Как найти старший коэффициент квадратного трехчлена

Как найти старший коэффициент квадратного трехчлена

что такое свободный член? что такое старший коэффициент? как из найти? что такое старший коэффициент? как из найти?

katrinakat



Знаток

(392),
закрыт



9 лет назад

Алексей Холодов

Гуру

(3964)


10 лет назад

Свободный член не содержит неизвестного. Старший коэффициент – коэффициент при наибольшей степени неизвестного. Например, в уравнении 5x^3+6x^2-4x+8=0 (здесь “^” это знак возведения в степень) свободный член – “8”, старший коэффициент – “5”.

Источник

Квадратным уравнением называют уравнение вида

ax2+bx+c=0

, где коэффициенты (a), (b), (c) — любые действительные числа, причём

a≠0

.

Коэффициенты (a), (b), (c) имеют отдельные названия:

(a) называют первым коэффициентом, или старшим коэффициентом;

(b) — вторым коэффициентом, или коэффициентом при (x);

(c) — третим коэффициентом, или свободным членом.

Если старший коэффициент квадратного уравнения равен (1), то такое уравнение называют приведённым;

если старший коэффициент отличен от (1), то квадратное уравнение называют неприведённым.

Уравнение

3×2+5x−1=0

 имеет старший коэффициент, равный (3), поэтому оно неприведённое,

а уравнение 

x2−2x+1=0

 имеет старший коэффициент, равный (1), поэтому оно приведённое.

Квадратные уравнения также бывают полные и неполные.

Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты (b) и (c) не равны нулю.

Неполное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором отсутствуют некоторые слагаемые; иначе говоря, это квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов (b), (c) нулевой.

Об

ax2

 речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.

Корнем квадратного уравнения 

ax2+bx+c=0

называют всякое значение переменной (x), при котором квадратный трёхчлен

ax2+bx+c

 обращается в нуль; такое значение переменной (x) называют также корнем квадратного трёхчлена.

Алгоритм решения неполных квадратных уравнений

1. Уравнение вида

ax2=0

  имеет одно решение: (x=0).

2. Уравнение вида 

ax2+bx=0

 решается способом разложения на множители и имеет два решения: (x(ax + b) = 0); то есть (x = 0) или (ax + b = 0). Получаем:

x1=0;x2=−ba

.

3. Уравнение вида

ax2+c=0

 записывают как 

ax2=−c

, потом 

x2=−ca

.

Если 

−ca

 — отрицательное число, уравнение

x2=−ca

 не имеет решений (исходное уравнение 

ax2+c=0

 также не имеет решений).

Если

−ca

 — положительное число, т. е.

−ca=m

, где (m > 0), уравнение 

x2=m

имеет два корня:

x1=m

, 

x2=−m

. В этом случае допускается более короткая запись:

x1,2=±m

.

Обрати внимание!

Квадратное уравнение

ax2+bx+c=0

 (полное или неполное) может иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Источник

Вопросы
занятия:

·  вспомнить, что
называют квадратным трёхчленом;

·  вспомнить, как
находят корни квадратного трёхчлена;

· поговорить о разложении квадратного трёхчлена
на множители.

Материал урока

Вам хорошо известны такие
понятия, как одночлен и многочлен. Среди многочленов выделяют квадратный
трёхчлен.

Определение.

Многочлен вида: ,
где ,
 и
 –
некоторые числа, причём ,
называется квадратным трёхчленом.

Числа ,
 и
 –
коэффициенты квадратного трехчлена. Причём, число а называют первым
(или старшим) коэффициентом, число  –
вторым коэффициентом и число  –
свободным членом.

Задание.

Найти среди многочленов
те, которые являются квадратными трёхчленами, и назвать их коэффициенты.

Квадратными трёхчленами
будут многочлены: .
Здесь ,
,
.

Многочлен: .
Здесь коэффициент ,
,
.

И многочлен: .
Здесь коэффициент ,
,
.

Теперь вспомним, как же
находят корни квадратного трёхчлена.

Определение.

Вообще, значение
переменной, при котором многочлен равен нулю, называют корнем
многочлена.

Понятно, что для того
чтобы найти корни квадратного трёхчлена ,
нужно решить квадратное уравнение ,
т.е. найти его корни.

Задание.

Найти корни квадратных
трёхчленов:

,         
,         
.

Решение:

Напомним, что квадратный
трёхчлен, как и квадратное уравнение, может иметь: 1 корень, 2 корня
или не иметь корней вовсе.

Перейдём к разложению
квадратного трёхчлена на множители.

Если дискриминант
квадратного трёхчлена  положителен
,
то трёхчлен можно представить в виде:

где  и
 –
корни уравнения .

Если дискриминант
квадратного трёхчлена  равен
нулю ,
то трёхчлен можно представить в виде:

где  –
корень уравнения .

Формулы, которые вы
видите на экране, называются формулами разложения квадратного трёхчлена на
множители.

Если же квадратный трёхчлен
 не
имеет корней, то соответствующий многочлен  (со
старшим коэффициентом 1) называется неприводимым многочленом второй степени
(так как его невозможно разложить на множители меньшей степени).

Задание.

Разложить многочлены на
множители:

а) ;          
б) ;             
   в) .

Итак, первый квадратный
трёхчлен: .

Разложим на множители
следующий квадратный трёхчлен: .

