Как найти среднюю точку отрезка по координатам

Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

• Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(x_a, y_a) и B(x_b, y_b) на плоскости:

  xc =	xa + xb		yc =	ya + yb
  2	2

• Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(x_a, y_a, z_a) и B(x_b, y_b, z_b) в пространстве:

  xc =	xa + xb		yc =	ya + yb		zc =	za + zb
  2	2	2

Примеры задач на вычисление середины отрезка

Примеры вычисления координат середины отрезка на плоскости

Примеры вычисления координат середины отрезка в пространстве

В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.

Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок AB.

Если отрезок AB продолжить в обе стороны от точек A и B, мы получим прямую AB. Тогда отрезок AB – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B. Отрезок AB объединяет точки A и B, являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K, лежащую между точками A и B, можно сказать, что точка K лежит на отрезке AB.

Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка AB обозначим следующим образом: AB.

Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка AB обозначить точкой C, то верным будет равенство: AC=CB

И далее мы рассмотрим, как же определять координаты середины отрезка (точки C) при заданных координатах концов отрезка (A и B), расположенных на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.

Середина отрезка на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая Ox и несовпадающие точки на ней: A и B. Этим точкам соответствуют действительные числа xA и xB. Точка C – середина отрезка AB: необходимо определить координату xC.

Поскольку точка C является серединой отрезка АВ, верным будет являться равенство: |АС| = |СВ|. Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.

|АС| = |СВ|⇔xC-xA=xB-xC

Тогда возможно два равенства: xC-xA=xB-xC и xC-xA=-(xB-xC)

Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C : xC=xA+xB2 (полусумма координат концов отрезка).

Из второго равенста получим: xA=xB , что невозможно, т.к. в исходных данных – несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка AB с концами A(xA) и B(xB):

xA+xB2

Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.

Середина отрезка на плоскости

Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости Оxy, две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами AxA, yA и  BxB, yB . Точка C – середина отрезка AB. Необходимо определить координаты xC и yC для точки C.

Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей.Ax, Ay ; Bx, By и Cx ,Cy – проекции точек A, B и C на оси координат (прямые Ох и Оy).

Согласно построению прямые AAx, BBx, CCx параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства АС = СВ следуют равенства: АxСx = СxВx и АyСy = СyВy, и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка Сx – середина отрезка АxВx, а Сy – середина отрезка АyВy. И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:

xC=xA+xB2 и yC=yA+yB2

Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:

Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка AB на плоскости с координатами концов A (xA,yA) и B (xB, yB) определяются как:

(xA+xB2, yA+yB2)

Середина отрезка в пространстве

Исходные данные: система координат Оxyz и две произвольные точки с заданными координатами A(xA, yA, zA) и B (xB, yB, zB). Необходимо определить координаты точки C, являющейся серединой отрезка AB.

Ax, Ay, Az ; Bx, By,Bz и Cx, Cy, Cz – проекции всех заданных точек на оси системы координат.

Согласно теореме Фалеса верны равенства: AxCx=CxBx, AyCy=CyBy,AzCz=CzBz

Следовательно, точки Cx, Cy,Cz являются серединами отрезков AxBx, AyBy, AzBz соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:

xC=xA+xB2, yc=yA+yB2, zc=zA+ZB2

Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат Oxy, точки с заданными координатами A(xA,yA) и B(xB, xB) . Точка C – середина отрезка AB.

Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: OC→=12·OA→+OB→ . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов OA→ и OB→ , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: OA→=(xA, yA), OB→=(xB,yB) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах  и получим: 

OC→=12·OA→+OB→=xA+xB2, yA+yB2

Следовательно, точка C имеет координаты:

xA+xB2, yA+yB2

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

C(xA+xB2, yA+yB2, zA+zB2)

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.

В данной публикации мы рассмотрим, что такое середина отрезка, по какой формуле считаются ее координаты (в плоскости и пространстве). Также разберем примеры решения задач по этой теме.

Расчет координат середины отрезка

Серединой называется точка, лежащая на отрезке и находящаяся на одинаковом расстоянии от его концов.

AC = CB

Если концы отрезка A (x_a, y_a) и B (x_b, y_b) расположены в одной плоскости, то координаты его середины (точки C) считаются по формуле:

Если отрезок с концами A (x_a, y_a, z_a) и B (x_b, y_b, z_b) находится в трехмерном пространстве, координаты его середины рассчитываются следующим образом:

Примеры задач

Задание 1
Вычислим координаты точки C, которая является серединой отрезка AB, образованного точками A (5, -2) и B (11, 10).

Решение:
В данном случае нам подойдут формулы для плоскости:
x_c = (5 + 11) / 2 = 8
y_c = (-2 + 10) / 2 = 4

Таким образом, точка C имеет координаты (8, 4).

Задание 2
Найдем координаты точки B, являющейся одним из концов отрезка AB. При этом известны координаты точки A (7, 13) и середины отрезка – C (4, -3).

Решение:
Нужные нам формулы можно вывести из выражений для расчета координат середины отрезка:

x_b = 2x_c – x_a = 2 · 4 – 7 = 1
y_b = 2y_c – y_a = 2 · (-3) – 13 = -19

Следовательно, координаты B – (1, -19).

Середина отрезка — точка на заданном отрезке, находящаяся на равном расстоянии от обоих концов данного отрезка. Является центром масс как всего отрезка, так и его конечных точек.

