Как найти срок по сложным процентам

Задача 1

Через
сколько лет первоначальная сумма увеличится в 1000 раз, если на нее начисляются
сложные годовые проценты по ставке 12% при: а) начислении процентов в конце
года; б) ежемесячном начислении процентов?

---

Задача 2

Господин
Н поместил в банк 50 тыс. руб. на условиях начисления каждый квартал сложных
процентов по годовой ставке 12%. Через полтора года он снял со счета 20 тыс.
руб., а через 2 года после этого закрыл счет. Определить сумму, полученную им
при закрытии счета.

---

Задача 3

Два
денежных взноса, один из которых на 30 000 руб. больше другого, вырастут за 15
лет с процентной ставкой 6% так, что вместе составят 100 000 руб. Капитализация
полугодовая. Чему равны эти два денежных взноса?

---

Задача 4

Необходимо
инвестировать 350 000 руб. сроком на три года. Есть два варианта: вклад с
простой процентной ставкой 15% и вклад с ежедневным начислением сложных
процентов по годовой ставке 14%. Определите наиболее выгодный для инвестора
вариант расчета процентов и вложения средств.

---

Задача 5

10 млн.
руб. инвестированы на два года по ставке 30% годовых. Требуется найти
наращенную сумму за два года, если начисление процентов производится: а) по
полугодиям; в) ежеквартально.

---

Задача 6

11 лет
назад в банк было вложено 34560 руб., а 5 лет назад – 45000 руб. Какой капитал
нужно вложить сегодня, чтобы сумма всех вложений через 16 лет была равна 835000
руб. Процентная ставка равно 10%, а капитализация годовая.

---

Задача 7

Первоначальный
долг в размере 10000 руб. через 180 дней вырос до 20000 руб. Определить годовую
процентную ставку, по которой начислялись проценты:

а)
простые проценты;

б)
сложные проценты один раз в год;

---

Задача 8

На вклад
в размере 15000 руб. ежеквартально начисляются проценты по номинальной годовой
процентной ставке 12%. Какой будет величина вклада через 1,5 года?

---

Задача 9

Определить
ставку начисления сложных процентов, если известно, что по истечении 3 лет было
получено 240 000 руб., при этом начальная сумма вклада составляла 180 000 руб.

---

Задача 10

Вклад в
размере 20000 руб. под 10% годовых сроком на 2 года предусматривает начисление
и капитализацию процентов по полугодиям. Рассчитать величину вклада в конце
каждого квартала в течение срока вклада. Повторить расчет для случая начисления
простых процентов по той же ставке и сравнить полученные результаты.

---

Задача 11

На
начальную сумму в 1000$ в течение 4 лет начисляются каждые полгода сложные
проценты по номинальной ставке 5%. На сколько увеличится или уменьшиться
наращённая сумма, если номинальная ставка и число периодов капитализации процентов
возрастут вдвое?

---

Задача 12

Сумма
18000 руб. выплачивается через 3,8 года. Номинальная ставка процентов – 18,5%
годовых. Определить современную стоимость при ежемесячном начислении процентов.

---

Задача 13

Остров
Манхэттен был куплен в 1624 г. у индейского вождя за 24$. Стоимость земли этого
острова 350 лет спустя оценивалась в 40 млрд.$. При какой ставке годовых
процентов возможен такой рост?

---

Задача 14

Вы
делаете вклад в банк в размере 100 тыс. руб. сроком на 5 лет. Банк начисляет 8
% годовых. Какая сумма будет на счете к концу срока, если начисление процентов
производится по схеме простых и сложных процентов: а) ежегодно б) каждые
полгода?

---

Задача 15

Кредит в
сумме 2500$ выдан на 8 лет. Сложная ставка годовых процентов менялась от
периода к периоду: на протяжении первых 3 лет действовала ставка 7,5%, в
следующие 3 года – 8%, в последнем периоде – 8,2%. Какую сумму нужно вернуть в
конце восьмого года?

---

Задача 16

Каково
минимально приемлемое значение годовой ставки сложных процентов, если ссуда
должна быть удвоена в течение 3-х лет.

---

Задача 17

Первоначальная
сумма ссуды 20,0 тыс. руб. срок ссуды 3 года, проценты начисляются в конце
каждого квартала по номинальной ставке 8 % годовых. Определить множитель
наращения и погашаемую сумму.

---

Задача 18

Первоначальная
сумма ссуды 50 тыс. руб. выдана на 2 года. Проценты начисляются по годовой
номинальной ставке 12%. Чему равна конечная сумма долга, если:

– проценты начисляются один раз в конце года,

– проценты начисляются четыре раза в год (в конце
каждого квартала).

Результаты
сравнить и сделать выводы.

---

Задача 19

Какова
ставка сложных процентов, если сумма долга удвоилась за 5 лет?

---

Задача 20

Вкладчик намерен положить деньги в
банк под 15% годовых. Определить сумму вклада, необходимую для накопления через
2 года 50 тыс. руб. в случае простых и сложных процентов.

---

Задача 21

На 1 марта 2011 г. принято
обязательство выплатить 1 млн. руб. (с процентами) к сроку 1 марта 2013 г. При
расчетах принять ставку (схема сложных процентов) 15% годовых. Требуется: найти
наращенную сумму долга к сроку выплаты.

---

Задача 22

За какой период первоначальный
капитал в размере 40000 руб. вырастет до 75000 руб. при простой (сложной)
ставке 15% годовых?

---

Задача 23

Сравнить сроки удвоения суммы 1000
руб. при начислении сложных процентов:

а) по полугодиям;

б) ежеквартально;

в) непрерывно.

---

Задача 24

 Банк ежегодно начисляет сложные проценты на
вклады по ставке 25% годовых. Определить сумму, которую надо положить в банк,
чтобы через 3 года накопить 100 млн. руб.

---

Задача 25

Вкладчик закрывает в банке
двухгодичный депозит и получает сумму 124 тыс.р. Какую сумму он внес на депозит
два года назад, если сложная процентная ставка 11% с полугодовым начислением
процентов?

---

Задача 26

Промышленное предприятие вносит на
счет в банке некоторую сумму, чтобы через пять лет обновить оборудование в
цехе. Сколько денег необходимо внести предприятию, если обновление цеха
обойдется 10.5 млн.р., а сложная ставка процента 10%, при ежеквартальном
начислении процентов.

---

Задача 27

Сравните скорость наращения суммы в 1000
руб. по простым и сложным процентам, если годовая ставка равна 20%, для сроков
в полгода, год, два года, три года. Сравните результаты, сделайте выводы.

---

Задача 28

Банк выдает ссуду на 10 лет или под
процент 7 % годовых (сложных), или под простые проценты. Какую ставку простых
процентов должен установить банк, чтобы полученный им доход не изменился?

---

Задача 29

Банк предоставил ссуду в размере
9000 рублей на 3.5 года под 20% годовых на условиях полугодового начисления
процентов. Определить возвращаемую сумму при различных схемах начисления
процентов: простых и сложных.

