Как найти степень числа в неравенстве

Решение показательных неравенств: основные способы

3 января 2017

Многие считают, что показательные неравенства — это что-то такое сложное и непостижимое. И что научиться их решать — чуть ли не великое искусство, постичь которое способны лишь Избранные…

Полная брехня! Показательные неравенства — это просто. И решаются они всегда просто. Ну, почти всегда.:)

Сегодня мы разберём эту тему вдоль и поперёк. Этот урок будет очень полезен тем, кто только начинает разбираться в данном разделе школьной математики. Начнём с простых задач и будем двигаться к более сложным вопросам. Никакой жести сегодня не будет, но того, что вы сейчас прочитаете, будет достаточно, чтобы решить большинство неравенств на всяких контрольных и самостоятельных работах. И на этом вашем ЕГЭ тоже.

Как всегда, начнём с определения. Показательное неравенство — это любое неравенство, содержащее в себе показательную функцию. Другими словами, его всегда можно свести к неравенству вида

[{{a}^{x}} gt b]

Где в роли $b$ может быть обычное число, а может быть и что-нибудь пожёстче. Примеры? Да пожалуйста:

[begin{align} & {{2}^{x}} gt 4;quad {{2}^{x-1}}le frac{1}{sqrt[3]{2}};quad {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} lt 16; \ & {{0,1}^{1-x}} lt 0,01;quad {{2}^{frac{x}{2}}} lt {{4}^{frac{4}{x}}}. \end{align}]

Думаю, смысл понятен: есть показательная функция ${{a}^{x}}$, её с чем-то сравнивают, а затем просят найти $x$. В особо клинических случаях вместо переменной $x$ могут засунуть какую-нибудь функцию $fleft( x right)$ и тем самым чуть-чуть усложнить неравенство.:)

Конечно, в некоторых случаях неравенство может выглядеть более сурово. Вот, например:

[{{9}^{x}}+8 gt {{3}^{x+2}}]

Или даже вот:

[5cdot {{4}^{x}}+2cdot {{25}^{x}} gt 7cdot {{10}^{x}}]

В целом, сложность таких неравенств может быть самой разной, но в итоге они всё равно сводятся к простой конструкции ${{a}^{x}} gt b$. А уж с такой конструкцией мы как-нибудь разберёмся (в особо клинических случаях, когда ничего не приходит в голову, нам помогут логарифмы). Поэтому сейчас мы научимя решать такие простые конструкции.

Решение простейших показательных неравенств

Рассмотрим что-нибудь совсем простое. Например, вот это:

[{{2}^{x}} gt 4]

Очевидно, что число справа можно переписать в виде степени двойки: $4={{2}^{2}}$. Таким образом, исходное неравенство перепишется в очень удобной форме:

[{{2}^{x}} gt {{2}^{2}}]

И вот уже руки чешутся «зачеркнуть» двойки, стоящие в основаниях степеней, дабы получить ответ $x gt 2$. Но перед тем как что там зачёркивать, давайте вспомним степени двойки:

[{{2}^{1}}=2;quad {{2}^{2}}=4;quad {{2}^{3}}=8;quad {{2}^{4}}=16;…]

Как видим, чем большее число стоит в показателе степени, тем больше получается число на выходе. «Спасибо, кэп!» — воскликнет кто-нибудь из учеников. Разве бывает по-другому? К сожалению, бывает. Например:

[{{left( frac{1}{2} right)}^{1}}=frac{1}{2};quad {{left( frac{1}{2} right)}^{2}}=frac{1}{4};quad {{left( frac{1}{2} right)}^{3}}=frac{1}{8};…]

Тут тоже всё логично: чем больше степень, тем больше раз число 0,5 умножается само на себя (т.е. делится пополам). Таким образом, полученная последовательность чисел убывает, а разница между первой и второй последовательностью состоит лишь в основании:

• Если основание степени $a gt 1$, то по мере роста показателя $n$ число ${{a}^{n}}$ тоже будет расти;
• И наоборот, если $0 lt a lt 1$, то по мере роста показателя $n$ число ${{a}^{n}}$ будет убывать.

Суммируя эти факты, мы получаем самое главное утверждение, на котором и основано всё решение показательных неравенств:

Если $a gt 1$, то неравенство ${{a}^{x}} gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $x gt n$. Если $0 lt a lt 1$, то неравенство ${{a}^{x}} gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $x lt n$.

Другими словами, если основание больше единицы, его можно просто убрать — знак неравенства при этом не поменяется. А если основание меньше единицы, то его тоже можно убрать, но при этом придётся поменять и знак неравенства.

Обратите внимание: мы не рассмотрели варианты $a=1$ и $ale 0$. Потому что в этих случаях возникает неопределённость. Допустим, как решить неравенство вида ${{1}^{x}} gt 3$? Единица в любой степени снова даст единицу — мы никогда не получим тройку или больше. Т.е. решений нет.

С отрицательными основаниями всё ещё интереснее. Рассмотрим для примера вот такое неравенство:

[{{left( -2 right)}^{x}} gt 4]

На первый взгляд, всё просто:

[4={{2}^{2}}Rightarrow {{left( -2 right)}^{x}} gt {{2}^{2}}Rightarrow x gt 2]

Правильно? А вот и нет! Достаточно подставить вместо $x$ парочку чётных и парочку нечётных чисел, чтобы убедиться что решение неверно. Взгляните:

[begin{align} & x=4Rightarrow {{left( -2 right)}^{4}}=16 gt 4; \ & x=5Rightarrow {{left( -2 right)}^{5}}=-32 lt 4; \ & x=6Rightarrow {{left( -2 right)}^{6}}=64 gt 4; \ & x=7Rightarrow {{left( -2 right)}^{7}}=-128 lt 4. \end{align}]

Как видите, знаки чередуются. А ведь есть ещё дробные степени и прочая жесть. Как, например, прикажете считать ${{left( -2 right)}^{sqrt{7}}}$ (минус двойка в степени корень из семи)? Да никак!

Поэтому для определённости полагают, что во всех показательных неравенствах (и уравнениях, кстати, тоже) $1ne a gt 0$. И тогда всё решается очень просто:

[{{a}^{x}} gt {{a}^{n}}Rightarrow left[ begin{align} & x gt nquad left( a gt 1 right), \ & x lt nquad left( 0 lt a lt 1 right). \end{align} right.]

В общем, ещё раз запомните главное правило: если основание в показательном уравнении больше единицы, его можно просто убрать; а если основание меньше единицы, его тоже можно убрать, но при этом поменяется знак неравенства.

Примеры решения

Итак, рассмотрим несколько простых показательных неравенств:

[begin{align} & {{2}^{x-1}}le frac{1}{sqrt[3]{2}}; \ & {{0,1}^{1-x}} lt 0,01; \ & {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} lt 16; \ & {{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}ge frac{1}{25}. \end{align}]

Первостепенная задача во всех случаях одна и та же: свести неравенств к простейшему виду ${{a}^{x}} gt {{a}^{n}}$. Именно это мы сейчас и сделаем с каждым неравенством, а заодно повторим свойства степеней и показательной функции. Итак, поехали!

[{{2}^{x-1}}le frac{1}{sqrt[3]{2}}]

Что здесь можно сделать? Ну, слева у нас и так стоит показательное выражение — ничего менять не надо. А вот справа стоит какая-то хрень: дробь, да ещё и в знаменателе корень!

Однако вспомним правила работы с дробями и степенями:

[begin{align} & frac{1}{{{a}^{n}}}={{a}^{-n}}; \ & sqrt[k]{a}={{a}^{frac{1}{k}}}. \end{align}]

Что это значит? Во-первых, мы легко можем избавиться от дроби, превратив её в степень с отрицательным показателем. А во-вторых, поскольку в знаменателе стоит корень, было бы неплохо превратить и его в степень — на этот раз с дробным показателем.

Применим эти действия последовательно к правой части неравенства и посмотрим, что получится:

[frac{1}{sqrt[3]{2}}={{left( sqrt[3]{2} right)}^{-1}}={{left( {{2}^{frac{1}{3}}} right)}^{-1}}={{2}^{frac{1}{3}cdot left( -1 right)}}={{2}^{-frac{1}{3}}}]

Не забываем, что при возведении степени в степень показатели этих степеней складываются. И вообще, при работе с показательными уравнениями и неравенствами совершенно необходимо знать хотя бы простейшие правила работы со степенями:

[begin{align} & {{a}^{x}}cdot {{a}^{y}}={{a}^{x+y}}; \ & frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}}={{a}^{x-y}}; \ & {{left( {{a}^{x}} right)}^{y}}={{a}^{xcdot y}}. \end{align}]

Собственно, последнее правило мы только что и применили. Поэтому наше исходное неравенство перепишется следующим образом:

[{{2}^{x-1}}le frac{1}{sqrt[3]{2}}Rightarrow {{2}^{x-1}}le {{2}^{-frac{1}{3}}}]

Теперь избавляемся от двойки в основании. Поскольку 2 > 1, знак неравенства останется прежним:

[begin{align} & x-1le -frac{1}{3}Rightarrow xle 1-frac{1}{3}=frac{2}{3}; \ & xin left( -infty ;frac{2}{3} right]. \end{align}]

Вот и всё решение! Основная сложность — вовсе не в показательной функции, а в грамотном преобразовании исходного выражения: нужно аккуратно и максимально быстро привести его к простейшему виду.

Рассмотрим второе неравенство:

[{{0,1}^{1-x}} lt 0,01]

Так, так. Тут нас поджидают десятичные дроби. Как я уже много раз говорил, в любых выражениях со степенями следует избавляться от десятичных дробей — зачастую только так можно увидеть быстрое и простое решение. Вот и мы избавимся:

[begin{align} & 0,1=frac{1}{10};quad 0,01=frac{1}{100}={{left( frac{1}{10} right)}^{2}}; \ & {{0,1}^{1-x}} lt 0,01Rightarrow {{left( frac{1}{10} right)}^{1-x}} lt {{left( frac{1}{10} right)}^{2}}. \end{align}]

Перед нами вновь простейшее неравенство, да ещё и с основанием 1/10, т.е. меньшим единицы. Что ж, убираем основания, попутно меняя знак с «меньше» на «больше», и получаем:

[begin{align} & 1-x gt 2; \ & -x gt 2-1; \ & -x gt 1; \& x lt -1. \end{align}]

Получили окончательный ответ: $xin left( -infty ;-1 right)$. Обратите внимание: ответом является именно множество, а ни в коем случае не конструкция вида $x lt -1$. Потому что формально такая конструкция — это вовсе не множество, а неравенство относительно переменной $x$. Да, оно очень простое, но это не ответ!

Важное замечание. Данное неравенство можно было решить и по-другому — путём приведения обеих частей к степени с основанием, большим единицы. Взгляните:

[frac{1}{10}={{10}^{-1}}Rightarrow {{left( {{10}^{-1}} right)}^{1-x}} lt {{left( {{10}^{-1}} right)}^{2}}Rightarrow {{10}^{-1cdot left( 1-x right)}} lt {{10}^{-1cdot 2}}]

После такого преобразования мы вновь получим показательное неравенство, но с основанием 10 > 1. А это значит, что можно просто зачеркнуть десятку — знак неравенства при этом не поменяется. Получим:

[begin{align} & -1cdot left( 1-x right) lt -1cdot 2; \ & x-1 lt -2; \ & x lt -2+1=-1; \ & x lt -1. \end{align}]

Как видите, ответ получился точь-в-точь такой же. При этом мы избавили себя от необходимости менять знак и вообще помнить какие-то там правила.:)

Идём далее. Рассмотрим чуть более сложное неравенство — в нём в показателе появляется квадратичная функция:

[{{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} lt 16]

Однако пусть вас это не пугает. Чтобы ни находилось в показателях, технология решения самого неравенства остаётся прежней. Поэтому заметим для начала, что 16 = 2⁴. Перепишем исходное неравенство с учётом этого факта:

[begin{align} & {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} lt {{2}^{4}}; \ & {{x}^{2}}-7x+14 lt 4; \ & {{x}^{2}}-7x+10 lt 0. \end{align}]

Ура! Мы получили обычное квадратное неравенство! Знак нигде не менялся, поскольку в основании стоит двойка — число, большее единицы.

