Сечение цилиндра: определение, виды, его образующая
Содержание:
- Кратко о цилиндре
- Осевое сечение
- Как найти площадь сечения
- Осевое сечение наклонного цилиндра
-
Примеры задач
- Задача 1
- Задача 2
Кратко о цилиндре
Цилиндр — это геометрическая фигура, которая ограничена цилиндрической поверхностью и двумя плоскими окружностями.
Также можно сказать, что это тело вращения, возникающее при вращении прямоугольника вокруг его стороны.
Осевое сечение
Это сечение фигуры плоскостью, проходящей через ее ось. Оно является прямоугольником. Таким образом, любое сечение, параллельное оси цилиндра (и перпендикулярное его основанию), становится прямоугольником. Сторонами этой фигуры будет диаметр цилиндра и высота его оси.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Как найти площадь сечения
Формула 1
(S = d*h,)
где (d) — диаметр, а (h) — высота всей фигуры.
Также есть формулы для расчета площади сечения, параллельного оси геометрического тела (но не пересекающего ее).
Формула 2
(S = a*h, )
где (a) — хорда.
Осевое сечение наклонного цилиндра
Сечение наклонного цилиндра по оси представляет собой параллелограмм. Его стороны нам уже известны: одна из них равна диаметру d, как и в случае с прямой фигурой. Другая — длина образующего отрезка. Ее мы можем обозначить буквой b.
Для точного определения всех параметров параллелограмма недостаточно знать только длины его сторон. Для расчета площади фигуры нам понадобится один из ее углов. Допустим, что острый угол между плоскостью и направляющий равен α. Тогда формула S параллелограмма будет выглядеть следующим образом:
(S = d * b * sin(α))
Примеры задач
Рассмотрим пару задач на осевое сечение с решениями.
Задача 1
Дан круглый прямой цилиндр. Его осевое сечение является квадратом. Вопрос: чему равна S сечения, если площадь поверхности всего цилиндра — 100 см²?
Решение
Чтобы найти S квадрата, нужно сначала определить радиус или диаметр окружности цилиндра. Для этого вспомним формулу для нахождения площади самого цилиндра:
(Sц = 2pi * r * (r + h))
Так как осевое сечение — квадрат, значит радиус основания в два раза меньше высоты фигуры. В таком случае, формула будет выглядеть так:
(Sц = 2pi * r * (r + 2r) = 6 * pi * r²)
Исходя из этого, будем выражать радиус:
(r = √(Sц / (6*pi)))
Если сторона квадратного сечения равна диаметру основания цилиндра, то для определения площади квадрата S используем формулу:
(S = (2*r)2 = 4*r2 = 2*Sц/ (3*pi))
Подставим известные данные ((Sц = 100см^2)) и получим площадь сечения (S = 21,23 см²).
Ответ: (S = 21,23 см²).
Задача 2
Дано: ABCD — осевое сечение цилиндра. Площадь сечения (Sc) равна (10 м²), а площадь основания (Sо— 5 м²). Найти высоту цилиндра.
Решение
Так как площадь основания — круг, то (Sо = pi * r²). Тогда (r = √(Sо/pi) = √(5/pi).)
Так как площадь сечения — прямоугольник, то (Sc = AB * BC = h * 2r.) Тогда (h = Sc/(2r) = 10/(2√(5/pi)) = 5√(pi/5) = √(5pi).)
Ответ: (h = √(5pi).)
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 5.00 (Голосов: 1)
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Поиск по содержимому
Площадь сечения цилиндра
Цилиндр — это геометрическая фигура, ограниченная цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Основными математическими характеристиками цилиндра являются диаметр основания и высота.
Сечение цилиндра — это изображение фигуры, образованной рассечением цилиндра плоскостью в поперечном или продольном направлении.
Формула для расчета площади основания цилиндра:
S = π * d 2 / 4, где
d — диаметр цилиндра.
Формула для расчета площади осевого сечения цилиндра:
S = d * h, где
d — диаметр цилиндра;
h — высота цилиндра.
Формула для расчета площади параллельного оси сечения цилиндра (бокового сечения цилиндра):
S = a * h, где
a — хорда основания цилиндра;
h — высота цилиндра.
