Как найти среднюю сторону треугольника формула - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Средняя линия треугольника – свойства, признаки и формулы

Одним из важных понятий, с помощью которого легко решается целый класс задач по геометрии, является средняя линия треугольника.

Разберём данное понятие, рассмотрим свойства, и научимся правильно решать задачи на эту тему.

Определение и признаки средней линии треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

Отрезок, у которого один из концов совпадает с серединой одной из сторон, другой находится на второй стороне, проведённый параллельно третьей стороне, является средней линией треугольника.

Доказательство следует из теоремы Фалеса.

Теорема о средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна основанию (третьей стороне) и равна её половине.

Существует три вида доказательств этого положения. Каждое из них базируется на одной из ключевых позиций планиметрии.

Пусть дан треугольник ABC, M – середина стороны AB, N – середина BC.

По определению, MN – средняя линия ΔABC.

Необходимо доказать, что MN II AC, MN = ½AC.

Доказательства

Пусть прямая MK II AC. Тогда по теореме Фалеса MK пересекает сторону BC в её середине. В этом случае отрезок MN лежит на прямой MK.

Следовательно, MN II AC.

Тогда NP – средняя линия по теореме Фалеса, то есть AP = PC.

Так как AMNP – параллелограмм по определению, то AP = MN. Из этого и предыдущего утверждения следует, что длина MN равна ½AC.

Рассматриваются треугольники MBN и ABC. В них угол B является общим,

По второму признаку подобия треугольников ΔMBN ∼ ΔABC. Следовательно, углы BMN и BAC равны.

Поскольку эти углы являются соответственными, то прямые MN и AC параллельны.

Формула MN = ½AC следует из условий

поскольку пропорциональность двух пар сторон влечёт соответствующее отношение для третьей пары сторон.

Рассматривается сумма векторов

Поскольку в результате образуется замкнутая ломаная, то

Отсюда следует, что

Из последнего равенства следуют условия теоремы.

Следствия из теоремы с доказательствами

Следствие №1

Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия ½ и площадью, составляющий ¼ площади заданного треугольника.

По определению стороны AB и BC делятся пополам, поэтому

Из третьего признака подобия вытекает рассматриваемое свойство.

Поскольку площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то получается вторая часть свойства, то есть площадь маленького треугольника относится к площади большого как

Следствие №2

Поскольку MN – средняя линия, то MN II AC, поэтому ∠BMN = ∠BAP, ∠BNM = ∠BCA как соответственные при MN II AC и секущей AB или BC соответственно.

Поскольку MP – средняя линия, то MP II BC, поэтому ∠MPA = ∠BCA как соответственные при MP II BC и секущей AC.

Таким образом: ∠BNM = ∠BCA = ∠MPA.

Так как MN – средняя линия, то сторона MN = ½AC, поэтому MN = AP.

Следовательно, ΔAMP = ΔMBN по второму признаку равенства треугольников.

Равенство остальных пар треугольников доказывается аналогично.

По основному свойству ΔMBN ∼ ΔABC с коэффициентом подобия ½. Так как все полученные маленькие треугольники равны между собой, то каждый из них, следовательно, подобен большому с тем же коэффициентом.

Свойства средней линии треугольника

Теорема и следствия из неё составляют основные свойства средней линии треугольника.

Согласно второму утверждению, вид большого треугольника такой же, как и у маленьких. То есть для равностороннего и равнобедренного треугольников средние линии отсекают равносторонние и равнобедренные треугольники.

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые к тупому углу из вершин острых, располагаются вне треугольника. Поэтому часто рассматривают не саму среднюю линию, а её продолжение. Учитывая подобие получаемых фигур, можно утверждать, что точкой пересечения с продолжением средней линии высота делится на две равные части.

Биссектриса угла треугольника точкой пересечения со средней линией также делится пополам.

Средняя линия прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведённой к гипотенузе.

