Как найти средствами векторной алгебры объем пирамиды

Skip to content

Объём треугольной пирамиды, построенной на векторах

Рисунок — Треугольная пирамида, построенная на векторах

Объём треугольной пирамиды (см. рисунок выше), построенной на векторах вычисляется по формуле:

Пример

Найти объём треугольной пирамиды, построенной на векторах ABCD c вершинами

А(2; -1; 1), B(5;5;4), C(3;2;-1), D(4;1;3).

Решение

Находим координаты векторов

$overrightarrow {AB}  = left{ {left( {5 — 2} right);left( {5 — left( { — 1} right)} right);left( {4 — 1} right)} right} = left{ {3;6;3} right}$

$overrightarrow {AC}  = left{ {left( {3 — 2} right);left( {2 — left( { — 1} right)} right);left( { — 1 — 1} right)} right} = left{ {1;3; — 2} right}$

$overrightarrow {AD}  = left{ {left( {4 — 2} right);left( {1 — left( { — 1} right)} right);left( {2 — 1} right)} right} = left{ {2;2;2} right}$

Искомый объём равен $frac{1}{6}$ объём параллелепипеда, построенного на рёбрах,

$overrightarrow {AB} $, $overrightarrow {AС} $, $overrightarrow {AD} $, следовательно объем равен:

$V =  pm frac{1}{6}left| {begin{array}{*{20}{c}}3&6&3 \ 1&3&{ — 2} \ 2&2&2 end{array}} right|=$

$ =  pm frac{1}{6}cdotleft( {3cdotleft( {3cdot2 — left( { — 2} right)cdot2} right) — 6cdotleft( {1cdot2 — left( { — 2} right)cdot2} right) + 3cdotleft( {1cdot2 — 3cdot2} right)} right) = 3$

Решая, находим определитель матрицы третьего порядка и получаем искомый объём треугольной пирамиды V=3

17641

Как рассчитать объем пирамиды по координатам вершин? Методика и пример задачи

Часто в задачах школьного курса геометрии приходится решать задания, которые требуют использования комплексного подхода. Одной из таких задач является вычисление объема пирамиды по координатам вершин. Как решить эту геометрическую задачу – ответит приведенная ниже статья.

Что представляет собой пирамида?

Говоря простыми словами, под этой фигурой понимают пространственный объект, ограниченный треугольными сторонами и одной многоугольной гранью, которая называется основанием. Многоугольное основание может быть произвольным n-угольником на плоскости, например, правильным треугольником, параллелограммом и так далее.

Вам будет интересно: Какую роль играет репродуктивная клетка животных и растений?

Любая пирамида имеет n + 1 грань, 2 * n ребер и n + 1 вершину. Вершины фигуры не являются равноправными. Так, существует единственная вершина, которая не принадлежит основанию. Она называется главной. Расстояние от нее до плоскости основания – это высота фигуры.

Пирамиды могут быть наклонными, если высота пересекает основание не в его центре, или прямыми, когда высота с основанием пересекается в геометрическом центре последнего. Также фигуры могут быть неправильными и правильными. Пирамиды правильные состоят из равноугольного и равностороннего основания и нескольких равнобедренных треугольников, которые друг другу равны.

Как рассчитывается объем пирамиды?

Прежде чем приводить методику вычисления по координатам вершин объема пирамиды, следует привести формулу, при помощи которой можно рассчитать эту величину для фигуры любого типа из рассматриваемого класса. Итак, объем пирамиды рассчитывается так:

Здесь So – это основания площадь, h – расстояние от главной вершины до основания, то есть высота пирамиды.

Таким образом, любая геометрическая задача на нахождение объема пирамиды сводится к расчету величин So и h.

Как найти объем пирамиды по координатам вершин: методика

Пирамида может быть представлена произвольным n-угольным основанием. Чтобы рассчитать его площадь, следует внимательно изучить условие задачи, в котором должно быть сказано, о каком типе n-угольника идет речь. Если это треугольник или параллелограмм, то расчет его площади по известным координатам очень прост: необходимо лишь найти векторное произведение соответствующих векторов сторон.

Вычислить высоту пирамиды также не представляет особого труда. Для этого следует из любых трех точек основания получить уравнение плоскости в общем виде, а затем нужно воспользоваться формулой расстояния между плоскостью и точкой (вершиной пирамиды). Формула имеет вид:

d = |(A * x1 + B * y1 + C * z1 + D)| / √(A2 + B2 + C2).

Здесь (x1; y1; z1) – координаты точки.

Уравнение плоскости имеет вид:

A * x + B * y + C * z + D = 0.

Задача с треугольной пирамидой

Решим задачу на примере самой простой пирамиды – треугольной. Условие простое: ниже даны координаты вершин пирамиды, объем найти нужно для фигуры, которая на этих координатах построена:

Положим, что основание пирамиды является треугольником ABC. Найдем длины векторов AB¯ и AC¯:

Векторное произведение AB¯ и AC¯ даст нам, с одной стороны, двойную площадь треугольника, то есть 2 * So, а с другой стороны, мы получим координаты нормального к плоскости вектора n¯, имеем:

n¯ = [AB¯ * AC¯] = (8; -10; -7).

Площадь треугольного основания равна полудлине вектора n¯, то есть:

So = √(82 + 102 + 72) / 2 = 7,3.

Прежде чем рассчитывать расстояние от D до плоскости ABC, необходимо записать уравнение плоскости. Три его коэффициента (A, B, C) мы уже знаем, они соответствуют координатам нормали n¯. Свободный член можно получить, подставив в уравнение координаты любой точки плоскости, например точки A, имеем:

D = -1 * (A * x1 + B * y1 + C * z1) = -1 * (8 * 1 + (-10) * 0 + (-7) * 3) = 13.

Тогда уравнение плоскости основания пирамиды принимает форму:

8 * x – 10 * y – 7 * z + 13 = 0.

Теперь применяем приведенную выше формулу для расчета расстояния от точки D(4; 3; 4) до найденной плоскости, получаем:

d = |(8 * 4 – 10 * 3 – 7 * 4 + 13)| / √(82 + 102 + 72) = 0,89.

Поскольку найденное значение расстояния d соответствует высоте пирамиды треугольной h, то можно воспользоваться формулой для объема фигуры:

V = 1 / 3 * So * h = 1 / 3 * 7,3 * 0,89 ≈ 2,166.

Полученное значение объема выражено в кубических единицах выбранной координатной системы.

Онлайн калькулятор. Объем пирамиды (объем тетраэдра) построенной на векторах.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти объем пирамиды или объем тетраэдра построенных на векторах.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление объема пирамиды построенной на векторах и закрепить пройденый материал.

Калькулятор для вычисления объема пирамиды (объема тетраэдра) построенной на векторах

Выберите каким образом задается пирамида (тетраэдр):

Введите значения векторов: Введите координаты вершин пирамиды:

Инструкция использования калькулятора для вычисления объема пирамиды (объема тетраэдра) построенной на векторах

Ввод данных в калькулятор для вычисления объема пирамиды (объема тетраэдра) построенной на векторах

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления объема пирамиды (объема тетраэдра) построенной на векторах

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши “влево” и “вправо” на клавиатуре.

Теория. Объем пирамиды (объем тетраэдра) построенной на векторах

Определение Объем пирамиды (объем тетраэдра) построенной на векторах a , b и c равен шестой части модуля смешанного произведения векторов составляющих пирамиду:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Объем пирамиды

Если заданы координаты точек вершин пирамиды, то координаты векторов находятся по формуле:
X = x_j – x_i; Y = y_j – y_i; Z = z_j – z_i
где x_i, y_i, z_i – координаты точки А_i; x_j, y_j, z_j – координаты точки А_j;

Пример №2 . Найти объем пирамиды, отсекаемой от угла плоскостью, проходящей через точки А(0,2,-1), В(3,4,2), С(-3,0,4).