---

Задача 30

Банк начисляет проценты на вклады до
востребования по сложной ставке 9% годовых. Определить сумму вклада для
накопления через 1.5 года 50 тыс. рублей

---

Задача 31

Рассчитайте, какая сумма будет на
счете, если вклад 10000 руб. положен на 2,5 года по 9 процентов годовых. Решите
задачу для простых и сложных процентов, которые начисляются:

а) раз в год;

б) раз в полугодие;

в) ежеквартально;

г) ежемесячно;

д) ежедневно;

е) непрерывно.

---

Задача 32

Рассчитайте, какая сумма будет через
4 года на счете, если в конце каждого месяца вносится по 1000 руб. Проценты
сложные, начисление ежемесячное, годовая ставка 9%.

---

Задача 33

Фермер взял в банке кредит на сумму
5 млн. руб. под 8 % годовых (сложных). Через год он вернул банку 3 млн. руб., а
еще через год взял кредит на сумму 2 млн. руб. Через 2 года после этого фермер
вернул полученные кредиты полностью. Какую сумму он при этом выплатил банку?

---

Задача 34

Кредит в размере 910 000 руб.
выдан на два года и 80 дней под 16% годовых по сложной ставке. Найти сумму
долга на конец кредита.

---

Задача 35

За сколько лет долг возрастет с
750 000 руб. до 1 200 000 руб., если ставка сложная годовая 25%.

---

Задача 36

Кредит в размере 2.350.000 рублей
выдан на 4 года и 30 дней под 21% годовых по сложной ставке. Найти сумму долга
на конец срока кредита.

---

Задача 37

За сколько лет долг возрастет с
830.000 рублей до 1.220.000 рублей, если ставка сложная годовая 18%.

---

Задача 38

 Г-н Иванов может вложить деньги в банк, выплачивающий
проценты по ставке j6 = 10%. Какую сумму он должен вложить, чтобы получить
20000 руб. (е) через 3 года 3 месяца?

---

Задача 39

Банк выплачивает на вложенные в него
деньги 8% годовых (сложных). Какую ставку j_m должен установить банк,
чтобы доходы клиентов не изменились, если (е) m = 4?

---

Задача 40

Определите время, за которое
происходит удвоение первоначальной суммы при начислении простых и сложных
процентов, если процентная ставка равна: а) 5 %; б) 10 %; в) 15 %; г) 25 %; д)
50 %; е) 75 %; ж) 100 %

---

Задача 41

Сумма выплаченных процентов
составляет 570 тыс. руб. Ссуда выдана сроком на 2 года. Ставка сложных
процентов составляет 10% годовых.

Определить:

1. Первоначальную сумму долга.

2. Величину наращенной суммы.

---

Задача 42

Банк на денежный вклад начисляет
проценты в размере 20%. Определить число лет, необходимое для увеличения
первоначального капитала в 3 раза при начислении простых и сложных процентов.

---

Задача 43

Определить число дней, за которое
начальный банковский депозит в 2174.03 руб. рублей достигнет величины 2775,64
руб.  при сложной ставке наращения i_c=11.43%.

---

Задача 44

Найдите период времени, за который
сумма, положенная на депозит, возрастет в 2 раза при начислении процентов:

а) По простой ставке 16%;

б) По сложной ставке 18%.

---

Задача 45

За сколько лет сумма в 1000 у.е.
достигнет 25000 у.е. при начислении % по сложной ставке в 16%:

а) Раз в год;

б) Поквартально

---

Задача 46

Ссуда в размере $100000 выдана на
пять с половиной лет под 6% годовых. Проценты начисляются в конце каждого
квартала. Найти сумму процентов к выплате.

---

Задача 47

Облигация стоит 18,75 тысяч рублей,
по ней выплачивается 25 тысяч рублей через 10 лет, какая процентная ставка j₂
обеспечит этот рост?

---

Задача 48

Депозит
рассчитывается по схеме сложных процентов с годовой процентной ставкой 10%. За
какое время первоначальная сумма увеличивается в 5 раз?

---

Задача 49

Определить
более выгодный вариант вложения денежных средств в объеме 200 тыс. руб.:

а) сроком
на 1 год, получая доход в виде простой процентной ставки 10% годовых;

б) по
сложной ставке 8% с поквартальной капитализацией.

---

Задача 50

Вы имеете
10 млн. р. и хотели бы удвоить эту сумму через 5 лет. Каково минимально
приемлемое значение процентной ставки?

---

Задача 51

На счете
в банке 1,2 млн. р. Банк платит 12,5% годовых. Предлагается войти всем
капиталом в совместное предприятие, при этом прогнозируется удвоение капитала
через 5 лет. Принимать ли это предложение?

---

Задача 52

Рассчитайте
наращенную сумму с исходной суммы в 2 млн. р. при размещении ее в банке при условиях
начисления: а) простых б) сложных процентов, если годовая ставка 15%, а периоды
начисления 90 дней, 180 дней, 1 год, 5 лет, 10 лет.

---

Задача 53

Владелец
80 тыс. руб. положил эту сумму в Сбербанк сроком на три года из расчета
процентной ставки, равной 10% годовых. Вычислите размер дохода по этому вкладу
за три года, исходя из того, что владелец денег не снимал проценты по
завершению первого и второго годов.

---

Задача 54

Рассчитать
сумму начисленных % (сложные %)

Период 5
лет

Годовая
процентная ставка 24%

Капитализация
– ежеквартальная

Вклад –
6000 руб.

---

Задача 55

Вклад в размере 8 тыс. руб. хранился
2 года под 7% годовых, 1 год – под 8% и 3 года – под 9% с полугодовой
капитализацией процентов. Определить сумму начисленных процентов.

---

Задача 56

Найти
срок долга, при котором сумма вклада удвоится, если процентная ставка сложных
процентов j=0,22
. Проценты начисляются 4
раза в год.

---

Задача 57

Клиент
желает накопить 20 000 руб. через три года 5 месяцев. Банк начисляет проценты
по сложной номинально процентной ставки 12 % годовых с ежеквартальным
начисление процентов. Какую сумму должен вложить клиент?

---

Задача 58

Определить
минимальную годовую ставку сложных процентов, необходимую для удвоения
банковского вклада в течение 4 лет.

---

Задача 59

Банк
начисляет 20% годовых. Чему должен быть равен первоначальный вклад, чтобы через
3 года иметь на счете 4 млн. р., если проценты начисляются ежеквартально.

---

Задача 60

Банк
начисляет 20% годовых. Чему должен быть равен первоначальный вклад, чтобы через
3 года иметь на счете 15 млн. р., если проценты начисляются ежеквартально.

---

Задача 61

Найдите
период времени, за который сумма, положенная на депозит, возрастет в 2 раза при
начислении процентов:

а) По
простой ставке 17%;

б) По
сложной ставке 18%.