Остроугольный разносторонний треугольник не имеет средних линий, обладающих подобными характеристиками.

Пример решения задачи

Доказать, что середины сторон произвольного выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Проводя диагональ четырёхугольника, получают разбиение на два треугольника, в каждом из которых построена средняя линия, параллельная по основной теореме диагонали, как основанию.

Так как две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, то противолежащие стороны образованного средними линиями четырёхугольника параллельны.

Аналогично доказывается параллельность двух других сторон нового четырёхугольника. По определению четырёхугольник, полученный соединением середин сторон заданного четырёхугольника, является параллелограммом.

Как найти среднюю линию треугольника?

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Понятие треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
Тупоугольный. Один угол тупой, два других — острые.

Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.

Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Свойства треугольников:

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Понятие средней линии треугольника

Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.

Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.

Основанием считается сторона, которой параллельна средняя линия.

Как найти среднюю линию треугольника — расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.

Понятие средней линии прямоугольного треугольника

Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.

Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.

В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.

Свойства средней линии треугольника

Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

Свойства:

Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.
Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.
Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.

Теорема о средней линии треугольника

Теорема о средней линии треугольника звучит так:

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:

Докажем теорему:

По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC

Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.

(по второму признаку подобия треугольников).

△ABC, то Следовательно, ВС = 2МN. Значит, доказано, что средняя линия равна половине основания.

△ABC, то ∠1 = ∠2 . Так как ∠1 и ∠2 — соответственные углы, то по признаку параллельности прямых MN || BC.

Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.

Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, K, N — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Найти периметр ΔMNK.

Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии, которые образуют треугольник ΔMNK. Найдем их длины по теореме о средней линии:

Ответ: периметр треугольника ΔMNK равен 10.

Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть две средние линии: MN и NP, равные 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов:

Так как MN — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета AC:

Значит, AC = 2MN = 2 × 3 = 6.

Так как NP — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета BC:

Значит, BC = 2NP = 2 × 4 = 8.

Тогда найдем площадь большого треугольника, используя формулу, указанную выше:

S = ½ × 6 × 8 = ½ × 48 = 24.

Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 24.

Что такое средняя линия треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии треугольника, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания теоретического материала.

Определение средней линии треугольника

Отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

KL – средняя линия треугольника ABC
K – середина стороны AB: AK = KB
L – середина стороны BC: BL = LC

Свойства средней линии треугольника

Свойство 1

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон (которую не пересекает) и в два раза меньше этой стороны.

На рисунке выше:

Свойство 2

Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник (в соотношении 1:2), площадь которого в 4 раза меньше исходного.

На рисунке выше:

△KBL ∼ △ABC (подобие по пропорциональности всех сторон)
Стороны △KBL в два раза меньше соответствующих сторон △ABC:
AB = 2KB, BC = 2BL, AC = 2KL.
S_△ABC = 4 ⋅ S_△KBL

Свойство 3

В любом треугольнике можно провести три средние линии.

KL, KM и ML – средние линии треугольника ABC.

Свойство 4

Три средние линии треугольника делят его на 4 равных по площади треугольника.

Признак средней линии треугольника

Отрезок, проходящий через середину одной из сторон треугольника, пресекающий вторую и параллельный третьей стороне, является средней линией этого треугольника.

Пример задачи

Дан треугольник, две стороны которого равны 6 и 8 см. Найдите длину средней линии, соединяющей эти стороны.

Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным, причем известные значения – это длины катетов. Средняя линия, которая соединяет катеты, параллельна гипотенузе и равна половине ее длины.

Мы можем найти гипотенузу, воспользовавшись теоремой Пифагора.

BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
BC = 10.

Таким образом, средняя линия LM = 1 /₂ ⋅ BC = 1 /₂ ⋅ 10 = 5.

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-najti-srednyuyu-liniyu-treugolnika

Что такое средняя линия треугольника

[/spoiler]

Источник

Треугольник

Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

типы треугольников
вершины углы и стороны треугольника
медианы треугольника
биссектрисы треугольника
высоты треугольника
окружность вписанная в треугольник
окружность описанная вокруг треугольника
связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
средняя линия треугольника
периметр треугольника
формулы площади треугольника
равенство треугольников
подобие треугольников
прямоугольные треугольники

Типы треугольников

По величине углов

Остроугольный треугольник

— все углы треугольника острые.

Тупоугольный треугольник

— один из углов треугольника тупой (больше 90°).

Прямоугольный треугольник

— один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

Разносторонний треугольник

— все три стороны не равны.

Равнобедренный треугольник

— две стороны равны.

Равносторонний (правильный) треугольник

— все три стороны равны.

Вершины, углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

α + β + γ = 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы

если α > β, тогда a > b
если α = β, тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

asinα = bsinβ = csinγ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a2 = b2 + c2 – 2bc·cos α
b2 = a2 + c2 – 2ac·cos β
c2 = a2 + b2 – 2ab·cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α;
c = a cos β + b cos α;

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

a = 232mb2+mc2-ma2b = 232ma2+mc2-mb2c = 232ma2+mb2-mc2

Медиана треугольника — отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника

Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан называется центроидом.
В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
AOOD=
BOOE=COOF=21
Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие частиS∆ABD=S∆ACDS∆BEA=S∆BECS∆CBF=S∆CAF
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольниковS∆AOF=S∆AOE=S∆BOF=S∆BOD=S∆COD=S∆COE
Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 122b2+2c2-a2mb = 122a2+2c2-b2mc = 122a2+2b2-c2

Биссектрисы треугольника

Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, – центре вписанной окружности.
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
AEAB=
ECBC
Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°
Угол между

lc и lc’ = 90°
Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны

la = 2bcpp-ab+clb = 2acpp-ba+clc = 2abpp-ca+b

где p = a+b+c2 — полупериметр треугольника.

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол

la = 2bc cosα2b+clb = 2ac cosβ2a+clc = 2ab cosγ2a+b

Высоты треугольника

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться:

внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

Свойства высот треугольника

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.
ha:hb:hc=1a:1b:1c=
BC:AC:AB
1ha:1hb:1hc=1r

Формулы высот треугольника

Формулы высот треугольника через сторону и угол

ha = b sin γ = c sin βhb = c sin α = a sin γhc = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь

ha = 2Sahb = 2Sbhc = 2Sc

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

ha = bc2Rhb = ac2Rhc = ab2R

Окружность вписанная в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

Свойства окружности вписанной в треугольник

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру

r = Sp

Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны

r = a+b-cb+c-ac+a-b4a+b+c

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

1r=1ha+1hb+1hc

Окружность описанная вокруг треугольника

Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

Свойства углов

Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружности через три стороны и площадь

R = abc4S

Радиус описанной окружности через площадь и три угла

R = S2 sinα sinβ sinγ

Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов)

R =a2 sinα+b2 sinβ+c2 sinγ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то

d2 = R2 – 2Rr

Радиус описанной окружности через площадь и три угла

rR = 4sinα2 sinβ2 sinγ2 = cosα + cosβ + cosγ

2Rr =abca+b+c

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника

Любой треугольник имеет три средних линии.
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
MN= 12AC; KN= 12AB; KM= 12BCMN || AC; KN || AB; KM || BC
Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника.
S∆MBN = 14S∆ABC; S∆MAK = 14S∆ABC;
S∆NCK = 14S∆ABC
При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
∆MBN ~ ∆ABC;
∆AMK ~ ∆ABC;
∆KNC ~ ∆ABC;
∆NKM ~ ∆ABC

Признаки

Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон.

P = a + b + c

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

S = 12 a · ha

S = 12 b · hb

S = 12 c · hc

где a, b, c — стороны треугольника,
h_a, h_b, h_c — высоты, проведенные к сторонам a, b, c треугольника.

Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона формула для вычисления площади треугольника S по длинам его сторон a, b, c.

S = pp-ap-bp-c

где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c2
a, b, c — стороны треугольника.

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

S = 12 a · b · sinγ

S = 12 b · c · sinα

S = 12 a · c · sinβ

где a, b, c — стороны треугольника,
γ — угол между сторонами a и b,
α — угол между сторонами b и c,
β — угол между сторонами a и c.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

S = a · b · c4R

a, b, c — стороны треугольника,
R – радиус описанной окружности.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

S = p · r

где S — площадь треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p — полупериметр треугольника: p = a + b + c2

Равенство треугольников

Определение

Если два треугольника АВС и А₁В₁С₁ можно совместить наложением, то они равны.

Свойства

У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны).

Признаки равенства треугольников

По двум сторонам и углу между ними

Теорема.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

По стороне и двум прилежащим углам

Теорема.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

По трем сторонам

Теорема.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подобие треугольников

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

∆АВС~∆MNK=> α=α1

β=β1

γ=γ1

ABMN=BCNK=ACMK=k

где k — коэффициент подобия.

Признаки подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Свойства

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

S∆АВСS∆MNK=k2

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Свойства прямоугольного треугольника

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника ∠ 1+∠ 2=90°.
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в 30°).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ A — прямой, ∠ B = 30°, и значит, что ∠ C = 60°.

Докажем, что BC=2AC.
Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник ABD , как показано на рисунке.
Получим треугольник BCD, в котором ∠ B = ∠ D = 60° , поэтому DC = BC. Но DC = 2AC. Следовательно, BC = 2AC.

Справедливо и обратное суждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из общих признаков равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства.

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Свойства

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

S∆АВСS∆MNK=k2

Коротко о важном
Таблицы
Формулы
Формулы по геометрии
Теория по математике

Источник

Треугольник — геометрическая фигура, составленная из трёх отрезков. Они объединены тремя точками, не
лежащие в единственной прямой. Такие отрезки обычно именуют сторонами, а заданные точки — вершинами.
Средняя линия такого многоугольника — отрезок, объединяющий средины двух сторон.

Во всяком
треугольнике можно проложить три средних линии. В прямоугольном многоугольнике такой отрезок
равняется половине основания. Средняя линия прямоугольного треугольника разделяет его на четыре
прямоугольных треугольника. Существует и признак срединного отрезка треугольника: если отрезок в
многоугольнике пролегает через средину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен ей, тогда
такой отрезок называется средней линией.

Выделяют свойства срединного отрезка:

Средняя линия равняется половине длины основания и параллельна ему;
Этот отрезок отделяет треугольник, подобный заданному с коэффициентом 0.5, а его площадь
равняется четверти площади заданной фигуры;
Три средние линии дробят заданный многоугольник на четыре других, эквивалентных друг другу.
Находящуюся по центру фигуру именуют дополнительной.

Средняя линия треугольника через сторону
Средняя линия равностороннего треугольника через высоту
Средняя линия равностороннего треугольника через радиус
вписанной окружности
Средняя линия равностороннего треугольника через радиус
описанной окружности
Средняя линия треугольника через площадь и высоту
Средняя линия равнобедренного треугольника через боковую
сторону и высоту
Средняя линия равностороннего треугольника через
площадь

Через сторону

Срединный отрезок равняется половине противолежащей стороны. Следовательно, формула выглядит так:

m = a/2

где a — противолежащая сторона.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Следовательно, если такая сторона будет равна 50, то срединный отрезок будет равен m = 50/2 = 25. Если же сторона будет равна 20, тогда срединный отрезок
будет рассчитываться так: m = 20/2 = 10.

Средняя линия равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Срединный отрезок равностороннего многоугольника через радиус вписанной окружности высчитывается
так:

m = r√3

где r — радиус вписанной окружности.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Таким образом, если радиус такой окружности равняется 5, тогда m= 5√3 ≈ 8,66. Если же радиус будет равен, допустим, 9, в таком случае
m = 9√3 ≈ 15,59.

Средняя линия треугольника через площадь и высоту

Срединный отрезок многоугольника равен частному площади и высоты, перпендикулярной этой средней
линии. Таким образом, тождество имеет такой вид:

m = S/h

где S — это площадь, а h — перпендикуляр, ортогональный срединному отрезку.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Если площадь некоторого многоугольника будет равна 25, а перпендикуляр — 5, тогда m = 25/5 = 5. Если
же в качестве площади взять число 60, а в качестве перпендикуляра — 3, получится следующий срединный
отрезок: m = 60/3 = 20.

Средняя линия равностороннего треугольника через высоту

Срединный отрезок равностороннего многоугольника через перпендикуляр высчитывается следующим
образом:

m = h/√3

где h — перпендикуляр равностороннего многоугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

К примеру, если перпендикуляр равностороннего многоугольника равен 5, тогда срединный отрезок будет
такой: m = 5/√3 ≈ 2,89.
Если же перпендикуляр будет равен 10, тогда
срединный отрезок будет около m = 10/√3 ≈ 5,77.

Средняя линия равнобедренного треугольника через боковую сторону и высоту

Срединный отрезок равнобедренного многоугольника через боковую сторону и высоту вычисляется следующим
образом:

m = a² – h²

где a — боковая сторона, а h — перпендикуляр.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Допустим, если боковая сторона многоугольника равна 5, а перпендикуляр — 3, тогда m = 25 – 9 = 16.
Если же в качестве боковой стороны взять число 8, а в качестве перпендикуляра равнобедренного
многоугольника — 2, в таком случае m = 64 – 4 = 60.

Средняя линия равностороннего треугольника через площадь

Срединный отрезок равнобедренного многоугольника через площадь находится по следующей формуле:

m = 1/4 √(√3/S)

где S — это площадь равностороннего многоугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Допустим, если площадь равностороннего многоугольника будет равна 5, тогда m = 1/4 √(√3/5) ≈ 0,15.
Если выбрать равносторонний многоугольник побольше, к примеру, с площадью 25, в таком случае m = 1/4 √(√3/25) ≈ 0,065.

Средняя линия равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Срединный отрезок равностороннего многоугольника через радиус описанной окружности высчитывается
так:

m = R√3/2

где R — радиус описанной окружности.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Следовательно, если радиус такой окружности будет равен 15, тогда m = 15√3/2 =12,99. Если в качестве
радиуса взять число 24, в таком случае m = 24√3/2 = 20,78.

Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, который объединяет средины двух сторон представленной
фигуры. Такой термин используется при описании треугольников, четырёхугольников и трапеций. В
некоторых случаях рассматривается вырожденный треугольник, три вершины которого пролегают на
единственной прямой. Треугольник считается одной из основных геометрических фигур, повсюду
применяемых в науке и технике, потому изучение его качеств велось с давних времён.

Источник

Содержание материала

Средняя линия треугольника + Задачи по теме
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ
Видео
Понятие средней линии прямоугольного треугольника
Средняя линия
Важные свойства
Решение задачи
Формула для расчета
Примеры решения задач

Средняя линия треугольника + Задачи по теме

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника: 1. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине. 2. Средняя линия трeугольника отсекает от него треугольник, подобный данному (с коэффициентом подобия 1/2 ). 3. Три средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника, подобных данному, с коэффициентом подобия 1/2.

Свойство средней линии треугольника является следствием теоремы Фалеса.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ

Задача № 1. Дано: ΔABC; AB = 8 см; BC = 10 см; AC = 12 см; M — середина AB; N — середина BC; L — середина AC. Найти: MN, NL, ML.

Задача № 2.