Смотрите также статью о всех геометрических фигурах (линейных 1D, плоских 2D и объемных 3D).
Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.
На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор расчета площади поперечного или продольного сечения цилиндра, если известны диаметр цилиндра, длина хорды и высота цилиндра. С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете рассчитать площадь сечения цилиндра (площадь осевого сечения цилиндра, площадь параллельного сечения цилиндра, площадь бокового сечения цилиндра и площади основания цилиндра).
Цилиндры
Если из каждой точки окружности опустить перпендикуляр на плоскость β , то основания этих перпендикуляров образуют на плоскости β окружность радиуса r , центр O1 которой является основанием перпендикуляра, опущенного из точки O на плоскость β (рис.2).
Отрезок перпендикуляра, опущенного из любой точки окружности с центром O на плоскость β , который заключен между плоскостями α и β , называют образующей цилиндра .
Совокупность всех образующих цилиндра называют цилиндрической поверхностью .
Фигуру, ограниченную цилиндрической поверхностью и плоскостями α и β, называют цилиндром .
Отрезок OO1 называют осью цилиндра .
Радиус окружности Радиус окружности на плоскости α с центром в точке O называют радиусом цилиндра .
Круги с центрами O и O1 на плоскостях α и β , называют основаниями цилиндра .
Замечание 1. Цилиндрическую поверхность часто называют боковой поверхностью цилиндра . Боковая поверхность цилиндра и основания цилиндра вместе составляют полную поверхность цилиндра .
Замечание 2. Каждая образующая цилиндра параллельна оси цилиндра, а длина каждой образующей цилиндра равна высоте цилиндра.
Замечание 3. Прямая OO1 является осью симметрии цилиндра, а середина отрезка OO1 является центром симметрии цилиндра.
Сечения цилиндра
Определение 2. Сечением цилиндра называют пересечение цилиндра с плоскостью.
Если сечение проходит через ось цилиндра, то такое сечение называют осевым сечением цилиндра (рис. 3).
Замечание 4. Каждое осевое сечение цилиндра с радиусом r и высотой h является прямоугольником со сторонами 2r и h .
Определение 3. Перпендикулярным сечением цилиндра называют сечение, перпендикулярное оси цилиндра (рис. 4).
Замечание 5. Любым перпендикулярным сечением цилиндра будет круг радиуса r .
Замечание 6. Более подробно случаи взаимного расположения цилиндра и плоскости рассматриваются в разделе нашего справочника «Взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве».
Объем цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра
Для цилиндра с радиусом r и высотой h (рис. 5)
введем следующие обозначения
| V | объем цилиндра |
| Sбок | площадь боковой поверхности цилиндра |
| Sполн | площадь полной поверхности цилиндра |
| Sосн | площадь основания цилиндра |
Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности цилиндра:
при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной призмы n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.
Примеры того, как вычислить площадь цилиндра
Существует большое количество задач, связанных с цилиндром. В них нужно находить радиус и высоту тела или вид его сечения. Плюс ко всему, иногда требуется вычислить площадь цилиндра и его объем.
Какое тело является цилиндром?
В курсе школьной программы изучается круговой, то есть являющийся таковым в основании, цилиндр. Но выделяют еще и эллиптический вид данной фигуры. Из названия ясно, что его основанием будет эллипс или овал.
Оснований у цилиндра два. Они равны друг другу и соединены отрезками, которые совмещают соответствующие точки оснований. Они называются образующими цилиндра. Все образующие параллельны друг другу и равны. Именно они составляют боковую поверхность тела.
В общем случае цилиндр — это наклонное тело. Если образующие составляют прямой угол с основаниями, то говорят уже о прямой фигуре.
Интересно, что круговой цилиндр является телом вращения. Он получается от поворота прямоугольника вокруг одной из его сторон.
Основные элементы цилиндра
Основные элементы цилиндра выглядят следующим образом.
- Высота. Она является кратчайшим расстоянием между основаниями цилиндра. Если он прямой, то высота совпадает с образующей.
- Радиус. Совпадает с тем, который можно провести в основании.
- Ось. Это прямая линия, которая содержит центры обоих оснований. Ось всегда параллельна всем образующим. В прямом цилиндре она перпендикулярна основаниям.
- Осевое сечение. Оно образуется при пересечении цилиндра плоскостью, содержащей ось.
- Касательная плоскость. Она проходит через одну из образующих и перпендикулярна осевому сечению, которое проведено через эту образующую.
Как связан цилиндр с вписанной в него или описанной около него призмой?
Иногда встречаются задачи, в которых нужно вычислить площадь цилиндра, а известны при этом некоторые элементы связанной с ним призмы. Как соотносятся эти фигуры?
Если призма вписана в цилиндр, то ее основания – равные многоугольники. Причем они вписаны в соответствующие основания цилиндра. Боковые ребра призмы совпадают с образующими.
У описанной призмы в основаниях находятся правильные многоугольники. Они описаны около кругов цилиндра, являющихся его основаниями. Плоскости, которые содержат грани призмы, касаются цилиндра по образующим.
О площади боковой поверхности и основания для прямого кругового цилиндра
Если сделать развертку боковой поверхности, то получится прямоугольник. Его стороны будут совпадать с образующей и длиной окружности основания. Поэтому боковая площадь цилиндра будет равна произведению этих двух величин. Если записать формулу, то получится следующее:
Sбок= l * н,
где н — образующая, l — длина окружности.
Причем последний параметр вычисляется по формуле:
l = 2 π * r,
здесь r — радиус окружности, π — число «пи», равное 3,14.
Поскольку основание — круг, то его площадь вычисляется с помощью такого выражения:
Sосн = π * r 2 .
О площади всей поверхности прямого кругового цилиндра
Так как она образована двумя основаниями и боковой поверхностью, то нужно сложить эти три величины. То есть полная площадь цилиндра будет вычисляться по формуле:
Sпол = 2 π * r * н + 2 π * r 2 .
Часто ее записывают в другом виде:
Sпол= 2 π * r (н + r).
О площадях наклонного кругового цилиндра
Что касается оснований, то там все формулы те же, ведь они по-прежнему круги. А вот боковая поверхность уже не дает прямоугольника.
Для расчета площади боковой поверхности наклонного цилиндра потребуется перемножить значения образующей и периметра сечения, которое будет перпендикулярно выбранной образующей.
Формула выглядит так:
Sбок= х * Р,
где х — длина образующей цилиндра, Р — периметр сечения.
Сечение, кстати, лучше выбирать такое, чтобы оно образовывало эллипс. Тогда будут упрощены расчеты его периметра. Длина эллипса вычисляется по формуле, которая дает приблизительный ответ. Но его часто бывает достаточно для задач школьного курса:
l = π * (а + в),
где «а» и «в» — полуоси эллипса, то есть расстояния от центра до ближайшей и самой дальней его точек.
Площадь всей поверхности нужно вычислять с помощью такого выражения:
Sпол = 2 π * r 2 + х * Р.
Чему равны некоторые сечения прямого кругового цилиндра?
Когда сечение проходит через ось, то его площадь определяется как произведение образующей и диаметра основания. Это объясняется тем, что оно имеет вид прямоугольника, стороны которого совпадают с обозначенными элементами.
Чтобы найти площадь сечения цилиндра, являющегося параллельным осевому, потребуется тоже формула для прямоугольника. В этой ситуации одна его сторона будет по-прежнему совпадать с высотой, а другая равна хорде основания. Последняя же совпадает с линией сечения по основанию.
Когда сечение перпендикулярно оси, то оно имеет вид круга. Причем его площадь такая же, как у основания фигуры.
Возможно еще пересечение под некоторым углом к оси. Тогда в сечении получается овал или его часть.
Примеры задач
Задание №1. Дан прямой цилиндр, площадь основания которого 12,56 см 2 . Необходимо вычислить полную площадь цилиндра, если его высота равна 3 см.
Решение. Необходимо воспользоваться формулой для полной площади кругового прямого цилиндра. Но в ней не хватает данных, а именно радиуса основания. Зато известна площадь круга. Из нее легко вычислить радиус.
Он оказывается равным квадратному корню из частного, которое получается от деления площади основания на пи. После деления 12,56 на 3,14 выходит 4. Квадратный корень из 4 — это 2. Поэтому радиус будет иметь именно такое значение.
Теперь можно подсчитать площадь боковой поверхности. Для этого следует умножить пи на радиус, высоту и 2. Произведение будет выглядеть так: 3,14 * 3 * 2 * 2. Итогом действий является: 37,68 см 2 .
Для того чтобы сосчитать полную площадь нужно сложить два основания (12,56 см 2 ) и боковую поверхность (37,68 см 2 ). В результате получается число 50,24 см 2 .
Ответ: Sпол = 50,24 см 2 .
Задание №2. Цилиндр с радиусом 5 см пресечен плоскостью, параллельной оси. Расстояние от сечения до оси равно 3 см. Высота цилиндра — 4 см. Требуется найти площадь сечения.
Решение. Форма сечения — прямоугольная. Одна его сторона совпадает с высотой цилиндра, а другая равна хорде. Если первая величина известна, то вторую нужно найти.
Для этого следует сделать дополнительное построение. В основании проводим два отрезка. Оба они будут начинаться в центре окружности. Первая будет заканчиваться в центре хорды и равняться известному расстоянию до оси. Вторая — на конце хорды.
Получится прямоугольный треугольник. В нем известны гипотенуза и один из катетов. Гипотенуза совпадает с радиусом. Второй катет равен половине хорды. Неизвестный катет, умноженный на 2, даст искомую длину хорды. Вычислим его значение.
Для того чтобы найти неизвестный катет, потребуется возвести в квадрат гипотенузу и известный катет, вычесть из первого второе и извлечь квадратный корень. Квадраты равны 25 и 9. Их разность – 16. После извлечения квадратного корня остается 4. Это искомый катет.
Хорда будет равна 4 * 2 = 8 (см). Теперь можно вычислить площадь сечения: 8 * 4 = 32 (см 2 ).
Ответ: Sсеч равна 32 см 2 .
Задание №3. Необходимо вычислить площадь осевого сечения цилиндра. Известно, что в него вписан куб с ребром 10 см.
Решение. Осевое сечение цилиндра совпадает с прямоугольником, который проходит через четыре вершины куба и содержит диагонали его оснований. Сторона куба является образующей цилиндра, а диагональ основания совпадает с диаметром. Произведение этих двух величин даст площадь, которую нужно узнать в задаче.
Для поиска диаметра потребуется воспользоваться знанием того, что в основании куба – квадрат, а его диагональ образует равносторонний прямоугольный треугольник. Гипотенуза его является искомой диагональю фигуры.
Для ее расчета потребуется формула теоремы Пифагора. Нужно возвести в квадрат сторону куба, умножить ее на 2 и извлечь квадратный корень. Десять во второй степени — это сто. Умноженное на 2 — двести. Квадратный корень из 200 равен 10√2.
Сечение – это снова прямоугольник со сторонами 10 и 10√2. Его площадь легко сосчитать, перемножив эти значения.
Содержание:
Цилиндром называется тело, полученное вращением прямоугольника вокруг оси, проходящей через его сторону (рис. 26). На рисунке 27 показано образование цилиндра при вращении прямоугольника 
Образующая цилиндра является его высотой.
Поверхность цилиндра можно развернуть на плоскость, в результате получится прямоугольник, представляющий боковую поверхность цилиндра, и два круга, представляющих его основания. На рисунке 30 показан цилиндр и его развертка.
Теорема 4.
Боковая поверхность цилиндра равна произведению длины окружности основания и образующей:
На плоскости важной конфигурацией, которая часто встречается в задачах, является сочетание окружности с прямой. Подобной пространственной конфигурацией является сочетание цилиндра с плоскостью.
Если цилиндр пересечь плоскостью, параллельной основанию, то получится круг, равный основанию (рис. 31), а если плоскостью, перпендикулярной основанию, то — прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра (рис. 32). Осевое сечение цилиндра, т. е. сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра, является прямоугольником, стороны которого равны высоте цилиндра и диаметру его основания (рис. 33).
Будем двигать плоскость, проходящую через ось цилиндра, параллельно самой себе (рис. 34). При этом две противолежащие стороны прямоугольника-сечения цилиндра, являющиеся хордами оснований, будут уменьшаться, а две другие стороны, которые являются образующими цилиндра, — сближаться до того момента, пока не совпадут. Получим плоскость, содержащую образующую 
цилиндра и не имеющую с ним других общих точек. Такая плоскость называется касательной плоскостью цилиндра. Любая прямая, проведенная в касательной плоскости цилиндра и отличная от образующей, имеет с цилиндром единственную общую точку. Такая прямая называется касательной прямой цилиндра.
Теорема 5.
Если плоскость касается цилиндра по некоторой образующей, то ей перпендикулярна плоскость, проходящая через эту образующую и ось цилиндра.
Доказательство:
Пусть плоскость 
касается цилиндра с осью 
по образующей 
(рис. 35). Докажем, что плоскость, содержащая образующую 
и ось 
, перпендикулярна плоскости 
.
Проведем прямую 
, которая пересекает прямую 
в точке 
, прямую 
в точке 
и перпендикулярна оси 
. Через точку 
проведем плоскость 
, перпендикулярную образующей 
. Эта плоскость пересекает цилиндр по кругу, центр которого находится в точке 
, а плоскость 
— по прямой 
, касающейся окружности с центром 
. Учитывая свойство касательной к окружности, можем утверждать, что прямая 
перпендикулярна радиусу 
окружности с центром в точке 
. Кроме того, поскольку прямая 
параллельна прямой 
, то прямая 
перпендикулярна прямой 
. Получили, что прямая 
перпендикулярна как прямой 
, так и прямой 
, которые пересекаются и лежат в плоскости 
. Поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая 
перпендикулярна плоскости 
. Но плоскость, содержащая образующую 
и ось 
, проходит и через прямую 
. Поэтому она, по признаку перпендикулярности плоскостей, перпендикулярна плоскости 
.
Теорема 5 выражает свойство касательной плоскости цилиндра.
Теорема 6.
Плоскость касается цилиндра, если она проходит через его образующую и перпендикулярна плоскости, содержащей эту образующую и ось цилиндра.
Доказательство:
Пусть плоскость 
содержит образующую 
цилиндра и перпендикулярна плоскости, проходящей через эту образующую и ось 
(рис. 36). Докажем, что плоскость 
не имеет с цилиндром других общих точек, кроме точек образующей 
.
Пусть 
— точка плоскости 
, не принадлежащая образующей 
. Через эту точку проведем плоскость 
, перпендикулярную оси 
. Она пересечет цилиндр по кругу с центром 
, образующую 
в некоторой точке 
и плоскость 
по прямой 
. Поскольку плоскости 
и 
обе перпендикулярны плоскости 
, то их линия пересечения 
также перпендикулярна плоскости 
, а потому 
. Учитывая, что 
и 
— соответственно гипотенуза и катет прямоугольного треугольника 
, получим, что 
. Значит, точка 
не принадлежит цилиндру с осью 
.
Теорема 6 выражает признак касательной плоскости цилиндра.
Пусть имеется цилиндр (рис. 37). Впишем в одно из оснований цилиндра многоугольник 
, через его вершины 
проведем образующие 
, 
, …, 
, 
и соединим их другие концы 
, 
, …, 
, 
. В результате получим призму 
. Ее называют призмой, вписанной в цилиндр, а сам цилиндр называют цилиндром, описанным около призмы.
Если цилиндр описан около призмы, то основания цилиндра описаны около оснований призмы, а боковая поверхность цилиндра содержит боковые ребра призмы.
Подобным образом вводится понятие призмы, описанной около цилиндра, и цилиндра, вписанного в призму (рис. 38). Если призма описана около цилиндра, то ее основания описаны около оснований цилиндра, а боковые грани касаются боковой поверхности цилиндра.
Теорема 7.