Далее можно воспользоваться теоремой Виета, либо просто решить уравнение ${{x}^{2}}-7x+10=0$ через дискриминант. В любом случае корни будут ${{x}_{1}}=2$ и ${{x}_{2}}=5$. Отметим их на числовой прямой:

Расставляем знаки функции $fleft( x right)={{x}^{2}}-7x+10$ — очевидно, её графиком будет парабола ветвями вверх, поэтому по бокам будут «плюсы». Нас интересует та область, где функция меньше нуля, т.е. $xin left( 2;5 right)$ — это и есть ответ к исходной задаче.

Наконец, рассмотрим ещё одно неравенство:

[{{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}ge frac{1}{25}]

Опять видим показательную функцию с десятичной дробью в основании. Переводим эту дробь в обыкновенную:

[begin{align} & 0,2=frac{2}{10}=frac{1}{5}={{5}^{-1}}Rightarrow \ & Rightarrow {{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}={{left( {{5}^{-1}} right)}^{1+{{x}^{2}}}}={{5}^{-1cdot left( 1+{{x}^{2}} right)}}end{align}]

В данном случае мы воспользовались приведённым ранее замечанием — свели основание к числу 5 > 1, чтобы упростить себе дальнейшее решение. Точно так же поступим и с правой частью:

[frac{1}{25}={{left( frac{1}{5} right)}^{2}}={{left( {{5}^{-1}} right)}^{2}}={{5}^{-1cdot 2}}={{5}^{-2}}]

Перепишем исходное неравенство с учётом обоих преобразований:

[{{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}ge frac{1}{25}Rightarrow {{5}^{-1cdot left( 1+{{x}^{2}} right)}}ge {{5}^{-2}}]

Основания с обеих сторон одинаковы и превосходят единицу. Никаких других слагаемых справа и слева нет, поэтому просто «зачёркиваем» пятёрки и получаем совсем простое выражение:

[begin{align} & -1cdot left( 1+{{x}^{2}} right)ge -2; \ & -1-{{x}^{2}}ge -2; \ & -{{x}^{2}}ge -2+1; \ & -{{x}^{2}}ge -1;quad left| cdot left( -1 right) right. \ & {{x}^{2}}le 1. \end{align}]

Вот тут надо быть аккуратнее. Многие ученики любят просто извлечь квадратный корень их обеих частей неравенства и записать что-нибудь в духе $xle 1Rightarrow xin left( -infty ;-1 right]$. Делать этого ни в коем случае нельзя, поскольку корень из точного квадрата — это модуль, а ни в коем случае не исходная переменная:

[sqrt{{{x}^{2}}}=left| x right|]

Однако работать с модулями — не самое приятное занятие, правда? Вот и мы не будем работать. А вместо этого просто перенесём все слагаемые влево и решим обычное неравенство методом интервалов:

$begin{align} & {{x}^{2}}-1le 0; \ & left( x-1 right)left( x+1 right)le 0 \ & {{x}_{1}}=1;quad {{x}_{2}}=-1; \end{align}$

Вновь отмечаем полученные точки на числовой прямой и смотрим знаки:

Поскольку мы решали нестрогое неравенство, все точки на графике закрашены. Поэтому ответ будет такой: $xin left[ -1;1 right]$ — не интервал, а именно отрезок.

В целом хотел бы заметить, что ничего сложного в показательных неравенствах нет. Смысл всех преобразований, которые мы сегодня выполняли, сводится к простому алгоритму:

• Найти основание, к которому будем приводить все степени;
• Аккуратно выполнить преобразования, чтобы получилось неравенство вида ${{a}^{x}} gt {{a}^{n}}$. Разумеется вместо переменных $x$ и $n$ могут стоять гораздо более сложные функции, но смысл от этого не поменяется;
• Зачеркнуть основания степеней. При этом может поменяться знак неравенства, если основание $a lt 1$.

По сути, это универсальный алгоритм решения всех таких неравенств. А всё, что вам ещё будут рассказывать по этой теме — лишь конкретные приёмы и хитрости, позволяющие упростить и ускорить преобразования. Вот об одном из таких приёмов мы сейчас и поговорим.:)

Метод рационализации

Рассмотрим ещё одну партию неравенств:

[begin{align} & {{text{ }!!pi!!text{ }}^{x+7}} gt {{text{ }!!pi!!text{ }}^{{{x}^{2}}-3x+2}}; \ & {{left( 2sqrt{3}-3 right)}^{{{x}^{2}}-2x}} lt 1; \ & {{left( frac{1}{3} right)}^{{{x}^{2}}+2x}} gt {{left( frac{1}{9} right)}^{16-x}}; \ & {{left( 3-2sqrt{2} right)}^{3x-{{x}^{2}}}} lt 1. \end{align}]

Ну и что в них такого особенного? Они же лёгкие. Хотя, стоп! Число π возводится в какую-то степень? Что за бред?

А как возвести в степень число $2sqrt{3}-3$? Или $3-2sqrt{2}$? Составители задач, очевидно, перепили «Боярышника» перед тем, как сесть за работу.:)

На самом деле ничего страшного в этих задачах нет. Напомню: показательной функцией называется выражение вида ${{a}^{x}}$, где основание $a$ — это любое положительное число, за исключением единицы. Число π положительно — это мы и так знаем. Числа $2sqrt{3}-3$ и $3-2sqrt{2}$ тоже положительны — в этом легко убедиться, если сравнить их с нулём.

Получается, что все эти «устрашающие» неравенства ничем не отличаются решаются от простых, рассмотренных выше? И решаются точно так же? Да, совершенно верно. Однако на их примере я хотел бы рассмотреть один приём, который здорово экономит время на самостоятельных работах и экзаменах. Речь пойдёт о методе рационализации. Итак, внимание:

Всякое показательное неравенство вида ${{a}^{x}} gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $left( x-n right)cdot left( a-1 right) gt 0$.