[spoiler title=”источники:”]

http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/vector/pyramid_volume/

http://math.semestr.ru/line/volume-pyramid.php

[/spoiler]

Аналитическая геометрия – задача на расчет пирамиды (тетраэдра)

Краткая теория

---

Вузовская аналитическая геометрия отличается от курса школьной геометрии. Главное отличие состоит в том, что она основным своим инструментом имеет набор алгебраических формул и методов вычислений. В основе аналитической геометрии лежит метод координат.
Аналитическая геометрия имеет набор формул, готовых уравнений и алгоритмов действия. Для успешного и правильного решения главное – разобраться и уделить задаче достаточно времени.

Данная задача является типовой в курсе аналитической геометрии и требует использования различных методов и знаний, таких как декартовые прямоугольные координаты и вектора в пространстве.

Пример решения задачи

Задача

Даны координаты
вершин пирамиды 
. Найти:

Сделать чертеж.

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

Длина ребра

Длину ребра

 найдем по
формуле расстояния между 2-мя точками:

Угол между ребрами

Угол между ребрами

 и

 найдем как угол
между направляющими векторами

  и

:

Косинус угла между
векторами:

Угол между ребром и гранью. Векторное произведение

Вычислим угол между
ребром

 и гранью

.

Для этого вычислим
координаты нормального вектора плоскости

 –им будет
векторное произведение векторов 

 и

.

 

Найдем векторное произведение. Для этого

вычислим определитель:

Нормальный вектор
плоскости:

  

Синус угла:

Площадь грани

Вычислим площадь
грани

. Она будет численно равна половине модуля векторного
произведения векторов

    и 

:

Искомая площадь:

Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов

Вычислим объем
пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов

  и

:

Для того чтобы вычислить смешанное произведение, необходимо
найти определитель квадратной матрицы, составленной из координат векторов:

Искомый объем
пирамиды:

Уравнение прямой в пространстве

Вычислим уравнение
прямой

.  Направляющим
вектором искомой прямой является вектор

. Кроме того, прямая проходит через точку

 

Уравнение искомой
прямой:

Уравнение плоскости

Вычислим уравнение
плоскости

. Нормальный вектор плоскости

. кроме того, плоскость проходит через точку

 -уравнение
грани

 

Уравнение высоты, опущенной на грань

Составим уравнение
высоты, опущенной на грань

 из вершины

:

Нормальный вектор

 является
направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку

 

Искомое уравнение
высоты:

Сделаем схематический чертеж:

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольной пирамиды (тетраэдра):

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

8) основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ

для студентов 1 курса специальности
«Документоведение и информационная
деятельность»

дневной формы обучения

1. В задачах 1-10 даны координаты вершин
   пирамиды
   .
   Средствами векторной алгебры найти:

   1. угол между ребрами
      
      и
      ;

   2. площадь грани
      ;

   3. проекцию вектора
      
      на вектор
      ;

   4. объем пирамиды.

1.
.

2.

3.
.

4.
.

5.
.

6.
.

7.
.

8.
.

9.
.

10.
.

1. В задачах 11-20 даны координаты точек
   .
   Найти:

   1. уравнение прямой, проходящей через
      точки
      и
      ,

   2. угол между прямыми
      
      и
      ,

   3. расстояние от точки
      
      до прямой
      ,

   4. уравнение прямой, проходящей через
      точку
      параллельно
      прямой
      ,

   5. уравнение прямой, проходящей через
      точку
      перпендикулярно
      прямой
      .

11.
.

12.
.

13.
.

14.
.

15.
.

16.
.

17.
.

18.
.

19.
.

20.
.