Объем цилиндра равен произведению площади его основания и образующей:
Доказательство:
Пусть имеется цилиндр с осью 
(рис. 39). В него впишем правильную призму 
и, кроме того, около него опишем правильную призму 
. В соответствии с теоремой 3 объем первой призмы равен произведению площади многоугольника 
и высоты призмы, которая равна боковому ребру 
, а объем второй — произведению площади многоугольника 
и той же высоты. Объем самого цилиндра заключен между этими объемами.
Будем количество 
сторон оснований призмы делать все большим и большим. Тогда объем первой призмы увеличивается, объем второй — уменьшается, а разность между ними стремится к нулю, если количество сторон 
становится неограниченно большим. То число, к которому приближаются объемы обеих призм, принимается за объем цилиндра.
В описанном процессе высота 
призмы остается равной боковому ребру, которое равно образующей 
цилиндра, а площади многоугольников 
и 
стремятся к площади 
круга, лежащего в основании цилиндра. Значит, объем 
цилиндра равен произведению площади 
основания и образующей 
цилиндра:
Поверхность цилиндра
Ещё один важный класс пространственных фигур – тела вращения. Цилиндр является одним из них, мы познакомимся с ним глубже. Свойства цилиндра похожи на свойства призм, мы последовательно изучим их.
Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон называют цилиндром (точнее, прямой круговой цилиндр) (рис. 75). При вращении прямоугольника одна его сторона остаётся неподвижной. Её называют осью цилиндра. Поверхность, образованную при вращении противоположной стороны прямоугольника называют цилиндрической поверхностью, а саму сторону образующей цилиндра. Две другие стороны прямоугольника при этом вращении образуют два равных круга, которые называют основаниями цилиндра (рис. 76). 
Замечание. Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон называют прямым круговым цилиндром. Более широкое понятие цилиндра вводят следующим образом.
Пусть в пространстве параллельный перенос переводит плоскую фигуру F1, в фигуру F2. Тело, состоящее из этих фигур и отрезков, соединяющих их соответствующие точки, называют цилиндром (рис. 77).
Если при параллельном переносе образующая перпендикулярна плоскости фигуры F1 , цилиндр называют прямым (рис. 78.а), в противном случае наклонным цилиндром (рис. 78.b). На рисунке 78.с изображена Пизанская башня, имеющая вид наклонного цилиндра. 
Если фигура F1 является кругом, то цилиндр называют круговым цилиндром.
Только прямой круговой цилиндр является телом вращения. В дальнейшем мы будем рассматривать прямые круговые цилиндры, которые для краткости будем называть цилиндрами.
Основания цилиндра являясь равными кругами, лежат на параллельных плоскостях. Перпендикуляр, опущенный из некоторой точки одного основания на другое, называют его высотой.
Расстояние между параллельными плоскостями равно высоте цилиндра. Ось цилиндра также является его высотой.
Образующие цилиндра параллельны и равны. Точно также, длины высоты, оси и образующих цилиндра будут равны между собой.
Сечением цилиндра плоскостью параллельной его оси является прямоугольник (рис.79.а). Две противоположные его стороны – это образующие цилиндра, а две другие стороны – соответствующие параллельные хорды оснований цилиндра.
В частности, осевое сечение также прямоугольник, образованный сечением цилиндра плоскостью, проходящей через его ось (рис. 79.b).
Диагонали осевого сечения цилиндра проходят через точку являющуюся серединой отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра. Следовательно, эта точка Q есть центр симметрии цилиндра (рис. 79.с).
Плоскость, проходящая через точку Q перпендикулярно оси цилиндра является его плоскостью симметрии (рис. 80). Любая плоскость, проходящая через ось цилиндра также будет ось симметрии цилиндра (рис. 81).
Пример:
Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания цилиндра.
Решение:
Сторона квадрата равна 
. Она равна диаметру
основания. Поэтому его площадь равна 
Докажите самостоятельно эту теорему пользуясь рисунком 82. 
Следствие. Полная поверхность цилиндра равна сумме его боковой поверхности и площадей двух его оснований:
или 
Пусть дан произвольный цилиндр. Впишем в одно из его оснований многоугольник 
(рис. 83). Через вершины многогранника 
проведём образующие цилиндра 
, другие концы которых 
и 
последовательно соединим отрезками. В результате получим призму 
. Эту призму называют призмой, вписанной в цилиндр. А цилиндр называют цилиндром, вписанным в призму. Если призма вписана в цилиндр, то основание призмы будет вписано в основание цилиндра и боковые рёбра призмы будут лежать на боковой поверхности цилиндра.
Ясно, что если вокруг основания призмы можно описать окружность, то вокруг призмы можно описать цилиндр.
Аналогично вводятся понятия призмы, описанной вокруг цилиндра и цилиндра, вписанного в призму (рис. 84). Если призма описана вокруг цилиндра, то основание призмы будет описано вокруг основания цилиндра и боковые грани призмы будут касаться боковой поверхности цилиндра.
Ясно, что если в основание призмы можно вписать окружность, то вокруг цилиндра можно описать призму.
Объём цилиндра
Теорема. Объём цилиндра равен произведению площади его основания и образующей цилиндра: 
Доказательство. Пусть дан цилиндр с осью ОО1 (рис. 85). Впишем в него призму 
и опишем вокруг него призму 
. Обозначим объём цилиндра V, а объёмы вписанной и описанной призм V1 и V2 , тогда имеет место двойное неравенство 
. Объёмы призм находят по следующим формулам: 
и
Будем всё больше и больше увеличивать число n сторон оснований призм. Тогда объём вписанной призмы будет увеличиваться, а объём описанной призмы уменьшаться. Если число n сторон увеличивать неограниченно, то разность между объёмами будет стремится к нулю. Число, к которому приближаются объёмы вписанной и описанной призм, принимают за объём данной призмы. При этом площади многогранников 
и 
будут стремиться к площади S круга, лежащего в основании цилиндра. Следовательно, 
Исторические сведения:
В произведении Абу Райхна Беруни «Книга о началах искусства астрономии» («Астрономия») как введение в стереометрию в разделе о геометрии приводятся следующие определения фигур:
Куб – физическая фигура, похожая на кубик для игры в нарды, ограниченная с шести сторон квадратами.
Призма – представляет собой фигуру, ограниченную по бокам плоскостями в форме квадрата или прямоугольника, а сверху и снизу -двумя треугольниками. В этом определении Беруни приведено описание частного вида призмы, а именно треугольной призмы.
Книга Беруни «Канон Масьуда» написана в 1037 году. В ней приведены правила нахождения объёмов параллелепипеда и призмы: «Если тело не четырёхугольное или другого вида, то его расчёт таков: найди площадь, умножь его на глубину, в итоге получишь объём». В произведении Абу Али ибн Сино «Книга знания» в разделе «Основы изучения геометрических тел» дано описание тела и треугольной призмы. А также описаны условия взаимного равенства двух призм. Ибн Сино даёт следующее определение призмы: «Призма – тело, ограниченное двумя плоскими треугольными сторонами.»
В произведении Аль Каши «Книга счёта» приведёт много примеров расчета площадей поверхностей и объёмов тел. Благодаря своим глубоким знаниям в математике, геометрии, тригонометрии, механике и астрономии он пользовался вниманием и уважением Улугбека. Аль Каши наряду с многоугольниками изучачл призмы, пирамиды, цилиндры, конусы, усечённые конусы.
Таблица приближенных значений тригонометрических функций:
- Пирамида в геометрии
- Конус в геометрии
- Сфера в геометрии
- Шар в геометрии
- Возникновение геометрии
- Призма в геометрии
- Планиметрия – формулы, определение и вычисление
- Стереометрия – формулы, определение и вычисление
Как найти площадь сечения цилиндра
Цилиндром называют геометрическое тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из сторон. Рассечь цилиндр плоскостью можно в любом направлении. При этом получаются разные геометрические фигуры. Их необходимо построить или хотя бы представить себе для того, чтобы вычислить площадь того или иного сечения.
Вам понадобится
- – цилиндр с заданными параметрами;
- – расположение сечения.
Инструкция
Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его основания, всегда представляет собой прямоугольник. Но в зависимости от расположения, прямоугольники эти будут разными. Найдите площадь осевого сечения, перпендикулярного основаниям цилиндра. Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра, вторая — диаметру окружности основания. Соответственно, площадь сечения в этом случае будет равна произведению сторон прямоугольника. S=2R*h, где S – площадь сечения, R – радиус окружности основания, заданный условиями задачи, а h — высота цилиндра, также заданная условиями задачи.