И разложим на множители
последний квадратный трёхчлен: .

Задание.

Составить квадратный
трёхчлен, корнями которого являются числа 7 и ,
а старший коэффициент равен 1.

Итак, запишем квадратный
трёхчлен в общем виде: .
Если у него есть два корня, то можно разложить его на множители: .

Числа 7 и  корни
трёхчлена по условию.

Подставим  и
 в
формулу разложения квадратного трёхчлена на множители.

Итоги урока

На этом
уроке мы рассмотрели тему «квадратный трёхчлен». Вспомнили, что называют
квадратным трёхчленом. Как находят корни квадратного трёхчлена. А затем
поговорили о разложении квадратного трёхчлена на множители.

Источник

Макеты страниц

Алгебраическое уравнение второй степени с одним неизвестным называют квадратным уравнением. В общем случае квадратное уравнение имеет вид

Задачу решения уравнения (1) целесообразно заменить более общей задачей исследования многочлена являющегося левой частью этого уравнения. Многочлен

где называют квадратным трехчленом; а называют старшим коэффициентом, средним коэффициентом и с — свободным членом квадратного трехчлена.

Значения аргумента при которых значение квадратного трехчлена с равно нулю, называют корнями квадратного трехчлена. Иначе говоря, корнями трехчлена с называют решения квадратного уравнения

Следовательно, задача решения квадратного уравнения (1) равносильна задаче нахождения корней квадратного трехчлена (2).

Корни квадратного трехчлена с комплексными коэффициентами в поле комплексных чисел. Рассмотрим квадратный трехчлен с с произвольными комплексными коэффициентами, считая, что множеством допустимых значений аргумента является поле комплексных чисел.

Найдем прежде всего корни квадратного трехчлена. Для этого, воспользовавшись тем, что выполним тождественное преобразование

Таким образом,

Это преобразование квадратного трехчлена называют выделением полного квадрата.

Так как то трехчлен тогда и только тогда будет равен нулю, когда

и, следовательно, корнями трехчлена будут такие значения при которых имеет место равенство (3), а значит, и равенство

Из последнего равенства получаем:

а отсюда

Следовательно, корнями квадратного трехчлена а значит, и корнями квадратного уравнения будут значения определяемые формулой

Заметим, что в этой формуле под выражением можно понимать одно какое-либо значение квадратного корня, а постановка перед ним знаков дает оба его значения.

Корни квадратного трехчлена будем обозначать исходя из формулы (4), будем считать, что

Пример Найдем корни квадратного трехчлена По формулам (4) и (5) имеем:

Выражение называют дискриминантом квадратного трехчлена (уравнения).

Так как коэффициенты с — числа комплексные, то и дискриминант А трехчлена будет, вообще говоря, и числом комплексным (в отдельных случаях он может быть действительным числом).

Возможны два случая:

Если дискриминант то, как видно из формулы (4), трехчлен имеет два равных корня:

Если же дискриминант то трехчлен имеет два различных корня. Действительно, в этом случае

Как видим, различные.

Наоборот, если трехчлен имеет двукратный корень, то его дискриминант так как если бы то в силу доказанного выше трехчлен имел бы два различных корня; если трехчлен имеет два различных корня, то дискриминант ибо если бы то в силу уже доказанного трехчлен имел бы двукратный корень.

Следовательно, мы доказали теорему.

Квадратный трехчлен с любыми комплексными коэффициентами имеет в поле комплексных чисел или

двукратный корень, или два различных корня. Для того чтобы трехчлен имел двукратный корень, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был равея для того чтобы он имел два различных корня, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант отличным от нуля.

Примеры.

1. Трехчлен имеет двукратный корень: дискриминант этого трехчлена

2. Трехчлен имеет два различных корня: его дискриминант

Корни квадратного трехчлена с действительными коэффициентами в поле комплексных чисел. В том случае, когда коэффициенты с квадратного трехчлена с являются действительными числами, его дискриминант также будет действительным числом, при этом он может равняться нулю, быть большим нуля и меньшим нуля.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

Положим где тогда

Таким образом, в этом случае трехчлен имеет два различных действительных корня: при является меньшим, большим корнем.

Корнями трехчлена будут:

оба корня действительные и равны между собой. Иначе говоря, трехчлен имеет двукратный действительный корень.

Тогда где Корнями трехчлена будут:

Таким образом, в этом случае корни трехчлена комплексные сопряженные.

Наоборот, если корни квадратного трехчлена с действительными коэффициентами действительные различные, то его дискриминант больше нуля, так как если бы дискриминант был равным 0 или меньшим 0, то в силу доказанного корни трехчлена были бы действительными равными или комплексными сопряженными. Если квадратный трехчлен с действительными коэффициентами имеет двукратный действительный корень, то его дискриминант равен 0, ибо в противном случае трехчлен имел бы различные корни. Если корни трехчлена с действительными коэффициентами комплексные сопряженные, то его дискриминант меньше 0; в противном случае трехчлен имел бы действительные корни.

Таким образом, мы доказали теорему:

Для того чтобы корни квадратного трехчлена с действительными коэффициентами были действительные различные, действительные равные, комплексные сопряженные, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант соответственно был большим нуля, равным нулю, меньшим нуля.

Примеры:

1. Трехчлен дискриминант которого имеет два действительных различных корня:

2. Трехчлен дискриминант которого имеет два действительных равных корня:

3. Трехчлен дискриминант которого имеет два комплексных сопряженных корня:

Зависимость между коэффициентами и корнями квадратного трехчлена. Корни квадратного трехчлена выражаются через его коэффициенты посредством выведенной выше формулы

Однако часто при решении различных задач надо уметь выразить коэффициенты квадратного трехчлена через его

корни. Найдем формула, выражающие коэффициенты трехчлена через его корни. Для этого сложим корни а затем перемножим их.

В результате получим:

Отсюда

Итак, средний коэффициент квадратного трехчлена равен произведению старшего коэффициента на сумму его корней, взятую с противоположным знаком; свободный член квадратного трехчлена равен произведению старшего коэффициента на произведение корней.

Выведенные формулы называются формулами Виета. Они позволяют, в частности, найти квадратный трехчлен, старший коэффициент которого равен заданному числу а и корнями которого являются заданные числа

Пример. Найти квадратный трехчлен, который имеет корни старший коэффициент которого По формулам Виета

Искомым трехчленом будет

Разложение квадратного трехчлена на множители над полем комплексных чисел. Возьмем произвольный квадратный трехчлен

заданный над полем комплексных чисел.

В поле комплексных чисел этот трехчлен имеет два различных иди равных корня По формулам Виета

Заменив в трехчлене коэффициенты и с их выражениями через корни, получим:

Следовательно,

Таким образом, мы доказали, что квадратный трехчлен с с произвольными комплексными коэффициентами разлагается над полем комплексных чисел в произведение трех множителей, один из которых является старшим коэффициентом трехчлена, а два других — разностями между и корнями трехчлена.

Пример. Разложить на множители трехчлен Корнями этого трехчлена являются:

и, следовательно,

Над полем действительных чисел этот трехчлен в произведение линейных множителей не разлагается, поскольку он не имеет действительных корней.

Заметим, что коэффициенты, корни, дискриминант квадратного трехчлена — это коэффициенты, корни, дискриминант квадратного уравнения Поэтому все доказанные в этом параграфе утверждения, касающиеся квадратного трехчлена, будут справедливыми и для квадратного уравнения. Иначе говоря, каждое утверждение о квадратном трехчлене мы можем считать утверждением о соответствующем квадратном уравнении, или его левой части.

1

Оглавление

  • Глава I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
  • § 2. Понятия кольца и поля
  • § 3. Упорядоченные поля
  • § 4. Понятие функции и аналитического выражения
  • § 5. Элементарные функции и их классификация
  • § 6. Метод математической индукции
  • Глава II. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ
  • § 1. Понятие уравнения. Решения уравнения
  • § 2. Классификация уравнений, изучаемых в элементарной математике
  • § 3. Равносильность уравнений
  • § 4. Преобразование уравнений при их решении
  • Глава III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
  • § 1. Алгебраические уравнения n-й степени с одним неизвестным
  • § 2. Корни квадратного трехчлена
  • § 3. Исследование квадратного трехчлена над полем действительных чисел
  • § 4. Двучленные уравнения
  • § 5. Трехчленные уравнения, приводящиеся к квадратным
  • § 6. Симметрические уравнения
  • § 7. Алгебраическое уравнение n-й степени с рациональными коэффициентами
  • § 8. Частные приемы решения уравнений высших степеней
  • § 9. Дробно-рациональные уравнения
  • Глава IV. ТЕОРИЯ СОЕДИНЕНИЙ
  • § 2. Перестановки
  • § 3. Сочетания
  • § 4. Размещения
  • § 5. Перестановки с повторениями
  • § 6. Сочетания с повторениями
  • § 7. Размещения с повторениями
  • Глава V. БИНОМ НЬЮТОНА И ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
  • § 1. Бином Ньютона
  • § 2. Биномиальные коэффициенты и их основные свойства
  • § 3. Треугольник Паскаля
  • § 4. Полиномиальная теорема
  • § 5. Вычисление сумм степеней первых n чисел натурального ряда
  • Глава VI. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
  • § 1. Многочлен от нескольких переменных и его каноническая форма
  • § 2. Однородный многочлен от n переменных и число его членов
  • § 3. Число членов в каноническом представлении многочлена от n переменных
  • § 4. Тождественность двух многочленов
  • § 5. Тождественные преобразования многочленов. Тождество Лагранжа
  • § 6. Применение метода неопределенных коэффициентов при выполнении алгебраических действий над многочленами
  • Глава VII. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ
  • § 1. Понятие системы уравнений
  • § 2. Равносильность систем уравнений
  • § 3. Уравнения и системы уравнений, являющиеся следствием данной системы уравнений
  • § 4. Основные элементарные методы решения систем уравнений
  • § 5. Решение нелинейных систем алгебраических уравнений элементарными методами
  • 1. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, из которых одно—второй степени, а другое — первой.
  • 2. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными, которые не имеют членов первой степени.
  • 3. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными в общем виде.
  • 4. Решение системы двух однородных уравнений с двумя неизвестными.
  • 5. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, одно из которых однородное, а второе не однородное.
  • 7. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, в состав которой входят линейные уравнения.
  • 8. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, левая часть одного из которых представляется в виде произведения.
  • § 6. Графическое решение нелинейных систем алгебраических уравнений с двумя неизвестными
  • Глава VIII. НЕРАВЕНСТВА
  • § 1. Основные свойства неравенств
  • § 2. Тождественные неравенства
  • § 3. Применение неравенств для определения наибольших и наименьших значений
  • § 4. Решение неравенств
  • § 5. Решение алгебраических неравенств с одним неизвестным первой и второй степени
  • § 6. Решение систем алгебраических неравенств первой степени с двумя неизвестными
  • § 7. Применение неравенств для задания числовых и точечных множеств
  • Глава IX. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
  • § 1. Корни с натуральными показателями в поле действительных чисел
  • § 2. Тождественные преобразования иррациональных выражений в поле действительных чисел
  • § 3. Решение иррациональных уравнений и систем, в состав которых входят иррациональные уравнения, в поле действительных чисел
  • Глава X. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
  • § 1. Теоретические основы решения показательных и логарифмических уравнений
  • § 2. Решение показательных уравнений с одним неизвестным
  • § 3. Решение логарифмических уравнений с одним неизвестным
  • § 4. Решение трансцендентных уравнений, приводящихся к показательным и логарифмическим уравнениям
  • § 5. Решение некоторых трансцендентных систем уравнений
  • § 6. Графические способы решения трансцендентных уравнений и систем
  • ЛИТЕРАТУРА
Источник