1. В задачах 21-30 найти все точки пересечения
   трех следующих плоскостей:

   1. плоскости
      ,
      заданной общим уравнением
      ;

   2. плоскости
      ,
      проходящей через точки
      ,

   3. плоскости,
      проходящей через точку
      
      перпендикулярно вектору
      .

№	А	B	C	D
21.	2	-3	1	2	(-5;0;0)	(0;-1;0)	(6;1;1)	(0;-4;0)
22.	2	-4	3	1	(-1;0;1)	(3;0;0)	(0;-1;1)	(0;-2;0)
23.	3	2	-1	0	(0;0;0)	(-1;1;1)	(-3;0;2)	(1;1;2)
24.	2	-1	1	2	(0;0;-1)	(0;-1;0)	(2;-2;2)	(0;0;1)
25.	1	2	3	5	(1;1;0)	(1;0;1)	(0;-2;1)	(6;0;0)
26.	1	1	1	1	(0;3;0)	(-1;1;2)	(5;1;-4)	(1;-1;0)
27.	1	1	-2	2	(0;1;1)	(1;1;0)	(-3;0;0)	(0;0;2)
28.	3	-1	2	9	(0;0;0)	(1;1;1)	(3;-2;0)	(1;1;-2)
29.	1	1	-1	7	(-10;0;0)	(-1;3;0)	(-2;0;-4)	(-1;0;-2)
30.	2	-1	3	9	(-2;0;-1)	(0;1;1)	(2;2;0)	(1;0;1)

1. В задачах 31-40 дана точка
   ,
   плоскость и прямая. Найти:

   1. точку
      ,
      симметричную точке
      
      относительно данной плоскости,

   2. точку
      ,
      симметричную точке
      
      относительно данной прямой,

   3. угол между данными прямой и плоскостью,

   4. точки пересечения прямой, параллельной
      заданной и проходящей через точку
      ,
      с координатными плоскостями.

31.
.

32.
.

33.
.

34.
.

35.
.

36.
.

37.
.

38.
.

39.
.

40.
.

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИ. ИНДИВИДУАЛЬНОГО
ЗАДАНИЯ.

Задача 1. Пусть пирамида задана
вершинами.
Средствами векторной алгебры найти:

1. угол между ребрами
   
   и
   ;

2. площадь грани
   ;

3. проекцию вектора
   
   на вектор
   ;

4. объем пирамиды.

Решение.

1. Угол между ребрами
   
   и
   
   равен углу между векторами
   
   и
   .

Так как
,
то

Поэтому:

,
так что
.

1. Грань
   
   есть треугольник, площадь которого
   равна половине площади параллелограмм,
   построенного на векторах
   .
   Найдем сначала векторное произведение

.

Тогда
.

3). Проекция вектора

на вектор

находится по формуле
.
В нашем случае

.

Поэтому
.

4). Пирамида

построена на векторах
.
В п.2 найдено векторное произведение
.
Тогда
.
Так как объем пирамиды

есть
часть объема параллелепипеда, построенного
на векторах

то

Задача 2. На плоскости заданы
точки
.
Найти:

1. уравнение прямой, проходящей через
   точки
   и
   ,

2. угол между прямыми
   
   и
   ,

3. расстояние от точки
   
   до прямой
   ,

4. уравнение прямой, проходящей через
   точку
   параллельно
   прямой
   ,

5. уравнение прямой, проходящей через
   точку
   перпендикулярно
   прямой
   .

Решение.

1. Уравнение прямой, проходящей через
   точки
   ,
   имеет вид

.
В нашем случае :,
т.е.

Это и есть уравнение прямой, проходящей
через точки
и

.

1. Угол между прямыми
   
   и
   
   равен углу между векторами
   ,
   который может быть найден из формулы
   .

Так как
,
то

.

Поэтому
.

1. Расстояние
   
   от точки
   
   до прямой
   
   находится по формуле:

.
В нашем случае нужно найти расстояние
от точки

до прямой
,
имеющей уравнение

Имеем:

.