Если сечение перпендикулярно основаниям, но при этом не проходит через ось вращения, сторона прямоугольника не будет равняться диаметру окружности. Ее нужно вычислить. Для этого в условиях задачи должно быть сказано, на каком расстоянии от оси вращения проходит плоскость сечения. Для удобства вычислений постройте окружность основания цилиндра, проведите радиус и отложите на нем расстояние, на котором от центра окружности находится сечение. От этой точки проведите к радиусу перпендикуляры до их пересечения с окружностью. Соедините точки пересечения с центром. Вам нужно найти размер хорды. Найдите размер половины хорды по теореме Пифагора. Он будет равняться квадратному корню из разности квадратов радиуса окружности и расстояния от центра до линии сечения. a2=R2-b2. Вся хорда будет, соответственно, равна 2а. Вычислите площадь сечения, которая равна произведению сторон прямоугольника, то есть S=2a*h.
Цилиндр можно рассечь и плоскостью, не проходящей через плоскости основания. Если поперечное сечение проходит перпендикулярно оси вращения, то оно будет представлять собой круг. Площадь его в этом случае равна площади оснований, то есть вычисляется по формуле S=πR2.
Полезный совет
Чтобы точнее представить себе сечение, сделайте чертеж и дополнительные построения к нему.
Источники:
- сечение цилиндра площадь
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Напомним,
что цилиндр – это тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг
прямой, проходящей через одну из его сторон.
Назовём
элементы цилиндра.
Основания
цилиндра – два равных круга радиуса .
Отрезок,
соединяющий окружности оснований и перпендикулярный основаниям, называется образующей
цилиндра и обозначается .
Все образующие цилиндра параллельны и равны.
Осью
цилиндра
называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.
Высота
цилиндра –
перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на другое, или другими
словами, это расстояние между плоскостями оснований цилиндра. Образующая
цилиндра равна его высоте.
Радиусом
цилиндра называется радиус его основания.
Цилиндр
называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.
Осевым
сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью,
проходящей через его ось. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, две
стороны которого есть образующие цилиндра, а две другие – диаметры его
оснований.
Сечение,
параллельное оси цилиндра, является прямоугольником.
Сечение,
перпендикулярное оси цилиндра, является кругом, равным основаниям цилиндра.
Боковая
поверхность цилиндра может быть развёрнута в
прямоугольник со сторонами, одна из которых равна длине окружности основания,
другая – высоте цилиндра.
Площадь
боковой поверхности цилиндра можно вычислить по следующим
формулам:
,
,
,
где
–
длина окружности основания, –
высота цилиндра, –
радиус основания, –
образующая.
Площадь
полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой
поверхности цилиндра и двух площадей его оснований.
Тогда
площадь полной поверхности цилиндра можно вычислить по формуле:
,
где
–
радиус оснований цилиндра, –
его высота.
Объём цилиндра
равен произведению площади основания на высоту.
Тогда
его можно вычислить по формуле:
,
где
–
радиус оснований цилиндра, –
его высота.
Основные
моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части
занятия.
Задача
первая. Радиус основания цилиндра равен см,
высота цилиндра равна диаметру его основания. Найдите площадь боковой
поверхности цилиндра.
Решение.
Задача
вторая. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной
его оси и проходящей на расстоянии см
от неё, если площадь полной поверхности цилиндра равна см2,
а площадь боковой поверхности см2.
Решение.
Задача
третья. Призма со сторонами основания см
и см
и диагональю см
вписана в цилиндр. Найдите объём и площадь полной поверхности цилиндра.
Решение.
Задача
четвёртая. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от
окружности основания дугу .
Диагональ полученного сечения равна и
удалена от оси цилиндра на расстояние .
Найдите объём цилиндра.
Решение.
Задача
пятая. В цилиндрический сосуд налили см3
воды. Уровень жидкости оказался равным см.
В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся
на см.
Найдите, чему равен объём детали. Ответ выразите в см3.
Решение.