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение второй степени с общим видом

{displaystyle ax^{2}+bx+c=0,;aneq 0,}

в котором x — неизвестное, а коэффициенты a, b и c — вещественные или комплексные числа.

Корень уравнения ax^{2}+bx+c=0 — это значение неизвестного x, обращающее квадратный трёхчлен {displaystyle ax^{2}+bx+c} в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство. Также это значение называется корнем самого многочлена {displaystyle ax^{2}+bx+c.}

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия[1]:

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице[1]. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент a:

{displaystyle x^{2}+px+q=0,quad p={dfrac {b}{a}},quad q={dfrac {c}{a}}.}

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Квадратное уравнение является разрешимым в радикалах, то есть его корни могут быть выражены через коэффициенты в общем виде.

Исторические сведения о квадратных уравнениях[править | править код]

Древний Вавилон[править | править код]

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения[1]. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

x^{2}+x={frac {3}{4}}; x^{2}-x=14{frac {1}{2}}.

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Индия[править | править код]

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.)[1]; Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: {displaystyle ax^{2}+bx=c;} притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме a, могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел[править | править код]

I способ. Общая формула для вычисления корней с помощью дискриминанта[править | править код]

Дискриминантом квадратного уравнения {displaystyle ax^{2}+bx+c=0} называется величина {displaystyle {mathcal {D}}=b^{2}-4ac}.

Условие {displaystyle {mathcal {D}}>0} {displaystyle {mathcal {D}}=0} {displaystyle {mathcal {D}}<0}
Количество корней Два корня Один корень кратности 2
(другими словами, два равных корня) 		Действительных корней нет
Формула {displaystyle x_{1,2}={frac {-bpm {sqrt {mathcal {D}}}}{2a}}}       (1) {displaystyle x=-{frac {b}{2a}}} —

Данный метод универсальный, однако не единственный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b[править | править код]

Для уравнений вида ax^{2}+2kx+c=0, то есть при чётном b, где

k={frac {1}{2}}b,

вместо формулы (1) для нахождения корней существует возможность использования более простых выражений[1].

Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b = 2k, через несложные преобразования.

Дискриминант Корни
неприведённое приведённое D > 0 неприведённое приведённое
удобнее вычислять значение

четверти дискриминанта:

{frac {D}{4}}=k^{2}-ac

Все необходимые свойства при этом сохраняются.

{frac {D}{4}}=k^{2}-c. x_{1,2}={frac {-kpm {sqrt {k^{2}-ac}}}{a}}. x_{1,2}=-kpm {sqrt {k^{2}-c}}
D = 0 x={frac {-k}{a}} x=-k

III способ. Решение неполных квадратных уравнений[править | править код]

К решению неполных квадратных уравнений практикуется особый подход. Рассматриваются три возможных ситуации.

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов[править | править код]

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту[править | править код]

Если в квадратном уравнении ax^{2}+bx+c=0 сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: a+c=b, то его корнями являются -1 и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту (-{frac {c}{a}}).

Доказательство

Способ 1. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

{displaystyle {mathcal {D}}=b^{2}-4ac=(a+c)^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2}=(a-c)^{2}}.

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов (a-c)^{2}geqslant 0, а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если anot =c, то уравнение имеет два корня, если же a=c, то оно имеет только один корень.
Найдём эти корни:

{displaystyle x_{1,2}={frac {-bpm {sqrt {mathcal {D}}}}{2a}}={frac {-(a+c)pm {sqrt {(a-c)^{2}}}}{2a}}={frac {-a-cpm |a-c|}{2a}}={frac {-a-cpm amp c}{2a}}}.
x_{1}={frac {-a-c-a+c}{2a}}={frac {-2a}{2a}}=-1;
x_{2}={frac {-a-c+a-c}{2a}}={frac {-2c}{2a}}=-{frac {c}{a}}.

В частности, если a=c, то корень будет один: -1.

Способ 2.