Вот и весь метод.:) А вы думали, что будет какая-нибудь очередная дичь? Ничего подобного! Но этот простой факт, записанный буквально в одну строчку, значительно упростит нам работу. Взгляните:

[begin{matrix} {{text{ }!!pi!!text{ }}^{x+7}} gt {{text{ }!!pi!!text{ }}^{{{x}^{2}}-3x+2}} \ Downarrow \ left( x+7-left( {{x}^{2}}-3x+2 right) right)cdot left( text{ }!!pi!!text{ }-1 right) gt 0 \end{matrix}]

Вот и нет больше показательных функций! И не надо помнить: меняется знак или нет. Но возникает новая проблема: что делать с грёбаным множителем [left( text{ }!!pi!!text{ }-1 right)]? Мы ведь не знаем, чему равно точное значение числа π. Впрочем, капитан очевидность как бы намекает:

[text{ }!!pi!!text{ }approx 3,14… gt 3Rightarrow text{ }!!pi!!text{ }-1 gt 3-1=2]

В общем, точное значение π нас особо-то и не колышет — нам лишь важно понимать, что в любом случае $text{ }!!pi!!text{ }-1 gt 2$, т.е. это положительная константа, и мы можем разделить на неё обе части неравенства:

[begin{align} & left( x+7-left( {{x}^{2}}-3x+2 right) right)cdot left( text{ }!!pi!!text{ }-1 right) gt 0 \ & x+7-left( {{x}^{2}}-3x+2 right) gt 0; \ & x+7-{{x}^{2}}+3x-2 gt 0; \ & -{{x}^{2}}+4x+5 gt 0;quad left| cdot left( -1 right) right. \ & {{x}^{2}}-4x-5 lt 0; \ & left( x-5 right)left( x+1 right) lt 0. \end{align}]

Как видите, в определённый момент пришлось разделить на минус единицу — при этом знак неравенства поменялся. В конце я разложил квадратный трёхчлен по теореме Виета — очевидно, что корни равны ${{x}_{1}}=5$ и ${{x}_{2}}=-1$. Дальше всё решается классическим методом интервалов:

Все точки выколоты, поскольку исходное неравенство строгое. Нас интересует область с отрицательными значениями, поэтому ответ: $xin left( -1;5 right)$. Вот и всё решение.:)

Перейдём к следующей задаче:

[{{left( 2sqrt{3}-3 right)}^{{{x}^{2}}-2x}} lt 1]

Тут вообще всё просто, потому что справа стоит единица. А мы помним, что единица — это любое число в нулевой степени. Даже если этим числом является иррациональное выражение, стоящее в основании слева:

[begin{align} & {{left( 2sqrt{3}-3 right)}^{{{x}^{2}}-2x}} lt 1={{left( 2sqrt{3}-3 right)}^{0}}; \ & {{left( 2sqrt{3}-3 right)}^{{{x}^{2}}-2x}} lt {{left( 2sqrt{3}-3 right)}^{0}}; \end{align}]

Что ж, выполняем рационализацию:

[begin{align} & left( {{x}^{2}}-2x-0 right)cdot left( 2sqrt{3}-3-1 right) lt 0; \ & left( {{x}^{2}}-2x-0 right)cdot left( 2sqrt{3}-4 right) lt 0; \ & left( {{x}^{2}}-2x-0 right)cdot 2left( sqrt{3}-2 right) lt 0. \end{align}]

Осталось лишь разобраться со знаками. Множитель $2left( sqrt{3}-2 right)$ не содержит переменной $x$ — это просто константа, и нам необходимо выяснить её знак. Для этого заметим следующее:

[begin{matrix} sqrt{3} lt sqrt{4}=2 \ Downarrow \ 2left( sqrt{3}-2 right) lt 2cdot left( 2-2 right)=0 \end{matrix}]

Получается, что второй множитель — не просто константа, а отрицательная константа! И при делении на неё знак исходного неравенства поменяется на противоположный:

[begin{align} & left( {{x}^{2}}-2x-0 right)cdot 2left( sqrt{3}-2 right) lt 0; \ & {{x}^{2}}-2x-0 gt 0; \ & xleft( x-2 right) gt 0. \end{align}]

Теперь всё становится совсем очевидно. Корни квадратного трёхчлена, стоящего справа: ${{x}_{1}}=0$ и ${{x}_{2}}=2$. Отмечаем их на числовой прямой и смотрим знаки функции $fleft( x right)=xleft( x-2 right)$:

Нас интересуют интервалы, отмеченные знаком «плюс». Осталось лишь записать ответ:

[xin left( -infty ;0 right)bigcup left( 2;+infty right)]

Переходим к следующему примеру:

[{{left( frac{1}{3} right)}^{{{x}^{2}}+2x}} gt {{left( frac{1}{9} right)}^{16-x}}]

Ну, тут совсем всё очевидно: в основаниях стоят степени одного и того же числа. Поэтому я распишу всё кратко:

[begin{matrix} frac{1}{3}={{3}^{-1}};quad frac{1}{9}=frac{1}{{{3}^{2}}}={{3}^{-2}} \ Downarrow \ {{left( {{3}^{-1}} right)}^{{{x}^{2}}+2x}} gt {{left( {{3}^{-2}} right)}^{16-x}} \end{matrix}]

Далее «причёсываем» выражения с обеих частей неравенства и применяем метод рационализации:

[begin{align} & {{3}^{-1cdot left( {{x}^{2}}+2x right)}} gt {{3}^{-2cdot left( 16-x right)}}; \ & {{3}^{-{{x}^{2}}-2x}} gt {{3}^{-32+2x}}; \ & left( -{{x}^{2}}-2x-left( -32+2x right) right)cdot left( 3-1 right) gt 0; \ & -{{x}^{2}}-2x+32-2x gt 0; \ & -{{x}^{2}}-4x+32 gt 0;quad left| cdot left( -1 right) right. \ & {{x}^{2}}+4x-32 lt 0; \ & left( x+8 right)left( x-4 right) lt 0. \end{align}]

Как видите, в процессе преобразований пришлось умножать на отрицательное число, поэтому поменялся знак неравенства. В самом конце я вновь применил теорему Виета для разложения на множители квадратного трёхчлена. В итоге ответ будет следующий: $xin left( -8;4 right)$ — желающие могут убедиться в этом, нарисовав числовую прямую, отметив точки и посчитав знаки. А мы тем временем перейдём к последнему неравенству из нашего «комплекта»:

[{{left( 3-2sqrt{2} right)}^{3x-{{x}^{2}}}} lt 1]

Как видим, в основании снова стоит иррациональное число, а справа снова стоит единица. Поэтому перепишем наше показательное неравенство следующим образом:

[{{left( 3-2sqrt{2} right)}^{3x-{{x}^{2}}}} lt {{left( 3-2sqrt{2} right)}^{0}}]

Применяем рационализацию:

[begin{align} & left( 3x-{{x}^{2}}-0 right)cdot left( 3-2sqrt{2}-1 right) lt 0; \ & left( 3x-{{x}^{2}}-0 right)cdot left( 2-2sqrt{2} right) lt 0; \ & left( 3x-{{x}^{2}}-0 right)cdot 2left( 1-sqrt{2} right) lt 0. \end{align}]

Однако совершенно очевидно, что $1-sqrt{2} lt 0$, поскольку $sqrt{2}approx 1,4… gt 1$. Поэтому второй множитель — вновь отрицательная константа, на которую можно разделить обе части неравенства:

[begin{matrix} left( 3x-{{x}^{2}}-0 right)cdot 2left( 1-sqrt{2} right) lt 0 \ Downarrow \end{matrix}]

[begin{align} & 3x-{{x}^{2}}-0 gt 0; \ & 3x-{{x}^{2}} gt 0;quad left| cdot left( -1 right) right. \ & {{x}^{2}}-3x lt 0; \ & xleft( x-3 right) lt 0. \end{align}]

Далее всё просто: находим корни, отмечаем их на числовой прямой, смотрим знаки. Ответ будет следующим: $xin left( 0;3 right)$.

Переход к другому основанию

Отдельной проблемой при решении показательных неравенств является поиск «правильного» основания. К сожалению, далеко не всегда при первом взгляде на задание очевидно, что брать за основание, а что делать степенью этого основания.

Но не переживайте: здесь нет никакой магии и «секретных» технологий. В математике любой навык, который нельзя алгоритмизировать, можно легко выработать с помощью практики. Но для этого придётся решать задачи разного уровня сложности. Например, вот такие:

[begin{align} & {{2}^{frac{x}{2}}} lt {{4}^{frac{4}{x}}}; \ & {{left( frac{1}{3} right)}^{frac{3}{x}}}ge {{3}^{2+x}}; \ & {{left( 0,16 right)}^{1+2x}}cdot {{left( 6,25 right)}^{x}}ge 1; \ & {{left( frac{27}{sqrt[3]{3}} right)}^{-x}} lt {{9}^{4-2x}}cdot 81. \end{align}]

Сложно? Страшно? Да это же проще, чем цыплёнка об асфальт! Давайте попробуем. Первое неравенство:

[{{2}^{frac{x}{2}}} lt {{4}^{frac{4}{x}}}]

Ну, я думают, тут и ежу всё понятно:

[4={{2}^{2}}Rightarrow {{4}^{frac{4}{x}}}={{left( {{2}^{2}} right)}^{frac{4}{x}}}={{2}^{2cdot frac{4}{x}}}={{2}^{frac{8}{x}}}]

Переписываем исходное неравенство, сводя всё к основанию «два»:

[{{2}^{frac{x}{2}}} lt {{2}^{frac{8}{x}}}Rightarrow left( frac{x}{2}-frac{8}{x} right)cdot left( 2-1 right) lt 0]

Да, да, вы всё правильно поняли: я только что применил метод рационализации, описанный выше. Теперь нужно работать аккуратно: у нас получилось дробно-рациональное неравенство (это такое, у которого в знаменателе стоит переменная), поэтому прежде чем что-то приравнивать к нулю, необходимо привести всё к общему знаменателю и избавиться от множителя-константы.

[begin{align} & left( frac{x}{2}-frac{8}{x} right)cdot left( 2-1 right) lt 0; \ & left( frac{{{x}^{2}}-16}{2x} right)cdot 1 lt 0; \ & frac{{{x}^{2}}-16}{2x} lt 0. \end{align}]

Теперь используем стандартный метод интервалов. Нули числителя: $x=pm 4$. Знаменатель обращается в ноль только при $x=0$. Итого три точки, которые надо отметить на числовой прямой (все точки выколоты, т.к. знак неравенства строгий). Получим:

Как нетрудно догадаться, штриховкой отмечены те интервалы, на которых выражение слева принимает отрицательные значения. Поэтому в окончательный ответ пойдут сразу два интервала:

[xin left( -infty ;-4 right)bigcup left( 0;4 right)]

Концы интервалов не входят в ответ, поскольку исходное неравенство было строгим. Никаких дополнительных проверок этого ответа не требуется. В этом плане показательные неравенства намного проще логарифмических: никаких ОДЗ, никаких ограничений и т.д.

Переходим к следующей задаче:

[{{left( frac{1}{3} right)}^{frac{3}{x}}}ge {{3}^{2+x}}]

Здесь тоже никаких проблем, поскольку мы уже знаем, что $frac{1}{3}={{3}^{-1}}$, поэтому всё неравенство можно переписать так:

[begin{align} & {{left( {{3}^{-1}} right)}^{frac{3}{x}}}ge {{3}^{2+x}}Rightarrow {{3}^{-frac{3}{x}}}ge {{3}^{2+x}}; \ & left( -frac{3}{x}-left( 2+x right) right)cdot left( 3-1 right)ge 0; \ & left( -frac{3}{x}-2-x right)cdot 2ge 0;quad left| :left( -2 right) right. \ & frac{3}{x}+2+xle 0; \ & frac{{{x}^{2}}+2x+3}{x}le 0. \end{align}]

Обратите внимание: в третьей строчке я решил не мелочиться и сразу разделить всё на (−2). Минул ушёл в первую скобку (теперь там везде плюсы), а двойка сократилась с множителем-константой. Именно так и стоит поступать при оформлении реальных выкладок на самостоятельных и контрольных работах — не надо расписывать прям каждое действие и преобразование.

Далее в дело вступает знакомый нам метод интервалов. Нули числителя: а их нет. Потому что дискриминант будет отрицательный. В свою очередь знаменатель обнуляется лишь при $x=0$ — как и в прошлый раз. Ну и понятно, что справа от $x=0$ дробь будет принимать положительные значения, а слева — отрицательные. Поскольку нас интересуют именно отрицательные значения, то окончательный ответ: $xin left( -infty ;0 right)$.

Идём далее. В следующем задании нас поджидают десятичные дроби:

[{{left( 0,16 right)}^{1+2x}}cdot {{left( 6,25 right)}^{x}}ge 1]

А что нужно делать с десятичными дробями в показательных неравенствах? Правильно: избавляться от них, переводя в обыкновенные. Вот и мы переведём:

[begin{align} & 0,16=frac{16}{100}=frac{4}{25}Rightarrow {{left( 0,16 right)}^{1+2x}}={{left( frac{4}{25} right)}^{1+2x}}; \ & 6,25=frac{625}{100}=frac{25}{4}Rightarrow {{left( 6,25 right)}^{x}}={{left( frac{25}{4} right)}^{x}}. \end{align}]

Ну и что мы получили в основаниях показательных функций? А получили мы два взаимно обратных числа:

[frac{25}{4}={{left( frac{4}{25} right)}^{-1}}Rightarrow {{left( frac{25}{4} right)}^{x}}={{left( {{left( frac{4}{25} right)}^{-1}} right)}^{x}}={{left( frac{4}{25} right)}^{-x}}]

Таким образом исходное неравенство можно переписать так:

[begin{align} & {{left( frac{4}{25} right)}^{1+2x}}cdot {{left( frac{4}{25} right)}^{-x}}ge 1; \ & {{left( frac{4}{25} right)}^{1+2x+left( -x right)}}ge {{left( frac{4}{25} right)}^{0}}; \ & {{left( frac{4}{25} right)}^{x+1}}ge {{left( frac{4}{25} right)}^{0}}. \end{align}]

Разумеется, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, что и произошло во второй строчке. Кроме того, мы представили единицу, стоящую справа, тоже в виде степени по основанию 4/25. Осталось лишь выполнить рационализацию:

[{{left( frac{4}{25} right)}^{x+1}}ge {{left( frac{4}{25} right)}^{0}}Rightarrow left( x+1-0 right)cdot left( frac{4}{25}-1 right)ge 0]

Заметим, что $frac{4}{25}-1=frac{4-25}{25} lt 0$, т.е. второй множитель является отрицательной константой, и при делении на неё знак неравенства поменяется:

[begin{align} & x+1-0le 0Rightarrow xle -1; \ & xin left( -infty ;-1 right]. \end{align}]

Наконец, последнее неравенство из текущего «комплекта»:

[{{left( frac{27}{sqrt[3]{3}} right)}^{-x}} lt {{9}^{4-2x}}cdot 81]

В принципе, идея решения тут тоже ясна: все показательные функции, входящие в состав неравенства, необходимо свести к основанию «3». Но для этого придётся немного повозиться с корнями и степенями:

[begin{align} & frac{27}{sqrt[3]{3}}=frac{{{3}^{3}}}{{{3}^{frac{1}{3}}}}={{3}^{3-frac{1}{3}}}={{3}^{frac{8}{3}}}; \ & 9={{3}^{2}};quad 81={{3}^{4}}. \end{align}]

С учётом этих фактов исходное неравенство можно переписать так:

[begin{align} & {{left( {{3}^{frac{8}{3}}} right)}^{-x}} lt {{left( {{3}^{2}} right)}^{4-2x}}cdot {{3}^{4}}; \ & {{3}^{-frac{8x}{3}}} lt {{3}^{8-4x}}cdot {{3}^{4}}; \ & {{3}^{-frac{8x}{3}}} lt {{3}^{8-4x+4}}; \ & {{3}^{-frac{8x}{3}}} lt {{3}^{4-4x}}. \end{align}]

Обратите внимание на 2-ю и 3-ю строчку выкладок: прежде чем что-то делать с неравенством, обязательно приведите его к тому виду, о котором мы говорили с самого начала урока: ${{a}^{x}} lt {{a}^{n}}$. До тех пор, пока у вас слева или справа есть какие-то левые множители, дополнительные константы и т.д., никакую рационализацию и «зачёркивание» оснований выполнять нельзя! Бесчисленное множество задач было выполнено неправильно из-за непонимания этого простого факта. Я сам постоянно наблюдаю эту проблему у моих учеников, когда мы только-только приступаем к разбору показательных и логарифмических неравенств.

Но вернёмся к нашей задаче. Попробуем в этот раз обойтись без рационализации. Вспоминаем: основание степени больше единицы, поэтому тройки можно просто зачеркнуть — знак неравенства при этом не поменяется. Получим:

[begin{align} & -frac{8x}{3} lt 4-4x; \ & 4x-frac{8x}{3} lt 4; \ & frac{4x}{3} lt 4; \ & 4x lt 12; \ & x lt 3. \end{align}]

Вот и всё. Окончательный ответ: $xin left( -infty ;3 right)$.

Выделение устойчивого выражения и замена переменной

В заключение предлагаю решить ещё четыре показательных неравенства, которые уже являются довольно сложными для неподготовленных учеников. Чтобы справиться с ними, необходимо вспомнить правила работы со степенями. В частности — вынесение общих множителей за скобки.

Но самое главное — научиться понимать: что именно можно вынести за скобки. Такое выражение называется устойчивым — его можно обозначить новой переменной и таким образом избавиться от показательной функции. Итак, посмотрим на задачи:

[begin{align} & {{5}^{x+2}}+{{5}^{x+1}}ge 6; \ & {{3}^{x}}+{{3}^{x+2}}ge 90; \ & {{25}^{x+1,5}}-{{5}^{2x+2}} gt 2500; \ & {{left( 0,5 right)}^{-4x-8}}-{{16}^{x+1,5}} gt 768. \end{align}]

Начнём с самой первой строчки. Выпишем это неравенство отдельно:

[{{5}^{x+2}}+{{5}^{x+1}}ge 6]

Заметим, что ${{5}^{x+2}}={{5}^{x+1+1}}={{5}^{x+1}}cdot 5$, поэтому правую часть можно переписать:

[5cdot {{5}^{x+1}}+{{5}^{x+1}}ge 6]

Заметим, что никаких других показательных функций, кроме ${{5}^{x+1}}$, в неравенстве нет. И вообще, нигде больше не встречается переменная $x$, поэтому введём новую переменную: ${{5}^{x+1}}=t$. Получим следующую конструкцию:

[begin{align} & 5t+tge 6; \ & 6tge 6; \ & tge 1. \end{align}]

Возвращаемся к исходной переменной ($t={{5}^{x+1}}$ ), а заодно вспоминаем, что 1=5⁰. Имеем:

[begin{align} & {{5}^{x+1}}ge {{5}^{0}}; \ & x+1ge 0; \ & xge -1. \end{align}]

Вот и всё решение! Ответ: $xin left[ -1;+infty right)$. Переходим ко второму неравенству:

[{{3}^{x}}+{{3}^{x+2}}ge 90]

Здесь всё то же самое. Заметим, что ${{3}^{x+2}}={{3}^{x}}cdot {{3}^{2}}=9cdot {{3}^{x}}$. Тогда левую часть можно переписать:

[begin{align} & {{3}^{x}}+9cdot {{3}^{x}}ge 90;quad left| {{3}^{x}}=t right. \ & t+9tge 90; \ & 10tge 90; \ & tge 9Rightarrow {{3}^{x}}ge 9Rightarrow {{3}^{x}}ge {{3}^{2}}; \ & xge 2Rightarrow xin left[ 2;+infty right). \end{align}]

Вот примерно так и нужно оформлять решение на настоящих контрольных и самостоятельных работах.

Что ж, попробуем что-нибудь посложнее. Например, вот такое неравенство:

[{{25}^{x+1,5}}-{{5}^{2x+2}} gt 2500]

В чём тут проблема? Прежде всего, основания показательных функций, стоящих слева, разные: 5 и 25. Однако 25 = 5², поэтому первое слагаемое можно преобразовать:

[begin{align} & {{25}^{x+1,5}}={{left( {{5}^{2}} right)}^{x+1,5}}={{5}^{2x+3}}; \ & {{5}^{2x+3}}={{5}^{2x+2+1}}={{5}^{2x+2}}cdot 5. \end{align}]

Как видите, сначала мы всё привели к одинаковому основанию, а затем заметили, что первое слагаемое легко сводится ко второму — достаточно лишь разложить показатель. Теперь можно смело вводить новую переменную: ${{5}^{2x+2}}=t$, и всё неравенство перепишется так:

[begin{align} & 5t-tge 2500; \ & 4tge 2500; \ & tge 625={{5}^{4}}; \ & {{5}^{2x+2}}ge {{5}^{4}}; \ & 2x+2ge 4; \ & 2xge 2; \ & xge 1. \end{align}]

И вновь никаких трудностей! Окончательный ответ: $xin left[ 1;+infty right)$. Переходим к заключительному неравенству в сегодняшнем уроке:

[{{left( 0,5 right)}^{-4x-8}}-{{16}^{x+1,5}} gt 768]

Первое, на что следует обратить внимание — это, конечно, десятичная дробь в основании первой степени. От неё необходимо избавиться, а заодно привести все показательные функции к одному и тому же основанию — числу «2»:

[begin{align} & 0,5=frac{1}{2}={{2}^{-1}}Rightarrow {{left( 0,5 right)}^{-4x-8}}={{left( {{2}^{-1}} right)}^{-4x-8}}={{2}^{4x+8}}; \ & 16={{2}^{4}}Rightarrow {{16}^{x+1,5}}={{left( {{2}^{4}} right)}^{x+1,5}}={{2}^{4x+6}}; \ & {{2}^{4x+8}}-{{2}^{4x+6}} gt 768. \end{align}]

Отлично, первый шаг мы сделали — всё привели к одному и тому же основанию. Теперь необходимо выделить устойчивое выражение. Заметим, что ${{2}^{4x+8}}={{2}^{4x+6+2}}={{2}^{4x+6}}cdot 4$. Если ввести новую переменную ${{2}^{4x+6}}=t$, то исходное неравенство можно переписать так:

[begin{align} & 4t-t gt 768; \ & 3t gt 768; \ & t gt 256={{2}^{8}}; \ & {{2}^{4x+6}} gt {{2}^{8}}; \ & 4x+6 gt 8; \ & 4x gt 2; \ & x gt frac{1}{2}=0,5. \end{align}]

Естественно, может возникнуть вопрос: каким это образом мы обнаружили, что 256 = 2⁸? К сожалению, тут нужно просто знать степени двойки (а заодно степени тройки и пятёрки). Ну, или делить 256 на 2 (делить можно, поскольку 256 — чётное число) до тех пор, пока не получим результат. Выглядеть это будет примерно так:

[begin{align} & 256=128cdot 2= \ & =64cdot 2cdot 2= \ & =32cdot 2cdot 2cdot 2= \ & =16cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2= \ & =8cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2= \ & =4cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2= \ & =2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2= \ & ={{2}^{8}}.end{align}]

То же самое и с тройкой (числа 9, 27, 81 и 243 являются её степенями), и с семёркой (числа 49 и 343 тоже было бы неплохо запомнить). Ну, и у пятёрки тоже есть «красивые» степени, которые нужно знать:

[begin{align} & {{5}^{2}}=25; \ & {{5}^{3}}=125; \ & {{5}^{4}}=625; \ & {{5}^{5}}=3125. \end{align}]

Конечно, все эти числа при желании можно восстановить в уме, просто последовательно умножая их друг на друга. Однако, когда вам предстоит решить несколько показательных неравенств, причём каждое следующее сложнее предыдущего, то последнее, о чём хочется думать — это степени каких-то там чисел. И в этом смысле данные задачи являются более сложными, нежели «классические» неравенства, которые решаются методом интервалов.

Надеюсь, этот урок помог вам в освоении данной темы. Если что-то непонятно — спрашивайте в комментариях. И увидимся в следующих уроках.:)

Смотрите также:

1. Простейшие показательные уравнения
2. Преобразование показательных уравнений
3. Сравнение дробей
4. Задача B8: отрезки и углы в треугольниках
5. Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора
6. Задача B4: строительные бригады

2. Оценить площадь квадрата со стороной (a) (в см), где (1,1 < a < 1,2).

Возведём в квадрат все части неравенства (1,1 < a < 1,2), не меняя знаки.

1,12 < a2 < 1,22;1,21 < a2 <1,44;1,21 < S <1,44.

Получили, что площадь квадрата больше (1,21) см, но меньше (1,44) см.

Примеры:

(4^{x}geq32)

(5^{2x-1}-5^{2x-3}≤4,8)

((sqrt{7})^{2x+2}-50(sqrt{7})^{x}+7>0)

Как решать показательные неравенства?

Примеры:

(4^{x}≥32)	((0,5)^{2x}>0,125)
(2^{2x}≥2^5)	((0,5)^{2x}>(0,5)^3)
(2x≥5)	(2x<3)
(x≥2,5)	(x<1,5)

Но есть одна важная тонкость в переходе в показательных неравенствах:
(-) если основание степени больше (1), то знак неравенства должен оставаться прежним,
(-) если же основание – число большее (0), но меньшее (1) (лежит между нулем и единицей), то знак неравенства должен меняться на противоположный, т.е.

Примеры:

(2^{x+1}) (≥) (2^3 ⇒ x+1) (≥) (3)

(0,5^{4x+3}) (≤) (0,5^{6x-1} ⇒ 4x+3) (≥) (6x-1)

Важно! Есть два требования для перехода в показательных неравенствах:
(-) число в основании степени слева и справа должно быть одинаковым;
(-) степени слева и справа должны быть «чистыми», то есть не должно быть никаких коэффициентов, умножений, делений и т.д.

Например:

1) (3^{x+2}>5^{8-x})	Переход к (x+2> 8-x ) невозможен, так как в основаниях разные числа
2) (7^{x}+7^{3x}<7^{2x})	Переход к (x+3x<2x) невозможен, так как степени не «чистые» (слева есть сумма)
3) (2^{5-x}≥-2^{7x})	Переход к (5-x≥7x) невозможен, так как степени не «чистые» (перед степенью справа стоит минус)

Пример. Решить показательное неравенство: (2^{x}+2^{x+2}leq 20)
Решение:

(2^{x}+2^{x+2}leq 20)		Сразу переход делать нельзя, сумма в левой части не дает. Поэтому используем свойства степеней и преобразуем (2^{x+2}=2^{x} cdot 2^2=4 cdot 2^x)
(2^{x}+4 cdot 2^{x}leq 20)		Теперь (2^x) и (4 cdot 2^{x}) – подобные слагаемые, можно их сложить
(5 cdot 2^x≤20)            (| ∶5)		Делим обе части неравенства на (5)
(2^x≤4)		Представляем четверку как (2^2)
(2^x≤2^2)		Вот теперь делаем переход: избавляемся от оснований, не меняя знак сравнения, т.к. основание (2>1)
(x≤2)

Ответ:  (x∈(-∞;2])

Пример. Решить показательное неравенство: (4^{2x}-5 cdot 4^{x}+4< 0)
Решение:

(4^{2x}-5 cdot 4^{x}+4< 0)		Перед нами типичное показательно-квадратное неравенство. Преобразуем по свойству степеней (4^{2x}=(4^x)^2), чтобы на следующем шаге сделать замену.
((4^{x})^2-5 cdot 4^{x}+4< 0)		Делаем замену переменных
(t=4^x)		Записываем неравенство в новом виде
(t^2-5t+4<0)		Раскладываем на множители правую часть
((t-1)(t-4)<0)		Решаем неравенство с помощью метода интервалов
		Записываем промежуточное решение в виде системы и делаем обратную замену
(begin{cases}t>1\t<4end{cases} Leftrightarrow begin{cases}4^x>1\4^x<4end{cases})		Решаем показательные неравенства
(begin{cases}4^x>4^0\4^x<4^1end{cases} Leftrightarrow begin{cases}x>0\x<1end{cases})		Записываем ответ

Ответ:  (x∈(0;1))

Решение показательных неравенств с разными основаниями

А что делать, если невозможно привести левую и правую часть неравенства к степеням с одинаковыми основаниями (т.е. к виду (a^{f(x)} ˅ a^{g(x)})) ? Тогда на сцену выходит его величество логарифм. По основному логарифмическому тождеству – (c=a^{log_{a}{⁡c}}) , а значит любое положительное число можно представить в виде степени с любым основанием: (5=2^{log_{2}{5}}) ; (0,1=200^{log_{200}{⁡0,1}}) и т.д.

Пример: Решить показательное неравенство:

(0,2^{-7x+4}≥4)		Заменим (4) на (0,2^{log_{0,2}{⁡4}})
(0,2^{-7x+4}≥0,2^{log_{0,2}{4}})		Избавимся от оснований с переменой знака т.к. (0,2<1)
(-7x+4≤log_{0,2}⁡{4})		(log_{0,2}{⁡4}) – число некрасивое, но все-таки число, т.е. перед нами обычное линейное неравенство. Будем выражать (x), для этого перенесем (4) в правую часть
(-7x≤log_{0,2}{⁡4}-4)		Поделим обе части на (-7)
(x≥) (frac{4-log_{0,2}{⁡4}}{7})

Ответ: (x∈)([frac{4-log_{0,2}{⁡4}}{7})(;∞)) 
Знаю, выглядит не очень, но ответ не выбирают.

Особые виды показательных неравенств

Решим неравенство (5^x<-5). Подумайте, каким должен быть икс, чтобы (5^x) превратилось в (-5)? Наверно, вы подумали о минус единице? Давайте проверим эту гипотезу: (5^{-1}=frac{1}{5}) – не подходит.

На самом деле, никакая степень не превратит положительное число в отрицательное. Почему? Потому что показателе степени говорит лишь о том сколько раз умножается само на себя основание. А основание – положительно, и произведение положительных чисел – всегда положительно.

Таким образом, никакой (x) не сделает (5^x) отрицательным. То же самое можно сказать про (2^x), (3^x), (4^x), (6^x) и т.д.

Поэтому у показательного неравенства (5^x<-5) нет решений.

Рассмотрим обратное неравенство: (5^x>-5).

(5^x) – всегда больше нуля, и, уж тем более, оно будет больше (-5). Значит, решением неравенства (5^x>-5) будет любое число: (x∈(-∞;∞)).

Смотрите также:
Показательные  уравнения
Логарифмические  уравнения
Равносильные преобразования неравенств
Логарифмические  неравенства