1. Запишем сначала уравнение прямой
   
   в виде
   ,
   из которого находим ее угловой коэффициент
   .
   Так как прямая должна проходить через
   точку
   
   параллельно прямой
   ,
   то ее уравнение должно иметь вид:

,
т.е.

или

– уравнение прямой, проходящей через
точку

параллельно прямой
.

1. Угловой коэффициент
   
   прямой, проходящей через точку
   
   перпендикулярно прямой
   ,
   связан с угловым коэффициентом последней
   соотношением
   .
   Отсюда
   .
   Поэтому
   .

– это уравнение прямой, проходящей через
точку

перпендикулярно прямой
.

Задача 3. Найти все точки пересечения
трех следующих плоскостей:

1. плоскости
   ,
   заданной уравнением
   ;

2. плоскости
   ,
   проходящей через точки
   ;

3. плоскости
   ,
   проходящей через точку
   
   перпендикулярно вектору
   ,
   если известно, что
   

.

Решение.

Плоскость

определяется уравнением
.
Для нахождения уравнения плоскости

воспользуемся тем фактом, что уравнение
плоскости, проходящей через точки
,
имеет вид

.

В нашем случае,
т.е.
.

Раскрыв этот определитель, получим:

или
.

Уравнение плоскости, прохоедящей через
точку

перпендикулярно вектору

имеет вид:
.
Значит, уравнение плоскости

есть:

т.е.
.

Из уравнений плоскостей
,
,

составим систему:

которую и нужно решить. Для решения
воспользуемся правилом Крамера. Для
этой цели вычислим определители:

,
,
,
.

Значит,
.
Следовательно, плоскости
,
,

пересекаются в единственной точке
.

Задача 4. Дана точка
,
плоскость

и прямая
.
Найти:

1. точку
   ,
   симметричную точке
   
   относительно данной плоскости,

2. точку
   ,
   симметричную точке
   
   относительно данной прямой,

3) угол между данными прямой и плоскостью,

4)точки пересечения прямой, параллельной
заданной и проходящей через точку
,
с координатными плоскостями.

Решение.

1).Запишем уравнение прямой, проходящей
через точку

и перпендикулярной данной плоскости.
Так как в качестве направляющего вектора
такой прямой можно взять нормальный
вектор плоскости
,
то уравнение прямой запишется в виде:

.
Найдем точку
пересечения
этой прямой и данной плоскости, которая
будет проекцией точки
на
данную плоскость. Для этого надо решить
совместно систему уравнений:

,

.

Перепишем каноническое уравнение прямой
в параметрической форме, вводя параметр
:
,
т.е..
Подставляя эти выражения для

в уравнение плоскості, получим
,
откуда

– координаты точки
.

Так как точка

является серединой отрезка
,
то координаты

симметричной точки найдутся из формул
,
откуда

.
Следовательно,
.

3).Найдем уравнение плоскости, проходящей
через точку

и перпендикулярной данной прямой. Так
как в качестве нормального вектора
такой плоскости можно взять направляющий
вектор

данной прямой, то уравнение плоскости
запишется в виде:

или.

Найдем точку

пересечения этой плоскости и заданной
прямой, которая будет проекцией точки
на
данную прямую. Для этого надо решить
систему уравнений:

,

.
Как и в п.1 записываем уравнение прямой
в параметрическом виде:и
подставляем

в уравнение плоскости
или
.
Отсюда

и
.

Координаты

симметричной точки

находим, используя формулы для координат
середины отрезка, т.е.

,
откуда
.
Следовательно,
.

3).Угол

между плоскостью
и
прямой

вычисляется по формуле
,
откуда
.

4). Уравнение прямой, проходящей через
точку
,
параллельно прямой

записывается в виде
.
Чтобы найти точку

пересечения этой прямой с плоскостью
,
надо в уравнениях прямой положить
:
,
откуда
.
Следовательно,
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #