычислить среднюю векторную скорость, нужно поделить сумму всех перемещений на сумму всех временных промежутков, в течение которых эти перемещения были совершены:

Пример №1. Миша пробежал стометровку за 16 секунд. Через 1 минуту он вернулся на старт. Найти среднюю векторную скорость мальчика.

Миша совершил одинаковые по модулю, но разные по направлению перемещения. При сложении этих векторов получается 0. Поэтому средняя векторная скорость также равна нулю:

Средняя скалярная скорость

Средняя скалярная (путевая) скорость — это скорость, равная отношению пути, пройденного телом, ко времени, в течение которого этот путь был пройден.

v_ср — средняя путевая скорость, s — путь, пройденный телом за время t

Чтобы вычислить среднюю путевую скорость, нужно поделить сумму всех путей на сумму всех временных промежутков, в течение которых эти пути были преодолены:

Пример №2. Мальчик пробежал по периметру квадратного поля сто стороной 100 м. На первые две стороны мальчик потратил по 15 секунд, а на последние две — по 20 секунд. Найти среднюю путевую скорость мальчика.

У квадрата 4 стороны, поэтому путь мальчика составляют 4 дистанции по 100 м каждая. Поэтому средняя путевая скорость равна:

Средняя скалярная скорость всегда больше или равна модулю средней векторной скорости:

• v_ср= v _ср, если путь равен модулю перемещения. Так бывает в случае равномерного прямолинейного движения.
• v_ср>v _ср, если путь больше модуля перемещения. Так бывает в случае неравномерного прямолинейного или любого криволинейного движения.

Пример №3. Рыболов остановился на берегу круглого пруда и увидел на противоположном берегу удобное для рыбалки место. Он к нему шел в течение 2 минут. Вычислите среднюю путевую и среднюю векторную скорости рыболова после того, как он придет на новое место, если радиус пруда равен 50 м.

Две противоположные точки окружности соединяются отрезком, проходящим через его центр — диаметром. Поэтому модуль вектора перемещения равен двум радиусам пруда:

Чтобы дойти до диаметрально противоположной точки окружности, нужно пройти путь, равный половине окружности:

Переведя 2 минуты в СИ, получим 120 с. Модуль средней векторно скорости равен:

• Если известны скорости на первой и второй половине пути (s₁=s₂), средняя скорость равна:

• Если известно время прохождения отдельных участков пути и скорости движения на этих участках, средняя скорость равна:

• Если тело движется прямолинейно и равноускорено, его средняя скорость равна половине суммы начальной и конечной скорости:

• Если известны скорости тела за равные промежутки времени, его средняя скорость равна:

Пример №4. Первые полчаса автомобиль двигался со скоростью 90 км/ч, а потом 1 час он двигался со скоростью 60 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля.

Нам известны скорости на каждом из участков пути и время, в течение которого каждый из этих участков был преодолен. Поэтому:

[spoiler title=”источники:”]

http://b4.cooksy.ru/articles/kak-nayti-srednyuyu-skorost-po-okruzhnosti

[/spoiler]

Задача 1. За промежуток времени с тело прошло половину окружности радиусом 100 см. Найти среднюю путевую скорость и модуль средней скорости .

Решение: средней путевой скоростью называется средняя скорость прохождения пути, которую мы с вами вычисляем, деля весь путь (длину траектории) на все время. Модуль средней скорости еще называют средней скоростью по перемещению. Ее можно определить, разделив перемещение на время. Тогда длина пути – это длина половины окружности, а перемещение – длина диаметра.

Ответ: средняя путевая скорость – 0,314 м/с, средняя скорость по перемещению – 0,2 м/с

Задача 2. Однородный диск радиусом 0,5 м катится без проскальзывания со скоростью 2 м/с. Найти скорость точек диска . Найти геометрическое место всех точек диска,  скорость которых 2 м/с. Угол .