---

Задача 62

За
сколько лет сумма в 1000 у.е. достигнет 25000 у.е. при начислении % по сложной
ставке в 17%:

а) Раз в
год;

б)
Поквартально

---

Задача 63

Гражданин
решил купить легковой автомобиль за 595 тыс. руб. Какая годовая ставка сложных
процентов по депозиту в банке обеспечит накопление необходимо суммы через 4
года, если сейчас у гражданина имеется всего 265 тыс. руб.?

---

Задача 64

Сколько
времени потребуется для того, чтобы начисленные проценты сравнялись с
первоначальной вложенной суммой, если сложная годовая учетная ставка составляет
9,5%? Дробную часть года перевести в дни, используя временную базу в 365 дней.

---

Задача 65

В долг
предоставлена сумма в 50 тыс. руб. с условием возврата 85 тыс. руб. через 28
месяцев. Найдите доходность данной финансовой операции в виде сложной процентной
ставки. Временная база 360 дней.

---

Задача 66

Годовая ставка сложных процентов
равна 8 %. Через сколько лет начальная сумма удвоится?

---

Задача 67

Банк
предоставил ссуду в размере 150 тыс. руб. на 39 месяцев под процентную ставку
30% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и
начисленных сложных процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку при
различных вариантах начисления сложных процентов: а) годовом; б) полугодовом;
в) ежеквартальном.

---

Задача 68

Клиенту
требуется через полгода иметь на счете 10 млн. рублей. На какую процентную
ставку рассчитывает вкладчик, если собирается положить в банк 9,8 млн. рублей
(проценты начисляются ежеквартально).

---

Задача 69

Стоимость
нового автомобиля составляет 15000 долларов. Если процентная ставка в банке на
вклады сроком более года равна 6%, на какую сумму следует открыть депозит,
чтобы собрать в течение двух лет 15000 долларов? Проценты по вкладу начисляются
ежеквартально.

---

Задача 70

Рассчитайте,
какая сумма окажется на счете, если 28 тыс. денежных единиц размещены на 33
года под 13,5% годовых. Проценты начисляются каждые полгода.

---

Задача 71

Господин
Филиппов хочет вложить 5 тыс. руб., чтобы через 2 года получить 7 тыс. руб. Под
какую процентную ставку

 он должен вложить свои деньги?

---

Задача 72

Сумма
размером 5 тысяч рублей инвестирована на 1 год по ставке 15% годовых. Найдите
наращенную за это время сумму и ее приращение при начислении процентов: а)
ежегодно; б) по полугодиям; в) ежеквартально; г) ежемесячно.

---

Задача 73

В течение
семи лет на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по ставке 13%.
Определите современную величину суммы в 330 млн.р., если проценты начислялись:

а) один
раз в год;

б) один
раз в полгода.

---

Задача 74

Кредит
получен в сумме 5000000 руб. В конце срока долга уплатили 12000000 руб.
Определить срок долга, если начисляются сложные проценты ежемесячно по годовой
процентной ставке 0,13.

---

Задача 75

За какой срок первоначальный капитал
в 58 млн. д.е. увеличивается до 180 млн. д.е. если:

А) на него будут начисляться сложные
проценты по ставке 24% годовых;

Б) проценты будут начисляться
ежеквартально?

---

Задача 76

Вкладчик
положил в банк под сложную ставку 18% годовых 3000 руб. Какая сумма будет на
счете вкладчика а) через 3 месяца; б) через год; в) через 3,5 года?

---

Задача 77

Депозит
рассчитывается по схеме сложных процентов с годовой процентной ставкой 10%. За
какое время первоначальная сумма увеличивается в 5 раз?

Простые и сложные проценты

С помощью калькулятора вычисляются параметры финансовых операций по простой и сложной банковской ставке (см. также вычисления при учетной ставке).

• Ввод данных
• Решение

Здесь будет показано решение

Существуют два способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный. При декурсивном способе проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. При антисипативном (предварительном) способе проценты начисляются в начале каждого интервала (процентная ставка называется учётной).

Простые проценты

На практике применяются три варианта расчета простых процентов:

• точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика). Обозначается как 365/365 или АТС/АТС.
• обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом дней ссуды (французская практика). Обозначается как 365/360 или АТС/360.
• обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика). Обозначается как 360/360.
  
  По схеме 360 количество дней к году принимается равным 360 (в каждом месяце по 30 дней).
  
  Пример. Определить приближённое число дней между 12.02.2019 и 27.08.2020.
  
  Если год рассматривается как промежуток, содержащий 12 месяцев продолжительностью 30 дней (дивизор равен 360 дней), то приближённое число дней рассчитывается следующим образом:
  
  n = 360*(y2-y1)+30*(m2-m1)+(d2-d1)
  
  где y – номер года, m – номер месяца в году, d – номер дня в месяце.
  
  n = 360*(2020-2019)+30*(8-2)+(27-12) = 555 дней

Наращение основной суммы: S = P(1+i*n)

где P – исходная сумма, i – проценты, n – количество лет.

Когда срок финансовой сделки не равен целому числу лет:
S=P·(1+tT​·i)

где t – срок в днях, T – временная база (365 или 360)

Примеры задач на простые проценты

Выберите необходимый вид задачи (кнопка Решить) и заполните требуемые поля.

1. Ссуда в размере P = 1 млн.руб. выдана d1 = 20.01 до d2 = 05.10 включительно под i = 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? При решении применить три метода расчёта срока ссуды.
   
   Решить аналогичную
   
   Начальная дата: 20.01, конечная дата: 05.10, количество дней между датами: 258
   
   Январь, 11 дней: с 21.01 по 31.01
   
   Февраль, 28 дней: с 01.02 по 28.02
   
   Март, 31 день: с 01.03 по 31.03
   
   Апрель, 30 дней: с 01.04 по 30.04
   
   Май, 31 день: с 01.05 по 31.05
   
   Июнь, 30 дней: с 01.06 по 30.06
   
   Июль, 31 день: с 01.07 по 31.07
   
   Август, 31 день: с 01.08 по 31.08
   
   Сентябрь, 30 дней: с 01.09 по 30.09
   
   Октябрь, 5 дней: с 01.10 по 05.10
   
   Итого: 11 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 5 = 258
   
   S=P·(1+tT​·i)
   
   1) Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
   
   S=1 000 000·(1+258365​·0.18)=1 127 232.88 руб.
   
   2) Обыкновенные проценты с точным числом дней (365/360)
   
   S=1 000 000·(1+258360​·0.18)=1 129 000 руб.
   
   3) Обыкновенные проценты с приближённым числом дней (360/360)
   
   Количество дней между датами: 255
   
   Январь, 10 дней: с 21.01 по 30.01
   
   Февраль, Март, Апрель, Май, Июнь, Июль, Август, Сентябрь по 30 дней
   
   Октябрь, 5 дней: с 01.10 по 05.10
   
   Итого: 10 + 30*8 + 5 = 255
   
   S=1 000 000·(1+255360​·0.18)=1 127 500 руб.
2. Через d = 180 дней после подписания договора должник уплатит S = 310 тыс.руб. Кредит выдан под i = 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням?
   
   Решить аналогичную
   
   P=S(1+tT​·i)​
   
   Находим современную стоимость P=310 000(1+180365​·0.16)​ = 287 328.59 руб.

Сложные проценты

Выберите необходимый вид задачи (кнопка Решить) и заполните требуемые поля.

Сложная процентная ставка наращения – это ставка, при которой база начисления является переменной, то есть проценты начисляются на проценты. Формула наращения для сложных процентов имеет вид:

S=P·(1+i)n

Если в качестве периода наращения процентов используется не год, а, например, месяц (m=12), квартал (m=4) или другой период, то наращенная сумма определяется по формуле:

S=P·(1+im​)m·n

Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, то наращенную сумму можно найти смешанным методом:

S = P·(1+i)[n]·(1+{n}·i)

где [n] – целая часть числа; {n} – дробная часть числа n.

Современная стоимость Р величины S находится в случае сложной процентной ставки по формуле:

P=S(1+i)n​

Примеры задач на сложные проценты

1. Какой величины достигнет долг, равный P = 1 млн.руб., через n = 5 лет при росте по сложной ставке i = 15,5% годовых, если проценты начисляются раз в год, ежемесячно, поквартально и два раза в год?
   
   Решить аналогичную
   
   1) Сложные проценты начисляются раз в год: S = 1 000 000·(1+0.155)5 = 2 055 464,22 руб
   
   2) Сложные проценты начисляются два раза в год:
   
   S=1 000 000·(1+0,1552​)2·5 = 2 109 467,26 руб.
   
   3) Сложные проценты начисляются 4 раза в год (поквартально):
   
   S=1 000 000·(1+0,1554​)4·5 = 2 139 049,01 руб.
   
   4) Сложные проценты начисляются ежемесячно (12 раз в год):
   
   S=1 000 000·(1+0,15512​)12·5 = 2 159 847,20 руб.
2. Через n = 5 лет предприятию будет выплачена сумма S = 1 млн.руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется ставка сложных процентов i = 10% годовых.
   
   Решить аналогичную
   
   P=S(1+i)n​
   
   P=1 000 000(1+0,1)5​ = 620 921,32 руб.
   
   Если проценты начислялись ежеквартально.
   
   P=S(1+im​)m·n​
   
   P=1 000 000(1+0,14​)4·5​ = 610 270,94 руб.
3. Определить современную стоимость S = 20 тыс.руб., которые должны быть выплачены через четыре года (n = 4). В течение этого периода на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по i = 8 %годовых: а)ежегодно; б)ежеквартально.
   
   Решить аналогичную
   
   P=S(1+i)n​
   
   P=20 000(1+0,08)4​ = 14 568,92 руб.
   
   Если проценты начислялись ежеквартально.
   
   P=S(1+im​)m·n​
   
   P=20 000(1+0,084​)4·4​ = 14 570 руб.
4. За взятые в долг деньги под сложную процентную ставку i=35% годовых должник обязан уплатить кредитору 30 тыс. руб. 1 июля 1997 г. Какую сумму необходимо уплатить должнику, если он вернет долг: а) 1 января 1997 г.; б) 1 января 1998 г.; в) 1 июля 1999 г.?
   
   Количество дней в 1997 году: T=365.
   
   а) 1 января 1997 г.;
   
   Эта дата ранее 1 июля 1997 г., поэтому речь идет о поиске исходной суммы P (S=30000). Количество дней между 1 января 1997 г. и 1 июля 1997 г. составляет d=181 дн..
   
   б) 1 января 1998 г.;
   
   Эта дата позже 1 июля 1997 г., поэтому находим наращенную сумму S (P=30000). d1=01.07.1997 и d2=01.01.1998.
   
   в) 1 июля 1999 г.
   
   Количество лет между 1 июля 1997 г. и 1 июля 1999 г. составляет n=2 года.
   
   S=P·(1+i)ⁿ=30000·(1+0.35)² = 54 675 руб.

Список источников

• Финансовая математика (детерминированные модели): конспект лекций/Н.А.Шиловская.-Архангельск:Сев. (Аркт.) фед.ун-т, 2011. -104с.
• Ширшов Е.В. Финансовая математика: учебное пособие / Е.В. Ширшов, Н.И. Петрик, А.Г. Тутыгин, Т.В. Меньшикова. – 5-е перераб. и доп. – М.: КНОРУС, 2010. – 144 с.

Стоимость подключения зависит от срока использования:

• 1 месяц: 100 руб.
• 3 месяца: 200 руб.
• 6 месяцев: 300 руб.
• 1 год: 600 руб.

Возможности:

• Скачивать решение в формате Word (форматы rtf, docx, xlsx).
• Использовать калькуляторы без рекламы.

Оплата осуществляется в Личном кабинете в разделе Платные услуги.

Задачи про кредиты, в которых неизвестно время

12 октября 2015

В этом уроке мы разберём, как решаются самые сложные задачи про кредиты из ЕГЭ по математике — в них неизвестно время. В первую очередь запомните формулу, связывающую общую сумму кредита, процент, срок и ежемесячные платежи:

$Ccdot {{x}^{n}}=Pcdot frac{{{x}^{n}}-1}{x-1}$.

Где $C$ — общая сумма кредита, $x$ — процент, $P$ — ежемесячный платёж, а число $n$ — это срок, на который берётся кредит. Именно его мы сегодня и будем искать, для чего нам потребуется выполнить два шага:

1. Примерно оценить срок. Для этого достаточно разделить кредит на платёж, а полученное число округлить в большую сторону. Если при делении получилось целое число, просто увеличиваем его на единицу.
2. Убедиться, что это число и есть ответ. Для этого придётся посчитать несколько степеней от довольно некрасивых чисел: 1,1; 1,03 и т.д.

Решая эту задачу, всегда помните связь между сроком и размером ежемесячного платежа:

Чем больше срок, тем меньше ежемесячный платёж. И наоборот: чем меньше срок, тем больше платёж.

Кроме того, есть важное правило, которое позволит существенно сократить объём выкладок. Вместо того, чтобы искать значение, скажем${{1,03}^{7}}$, можно найти какую-нибудь промежуточную степень (всё, что больше куба, для этого числа уже считается проблематично), а затем продолжить работу с верхними и нижними оценками этого числа. Что это за оценки и как с помощью них решить задачу 17 вдвое быстрее — смотрите в видеоуроке.:)

Самая сложная задача про кредиты из ЕГЭ

Сегодня мы разберем то, о чем я обещал поговорить еще в прошлом учебном году, когда мы впервые познакомились с задачами с экономическим содержанием из ЕГЭ по математике. Вообще, с момента появления этой задачи в Едином государственном экзамене прошло довольно много времени, и с тех пор такие задачи стали более разнообразными, чем изначально, однако самая сложная и часто встречающаяся задача осталась неизменной. Именно о ней мы сегодня и поговорим. А точнее, речь пойдет о самом сложном варианте этой задачи — о задаче на выплаты и кредиты, когда работает универсальная формула сложных процентов, выведенная в предыдущем видеоуроке, однако неизвестно в этот раз не кредит и не платеж, а именно время, на который взят этот самый кредит.

Формула сложных процентов в математике

Откуда берется эта формула расчета сложных процентов и как вообще все это работает, я подробно объяснял на предыдущем видеоуроке, поэтому если вы его не смотрели, очень рекомендую посмотреть. Однако из того же самого видеоурока возникла куча вопросов и, в частности, разбор самой сложной задачи мы оставили на потом. Именно этим мы сегодня и займемся.

Прежде чем решать эту задачу, давайте запишем нашу классическую формулу расчета сложных процентов, а именно:

[Ccdot {{x}^{n}}=Pcdot frac{{{x}^{n}}-1}{x-1}]

Где $C$ — общая сумма кредита, $x$ — процент, $P$ — ежемесячный платеж, $n$ — срок, на который берется кредит.

Эту формулу мы выводили на одном из предыдущих видеоуроков, ее можно без всяких сомнений использовать на настоящем экзамене, при этом предварительно обосновав примерно так же, как это сделано в предыдущем видеоуроке.

Задача № 1

Итак, экономическая задача, в которой неизвестной искомой величиной является время:

1 января 2015 года пенсионерка взяла в банке 1,5 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 10 процентов на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), а затем пенсионерка переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев пенсионерка может взять кредит, чтобы ежемесячные платежи составили не более 350 тыс. рублей?

Шаг первый: выписываем известные данные

Итак, начинаем решать нашу задачу. Во-первых, выпишем все, что нам известно. Прежде всего, нам дан общий объем кредита:

Кредит = 1 500 000

Известно, что ежемесячный платеж не должен превышать 350 тыс. рублей. Давайте так и запишем:

Платеж = 350 000

Кроме того, известен процент. Мы знаем, что если 10% записать в виде коэффициента, то это будет:

% = 1,1

Шаг второй: составляем уравнение, используя формулу вычисления сложных процентов

А то, что нам неизвестно, так это число $n$ в данном уравнении. Давайте подставим все, что мы знаем в формулу сложных процентов и посмотрим, что получится:

[1500000cdot {{1,1}^{n}}=350000cdot frac{{{1,1}^{n}}-1}{1,1-1}]

[150cdot {{1,1}^{n}}=35cdot left( {{1,1}^{n}}-1 right)cdot 10left| :5 right.]

Давайте введем замену:

[{{1,1}^{n}}=t]

[]

В этом случае получим:

[3t=7left( t-1 right)]

[3t=7t-7]

[-4t=-7]

[t=frac{7}{4}=1,75]

Вспоминаем, что такое $t$. Нам предстоит решить следующее уравнение:

[{{1,1}^{n}}=1,75]

Шаг третий: находим наименьшее значение

Если вы попытаетесь решить данное уравнение с помощью калькулятора, то у вас ничего не получится — числа будут либо больше, либо меньше, но точного значения вы не получите. Поэтому давайте еще раз вернемся к условию задачи и прочитаем, что ежемесячные платежи должны составить не более 350 тыс. рублей. Давайте задумаемся: чем на больший срок берется один и тот же кредит, тем меньшими являются ежемесячные платежи. А поскольку нам требуется, чтобы ежемесячные платежи были не более 350 тысяч рублей, то это значит, что срок должен быть не менее чем указанный. На самом деле, с учетом того, что точно этому сроку наше значение не может быть равно, мы получаем, что нам нужно решить не уравнение, а неравенство вида

[{{1,1}^{n}} gt 1,75]

Еще раз внимательно посмотрите на этот переход — это принципиально важный момент во всей задачи. Мы не можем подобрать точное натуральное значение $n$ такое, чтобы $1,1$ в этой степени давала $1,75$, поэтому теперь наша задача — найти минимальное натуральное $n$ такое, чтобы выполнялось это неравенство. Спрашивается: а почему минимальное? Ведь можно взять кредит на 100 лет и тогда уж точно все получится, т.е. ${{1,1}^{n}}$ будет больше, чем $1,75$. Однако нам в задаче требуется найти именно минимальное количество. Поэтому из всех таких $n$, которые удовлетворяют этому неравенству, мы выберем наименьшее, а, по сути, мы сейчас сами найдем это самое наименьшее.

Составим небольшую таблицу.

месяц $left( n right)$	${{1,1}^{n}}$
1	1,1
2	1,21
3	1,331
4	1,4641
5	1,61051
6	1,771561

И вот мы впервые превзошли искомые ограничения — $1,75$. Обратите внимание: пяти месяцев нам еще недостаточно, потому что коэффициент не достигнет желаемой величины, а шести месяцев уже достаточно, потому что он не только достигнет, но и превзойдет желаемую величину. Поэтому окончательный ответ — шесть месяцев.

Нюансы решения

Как видите, в этом нет ничего сложного, даже если от нас требуется найти именно срок. Единственное, что нас могло смутить — довольно большой объем вычислений в самом конце, когда мы считали степени $1,1$. Однако неудивительно, так как это одна из самых последних и самых сложных задач из ЕГЭ по математике, поэтому если бы здесь было совсем все просто, то за нее не давали бы три первичных балла.

Кроме того, хотел бы обратить ваше внимание на окончательное обоснование ответа. Напоминаю, что мы решаем задачу из второй части: здесь недостаточно написать ответ, а нужно предоставить полное и грамотное обоснование. Итак, возводя в степени, мы в определенный момент получаем такие значения: $1,61051$ и $1,771561$. Возникает вопрос: а почему мы выбрали второе число? Мы решаем данное неравенство, которое было обосновано ранее, и второе значение под наше неравенство уже подходит, потому что

[{{1,1}^{6}}=1,771561]

А в $1,75$во втором знаке стоит «пять», т.е. цифра меньше и, следовательно, это число меньше. А вот если мы попытаемся выбрать в качестве ответа пять месяцев и связанный с этим значением коэффициент $1,61051$, то нас этот вариант точно не устроит. Почему? Потому что если мы подставим его в исходную формулу сложных процентов и попытаемся по этим данным посчитать итоговый ежемесячный платеж, то он окажется больше, чем требуемые 350 тыс. рублей.

Для того, чтобы успешно решить эту задачу, в том числе, когда требуется найти срок необходимо учесть два момента:

1. Помнить формулу решения сложных процентов и желательно уметь выводить ее на экзамене.
2. Помнить зависимость между сроками и размерами платежей. Зависимость обратно пропорциональная: чем больше срок, тем меньше ежемесячный платеж и наоборот — чем больше ежемесячный платеж, тем меньше срок, в течение которого придется выплачивать один и тот же кредит.

Задача № 2

1 января 2015 года пенсионерка взяла в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 3 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 3%), а затем пенсионерка переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев пенсионерка может взять кредит, чтобы ежемесячные платежи составили не более 220 тыс. рублей?

На первый взгляд задача ничем не отличается от предыдущей. Разве что пенсионерка стала более разумной, поэтому взяла лишь 1,1 млн. и, кроме того, процент в месяц составляет лишь 3%, а не 10%, и ежемесячные платежи должны составлять не более 220 тыс. рублей.

Шаг первый: выписываем известные данные

Вновь запишем нашу формулу сложных процентов:

[Ccdot {{x}^{n}}=Pcdot frac{{{x}^{n}}-1}{x-1}]

Где $C$ — общая сумма кредита, $x$ — процент, $P$ — ежемесячный платеж, $n$ — срок, на который берется кредит.

Давайте запишем известные данные:

Кредит = 1100000

Платеж = 220000

% = 1,3

Шаг второй: составляем уравнение, используя формулу расчета сложных процентов

Подставляем все эти данные в формулу. Вновь нам неизвестен срок, т.е. $n$:

[1100000cdot {{1,03}^{n}}=220000cdot frac{{{1,03}^{n}}-1}{1,03-1}left| :11 right.]

[{{1,3}^{n}}=2cdot left( 1,03-1 right)cdot frac{10}{3}left| 3 right.]

Введем замену:

[{{1,03}^{n}}=t]

[3t=20left( t-1 right)]

[3t=20t-20]

[3t=20t-20]

[-17t=-20]

[t=frac{20}{17}]

И вот тут мы натыкаемся на первую проблему, которой в предыдущей задачи не было: $frac{20}{17}$ не переводится в «красивую» десятичную дробь, а нам нужна именно десятичная дробь, потому что когда мы сделаем таблицу, то будем возводить $1,03$ в разные степени, а она, будучи десятичной дробью в разных степенях, тоже будет давать десятичные дроби. На самом деле выход просто: просто разделим и оставим первые четыре знака:

[frac{20}{17}=1,17647…]

Возвращаясь к нашей задаче, мы получим следующее:

[t=1,17647…]

Приравняем обе части:

[{{1,03}^{n}}=1,17647…]

По аналогии с предыдущей задачей несложно заметить, что нет такого натурального $n$, чтобы $1,03$ в этой степени давало нам $1,17647…$, поэтому мы спокойно заменяем наше равенство знаком неравенства:

[{{1,03}^{n}} gt 1,17647…]

При этом при решении данного неравенства в ответ пойдет наименьшее $n$. Давайте снова составим таблицу, где слева мы снова будем писать месяцы, а справа — коэффициент:

месяц $left( n right)$	${{1,03}^{n}}$
1	1,03
2	1,0609
3	1,092727
4
5
6

Шаг четвертый: находим верхнюю и нижнюю оценку, используя «метод оценок»

Мы столкнулись с еще одной проблемой: по мере роста номера месяца объем вычислений становится просто катастрофическим, поэтому дальнейшие вычисления нужно выполнять с помощью какого-то другого инструмента, иначе мы просто утонем в объеме выкладок. Эта проблема характерна для всех задач, в которых процент меньше десяти. Поэтому как только вы видите маленькие проценты, не думайте, что вам попалась легкая задача, наоборот — будут проблемы. Однако все эти проблемы легко решаются при помощи замечательного инструмента под названием «метод оценок». Сейчас я вам расскажу, что это такое и как его применять на примере данной задачи.

Итак, нам необходимо найти четвертую, пятую и шестую степень числа $1,03$. Мы находили при помощи предыдущей, умножая ее на $1,03$. Однако уже на третьем шаге объем вычислений оказался достаточно большим. Поэтому чтобы не утонуть в вычислениях, выполним следующую манипуляцию: давайте посмотрим на числа, которые у нас получились при возведении в квадрат и в третью степень. Сначала рассмотрим, что получилось в квадрате:

[{{1,03}^{2}}=1,0609]

Давайте отсечем два знака после запятой и запишем просто $1,06$. То же самое сделаем с третьей степенью, в которой мы получили такое выражение:

[{{1,03}^{3}}=1,092727]

Отсечем два знака после запятой и получим $1,09$. В обоих случаях мы берем лишь первые два знака. Что нам это даст? Дело в том, что в любом случае $1,0609$, т.е. истинное значение второй степени будет больше, чем только что найденное значение:

[1,06 lt 1,0609]

Аналогично можно сказать и про третью степень:

[1,09 lt 1,092727]

А теперь возьмем и к этим числам в последнем разряде прибавим «единицу». Получим:

[1,06+1=1,07]

[1,09+1=1,10]

Замечательное свойство этих чисел состоит в том, что в первом случае

[1,07 gt 1,0609]

А вот втором случае будет следующее неравенство:

[1,1 gt 1,092727]

Давайте запишем вот так:

[1,06 lt 1,0609 lt 1,07]

[1,09 lt 1,092727 lt 1,1]

Полученные значения называются верхней и нижней оценкой или округлением с недостатком и округлением с избытком. И вместо того, чтобы мучится с огромным объемом вычислений, мы будем просто перемножать эти числа. Каким образом и на каком основании? Давайте заметим следующее:

[{{1,03}^{4}}={{1,03}^{2}}cdot {{1,03}^{2}}]

[{{1,03}^{5}}={{1,03}^{3}}cdot {{1,03}^{2}}]

[{{1,03}^{6}}={{1,03}^{3}}cdot {{1,03}^{3}}]

Шаг пятый: находим наименьшее значение

Давайте заполним таблицу до конца:

месяц $left( n right)$	${{1,03}^{n}}$
1	1,03
2	1,0609
3	1,092727
4	$1,06cdot 1,06 lt * lt 1,07cdot 1,07$
5	$1,06cdot 1,09 lt * lt 1,07cdot 1,1$
6	${{1,09}^{2}} lt * lt {{1,1}^{2}}$

Что дают нам все эти верхние и нижние оценки? Во-первых, существенно сокращается объем вычислений, а, во-вторых, давайте посмотрим на последние значения:[{{1,1}^{2}}=1,21]

[{{1,09}^{2}}=1,1881]

Итого

[1,1881 lt {{1,03}^{6}} lt 1,21]

Что это значит? А то, что для $n=6$ мы уже точно превзойдем искомую величину. Мы уже знаем, что

[{{1,03}^{n}}=1,17647 lt 1,1881 lt {{1,03}^{6}} lt 1,21]

В принципе, «шесть» нас уже устраивает — это кандидат в ответ. Но проблема в том, что в задаче от нас требуется найти минимальное количество месяцев. А что, если минимальное количество месяцев будет «пять»? Давайте посчитаем и повторим все те же вычисления для «пяти»:

[1,1554 lt {{1,03}^{5}} lt 1,177]

Но такие оценки нам ничего не дадут. Почему? Потому что если мы начертим числовую прямую и отметим на ней нижнюю и верхнюю оценки, то получим следующее: между $1,1554$ и $1,177$ находится ${{1,03}^{5}}$. Но также между ними есть и $1,17647$, которое мы должны превзойти. Если это число лежит правее $1,17647$, то нас все устраивает, и ответом будет «пять». Однако если оно будет левее, то «пять» нас не устраивает и ответом будет «шесть». Как же проверить, какое из чисел нас устраивает? К сожалению, в рамках верхних и нижних оценок, которые мы записали, ответить на этот вопрос невозможно – нам просто не хватает точности. Поэтому давайте еще раз выпишем значения для $n=2$ и $n=3$.

