Как найти среднюю скорость потока

Лекция 3. ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИКИ

Гидродинамика – раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения жидкости и ее взаимодействие
с неподвижными и подвижными поверхностями.

Если отдельные частицы абсолютно твердого тела жестко связаны между собой, то в движущейся жидкой среде
такие связи отсутствуют. Движение жидкости состоит из чрезвычайно сложного перемещения отдельных молекул.

Живым сечением ω (м²) называют площадь поперечного сечения потока, перпендикулярную
к направлению течения. Например, живое сечение трубы – круг (рис.3.1, б); живое сечение клапана – кольцо с
изменяющимся внутренним диаметром (рис.3.1, б).

Рис. 3.1. Живые сечения: а – трубы, б – клапана

Смоченный периметр χ (“хи”) – часть периметра живого сечения, ограниченное твердыми
стенками (рис.3.2, выделен утолщенной линией).

Рис. 3.2. Смоченный периметр

Для круглой трубы

если угол в радианах, или

Расход потока Q – объем жидкости V, протекающей за единицу времени t через живое
сечение ω.

Средняя скорость потока υ – скорость движения жидкости, определяющаяся отношением расхода
жидкости Q к площади живого сечения ω

Поскольку скорость движения различных частиц жидкости отличается друг от друга, поэтому скорость движения
и усредняется. В круглой трубе, например, скорость на оси трубы максимальна, тогда как у стенок трубы она
равна нулю.

Гидравлический радиус потока R – отношение живого сечения к смоченному периметру

Течение жидкости может быть установившимся и неустановившимся. Установившимся движением называется
такое движение жидкости, при котором в данной точке русла давление и скорость не изменяются во времени

Движение, при котором скорость и давление изменяются не только от координат пространства, но и от времени,
называется неустановившимся или нестационарным

Линия тока (применяется при неустановившемся движении) это кривая, в каждой точке которой вектор
скорости в данный момент времени направлены по касательной.

Трубка тока – трубчатая поверхность, образуемая линиями тока с бесконечно малым поперечным сечением.
Часть потока, заключенная внутри трубки тока называется элементарной струйкой.

Рис. 3.3. Линия тока и струйка

Течение жидкости может быть напорным и безнапорным. Напорное течение наблюдается в закрытых руслах
без свободной поверхности. Напорное течение наблюдается в трубопроводах с повышенным (пониженным давлением).
Безнапорное – течение со свободной поверхностью, которое наблюдается в открытых руслах (реки, открытые
каналы, лотки и т.п.). В данном курсе будет рассматриваться только напорное течение.

Рис. 3.4. Труба с переменным диаметром при постоянном расходе

Из закона сохранения вещества и постоянства расхода вытекает уравнение неразрывности течений.
Представим трубу с переменным живым сечением (рис.3.4). Расход жидкости через трубу в любом ее сечении
постоянен, т.е. Q₁=Q₂= const, откуда

ω₁υ₁ = ω₂υ₂

Таким образом, если течение в трубе является сплошным и неразрывным, то уравнение неразрывности примет вид:

Уравнение Даниила Бернулли, полученное в 1738 г., является фундаментальным уравнением гидродинамики. Оно
дает связь между давлением P, средней скоростью υ и пьезометрической высотой z
в различных сечениях потока и выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. С помощью этого
уравнения решается большой круг задач.

Рассмотрим трубопровод переменного диаметра, расположенный в пространстве под углом
β (рис.3.5).

Рис.3.5. Схема к выводу уравнения Бернулли для идеальной жидкости

Выберем произвольно на рассматриваемом участке трубопровода два сечения: сечение 1-1 и
сечение 2-2. Вверх по трубопроводу от первого сечения ко второму движется жидкость, расход которой
равен Q.

Для измерения давления жидкости применяют пьезометры – тонкостенные стеклянные трубки, в которых
жидкость поднимается на высоту . В каждом сечении установлены
пьезометры, в которых уровень жидкости поднимается на разные высоты.

Кроме пьезометров в каждом сечении 1-1 и 2-2 установлена трубка, загнутый конец которой
направлен навстречу потоку жидкости, которая называется трубка Пито. Жидкость в трубках Пито также
поднимается на разные уровни, если отсчитывать их от пьезометрической линии.

Пьезометрическую линию можно построить следующим образом. Если между сечением 1-1 и 2-2
поставить несколько таких же пьезометров и через показания уровней жидкости в них провести кривую, то мы
получим ломаную линию (рис.3.5).

Однако высота уровней в трубках Пито относительно произвольной горизонтальной прямой 0-0, называемой
плоскостью сравнения, будет одинакова.

Если через показания уровней жидкости в трубках Пито провести линию, то она будет горизонтальна, и будет
отражать уровень полной энергии трубопровода.

Для двух произвольных сечений 1-1 и 2-2 потока идеальной жидкости уравнение Бернулли имеет
следующий вид:

Так как сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, то полученное уравнение можно переписать иначе:

и прочитать так: сумма трех членов уравнения Бернулли для любого сечения потока идеальной жидкости есть
величина постоянная.

С энергетической точки зрения каждый член уравнения представляет собой определенные виды энергии:

z1 и z2 – удельные энергии положения, характеризующие потенциальную энергию в сечениях 1-1 и
2-2;
– удельные энергии давления, характеризующие потенциальную
энергию давления в тех же сечениях;
– удельные кинетические энергии в тех же сечениях.

Следовательно, согласно уравнению Бернулли, полная удельная энергия идеальной жидкости в любом сечении
постоянна.

Уравнение Бернулли можно истолковать и чисто геометрически. Дело в том, что каждый член уравнения имеет
линейную размерность. Глядя на рис.3.5, можно заметить, что z1 и z2 – геометрические высоты сечений 1-1
и 2-2 над плоскостью сравнения; – пьезометрические высоты;
– скоростные высоты в указанных сечениях.

В этом случае уравнение Бернулли можно прочитать так: сумма геометрической, пьезометрической и скоростной
высоты для идеальной жидкости есть величина постоянная.

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости несколько отличается от уравнения

Дело в том, что при движении реальной вязкой жидкости возникают силы трения, на преодоление которых
жидкость затрачивает энергию. В результате полная удельная энергия жидкости в сечении 1-1 будет больше
полной удельной энергии в сечении 2-2 на величину потерянной энергии (рис.3.6).

Рис.3.6. Схема к выводу уравнения Бернулли для реальной жидкости

Потерянная энергия или потерянный напор обозначаются и имеют также линейную размерность.

Уравнение Бернулли для реальной жидкости будет иметь вид:

Из рис.3.6 видно, что по мере движения жидкости от сечения 1-1 до сечения 2-2 потерянный
напор все время увеличивается (потерянный напор выделен вертикальной штриховкой). Таким образом, уровень
первоначальной энергии, которой обладает жидкость в первом сечении, для второго сечения будет складываться
из четырех составляющих: геометрической высоты, пьезометрической высоты, скоростной высоты и потерянного
напора между сечениями 1-1 и 2-2.

Кроме этого в уравнении появились еще два коэффициента α₁ и α₂, которые
называются коэффициентами Кориолиса и зависят от режима течения жидкости ( α = 2 для ламинарного
режима, α = 1 для турбулентного режима ).

Потерянная высота складывается из линейных потерь, вызванных силой трения между слоями
жидкости, и потерь, вызванных местными сопротивлениями (изменениями конфигурации потока)

= h_лин + h_мест

С помощью уравнения Бернулли решается большинство задач практической гидравлики. Для этого выбирают два
сечения по длине потока, таким образом, чтобы для одного из них были известны величины Р, ρ,
g, а для другого сечения одна или величины подлежали определению. При двух неизвестных для второго
сечения используют уравнение постоянства расхода жидкости υ₁ω
₁ = υ₂ω₂.

Для измерения скорости в точках потока широко используется работающая на принципе уравнения Бернулли трубка
Пито (рис.3.7), загнутый конец которой направлен навстречу потоку. Пусть требуется измерить скорость жидкости
в какой-то точке потока. Поместив конец трубки в указанную точку и составив уравнение Бернулли для сечения
1-1 и сечения, проходящего на уровне жидкости в трубке Пито получим

где Н – столб жидкости в трубке Пито.

Рис. 3.7. Трубка Пито и pасходомер Вентури

Для измерения расхода жидкости в трубопроводах часто используют расходомер Вентури, действие которого
основано так же на принципе уравнения Бернулли. Расходомер Вентури состоит из двух конических насадков с
цилиндрической вставкой между ними (рис.3.7). Если в сечениях I-I и II-II поставить пьезометры,
то разность уровней в них будет зависеть от расхода жидкости, протекающей по трубе.

Пренебрегая потерями напора и считая z1 = z2 , напишем уравнение Бернулли для сечений I-I и
II-II:

или

Используя уравнение неразрывности

Q = υ₁ω₁ = υ₂ω₂

сделаем замену в получено выражении:

Решая относительно Q, получим

Выражение, стоящее перед , является постоянной величиной, носящей название постоянной
водомера Вентури.

Из полученного уравнения видно, что h зависит от расхода Q. Часто эту зависимость строят в
виде тарировочной кривой h от Q, которая имеет параболический характер.

Проверить себя ( Тест )

Наверх страницы

Содержание:

• Массовый, объемный и весовой расход
  • Объемный способ измерения расхода
• Средняя скорость потока

Расход потока – это количество жидкости, проносимое потоком сквозь живое сечение за единицу времени.

Q=V×A

где Q – объемный расход, А – площадь живого сечения.

G=gm=ρgQ

где ρ – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения

V=Q/A

где Q – объемный расход, А – площадь живого сечения.

Читайте также:







Все новости