Решение:

Точка A – центр вращения. Поэтому ее скорость относительно поверхности, по которой катится диск, равна 0. Поскольку в условии сказано, что диск катится со скоростью 2 м/с, то это означает, что с такой скоростью относительно поверхности будет передвигаться его центр: м/с. Поэтому точка А относительно центра будет передвигаться с точно такой же скоростью – со скоростью 2 м/с, и это и будет линейная скорость вращения диска, то есть скорость всех точек, лежащих на его краю, относительно центра м/с.  Линейные скорости показаны для  точек оранжевыми стрелками. Эти стрелки показывают, какой была бы скорость данной точки, если бы диск не катился, а вращался бы, например, на оси, проходящей через его центр. Но наш диск катится. Поэтому к линейной скорости вращения каждой точки необходимо еще прибавить скорость движения диска относительно опоры. То есть к каждой рыжей стрелке прибавим (векторно) скорость точки О – центра диска – черную стрелку. Тогда-то и становится понятным, почему у точки скорость равна 0 – линейная скорость вращения направлена влево, а скорость качения – вправо, и поскольку они равны, то гасят друг друга: .  В точке C скорости, напротив, сложатся, поскольку они сонаправлены: м/с.

Определим теперь скорости точек и . Понятно, что они будут равны численно, но направлены в разные стороны.

Осталось разобраться с точкой . Сделаем еще один рисунок. Линейная скорость вращения всегда направлена по касательной, то есть перпендикулярно радиусу . Углы, которые образуются между векторами, показаны на рисунке, в том числе угол . Тогда в параллелограмме угол , а так как

, то все углы в треугольнике равны и он равносторонний, то есть м/с. Также можно было найти длину этого вектора скорости по теореме косинусов или складывая проекции векторов. Можно догадаться, что точка, симметричная точке E относительно A также имеет скорость, равную 2 м/с. Вообще точки, лежащие на одном и том же расстоянии от центра вращения A будут иметь равные скорости, линии равных скоростей (геометрические места точек с равными скоростями) показаны на рисунке различного цвета дугами: единственная точка (точка C) будет иметь скорость 4 м/с, точки, лежащие на рыжей дуне, будут иметь скорости, равные , точки, лежащие на синей дуге, будут иметь скорости, равные 2 м/с, как у точки E.

Задача 3. Колесо, пробуксовывая, катится по ровной, горизонтальной дороге. Найти скорость центра колеса , если известно, что скорость нижней точки м/c, а верхней – м/c.

Решение:

Если колесо пробуксовывает, то это означает, что скорость его нижней точки не равна нулю, то есть его центр вращения – не точка касания поверхности, центр вращения будет расположен выше. Но центр вращения находится и не в центре колеса. Найти его можно, если провести вертикальный диаметр, построить вектора скоростей в масштабе, а затем, соединив концы векторов скоростей прямой линией, отметить точку пересечения этой линии с диаметром. У нас на рисунке это точка О. Точка К – центр колеса, его скорость нам и нужно найти. Из подобия треугольников и запишем отношения сходственных сторон:

Тогда

Тогда

Теперь обратимся к подобным треугольникам и . Для них отношение сходственных сторон равно:

Откуда м/с.

Ну а более простым решение было бы, если бы мы просто нашли среднее арифметическое скоростей, ведь точка, про которую нас спрашивают, лежит по центру между точками приложения векторов скоростей и , при этом не забываем о векторном сложении скоростей, берем скорость со знаком «минус»:

м/с.

Ответ: 4 м/с.

Задача 4. Обруч, проскальзывая, катится по горизонтальной ровной поверхности. В некоторый момент скорость верхней точки А м/с, а нижней точки  B м/с. Определить скорость концов диаметра , перпендикулярного к , для того же момента времени. Под какими углами они направлены к горизонту?

Решение:

Проскальзывание – это ситуация, когда скорость нижней точки (точки касания обручем земли) не нулевая, но направлена она в сторону качения. В этом случае центр вращения, так же, как и в случае пробуксовки, не совпадает с центром колеса. Более того, центр вращения даже не внутри колеса – он снаружи (точка О). Как и в предыдущей задаче, можно найти его таким же способом – проведя линию через концы скоростей и найдя ее пересечение с продолжением вертикального диаметра. И, точно так же, как в предыдущей задаче, можно определить скорость центра колеса как среднее арифметическое, только обе скорости направлены у нас теперь в одну сторону, поэтому ставим знак «плюс» перед обеими:

м/с.

Так как скорость точки есть результат векторного сложения линейной скорости вращения колеса и скорости поступательного движения центра колеса , то можем из этого сделать вывод, что линейная скорость вращения равна 2 м/с – ровно на столько скорость центра колеса, найденная нами, отличается от скорости точки , данной в условии задачи. Линейную скорость на рисунке не показывала, или показывала не везде. Скорости точек и равны численно, но направлены по-разному. Их скорости – также результат векторного сложения линейной скорости вращения колеса и скорости поступательного движения центра, а, так как эти две скорости перпендикулярны друг другу, то результат их сложения может быть найден по Пифагору:

Понятно, что раз скорости перпендикулярны друг другу, то являются катетами некоторого прямоугольного треугольника, и связывает их между собой функция тангенса, поэтому угол наклона к горизонту скорости точки можно найти как

Ответ: ,

Задача 5. Шарик радиусом см катится равномерно и без проскальзывания по двум параллельным линейкам, расстояние между которыми равно см, и за время с проходит см. С какими скоростями движутся верхняя и нижняя точки шарика?

На рисунке изображено, как двигается шарик, при этом для удобства показан как вид спереди, так и вид сбоку. Поскольку скорость шарика равна м/с, то эта скорость – скорость поступательного движения его центра масс – точки А. Центр вращения шарика находится в точке О – на уровне края линеек. Определим положение точки О – определим длину отрезка . Это легко сделать, зная радиус шарика и рассмотрев рисунок, из треугольника . Центр вращения в данный момент неподвижен, а точка А двигается относительно него со скоростью 0,6 м/с. Поэтому скорость нижней точки   будет

Таким же способом определяем скорость верхней точки :

Ответ: скорость нижней точки 0,15 м/c, скорость верхней 1,35 м/c.

Задача 6.  Автомобиль движется по закругленному шоссе, имеющему радиус кривизны м. Закон движения автомобиля имеет вид: , где м, м/с, м/с. Найти скорость автомобиля , его тангенциальное  , нормальное и полное ускорения в момент времени с.

Решение.

Путь:

Производная пути – линейная скорость:

Вторая производная – тангенциальное ускорение:

Нормальное ускорение:

Полное ускорение:

Задача7. Угол поворота диска радиусом см  изменяется со временем по закону . Определить зависимости от времени угловой скорости, углового ускорения и линейной скорости точек диска.

Решение: угловая скорость – производная угла:

Угловое ускорение – производная угловой скорости:

Линейная скорость:

Задача 8.  Точка движется по окружности с постоянным угловым ускорением рад/. Найти угол между скоростью и ускорением  через 1 с после начала движения. Начальная скорость точки равна 0.

Решение: так как тангенциальное ускорение и линейная скорость совпадают по направлению, то определим обе составляющие ускорения: как нормальную, так и тангенциальную. Угол между полным ускорением и его тангенциальной составляющей можно тогда будет найти через функцию тангенса.

Известно, что нормальное ускорение  , тангенциальное ускорение . При этом , или . Тогда

Искомый угол:

Ответ:

Задача 9. Два концентрических колеса радиусами см и см вращаются с угловыми скоростями рад/c и рад/с соответственно. Между ними зажато третье колесо так, как показано на рисунке. Какова угловая скорость этого колеса вокруг собственной оси?  Проскальзывания нет.

Решение: определим радиус маленького (третьего) колеса, м:

Определим линейную скорость точек первого колеса:

Определим линейную скорость точек второго колеса:

Найдем угловую скорость маленького колеса, зная, что линейная скорость его точек равна линейной скорости больших колес, так как проскальзывания нет:

Ответ: 20 рад/с

Задача 10. Гайку закручивают на болт за время . Длина болта , резьба составляет угол с плоскостью гайки. Найдите угловую скорость гайки, если радиус болта равен .

Решение: при закручивании гайка не только вращается, но и движется вдоль болта поступательно, например, спускается вниз. Поэтому точка, взятая на ребре гайки, будет обладать двумя составляющими скорости: скорость, с которой она будет двигаться вниз вдоль болта (назовем ее ) и скорость, с которой эта точка вращается – это уже знакомая нам линейная скорость (). Тогда .

Из рисунка видно, что

С другой стороны, так как длина болта , а гайка спускается по нему за время , то

Тогда

И можно определить :

Тогда

Ответ:

Человек регулярно сталкивается с разными видами движения. Перемещение тела по окружности позволяет понять многие физические процессы. На основе закономерностей такого явления работают разнообразные механизмы. Рассчитать характеристики движения по окружности достаточно просто, если знать и уметь применять несколько основных формул.

Движение тела по окружности — какими законами описывается

Движением по окружности в теории называют вращение какой-либо материальной точки или тела относительно оси, неподвижной в выбранной системе отсчета и не проходящей через центр тела.

