Как найти статистическое распределение выборочного среднего

Пусть
для изучения количественного (дискретного
или непрерывного) признака Х из генеральной
совокупности извлечена выборка, причем
значение x₁
наблюдалось n₁
раз, значение x₂
наблюдалось n₂
раз, …, значение x_k
наблюдалось n_k
раз.

Наблюдаемые
значения x_i
(i
= 1, 2, …, n)
признака Х называют вариантами, а
последовательность всех вариант,
записанных в возрастающем порядке, –
вариационным
рядом.
Числа наблюдений n_i
называют частотами,
их сумма
─объем
выборки.
Отношения частот к объему выборки
─относительными
частотами.

Статистическим
распределением выборки
называют перечень вариант x_i
вариационного ряда и соответствующих
им частот n_i
(сумма всех частот равна объему выборки
n)
или относительных частот W_i
(сумма всех относительных частот равна
единице). Статистическое распределение
можно задать также в виде последовательности
интервалов и соответствующих им частот
(в качестве частоты, соответствующей
интервалу, принимают сумму частот,
попавших в этот интервал).

Заметим,
что в теории вероятностей под распределением
понимают соответствие между возможными
значениями случайной величины и их
вероятностями, а в математической
статистике – соответствие между
наблюдаемыми вариантами и их частотами
(или относительными частотами).

Пример.
Задано распределение частот выборки
объема n
= 20:

	2	6	12
	3	10	7

В
данной выборке получены следующие
варианты x₁
= 2; x₂
= 6; x₃
= 12,

соответствующие
частоты n₁
= 3; n₂
= 10; n₃
= 7.

Напишем
распределение относительных частот.

Решение.
Найдем относительные частоты, для чего
разделим частоты на объем выборки
= 3 + 10 + 7 = 20.

─ относительные
частоты:

Напишем распределение
относительных частот:

	2	6	12
	0,15	0,50	0,35

Контроль:
сумма всех относительных частот
равна единице:

.

§14. Эмпирическая функция распределения

Пусть
известно статистическое распределение
частот количественного признака Х.
Введем обозначения:
─
число наблюдений, при которых наблюдалось
значение признака, меньше х; n
– общее число наблюдений (объем выборки).
Ясно, что относительная частота события
Х<х равна
.
Если х изменяется, то, вообще говоря,
изменится и относительная частота, то
есть относительная частотаесть функция от х. Так как эта функция
находится эмпирическим (опытным) путем,
то ее называют эмпирической.

Определение.
Эмпирическая
функция распределения
(функция распределения выборки) –
функция F^*(x),
определяющая для каждого значения х
относительную частоту события X<x.

,

где
─ число вариант, меньших х;n
– объем выборки.

Например,
для того чтобы найти F^*(x₂),
надо число вариант, меньших x₂,
разделить на объем выборки:

.

В
отличие от эмпирической функции
распределения выборки функцию
распределения F(x)
генеральной совокупности называют
теоретической
функцией распределения.
Различие между эмпирической и теоретической
функциями состоит в том, что теоретическая
функция F(x)
определяет вероятность события X<x,
а эмпирическая функция F^*(x)
определяет относительную частоту этого
же события.

Из
теоремы Бернулли следует, что относительная
частота события X<x,
то есть F^*(x),
стремится по вероятности к вероятности
этого события, то есть к значению F(x).
Другими словами, при больших значениях
n
числа F^*(x)
и F(x)
мало отличаются одно от другого в том
смысле, что
.
Уже отсюда следует целесообразность
использования эмпирической функции
распределения выборки для приближенного
представления теоретической (интегральной)
функции распределения генеральной
совокупности. Такое заключение
подтверждается и тем, что F^*(x)
обладает всеми свойствами F(x).

Из
определения функции F^*(x)
вытекают следующие ее свойства:

1. Значения
   эмпирической функции принадлежит
   отрезку [0; 1];

2. F^*(x)
   – неубывающая функция;

3. Если
   x₁
   ─ наименьшая варианта, то F^*(x)
   = 0 при х < х₁;

если
х_k
─ наибольшая варианта, то F^*(x)
= 1 при х > x_k.

Итак,
эмпирическая функция распределения
выборки служит для оценки теоретической
функции распределения генеральной
совокупности.

Пример.
Построить эмпирическую функцию по
данному распределению выборки:

Варианты	2	6	10
Частоты	12	18	30

Решение.
Найдем объем выборки (сумма всех частот
n_i):

n
= n₁
+ n₁
+ n₁
= 12 + 18 + 30 = 60.

Наименьшая
варианта равна 2 (x₁
= 2), следовательно, F^*(x)
= 0 при х ≤ 2 (по свойству 3 функции F^*(x));

значения,
меньшие 6 (х<6), а именно x₁
= 2, наблюдались n₁
= 12 раз, следовательно,
при 2<x≤6;

значения
х<10, а именно x₁
= 2, x₁
= 2 наблюдались n₁
+ n₂
= 12 + 18 = 30 раз, следовательно
при 6<х≤10.

Так
как х =10 – наибольшая варианта, то F^*(x)
= 1 при х>10 (по свойству 4 функции F^*(x)).

Искомая
эмпирическая функция имеет вид:

Ниже приведен график
полученной эмпирической функции.

На графике на
соответствующих осях откладывают
значения функции F^*(x)
и интервалы вариант

Рис.
5. График эмпирической функции.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

1. выборочное среднее;
2. выборочную дисперсию;;
3. подправленную дисперсию;
4. выборочное среднее квадратичное отклонение;
5. подправленное среднее квадратичное отклонение;
6. размах выборки;
7. медиану;
8. моду;
9. квантильное отклонение;
10. коэффициент вариации;
11. коэффициент асимметрии;
12. эксцесс для выборки:

Выборка задана рядом 11, 9, 8, 7, 8, 11, 10, 9, 12, 7, 6, 11, 8, 7, 10, 9, 11, 8, 13, 8.

Решение:
Запишем выборку в виде вариационного ряда (в порядке возрастания):
6; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 10; 10; 11; 11; 11; 11; 12; 13.
Далее записываем статистическое распределение выборки в виде дискретного статистического распределения частот:

Эмпирическую функцию распределения определим по формуле

Здесь n_x – количество элементов выборки которые меньше х. Используя таблицу и учитывая что объем выборки равен n = 20, запишем эмпирическую функцию распределения:

Далее вычислим числовые характеристики статистического распределения выборки.
Выборочное среднее вычисляем по формуле

Выборочную дисперсию находим по формуле


Выборочное среднее, что фигурирует в формуле дисперсии в квадрате найдено выше. Остается все подставить в формулу

Подправленную дисперсию вычисляем согласно формулы

Выборочное среднее квадратичное отклонение вычисляем по формуле

Подправленное среднее квадратичное отклонение вычисляем как корень из подправленной дисперсии

Размах выборки вычисляем как разность между наибольшим и наименьшим значениями вариант, то есть:

Медиану находим по 2 формулам:
если число n – четное;
если число n – нечетное.
Здесь берем индексы в x_i согласно нумерации варианта в вариационном ряду.
В нашем случае n = 20, поэтому

Мода – это варианта которая в вариационном ряду случается чаще всего, то есть

Квантильное отклонение находят по формуле

где – первый квантиль, – третий квантиль.
Квантили получаем при разбивке вариационного ряда на 4 равные части.
Для заданного статистического распределения квантильное отклонения примет значение

Коэффициент вариации равный процентному отношению подправленного среднего квадратичного к выборочному среднему

Коэффициент асимметрии находим по формуле

Здесь центральный эмпирический момент 3-го порядка,

Подставляем в формулу коэффициента асимметрии

Эксцессом статистического распределения выборки называется число, которое вычисляют по формуле:

Здесь m₄ центральный эмпирический момент 4-го порядка. Находим момент

а далее эксцесс
Теперь Вы имеете все необходимые формулы чтобы найти числовые характеристики статистического распределения. Как найти моду, медиану и дисперсию должен знать каждый студент, который изучает теорию вероятностей.

Готовые решения по теории вероятностей

• Следующая статья – Построение уравнения прямой регрессии Y на X

Ранее мы рассматривали пример анализа, где аналитик оценивал средние планируемые капитальные затраты клиентов на телекоммуникационное оборудование.

Если предположить, что выборка репрезентативна для совокупности, то как аналитик может оценить ошибку выборки при расчете среднего значения по совокупности?

Рассматриваемое как формула, которая использует функцию случайных исходов случайной величины, выборочное среднее само по себе является случайной величиной с распределением вероятностей. Это распределение вероятностей называется выборочным распределением статистики (англ. ‘sampling distribution’).

Для того, чтобы оценить, насколько близко выборочное среднее к среднему по совокупности, аналитик должен понимать распределение выборочного среднего. К счастью, у нас есть для этого инструмент, – центральная предельная теорема, которая помогает нам понять распределение выборочного среднего для многих задач оценивания, с которыми мы сталкиваемся.

Центральная предельная теорема.

Центральная предельная теорема – одна из наиболее практически полезных теорем теории вероятностей. Она имеет важное значение для того, как мы строим доверительные интервалы и проверяем статистические гипотезы.

Формально она формулируется следующим образом:

Для данной генеральной совокупности, описанной любым распределением вероятностей, имеющим среднее ( mu ) и конечную дисперсию ( sigma^2 ), распределение выборочного среднего ( overline X), вычисленное по выборке размера (n) из этой совокупности будет приблизительно нормальным со средним ( mu ) (среднее значение совокупности) и дисперсией ( sigma^2 / n ) (дисперсия совокупности деленная на n), при большом размере выборки (n).

Центральная предельная теорема позволяет сделать довольно точные вероятностные утверждения о среднем значении совокупности на основе выборочного среднего, независимо от размера распределения совокупности (так как оно имеет конечную дисперсию), потому что выборочное среднее приблизительно соответствует нормальному распределению для выборок большого размера.

Тут сразу возникает очевидный вопрос:

«Какой размер выборки можно считать достаточно большим, чтобы мы могли считать, что выборочное среднее соответствует нормальному распределению?»

В целом, если размер выборки ( n ) больше или равен 30, то можно считать, что выборочное среднее приблизительно нормально распределено.

Если генеральная совокупность сильно отличается от нормального распределения, то чтобы получить нормальное распределение, хорошо описывающее распределение выборочного среднего, необходим размер выборки намного больше 30.

Центральная предельная теорема утверждает, что дисперсия распределения выборочного среднего равна ( sigma^2 / n ). Положительный квадратный корень из дисперсии является стандартным отклонением.

Стандартное отклонение выборочной статистики также называют стандартной ошибкой статистики (англ. ‘standard error’).

Стандартная ошибка выборочного среднего является важной величиной в применении центральной предельной теоремы на практике.

Определение стандартной ошибки среднего значения выборки.

Для среднего значения выборки ( overline X) рассчитанного на основе выборки из совокупности со стандартным отклонением ( sigma ), стандартная ошибка среднего значения выборки определяется одним из двух выражений:

( Large dst sigma_{overline X} = {sigma over sqrt n} ) (Формула 1)

когда мы знаем стандартное отклонение совокупности ( sigma ), или

(  Large dst s_{overline X} = {s over sqrt n} ) (Формула 2)

когда нам не известно стандартное отклонение совокупности и необходимо использовать стандартное отклонение выборки (s), чтобы оценить его.

На практике, нам почти всегда приходится использовать Формулу 2. Стандартное отклонение выборки (s) можно рассчитать, найдя квадратный корень из дисперсии выборки (s^2), которая рассчитывается следующим образом:

( Large dst
s^2 = {dsum_{i=1}^{n} big ( X_i – overline {X} big )^2 over n-1  }  )  (Формула 3)

Мы скоро увидим, как мы можем использовать среднее значение выборки и его стандартную ошибку, чтобы сделать вероятностные утверждения о среднем значении совокупности, используя технику доверительных интервалов.

Но сначала мы проиллюстрируем всю силу центральной предельной теоремы.

Пример (3) применения центральной предельной теоремы.

Примечательно, что выборочное среднее для выборок больших размеров будет распределяться нормально, независимо от распределения генеральной совокупности.

Чтобы проиллюстрировать центральную предельную теорему в действии, мы используем в этом примере явное ненормальное распределение и используем его для создания большого количества случайных выборок размером 100.

Затем мы рассчитываем выборочное среднее для каждой выборки. Частотное распределение рассчитываемых выборочных средних является приближением распределения выборочного среднего для данного размера выборки.

---

Выглядит ли выборочное распределение как нормальное распределение?

Вернемся к примеру с аналитиком, изучающим планы капитальных затрат клиентов на покупку телекоммуникационного оборудования.

Предположим, что капитальные затраты на оборудование образуют непрерывную равномерную случайную величину с нижним пределом равным $0, и верхним пределом, равным $100. Для краткости, обозначим эту равномерную случайную величину как (0, 100).

Функция вероятности этой непрерывной равномерной случайной величины имеет довольно простую форму, не соответствующую нормальному распределению. Это горизонтальная линия с пересечением на вертикальной оси в точке 1/100. В отличии от нормальной случайной величины, для которой близкие к среднему исходы были бы наиболее вероятны, для равномерной случайной величины все возможные исходы равновероятны.

Чтобы проиллюстрировать силу центральной предельной теоремы, мы проводим моделирование методом Монте-Карло для изучения планируемых капитальных расходов на телекоммуникационное оборудование.

В этом моделировании мы делаем 200 случайных выборок капитальных затрат 100 компаний (200 сгенерированных случайных исходов, каждый из которых состоит из капитальных затрат 100 компаний при (n = 100 )).

В каждом испытании моделирования, 100 значений капитальных затрат генерируются из равномерного распределения (0, 100). Для каждой случайной выборки, мы вычисляем выборочное среднее. Всего мы проводим 200 имитационных испытаний.

Поскольку мы определили распределение, генерирующее выборки, мы знаем, что средние капитальные затраты генеральной совокупности равны  ($0 + $100 млн.)/2 = $50 млн.; дисперсия капитальных затрат совокупности равна ( (100 – 0)^2/12 = 833.33 ).

Таким образом, стандартное отклонение составляет $28.87 млн. ​​и стандартная ошибка равна ( 28.87 Big / sqrt {100} = 2.887 ) в соответствии с центральной предельной теоремой.

Результаты этого моделирования методом Монте-Карло приведены в Таблице 2 в виде частотного распределения. Это распределение является рассчитанным выборочным распределением среднего значения.

Таблица 2. Частотное распространение:
200 случайных выборок
равномерной случайной величины (0,100).

Диапазон выборки средних значений ($ млн.)	Абсолютная частота
42.5 (leq overline X <) 44	1
44 (leq overline X <) 45.5	6
45.5 (leq overline X <)47	22
47 (leq overline X <) 48.5	39
48.5 (leq overline X <) 50	41
50 (leq overline X <) 51.5	39
51.5 (leq overline X <) 53	23
53 (leq overline X <) 54.5	12
54.5 (leq overline X <) 56	12
56 (leq overline X <) 57.5	5

Примечание: ( overline X ) представляет собой средние капитальные затраты для каждой выборки.

---

Полученное распределение частот можно описать как колоколообразное, с центром, расположенным близко к среднему значению совокупности: 50. Наиболее частый или модальный диапазон, с 41 наблюдениями: от 48.5 до 50.

Общее среднее выборочных средних составляет $49.92, со стандартной ошибкой, равной $2.80. Рассчитанная стандартная ошибка близка к значению 2.887, заданному центральной предельной теоремой.

Расхождение между вычисленными и ожидаемыми значениями среднего и стандартного отклонения, полученными в соответствии с центральной предельной теоремой, является результатом случайности (ошибка выборки).

Таким образом, хотя распределение совокупности очень не нормальное, моделирование показало, что нормальное распределение хорошо описывает рассчитанное распределение выборочного среднего. При этом среднее и стандартная ошибка приближительно равны значениям, предсказанным с помощью центральной предельной теоремы.

---

Итак, в соответствии с центральной предельной теоремой, когда мы делаем выборку из любого распределения, распределение выборочного среднего будет иметь следующие свойства, если размер нашей выборки достаточно велик:

• Распределение выборочного среднего ( overline X) будет приблизительно соответствовать нормальному распределению.
• Среднее значение распределения ( overline X) будет равно среднему значению генеральной совокупности, из которой сделана выборка.
• Дисперсия распределения ( overline X) будет равна дисперсии совокупности, деленной на размер выборки.

Далее мы обсудим концепции и инструменты, связанные с оценкой параметров совокупности, с особым акцентом на среднее значение совокупности.

Мы фокусируем внимание на среднем значении совокупности, потому что интервальные оценки среднего значения совокупности интересуют финансовых аналитиков, как правило, больше, чем любой другой тип интервальных оценок.

Макеты страниц