месяц $left( n right)$	${{1,03}^{n}}$
2	1,0609
3	1,092727

До сих пор мы брали оценку с точностью до двух знаков после запятой. Но как только что мы убедились, такой точности недостаточно. Поэтому давайте возьмем оценку с точностью до трех знаков после запятой. В таком случае мы получим следующее:

месяц $left( n right)$	${{1,03}^{n}}$
2	$1,060 lt 1,0609 lt 1,061$
3	$1,092 lt 1,092727 lt 1,093$

Таким образом, какой бы не было $n$ в выражение ${{1,03}^{n}}$, оно в любом случае будет больше, чем $1,06cdot 1,092$, но в любом случае меньше, чем $1,061cdot 1,093$.

Запишем вычисления:

[1,06cdot 1,092 lt * lt 1,59673]

Это значит, что наши предположения верны. Искомое значение, если вновь попытаться начертить его на числовой прямой, будет снизу ограничено $1,1554$, а сверху —$1,159673$. Т.е. ${{1,03}^{5}}$ будет заведомо меньше, чем $1,159673$ и уж тем более меньше, чем $1,17647…$А это значит, что наше исходное предположение о том, что при $n=5$ мы уже превзойдем величину $1,17647…$ неверно. А это значит, что пятый месяц нас все еще не устроит. А вот шестой месяц, о котором мы сначала и подумали, действительно является таковым. Итого, окончательный ответ — шесть. Задача решена и полностью обоснована.

Полезные советы при решении задач с использованием формулы сложных процентов

Самое главное в это задаче — это понять, чем оценки отличаются от округления. Мы берем две цифры после запятой, отсекаем все, что идет после них, и записываем эти числа слева. Очевидно, что поскольку дальше идут какие-то цифры в настоящем числе, это число будет то, что мы получили слева (см. таблицу). Эти числа, которые находятся слева, и называются меньшими оценками. Затем к ним мы в самом последнем разряде (к последней цифре) прибавляем «единицу», и получаем число, на единицу большее в конце, например, было $1,06$ стало $1,07$ и т.д. Это будут верхние оценки. И далее, что бы мы не делали, какую бы степень и номер месяца не считали, все равно истинное значение нашей величины будет заключено между степенями верхней и нижней оценок.

Но есть одна проблема: в определенный момент мы получаем, что и число, и искомая величина лежат в одних и тех же пределах. Пределы получены, разумеется, при вычислении степеней оценок. В нашей ситуации такая проблема возникла в вычислениях значения для пятого месяца: левая оценка дала нам $1,1554$, а правая — $1,177$. Между этими двумя числами лежит как искомая величина, которую мы не знаем, так и наше искомое значение, т.е. ${{1,03}^{n}}$. Выход из такой ситуации напрашивается сам собой: если нам не хватает точности, то необходимо просто увеличить точность исходных оценок, т.е. после запятой мы берем не две, а три цифры. Но поскольку нас интересуют, прежде всего, верхние оценки, мы увеличим каждое из этих чисел на единицу в разряде, запишем и перемножим. В результате мы получим следующее: новая верхняя оценка для нашего числа, для пятого месяца, будет лежать между $1,1554$ и $1,159673$.

На самом деле, пятый месяц даст коэффициент, который будет находиться в вышеуказанном диапазоне, что явно меньше, чем искомая величина $1,174647…$ На первый взгляд может показаться, что сложность и объем всех этих вычислений будет существенно больше, чем если бы мы просто возвели числа в степень квадрат, куб и т.д. На самом деле это не так. Уже на третьей и четвертой степенях возникают большие числа, а до пятого и шестого месяца вы просто не дойдете.

Как определить кандидата в ответ, исходя из условия задачи

В качестве заключительного аккорда сегодняшнего видеоурока я хотел бы вам рассказать еще один довольно хитрый инструмент, который позволит еще с первого взгляда на задачу уже примерно оценить, какой месяц предстоит считать и какой месяц, скорее всего, является кандидатом в ответ.

Давайте посмотрим на исходную формулу. Всего объем кредит, который предстоит выплатить, составляет 1,1 млн. при этом ежемесячно нужно выплачивать по 220 тыс. рублей. Давайте разделим общий размер задолженности на ежемесячный платеж. В этом случае мы получим количество месяцев, которые необходимо будет потратить на выплату кредита, если бы на нас не начислялись проценты. Однако сами по себе проценты невелики — в нашем случае всего 3% в месяц. Это значит, что вряд ли накопится задолженность еще больше, чем на один месяц и, следовательно, нужно прибавить к полученной величине еще единицу, и мы получим наиболее вероятный кандидат на ответ.

В нашем случае, если 1,1млн. разделить на 220 тыс., то мы получим пять месяцев, но без учета начисленных процентов. Соответственно, еще один месяц потребуется на то, чтобы погасить проценты. И мы получим тот же самый ответ.

Однако хочу вас предупредить, что ни в коем случае нельзя использовать этот прием как единственно возможное обоснование того ответа, который у вас получается в задаче! Потому что мы решаем одну из самых сложных задач ЕГЭ: там требуется привести не только ответ, но и все подробные выкладки и обоснования. Такой прием — это лишь подсказка для нас самих, для того, чтобы понимать, какие именно месяцы, какие именно степени считать. Дальнейшим шагом нужно доказать, что, например, число, равное пяти месяцам, нас не устраивает, а шести месяцев точно устраивает. Каким образом можно это сделать. Например, с помощью числовой прямой, более точных вычислений, метода оценок или как вам будет удобнее. В любом случае, мы с учениками недавно убедились, что эта подсказка существенно облегчает выкладки и хотя бы дает представление о том, каким должен быть ответ.

Тренируйтесь, решайте задачи, оттачивайте навык с вычислением верхних и нижних оценок. Это далеко не последний урок на решение задач с экономическим содержанием, поскольку самих задач стало довольно много, и их условия стали более разнообразные. Поэтому оставайтесь с нами!

Смотрите также:

1. Задачи на кредит с плавающим платежом
2. Производительность труда в задаче 17 из ЕГЭ по математике: сложные случаи. Нет, это не текстовые задачи.:)
3. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
4. Комментарий к пробному ЕГЭ от 7 декабря
5. Опасные ошибки в задачах на площади
6. Задача B4: экономика

Сложным процентом принято называть эффект, когда проценты прибыли прибавляются к основной сумме и в дальнейшем сами участвуют в создании новой прибыли.
Формула сложного процента – это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом капитализации (начислении процентов).

Простой расчет сложных процентов

Чтобы лучше усвоить расчет сложных процентов, давайте разберём пример.
Представим, что вы положили 10 000 руб в банк под 10 процентов годовых.
Через год на вашем банковском счету будет лежать сумма SUM = 10000 + 10000*10% = 11 000 руб.
Ваша прибыль – 1000 рублей.
Вы решили оставить 11 000 руб на второй год в банке под те же 10 процентов.
Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб.

Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.

Этот эффект и получил название сложный процент.

Когда вся прибыль прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль.

Формула сложного процента:

SUM = X * (1 + %)ⁿ

где
SUM – конечная сумма;
X – начальная сумма;
% – процентная ставка, процентов годовых /100;
n – количество периодов, лет (месяцев, кварталов).

Расчет сложных процентов: Пример 1.
Вы положили 50 000 руб в банк под 10% годовых на 5 лет. Какая сумма будет у вас через 5 лет? Рассчитаем по формуле сложного процента:

SUM = 50000 * (1 + 10/100)⁵ = 80 525, 5 руб.

Сложный процент может использоваться, когда вы открываете срочный вклад в банке. По условиям банковского договора процент может начисляться например ежеквартально, либо ежемесячно.

Расчет сложных процентов: Пример 2.
Рассчитаем, какая будет конечная сумма, если вы положили 10 000 руб на 12 месяцев под 10% годовых с ежемесячным начислением процентов.

SUM = 10000 * (1+10/100/12)¹² = 11047,13 руб.

Прибыль составила:

ПРИБЫЛЬ = 11047,13 – 10000 = 1047,13 руб

Доходность составила (в процентах годовых):

% = 1047,13 / 10000 = 10,47 %

То есть при ежемесячном начислении процентов доходность оказывается больше, чем при начислении процентов один раз за весь период.

Если вы не снимаете прибыль, тогда начинает работать сложный процент.

Формула сложного процента для банковских вкладов

На самом деле формула сложного процента применительно к банковским вкладам несколько сложнее, чем описана выше. Процентная ставка для вклада (%) рассчитывается так:

% = p * d / y

где
p – процентная ставка (процентов годовых / 100) по вкладу,
например, если ставка 10,5%, то p = 10,5 / 100 = 0,105;
d – период (количество дней), по итогам которого происходит капитализация (начисляются проценты),
например, если капитализация ежемесячная, то d = 30 дней
если капитализация раз в 3 месяца, то d = 90 дней;
y – количество дней в календарном году (365 или 366).

То есть можно рассчитывать процентную ставку для различных периодов вклада.

Формула сложного процента для банковских вкладов выглядит так:

SUM = X * (1 + p*d/y)ⁿ

При расчете сложных процентов нужно принимать во внимание тот факт, что со временем наращивание денег превращается в лавину. В этом привлекательность сложных процентов. Представьте себе маленький снежный комок размером с кулак, который начал катиться со снежной горы. Пока комок катится, снег налипает на него со всех сторон и к подножию прилетит огромный снежный камень. Также и со сложным процентом. Поначалу прибавка, создаваемая сложным процентом, почти незаметна. Но через какое-то время она показывает себя во всей красе. Наглядно это можно увидеть на примере ниже.

Калькулятор сложных процентов для вклада

Расчет сложных процентов: Пример 3.
Рассмотрим 2 варианта:
1. Простой процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Всю прибыль вы снимаете.
2. Сложный процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Каждый год проценты прибыли прибавляются к основной сумме.

Начальная сумма: 50 000 рублей
Процентная ставка: 20% годовых
	Простой процент	Сложный процент
	Сумма	Прибыль за год	Сумма	Прибыль за год
Через 1 год	60 000р.	10 000р.	60 000р.	10 000р.
Через 2 года	70 000р.	10 000р.	72 000р.	12 000р.
Через 3 года	80 000р.	10 000р.	86 400р.	14 400р.
Через 4 года	90 000р.	10 000р.	103 680р.	17 280р.
Через 5 лет	100 000р.	10 000р.	124 416р.	20 736р.
Через 6 лет	110 000р.	10 000р.	149 299р.	24 883р.
Через 7 лет	120 000р.	10 000р.	179 159р.	29 860р.
Через 8 лет	130 000р.	10 000р.	214 991р.	35 832р.
Через 9 лет	140 000р.	10 000р.	257 989р.	42 998р.
Через 10 лет	150 000р.	10 000р.	309 587р.	51 598р.
Через 11 лет	160 000р.	10 000р.	371 504р.	61 917р.
Через 12 лет	170 000р.	10 000р.	445 805р.	74 301р.
Через 13 лет	180 000р.	10 000р.	534 966р.	89 161р.
Через 14 лет	190 000р.	10 000р.	641 959р.	106 993р.
Через 15 лет	200 000р.	10 000р.	770 351р.	128 392р.
Суммарная прибыль:	150 000р.		720 351р.

Комментарии, как говорится, излишни. Вложения с использованием сложного процента НА ПОРЯДОК выгоднее, чем с простым процентом. Чем больше проценты прибыли, чем дольше срок инвестирования, тем ярче проявляет себя сложный процент.

В случае простого процента график увеличения капитала получается линейный, поскольку вы снимаете прибыль и не даёте ей работать и приносить новую прибыль. В случае сложного процента график получается экспоненциальным, с течением времени кривая увеличения капитала становится всё круче, всё больше стремится вверх. Это происходит оттого, что из года в год прибыль накапливается и создаёт новую прибыль.

На графике ниже показано как вырастет капитал, если вложить 50 000 руб на 15 лет под 10%, 15% и 20%.

Как видите, на длительном промежутке времени очень важным становится то, под какой процент вы инвестируете деньги.
Через 15 лет при 10% годовых 50 тысяч рублей превратятся в 200 тысяч, при 15% – уже в 400 тысяч, а при 20% годовых – в 780 тысяч.

Таким образом, сложный процент является мощным орудием по увеличению капитала на длительных промежутках времени.

Вычисляем ставку и время

Из формулы расчёта сложного процента можно выразить процентную ставку и количество лет (месяцев).

Процентная ставка:

% = (SUM / X)^1/n – 1

Расчет сложных процентов: Пример 4.
Какая процентная ставка должна быть, чтобы за 10 лет 50 000 рублей превратились в 100 000 рублей?

% = (100000 / 50000)^1/10 – 1 = 0,0718 = 7,18 % годовых

Количество периодов (месяцев, лет):

n = log_(1+%) (SUM / X)

Расчет сложных процентов: Пример 5.
Сколько потребуется лет, чтобы 50 000 руб. нарастились до 1 000 000 руб. при процентной ставке 40% ?

n = log_(1+0,4) (1000000 / 50000) = 8,9 лет

Смотреть также:

• Сложные и простые проценты