Тело может двигаться по окружности двумя способами:

• равномерно;
• неравномерно.

Равномерное движение тела характеризуется постоянной угловой скоростью. Для описания такого перемещения применяют следующие формулы:

• угловая скорость: (omega =frac{2pi }{T})
• скорость движения: (V =frac{2pi R}{T}=omega R)
• угол поворота: (phi =2pi frac{t}{T}=omega t)
• ускорение: (frac{2pi v}{T}=omega ^{2}R)

Неравномерное движение возможно при переменной угловой скорости тела. В данном случае применимы формулы:

• тангенциальное ускорение: (a_{t}=frac{dv}{dt})
• центростремительное ускорение: (a_{n}=frac{v^{2}}{R}=omega ^{2}R)

В представленных уравнениях используются такие параметры, как:

• Т — период вращения;
• t — время;
• ω — угловая скорость;
• R — радиус;
• a_t — тангенциальное ускорение;
• a_n — центростремительное или полное ускорение.

При отсутствии специальных оговорок, в процессе решения задач движение тела по окружности принимают за равномерное. Для расчета пройденного пути используют формулу:

(S=frac{v}{t})

где:

• S является расстоянием, которое преодолело тело;
• v представляет собой скорость движения тела;
• t определяет время движения.

Таким образом, справедливы выражения:

(v=frac{S}{t})

(t =frac{v}{S})

Величины, которые применяют для решения задач, характеризуются положительными значениями:

S > 0, v > 0, t > 0

При решении задач принято все величины переводить в единицы измерения, согласно системе СИ.

Секретом заданий на движение тела по окружности является то, что обгоняющий будет преодолевать на 1 круг больше при первом обгоне. Данное расстояние считается на n кругов больше, если первый объект обогнал другого в n-ый раз.

Задачи на движение по окружности от простых до сложных

Задачи на движение тела по окружности отличаются по степени сложности. Можно рассмотреть примеры простых заданий.

Задача 1

Длина круговой трассы составляет 8 километров. Из ее точки в один момент времени в одинаковом направлении выехали два автомобиля. Первый автомобиль развил скорость 114 км/ч и, спустя 20 минут после начала движения, обогнал второй автомобиль на один круг. Требуется определить скорость, с которой двигался второй автомобиль. Ответ необходимо представить в км/ч.

Решение

Известно, что старт произошел одновременно для обоих автомобилей. Через 20 минут после начала движения первое транспортное средство опережало второе на один круг. Таким образом, в течение 20 минут или 1/3 часа первый автомобиль преодолел на 1 круг больше, то есть на 8 км больше. За час первый автомобиль проехал на 8*3=24 км больше, чем второй. Скорость второго транспортного средства на 24 км/ч меньше по сравнению с первым, и равна 114-24=90 км/ч.

Ответ: второй автомобиль двигался со скоростью 90 км/ч.

Задача 2

Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а спустя полчаса стартовал мотоциклист. Через 10 минут после начала пути водитель мотоцикла догнал велосипедиста в первый раз. Спустя еще 30 минут мотоциклист догнал велосипедиста повторно. Требуется определить, какова скорость мотоциклиста, в том случае, когда длина трассы составляет 30 км. Ответ необходимо представить в км/ч.

Решение

В первую очередь требуется перевести минуты в часы. Скорости мотоциклиста и велосипедиста можно обозначить х и у. В первый раз водитель мотоцикла обогнал велосипедиста, спустя 10 минут или 1/6 часа после начала движения. До этого момента велосипедист находился в движении 40 минут или 2/3 часа.

Можно упростить запись условий задачи:

велосипедист: v = х, t = 2/3, S = 2/3*х;

мотоциклист: v = у, t = 1/6, S = 1/6*у.

Велосипедист и мотоциклист преодолели одинаковый путь:

(frac{1}{6}y=frac{2}{3}x)

Спустя 30 минут или 1/2 часа после первого обгона мотоциклист выполнил второй обгон велосипедиста.

Таким образом:

велосипедист: v = х, t = 1/2, S = 1/2*х;

мотоциклист: v = у, t = 1/2, S = 1/2*у.

Требуется определить расстояния, которые преодолели гонщики. Мотоциклист обогнал велосипедиста, то есть проехал больше на один круг. Это является ключевым моментом в данной задаче. Один круг составляет 30 километров. Второе уравнение будет иметь вид:

(frac{1}{2}y-frac{1}{2}x=30)

Далее необходимо решить полученную систему:

у = 4х

у – х = 60

Таким образом, х = 20, у = 80.

