Как найти статистический вес

Состояние макроскопического тела (т. е. тела, образованного огромным количеством молекул) может быть задано с помощью объема, давления, температуры, внутренней энергии и других макроскопических (т. е. характеризующих все тело в целом) величин.

Охарактеризованное таким способом состояние называется макросостоянием.

Состояние макроскопического тела, охарактеризованное настолько подробно, что оказываются заданными состояния всех образующих тело молекул, называется микросостоянием.

Всякое макросостояние может быть осуществлено различными способами, каждому из которых соответствует некоторое микросостояние тела. Число различных микросостояний, соответствующих данному макросостоянию, называется статистическим весом или термодинамической вероятностью макросостояния. Таким образом, статистический вес представляет собой число микроскопических способов, которыми может быть осуществлено данное макросостояние.

Чтобы пояснить понятие статистического веса, рассмотрим способы, которыми молекулы газа могут распределяться между двумя половинами сосуда, в котором заключен газ. Пусть общее число молекул равно N. В качестве характеристики состояния газа примем число молекул, находящихся в левой половине сосуда, которое мы обозначим буквой (соответственно число молекул в правой половине сосуда будет равно ). Состояние отдельной молекулы будем характеризовать указанием на то, в какой из половин сосуда она находится. Такое описание состояния газа и состояний отдельных молекул является, конечно, далеко не полным. Однако оно достаточно для того, чтобы выяснить на этом примере характерные особенности статистического поведения любых макросистем.

Начнем со случая, когда полное число молекул равно четырем (рис. 102.1). Каждая молекула с равной вероятностью может находиться как в левой, так и в правой половине сосуда. Поэтому вероятность того, что, скажем, молекула 1 окажется в левой половине сосуда, Р/авна 1/2. Пребывание в левой половине сосуда молекулы 1 и пребывание в той же половине сосуда молекулы 2 являются статистически независимыми событиями. Поэтому вероятность одновременного нахождения в левой части сосуда молекул 1 к 2 равна произведению вероятностей, т. е. . Продолжая эти рассуждения, получим, что вероятность одновременного нахождения в левой половине сосуда всех четырех молекул равна (1/2).

Аналогичные рассуждения дают, что вероятность любого размещения молекул в сосуде (скажем такого, при котором 1-я и 4-я молекулы будут находиться в левой половине сосуда, а 2-я и 3-я — в правой), также равна (1/2). Каждое из размещений представляет собой некоторое микросостояние газа.

Рис. 102.1.

Из сказанного выше следует, что вероятность всех микросостояний одинакова и равна

В табл. 102.1 приведены все мыслимые способы распределения молекул между половинами сосуда (все микросостояния газа). Состояние, характеризуемое тем, что, скажем, в левой части сосуда находится одна молекула (безразлично какая), а в правой части — три молекулы, представляет собой макросостояние.

Таблица 102.1

Из таблицы видно, что такому макросостоянию соответствует 4 микросостояния. Следовательно, статистический вес данного макросостояния равен 4, а вероятность (обычная, а не термодинамическая) равна 4/16. Макросостояпие, при котором в обеих частях сосуда находится одинаковое число молекул, реализуется с помощью шести микросостояний.

Соответственно его статистический вес равен 6, а вероятность (обычная) равна 6/16.

Из рассмотренного примера вытекает, что все микросостояния данной системы равновероятны, вследствие чего статистический вес оказывается пропорциональным вероятности (обычной) макросостояния. Утверждение о равновероятности всех микросостояний лежит в основе статистической физики и носит название эргодической гипотезы.

Согласно табл. 102.1 в случае четырех молекул имеется большая вероятность (равная 1/8) того, что все молекулы соберутся в одной из половин сосуда (левой или правой). Однако с увеличением числа молекул положение существенно меняется.

Найдем число способов (число микросостояний), посредством которых может быть осуществлено макросостояние, характеризуемое тем, что в левой половине сосуда окажется молекул из общего числа их N, а в правой половине — () молекул. Для этого пронумеруем молекулы, приписав им номера от 1 до N. Затем станем отбирать по одной молекуле и помещать их в левую половину сосуда. Первую молекулу можно выбрать N способами, вторую — (N—1) способом, третью — (N—2) способами, наконец, молекулу можно выбрать () способом. Оставшиеся (N—n) молекул поместим в правую половину сосуда.

Из сказанного выше следует, что число способов, с помощью которых можно отобрать случайным образом из общего числа N молекул молекул для левой половины сосуда, равно

Домножив и разделив это число на получим выражение

Однако не все способов приводят к отличающимся друг от друга микросостояниям. Отдельные микросостояния отличаются только совокупностью номеров молекул, отобранных для каждой из половин сосуда, но не последовательностью, в которой эти молекулы отбирались. Например, при получаются выборки

Из них выборки 1—2 и 2—1 отвечают одному и тому же микросостоянию (в левой половине 1-я и 2-я молекулы, в правой — 3-я). То же самое относится к выборкам 1—3 и 3—1, а также 2—3 и 3—2. Таким образом, выборки, отличающиеся только перестановкой номеров молекул, отобранных для левой половины сосуда (таких выборок ), соответствуют одному и тому же микросостоянию.

Следовательно, чтобы получить число микросостояпий, с помощью которых может быть осуществлено макросостояшге нужно разделить число (102.1) на . В результате для статистического веса получается выражение

Легко убедиться в том, что (см. табл. 102.1).

В табл. 102.2 приведены значения Q, вычисленные по формуле (102.2) для случая Полное число способов распределения 24 молекул между двумя половинами сосуда равно 224—16 777 216, и только в двух случаях все молекулы оказываются сосредоточенными в одной из половин сосуда. Вероятность такого события равна примерно . В четырех кубических сантиметрах воздуха содержится около молекул. Вероятность того, что все эти молекулы соберутся в одной из половин сосуда, равна двум, деленным на два в степени что составляет приблизительно . Эта вероятность настолько мала, что практически ее можно считать равной нулю.

Рис. 102.2.

Таблица 102.2

На рис. 102.2 изображен график, показывающий, как меняется число молекул в одной из половин сосуда с течением времени. Это число колеблется около среднего значения, равного .

Случайные отклонения значений какой-либо физической величины х от ее среднего значения называются флуктуациями этой величины. Обозначив флуктуацию через получим, что

(102.3)

Среднее арифметическое величины (102.3) равно нулю. Действительно,

Поэтому в качестве характеристики флуктуаций берут среднюю квадратичную флуктуацию, равную

(102.4)

Более показательна относительная флуктуация величины х, которая определяется отношением

(102.5)

В статистической физике доказывается, что относительная флуктуация аддитивной величины (т. е. такой величины, значение которой для тела равно сумме значений для отдельных его частей) обратно пропорциональна корню квадратному из числа N образующих тело молекул:

(102.6)

Вычислим на основании данных табл. 102.1 относительную флуктуацию числа молекул в левой половине сосуда. Вычисления будем производить по формуле (93.5). В табл. 102.3 приведены значения флуктуаций и их вероятности Р. В соответствии с этими данными

Следовательно, средняя квадратичная флуктуация равна а относительная флуктуация равна 1/2 (среднее значение равно 2). Аналогичные вычисления, произведенные с помощью данных табл. 102.2, дают для средней квадратичной флуктуации значение 2,45, а для относительной флуктуации — значение 0,204. Легко убедиться в том, что

(102.7)

Это соотношение согласуется с формулой (102.6).

Из табл. 102.2 следует, что отклонения от среднего числа молекул (равного 12) не более чем на 2 молекулы осуществляются с вероятностью, равной 0,7, а отклонения не более чем на 3 молекулы — с вероятностью, равной 0,85.

Если бы число молекул могло быть дробным, мы могли бы сказать, что большую часть времени газ находится в таких состояниях, в которых отклонения числа молекул от среднего не превышают среднюю квадратичную флуктуацию, т. е. 2,45.

Составив пропорцию, аналогичную (102.7), для получим относительную флуктуацию числа молекул в левой половине сосуда для случая, когда Эта пропорция имеет вид

откуда Полученный результат означает, что значение числа молекул в одной из половин сосуда претерпевает изменения, в основном не превышающие единицу десятой значащей цифры.

Мы рассмотрели флуктуации числа молекул в одной из половин сосуда. Другие макроскопические характеристики, такие, как давление, плотность газа в разных точках пространства и т. д., также испытывают флуктуации, т. е. отклонения от средних значений.

Таблица 102.3

Равновесным является такое макросостояние системы, которое не имеет тенденции к изменению с течением времени. Ясно, что отсутствие такой тенденции будет сильнее всего выражено у наиболее вероятного из всех макросостояний, мыслимых для данной системы. Вероятность состояния пропорциональна его статистическому весу. Поэтому равновесное состояние можно определить как состояние, статистический вес которого максимален.

Система, находящаяся в равновесном состоянии, время от времени самопроизвольно отклоняется от равновесия. Однако эти отклонения являются незначительными и кратковременными. Подавляющую часть времени система проводит в равновесном состоянии, характеризуемом максимальным статистическим весом.

Статистическая физика вскрывает природу необратимых процессов. Предположим, что вначале газ находился в левой половине сосуда, которая отделялась перегородкой от правой пустой половины. Если убрать перегородку, газ самопроизвольно распространится на весь сосуд. Этот процесс будет необратимым, так как вероятность того, что в результате теплового движения все молекулы соберутся в одной из половин сосуда, как мы видели, практически равна нулю. Следовательно, сам по себе, без воздействия извне, газ не сможет снова сосредоточиться в левой половине сосуда.