Как найти среднюю скорость по уравнению движения

Средняя скорость считается так: весь путь поделить на всё время движения. Формула одна и очень простая, но почему-то школьники часто путаются в задачах на среднюю скорость. Разберу три характерные задачи и основные ошибки. Возможно, статья будет полезна учителям и репетиторам, а также школьникам.

1. Половина пути

Первую половину пути поезд ехал со скоростью 60 км/ч, а вторую – 90 км/ч. С какой средней скоростью ехал поезд на всём пути?

Первым делом школьник захочет сложить эти две скорости и поделить пополам. Логично? Да. Но, к сожалению, неправильно.

Объясняю, почему. Поскольку первую половину пути поезд ехал с меньшей скоростью, то времени было затрачено больше, чем на вторую. А значит, вклад отдельных скоростей неравнозначен, и нельзя так просто делить пополам.

Тут школьник может впасть в панику. Что делать? Умножать? Делить? Непонятно. Воспользоваться напрямую формулой “расстояние поделить на время” не получится – ни расстояние, ни время нам неизвестно.

Для школьников, только начинающих изучать основы физики, бывает трудно оперировать с неизвестными величинами. Нам не дано ничего, кроме скоростей, как же быть? В качестве маленькой ступеньки к освоению неизвестности могу предложить следующий ход – сначала додумать неизвестные данные. Возьмём и сами решим, пусть поезд пройдет 180 километров, цифру возьмем так, чтобы легко делилась.

Тогда половина пути будет 90 километров. Поезд пройдет её за 1,5 часа. Вторую половину пути – за 1 час. Это легко посчитает любой школьник. Значит, общее время в пути будет 2,5 часа. Делим общее расстояние 180 километров на 2,5 часа, и получаем 72 км/ч.

Это просто и понятно, но учитель такую задачу не примет. Откуда мы взяли 180 километров, когда это неизвестно? Тем не менее, дав себе эти неизвестные данные, мы продумали алгоритм и довели задачу до ответа. Осталось формализовать это решение, так чтобы не использовать то, что не дано. Обозначим наши 180 километров за S, и опишем всё, что мы делали раньше, только вместо цифр используем буквы.

Решение задачи про среднюю скорость поезда. Паровозик из Ромашково тут для красоты.
Решение задачи про среднюю скорость поезда. Паровозик из Ромашково тут для красоты.

Получается, что зная ход решения “в цифрах”, мы переводим его в буквенные обозначения. И тут главное не остановиться на полдороги, не смущаться, что нам неизвестно расстояние. Ведь оно в конце сократилось, и средняя скорость оказалась независящей от расстояния (что вполне логично). И от школьника здесь требуются уже алгебраические умения – складывать дроби, переворачивать их.

Если подобная задача встретилась в тесте, где требуется только ответ, можно вообще не заморачиваться – так как средняя скорость в данной задаче не зависит от расстояния, можно посчитать при любом удобном расстоянии. По крайней мере, это лучше, чем сидеть и ломать голову, не зная, как подступиться к решению. Если же требуется оформление – тут числовое решение может помочь как переходный этап, чтобы понять, что именно делать с формулами, как их крутить-вертеть.

Школьникам часто бывает трудно переходить на новый уровень абстракции – от чисел к переменным, которые могут принимать разные числовые значения. В алгебре это тренируют, но там одна переменная икс, и иногда игреки встречаются. А в физике этих переменных пруд пруди, в каждой задаче они разные, и если ученик не освоил этот уровень, то физика кажется ему супер-трудной. Кроме того, в школе переход от чисел к переменным часто упускают, в программе отдельных навыков работы с формулами нет.

2. Средняя скорость по графику пути

Пусть нам дан график зависимости координаты от времени. Требуется определить среднюю скорость.