Ответ: скорость мотоциклиста равна 80 км/ч.

Бывают задания на движение тела по окружности с повышенной степенью сложности. Как правило, подобные примеры при невозможности проведения экспериментов требуют сложных вычислений.

Задача 3

На часах со стрелками время 8 часов 00 минут. Требуется определить, через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз догонит часовую стрелку.

Решение

Спустя один час минутная стрелка преодолевает один круг, а часовая проходит лишь 1/12 циферблата. Допустим, что скорости равны 1 круг в час и 1/12 круга в час соответственно. Начало движения приходится на 8.00. Необходимо определить время, в течение которого минутной стрелке в первый раз удастся догнать часовую.

Минутная стрелка преодолеет на 2/3 круга больше. Исходя из этого, можно записать уравнение:

(1*t-frac{1}{12}t=frac{2}{3})

Таким образом, спустя 8/11 часа стрелки совпадут. Предположим, что через время z стрелки совпадут повторно. Минутная стрелка преодолеет расстояние 1*z, а часовая 1/12*z. При этом минутной стрелкой будет пройдено на один круг больше. Можно записать уравнение:

(1*z-frac{1}{12}z=1)

Решение данного уравнения будет таким:

(z=frac{12}{11})

Таким образом, через 12/11 часа стрелки совпадут повторно. Спустя еще 12/11 часа они встретятся вновь и так далее. Поэтому при старте в 8.00 в четвертый раз минутная стрелка догонит часовую через:

(frac{8}{11}+3frac{12}{11}) часа

Ответ: минутная и часовая стрелки совпадут в четвертый раз через (frac{8}{11}+3frac{12}{11})часа.

Нередко при решении задач на движение по окружности требуется рассчитать среднюю скорость тела. Важно, что данная величина не совпадает со средним арифметическим скоростей. Средняя скорость определяется с помощью формулы:

(v=frac{S_{0}}{t_{0}})

где v является средней скоростью;

S₀ представляет собой общий путь;

t₀ определяет общее время.

При наличии двух участков пути средняя скорость рассчитывается по формуле:

(v=frac{S_{1}+S_{2}}{t_{1}+t_{2}})

Наиболее сложными задачами считаются примеры с пятизначными дискриминантами. Рассмотрим алгоритм действий в таком случае.

Задача 4

Пара гонщиков участвует в соревновании. Путь, который требуется преодолеть, равен 60 кругам кольцевой трассы в 3 км. После одновременного старта первый гонщик пересек финиш раньше, чем второй на 10 минут. Требуется рассчитать среднюю скорость второго гонщика. Известно, что впервые первый участник обогнал второго на круг, спустя 15 минут после начала движения. Ответ требуется записать в км/ч.

Решение

Первый участник гонки, находясь в движении 15 минут, догнал второго гонщика на первом круге. Таким образом, в течение 15 минут он преодолел на 1 круг или на 3 км больше, чем второй. За час первый гонщик проехал 3*4=12 километров больше. При этом скорость его движения на 12 км/ч превышает скорость второго гонщика. 10 минут соответствует ¼ часа. Можно записать уравнение:

(frac{180}{x}-frac{180}{x+12}=frac{1}{6})

Далее необходимо преобразовать выражение к квадратному уравнению:

(x^{2}+12x-12960=0)

Таким образом, получен пятизначный дискриминант. Есть более простой вариант решения задачи. Можно записать уравнение:

(frac{180}{x}-frac{180}{x+12}=frac{1}{6})

В нем 180 можно поделить на 12. Заменим х=12z:

(frac{180}{12z}-frac{180}{12z+12}=frac{1}{6})

(frac{15}{z}-frac{15}{z+1}=frac{1}{6})

(frac{90}{z}-frac{90}{z+1}=1)

Данное равенство можно преобразить в квадратное уравнение. Целый положительный корень такого выражения z=9. Тогда получим:

(х=12z=108)

Ответ: средняя скорость второго гонщика равна 108 км/ч.

Нахождение линейной скорости при движении по окружности

Любая точка, находящаяся на окружности, перемещается с некоторой скоростью. Данная величина называется линейной скоростью. Вектор линейной скорости всегда совпадает по направлению с касательной к окружности. К примеру, стружка из точильного станка движется, повторяя направление мгновенной скорости.