Задача № 3. ΔABC; K — середина AB; O — середина BC; P — середина AC; P_ABC= 52 см. Найти: P_КOР

Задача № 4.

Это конспект по теме «Средняя линия треугольника + Задачи по теме». Выберите дальнейшие действия:

Перейти к следующему конспекту:
Вернуться к Списку конспектов по геометрии

Видео

Понятие средней линии прямоугольного треугольника

Важное свойство

Средняя линия прямоугольного треугольника делит его на четыре прямоугольных треугольника.

Средняя линия

Чтобы понять, как найти середину треугольника, можно воспользоваться обычной линейкой. Для этого необходимо выбрать произвольные две стороны фигуры. Затем отметить на каждой из них точки, отстоящие на одинаковом расстоянии от соответствующих вершин, которые ограничивают данную сторону. Полученные две точки следует соединить, чтобы начертить средний отрезок. Его название является интуитивно понятным каждому, поскольку он соединяет середины двух сторон.

Важные свойства

Существует три основных свойства, которыми обладает рассматриваемый отрезок. Пусть имеется треугольник произвольного типа ABC, в котором точки P и Q лежат на серединах сторон AB и AC соответственно. При таком обозначении отрезок PQ будет средней линией треугольника ABC. Справедливы следующие геометрические свойства:

Полученный треугольник APQ является подобным исходной фигуре ABC. Доказать это утверждение несложно, если обратить внимание на два факта: во-первых, угол A у обеих фигур является общим, во-вторых, отношение AB/AP равно величине AC/AQ и составляет 2 согласно выполненным геометрическим построениям. Таким образом, выполняется один из признаков подобия.
Длина средней линии PQ оказывается в два раза меньше, чем сторона BC. Кроме того, оба отрезка параллельны друг другу. Утверждение о равенстве PQ = ½*BC следует из факта подобия треугольников APQ и ABC, коэффициент которых составляет 2. Это равенство также можно доказать, если воспользоваться координатным методом.
Треугольник APQ имеет в 4 раза меньшую площадь, чем исходная фигура ABC.

Утверждение № 3 из списка справедливо для произвольного треугольника. Для его доказательства следует воспользоваться формулой Герона. Согласно ей, площадь рассматриваемой фигуры может быть вычислена следующим образом:

S = (p*(p-a)*(p-b)*(p-c))^0,5.

Здесь p = (a+b+c)/2 — полупериметр фигуры. Буквами a, b и c обозначены длины ее сторон. Пусть таким же образом обозначаются стороны для треугольника ABC. Тогда для фигуры APQ они будут иметь длины a/2, b/2 и c/2. Полупериметр для APQ составит величину p1 = (a+b+c)/4 = ½*p. Теперь необходимо подставить все известные величины в формулу Герона, получается площадь S1:

S1 = (p1*(p1-a/2)*(p1-b/2)*(p1-c/2))^0,5 = (½*p*(½*p-a/2)*(½*p-b/2)*(½*p-c/2))^0,5 = ¼*S.

Иными словами, площадь треугольника APQ составляет четвертую часть от этой величины для ABC.

Решение задачи

В треугольнике ABC проведен средний отрезок PQ, граничные точки которой P и Q находятся на сторонах AB и AC соответственно. Необходимо с использованием метода координат доказать, что эта линия имеет в два раза меньшую длину, чем сторона BC.

Прежде чем находить решение этой задачи, следует обозначить координаты вершин исходной фигуры. Они будут следующие:

A (x1, y1);
B (x2, y2);
C (x3, y3).

Поскольку точка P делит ровно пополам сторону AB, то для нахождения ее координат необходимо провести следующие вычисления:

P = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2).

Аналогичным образом рассчитываются координаты точки Q:

Q = ((x1+x3)/2, (y1+y3)/2).

