Логарифмы степени числа — свойства с примерами, как решать задачи
Содержание:
- Что такое логарифм степени числа и как его посчитать
- Основные свойства логарифмов
- Примеры логарифмов с решением, пояснения
- Задачи для самостоятельной работы
Что такое логарифм степени числа и как его посчитать
Логарифм по основанию а от b представляет собой число t, демонстрирующее степень, в которую требуется возвести а для получения в результате b:
(Large{{log_a{b}=tquadLeftrightarrowquad a^t=b }})
Здесь a>0, b отлично от нуля и является положительным.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
По той причине, что степень может иметь любое значение без какого-либо предела, имеем:
(tin mathbb{R})
В результате получается вывести главное логарифмическое тождество.
Основное логарифмическое тождество является соотношением, записанным в виде:
(Large{a^{log_ab}=b})
Исходя из рассмотренных закономерностей, справедливы следующие соотношения:
({large{begin{array}{|ll|l|} hline qquad qquad qquad qquad {small{text{Формулы}}} && qquad qquad{small{text{Ограничения}}}\ &&\ hline textbf{(1)} log_a1=0&&a>0, ane 1\ &&\ textbf{(2)} log_aa=1 &&a>0, ane 1\ &&\ textbf{(3)} log_{a}{b^m}=mlog_a|b|&(m – {small{text{четн.}}})&a>0, ane 1, bne 0\ &&\ textbf{(4)}log_{a}{b^m}=mlog_ab& (m – {small{text{нечетн.}}})&a>0, ane 1, b>0\ &&\ textbf{(5)} log_{a^n}{b}=frac 1nlog_{|a|}b&(n – {small{text{четн.}}})&ane 0, ane 1, b>0\ &&\ textbf{(6)}log_{a^n}b=frac1nlog_ab&(n – {small{text{нечетн.}}})&a>0, ane 1, b>0\ &&\ textbf{(7)} log_a{bc}=log_a|b|+log_a|c|&&a>0, ane 1, bcne 0\ &&\ textbf{(8)} log_a{dfrac bc}=log_a|b|-log_a|c|&&a>0, ane 1,bcne 0 \ &&\ textbf{(9)} a^{log_ab}=b &&a>0, ane 1, b>0\ &&\ textbf{(10)}c^{log_ab}=b^{log_ac}&&a>0, ane 1, b>0, c>0\ &&\ textbf{(11)} log_abcdot log_bc=log_ac && a>0, ane 1,b>0, bne 1, c>0\ &&\ textbf{(11′}) log_bc=dfrac{log_ac}{log_ab}&&a>0, ane 1,b>0, bne 1, c>0\ &&\ &&\ {small{text{ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:}}}&& \ textbf{(12)} log_abcdot log_ba=1 && a>0, ane 1, b>0, bne 1\ &&\ textbf{(12′}) log_ab=dfrac1{log_ba}&&a>0, ane 1, b>0, bne 1\ &&\ hline end{array}}})
Если все условия, связанные с ограничениями, выполняются, то эти формулы справедливы в прямом и обратном направлениях.
Логарифм степени какого-либо числа представляет собой результат умножения логарифма модуля основания данной степени и показателя этой степени:
(log_{a}x^r=r cdot log_{a}|x|)
В данном случае (x^r,a > 0), (a ne 1).
Разберем наглядный пример такой взаимосвязи. Предположим, что имеется некое выражение, значение которого требуется определить:
(log_{5}frac{1}{125}+log_{11}121)
Рассмотрим выражение, записанное под знаком логарифма, и решим, что с ним делать. Заметим, что его можно переписать как основание логарифма в степени. Воспользуемся свойством логарифма степени, изученным ранее, и выполним преобразования:
(log_{5}frac{1}{125}+log_{11}121=log_{5}5^{-3}+log_{11}11^2=-3log_{5}5+2log_{11}11)
Известно, что:
(log_{a}a=1)
Доведем вычисления до конца:
(log_{5}frac{1}{125}+log_{11}121=log_{5}5^{-3}+log_{11}11^2=-3log_{5}5+2log_{11}11=-3+2=-1)
Ответ: (log_{5} frac{1}{125}+log_{11}121=-1.)
В процессе решения задач в разных главах разделов тригонометрии может потребоваться обратный перевод определения логарифма степени числа. Заметим, что оно также является справедливым.
Коэффициент, записанный перед знаком логарифма, допустимо заносить в степень выражения, находящегося под знаком логарифма:
(s log_{a}x=log_{a}x^s)
Здесь a и b > 0, a≠1.
Рассмотрим наглядный пример. Пусть дано выражение, которое требуется упростить:
(6 log_{13}x^2-log_{13}x^7)
Воспользуемся логарифмическим свойством, чтобы записать степень за знаком логарифма:
(6 log_{13}x^2-log_{13}x^7=6 cdot 2 log_{13}x-7 log_{13}x=12 log_{13}x-7 log_{13}x=5 log_{13}x)
Если под логарифмический знак записать коэффициент в виде числа 5, то получим:
(6 log_{13}x^2-log_{13}x^7=6 cdot 2 log_{13}x-7 log_{13}x=12 log_{13}x-7 log_{13}x=5 log_{13}x=log_{13}x^5.)
Основные свойства логарифмов
При решении задач на логарифмы, в том числе, для вычисления логарифма степени числа и поиск натуральных корней, полезно знать несколько свойств. Благодаря несложным закономерностям, можно сделать проще даже самое сложное выражение.
1. Рассмотрим свойство степени аргумента, записанное в виде уравнения:
({{log }_{a}}{{a}^{x}}=x)
Докажем, что записанное соотношение справедливо. Предположим, что:
({{log }_{a}}b=x)
В таком случае:
({{a}^{x}}=b)
В результате получим:
(frac{{{log }_{c}}b}{{{log }_{c}}a}=frac{{{log }_{c}}{{a}^{x}}}{{{log }_{c}}a}=frac{x{{log }_{c}}a}{{{log }_{c}}a}=x={{log }_{a}}b)
Данное свойство доказано.
2. Следующее свойство суммы логарифмов состоит в том, что при сложении логарифмов, имеющих одинаковые основания, получается в результате логарифм произведения:
({{log }_{a}}b+{{log }_{a}}c={{log }_{a}}left( bcdot c right))
Начнем доказательство со следующего предположения:
({{log }_{a}}b=x)
В таком случае:
({{a}^{x}}=b)
Представим, что:
({{log }_{a}}c=y)
В таком случае:
({{a}^{y}}=c)
В результате получим, что:
({{log }_{a}}left( bcdot c right)={{log }_{a}}left( {{a}^{x}}cdot {{a}^{y}} right)={{log }_{a}}{{a}^{x+y}}underset{text{по правилу 1}}{mathop{=}},x+y={{log }_{a}}b+lo{{g}_{a}}c)
Свойство суммы логарифмов доказано.
3. Свойство разности логарифмов звучит так: разность двух логарифмов, имеющих идентичные основания, равна логарифму частного. Это утверждение можно выразить формулой:
(lo{{g}_{a}}b-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c})
Доказательство данного свойства аналогично сумме логарифмов. Предположим, что:
({{log }_{a}}b=x)
В таком случае:
({{a}^{x}}=b)
Представим, что:
({{log }_{a}}c=y)
В таком случае:
({{a}^{y}}=c)
В результате получим, что:
({{log }_{a}}left( frac{b}{c} right)={{log }_{a}}left( frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}} right)={{log }_{a}}{{a}^{x-y}}=x-y={{log }_{a}}b-{{log }_{a}}c)
({{log }_{a}}b-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}left( frac{b}{c}cdot c right)-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c}+{{log }_{a}}c-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c}.)
4. Следующее свойство призвано упростить вынесение показателя степени из аргумента логарифма. Оно состоит в следующем: при наличии в аргументе логарифма степени ее показатель допустимо выносить за знак логарифма. Справедливым является следующее соотношение:
({{log }_{a}}{{b}^{n}}=ncdot {{log }_{a}}b)
Доказать данное утверждение можно с помощью определения логарифма. Представим, что:
({{log }_{a}}b=x)
В таком случае:
({{a}^{x}}=b)
Получим, что:
({{log }_{a}}{{b}^{n}}={{log }_{a}}{{left( {{a}^{x}} right)}^{n}}={{log }_{a}}{{a}^{nx}}=nx=ncdot {{log }_{a}}b)
Утверждение доказано. Также существует другой вариант записи свойства:
({{log }_{a}}{{b}^{n}}={{log }_{a}}left( underbrace{bcdot bcdot …cdot b}_{ntext{ раз}} right)text{ }underset{text{правило} text{2}}{mathop{=}},text{ }underbrace{{{log }_{a}}b+lo{{g}_{a}}b+…+{{log }_{a}}b}_{ntext{ раз}}=ncdot {{log }_{a}}b.)
Таким образом, степень аргумента допустимо записывать перед логарифмом в виде коэффициента.
5. Следующее свойство позволит выносить показатель степени из основания логарифма. Такое действие реализуемо, так как при наличии в основании логарифма степени ее показатель допустимо выносить за знак логарифма:
({{log }_{{{a}^{n}}}}b=frac{1}{n}cdot {{log }_{a}}b)
Докажем записанное соотношение, предположив, что:
({{log }_{a}}b=x), тогда (displaystyle {{a}^{x}}=b)
В таком случае:
({{log }_{{{a}^{n}}}}b={{log }_{{{a}^{n}}}}{{a}^{x}}={{log }_{{{a}^{n}}}}{{a}^{frac{xcdot n}{n}}}={{log }_{{{a}^{n}}}}{{left( {{a}^{n}} right)}^{frac{x}{n}}}=frac{x}{n}=frac{1}{n}cdot {{log }_{a}}b.)
Свойство доказано. Здесь следует отметить, что степень можно вынести из основания в виде обратного числа.
6. Существует свойство, позволяющее выносить показатель степени из основания и аргумента логарифма. Свойство заключается в следующем: при наличии степеней в основании и аргументе логарифма их показатели допустимо выносить за знак логарифма, то есть:
({{log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{m}}=frac{m}{n}cdot {{log }_{a}}b)
В том случае, когда степени не отличаются друг от друга, применимо следующее правило:
({{log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{n}}={{log }_{a}}b.)
7. Другое свойство логарифма оговаривает процесс перехода к новому основанию. В том случае, когда логарифмы обладают разными основаниями, целесообразно при решении задачи перейти к логарифмам, имеющим одинаковое основание:
({{log }_{a}}b=frac{{{log }_{c}}b}{{{log }_{c}}a}text{ }left( c>0;text{ }ne text{1} right))
Здесь доказательство свойства построено на следующем предположении:
({{log }_{a}}b=x,) тогда (displaystyle {{a}^{x}}=b)
В таком случае:
(frac{{{log }_{c}}b}{{{log }_{c}}a}=frac{{{log }_{c}}{{a}^{x}}}{{{log }_{c}}a}=frac{x{{log }_{c}}a}{{{log }_{c}}a}=x={{log }_{a}}b.)
8. В большинстве случаев при решении заданий на логарифмы используют свойство смены мест основания и аргумента логарифма. Допустимо переставлять основание и аргумент логарифма. При этом следует «перевернуть» все выражение, то есть записать логарифм в знаменатель:
({{log }_{a}}b=frac{1}{{{log }_{b}}a},text{ }left( bne 1 right))
Данное свойство является частным случаем записанного ранее правила. При подстановке c=b получается, что:
({{log }_{a}}b=frac{{{log }_{b}}b}{{{log }_{b}}a}=frac{1}{{{log }_{b}}a}.)
Примеры логарифмов с решением, пояснения
Задача 1
Дано выражение, значение которого требуется определить:
(log _{2} frac{1}{8}+log _{5} 25)
Решение
Данное выражение можно преобразовать. Для этого следует вспомнить свойство логарифма степени. С его помощью нужно вынести имеющиеся степени за знак логарифма. Далее пригодится следующее соотношение:
(log _{a} a=1.)
Выполним вычисления:
(log _{2} frac{1}{8}+log _{5} 25=log _{2} 2^{-3}+log _{5} 5^{2}=-3 cdot log _{2} 2+2 cdot log _{5} 5=-3+2=-1)
Ответ: ( log _{2} frac{1}{8}+log _{5} 25=-1)
Требуется упростить следующее выражение:
(2 log _{7} 4-log _{7} 8)
Решение
Данное выражение можно упростить. Перепишем его с помощью свойства логарифма степени. В процессе следует записать число 2 под знак логарифма. Затем удобно применить свойство разности логарифмов. Выполним вычисления:
(2 log _{7} 4-log _{7} 8=log _{7} 4^{2}-log _{7} 8=log _{7} 16-log _{7} 8=log _{7} frac{16}{8}=log _{7} 2)
Ответ: (2 log _{7} 4-log _{7} 8=log _{7} 2)Задача 2
Задача 3
Дано выражение, значение которого необходимо вычислить:
(lo{{g}_{5}}250-{{log }_{5}}2)
Решение
Воспользуемся свойствами логарифма и выполним вычисления:
({{log }_{5}}250={{log }_{5}}left( 125cdot 2 right)={{log }_{5}}left( {{5}^{3}}cdot 2 right)={{log }_{5}}{{5}^{3}}+{{log }_{5}}2=3+{{log }_{5}}2)
Заметим, что:
({{log }_{5}}250-{{log }_{5}}2=3+{{log }_{5}}2-{{log }_{5}}2=3)
Ответ: 3.
Задача 4
Нужно упростить следующее выражение:
(log _{2}^{2}2sqrt{3}-log _{2}^{2}sqrt{3}-{{log }_{2}}3)
Решение
Воспользуемся формулами сокращенного умножения, а именно — разностью квадратов:
(log _{2}^{2}2sqrt{3}-log _{2}^{2}sqrt{3}=left( {{log }_{2}}2sqrt{3}-{{log }_{2}}sqrt{3} right)left( {{log }_{2}}2sqrt{3}+{{log }_{2}}sqrt{3} right).)
Тогда, согласно свойствам логарифма:
(log _{2}^{2}2sqrt{3}-log _{2}^{2}sqrt{3}-{{log }_{2}}3= left( {{log }_{2}}2sqrt{3}-{{log }_{2}}sqrt{3} right)left( {{log }_{2}}2sqrt{3}+{{log }_{2}}sqrt{3} right)-{{log }_{2}}3={{log }_{2}}frac{2sqrt{3}}{sqrt{3}}cdot {{log }_{2}}left( 2sqrt{3}cdot sqrt{3} right)-{{log }_{2}}3={{log }_{2}}2cdot {{log }_{2}}left( 2cdot 3 right)-{{log }_{2}}3=1cdot left( 1+{{log }_{2}}3 right)-{{log }_{2}}3=1)
Ответ: 1.
Задача 5
Необходимо определить значение следующего выражения:
(frac{{{log }_{2}}25}{{{log }_{2}}5})
Решение
Воспользуемся свойствами логарифма и запишем вычисления:
(frac{{{log }_{2}}25}{{{log }_{2}}5}=frac{{{log }_{2}}{{5}^{2}}}{{{log }_{2}}5}=frac{2{{log }_{2}}5}{{{log }_{2}}5}=2)
Ответ: 2.
Задачи для самостоятельной работы
Задача 6
Даны выражения, которые нужно упростить, используя свойства логарифма:
({{log }_{3}}4-{{log }_{3}}12)
({{log }_{0,3}}3-{{log }_{0,3}}10)
({{log }_{1,75}}28+{{log }_{1,75}}2-{{log }_{1,75}}32)
(lg sqrt{0,05}-lg sqrt{5})
({{lg }^{2}}2sqrt{5}-{{lg }^{2}}5sqrt{2}-frac{3}{2}lg sqrt{frac{2}{5}})
Задача 7
Требуется найти значения для следующих выражений:
(displaystyle frac{{{log }_{2}}81}{{{log }_{2}}3})
(displaystyle frac{{{log }_{3}}125}{{{log }_{3}}625})
(displaystyle frac{log _{5}^{2}25sqrt{10}-log _{5}^{2}sqrt{10}}{{{log }_{5}}250})
Задача 8
Нужно определить значения записанных ниже выражений:
({{log }_{5}}75+{{log }_{5}}frac{1}{3})
({{log }_{3}}36-2{{log }_{3}}2)
({{log }_{8sqrt[5]{4}}}left( 32sqrt[5]{2} right))
(frac{log _{5}^{2}25sqrt{10}-log _{5}^{2}sqrt{10}}{{{log }_{5}}250})
Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.
Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.
Логарифм от числа 32 по основанию 2 ((log_{2}(32))) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:
$$ log_{2}(32)=5;$$
Аналогично, глядя в таблицу получим, что:
$$log_{2}(4)=2;$$
$$log_{2}(8)=3;$$
$$log_{2}(16)=4;$$
$$log_{2}(64)=6;$$
$$log_{2}(128)=7.$$
Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0 и неравных 1. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.
Теперь дадим определение логарифма в общем виде:
Логарифмом положительного числа (b) по основанию положительно числа (a) называется степень (c), в которую нужно возвести число (a), чтобы получить (b)
$$log_{a}(b)=c;$$
$$a^{c}=b.$$
Будьте внимательны! В первое время обычно путают, что такое основание и то, что стоит под логарифмом (аргумент). Логарифм – это всегда функция, зависящая от двух переменных. Чтобы их не путать, помните определение логарифма – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.
Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:
$$log_{2}(5)=???$$
Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:
$$log_{2}(5)=2,32192809…$$
Или логарифм шести по основанию 4:
$$log_{4}(6)= 1.2924812…$$
На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!
Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм (log_{4}(6)). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6-ке:
$$ log_{4}(4) lt log_{4}(6) lt log_{4}(16);$$
$$ 1 lt log_{4}(6) lt 2. $$
Значит (log_{4}(6)) принадлежите промежутку от 1 до 2:
$$ log_{4}(6) in (1;2). $$
Как посчитать логарифм
Перед тем, как научиться считать логарифмы, нужно ввести несколько ограничений. Дело в том, что функция логарифма (log_{a}(b)) существует только при положительных значениях основания (a) и аргумента (b). И кроме этого на основание накладывается условие, что оно не должно быть равно (1).
$$ log_{a}(b) quad существует,;при quad a gt 0; ;b gt 0 ;a neq 1.$$
Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть (0). А основание не равно (1), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь (1) в любой степени это будет (1).
При этих ограничениях логарифм существует.
В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.
Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.
$$log_{3}(frac{1}{3})=-1;$$
Так как (вспоминайте определение отрицательной степени)
$$3^{-1}=frac{1}{3};$$
Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:
- Во-первых, постарайтесь представить основание и аргумент (то, что стоит под логарифмом) в виде степеней с одинаковым основанием. Параллельно с этим избавляемся от всех десятичных дробей – переводим их в обыкновенные.
- Разобраться в какую степень (x) нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Когда у вас там и там степени с одинаковым основанием, это сделать довольно просто.
- (x) и будет искомым значением логарифма.
Давайте разберем на примерах.
Пример 1. Посчитать логарифм (9) по основанию (3): (log_{3}(9))
- Сначала представим аргумент и основание в виде степени тройки:
$$ 3=3^1, qquad 9=3^2;$$ - Теперь надо разобраться в какую степень (x) нужно возвести (3^1), чтобы получить (3^2)
$$ (3^1)^x=3^2, $$
$$ 3^{1*x}=3^2, $$
$$ 1*x=2,$$
$$ x=2.$$ - Вот мы и решили:
$$log_{3}(9)=2.$$
Пример 2. Вычислить логарифм (frac{1}{125}) по основанию (5): (log_{5}(frac{1}{125}))
- Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
$$ 5=5^1, qquad frac{1}{125}=frac{1}{5^3}=5^{-3};$$ - В какую степень (x) надо возвести (5^1), чтобы получить (5^{-3}):
$$ (5^1)^x=5^{-3}, $$
$$ 5^{1*x}=5^{-3},$$
$$1*x=-3,$$
$$x=-3.$$ - Получили ответ:
$$ log_{5}(frac{1}{125})=-3.$$
Пример 3. Вычислить логарифм (4) по основанию (64): (log_{64}(4))
- Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
$$ 64=2^6, qquad 4=2^2;$$ - В какую степень (x) надо возвести (2^6), чтобы получить (2^{2}):
$$ (2^6)^x=2^{2}, $$
$$ 2^{6*x}=2^{2},$$
$$6*x=2,$$
$$x=frac{2}{6}=frac{1}{3}.$$ - Получили ответ:
$$ log_{64}(4)=frac{1}{3}.$$
Пример 4. Вычислить логарифм (1) по основанию (8): (log_{8}(1))
- Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
$$ 8=2^3 qquad 1=2^0;$$ - В какую степень (x) надо возвести (2^3), чтобы получить (2^{0}):
$$ (2^3)^x=2^{0}, $$
$$ 2^{3*x}=2^{0},$$
$$3*x=0,$$
$$x=frac{0}{3}=0.$$ - Получили ответ:
$$ log_{8}(1)=0.$$
Пример 5. Вычислить логарифм (15) по основанию (5): (log_{5}(15))
- Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
$$ 5=5^1 qquad 15= ???;$$
(15) в виде степени пятерки не представляется, поэтому этот логарифм мы не можем посчитать. У него значение будет иррациональное. Оставляем так, как есть:
$$ log_{5}(15).$$
Внимание!
Как понять, что некоторое число (a) не будет являться степенью другого числа (b). Это довольно просто – нужно разложить (a) на простые множители.
$$16=2*2*2*2=2^4,$$
(16) разложили, как произведение четырех двоек, значит (16) будет степенью двойки.
$$ 48=6*8=3*2*2*2*2,$$
Разложив (48) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя (2) и (3), значит (48) не будет степенью.
Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.
Десятичный логарифм
На самом деле, все просто. Десятичный логарифм – это любой обыкновенный логарифм, но с основанием 10. Обозначается – (lg(a)).
Пример 6
$$ log_{10}(100)= lg(100)=2;$$
$$log_{10}(1000)=lg(1000)=3;$$
$$log_{10}(10)=lg(10)=1.$$
Натуральный логарифм
Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию (e). Обозначение – (ln(x)). Что такое (e)? Так обозначают экспоненту, число-константу, равную, примерно, (2,718281828459…). Это число известно тем, что используется в многих математических законах. Просто запомните, что логарифмы с основанием (e) часто встречаются, и поэтому им придумали специальное название – натуральный логарифм.
Пример 7
$$ log_{e}(e^2)=ln(e^2)=2;$$
$$ log_{e}(e)=ln(e)=1;$$
$$ log_{e}(e^5)=ln(e^5)=5.$$
Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.
У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.
Свойства логарифмов
$$1. ; log_{a}(1)=0;$$
$$2. ; log_{a}(a)=1;$$
$$3. ; log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+ log_{a}(c);$$
$$4. ; log_{a}(frac{b}{c})= log_{a}(b)- log_{a}(c);$$
$$5. ; log_{a}(b^m)= m*log_{a}(b);$$
$$6. ; log_{a^m}(b)=frac{1}{m}* log_{a}(b);$$
$$ 7. ; log_{a}(b)=frac{ log_{c}(b)}{ log_{c}(a)}, ; b gt 0; ; c gt 0; ; c neq 1; $$
$$ 8. ; log_{a}(b)=frac{1}{log_{b}(a)};$$
$$ 9. ; a^{ log_{a}(b)}=b.$$
Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.
Пример 8. Воспользоваться формулой (3). Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.
$$log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+ log_{a}(c);$$
$$ log_{3}(12)=log_{3}(3*4)=log_{3}(3)+log_{3}(4)=1+log_{3}(4);$$
$$ log_{3}(2.7)+log_{3}(10)=log_{3}(2.7*10)=log_{3}(27)=3;$$
Пример 9. Воспользоваться формулой (4). Логарифм от частного – это разность логарифмов.
$$ log_{a}(frac{b}{c})= log_{a}(b)- log_{a}(c);$$
$$ log_{7}(98)-log_{7}(2)=log_{7}(frac{98}{2})=log_{7}(49)=2;$$
Пример 10. Формула (5,6). Свойства степени.
$$log_{a}(b^m)= m*log_{a}(b);$$
$$log_{a^m}(b)=frac{1}{m}* log_{a}(b);$$
Логично, что будет выполняться и такое соотношение:
$$log_{a^m}(b^n)=frac{n}{m}* log_{a}(b);$$
И если (m=n), то:
$$log_{a^m}(b^m)=frac{m}{m}* log_{a}(b);=log_{a}(b)$$
$$log_{4}(9)=log_{2^2}(3^2)=log_{2}(3);$$
Пример 11. Формулы (7,8). Переход к другому основанию.
$$ log_{a}(b)=frac{ log_{c}(b)}{ log_{c}(a)}, ; b gt 0;c gt 0;c neq 1; $$
$$ log_{a}(b)=frac{1}{log_{b}(a)};$$
$$log_{4}(5)=frac{1}{log_{5}(4)};$$
$$log_{4}(5)=frac{log_{7}(5)}{log_{7}(4)};$$
Логарифмом положительного числа (c) по основанию (a) ((a>0, aneq1)) называется показатель степени (b), в которую надо возвести основание (a), чтобы получить число (c) ((c>0)), т.е.
(a^{b}=c) (Leftrightarrow) (log_{a}{c}=b)
Объясним проще. Например, (log_{2}{8}) равен степени, в которую надо возвести (2), чтоб получить (8). Отсюда понятно, что (log_{2}{8}=3).
|
Примеры: |
(log_{5}{25}=2) |
т.к. (5^{2}=25) |
||
|
(log_{3}{81}=4) |
т.к. (3^{4}=81) |
|||
|
(log_{2})(frac{1}{32})(=-5) |
т.к. (2^{-5}=)(frac{1}{32}) |
Аргумент и основание логарифма
Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:
Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание – подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».
Как вычислить логарифм?
Чтобы вычислить логарифм – нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?
Например, вычислите логарифм: а) (log_{4}{16}) б) (log_{3})(frac{1}{3}) в) (log_{sqrt{5}}{1}) г) (log_{sqrt{7}}{sqrt{7}}) д) (log_{3}{sqrt{3}})
а) В какую степень надо возвести (4), чтобы получить (16)? Очевидно во вторую. Поэтому:
(log_{4}{16}=2)
б) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (frac{1}{3})? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени).
(log_{3})(frac{1}{3})(=-1)
в) В какую степень надо возвести (sqrt{5}), чтобы получить (1)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!
(log_{sqrt{5}}{1}=0)
г) В какую степень надо возвести (sqrt{7}), чтобы получить (sqrt{7})? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.
(log_{sqrt{7}}{sqrt{7}}=1)
д) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (sqrt{3})? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень – это степень (frac{1}{2}).
(log_{3}{sqrt{3}}=)(frac{1}{2})
Пример: Вычислить логарифм (log_{4sqrt{2}}{8})
Решение:
|
(log_{4sqrt{2}}{8}=x) |
Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма: |
|
|
((4sqrt{2})^{x}=8) |
Что связывает (4sqrt{2}) и (8)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки: |
|
|
({(2^{2}cdot2^{frac{1}{2}})}^{x}=2^{3}) |
Слева воспользуемся свойствами степени: (a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}) и ((a^{m})^{n}=a^{mcdot n}) |
|
|
(2^{frac{5}{2}x}=2^{3}) |
Основания равны, переходим к равенству показателей |
|
|
(frac{5x}{2})(=3) |
Умножим обе части уравнения на (frac{2}{5}) |
|
|
(x=1,2) |
Получившийся корень и есть значение логарифма |
Ответ: (log_{4sqrt{2}}{8}=1,2)
Зачем придумали логарифм?
Чтобы это понять, давайте решим уравнение: (3^{x}=9). Просто подберите (x), чтобы равенство сработало. Конечно, (x=2).
А теперь решите уравнение: (3^{x}=8).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.
Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как (x=log_{3}{8}).
Хочу подчеркнуть, что (log_{3}{8}), как и любой логарифм – это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: (1,892789260714…..)
Пример: Решите уравнение (4^{5x-4}=10)
Решение:
|
(4^{5x-4}=10) |
(4^{5x-4}) и (10) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.
Воспользуемся определением логарифма: |
|
|
(log_{4}{10}=5x-4) |
Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева |
|
|
(5x-4=log_{4}{10}) |
Перед нами линейное уравнение. Перенесем (4) вправо. И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу. |
|
|
(5x=log_{4}{10}+4) |
Поделим уравнение на 5 |
|
|
(x=)(frac{log_{4}{10}+4}{5}) |
Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают. |
Ответ: (frac{log_{4}{10}+4}{5})
Десятичный и натуральный логарифмы
Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы ((a>0, aneq1)). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:
Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание – число Эйлера (e) (равное примерно (2,7182818…)), и записывается такой логарифм как (ln{a}).
То есть, (ln{a}) это то же самое, что и (log_{e}{a}), где (a) – некоторое число.
Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается (lg{a}).
То есть, (lg{a}) это то же самое, что и (log_{10}{a}), где (a) – некоторое число.
Основное логарифмическое тождество
У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:
Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.
Вспомним краткую запись определения логарифма:
если (a^{b}=c), то (log_{a}{c}=b)
То есть, (b) – это тоже самое, что (log_{a}{c}). Тогда мы можем в формуле (a^{b}=c) написать (log_{a}{c}) вместо (b). Получилось (a^{log_{a}{c}}=c) – основное логарифмическое тождество.
Остальные свойства логарифмов вы можете найти здесь. С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.
Пример: Найдите значение выражения (36^{log_{6}{5}})
Решение:
|
(36^{log_{6}{5}}=) |
Сразу пользоваться свойством (a^{log_{a}{c}}=c) мы не можем, так как в основании степени и в основании логарифма – разные числа. Однако мы знаем, что (36=6^{2}) |
|
|
(=(6^{2})^{log_{6}{5}}=) |
Зная формулу ((a^{m})^{n}=a^{mcdot n}), а так же то, что множители можно менять местами, преобразовываем выражение |
|
|
(=6^{2cdotlog_{6}{5}}=6^{log_{6}{5}cdot2}=(6^{log_{6}{5}})^{2}=) |
Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством. |
|
|
(=5^{2}=25) |
Ответ готов. |
Ответ: (25)
Как число записать в виде логарифма?
Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что (log_{2}{4}) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать (log_{2}{4}).
Но (log_{3}{9}) тоже равен (2), значит, также можно записать (2=log_{3}{9}) . Аналогично и с (log_{5}{25}), и с (log_{9}{81}), и т.д. То есть, получается
(2=log_{2}{4}=log_{3}{9}=log_{4}{16}=log_{5}{25}=log_{6}{36}=log_{7}{49}…)
Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.
Точно также и с тройкой – ее можно записать как (log_{2}{8}), или как (log_{3}{27}), или как (log_{4}{64})… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:
(3=log_{2}{8}=log_{3}{27}=log_{4}{64}=log_{5}{125}=log_{6}{216}=log_{7}{343}…)
И с четверкой:
(4=log_{2}{16}=log_{3}{81}=log_{4}{256}=log_{5}{625}=log_{6}{1296}=log_{7}{2401}…)
И с минус единицей:
(-1=) (log_{2})(frac{1}{2})(=) (log_{3})(frac{1}{3})(=) (log_{4})(frac{1}{4})(=) (log_{5})(frac{1}{5})(=) (log_{6})(frac{1}{6})(=) (log_{7})(frac{1}{7})(…)
И с одной третьей:
(frac{1}{3})(=log_{2}{sqrt[3]{2}}=log_{3}{sqrt[3]{3}}=log_{4}{sqrt[3]{4}}=log_{5}{sqrt[3]{5}}=log_{6}{sqrt[3]{6}}=log_{7}{sqrt[3]{7}}…)
И так далее.
Любое число (a) может быть представлено как логарифм с основанием (b): (a=log_{b}{b^{a}})
Пример: Найдите значение выражения (frac{log_{2}{14}}{1+log_{2}{7}})
Решение:
|
(frac{log_{2}{14}}{1+log_{2}{7}})(=) |
Превращаем единицу в логарифм с основанием (2): (1=log_{2}{2}) |
|
|
(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{2}+log_{2}{7}})(=) |
Теперь пользуемся свойством логарифмов: |
|
|
(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{(2cdot7)}})(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{14}})(=) |
В числителе и знаменателе одинаковые числа – их можно сократить. |
|
|
(=1) |
Ответ готов. |
Ответ: (1)
Смотрите также:
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
Наталья Игоревна Восковская
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Логарифм степени основания
Определение 1
Значением логарифма степени числа, которое равно основанию логарифма, является показатель этой степени:
$log_{a}a^s=s$
при $a > 0$, $a ne 1$,
$s$ – любом числе.
Данное свойство вытекает из определения логарифма. С его помощью можно сразу найти значение логарифма при условии, что число, которое стоит под знаком логарифма, можно записать в виде степени числа, являющегося основанием данного логарифма.
Пример 1
$log_{11}{11^8}=8$;
$lg10^{-17}=-17$;
$log_{sqrt{8,7}}(sqrt{8,7})^{7,23}=7,23$.
Логарифм степени числа
Определение 2
Логарифм степени любого числа равен произведению логарифма модуля основания этой степени на показатель степени:
$log_{a}x^r=r cdot log_{a}|x|$
при $x^r,a > 0$, $a ne 1$.
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Пример 2
Найти значение выражения $log_{5}frac{1}{125}+log_{11}121$.
Решение.
Представим подлогарифмические выражения в виде основания логарифма в степени и используем свойство логарифма степени:
$log_{5}frac{1}{125}+log_{11}121=log_{5}5^{-3}+log_{11}11^2=-3log_{5}5+2log_{11}11=$
воспользуемся равенством $log_{a}a=1$:
$=-3+2=-1$.
Ответ: $log_{5} frac{1}{125}+log_{11}121=-1$.
При вычислении логарифмов справедливым является и обратное определение:
Определение 3
Коэффициент, который стоит перед логарифмом можно внести в степень подлогарифмического выражения:
$s log_{a}x=log_{a}x^s$
при $a,b > 0$, $a ne 1$.
Пример 3
Упростить $6 log_{13}x^2-log_{13}x^7$.
Решение.
Используем свойство логарифма степени и вынесем степень за знак логарифма:
$6 log_{13}x^2-log_{13}x^7=6 cdot 2 log_{13}x-7 log_{13}x=12 log_{13}x-7 log_{13}x=5 log_{13}x=$
внесем коэффициент $5$ под знак логарифма:
$=log_{13}x^5$.
Ответ: $6 log_{13}x^2-log_{13}x^7=log_{13}x^5$.
«Логарифм степени» 👇
Логарифм корня
Определение 4
Следствием из свойства логарифма степени числа является свойство логарифма степени в виде дроби:
$log_{a}sqrt[r]{x}=frac{1}{r} cdot log_{a}x$
при $a,x > 0$, $a ne 1$, $r$ – натуральное число, $r > 1$.
Пример 4
$log_{7,8}sqrt[6]{2}=log_{7,8}2^{frac{1}{6}}=frac{1}{6}log_{7,8}2$.
Пример 5
Найти значение выражения $lgsqrt[3]{10x}$, если $lgx=frac{5}{7}$.
Решение.
Используем свойство логарифма корня:
$lgsqrt[3]{10x}=frac{1}{3}lg10x=$
воспользуемся свойством логарифма произведения:
$frac{1}{3} (lg10+lgx )=frac{1}{3} (1+frac{5}{7})=frac{1}{3} cdot frac{12}{7}=frac{12}{21}$.
Ответ: $lgsqrt[3]{10x}=frac{12}{21}$.
Также можно применять и обратное свойство:
Определение 5
Если перед логарифмом стоит дробь, то ее можно внести в степень подлогарифмического выражения:
$frac{1}{r} cdot log_{a}x=log_{a}sqrt[r]{x}$
при $a,x > 0$, $a ne 1$, $r$ – натуральное число, $r > 1$.
Пример 6
Вычислить $frac{1}{4}log_{12}16+log_{12}6$.
Решение.
Применим свойство логарифма корня:
$frac{1}{4}log_{12}16+log_{12}6=log_{12}sqrt[4]{16}+log_{12}6=log_{12}2+log_{12}6=$
используем свойство суммы логарифмов:
$=log_{12}2 cdot 6=log_{12}12=1$.
Ответ: $frac{1}{4}log_{12}16+log_{12}6=1$.
При вычислении логарифмов зачастую встречаются случаи, когда основание логарифма и число, для которого вычисляется логарифм, можно записать в виде степени одного и того же числа. Тогда для упрощения вычислений пользуются формулой:
$log_{a^x}a^y=frac{y}{x}$.
Данная формула дает возможность практически моментально получить значение рассматриваемого логарифма при его кажущейся сложности записи.
Рассмотрим пример, который покажет удобство использования данной формулы.
Пример 7
Вычислить $log_{27}9sqrt[7]{81}$.
Решение.
Запишем основание логарифма $27$ и подлогарифмическое выражение $9sqrt[7]{81}$ в виде степени числа $3$:
$log_{27}9sqrt[7]{81}=log_{3^3}3^2 cdot 3^{frac{4}{7}}=log_{3^3}3^{frac{18}{7}}=$
теперь воспользуемся рассматриваемой формулой:
$=frac{frac{18}{7}}{3}=frac{18}{7 cdot 3}=frac{6}{7}$.
Ответ: $log_{27}9sqrt[7]{81}=frac{6}{7}$.
Пример 8
Вычислить $log_{sqrt[11]{8}}frac{x^3}{16}$, если $log_{sqrt[11]{8}}x=13$.
Решение.
Применим свойство логарифма дроби:
$log_{sqrt[11]{8}}frac{x^3}{16}=log_{sqrt[11]{8}}x^3-log_{sqrt[11]{8}}16=$
к первому логарифму применим свойство логарифма степени, а во втором в основании логарифма и подлогарифмическом выражении перейдем к степеням числа $2$:
$=3 log_{sqrt[11]{8}}x-log_{2^{frac{3}{11}}}2^4=$
подставим условие $log_{sqrt[11]{8}}x=13$ в первый логарифм и применим рассмотренное свойство для логарифма степени ко второму логарифму:
$=3 cdot 13-frac{4}{frac{3}{11}}=39-4 cdot frac{11}{3}=39-frac{44}{3}=frac{73}{3}=24 frac{1}{3}$.
Ответ: $log_{sqrt[11]{8}}frac{x^3}{16}=24 frac{1}{3}$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Видеоурок 1: Логарифм произведения, степени и частного
Видеоурок 2: Логарифм в показателе степени
Лекция: Логарифм произведения, частного, степени
Основное логарифмическое тождество
Среди всех остальных формул существует основное тождество, которое приводит к получению остальных свойств:
Свойства логарифмов
1. Если имеется логарифм произведения двух чисел больших нуля, то данный логарифм можно записать в виде суммы:
Данное свойство вытекает из основного свойства степени – при умножении степеней их показатели складываются.
2. Логарифм частного двух чисел равен разности двух логарифмов:
Данное свойство было получено из свойства деления степеней – при делении степеней, показатели вычитаются.
3. Если некоторое число в степени находится под знаком логарифма, то показатель степени можно вынести вперед, тем самым, умножив логарифм на показатель:
Данное свойство вытекает из одного из основных свойств степенной функции – при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.
4. Если число и основание логарифма совпадает, то значение такого логарифма равно единице:
5. Логарифм по любому основанию равен нулю, если число равно единице:
6. При любом логарифме можно перейти от одного основания к другому. Для этого необходимо просто воспользоваться формулами:
