Как найти средствами векторной алгебры длину ребра

Аналитическая геометрия – задача на расчет пирамиды (тетраэдра)

Краткая теория

---

Вузовская аналитическая геометрия отличается от курса школьной геометрии. Главное отличие состоит в том, что она основным своим инструментом имеет набор алгебраических формул и методов вычислений. В основе аналитической геометрии лежит метод координат.
Аналитическая геометрия имеет набор формул, готовых уравнений и алгоритмов действия. Для успешного и правильного решения главное – разобраться и уделить задаче достаточно времени.

Данная задача является типовой в курсе аналитической геометрии и требует использования различных методов и знаний, таких как декартовые прямоугольные координаты и вектора в пространстве.

Пример решения задачи

Задача

Даны координаты
вершин пирамиды 
. Найти:

Сделать чертеж.

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

Длина ребра

Длину ребра

 найдем по
формуле расстояния между 2-мя точками:

Угол между ребрами

Угол между ребрами

 и

 найдем как угол
между направляющими векторами

  и

:

Косинус угла между
векторами:

Угол между ребром и гранью. Векторное произведение

Вычислим угол между
ребром

 и гранью

.

Для этого вычислим
координаты нормального вектора плоскости

 –им будет
векторное произведение векторов 

 и

.

 

Найдем векторное произведение. Для этого

вычислим определитель:

Нормальный вектор
плоскости:

  

Синус угла:

Площадь грани

Вычислим площадь
грани

. Она будет численно равна половине модуля векторного
произведения векторов

    и 

:

Искомая площадь:

Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов

Вычислим объем
пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов

  и

:

Для того чтобы вычислить смешанное произведение, необходимо
найти определитель квадратной матрицы, составленной из координат векторов:

Искомый объем
пирамиды:

Уравнение прямой в пространстве

Вычислим уравнение
прямой

.  Направляющим
вектором искомой прямой является вектор

. Кроме того, прямая проходит через точку

 

Уравнение искомой
прямой:

Уравнение плоскости

Вычислим уравнение
плоскости

. Нормальный вектор плоскости

. кроме того, плоскость проходит через точку

 -уравнение
грани

 

Уравнение высоты, опущенной на грань

Составим уравнение
высоты, опущенной на грань

 из вершины

:

Нормальный вектор

 является
направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку

 

Искомое уравнение
высоты:

Сделаем схематический чертеж:

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольной пирамиды (тетраэдра):

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

8) основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

1) длину ребра А1А2;

из координат А2 вычти координаты А1
получишь вектор А1А2 с 3 координатами

их возведи в квадрат
сложи
извлеки из суммы квадратов корень

2) угол между ребрами А1А2 и А1А3;

найди координаты А1А2 и А1А3; (как в первом пункте)

найди длины обоих ((как в первом пункте))
найди скалярное произведение их:
первую координату первого умножь на первую координату второго+
+вторую координату первого умножь на вторую координату второго+
+третью координату первого умножь на третью координату второго

скалярное произведение подели на обе длины- получишь косинус угла между ними

3) площадь грани А1А2А3 ;

векторы А1А2 и А1А3 ты уже нашел в пункте 2
их длины тоже

есть два пути найти площадь:

ПЕРВЫЙ
найти векторное произведение этих векторов
потом его длину
потом его длину поделить на 2

это будет площадь треугольника

ВТОРОЙ
длины сторон (векторов) ты знаешь
косинус угла щнаешь
найди синус и считай площадь треугольника

4) объем пирамиды А1А2А3A4

векторы А1А2 и А1А3 ты уже нашел в пункте 2
найди еще А1А3 так же

запиши координаты всех трех в определитель по строкам (или по столбцам)
модуль определителя деленный на 3 и будет объем пирамиды

5) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4.

объем= площадь грани А1А2А3 умножить на высоту и делить на 3

Пример 1:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти:

1) координаты и модули векторов А₁ А₂и А₁ А₄;  

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

4) объем пирамиды;

5) уравнение прямой А₁ А₂;

6) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

7) уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3.

Сделать чертеж.

А₁ (0; 4; -4), А₂ (5; 1; -1), А₃ (-1; -1; 3), А₄ (0; -3; 7).

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂;

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;

4) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3. Сделать чертеж.

1. А₁ (7; 7; 3), А₂ (6; 5; 8), А₃ (3; 5; 8), А₄ (8; 4; 1).

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Решение от преподавателя:

 Уравнение плоскости. 
Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: 

x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1

= 0

Уравнение плоскости A₁A₂A₃ 

(x-3)(1*2-0*3) – (y-2)((-2)*2-3*3) + (z+2)((-2)*0-3*1) = 2x + 13y – 3z-38 = 0 

Угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃. 
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле: 

Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y – 3z-38 = 0 
Уравнение прямой A₁A₄: 

γ = arcsin(0.267) = 15.486^o 

Уравнение высоты пирамиды через вершину A₄(0,2,2) 
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: 
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y – 3z-38 = 0 

Уравнение плоскости через вершину A₄(0,2,2) 
Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и параллельная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением: 
A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0 
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y – 3z-38 = 0 
2(x-0)+13(y-2)-3(z-2) = 0 
или 
2x+13y-3z-20 = 0

Пример 4:

Решение от преподавателя:

Даны координаты пирамиды: A₁(0,1,1), A₂(3,4,4), A₃(-3,9,3), A₄(0,5,4) 

1. Уравнение плоскости. 
   Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: 

x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1

= 0

Уравнение плоскости A₁A₂A₃ 

(x-0)(3*2-8*3) – (y-1)(3*2-(-3)*3) + (z-1)(3*8-(-3)*3) = -18x – 15y + 33z-18 = 0 
Упростим выражение: -6x – 5y + 11z-6 = 0 

2) Угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃. 
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле: 

Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -6x – 5y + 11z-6 = 0 
Уравнение прямой A₁A₄: 

γ = arcsin(0.193) = 11.128^o 

3) Уравнение высоты пирамиды через вершину A₄(0,5,4) 
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: 
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -6x – 5y + 11z-6 = 0 

4) Уравнение плоскости через вершину A₄(0,5,4) 
Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и параллельная плоскости

5)  Координаты вектора  A₁A₄(0;4;3) 

Уравнение прямой, проходящей через точку А₁(0,1,1) параллельно вектору А₁А₂(0,4,3) имеет вид:

Пример 5:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂;

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;

4) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3. Сделать чертеж.

А₁ (4; 4; 10), А₂ (4; 10; 2), А₃ (2; 8; 4), А₄ (9; 6; 9).

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

1) Даны координаты  вершин пирамиды: A₁(0,1,1), A₂(3,4,4), A₃(-3,9,3), A₄(0,5,4) 
Координаты векторов. 
Координаты векторов:       A₁A₂(3;3;3)        A₁A₄(0;4;3) 

 Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле: 
   ,    где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ 
Найдем угол между ребрами A₁A₂(3;3;3) и A₁A₃(0;4;3): 

А₁ = arccos(0,808)

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения: 
S =
Найдем векторное произведение

=i(3*2-8*3) – j(3*2-(-3)*3) + k(3*8-(-3)*3) = -18i – 15j + 33k 

3) Объем пирамиды. 
Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен: 

Координатывекторов:A₁A₂(3;3;3)    A₁A₃(-3;8;2) A₁A₄(0;4;3) :      

Пример 7:

Решение от преподавателя:

1. Угол между ребрами. 
   Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле: 
   
   где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ 
   Найдем угол между ребрами A₁A₂(-2;1;3) и A₁A₃(3;0;2): 
   
   γ = arccos(0) = 90.003⁰ 
2. Площадь грани 
   Площадь грани можно найти по формуле: 
   
   где 
   
   Найдем площадь грани A₁A₂A₃ 
   Найдем угол между ребрами A₁A₂(-2;1;3) и A₁A₃(3;0;2): 
   
   
   Площадь грани A₁A₂A₃ 
3. Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен: 

где определитель матрицы равен: 
∆ = (-2)*(0*4-0*2)-3*(1*4-0*3)+(-3)*(1*2-0*3) = -18 

Пример 8:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ . Найти:

1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между рёбрами А₁А₂  и А₁А₄ ;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объём пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

Сделать чертёж.

А₁(3; 5; 4),        А₂(8; 7; 4),            А₃(5; 10; 4),          А₄(4; 7; 8).

Решение от преподавателя:

1) Длина ребра A₁A₂;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

Найдем уравнение стороны А₁А₄:

Вектор нормали:  к плоскости А₁А₂А₃.

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

Итак: z=4 – уравнение плоскости А₁А₂А₃.

8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

A₄O – высота:

Уравнение A₄O:

Т.к. , то

В результате получаем уравнение высоты:

Пример 9:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂;

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;

4) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3. Сделать чертеж.

А₁ (4; 4; 10), А₂ (4; 10; 2), А₃ (2; 8; 4), А₄ (9; 6; 9).

Решение от преподавателя:

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

ЗАДАЧА 1

В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды А1 В1 С1 D1. Найдите:

А) длину ребра А1 В1;

Б) косинус угла между векторами ;

В) уравнение ребра А1 В1;

Г) уравнение грани А1 В1 С1;

Д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань А1 В1 С1;

Е) координаты векторов , , , и докажите, что они образуют линейно независимую систему;

Ж) координаты вектора , где – середины ребер А1 D1 и В1 С1 соответственно;

З) разложение вектора по базису если А1(–2,2,2), В1(1,–3,0), С1(6,2,4), D1(5,7,–1).

Решение

А) Найдем координаты вектора по формуле

= XВ – XА ; YВ – YА ; ZВ – ZА , где (ХА , YА , ZА ) – координаты точки А1, (ХВ , YВ , ZВ ) – координаты точки В1.

Итак, = Тогда = .

Итак, длина отрезка (или длина вектора ) равна . Это и есть искомая длина ребра.

Б) Координаты вектора = уже известны, осталось определить координаты вектора : = .

Угол между векторами и вычислим по формуле Cos = ,

Где скалярое произведение векторов и равно ( , )= 3 ´ 8 + (–5) ´ 0 + (–2) ´2 = 24 + 0 – 4=20, = , =

Итак, Cos = = .

В) Координаты точки А1(–2,2,2) обозначим соответственно Х0 = –2, У0 = 2, Z0=2, а координаты точки В1 (1,–3,0) через Х1=1, У1 = –3, Z1=0 и воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки: .

Следовательно, уравнение ребра А1В1 имеет вид или

Г) Обозначим координаты векторов и через Х1=3, У1= –5, 1= –2 и Х2=8, У2= 0, 2=2 соответственно. Векторное произведение данных векторов определяется формулой

Так как данный вектор перпендикулярен грани А1 В1 С1 то можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через точку (Х0, У0, 0) перпендикулярно вектору , которое имеет вид

А .

Подставим координаты точки А1 (Х0=–2, У0=2, 0=2) и координаты перпендикулярного вектора А=–10, В=–22, С=40 в это уравнение:

– 10 ( Х + 2 ) – 22 (У – 2) + 40 ( – 2) = 0. Раскроем скобки и приведем подобные члены – 10 х – 22 у + 40z + (– 20 + 44–80)=0. Итак, уравнение грани А1 В1 С1 имеет вид: –10х – 22у + 40 z–56=0 или

–5х – 11у + 20 z – 28=0.

Д) Вектор является направляющим вектором высоты, опущенной из вершины D1 на грань А1В1С1. Воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку с заданным направляющим вектором: , где – координаты точки D1. Отсюда искомое уравнение: или

Е) Координаты вектора = = .

Обозначим = , = , .

Чтобы доказать, что векторы образуют линейно независимую систему векторов необходимо убедиться, что определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов,

отличен от 0. Определитель третьего порядка равен

= – + =

=

Вычислим определитель

=3 – (–5) +(–2) = 3 (0 (–3) – 5 2)+5 (8 (–3) – 7 2) –

– 2 (8 5 – 7 0) =3 (–10)+5 (–24 – 14) – 2 40=–30 – 190 – 80 = –300.

Так как данный определитель отличен от 0, то вектора образуют линейно независимую систему.

Ж) Сначала найдем координаты точек М и N соответственно. Координаты точки

М = = =

N = = = .

Получаем вектор = .

З) Обозначим через координаты вектора в базе .

Тогда = = .

Так как

= + + ;

= + + = ,

То приравнивая соответствующие координаты, получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

(1)

Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера (см. глава 10, стр. 268). Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

(2)

Тогда = z , где

Для системы (1) определитель

=3 –8 +7 =

= 3 ( –10) – 8 ( 15 + 10 ) + 7 ( –10) = –30 – 200 – 70 = –300;

= 2 –8 +7 =

=3 –2 +7 =

=3

=3 –8 +2 =

=

По формулам Крамера

Итак, разложение вектора по базису ( ) имеет вид

=

ЗАДАЧА 2

Решите систему линейных уравнений

А) методом Крамера;

Б) методом Гаусса;

В) с помощью обратной матрицы.

Решение

А) Метод Крамера состоит в решении системы линейных уравнений по формулам Крамера ,

Где (Подробности смотрите в пункте З) задачи 1.

Так как ; то

Б) решим данную систему уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида из которой последовательно, начиная с последнего уравнения легко находят все неизвестные системы.

Составим расширенную матрицу данной системы.

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы чтобы в ее левом верхнем углу была единица. Получим матрицу,

Умножим каждый элемент первой строки матрицы на 4 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам второй строки. Матрица примет вид,

=

Умножим каждый элемент первой строки матрицы на –3, и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки. Получим:

= .

Разделим каждый элемент второй строки матрицы на 4, чтобы второй элемент, стоящий на главной диагонали матрицы, стал равным 1.

.

Умножим каждый элемент второй строки матрицы на –8 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки:

.

Данная матрица соответствует системе уравнений , решение которой совпадает с решением исходной системы. Начиная с последнего уравнения, несложно найти все неизвестные.

Действительно, так как и , то

Отсюда, Из имеем

Ответ: .

В) Решение системы в этом случае равно = , где = – обратная матрица для матрицы = , – столбец свободных членов, – определитель этой матрицы. (Общую запись системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными смотрите в задаче 1, пункт з, система 2).

Составим матрицу состоящую из коэффициентов при неизвестных данной системы:

А = .

Вычислим ее определитель = –4 –4 –6 =

= .

Вычислим алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А:

Тогда = = и

= =

= = = = .

Отметим, что ответы, полученные при решениями разными методами совпадают между собой.

Ответ:

< Предыдущая		Следующая >