Как найти статистические характеристики набора чисел

Аналитический анализ. Основные статистические характеристики ряда измерений

К
основным
статистическим характеристикам
ряда измерений (вариацион­ного ряда)
относятся характеристики
положения
(средние
характе­ристики,
или центральная
тенденция выборки);
характеристики
рассеяния
(ва­риации,
или колеблемости)
и характеристики
формы
распределения.

К
характеристикам
положения
относятся среднее
арифметическое значе­ние
(среднее
значение),
мода и
медиана.

К
характеристикам
рассеяния
(вариации,
или колеблемости)
относятся: размах
вариации,
дисперсия,
среднее
квадратическое
(стандартное)
отклонение,
ошибка средней
арифметической
(ошибка
средней),
коэффициент
вариации и
др.

К
характеристикам формы
относятся коэффициент
асимметрии, мера ско­шенности и
эксцесс.

Далее
приводятся формулы для расчёта основных
статистических характеристик, причём
предлагаются расчётные формулы как для
несгруппированных данных, так и для
данных, сгруппированных в интервалы.

Характеристики положения

1. Среднее арифметическое значение

Среднее
арифметическое значение
– одна из основных характеристик
вы­борки.

Она,
как и другие числовые характеристики
выборки, может вычисляться как по
необработанным первичным данным, так
и по результатам группировки этих
данных.

Точность вычисления
по необработанным данным выше, но процесс
вычисления оказывается трудоёмким при
большом объёме выборки.

Для
несгруппированных данных среднее
арифметическое определяется по формуле:

,

где
n–
объем выборки, х₁,
х₂,
… х_n
– результаты измерений.

Для
сгруппированных данных:

,

где
n–
объем выборки, k
– число интервалов группировки, n_i
– частоты интервалов, x_i
– срединные значения интервалов.

2. Мода

Определение
1. Мода
– наиболее
часто встречающаяся величина в данных
вы­борки. Обозначается Мо
и определяется
по формуле:

,

где
–
нижняя граница модального интервала,– ширина интервала группи­ровки,–
частота модального интервала,–
частота интервала, предшествую­щего
модальному,–
частота интервала, последующего за
модаль­ным.

Определение
2. Модой Мо дискретной
случайной величиныназывается наиболее
вероятное её значение.

Геометрически
моду можно интерпретировать как абсциссу
точки максимума кривой распределения.Бываютдвухмодальные и
многомодальныераспределения.
Встречаются распределения, которые
имеют минимум, но не имеют максимума.
Такие распределения называютсяантимодальными.

Определение.
Модальным
интервалом
называется интервал группировки с
наибольшей частотой.

3. Медиана

Определение.
Медиана
– результат
измерения, который находится в сере­дине
ранжированного ряда, иначе говоря,
медианой называется значение признака
Х,
когда одна половина значений
экспериментальных данных меньше её, а
вторая половина – больше, обозначается
Ме.

Когда
объем выборки n
– четное
число, т. е. результатов измерений четное
количество, то для определения медианы
рассчитывается среднее значение двух
показателей выборки, находящихся в
середине ранжированного ряда.

Для
данных, сгруппированных в интервалы,
медиану определяют по фор­муле:

,

где
–
нижняя граница медианного интервала;ширина интервала группи­ровки, 0,5n
– половина объёма выборки,
–
частота медианного интервала,–
накопленная частота интервала,
предшествующего медианному.

Определение.
Медианным
интервалом
называется тот интервал, в котором
накопленная частота впервые окажется
больше половины объёма выборки (n/2)
или накопленная частость окажется
больше 0,5.

Численные
значения среднего, моды и медианы
отличаются, когда имеет место несимметричная
форма эмпирического распределения.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Статистические исследования числовых рядов. Статистические характеристики числовых рядов

Очень часто из-за дороговизны или слишком большого числа наблюдений невозможно получить полной информации об объектах, событиях или наблюдениях. По этой причине информацию получают на основе анализа части всего множества объектов, событий или наблюдений, называемой рядом числовых данных, рядом выборочных данных или, просто, выборкой.

Выборка представляет собой конечный ряд чисел (выборочных данных), количество чисел в котором называют объемом выборки

Для обеспечения достоверности информации об объектах, событиях или наблюдениях, полученных на основе статистических исследований числовых рядов (анализа выборочных данных), отбор выборочных данных должен носить случайный характер и иметь достаточно большой объем, то есть выборка должны быть репрезентативной (представительной).

Статистические исследования числовых рядов (рядов чисел, рядов выборочных данных) удобно проводить в соответствии со следующей схемой, которую мы изложим на примере следующей выборки   X :

X = {3,24;   3,44;   3,12;   3,25;   3,12;   3,34;   3,37;   3,44;   3,24;   3,12}

(1)

1. Определяем объем выборки (число чисел в числовом ряде).

   В числовом ряде (1) десять чисел, поэтому объем выборки равен   10.

2. Вычисляем среднее арифметическое числового ряда   X   (среднее выборочное значение), которое обозначают .

   Для числового ряда (1)

   

   

   

3. Производим упорядочение числового ряда по возрастанию (ранжирование числовых данных). Полученный числовой ряд, который обозначим   X₁ ,   называют вариационным рядом.

   Для числового ряда   X   вариационный ряд   X₁   имеет следующий вид:

   X₁ = {3,12;   3,12;   3,12;   3,24;   3,24;   3,25;   3,34;   3,37;   3,44;   3,44}

4. Вычисляем размах числового ряда   X ,   то есть разность между наибольшим числом из числового ряда и наименьшим числом из числового ряда.

   В числовом ряде   X ,  как и в вариационном ряде   X₁ ,   число   3,44   является наибольшим числом, а число   3,12   является наименьшим числом. Поэтому размах числового ряда   X   равен

   3,44 – 3,12 = 0,32

5. Вычисляем медиану числового ряда.

   В случае, когда объем выборки (число членов числового ряда) – чётное число, медианой числового ряда является число, равное половине суммы двух чисел, стоящих в середине вариационного ряда.

   Число членов ряда   X   равно чётному числу   10 ,   а в середине вариационного ряда   X₁  стоят числа   3,24   и   3,25 .   Поэтому медиана числового ряда, которую обычно обозначают символом   Me ,   равна

   

   В случае, когда объем выборки (число членов числового ряда) –нечётное число, медианой числового ряда является число, стоящее в середине вариационного ряда.

   Например, медианой числового ряда

   {2;   3;   7;   9;   15}

   является число   7 .

6. Составляем таблицу частот числового ряда.

   Если взглянуть на числа (выборочные данные), составляющие вариационный ряд   X₁ ,   то можно заметить, некоторые числа повторяются, а другие встречаются лишь по одному разу. Это наблюдение приводит к следующему определению.

   ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если выборочное данное встречается в вариационном ряде   m   раз, то число   m   называют частотой (абсолютной частотой) этого выборочного данного.

   Воспользовавшись определением 1, сформируем для числового ряда   X   таблицу, содержащую две строки, которую называют таблицей частот (абсолютных частот) числового ряда. Для этого в первой строке таблицы запишем числа, составляющие вариационный ряд   X₁ ,   причем запишем числа в порядке возрастания и без повторений. Во второй строке таблицы запишем частоты (абсолютные частоты), соответствующие числам из первой строки таблицы.

   ТАБЛИЦА ЧАСТОТ ЧИСЛОВОГО РЯДА

   Числа, составляющие вариационный ряд (без повторений)	3,12	3,24	3,25	3,34	3,37	3,44
   Частоты	3	2	1	1	1	2

   Числа, составляющие вариационный ряд (без повторений)	Частоты
   3,12	3
   3,24	2
   3,25	1
   3,34	1
   3,37	1
   3,44	2

   ЗАМЕЧАНИЕ. Сумма частот, то есть сумма чисел, записанных во второй строке таблицы частот числового ряда, равна объему выборки (числу чисел в числовом ряде). В рассматриваемом случае это число   10 .

7. Составляем таблицу относительных частот (в процентах).

   ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Относительной частотой (в процентах) выборочного данного называют число процентов, которое составляет частота этого выборочного данного от всего объема выборки (количества членов числового ряда).

   Для того, чтобы сформировать таблицу относительных частот числового ряда, заменим частоты, записанные во второй строке таблицы частот числового ряда, на соответствующие им относительные частоты. В результате получим следующую таблицу.

   ТАБЛИЦА ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЧАСТОТ (В ПРОЦЕНТАХ)

   Числа, составляющие вариационный ряд (без повторений)	3,12	3,24	3,25	3,34	3,37	3,44
   Относительные частоты (%)	30%	20%	10%	10%	10%	20%

   Числа, составляющие вариационный ряд (без повторений)	Относительные частоты (%)
   3,12	30%
   3,24	20%
   3,25	10%
   3,34	10%
   3,37	10%
   3,44	20%

8. Находим моду числового ряда.

   ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Модой числового ряда называют выборочное данное с наибольшей частотой.

   Из таблицы частот числового ряда видно, что модой числового ряда   X   является число   3,12 ,   поскольку его частота   3   является наибольшей. Очевидно, что и относительная частота этого выборочного данного является самой большой   (30%) .

   ЗАМЕЧАНИЕ. Объем выборки, среднее выборочное значение, размах, медиана и мода числового ряда являются одними из статистических характеристик числовых рядов.

Статистические характеристики

Ключевые слова конспекта: статистические характеристики, статистические исследования, выборка, варианта, объем выборки, среднее арифметическое, вариационный ряд, размах ряда, мода выборки, медиана ряда.

---

---

Статистические исследования

Для изучения, обработки и анализа количественных данных различных массовых социально-экономических процессов и явлений проводят статистические (от латинского слова status — «состояние, положение вещей») исследования. Уже в древних государствах вели учёт населения, способного платить налоги. С развитием общества потребовались научные методы обработки и анализа самых разнообразных сведений. Так, в XIX в. появилась биологическая статистика, названная биометрикой и изучающая численные характеристики отдельных биологических особей и их популяций. Можно назвать ещё более десятка различных статистик: экономическая, финансовая, налоговая, демографическая, медицинская, метеорологическая и т. д.

Каждое статистическое исследование состоит из сбора и обработки информации. На основе полученных данных составляются различные прогнозы, оценивается их достоверность и т.д. Важной задачей, без которой статистические данные теряют всякий смысл, является обработка полученных данных.

---

Рассмотрим пример. Учащимся двух седьмых классов был предложен тест по математике, состоящий из 10 заданий. При проверке работ отмечали количество заданий, верно выполненных учащимися. Получили два ряда чисел:

 7 «А» класс: 8; 7; 2; 5; 10; 9; 8; 7; 7; 10; 9; 6; 5; 8; 8; 10; 9; 9; 10; 7; 9; 10; 7; 9; 6;
 7 «Б» класс: 8; 7; 8; 6; 9; 9; 7; 8; 7; 9; 9; 6; 5; 8; 7; 10; 9; 10; 10; 7; 8; 9; 7; 9; 9.

Ряд данных, полученных в результате статистического исследования, называют выборкой, а каждое число этого ряда — вариантой выборки. Количество чисел в ряду называют объёмом выборки. В нашем примере объёмом выборки является количество учащихся каждого класса, участвовавших в тестировании. В каждом случае объём выборки равен 25.

---

Имея приведённые выше два ряда данных, трудно сравнить результаты выполнения теста учащимися двух классов. А если рассматривать результаты, которые показали все семиклассники города или целого региона, то информация будет столь громоздкой, что окажется бесполезной. Потому для статистической обработки данных рассматривают различные статистические характеристики.

Среднее арифметическое. Вариационный ряд

Одной из характеристик, широко применяемых в статистических исследованиях, является среднее арифметическое.

✅ Определение. Средним арифметическим ряда данных называется частное суммы всех вариант ряда и количества вариант.

Поскольку количество вариант — это объём выборки, то среднее арифметическое выборки есть частное суммы всех вариант и объёма выборки.

---

Рассмотрим пример. Найдём средний балл, который получили учащиеся 7 «А» класса при выполнении теста:

 Такой подсчёт среднего арифметического выборки не очень удобен. Можно поступать иначе.  Перепишем выборку для 7 «А» класса, расположив её варианты так, чтобы каждая следующая была не меньше предыдущей. Получим:
2; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 10; 10; 10; 10.

 Такую запись выборки называют упорядоченным рядом данных (или вариационным рядом). Теперь легко видеть, что 2 балла получил один ученик, 5 баллов — два ученика, 6 баллов — два ученика, 7 баллов — пять учеников и т.д. Количество появлений одной и той же варианты в выборке называют частотой этой варианты. Так, например, частота варианты 7 равна 5, частота варианты 10 равна 5. Составим таблицу частот вариант для учащихся 7 «А» класса. В первой строке запишем все возможные количества баллов, которые могли получить учащиеся при выполнении теста, т.е. числа от 0 до 10. Во второй строке запишем соответствующие частоты, т.е. число учащихся, получивших указанное количество баллов.

 Проверим, не ошиблись ли мы при подсчёте частот: сумма частот должна быть равна объёму выборки. Действительно, 0 + 0 + 1+ 0 + 0 + 2 + 2 + 5 + 4 + 6 + 5 = 25 (естественно, нули можно не писать). Теперь можно вычислить среднее арифметическое выборки проще:

Заметим, что среднее арифметическое упорядоченного ряда данных и среднее арифметическое выборки — одно и то же число. Составим таблицу частот выборки для 7 «Б» класса.

Заметим, что обычно в таблицу частот не включают варианты, частоты которых равны нулю. В этом случае таблица частот для 7 «Б» класса будет такой:

 Найдём объём выборки: 1 + 2 + 6 + 5 + 8 + 3 = 25. Теперь найдём среднее арифметическое:

Зная средние баллы учащихся 7 «А» и 7 «Б» классов, можно сделать вывод, что учащиеся 7 «Б» в целом выполнили тест лучше, поскольку 8,04 > 7,8.

---

Составленные таблицы частот позволяют сделать и другие полезные выводы по итогам проведённого тестирования. Например, для первой выборки (результаты учащихся 7 «А» класса) наименьший полученный балл равен 2, наибольший — 10. Результаты всех учащихся класса располагаются между этими числами. Для второй выборки наименьшая варианта равна 5, наибольшая — 10. Это может означать, что 7 «Б» класс по своей математической подготовке является более однородным, чем 7 «А».

Размах ряда. Мода выборки

Ещё одним показателем, который используется при анализе статистических данных, является размах ряда.

✅ Определение. Разность наибольшей и наименьшей вариант выборки называют размахом ряда.

В рассмотренном ранее примере размах первой выборки (или упорядоченного ряда данных) равен 10 — 2 = 8, а второй 10-5 = 5. Размах выборки находят в том случае, когда существенной для исследования является величина разброса данных в ряду. К примеру, в метеорологии важна не только среднесуточная температура, но и численная характеристика колебания температуры воздуха в течение суток, т. е. размах выборки.

Заметим, что на практике при анализе данных, полученных в результате исследования, бывает удобно использовать ещё одну статистическую характеристику — так называемую моду выборки.

✅ Определение. Варианта выборки, имеющая наибольшую частоту, называется модой выборки.

В рассмотренном примере с изучением результатов тестирования, проведённого в двух седьмых классах, модой и первого, и второго ряда является число 9, которое и в первой, и во второй выборке встречается чаще других.

Моду ряда находят тогда, когда нужно выявить типичный для данной выборки показатель. Если, например, изучаются данные о размерах мужских рубашек, проданных в магазине в определённый день, то удобно бывает воспользоваться таким показателем, как мода, который характеризует размер, пользующийся наибольшим спросом.

Если в выборке два числа встречаются с одинаковой частотой, превосходящей частоты, с которыми встречаются другие числа, то обе эти варианты являются модой для данного ряда. Так, в ряду 2; 3; 3; 3; 5; 5; 6; 6; 6; 7; 8; 8 две моды — это числа 3 и 6. Может случиться, что в выборке будет более двух мод или не будет моды совсем. Например, ряд 2; 2; 3; 3; 4; 4; 5; 5 не имеет моды.

Медиана ряда

Ещё одной характеристикой, используемой в статистике, является медиана ряда.

---

Рассмотрим пример. Сотрудники лаборатории приобрели акции одного предприятия. Количество акций, приобретённых сотрудниками, оказалось таким: 2; 3; 5; 6; 8; 9; 51. Нужно оценить среднее количество приобретённых акций.

 Данный ряд не имеет моды. Найдём среднее арифметическое ряда:

 Найденное число не отражает реальной ситуации с распределением акций между сотрудниками лаборатории, поскольку оно больше шести из семи вариант ряда. Для оценки средней величины поступим иначе. Составим из полученных данных упорядоченный ряд и найдём варианту, записанную в середине ряда.
 2; 3; 5; 6; 8; 9; 51.
Эту варианту называют медианой. Она равна 6. Естественно, найденное значение лишь приближённо характеризует средний показатель ряда, однако эта характеристика ближе к действительности.

---

Если ряд имеет чётное число вариант, то в качестве медианы рассматривают среднее арифметическое двух средних элементов. Например, медианой ряда 3; 3; 4; 5; 5: 6: 6; 7; 7; 40 является среднее арифметическое чисел 5 и 6, т.е. (5 + 6)/2 = 5,5.

✅ Определение. Если в упорядоченном ряду данных нечётное число вариант, то средняя по счёту варианта называется медианой ряда. Если в упорядоченном ряду чётное число вариант, то среднее арифметическое двух средних по счёту вариант называется медианой ряда.

Медианой произвольной выборки является медиана соответствующего упорядоченного ряда. Заметим, что если упорядоченный ряд данных содержит 2n — 1 вариант (n — натуральное число), то медианой является n-я варианта, а если упорядоченный ряд данных содержит 2n чисел, то медианой является среднее арифметическое n-го и n + 1-го чисел.

---

Рассмотрим пример. Во время соревнований по стрельбе спортсмен набрал следующее количество очков: 9; 9; 8; 10; 8; 7; 9; 10; 8; 7. Найдём: а) объём выборки; б) среднее арифметическое выборки; в) размах; г) моду ряда; д) медиану выборки.

 Для решения задачи запишем упорядоченный ряд данных:
 7; 7; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 10; 10.

 а) Спортсмен сделал 10 выстрелов, значит, объём выборки равен 10.

 б) Найдём среднее арифметическое выборки

 в) Размах ряда равен 10 — 7 = 3.

 г) У данного ряда две моды: 8 и 9.

 д) Найдём медиану выборки. Данный ряд содержит чётное число вариант. Найдём среднее арифметическое двух чисел, записанных в середине ряда: (8 + 9)/2 = 8,5. Медианой выборки является число 8,5.

---

Это конспект по математике на тему «Статистические характеристики». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту: 
• Вернуться к списку конспектов по Математике.
• Проверить знания по Математике.

Среднее арифметическое, размах, мода и медиана

1. Алгебра
2. Среднее арифметическое, размах, мода и медиана

Мода и медиана

Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.

Обратимся снова к нашему примеру со сборной по футболу:

Чему в данном примере равна мода? Какое число наиболее часто встречается в этой выборке?

Все верно, это число ( displaystyle 181), так как два игрока имеют рост ( displaystyle 181) см; рост же остальных игроков не повторяется.

Тут все должно быть ясно и понятно, да и слово знакомое, правда?

Перейдем к медиане, ты ее должен знать из курса геометрии. Но мне не сложно напомнить, что в геометрии медиана (в переводе с латинского- «средняя») — отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Ключевое слово – СЕРЕДИНА. Если ты знал это определение, то тебе легко будет запомнить, что такое медиана в статистике.

Медианой ряда чисел с нечетным числом членов называется число, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить (проранжировать, т.е. расположить значения в порядке убывания или возрастания).

Медианой ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине, если этот ряд упорядочить.

Ну что, вернемся к нашей выборке футболистов?

Ты заметил в определении медианы важный момент, который нам еще здесь не встречался? Конечно, «если этот ряд упорядочить»!

Для того, чтобы в ряду чисел был порядок, можно расположить значения роста футболистов как в порядке убывания, так и в порядке возрастания. Мне удобней выстроить этот ряд в порядке возрастания (от самого маленького к самому большому).

Вот, что у меня получилось:

Так, ряд упорядочили, какой еще есть важный момент в определении медианы? Правильно, четное и нечетное количество членов в выборке.

Заметил, что для четного и нечетного количества даже определения отличаются? Да, ты прав, не заметить – сложно. А раз так, то нам надо определиться, четное у нас количество игроков в нашей выборке или нечетное?

Все верно – игроков ( displaystyle 11), значит, количество нечетное! Теперь можем применять к нашей выборке менее заковыристое определение медианы для нечетного количества членов в выборке.

Ищем число, которое оказалось посередине в нашем упорядоченном ряду:

Ну вот, чисел у нас ( displaystyle 11), значит, по краям остается по пять чисел, а рост ( displaystyle 183) см будет медианой в нашей выборке.

Не так уж и сложно, правда?

Частота и относительная частота

Частота представляет собой число повторений, сколько раз за какой-то период происходило некоторое событие, проявлялось определенное свойство объекта либо наблюдаемый параметр достигал данной величины.

То есть частота определяет то, как часто повторяется та или иная величина в выборке.

Разберемся на нашем примере с футболистами. Перед нами вот такой вот упорядоченный ряд:

Частота – это число повторений какой-либо величины параметра. В нашем случае, это можно считать вот так. Сколько игроков имеет рост ( 176)?

Все верно, один игрок. Таким образом, частота встречи игрока с ростом ( 176) в нашей выборке равна ( 1).

Сколько игроков имеет рост ( 178)? Да, опять же один игрок. Частота встречи игрока с ростом ( 178) в нашей выборке равна ( 1).

Задавая такие вопросы и отвечая на них, можно составить вот такую табличку:

Ну вот, все довольно просто. Помни, что сумма частот должна равняться количеству элементов в выборке (объему выборки).

То есть в нашем примере: ( 1+1+1+2+1+1+1+1+1+1=11)

Перейдем к следующей характеристике – относительная частота.

Относительная частота – это отношение частоты к общему числу данных в ряду. Как правило, относительная частота выражается в процентах.

Обратимся опять к нашему примеру с футболистами. Частоты для каждого значения мы рассчитали, общее количество данных в ряду мы тоже знаем ( left( n=11 right)) .

Рассчитываем относительную частоту для каждого значения роста и получаем вот такую табличку:

А теперь сам составь таблицы частот и относительных частот для примера с 9-классниками, решающими задачи.