Как найти среднюю скорость в математике огэ

Версия для печати и копирования в MS Word

В открытом банке заданий ФИПИ есть задачи на нахождение средней скорости движения автомобиля. В этих задачах ученики допускают больше всего ошибок.

Типичные ошибки в задачах:

– ! Находят среднюю скорость движения как среднее арифметическое двух скоростей ( Vср. = 𝑉1+𝑉2 / 2 );
– Решают задачу на среднюю скорость, рассматривая только частные случаи (придают величине пути всевозможные значения -1 км., или 108 км.);
– Приписывают единицы измерения, не соответствующие данным величинам;
– Забывают записывать единицы измерения к введенным значениям;
– Допускают записи вида: составим уравнение, а сами составляют выражения и их преобразования, неоднократно используют при этом знак равенства;
– Не вводят переменные величины, а используют при составлении уравнений;
– Не показано как составлено уравнение (формула)
– Путают понятия скорости и времени движения;
– Допускают вычислительные ошибки;
– Записывают ответ, используя приближения (≈);
– Используют формулу для нахождения средней скорости без ее вывода;
– Отсутствие краткой записи к решению задачи, и таблицы, и обоснований, решение задачи выглядит как столбик примеров без каких бы то ни было пояснений;
– Использование неравносильных преобразований при решении уравнений.

Как решать и оформлять задания на нахождение средней скорости

Решение должно быть полностью логически обосновано с начала до конца.

Если задача решается через х – пишите, что принимаете за х, какие еще будут составляющие с неизвестными.

Если решаете через формулу средней скорости, обязательно сначала нужно ее вывести следующим образом.

Пример. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 42 км/ч, а вторую — со скоростью 48 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение через формулу пути

Дано:
v₁= 42 км/ч
v₂= 48 км/ч
S₁=S₂
v_ср – ?

Решение:

S₁=S/2 км, v₁=42 км/ч, значит $t_1=frac{displaystylefrac S2}{42}=frac S{84}$

S₂=S/2 км, v₂=48 км/ч, значит $t_2=frac{displaystylefrac S2}{48}=frac S{96}$

Найдем среднюю скорость на протяжении всего пути

$v_{ср}=frac{S_1+S_2}{t_1+t_2}$

$v_{ср}=frac{{displaystylefrac S2}+{displaystylefrac S2}}{{displaystylefrac S{84}}+{displaystylefrac S{96}}}=frac S{displaystylefrac{84S+96S}{84ast96}}=frac{cancel S}{displaystylefrac{180cancel S}{84ast96}}=frac{84ast96}{180}=44,8$ км/ч

Ответ: 44,8 км/ч.

В задаче может быть не 2 половины пути, а, допустим, 1/3 и 2/3 пути, или еще больше разных частей. Выразив S₁, S₂ и тд. , умножив S на соответствующую часть, сможем решить и такие задачи.

 Та же задача. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 42 км/ч, а вторую — со скоростью 48 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение через формулу определения средней скорости

Дано:
v₁= 42 км/ч
v₂= 48 км/ч
S₁=S₂
v_ср – ?

Решение:

v_ср=S/t, где t=t₁+t₂
 t₁ –  время, затраченное на первую половину пути,  t₂ –  время, затраченное на первую половину пути.
$t_1=frac{displaystylefrac S2}{v_1}$
$t_2=frac{displaystylefrac S2}{v_2}$

Подставляем в исходную формулу средней скорости:

$v_{ср}=frac S{{displaystylefrac{{displaystylefrac12}S}{v_1}}+{displaystylefrac{{displaystylefrac12}S}{v_2}}}=frac S{{displaystylefrac12}S({displaystylefrac1{v_1}}+{displaystylefrac1{v_2}})}=frac2{{displaystylefrac1{v_1}}+{displaystylefrac1{v_2}}}=frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$

$v_{ср}=frac{2ast42ast48}{42+48}=frac{2ast42astcancel{48}^{8}}{cancel{90}^{15}}=frac{2astcancel{42}^{14}ast8}{cancel{15}^{5}}=frac{224}5=44,8$ км/ч

Ответ: 44,8 км/ч.

Можно так же сразу вместо v₁ и v₂  подставлять известные скорости и преобразовывать уже с числами, а не с буквами.

Другой вариант оформления задач такого типа (с таблицей)

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 36 км/ч, а вторую — со скоростью 99 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Пусть х км – половина пути.

   S км   v км/ч   t ч
1   х       36        х/36
2   х       99        х/99

$v_{ср}=frac{S_{общ.}}{t_{общ.}}=frac{х;+;х}{{displaystylefrac{х^{(99}}{36}}+{displaystylefrac{х^{(36}}{99}}}=frac{2х}{displaystylefrac{99х;+;36х}{36ast99}}=2х:frac{135х}{36ast99}=frac{2cancel хastcancel{36}^{12}astcancel{99}^{11}}{;{}_{5;cancel{15}}cancel{135}cancel х}=frac{2ast132}5=frac{264}5=52,8$ км/ч

Значит, средняя скорость равна 52,8 км/ч

Ответ: 52,8 км/ч.

И еще один вариант оформления той же задачи.

Пусть 2S км – весь путь. Тогда время, затраченное на первую половину пути t₁=S/36 ч; на вторую половину пути t₂=S/99 ч.

$v_{ср}=frac{S_{общ.}}{t_{общ.}}=frac{S_{общ.}}{t_1+t_2}=frac{2S}{{displaystylefrac S{displaystyleunderset{4ast9}{36}}}+{displaystylefrac S{displaystyleunderset{11ast9}{99}}}}=frac{2S}{displaystylefrac{15S}{4ast9ast11}}=frac{4astcancel9^3ast11ast2cancel S}{{}_{5;}cancel{15}cancel S}=frac{264}5=52,8$ км/ч

Ответ: 52,8 км/ч.

Рассмотрим задачу другого типа.

Первые 105 км автомобиль ехал со скоростью 35 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 60 км/ч, а последние 500 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Чтобы найти среднюю скорость, нужно найти время на каждом участке пути. В нашей задаче таких участков 3.

S₁=105 км ; v₁=35 км/ч; значит t₁=105/35=3 часа

S₂=120 км ; v₂=60 км/ч; значит t₂=120/60=2 часа

S₃=500 км ; v₃=100 км/ч; значит t₃=500/100=5 часов

Зная время на каждом участке пути, найдем среднюю скорость:

$v_{ср.}=frac{S_1+S_2+S_3}{t_1+t_2+t_3}=frac{105+120+500}{3+2+5}=frac{725}{10}=72,5$ км/ч

Ответ: 72,5 км/ч.

 Если вы специалист по подготовке к ОГЭ, напишите, пожалуйста, в комментариях, какой вариант оформления, по вашему мнению, наиболее предпочтителен.

Если вы сдали ОГЭ и за задачу у вас 2 балла, поделитесь, как оформляли, писали Дано и Решение?

ПРИМЕРЫ:

Задача 1. Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час – со скоростью 100 км/ч, а затем два часа – со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Ответ. 52 км/ч

Задача 2. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Ответ. 70 км/ч

Задача 3. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 55 км/ч, а вторую — со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение.

Ответ. 61,6 км/ч

Средняя скорость равна отношению пройденного расстояния к затраченному времени. 

Значит, нужно:

• найти пройденный путь;
• найти время, которое автомобиль находился в пути;
• разделить найденный путь на это время.

Для удобства расчётов внесём данные о расстоянии и скорости в таблицу и найдем время: 

Найдем общее время в пути:

(displaystyle frac{19}{ 5}+2+frac{17}{10}=frac{38}{10}+frac{20}{10}+frac{17}{10}=frac{38+20+17}{10}=frac{75}{10}=blue{frac{15}{2}}) ч.

Значит, в сумме автомобиль проехал (displaystyle red{540}) км и потратил на весь путь (displaystyle blue{frac{15}{2}}) часа.

 Найдём среднюю скорость:

(displaystyle v_{text ср}=frac{ phantom{1}red{540}phantom{1}}{ blue{dfrac{15}{2}}}=540:frac{ 15}{ 2 }=540cdot frac{ 2}{ 15 }=72) км/ч.

Ответ: (displaystyle 72)