Геометрическая интерпретация: парабола, заданная аналитически указанной формулой, пересекает ось x в двух точках, абсциссами которых и являются корни, хотя бы один из которых равен -1

Используем геометрическую модель корней квадратного уравнения: их мы будем рассматривать как точки пересечения параболы y=ax^{2}+bx+c с осью абсцисс. Всякая парабола вне зависимости от задающего её выражения является фигурой, симметричной относительно прямой x=-{frac {b}{2a}}. Это означает, что отрезок всякой перпендикулярной к ней прямой, отсекаемый на ней параболой, делится осью симметрии пополам. Сказанное, в частности, верно и для оси абсцисс. Таким образом, для всякой параболы справедливо одно из следующих равенств: -{frac {b}{2a}}+rho (x_{1};-{frac {b}{2a}})=x_{2} (если x_{1}<x_{2}) или -{frac {b}{2a}}-rho (-{frac {b}{2a}};x_{1})=x_{2} (если верно неравенство противоположного смысла). Используя тождество rho (a;b)=|a-b|, выражающее геометрический смысл модуля, а также принимая, что x_{1}=-1 (это можно доказать, подставив равенство в квадратный трёхчлен: acdot (-1)^{2}+bcdot (-1)+c=(a+c)-b=0, поэтому -1 – корень такого уравнения) , приходим к следующему равенству: -{frac {b}{2a}}pm |-{frac {b}{2a}}-(-1)|=x_{2}. Если учитывать, что разность в том случае, когда мы прибавляем модуль, всегда положительна, а в том, когда отнимаем – отрицательна, что говорит о тождественности этих случаев, и, к тому же, помня о равенстве b-a=c, раскрываем модуль: x_{2}=-{frac {b}{2a}}-{frac {b}{2a}}+1=-{frac {2b-2a}{2a}}=-{frac {b-a}{a}}=-{frac {c}{a}}. Во втором случае,совершив аналогичные преобразования, придём к тому же результату, ч.т.д.

Отсюда следует, что перед решением какого-либо квадратного уравнения целесообразна проверка возможности применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю[править | править код]

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю (a+b+c=0), то корнями такого уравнения являются 1 и отношение свободного члена к старшему коэффициенту ({frac {c}{a}}).

Доказательство

Способ 1. Прежде всего заметим, что из равенства a+b+c=0 следует, что b=-(a+c)
Установим количество корней:

{displaystyle {mathcal {D}}=b^{2}-4ac=(-(a+c))^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2}=(a-c)^{2}.}

При любых значениях коэффициентов уравнение имеет хотя бы один корень: действительно, ведь при любых значениях коэффициентов (a-c)^{2}geqslant 0, а значит и дискриминант неотрицателен. Обратите внимание, что если anot =c, то уравнение имеет два корня, если же a=c, то только один.
Найдём эти корни:

{displaystyle x_{1,2}={frac {-bpm {sqrt {mathcal {D}}}}{2a}}={frac {a+cpm {sqrt {(a-c)^{2}}}}{2a}}={frac {a+cpm |a-c|}{2a}}={frac {a+cpm amp c}{2a}};}
x_{1}={frac {a+c+a-c}{2a}}={frac {2a}{2a}}=1;
x_{2}={frac {a+c-a+c}{2a}}={frac {2c}{2a}}={frac {c}{a}},

что и требовалось доказать.

В частности, если a=c, то уравнение имеет только один корень, которым является число 1.

Способ 2. Пользуясь данным выше определением корня квадратного уравнения, обнаруживаем путём подстановки, что число 1 является таковым в рассматриваемом случае: acdot 1^{2}+bcdot 1+c=0 – верное равенство, следовательно, единица – корень такого вида квадратных уравнений. Далее, по теореме Виета находим второй корень: согласно этой теореме, произведение корней уравнения равно числу, равному отношению свободного члена к старшему коэффициенту – x_{1}x_{2}={frac {c}{a}}Rightarrow x_{2}={frac {c}{ax_{1}}}={frac {c}{acdot 1}}={frac {c}{a}}, ч.т.д.

Отсюда следует, что перед решением уравнения стандартными методами целесообразна проверка применимости к нему этой теоремы, а именно сложение всех коэффициентов данного уравнения и установление, не равна ли нулю эта сумма.

V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители[править | править код]

Если трёхчлен вида {displaystyle ax^{2}+bx+c~(anot =0)} удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей (kx+m)(lx+n)=0, то можно найти корни уравнения ax^{2}+bx+c=0 — ими будут -{frac {m}{k}} и -{frac {n}{l}}, действительно, ведь {displaystyle (kx+m)(lx+n)=0Longleftrightarrow {biggl [}{begin{array}{lcl}kx+m=0,\lx+n=0,end{array}}} а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.

Рассматриваются некоторые частные случаи.

Использование формулы квадрата суммы (разности)[править | править код]

Если квадратный трёхчлен имеет вид (ax)^{2}+2abx+b^{2}, то применив к нему названную формулу, можно разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:

{displaystyle (ax)^{2}+2abx+b^{2}=(ax+b)^{2},}
{displaystyle (ax+b)^{2}=0,}
x=-{frac {b}{a}}.

Выделение полного квадрата суммы (разности)[править | править код]

Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы (разности)». Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:

  1. прибавляют и отнимают одно и то же число:
    x^{2}+px+({frac {p}{2}})^{2}-({frac {p}{2}})^{2}+q=0;.
  2. применяют формулу к полученному выражению, переносят вычитаемое и свободный член в правую часть:
    {displaystyle (x^{2}+2{frac {p}{2}}x+({frac {p}{2}})^{2})+(-({frac {p}{2}})^{2}+q)=0,}
    (x+{frac {p}{2}})^{2}={frac {p^{2}}{4}}-q;
  3. извлекают из левой и правой частей уравнения квадратный корень и выражают переменную:
    {displaystyle x+{frac {p}{2}}=pm {sqrt {{frac {p^{2}}{4}}-q}},}
    x_{1,2}=-{frac {p}{2}}pm {sqrt {{frac {p^{2}}{4}}-q}}.

Примечание: данная формула совпадает с предлагаемой в разделе «Корни приведённого квадратного уравнения», которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы (1) путём подстановки равенства a = 1. Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда, некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.

VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета[править | править код]

Прямая теорема Виета (см. ниже) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле (1).

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) x_{1},x_{2}, будучи решением системы уравнений

{displaystyle {begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\x_{1}x_{2}=q,end{cases}}}
являются корнями уравнения x^{2}+px+q=0.

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;
2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

VII способ. Метод «переброски»[править | править код]

По своей сущности метод «переброски» является просто модификацией теоремы Виета.

Метод «переброски» — это сведение уравнения, которое нельзя привести так, чтобы все коэффициенты остались целыми, к приведённому уравнению с целыми коэффициентами:

1) умножаем обе части на старший коэффициент:
{displaystyle ax^{2}+bx+c=0quad mid ;cdot a,}
{displaystyle (ax)^{2}+b(ax)+ac=0;}
2) заменяем {displaystyle y=axcolon }
{displaystyle y^{2}+by+ac=0.}

Далее решаем уравнение относительно y по методу, описанному выше, и находим x = y/a.

Как можно заметить, в методе «переброски» старший коэффициент как раз «перебрасывается» к свободному члену.

Графическое решение квадратного уравнения[править | править код]

Квадратное уравнение.gif

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)

Если коэффициент a положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент b положительный (при положительном a, при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Графический способ решения квадратных уравнений[править | править код]

Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида f(x)=g(x) заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций y=f(x) и y=g(x) и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения.

Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений.

Приём I[править | править код]

Для решения квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0 строится график функции y=ax^{2}+bx+c
и отыскиваются абсциссы точек пересечения такого графика с осью x.

Приём II[править | править код]

Для решения того же уравнения этим приёмом уравнение преобразуют к виду ax^{2}=-bx-c
и строят в одной системе координат графики квадратичной функции y=ax^{2} и линейной функции y=-bx-c, затем находят абсциссу точек их пересечения.

Приём III[править | править код]

Данный приём подразумевает преобразование исходного уравнения к виду a(x+l)^{2}+m=0, используя метод выделения полного квадрата суммы (разности) и затем в a(x+l)^{2}=-m. После этого строятся график функции y=a(x+l)^{2} (им является график функции y=ax^{2}, смещённый на |l| единиц масштаба вправо или влево в зависимости от знака) и прямую y=-m, параллельную оси абсцисс. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой.

Приём IV[править | править код]

Квадратное уравнение преобразуют к виду ax^{2}+c=-bx, строят график функции y=ax^{2}+c (им является график функции y=ax^{2}, смещённый на c единиц масштаба вверх, если этот коэффициент положителен, либо вниз, если он отрицателен), и y=-bx, находят абсциссы их общих точек.

Приём V[править | править код]

Квадратное уравнение преобразуют к особому виду:

{displaystyle {dfrac {ax^{2}}{x}}+{dfrac {bx}{x}}+{dfrac {c}{x}}={dfrac {0}{x}};}
{displaystyle ax+b+{dfrac {c}{x}}=0;}

затем

{displaystyle ax+b=-{dfrac {c}{x}}.}

Совершив преобразования, строят графики линейной функции y=ax+b и обратной пропорциональности y=-{frac {c}{x}}; (cnot =0), отыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот приём имеет границу применимости: если c=0, то приём не используется.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки[править | править код]

Описанные выше приёмы графического решения имеют существенные недостатки: они достаточно трудоёмки, при этом точность построения кривых — парабол и гипербол — низка. Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.

Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.

  1. Построить в системе координат Oxy окружность с центром в точке {displaystyle Sleft(-{dfrac {b}{2a}};{dfrac {a+c}{2a}}right)}, пересекающую ось Oy в точке {displaystyle Cleft(0;,1right)}.
  2. Далее возможны три случая:

Доказательство

Иллюстрация к доказательству.

Рассматриваемый способ предполагает построение окружности, пересекающей ось ординат в точках (точке), абсциссы которых являются корнями (или корнем) решаемого уравнения. Как нужно строить такую окружность? Предположим, что она уже построена. Окружность определяется однозначно заданием трёх своих точек. Пусть в случае, если корня два, это будут точки A(x_{1};0),B(x_{2};0),C(0;1), где x_{1},x_{2}, естественно, действительные корни квадратного уравнения (подчёркиваем: если они имеются). Найдём координаты центра такой окружности. Для этого докажем, что эта окружность проходит через точку D(0;{frac {c}{a}}). Действительно, согласно теореме о секущих, в принятых обозначениях выполняется равенство OAcdot OB=OCcdot OD (см рисунок). Преобразовывая это выражение, получаем величину отрезка OD, которой и определяется искомая ордината точки D: {displaystyle OD={dfrac {OAcdot OB}{OC}}={frac {x_{1}x_{2}}{1}}={frac {c}{a}}} (в последнем преобразовании использована теорема Виета (см. ниже в одноимённом разделе)). Если же корень один, то есть ось абсцисс будет касательной к такой окружности, и окружность пересекает ось y в точке с ординатой 1, то она обязательно пересечёт её и в точке с указанной выше ординатой (в частности, если 1=c/a, это могут быть совпадающие точки), что доказывается аналогично с использованием уже теоремы о секущей и касательной, являющаяся частным случаем теоремы о секущих. В первом случае ({displaystyle {dfrac {c}{a}}not =1}), определяющими будут точка касания, точка оси y с ординатой 1, и её же точка с ординатой {displaystyle {dfrac {c}{a}}}. Если c/a и 1 – совпадающие точки, а корня два, определяющими будут эта точка и точки пересечения с осью абсцисс. В случае, когда (1=c/a) и корень один, указанных сведений достаточно для доказательства, так как такая окружность может быть только одна – её центром будет вершина квадрата, образуемого отрезками касательных и перпендикулярами, а радиус – стороне этого квадрата, составляющей 1. Пускай S – центр окружности, имеющей с осью абсцисс две общие точки. Найдём его координаты: для этого опустим от этой точки перпендикуляры к координатным осям. Концы этих перпендикуляров будут серединами отрезков AB и CD – ведь треугольники ASB и CSD равнобедренные, так как в них AS=BS=CS=DS как радиусы одной окружности, следовательно, высоты в них, проведённые к основаниям, также являются и медианами. Найдём координаты середин названных отрезков. Так как парабола симметрична относительно прямой {displaystyle x=-{dfrac {b}{2a}}}, то точка этой прямой с такой же абсциссой будет являться серединой отрезка AB. Следовательно, абсцисса точки S равна этому числу. В случае же, если уравнение имеет один корень, то ось x является касательной по отношению к окружности,поэтому, согласно её свойству, её радиус перпендикулярен оси, следовательно, и в этом случае указанное число – абсцисса центра. Её ординату найдём так: {displaystyle {dfrac {CD}{2}}={dfrac {OC+(OC+CD)}{2}}={dfrac {OC+OD}{2}}={dfrac {1+{dfrac {c}{a}}}{2}}={dfrac {a+c}{2a}}}. В третьем из возможных случаев, когда ca=1 (и, значит, a=c), то {displaystyle {dfrac {c}{a}}=1={dfrac {2a}{2a}}={dfrac {a+c}{2a}}}.

Итак, нами найдены необходимые для построения данные. Действительно, если мы построим окружность с центром в точке {displaystyle S(-{dfrac {b}{2a}};{dfrac {c+a}{2a}})}, проходящую через точку C(0;1), то она, в случаях, когда уравнение имеет действительные корни, пересечёт ось x в точках, абсциссы которых есть эти корни. Причём, если длина радиуса больше длины перпендикуляра к оси Ox, то уравнение имеет два корня (предположив обратное, мы бы получили противоречие с доказанным выше), если длины равны, то один (по той же причине), если же длина радиуса меньше длины перпендикуляра, то окружность не имеет общих точек с осью x, следовательно, и действительных корней у уравнения нет (доказывается тоже от противного: если корни есть, то окружность, проходящая через A, B, C совпадает с данной, и поэтому пересекает ось, однако она не должна пересекать ось абсцисс по условию, значит, предположение неверно).

Корни квадратного уравнения на множестве комплексных чисел[править | править код]

Уравнение с действительными коэффициентами[править | править код]

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами a,~b,~c всегда имеет с учётом кратности два комплексных корня, о чём гласит основная теорема алгебры. При этом, в случае неотрицательного дискриминанта корни будут вещественными, а в случае отрицательного — комплексно-сопряжёнными:

Уравнение с комплексными коэффициентами[править | править код]

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше её вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два корня единичной кратности).

Корни приведённого квадратного уравнения[править | править код]

Квадратное уравнение вида x^{2}+px+q=0, в котором старший коэффициент a равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

x_{1,2}=-{frac {p}{2}}pm {sqrt {left({frac {p}{2}}right)^{2}-q}}.

Мнемонические правила:

  • Из «Радионяни»:

«Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.
Ну, а под корнем, приятель,
Сводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное[2] q.

  • Из «Радионяни» (второй вариант):

p, со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q — и вот решенья,
То есть корни уравненья.

  • Из «Радионяни» (третий вариант на мотив Подмосковных вечеров):

Чтобы x найти к половине p,

Взятой с минусом не забудь,
Радикал приставь с плюсом минусом,
Аккуратно, не как-нибудь.
А под ним квадрат половины p,

Ты, убавь на q и конец,
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.

Теорема Виета [3][править | править код]

Формулировка для приведённого квадратного уравнения[править | править код]

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x^{2}+px+q=0 (вещественных или комплексных) равна второму коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение этих корней — свободному члену q:

x_{1}+x_{2}=-p,quad x_{1}x_{2}=q.

С его помощью приведённые уравнения можно решать устно:

Для неприведённого квадратного уравнения[править | править код]

В общем случае, то есть для неприведённого квадратного уравнения {displaystyle ax^{2}+bx+c=0colon }

{displaystyle {begin{cases}x_{1}+x_{2}=-b/a,\x_{1}x_{2}=c/a.end{cases}}}

На практике (следуя методу «переброски») для вычисления корней применяется модификация теорема Виета:

{displaystyle {begin{cases}x_{1}+x_{2}=-b/a&mid cdot a,\x_{1}x_{2}=c/a&mid cdot a^{2};end{cases}}}
{displaystyle {begin{cases}(ax_{1})+(ax_{2})=-b,\(ax_{1})(ax_{2})=ac,end{cases}}}

по которой можно устно находить ax1, ax2, а оттуда — сами корни:

Но у некоторых неприведённых уравнений корни можно устно угадать даже по стандартной теореме Виета:

Разложение квадратного трёхчлена на множители и теоремы, следующие из этого[править | править код]

Если известны оба корня квадратного трёхчлена, его можно разложить по формуле

{displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})} (2)

Доказательство[править | править код]

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, корни x_{1} и x_{2} квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0 образуют соотношения с его коэффициентами: {displaystyle x_{1}+x_{2}=-{frac {b}{a}}, x_{1}x_{2}={frac {c}{a}}}. Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:

{displaystyle {begin{alignedat}{2}ax^{2}+bx+c&=a(x^{2}+{frac {b}{a}}x+{frac {c}{a}})=a(x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2})=\&=a(x^{2}-x_{1}x-x_{2}x+x_{1}x_{2})=a(x(x-x_{1})-x_{2}(x-x_{1}))\&=a(x-x_{1})(x-x_{2}).end{alignedat}}}

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

Из формулы (2) имеются два важных следствия:

Следствие 1[править | править код]

Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами, то он имеет вещественные корни.

Доказательство[править | править код]

Пусть ax^{2}+bx+c=(kx+m)(nx+l). Тогда, переписав это разложение, получим:

(kx+m)(nx+l)=k(x+{frac {m}{k}})n(x+{frac {l}{n}})=kn(x-(-{frac {m}{k}}))(x-(-{frac {l}{n}})).

Сопоставив полученное выражение с формулой (2), находим, что корнями такого трёхчлена являются -{frac {m}{k}} и -{frac {l}{n}}. Так как коэффициенты вещественны, то и числа, противоположные их отношениям также являются элементами множества mathbb {R} .

Следствие 2[править | править код]

Если квадратный трёхчлен не имеет вещественных корней, то он не раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами.

Доказательство[править | править код]

Действительно, если мы предположим противное (что такой трёхчлен раскладывается на линейные множители), то, согласно следствию 1, он имеет корни в множестве mathbb {R} , что противоречит условию, а потому наше предположение неверно, и такой трёхчлен не раскладывается на линейные множители.

Для квадратичной функции:
f (x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2) действительной переменной x, x — координаты точки, где график пересекает ось абсцисс, x = −1 и x = 2, являются решениями квадратного уравнения: x2 − x − 2 = 0.

Уравнения, сводящиеся к квадратным[править | править код]

Алгебраические[править | править код]

Уравнение вида acdot f^{2}(x)+bcdot f(x)+c=0 является уравнением, сводящимся к квадратному.

В общем случае оно решается методом введения новой переменной, то есть заменой {displaystyle f(x)=t,~tin {mathcal {E}}(f),} где {mathcal {E}} — множество значений функции f, c последующим решением квадратного уравнения acdot t^{2}+bcdot t+c=0.

Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений:

f(x)={frac {-b-{sqrt {b^{2}-4cdot acdot c}}}{2a}} и
f(x)={frac {-b+{sqrt {b^{2}-4cdot acdot c}}}{2a}}

К примеру, если f(x)=x^{2}, то уравнение принимает вид:

{displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0.}

Такое уравнение 4-й степени называется биквадратным[4][1].

С помощью замены

y=x+{dfrac {k}{x}}

к квадратному уравнению сводится уравнение

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+kbx+k^{2}a=0,

известное как возвратное или обобщённо-симметрическое уравнение[1].

Дифференциальные[править | править код]

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

y''+py'+qy=0

подстановкой y=e^{kx} сводится к характеристическому квадратному уравнению:

k^{2}+pk+q=0

Если решения этого уравнения k_{1} и k_{2} не равны друг другу, то общее решение имеет вид:

y=Ae^{k_{1}x}+Be^{k_{2}x}, где A и B — произвольные постоянные.

Для комплексных корней k_{1,2}=k_{r}pm k_{i}i можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:

{displaystyle y=e^{k_{r}x}left(Acos {k_{i}x}+Bsin {k_{i}x}right)=Ce^{k_{r}x}cos(k_{i}x+varphi ),}

где A, B, C, φ — любые постоянные. Если решения характеристического уравнения совпадают k_{1}=k_{2}=k, общее решение записывается в виде:

y=Axe^{kx}+Be^{kx}

Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Квадратное уравнение; Квадратный трёхчлен // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 133-136. — 352 с.

Ссылки[править | править код]

  • Weisstein, Eric W. Quadratic Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Вывод формулы корней полного квадратного уравнения. Решение приведённых квадратных уравнений и уравнений с чётным вторым коэффициентом Архивная копия от 28 января 2016 на Wayback Machine / Фестиваль педагогических идей «Открытый урок».
  • Математические методы
Источник

Добавить комментарий