Вспоминая формулу для длины вектора, координаты конца и начала которого известны, для средней линии PQ можно произвести следующие вычисления:

PQ = (((x1+x3)/2 — (x1+x2)/2)^2 + ((y1+y3)/2 — (y1+y2)/2)^2)^0,5 = ½*((x3-x2)^2 + (y3-y2)^2)^0,5.

В свою очередь, длина стороны BC равна:

BC = ((x3-x2)^2 + (y3-y2)^2)^0,5.

Из сопоставления этих двух равенств следует искомая формула, которую требовалось доказать:

PQ = ½*BC.

Поскольку в процессе доказательства были использованы произвольные координаты для вершин треугольника, полученный вывод является общим и универсальным для любого типа рассматриваемых фигур.

Формула для расчета

Теорема

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна её половине.

(A_1C_1=frac12AC)

Доказательство

Дано:

(triangle ABC)

(A_1C_1)— средняя линия

Доказать:

(A_1C_1parallel AC)

(A_1C_1=frac12AC)

Рассмотрим (triangle BA_1C_1) и (triangle BAC):

(left{begin{array}{l}angle B;-;общий\frac{BA_1}{BA}=frac{BC_1}{BC}=frac12end{array}right.)

Из этого следует, что треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Следовательно, (angle BA_1C_1=angle BAC) , как соответственные элементы подобных треугольников. Следовательно (A_1C_1parallel AC) по признаку параллельности.

Кроме того, из подобия следует, что (frac{A_1C_1}{AC}=frac12)

Следовательно, (A_1C_1=frac12AC)

Утверждение доказано.

Примечание

Данная формула одинаково работает для любого треугольника: равнобедренного, равностороннего (правильного).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание В треугольнике провели среднюю линию , параллельную. Найти площадь треугольника , если известно, что см, а высота , опущенная на сторону , равна 5 см. Решение В треугольнике (см. рис. 1) средняя линия равна половине стороны , поэтому

Найдем площадь треугольника :

Так как средняя линия отсекает треугольник , площадь которого равна одной четвёртой площади исходного треугольника , то площадь треугольника равна:

Ответ см.

ПРИМЕР 2

Задание В треугольнике провели средние линии см, см и см. Найти периметр треугольника . Решение Так как средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна, то можем найти длины всех сторон треугольника :

см см см

Теперь можно найти периметр треугольника как сумму длин всех его сторон:

см Ответ см.

Определение средней линии треугольника
Свойства средней линии треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
Признак средней линии треугольника
Пример задачи

Определение средней линии треугольника

Отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

KL – средняя линия треугольника ABC
K – середина стороны AB: AK = KB
L – середина стороны BC: BL = LC

Свойства средней линии треугольника

Свойство 1

На рисунке выше:

KL параллельна AC
KL = ¹/₂ ⋅ AC

Свойство 2

На рисунке выше:

△KBL ∼ △ABC (подобие по пропорциональности всех сторон)
Стороны △KBL в два раза меньше соответствующих сторон △ABC:
AB = 2KB, BC = 2BL, AC = 2KL.
S_△ABC = 4 ⋅ S_△KBL

Свойство 3

В любом треугольнике можно провести три средние линии.

KL, KM и ML – средние линии треугольника ABC.

KL || AC, KL = ¹/₂ ⋅ AC
KM || BC, KM = ¹/₂ ⋅ BC
ML || AB, ML = ¹/₂ ⋅ AB

Свойство 4

Три средние линии треугольника делят его на 4 равных по площади треугольника.

S₁ = S₂ = S₃ = S₄

Признак средней линии треугольника

Пример задачи

Дан треугольник, две стороны которого равны 6 и 8 см. Найдите длину средней линии, соединяющей эти стороны.

Решение

Мы можем найти гипотенузу, воспользовавшись теоремой Пифагора.

BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 100.
BC = 10.

Таким образом, средняя линия LM = ¹/₂ ⋅ BC = ¹/₂ ⋅ 10 = 5.

Источник