Можно рассмотреть какую-то точку на окружности, совершившую один оборот. При этом было затрачено время равное периоду Т. Расстояние или путь, пройденный точкой, представляет собой длину рассматриваемой окружности.

Задачи на тему равномерное движение по окружности

Задача 1

Радиус выпуклого моста равен 90 м. Требуется определить скорость, с которой автомобиль должен пройти его середину, чтобы пассажир на мгновение ощутил невесомость.

Решение

Согласно условиям задачи:

R = 90 м

N = 0

Сила реакции опоры обладает нулевым значением, так как пассажир в состоянии невесомости не оказывает давление на сиденье автомобиля.

Решение задачи необходимо представить в системе отсчета, которая связана с Землей. Человек совершает движение вместе с автомобилем. Ускорение при этом направлено вниз. На пассажира действует сила притяжения Земли, которая будет центростремительной:

(mg=mfrac{v^{2}}{R})

Таким образом:

(v=sqrt{frac{Rmg}{m}}=sqrt{Rg}=sqrt{90*10}=30) м/с

Ответ: скорость автомобиля составляет 30 м/с.

Задача 2

Масса девочки 40 кг. Она качается на качелях, длина подвеса которых составляет 4 м. Требуется определить силу, с которой девочка давит на сиденье при прохождении среднего положения со скоростью 5 м/с.

Решение

На девочку действует сила тяжести (mvec{g}) и сила реакции опоры (vec{N}).

Качели находятся под действием силы давления  (vec{F_{g}}), которая направлена вниз. Согласно третьему закону Ньютона, данная сила соответствует взятой со знаком минус силе реакции опоры:

(vec{F_{g}}=-vec{N})

Таким образом, решением задачи является определение силы реакции опоры. Исходя из закона динамики:

(mvec{g}+vec{N}= mvec{a})

В проекции на ось Х:

(N-mg=mfrac{v^{2}}{R})

Из чего следует вывод:

(F_{g}=left|N right|=m(g+frac{v^{2}}{R}))

(F_{g}=40(10+frac{5^{2}}{4})=650) Н

Ответ: сила равна 650 Н.

Задача 3

Шарик привязали с помощью нити к подвесу. Он описывает в горизонтальной плоскости окружность, совершая движение с постоянной скоростью. Нить обладает длиной 0,6 м и составляет с вертикалью угол в 60 градусов. Необходимо рассчитать, какова скорость шарика.

Решение

Сумма сил (mvec{g}) и натяжения (vec{F_{n}}), исходя из правила параллелограмма, соответствует результирующей силе, направленной в центр вращения (sum_{i}^{}{vec{F}_{i}}):

(sum_{i}^{}{vec{F}_{i}}= mvec{g}+vec{F_{n}}= mvec{a})

Силы в сумме определяются из прямоугольного треугольника с углом α равным 60 градусам. Исходя из того, что (vec{F_{n}}) является противолежащим катетом, получим:

(vec{F_{n}}=mg*tg α)

Таким образом:

(mg*tg α= mvec{a}= mfrac{v^{2}}{R})

(v^{2}=frac{mg*tan alpha *R}{m}=gR*tan alpha)

R включен в прямоугольный треугольник, в котором длина нити представляет собой гипотенузу. R является катетом, противолежащий углу α в 60 градусов.

(R=l*sin alpha)

Преобразив формулу квадрата скорости шарика с помощью подстановки выражения для радиуса, получим:

(v^{2}=gl*sin alpha *tan alpha )

(v=sqrt{gl*sin alpha *tan alpha }=sqrt{10*0.6*frac{sqrt{3}}{2}*sqrt{3}}=3) м/с

Ответ: скорость шарика составляет 3 м/с.

Задача 4

Необходимо определить максимальную скорость мотоцикла по горизонтальной плоскости, который описывает при этом дугу окружности с радиусом 100 м. Коэффициент трения резины о плоскость составляет 0,4.

Решение

Во время поворота мотоцикл наклоняется к центру поворота. На транспортное средство оказывают действие:

• сила тяжести (mvec{g});
• сила реакции опоры (vec{N});
• сила трения (vec{F_{tr}});
• сила тяги (vec{F_{t}});
• сила сопротивления (vec{F_{c}}).

Данные силы в сумме составляют:

(mvec{g}+vec{N}+vec{F_{tr}}+vec{F_{t}}+vec{F_{c}}= mvec{a})

Согласно выражениям:

(mvec{g}+vec{N}=0)

(vec{F_{t}}+vec{F_{c}}=0)

Получим:

(vec{F_{tr}}= mvec{a})

Сила трения составляет:

(F_{tr}= mu mg)

Таким образом:

(mu mg=ma= mfrac{v^{2}}{R})

(v=sqrt{frac{mu mgR}{m}}=sqrt{mu gR}=sqrt{0.4*10*100}=20) м/с

Ответ: максимальная скорость равна 20 м/с.

Задачи разной сложности по теме движения тела по кружности часто встречаются не только в школьной программе, но и во время обучения в вузе. Знание основных закономерностей позволит быстро найти решение примера любой сложности. Если в процессе расчетов возникают трудности, всегда можно обратиться за помощью к сервису Феникс.Хелп.

Неравномерное движение — движение с переменной скоростью, которая может менять как направление, так и модуль.

Неравномерное движение можно охарактеризовать средней скоростью. Различают среднюю векторную и среднюю скалярную скорости.

Средняя векторная скорость

Определение и формулы

Средняя векторная скорость — это скорость, равная отношению перемещения тела ко времени, в течение которого это перемещение было совершено.

v_ср — средняя векторная скорость, s — перемещение тела, совершенное за время t

Направление вектора средней скорости всегда совпадает с направлением вектора перемещения.

Чтобы вычислить среднюю векторную скорость, нужно поделить сумму всех перемещений на сумму всех временных промежутков, в течение которых эти перемещения были совершены:

Пример №1. Миша пробежал стометровку за 16 секунд. Через 1 минуту он вернулся на старт. Найти среднюю векторную скорость мальчика.

Миша совершил одинаковые по модулю, но разные по направлению перемещения. При сложении этих векторов получается 0. Поэтому средняя векторная скорость также равна нулю:

Средняя скалярная скорость

Определение и формулы

Средняя скалярная (путевая) скорость — это скорость, равная отношению пути, пройденного телом, ко времени, в течение которого этот путь был пройден.

v_ср — средняя путевая скорость, s — путь, пройденный телом за время t

Чтобы вычислить среднюю путевую скорость, нужно поделить сумму всех путей на сумму всех временных промежутков, в течение которых эти пути были преодолены:

Пример №2. Мальчик пробежал по периметру квадратного поля сто стороной 100 м. На первые две стороны мальчик потратил по 15 секунд, а на последние две — по 20 секунд. Найти среднюю путевую скорость мальчика.

У квадрата 4 стороны, поэтому путь мальчика составляют 4 дистанции по 100 м каждая. Поэтому средняя путевая скорость равна:

Средняя скалярная скорость всегда больше или равна модулю средней векторной скорости:

• v_ср=v_ср, если путь равен модулю перемещения. Так бывает в случае равномерного прямолинейного движения.
• v_ср>v_ср, если путь больше модуля перемещения. Так бывает в случае неравномерного прямолинейного или любого криволинейного движения.

Пример №3. Рыболов остановился на берегу круглого пруда и увидел на противоположном берегу удобное для рыбалки место. Он к нему шел в течение 2 минут. Вычислите среднюю путевую и среднюю векторную скорости рыболова после того, как он придет на новое место, если радиус пруда равен 50 м.

Две противоположные точки окружности соединяются отрезком, проходящим через его центр — диаметром. Поэтому модуль вектора перемещения равен двум радиусам пруда:

Чтобы дойти до диаметрально противоположной точки окружности, нужно пройти путь, равный половине окружности:

Переведя 2 минуты в СИ, получим 120 с. Модуль средней векторно скорости равен:

Полезные советы и формулы

• Если известны значения отдельных участков пути и скорости на этих участках, средняя скорость равна:

• Если известны скорости на первой и второй половине пути (s₁=s₂), средняя скорость равна:

• Если известно время прохождения отдельных участков пути и скорости движения на этих участках, средняя скорость равна:

• Если тело движется прямолинейно и равноускорено, его средняя скорость равна половине суммы начальной и конечной скорости:

• Если известны скорости тела за равные промежутки времени, его средняя скорость равна:

Пример №4. Первые полчаса автомобиль двигался со скоростью 90 км/ч, а потом 1 час он двигался со скоростью 60 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля.

Нам известны скорости на каждом из участков пути и время, в течение которого каждый из этих участков был преодолен. Поэтому:

Алиса Никитина | Просмотров: 5.6k