График координаты от времени для примера
График координаты от времени для примера

По графику видно, что движение состоит из четырех этапов:

  1. Тело стартует в нуле и через 2 секунды оказывается на координате 2 м.
  2. Тело останавливается, и в течение 4 секунд покоится в точке с координатой 2 м.
  3. Тело начинает движение, и через 2 секунды оказывается в точке 6 м.
  4. Тело движется в обратном направлении, и через 2 секунды оказывается в точке 5 м.

Проговорить, понять все эти этапы – важная часть решения. А дальше многие школьники начинают вычислять скорости движения на каждом этапе: На первом – 1 м/с, на втором – 0, на третьем – 2 м/с, на четвертом – 0,5 м/с. Вот это действие как раз лишнее. Для того, чтобы вычислить среднюю скорость, вовсе не обязательно знать скорости на каждом этапе!

Вспомним определение средней скорости – это весь путь, поделить на всё время. Поэтому просто по графику считаем весь путь – 6 метров “туда” и 1 метр “обратно”, в сумме 7 метров. Общее время движения – 10 секунд. Делим 7 метров на 10 секунд, получаем 0,7 м/с.

3. Средняя скорость по графику скорости

Бывает так, что нам дан график зависимости скорости от времени, и требуется определить среднюю скорость. Вот, к примеру, такой график.

Для примера, график зависимости скорости от времени.
Для примера, график зависимости скорости от времени.

Читаем график. Движение состоит из трёх этапов

  1. С начала движения до момента времени 2 с тело движется с постоянной скоростью 2 м/с
  2. От 2 до 6 с тело движется со скоростью 6 м/с
  3. В последние 4 секунды от 6 до 10 с тело замедляется, снижая свою скорость до нуля.

Попытки что-то сделать со значениями скорости самими по себе здесь обречены на провал. Опять надо найти весь путь и всё время движения. Путь по графику скорости определяется как площадь под графиком, причем если график идет ниже нуля, то соответствующие участки складываются.

Считаем площадь фигуры – два прямоугольника на первых двух этапах и треугольник на третьем. Первый этап – 4 м, второй этап – 24 м, третий этап – 12 м. Значит, весь путь будет 40 метров. Всё время 10 секунд, значит, средняя скорость 4 м/с.

Общие рекомендации для решения задач на среднюю скорость

1. Средняя скорость – это всегда весь путь делить на всё время. Данные об отдельных скоростях сами по себе не дадут полной информации о средней скорости. Используем только эту формулу.

2. Следует проанализировать конкретную ситуацию и понять, как можно применить формулу. Если кажется, что не хватает данных – не смущаться.

3. Данные по скоростям на отдельных этапах могут быть полезны для проверки готового ответа: средняя скорость должна лежать между минимальной и максимальной.

Спасибо, что прочитали до конца! Желаю школьникам хорошей учёбы, учителям – понятливых и любопытных учеников, родителям – чтобы дети радовали. Буду рада лайкам и новым подписчикам!


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Чтобы вычислить среднюю скорость, воспользуйтесь простой формулой: {text{Скорость}}={frac  {{text{Пройденный путь}}}{{text{Время}}}}. Но в некоторых задачах даются два значения скорости — на разных участках пройденного пути или в различные промежутки времени. В этих случаях нужно пользоваться другими формулами для вычисления средней скорости. Навыки решения подобных задач могут пригодиться в реальной жизни, а сами задачи могут встретиться на экзаменах, поэтому запомните формулы и уясните принципы решения задач.

  1. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 1

    1

    Посмотрите на данные величины. Воспользуйтесь этим методом, если даны следующие величины:

    • длина пути, пройденного телом;
    • время, за которое тело прошло этот путь.
    • Например: автомобиль проехал 150 км за 3 ч. Найдите среднюю скорость автомобиля.
  2. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 2

    2

    Запишите формулу для вычисления средней скорости. Формула: v={frac  {s}{t}}, где v — средняя скорость, s — пройденный путь, t — время, за которое пройден путь.[1]

  3. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 3

    3

    В формулу подставьте пройденный путь. Значение пути подставьте вместо s.

    • В нашем примере автомобиль проехал 150 км. Формула запишется так: v={frac  {150}{t}}.
  4. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 4

    4

    В формулу подставьте время. Значение времени подставьте вместо t.

    • В нашем примере автомобиль ехал в течение 3 ч. Формула запишется так: v={frac  {150}{3}}.
  5. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 5

    5

    Разделите путь на время. Вы найдете среднюю скорость (как правило, она измеряется в километрах в час).

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 6

    1

    Посмотрите на данные величины. Воспользуйтесь этим методом, если даны следующие величины:

    • несколько значений пройденных участков пути;
    • несколько значений времени, за которые был пройден каждый участок пути.[2]
    • Например: автомобиль проехал 150 км за 3 ч, 120 км за 2 ч, 70 км за 1 ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем протяжении пути.
  2. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 7

    2

    Запишите формулу для вычисления средней скорости. Формула: v={frac  {s}{t}}, где v — средняя скорость, s — общий пройденный путь, t — общее время, за которое пройден путь.[3]

  3. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 8

    3

    Вычислите общий пройденный путь. Для этого сложите значения пройденных участков пути. В формулу подставьте общий пройденный путь (вместо s).

  4. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 9

    4

    Вычислите общее время в пути. Для этого сложите значения времени, за которые был пройден каждый участок пути. В формулу подставьте общее время (вместо t).

  5. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 10

    5

    Разделите общий путь на общее время. Вы найдете среднюю скорость.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 11

    1

    Посмотрите на данные величины. Воспользуйтесь этим методом, если даны следующие величины:

    • несколько значений скоростей, с которыми двигалось тело;
    • несколько значений времени, в течение которого тело двигалось с соответствующей скоростью.[4]
    • Например: автомобиль двигался со скоростью 50 км/ч в течение 3 ч, со скоростью 60 км/ч в течение 2 ч, со скоростью 70 км/ч в течение 1 ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем протяжении пути.
  2. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 12

    2

    Запишите формулу для вычисления средней скорости. Формула: v={frac  {s}{t}}, где v — средняя скорость, s — общий пройденный путь, t — общее время, за которое пройден путь.[5]

  3. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 13

    3

    Вычислите общий путь. Для этого умножьте каждую скорость на соответствующее время. Так вы найдете длину каждого участка пути. Чтобы вычислить общий путь, сложите значения пройденных участков пути. В формулу подставьте общий пройденный путь (вместо s).

  4. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 14

    4

    Вычислите общее время в пути. Для этого сложите значения времени, за которые был пройден каждый участок пути. В формулу подставьте общее время (вместо t).

  5. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 15

    5

    Разделите общий путь на общее время. Вы найдете среднюю скорость.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 16

    1

    Посмотрите на данные величины. Воспользуйтесь этим методом, если даны следующие величины и условия:

    • два или несколько значений скоростей, с которыми двигалось тело;
    • тело двигалось с определенными скоростями в течение равных промежутков времени.
    • Например: автомобиль двигался со скоростью 40 км/ч в течение 2 ч и со скоростью 60 км/ч в течение других 2 ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем протяжении пути.
  2. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 17

    2

  3. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 18

    3

  4. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 19

    4

    Сложите значения двух скоростей. Затем сумму разделите на два. Вы найдете среднюю скорость на всем протяжении пути.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 20

    1

    Посмотрите на данные величины. Воспользуйтесь этим методом, если даны следующие величины и условия:

    • два или несколько значений скоростей, с которыми двигалось тело;
    • тело двигалось с определенными скоростями и прошло равные участки пути.
    • Например: автомобиль проехал 150 км со скоростью 40 км/ч, а затем вернулся обратно (то есть проехал те же 160 км) со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем протяжении пути.
  2. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 21

    2

    Запишите формулу для вычисления средней скорости, если даны две скорости и одинаковые значения участков пути. Формула: v={frac  {2ab}{a+b}}, где v — средняя скорость, a — скорость тела, с которым оно двигалось на первом участке пути, b — скорость тела, с которым оно двигалось на втором (таком же, как первый) участке пути.
    [7]

    • Зачастую в условиях таких задач дано, что тело прошло определенный путь и вернулось обратно.
    • В таких задачах значения участков пути не важны — главное, чтобы они были равны.
    • Если даны три скорости и равные участки пути, перепишите формулу так:v={frac  {3abc}{ab+bc+ca}}.[8]
  3. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 22

    3

  4. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 23

    4

    Произведение двух скоростей умножьте на 2. Полученный результат запишите в числителе дроби.

  5. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 24

    5

    Сложите две скорости. Полученный результат запишите в знаменателе дроби.

  6. Изображение с названием Calculate Average Speed Step 25

    6

    Сократите дробь. Вы найдете среднюю скорость на всем протяжении пути.

    Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 169 814 раз.

Была ли эта статья полезной?

Средняя скорость

  1. Главная
  2. /
  3. Физика
  4. /
  5. Средняя скорость

Чтобы найти среднюю скорость воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Средняя скорость на протяжении всего пути

Расстояние (путь)

S =

Время

t =

Средняя скорость

Vср =

0

/

Округление ответа:

Средняя скорость через несколько скоростей

Средняя скорость

Vср =

0

Округление ответа:

Просто введите значения скоростей на разных участках пути и получите среднюю скорость. Для того чтобы добавить в ряд более двух чисел воспользуйтесь зелёной кнопкой “+”.

Теория

Как найти среднюю скорость зная расстояние (путь) и время

Чему равна средняя скорость Vср если известны путь S и время t за которое этот путь преодолён?

Формула

Vср = St

Пример

К примеру, поезд преодолел расстояние в 1000 км за 16 часов. Посчитаем с какой средней скоростью он двигался:

Vср = 1000/16 = 62.5 км/ч

Как найти среднюю скорость зная скорости на участках пути

Чтобы найти среднюю скорость Vср на протяжении всего пути, зная показатели скорости на его участках (V1 , V2 , … Vn), следует найти среднее гармоническое этих скоростей.

Формула

Vср = n
1V1 + 1V2 + … + 1Vn

Пример

Средняя скорость через две скорости

Автомобиль проехал некий путь, при этом первые полпути он ехал со скоростью 80 км/ч, а вторые полпути – со скоростью 20 км/ч. Определим среднюю скорость этого автомобиля:

Vср = 2 = 2 = 32
180 + 120 0.0125 + 0.05

Средняя скорость автомобиля равна 32 км/ч.

Rendered by QuickLaTeX.com

В данной статье рассказано о том, как найти среднюю скорость. Дано определение этого понятия, а также рассмотрено два важных частных случая нахождения средней скорости. Представлен подробный разбор задач на нахождение средней скорости тела от репетитора по математике и физике.

Определение средней скорости

Средней скоростью движения upsilon_{cp} тела называется отношение пути s, пройденного телом, ко времени t, в течение которого двигалось тело:

    [ upsilon_{cp} = frac{s}{t}. ]

Научимся ее находить на примере следующей задачи:

Тело двигалось 3 мин. со скоростью 5 м/с, после чего 7 мин. двигалось со скоростью 3 м/с. Найти среднюю скорость движения тела.

Обратите внимание, что в данном случае это значение не совпало со средним арифметическим скоростей upsilon_1 и upsilon_2, которое равно:
frac{upsilon_1+upsilon_1}{2} = 4 м/с.

Частные случаи нахождения средней скорости

1. Два одинаковых участка пути. Пусть первую половину пути тело двигалось со скоростью upsilon_1, а вторую половину пути — со скоростью upsilon_2. Требуется найти среднюю скорость движения тела.

    [ upsilon_{cp} = frac{s}{t_1+t_2} = frac{s}{frac{s}{2upsilon_1}+frac{s}{2upsilon_2}} = frac{2upsilon_1upsilon_2}{upsilon_1+upsilon_2}. ]

2. Два одинаковых интервала движения. Пусть тело двигалось со скоростью upsilon_1 в течение некоторого промежутка времени, а затем стало двигаться со скоростью upsilon_2 в течение такого же промежутка времени. Требуется найти среднюю скорость движения тела.

    [ upsilon_{cp} = frac{s_1+s_2}{t} = frac{upsilon_1frac{t}{2}+upsilon_2frac{t}{2}}{t} = frac{upsilon_1+upsilon_2}{2}. ]

Здесь мы получили единственный случай, когда средняя скорость движения совпала со средним арифметическим скоростей upsilon_1 и upsilon_2 на двух участках пути.

Решим напоследок задачу из Всероссийской олимпиады школьников по физике, прошедшей в прошлом году, которая связана с темой нашего сегодняшнего занятия.

Пройденный телом путь составляет: s = upsilon_{cp}t = 80 м. Можно найти также путь, который прошло тело за последние t_2 = 4 с своего движения: s_2 = upsilon_{cp2}t_2 = 40 м. Тогда за первые t_1 = 16 с своего движения тело преодолело путь в s_1 = s-s_2 = 40 м. Следовательно, средняя скорость на этом участке пути составила:
upsilon_{cp1} = frac{s_1}{t_1} = 2.5 м/с.

Задачи на нахождение средней скорости движения очень любят предлагать на ЕГЭ и ОГЭ по физике, вступительных экзаменах, а также олимпиадах. Научиться решать эти задачи должен каждый школьник, если он планирует продолжить свое обучение в вузе. Помочь справиться с этой задачей может знающий товарищ, школьный учитель или репетитор по математике и физике. Удачи вам в изучении физики!

Репетитор по физике на Юго-Западной
Сергей Валерьевич

Средняя скорость, теория и онлайн калькуляторы

Средняя скорость

Перемещение материальной точки

Пусть материальная точка совершает движение по оси X все время в одном направлении. Тогда перемещением этой материальной точки за отрезок времени $Delta t=t_2-t_1$ будет отрезок $Delta x=x_2-x_1$. Если материальная точка все время своего движения перемещалась в одном направлении, то пройденный путь ($Delta s$) равен по модулю величине перемещения:

[Delta s=left|Delta xright|left(1right).]

Если точка движется сначала в одном направлении, затем останавливается и движется в противоположном направлении, (например, так движется тело брошенное вертикально вверх) то путь равен сумме модулей перемещений в обоих направлениях:

[Delta s=left|Delta x_1right|+left|Delta x_2right|+dots left(2right).]

Определение средней скорости

Определение

Средней скоростью ($leftlangle vrightrangle $) материальной точки за промежуток времени $Delta t$ называют физическую величину, которая равна отношению перемещения, которое совершило тело к этому промежутку времени:

[leftlangle vrightrangle =frac{Delta x}{Delta t}left(3right).]

Направление средней скорости такое же, как у перемещения.

Единицей скорости является скорость такого движения, при котором перемещение точки в единицу времени равно единице длины:

[left[vright]=frac{left[xright]}{left[tright]}.]

Единица измерения скорости (в том числе и средней скорости) в Международной системе единиц (СИ) является метр в секунду:

[left[vright]=frac{м}{с}.]

Средняя скорость при переменном движении

При неравномерном движении величина средней скорости сильно зависит от выбора промежутка времени движения тела.

Рассмотрим движение тела, которое свободно падает вниз. Закон движения при этом:

[x=4,9t^2left(4right).]

Для моментов времени $t_1=0,1 $c координата тела (подставим время $t_1$ в формулу (4)) равна: $x_1=0,049 $м; для $t_2=0,2 $c$ x_2=0,196$ м, тогда $leftlangle vrightrangle $в промежутке времени от $t_1=0,1$ с до $t_2=0,2 $c будет:

[leftlangle vrightrangle =frac{0,196-0,049}{0,2-0,1}=1,47 left(frac{м}{с}right).]

Если взять для того же свободно падающего тела промежуток времени от $t_1=0,7$ с до $t_2=0,8 $c, то средняя скорость получится равной $leftlangle vrightrangle =7,4frac{м}{с}$.

Средняя скорость равномерного движения

Только при равномерном движении средняя скорость является постоянной величиной и не зависит от выбора промежутка времени, в который движется тело. При равномерном движении материальной точки по оси X кинематические уравнения для перемещения запишем как:

[x=x_0+vt left(5right).]

Тогда:

[x_1left(t_1right)=x_0+vt_1;; x_2left(t_2right)=x_0+vt_2left(6right).]

Найдем среднюю скорость движения, используя определение (3) и выражения (6):

[leftlangle vrightrangle =frac{x_0+vt_2-x_0-vt_1}{t_2-t_1}=vfrac{t_2-t_1}{t_2-t_1}=v.]

Для оценки численной величины средней скорости на практике используют следующее определение $leftlangle vrightrangle $: средняя скорость равна отношению пройдённого пути (s) ко времени (t), которое было затрачено на движение:

[leftlangle vrightrangle =frac{s}{t}left(7right).]

Определяемая таким образом средняя скорость является скалярной величиной.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Пешеход, потратил первую половину времени своего движения, двигаясь со скоростью $v_1=5frac{км}{ч}$, вторую половину времени он шел со скоростью $v_3=3frac{км}{ч}$. Какова средняя скорость движения человека?

Решение. Сделаем рисунок.

Средняя скорость, пример 1

Для решения задачи используем формулу, определяющую среднюю скорость:

[leftlangle vrightrangle =frac{s}{t} left(1.1right),]

где путь складывается из двух участков движения:

[s=s_1+s_2left(1.2right).]

Причем по условию задачи:

[s_1=v_1t_1=v_1frac{t}{2}left(1.3right) и ]

[s_2=v_2t_2=v_2frac{t}{2}left(1.4right).]

Подставим в определение средней скорости (1.1) правые части выражений (1.2) – (1.4), и учтем, что $t=t_1+t_2$ имеем:

[leftlangle vrightrangle =frac{v_1frac{t}{2}+v_2frac{t}{2}}{t}=frac{v_1+v_2}{2}.]

Вычислим среднюю скорость пешехода:

[leftlangle vrightrangle =frac{5+3}{2}=4 (frac{м}{с}).]

Ответ. $leftlangle vrightrangle =4frac{м}{с}$

Пример 2

Задание. Какова средняя скорость, которую имела материальная точка за промежуток времени $tau $, если уравнение ее скорости имеет вид:

[vleft(tright)=A+Bt+Ct^2 left(0le tle tau right)left(2.1right).]

Решение. В качестве основы для решения задачи используем формулу ($t=tau $):

[leftlangle vrightrangle =frac{s}{t} left(2.1right).]

Найдем путь материальной точки, учитывая уравнение скорости из данных задачи:

[s=intlimits^{tau }_0{vdt=intlimits^{tau }_0{(A+Bt+Ct^2)dt=}}Atau +Bfrac{{tau }^2}{2}+Cfrac{{tau }^3}{3}left(2.2right).]

Подставим правую часть выражения (2.2) в (2.1), имеем:

[leftlangle vrightrangle =frac{Atau +Bfrac{{tau }^2}{2}+Cfrac{{tau }^3}{3}}{tau }=A+frac{Btau }{2}+frac{C{tau }^2}{3}.]

Ответ. $leftlangle vrightrangle =A+frac{Btau }{2}+frac{C{tau }^2}{3}$

Читать дальше: статика.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Добавить комментарий