Координаты[править | править код]

Средняя точка отрезка в -мерном пространстве, концами которого являются точки и , задаётся формулой:

.

Таким образом, -я координата средней точки () равна:

.

Построение[править | править код]

Если заданы две точки, нахождение середины образованного ими отрезка может быть осуществлено с помощью циркуля и линейки. Для нахождения середины отрезка на плоскости можно сначала построить две дуги равного (и достаточно большого) радиуса с центрами в концах отрезка, а затем через точки пересечения этих дуг провести прямую. Точка, где полученная прямая пересекает отрезок, является его серединой.

С использованием теоремы Мора — Маскерони возможно также нахождение середины отрезка с помощью одного только циркуля: на первом шаге для отрезка строится точка , симметричная точке относительно точки ; на втором шаге строится инверсия точки относительно окружности радиуса с центром в точке ; полученная точка является серединой отрезка ^[1][2][3].

Можно также построить середину отрезка с помощью только линейки при условии, что на плоскости имеется окружность с отмеченным центром^[4].

Геометрические свойства[править | править код]

Середина любого диаметра окружности является центром окружности. Перпендикуляр к любой хорде, проходящий через её середину, проходит через центр окружности.
Теорема о бабочке утверждает, что если является серединой хорды и через середину проходят две другие хорды и , то и пересекают хорду в точках и соответственно таким образом, что является серединой отрезка .

Центр эллипса является серединой отрезка, соединяющего два фокуса эллипса.

Середина отрезка, соединяющего вершины гиперболы, является центром гиперболы.

Перпендикуляры к серединам сторон треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка является центром описанной окружности. Центр девяти точек треугольника — середина отрезка, соединяющего центра описанной окружности с ортоцентром данного треугольника. Вершины серединного треугольника данного треугольника лежат в серединах сторон треугольника.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности является серединой гипотенузы. В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса угла при вершине совпадают с прямой Эйлера и осью симметрии, и эта прямая проходит через середину основания.

Две бимедианы выпуклого четырёхугольника — это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Две бимедианы и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке, которая является серединой этих трёх отрезков^[5]. Теорема Брахмагупты утверждает, что если вписанный в окружность четырёхугольник является ортодиагональным (то есть, имеющий перпендикулярные диагонали), то перпендикуляры к сторонам из точки пересечения диагоналей всегда проходят через середину противоположной стороны. Теорема Вариньона утверждает, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, а если четырёхугольник к тому же является самонепересекающимся, то площадь параллелограмма равна половине площади четырёхугольника. Прямая Ньютона — линия, соединяющая середины двух диагоналей выпуклого четырёхугольника, не являющегося параллелограммом. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, пересекаются в точке, лежащей на прямой Ньютона.

Правильный многоугольник имеет вписанную окружность, которая касается всех сторон многоугольника в серединах его сторон. В правильном многоугольнике с чётным числом сторон середины диагоналей, соединяющих противоположные центры, являются центром многоугольника. Серединный многоугольник — многоугольник, вершины которого — середины рёбер исходного многоугольника. Растянутый многоугольник серединных точек вписанного многоугольника P является другим вписанным многоугольником, вписанным в ту же окружность, и его вершины являются серединами дуг между вершинами P^[6]. Повторение операции создания многоугольника растянутых средних точек приводит к последовательности многоугольников, форма которых сходится к правильному многоугольнику^[6][7].

Обобщения[править | править код]

Середина отрезка является аффинным инвариантом, поэтому координатные формулы^[⇨] применимы к любой аффинной системе координат.

Середину отрезка невозможно определить в проективной геометрии: любая внутренняя точка отрезка может быть проективно отображена в любую другую точку внутри (того же или любого другого) проективного отрезка. Закрепление одной такой точки в качестве середины определяет аффинную структуру на проективной прямой, содержащей этот отрезок. Четвёртая точка гармонической четвёрки для такой «средней точки» и двух конечных точек является бесконечно удалённой точкой^[8].

Понятие середины отрезка можно ввести на геодезических в римановом многообразии, но в отличие от аффинного случая, середина отрезка может быть не единственной.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• А. Н. Костовский. Геометрические построения одним циркулем. — М.: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — (Популярные лекции по математике).
• Август Адлер. Теория геометрических построений. — Ленинград: Государственное учебно-педагогическое издательство Наркомпроса РСФСР, Ленинградское отделение, 1940.
• Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?. — 3-е. — МЦНМО, 2001. — ISBN 5–900916–45–6.
• Jiu Ding, L. Richard Hitt, Xin-Min Zhang. Markov chains and dynamic geometry of polygons // Linear Algebra and its Applications. — 2003. — Т. 367. — doi:10.1016/S0024-3795(02)00634-1.
• Francisco Gomez-Martin, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint. 18th Fall Workshop on Computational Geometry. — 2008.
• H. S. M. Coxeter. The Real Projective Plane. — New York, Toronto, London: McGraw-Hill, 1949.
• Х. С. М. Коксетер. Действительная проективная плоскость. — М.: Физматлит, 1959.
• Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Mineola, New York: Dover Publ., 2007. — ISBN 0-486-45805-9.

Ссылки[править | править код]

• Animation — showing the characteristics of the midpoint of a line segment
• What is Midpoint Formula